Este documento presenta cuatro problemas de métodos numéricos resueltos. El primer problema encuentra la raíz de una función exponencial mediante gráficos, tablas y el método de la bisección. El segundo problema modela la secado del café usando regresión exponencial. El tercer problema resuelve un sistema de ecuaciones de balance de materia en tres reactores. El cuarto problema resuelve una ecuación diferencial ordinaria usando el método de Runge-Kutta de cuarto orden.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
METODOS NUMÉRICOS
EXAMEN DE APLAZADOS 2015
NOMBRE:………………………………………..04/01/2016
1. (5 Pts) Sea la siguiente función: xexf x
 
)(
Encontrar:
a) Explorar mediante método gráfico la raiz
b) Generar una tabla de x y f(x) donde se encuentre la raiz, con dos decimales
c) Con el método de la bisección método encontrar la raiz
d) Verificar el valor encontrado
2. (5 pts) Se tiene los siguientes datos para secar café donde “t” es el tiempo en horas:
Tabla.- Comportamiento de secado de café a 46ºC
t( hr) % H2O t( hr) % H2O
0 105 6 21
1 70 7 14
2 59 8 13
3 48 9 11
4 30 10 8
5 29
Deberá realizar las siguientes acciones:
a) Graficar tiempo-%H2O
b) Determinar la ecuación exponencial
c) Desviación estándar de la regresión y Coeficiente de determinación (r2
)
d) Generar una tabla que incluya: tiempo, %H2O observado y %H2O calculado
e) Gráfico de los valores observados y calculados
3. ( 5 Pts)En la figura se muestran tres reactores que están unidos por tuberías. El
sistema se encuentra en estado estable.
Datos:
Q33=120 m3
/s Q12=80 m3
/s
Q21=20 m3
/s
Q13=40 m3
/s Q23=60 m3
/s
Determinar el balance de materia para
cada punto
a) La concentración en cada tanque;
mg/m3
b) Balance en cada nodo; en mg/s
c) Balance global; mg/s
4. (5 Pts) Usar los métodos de RK de cuarto orden para solucionar la siguiente ecuación
diferencial:
2xy
dx
dy

Para el rango de: 0<x<0.6
Condición inicial: y(0)=2
Tamaño del paso: h= 0.20

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
METODOS NUMÉRICOS
EXAMEN DE APLAZADOS 2015
NOMBRE: SOLUCION……………………..04/01/2016
1. (5 Pts) Sea la siguiente función: xexf x
 
)(
Encontrar:
a) Explorar mediante método gráfico la raiz
b) Generar una tabla de x y f(x) donde se encuentre la raiz, con dos decimales
c) Con el método de la bisección método encontrar la raiz
d) Verificar el valor encontrado
Solución:
a) Exploración gráfica
>> fu=inline('exp(-x)-x')
fu =
Inline function:
fu(x) = exp(-x)-x
>> fplot(fu,[0,2]),grid
b) Generación tabla
>> x1=[0.4:0.1:0.6];
>> x2=feval(fu,[0.4:0.1:0.6]);
>> tabla=[x1;x2]';
>> fprintf('%10.2f%10.2fn',tabla')
0.40 0.27
0.50 0.11
0.60 -0.05
c) Determinación de la raiz
METODO DE LA BISECCION
Ingrese nombre de la función asociada exp(-x)-
x
limite inferior 0.4
limite superior 0.6
it a b aprox error
1 0.400000 0.600000 0.500000 100.00
2 0.500000 0.600000 0.550000 9.09
3 0.550000 0.600000 0.575000 4.35
4 0.550000 0.575000 0.562500 2.22
5 0.562500 0.575000 0.568750 1.10
6 0.562500 0.568750 0.565625 0.55
7 0.565625 0.568750 0.567187 0.28
8 0.565625 0.567187 0.566406 0.14
9 0.566406 0.567187 0.566797 0.07
10 0.566797 0.567187 0.566992 0.03
11 0.566992 0.567187 0.567090 0.02
METODO CON FZERO
>> fu=inline('exp(-x)-x')
fu =
Inline function:
fu(x) = exp(-x)-x
>> raiz=fzero(fu,0.4)
raiz =
0.5671
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
f(x)

3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
La raiz es : 0.567089844
a) Verificar el resultados
>> V=2*X(1,4)+X(2,4)+6*X(3,4)
V = 5
2. (5 pts) Se tiene los siguientes datos para secar café donde “t” es el tiempo en horas:
Tabla.- Comportamiento de secado de café a 46ºC
t( hr) % H2O t( hr) % H2O
0 105 6 21
1 70 7 14
2 59 8 13
3 48 9 11
4 30 10 8
5 29
Deberá realizar las siguientes acciones:
a) Graficar tiempo-%H2O
b) Determinar la ecuación exponencial
c) Desviación estándar de la regresión y Coeficiente de determinación (r2
)
d) Generar una tabla que incluya: tiempo, %H2O observado y %H2O calculado
e) Gráfico de los valores observados y calculados
Solución
a) Graficar tiempo-%H2O
b) Determinar la ecuación exponencial
Y=𝛼𝑒 𝛽𝑡 = 95.60𝑒−0.25𝑡
c) Desviación estándar de la regresión y Coeficiente de determinación (r2
)
𝑙𝑛𝑌 = 4.56 − 0.25(𝑡)

4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
Sr = 153.16
St = 9308.91
Desv. Std = 4.1252
R2
= 0.9835
d) Generar una tabla que incluya: tiempo, %H2O observado y %H2O calculado
SECADODE CAFÈ
x y ln(y) x^2 ln(y)^2 x*ln(y)
Ln(Y)
cal Y calc Ycalc
Nº t H20 ln(H)
1 0 105 4.654 0 21.659 0.000 4.560 95.60 95.60
2 1 70 4.2485 1 18.050 4.248 4.309 74.37 74.37
3 2 59 4.0775 4 16.626 8.155 4.058 57.85 57.85
4 3 48 3.8712 9 14.986 11.614 3.807 45.00 45.00
5 4 30 3.4012 16 11.568 13.605 3.555 35.00 35.00
6 5 29 3.3673 25 11.339 16.836 3.304 27.23 27.23
7 6 21 3.0445 36 9.269 18.267 3.053 21.18 21.18
8 7 14 2.6391 49 6.965 18.473 2.802 16.47 16.47
9 8 13 2.5649 64 6.579 20.520 2.550 12.81 12.81
10 9 11 2.3979 81 5.750 21.581 2.299 9.97 9.97
11 10 8 2.0794 100 4.324 20.794 2.048 7.75 7.75
Total 55 408 36.346 385 127.115 154.094 403.22
prom 5 3.3041
e) Gráfico de los valores observados y calculados
3. ( 5 Pts)En la figura se muestran tres reactores que están unidos por tuberías. El
sistema se encuentra en estado estable.
Datos:

5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
Q33=120 m3
/s Q12=80 m3
/s
Q21=20 m3
/s
Q13=40 m3
/s Q23=60 m3
/s
Determinar el balance de materia para
cada punto
a) La concentración en cada tanque;
mg/m3
b) Balance en cada nodo; en mg/s
c) Balance global; mg/s
Solución
Balance de flujos (m3
/s)
REACTOR 1
REACTOR 2
REACTOR 3
400 mg/s
200 mg/s
Q13=40
Q12=80
Q21=20
Q23=60
Q33=120
Q03=20
Q01=100
Balance Global de flujos (m3
/s):
PLANTAQ01=100 Q33=120
Q03=20
Balance en Reactores
Reactor N° 01 : 𝑄01 𝐶01 + 𝑄21 𝐶21 = 𝑄13 𝐶13 + 𝑄12 𝐶12
400 + 20𝐶21 = 40𝐶13 + 80𝐶12
(400) + 20𝐶2 = 120𝐶1
−120𝐶1 + 20𝐶2 = −400
Reactor N° 02 : 𝑄12 𝐶12 = 𝑄23 𝐶23 + 𝑄21 𝐶21
80𝐶12 = 60𝐶23 + 20𝐶21
80𝐶1 = 80𝐶2
80𝐶1 − 80𝐶2 = 0
Reactor N° 03 : 𝑄13 𝐶13 + 𝑄23 𝐶23 + 𝑄03 𝐶03 = 𝑄33 𝐶33
40𝐶13 + 60𝐶23 + 200 = 120𝐶33
40𝐶1 + 60𝐶2 + 200 = 120𝐶3
40𝐶1 + 60𝐶2 − 120𝐶3 = −200
El sistema de ecuaciones es:
−120𝐶1 + 20𝐶2 = −400 (1)
80𝐶1 − 80𝐶2 = 0 (2)
40𝐶1 + 60𝐶2 − 120𝐶3 = −200 (3)
La ecuación matricial es:

6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
[ 𝐴]{ 𝐶} = { 𝑏}
[
−120 20 0
80 −80 0
40 60 −120
]{
𝐶1
𝐶2
𝐶3
}= {
−400
0
−200
}
Solución de la ecuación matricial: (se usó el método de Gauss simple)
>> A=[-120 20 0;80 -80 0;40 60 -120]
A =
-120 20 0
80 -80 0
40 60 -120
>> b=[-400;0;-200]
b =
-400
0
-200
>> C=inv(A)*b
C =
4.0000
4.0000
5.0000
Solución:
C1 =4 mg/m3
C2 = 4 mg/m3
C3 = 5 mg/m3
Balance final y verificación
Reactor Entrada (mg/s) Salida (mg/s)
R1 400+(20)(4)=480 40(4)+80(4)=480
R2 80(4)=320 60(4)+20(4)=320
R3 40(4)+60(4)+200=600 120(5)=600
Total 1400 1400
Balance global
PLANTA400 mg/s 120(5)=600 mg/s
200 mg/s
4. (5 Pts) Usar los métodos de RK de cuarto orden para solucionar la siguiente ecuación
diferencial:
2xy
dx
dy

Para el rango de: 0<x<0.6
Condición inicial: y(0)=2
Tamaño del paso: h= 0.20
Solución
>> fx=inline('2*x*y')

7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN
Facultad de Ingeniería de Procesos
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
fx =
Inline function:
fx(x,y) = 2*x*y
>> x=0;y=2;h=0.2;
>> k1=feval(fx,x,y)*h
k1 = 0
>> k2=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k1)*h
k2 = 0.0800
>> k3=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k2)*h
k3 = 0.0816
>> k4=feval(fx,x+h,y+k3)*h
k4 = 0.1665
>> y=y+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
y = 2.0816
>> x=x+h
x = 0.2000
>> k1=feval(fx,x,y)*h
k1 = 0.1665
>> k2=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k1)*h
k2 = 0.2598
>> k3=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k2)*h
k3 = 0.2654
>> k4=feval(fx,x+h,y+k3)*h
k4 = 0.3755
>> y=y+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
y = 2.3470
>> x=x+h
x = 0.4000
>> k1=feval(fx,x,y)*h
k1 = 0.3755
>> k2=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k1)*h
k2 = 0.5070
>> k3=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k2)*h
k3 = 0.5201
>> k4=feval(fx,x+h,y+k3)*h
k4 = 0.6881
>> y=y+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
y = 2.8666
>> x=x+h
x = 0.6000
>> k1=feval(fx,x,y)*h
k1 = 0.6880
>> k2=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k1)*h
k2 = 0.8990
>> k3=feval(fx,x+0.5*h,y+0.5*k2)*h
k3 = 0.9285
>> k4=feval(fx,x+h,y+k3)*h
k4 = 1.2145
>> y=y+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)
y = 3.7929
Tabla resumen
X f(x)
0 2
0.2 2.0816
0.4 3.3470
0.6 2.8666
Usando la función ode45
>> fx=inline('3*x*y')
fx =
Inline function:
fx(x,y) = 3*x*y
>> [X FX]=ode45(fx,[0:0.2:0.6],2)
X =
0
0.2000
0.4000
0.6000
FX =
2.0000
2.0816
2.3470
2.8667