Examen selecti

http://apruebalasmates.blogspot.com

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE CATALUÑA
PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)
JUNIO 2009
MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOOCIALES II
EXAMEN

INSTRUCCIONES

Responde a tres de las cuatro cuestiones y resuelve uno de los dos problemas siguientes.
En las respuestas, explica siempre qué es lo quieres hacer y por qué.

CUESTIONES

1.- Considera el sistema de inecuaciones siguiente:

x ≥0⎫
y ≥0⎪ ⎪
⎬
2 x + 5 y ≤ 10⎪
3 x + 4 y ≤ 12⎪
⎭

a) Dibuja la región de soluciones del sistema. (1 punto)

b) Determina el máximo de la función f ( x, y ) = x + 3 y sometida a las restricciones
anteriores. (1 punto)

2.- El dueño de una tienda compra dos televisiones y seis equipos de música. De
acuerdo con el precio marcado, debería pagar 10480 euros. Como paga al contado, le
hacen un descuento del 5% en cada televisor y del 10% en cada equipo de música, con
lo que solo paga 9842 euros. ¿ Cuál es el precio marcado de cada televisor y de cada
equipo de música?.

3.- Según un estudio sobre la evolución de la población de una especie protegida
determinada, podemos establecer el número de individuos de esta especie durante los
próximos años mediante la función:

50t + 500
f (t ) =
t +1

donde t es el número de años transcurridos.

a)Calcula la población actual y la prevista para dentro de nueve años. (0,5 puntos)
b)Determina los periodos en que la población aumentará y los periodos en que
disminuirá. (1 puntos)



c)Estudia si, según esta previsión, la población tenderá a estabilizarse en algún valor y,
si es así, determínalo. (0,5 puntos)

4.- Considera el sistema de ecuaciones siguientes:

x − 2 y + 3z = 3 ⎫
⎪
− x + y + 2z = 1 ⎬
7 x − 10 y + z = a ⎪
⎭

a)Di para qué valores del parámetro a el sistema es incompatible. (1 puntos)
b)Resuelve el sistema para el valor de a para el cual el sistema es compatible, y
encuentra una solución entera. (1 puntos)

PROBLEMAS

5.- La figura representa la región de soluciones de un sistema de inecuaciones lineales:

a)Halla el sistema de inecuaciones que determina esta región. (1 puntos)
b)Determina el valor máximo de la función f1 ( x, y ) = x + y + 1 en esta región, y dí en
qué puntos se alcanza este máximo. (1 puntos)
c)Halla el valor de a para que la función f 2 ( x, y ) = ax + 2 y + 3 alcance el máximo en el
segmento de extremos (4,2 ) y (5,0 ) . (1 puntos)
d)Determina los valores de a para los cuales f 2 ( x, y ) = ax + 2 y + 3 alcanza el máximo
⎛ 20 6 ⎞
solo en el punto C ⎜ , ⎟ . (1 puntos)
⎝ 7 7⎠

6.- El precio de coste de una ciudad de cierto producto es de 120€. Si se vende a 150€ la
unidad, lo compran 500 clientes. Por cada 10€ de aumento en el precio, las ventas
disminuyen en 20 clientes.



a)Halla una fórmula mediante la cual se obtengan los beneficios. (2 puntos)
b)Calcula a que precio p por unidad se ha de vender el producto para obtener el máximo
beneficio. (1 puntos)
c)En el caso anterior, halla el número de unidades que se venden y calcula el beneficio
máximo. (1 puntos)

CUESTIONES

1.- SOLUCIÓN.

a)Dibuja la región de soluciones del sistema

Dibujamos el sistema de inecuaciones y la región de soluciones ( zona
sombreada)

x ≥0⎫
y ≥0⎪ ⎪
⎬
2 x + 5 y ≤ 10⎪
3 x + 4 y ≤ 12⎪
⎭

GRAFICA

b) Determina el máximo de la función f ( x, y ) = x + 3 y sometida a las restricciones
anteriores

Los puntos de corte se resuelven mediante la resolución de sistemas:



⎧x = 0
PTO A: ⎨ → Pto. A(0,0 )
⎩y = 0

⎧ x=0
PTO B: ⎨ → Pto.B(4,0)
⎩3x + 4 y = 12

⎧2 x + 5 y = 10 ⎛ 20 6 ⎞
PTO C: ⎨ → Pto.C ⎜ , ⎟
⎩3x + 4 y = 12 ⎝ 7 7⎠
4·(10 − 2 x ) = 5·(12 − 3x ) → 40 − 8 x = 60 − 15 x → 7 x = 20 → x =
20
7
40 70 − 40 30
10 −
20 20 7 = 7 30·1 6
x= → 2· + 5 y = 10 → y = = 7 = =
7 7 5 5 5 7·5 7

⎧2 x + 5 y = 10
PTO D: ⎨ → Pto.D(0,2)
⎩ x=0

X Y F ( x, y ) = x + 3 y
A(0,0 ) 0 0 F (0,0 ) = 0 + 3·0 = 0
B(4,0 ) 4 0 F (4,0 ) = 4 + 3·0 = 4
⎛ 20 6 ⎞ 20 6 ⎛ 20 6 ⎞ 20 6 20 18 38
C⎜ , ⎟ F⎜ , ⎟ = + 3· = + =
⎝ 7 7⎠ 7 7 ⎝ 7 6⎠ 7 7 7 7 7
D (0,2) 0 2 F (0,2 ) = 0 + 3·2 = 6

El valor máximo es 6 y se alcanza en el punto D (0,2) .

2.-SOLUCION

X= precio marcado de cada televisor.
Y= precio marcado de cada equipo de música.

⎧2 x + 6 y = 10480 ⎧ x + 3 y = 5240 ⎛ x = 5240 − 3 y
⎨ →⎨ →⎜ ⎜ →
⎩2·0,95 + 6·0,9 y = 9842 ⎩0,95 x + 3·0,9 y = 4921 ⎝ 0,95 x + 2,7 y = 4921
0,95·(5240 − 3 y ) + 2,7 y = 4921 → 4978 − 2,85 y + 2,7 y = 4921 → 57 = 0,15 y →
57
y= = 380
0,15
y = 380 ⇒ x = 5240 − 3·380 = 4100

Un televisor costaba 4100€ y un equipo de música 380€ antes de las rebajas.

3.-SOLUCION



50t + 500
f (t ) =
t +1

50·0 + 500 500
a)La población actual es cuando t=0. f (0) = = = 500 individuos
0 +1 1
50·9 + 500 450 + 500
La población dentro de 9 años será: f (9) = = = 95 individuos
9 +1 10

b)Determina los periodos en que la población aumentará y los periodos en que
disminuirá.

Para estudiar dichos periodos utilizamos la primera derivada de la función:
50t + 500 50·(t + 1) − (50t − 500) − 450 (− )
f (t ) = → f / (t ) = = = = (− ) .
t +1 (t + 1)2 (t + 1)2 (+ )
La función siempre es decreciente, la población disminuirá siempre con el paso del
tiempo.

⎛ 50t + 500 ⎞ ∞ ⎛ 50 ⎞ 50
c) Lim f ( x ) = Lim⎜ ⎟ = = Ind → Regla de L´Hopital → Lim⎜ ⎟ = = 50
x →∞ x →∞
⎝ t +1 ⎠ ∞ x →∞
⎝ 1 ⎠ 1
La población tenderá a estabilizarse entorno a 50 individuos.

4.- SOLUCIÓN

x − 2 y + 3z = 3 ⎫ ⎛ 1 − 2 3 3⎞
⎜ ⎟
⎪
( )
− x + y + 2z = 1 ⎬ → A = ⎜ − 1 1
/
21 ⎟
7 x − 10 y + z = a ⎪ ⎜ 7 − 10 1 a ⎟
⎭ ⎝ ⎠

1 −2 3
1 −2
A = −1 1 2 = 0 → A1 = ≠ 0 ⇒ rg ( A) = 2
−1 1
7 − 10 1

1 −2 3
A = −1 1 1 = 5−a = 0 → a = 5
7 − 10 a
( )
Si a ≠ 5 → Rg ( A) = Rg A7 = 3 . El sistema es incompatible.

( )
b) Si a = 5 → Rg ( A) = Rg A7 = 2 < 3 incógnitas. El sistema es compatible
indeterminado.

Resolvemos el sistema nombrando z = λ y eliminar la tercera ecuación

x − 2 y + 3λ = 3 ⎫ ⎧ x − 2 y = 3 − 3λ
⎪ ⎪ ⎧ x − 2 y = 3 − 3λ
− x + y + 2λ = 1 ⎬ → ⎨ − x + y = 1 − 2λ → ⎨
7 x − 10 y + λ = a ⎪ ⎪7 x − 10 y = 5 − λ ⎩ − x + y = 1 − 2λ
⎭ ⎩



Resuelvo el sistema por Cramer

3 − 3λ − 2

x=
Δx
=
1 − 2λ 1
=
(3 − 3λ ) − (− 2·(1 − 2λ )) = 3 − 3λ + 2 − 4λ = − 7λ + 5 = 7λ − 5
A 1 −2 1− 2 −1 −1
−1 1

1 3 − 3λ

y=
Δy
=
− 1 1 − 2λ
=
(1 − 2λ ) − (− 1·(3 − 3λ )) = 1 − 2λ + 3 − 3λ = − 5λ + 4 = 5λ − 4
A 1 −2 1− 2 −1 −1
−1 1

⎧ x = 7λ − 5
⎪
Solución del sistema: ⎨ y = 5λ − 4
⎪z = λ
⎩
Para hallar una solución al sistema, damos un valor al parámetro λ , por ejemplo λ = 2 .

⎧ x = 7λ − 5 ⎧ x(2 ) = 7·2 − 5 = 14 − 5 = 9 ⎧x = 9
⎪ ⎪ ⎪
⎨ y = 5λ − 4 → ⎨ y (2 ) = 5·2 − 4 = 10 − 4 = 6 →→ ⎨ y = 6
⎪z = λ ⎪ z=2 ⎪z = 2
⎩ ⎩ ⎩

5.-SOLUCION

GRAFICA

a) Halla el sistema de inecuaciones que determina esta región.



Recta AE → x ≥ 0
Recta AB → y ≥ 0
Recta DE → y ≤ 4
Pto.C − (4,2) D − C2 4 − 2
Recta CD → → y = mx + n . Donde m = 2 = = −1
Pto.D − (2,4) D1 − C1 2 − 4

Sustituyo el Punto C en la ecuación, para hallar n:
→ 4 = (− 1)·2 + n → 4 + 2 = n → n = 6

→ y = −x + 6 ⇒ y ≤ −x + 6

Pto.B − (5,0) C − B2 2 − 0
Recta BC → → y = mx + n . Donde m = 2 = = −2
Pto.C − (4,2) C1 − B1 4 − 5

Sustituyo el Punto B en la ecuación, para hallar n: → 0 = (− 2 )·5 + n → n = 10

→ y = −2 x + 10 ⇒ y ≤ −2 x + 10

El sistema de inecuaciones que determina la región es:

⎧ x≥0
⎪ y≥0
⎪
⎪
⎨ y≤4
⎪ y ≤ −2 x + 10
⎪
⎪ y ≤ −x + 6
⎩

b) Determina el valor máximo de la función f1 ( x, y ) = x + y + 1 en esta región, y dí en
qué puntos se alcanza este máximo.

Sustituimos en la función los vértices de la región:

X Y f1 ( x, y ) = x + y + 1
A(0,0 ) 0 0 F (0,0 ) = 0 + 0 + 1 = 1
B(5,0) 5 0 F (5,0 ) = 5 + 0 + 1 = 6
C (4,2 ) 4 2 F (4,2 ) = 4 + 2 + 1 = 7
D(2,4) 2 4 F (2,4) = 2 + 4 + 1 = 7
E (0,4 ) 0 4 F (0,4 ) = 0 + 4 + 1 = 6

El valor máximo de la función es 7 y se alcanza en dos puntos: C y D.



c) Halla el valor de a para que la función f 2 ( x, y ) = ax + 2 y + 3 alcance el máximo en el
segmento de extremos (4,2 ) y (5,0 ) .

Punto (4,2 ) → f (4,2) = a·4 + 2·2 + 3 = 4a + 7

Punto (5,0 ) → f (5,0) = a·5 + 2·0 + 3 = 5a + 3

5a + 3 = 4a + 7 → 3 − 7 = 4a − 5a → −4 = −a → a = 4

d) Determina los valores de a para los cuales f 2 ( x, y ) = ax + 2 y + 3 alcanza el máximo
solo en el punto (4,2 ) .

Sustituimos en la función los vértices de la región:

X Y f 2 ( x, y ) = ax + 2 y + 3
A(0,0 ) 0 0 F (0,0) = 0.a + 2·0 + 3 = 3
B(5,0) 5 0 F (5,0 ) = 5·a + 2·0 + 3 = 5a + 3
C (4,2 ) 4 2 F (4,2) = 4·a + 2·2 + 3 = 4a + 7
D(2,4) 2 4 F (2,4 ) = 2·a + 2·4 + 3 = 2a + 11
E (0,4 ) 0 4 F (0,4 ) = 0·a + 2·4 + 3 = 11

Para que en el punto (4,2) sea el único punto en el que se alcance el máximo, se tiene
que cumplir las siguientes condiciones.

⎧ 4 a + 7 > 5a + 3 ⎧− a > −4 ⎧a < 4
⎨ →⎨ →⎨ →2<a<4
⎩4a + 7 > 2a + 11 ⎩ 2a > 4 ⎩a > 2

6.-SOLUCIÓN

a Halla una fórmula mediante la cual se obtengan los beneficios.

X= nº de veces que se aumenta en 10€ el precio de cada unidad.

BENEFICIO=INGRESOS-COSTES.

Donde: Ingresos: precio de venta de una unidad · nº de unidades.
Costes: precio de coste de una unidad · nº de unidades.

INGRESOS → I ( x ) = (150 + 10 x )(500 − 20 x )
·

COSTES → C ( x ) = 120·(500 − 20 x )



→ B( x ) = (150 + 10 x )(500 − 20 x ) − 120·(500 − 20 x ) =
·
BENEFICIO (500 − 20 x )(150 + 10 x − 120) = (500 − 20 x )(30 + 10 x ) =
· ·
15000 + 5000 − 600 x − 200 x 2 = −200 x 2 + 4400 + 15000

b) Calcula a que precio por unidad se ha de vender el producto para obtener el máximo
beneficio.

→ B( x ) = −200 x 2 + 4400 + 15000 → B(x ) = −2 x 2 + 44 + 150 →
− 44
B / ( x ) = 0 → B / ( x ) = −4 x + 44 = 0 → x = = 11
−4

El precio por unidad para que se obtenga un beneficio máximo es:

→ Pr ecio = (150 + 10 x ) = 150 + 10·11 = 150 + 110 = 260€

c) En el caso anterior, halla el número de unidades que se venden y calcula el beneficio
máximo.

Unidades vendidas = (500 − 20 x ) = 500 − 20·11 = 500 − 220 = 280.unidades

Beneficio máximo:

→ B( x ) = −200 x 2 + 4400 x + 15000 →
B(11) = −200·112 4400·11 + 15000 = −24200 + 48400 + 15000 = 39200€


Examen selecti

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Destacado

Similar a Examen selecti

Último

Examen selecti