Este documento presenta la resolución de varios ejercicios numéricos relacionados con sistemas de ecuaciones lineales y métodos numéricos. Se convierten números fraccionarios entre sistemas decimales y binarios. También se resuelven sistemas de ecuaciones lineales usando métodos como Gauss-Jordán, bisección y Newton-Raphson. Finalmente, se determina para qué valores de un parámetro el sistema tiene solución única.

1. TRABAJO COLABORATIVO N°. 1
CALCULO DE ERRORES Y SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Y
ALGEBRAICAS
METODOS NUMERICOS
ESTUDIANTES
RONALD FUNEZ RODRIGUEZ
OSCAR MANUEL MARTINEZ TORRES
LUIS FERNANDO QUIROZ MARTINEZ
EVER LOPEZ ESPEJO
FARID ANTONIO JIMENEZ VILLADIEGO
GRUPO: 100401_20
TUTOR
LIC. RICARDO GOMEZ NARVAÉZ
ESCUELAS DE CIENCIAS BASICAS TEGNOLOGIAS E INGENIERIAS
INGENIERIA DE SISTEMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
CEAD-COROZAL
2011

2. INTRODUCCION
En el siguiente trabajo se mostrara que en la práctica de la ingeniería y ciencias es
frecuente tener la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos
sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la solución completa
de un problema o al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente, se
requiere resolverlos en forma eficiente.
Haciendo conversiones de números fraccionarios dados en decimal a binarios y
viceversa se dará a conocer como los métodos numéricos que resuelven los
sistemas se pueden clasificar en directos e indirectos. Los métodos directos son
aquellos que determinan la solución en un número determinado de pasos. Los
métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en
un número finito, pero no definido de pasos.
La siguiente entrega pretende encontrar la solución de un sistema de ecuaciones
lineales por los métodos anteriormente mencionados. Como los algoritmos de los
métodos ya están disponibles en la mayoría de los libros de texto sobre la materia,
se explicara en la medida de lo posible, detalles de implementación(personales)de
los métodos directos(que son más difíciles de programar.

3. DESARROLLO DE EJERCICIOS.
1. CONVIERTA LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS
DADOS EN DECIMAL A NUMERO BINARIO:
a) 0.973
b) 0.356
a) 0,973
0,973
2 * 0,973 = 1,946 [1,946] = 1
2 * 0,946 = 1,892 [1,892] = 1
2 * 0,892 = 1,784 [1,784] = 1
2 * 0,784 = 1,568 [1,568] = 1
2 * 0,568 = 1,136 [1,136] = 1
2 * 0,136 = 0,272 [0,272] = 0
2 * 0,272 = 0,544 [0,544] = 0
2 * 0,544 = 1,088 [1,088] = 1
2 * 0,088 = 0,176 [0,176] = 0
2 * 0,176 = 0,352 [0,352] = 0
2 * 0,352 = 0,704 [0,704] = 0
2 * 0,704 = 1,408 [1,408] = 1
En este caso la representación es infinita, (0,973) = (0,111110010001. . . )2.
b) 0,356
0,356
2 * 0,356 = 0,712 [0,712] = 0
2 * 0,712 = 1,424 [1,424] = 1
2 * 0,424 = 0,848 [0,848] = 0
2 * 0,848 = 1,696 [1,616] = 1
2 * 0,696 = 1,392 [1,392] = 1
2 * 0,392 = 0,784 [0,784] = 0
2 * 0,784 = 1,568 [1,568] = 1
2 * 0,568 = 1,136 [1,136] = 1
2 * 0,136 = 0,272 [0,272] = 0

4. 2 * 0,272 = 0,544 [0,544] = 0
2 * 0,544 = 1,088 [1,088] = 1
2 * 0,088 = 0,176 [0,176] = 0
En este caso la representación es infinita, (0,356) = (0,010110110010 . . . )2.
2. CONVERTIR LOS SIGUIENTES NUMEROS FRACCIONARIOS
DADOS EN BINARIOS A DECIMAL:
a) 0.010101
b) 0.00110011
0,010101
00,0-1+1-2+0-3+1-4+0-5+1-6
= 0x20+0x2-1+1x2-2+0x2-3+1x2-4+0x2-5+1x2-6
=0+0+ + + +
= 0 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 + 0 + 0,03125
= 0,34375
0,00110011
00,0-1+0-2+1-3+1-4+0-5+0-6+1-7+1-8
= 0x20+0x2-1+0x2-2+1x2-3+1x2-4+0x2-5+0x2-6+1x2-7+1x2-8
= 0 + 0 + 0+ + +0+0+ +
= 0+0+0+0,125+0,0625+0+0+0,0078125+0,0078125
= 0,203125
3. Determine las raíces reales de f(x)=0,3x2 – 2x -0,51
a) usando la formula cuadrática
0,3x2 – 2x – 0,51 = 0

5. a = 0,3 ; b = -2 ; c =0,51
=
x1 = = 6,912594585
x2 = = -0,2459279188
b) usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la
raíz mas grande. Emplee como valores iníciales x1 = 6 y xu = 7.
f(6) = 0,3 (6)2 – 2(6) – 0,51 = -1,71 < 0
f(7) = 0,3 (7)2 – 2(7) – 0,51 = 0,19 > 0
xr1 =
f(6,5) = 0,3 (6,5)2 – 2 (6,5) – 0,51 = - 0,835 < 0
f(6) f(6,5) f(7)
- - +

6. xr3 =
f(6,875) = 0,3(6,875)2 – 2(6,875) – 0,51 = -0,0803125 < 0
f(6) f(6,5) f(6,75) f(6,875) f(7)
- - - - +
Luego la raíz más grande es xu = 7
c) xr3 – xr2 *
Er3 = 100%
Xr3
Er3 = 6,875 – 6,75 * 100%
6,875
Er3 = 1,82 %
Aprox. A la raíz Error Aprox.
6,5
6,75 3,7 %
6,875 1,82 %
4. Determine la raíz real de f(x) = x3 – 5x + 2. Usando el método de Newton –
Raphson (tres iteraciones iniciando con x0 = 2,5).
Formula
xi + 1 = xi f(xi) -
f '(xi)
x1 = x0 f(xi) -
f ‘ (x) = 3x2 - 5
f '(xi)
x0 = 2,5

7. f(2,5) = (2,5)3 – 5 (2,5) + 2 = 5,125
f ‘(2,5) = 3(2,5)2 – 5 = 13,75
x1 = 2,5 5,125 - = 2,1272
13,75
x2 = x1 f(x1) -
f '(x1)
x1 = 2,12727
f (2,12727) = 0,99014
f ‘(2,12727) = 8,57583
x3 = x2 f(x2) -
f '(x2)
x2 = 2,01181
f (2,01181) = (2,01181)3 – 5 (2,01181) + 2 = 0,08351
f ‘(2,01181) = 3 (2,01181)2 – 5 = 7,14214
x3 = 2,01181 0,08351 -
7,14214
x3 = 2,00012
5. Mediante el método de Gauss-Jordán resuelva el sistema.
10x1 + x2 – 5x3 = 1
-20x1 + 3x2 + 20x3 = 2
5x1 + 3x2 + 5x3 = 6

8. 10 1 -5 1 1 20 F1 +
F2
2 2
-20 3 20 -20 3 20
-5 F1 +
F1 F3
5 3 5 6 5 3 5 6
F2 +
1 1
F1
0 5 10 4 0 1 2 F2 +
F2 F3
0 0
1 0 1 0 F3 +
F1
0 1 2 0 1 2 -2 F3 +
F3 F2
0 0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0
-2
0 0 1
Solución:

9. X1 = 1
X2 = -2
X3 =
6. Dada la matriz determine para que
valores de
“a” el sistema tiene solución única.
El sistema seria.
x1 + 2x2 – 2x3 = 0
-x1 + (a-2)x2 + 2x3 = 0
4x1 + 8x2 + (a2 – 9)x3 = 0
El sistema tiene solución única si y solo si
1 2 -2
-1 a-2 2 ≠0
4 8 a2-9
Veamos para que 1 2 -2
valores:
-1 a-2 2 =0
4 8 a2-9

10. 1 2 -2
a-2 -1 -1
-
a-2 2 = 1 2 -2 2 +(-2) a-2
1
8 4 a2- 4 8
8 a2-9
4 a2-9 9
= (a-2) (a2 -9) – 16 -2(-a2 + 9 – 8) – 2 (-8 – 4a + 8)
= a3 – 9a – 2a2 + 18 – 16 + 2a2 – 2 + 8a
= a3 – a
Asi 1 2 -2
= a3 - a
-1 a-2 2
4 8 a2-9
Resolvemos.
a3 – a = 0
a (a2 – 1) = 0
a (a + 1) (a – 1) = 0
a=0 ó a = -1 ó a=1
1 2 -2
Por lo tanto
-1 a-2 2 =0
4 8 a2-9
Cuando: a = -1 ; a=0 ó a=1
Luego el sistema tiene solución única si: a ≠ -1 , a ≠ 0 y a≠1