Este documento presenta la resolución de 4 problemas de cálculo. El primero involucra resolver una inecuación racional. El segundo determina el dominio y si una función es par o impar. El tercero estudia la continuidad de una función dada por tramos. El cuarto halla el límite de una función racional en un punto.

1. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
Resolución Primer Parcial Mat. 1101 “B”
x 2 − 4x − 5 x 2 − 10x + 25
1.- Resolver: 〈 .... . . . ∀ x ∈ R
x − 1 x+ 3
Solución:
Usando la propiedad: a
2
= 2
a
para que desaparezca el valor absoluto de la inecuación:
Resuelto Por: Univ. Bruno Carlitos Díaz

2. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
( )( )
2 2 2 2 2
x − 4x − 5 x − 10x + 25  x − 4x − 5   x2 − 10x + 25  x2 − 4x − 5 x2 − 10x + 25
2 2 2 2
〈 ⇒   〈   ⇒ 2 〈 2
x − 1 x + 3  x − 1   x + 3  ( x − 1) ( x + 3)
Factorizando :
( x + 1) ( x − 5) 2 〈 ( x − 5) ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x − 5) 2 〈 ( x − 5) 2( x − 5) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2 ( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
E liminamdo _ ter min os _ Semejantes :
( x + 1) 2 〈 ( x − 5) 2 ⇒ ( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2
( x − 1) 2 ( x+ 3) 2
 x〉 0. . . . +
 Aplicando la regla de los signos:
Considerando : x =  x = 0
 x〈 0. . . . −

Se _ formaran _ dos _ inecuaciones :
a). .Con : x〉 0. . . . +
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9) 〈 ( x2 − 10x + 25)( x2 − 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 12x3 + 46x2 − 60x + 25
( )
20x3 − 24x2 + 84x − 16〈 0 ⇒ 4 ⋅ ( 5x − 1) x2 − x + 4 〈 0
Sean _ las _ raizes :
1 1± 1− 4
x1 = . . . y. . . . x2y3 = . .∉ R.
5 2
 1
Comprobando para el intervalo:  ∞5 

− ;

.......Para : x =0
Resuelto Por: Univ. Bruno Carlitos Díaz

3. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
20x3 − 24x 2 + 84x − 16〈 0
20 ⋅ 03 − 24 ⋅ 02 + 84 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
a). .Con : x〈 0. . . . . −
( x + 1) 2( x + 3) 2〈 ( x − 5) 2( − x − 1) 2 ⇒ ( x2 + 2x + 1)( x2 + 6x + 9)〈 ( x2 − 10x + 25) ( x2 + 2x + 1)
x4 + 8x3 + 22x2 + 24x + 9〈 x4 − 8x3 + 6x2 + 40x + 25
16x3 + 16x2 − 16x − 16〈 0 ⇒ 16 ⋅ ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 〈 0
Sean _ las _ raizes :
x1 = 1. . . . y. . . . . x2y3 = − 1
Aplicando la regla de los signos:
Comprobando para el intervalo: ] 1 1 .......Para
− ; [ : x =
0
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4. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
16x3 + 16x 2 − 16x − 16〈 0
16 ⋅ 03 + 16 ⋅ 02 − 16 ⋅ 0 − 16〈 0
− 16〈 0. . V
Lo que es verdad, por regla de los signos, el intervalo que sigue será un intervalo no
solución.
La solución déla inecuación estará dada por la graficas:
 1
∴Cs = − ∞ 
;
 5
2.- Determinar el dominio de la función, e indicar si la función es PAR o IMPAR.
 1
( )
f ( x ) =  x ⋅ x +  ⋅ sen x 2
x

Solución:
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5. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
 2n − a

a
Las condiciones para hallar dominios de funciones son: f ( x ) =  en caso de que
 0
 ln( − a )

alguna de estas condicione aparezca, no da a entender que en esos valores la función no
tiene su dominio.
Como se puede observa en la expresión lo único que se debe evitar es la división por cero.
∴Df = x ∈ / x ≠}
{∀ R 0
Para saber si es una función par o impar se debe considerar lo siguiente:
De la definición de función PAR: f ( x ) = (x )
− f
De la definición de función IMPAR: f ( x ) = f (x )
− −

f ( − x ) = − x ⋅ x +
1 
( )  1 
( )
1
⋅ sen ( − x ) ⇒ f ( − x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x ⇒ f ( x ) = − x ⋅ x + ⋅ sen x
−x 
2

x
2

x
2
( )
  
Como puede observarse la función es impar.
 x. . . . . Si x ≥ 1
3.-Estudiar la continuidad de la función: h( x ) =  2
 x − 1. . .Si x 〈 1
Solución:
 x〉 0
 x
Para: x. . . . . Si x ≥ 1⇒ sea : y = x _ pero : x =  x = 0 ⇒ y = 
 x〈 0  − x

Resuelto Por: Univ. Bruno Carlitos Díaz

6. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
 x〉 0
  x≥ 1
De las condiciones: x ≥ 1⇒ pero: x =  x = 0⇒ x = 
 x〈 0  x −≤ 1

De la misma forma para: x2 − 1. . .Si x〈 1 ⇒ sea : y = x2 − 1
 x〉 0
  x〈 1
De las condiciones:
x〈1⇒ pero: x =  x= 0 x =⇒ 
 x〈 0  x〉 − 1

Graficando ambas funciones dadas por tramos, se observa que la función no es continua.
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7. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
Ya que no cumple las condiciones de continuidad:
a) _ f ( a ) = No _ existe
lim f ( x )
b) _ = No _ existe
x→ a
lim f ( x )
c) _ f ( a ) ≠
x→ a
1 −cos x
4.- Sea la función: f ( x) = , hallar el limite en x =0
si existe. Sugerencia:
senx
Hallar y analizar los limites laterales.
Solución:
1 −cos x 1 −cos 0 1− 1 0
lim f ( x ) =lim ⇒ =
L ⇒L = ⇒L = , existirá una
x→0 x→0 senx sen0 0 0
indeterminación, la cual aremos desaparecer, utilizando un artificio matemático:
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒lim ⇒lim ⇒lim
x→0 x→0 senx x→ 0 sen 2 x x→ 0 1 − cos 2 x x→ 0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→0 (1 + cos x ) 1 + cos 0 2
Como sabemos, el límite existiera si y solo si, los limites, laterales son iguales, es decir el
límite por izquierda es igual al límite por derecha:
lim f ( x ) = lim f ( x )
− +
x→0 x→0
Resolviendo los límites laterales:
Resuelto Por: Univ. Bruno Carlitos Díaz

8. Con ayuda de, Problemas Resueltos de Calculo I, Ana Coló Herrera, Héctor Patritti
Por la propiedad del coseno: cos( x ) =
− cos x
a)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ −
0 −
x→0 senx x→ −
0 sen 2 x x→ −
0 1 − cos 2 x x→ −
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = ±
x→ −
0 (1 + cos x ) 1 + cos( − 0 ) 2
b)
1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x 1 − cos x
lim f ( x ) = lim ⇒ lim ⇒ lim ⇒ lim
x→ +
0 +
x→0 senx x→ +
0 sen 2 x x→ +
0 1 − cos 2 x x→ +
0 (1 − cos x )(1 + cos x )
1 1 1
lim ⇒L = ⇒L = 
x→ +
0 (1 + cos x ) 1 + cos( 0 ) 2
Como se puede observar tanto el límite por izquierda cono por derecha no son iguales:
1 −cos x 1 −cos x
lim ≠ lim
x→ −
0 senx x→ +
0 senx
1 1
± =
2 2
∴ El _ límite _ no _ existe
Resuelto Por: Univ. Bruno Carlitos Díaz