1. DUBAN CASTRO FLOREZ HERNAN FULA BOHORQUEZ DANIEL FERNANDO RODRIGUEZ ELIANA CATHERINE GOMEZ PINTO METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA INGENIERIA DE PETROLEOS 2010

2. 2.3. MÉTODO IMPLICITO 2.2. MÉTODO EXPLICITO 2.1. DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS 2. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIIALES 1. INTRODUCCIÓN BIBLIOGRAFIA 2.3. MÉTODO CRANK-NICHOLSON

3. En este trabajo se presentarán algunas de las técnicas numéricas para aproximar la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP) lineales de segundo orden y con dos variables independientes. Para esto se parte de la modelación de fenómenos físicos como la conducción de calor en una barra aislada.

4. Dado que las Ecuaciones Diferenciales Parciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde se involucran una función de más de una variable independiente y sus derivadas parciales. De ahí su importancia, pues prácticamente en todos los fenómenos que se estudian en ingeniería y otras ciencias, aparecen más de dos variables, y su modelación matemática conduce frecuentemente a EDP.

5. DERIVADAS POR DIFERENCIAS FINITAS  Proceso de discretización: El conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación Entre las diferentes formas de discretización posibles (elementos finitos, volúmenes finitos, etc.), una de las más simples es mediante el Método de Diferencias Finitas.

6. DIFERENCIAS FINITAS: VALOR FRONTERA En una solución por este método, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente solucionable por medios comunes (especialmente matriciales). VALOR EN LA FRONTERA Consideremos el problema de encontrar la función  (x) que satisface la ecuación diferencial: Sujeta a las condiciones de frontera

11. A través de los métodos explícitos se calculan los valores en cada nodo para un tiempo posterior, basándose en los valores presentes del nodo y sus vecinos. •Convergencia: Conforme a tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera. •Estabilidad: Los errores en cualquier etapa del cálculo no se amplifican, sino que se atenúan conforme avanza el cálculo. “El método es convergente y estable si ≤1/2 o” Se tendrá un valor óptimo ≤1/6 al minimizar los errores de truncamiento Método Explícito

12. t a b Método Explícito

13. Resolver el siguiente ejercicio con las condiciones iniciales y de frontera que se dan a continuación: Método Explícito

14. t x a b 0 0,25 0,50 1,00 0,75 Método Explícito

17. Método Explícito

18. Tiempo(h) x 0 0,25 0,5 0,75 1 0 60 20 20 20 60 0,01 100 26,4 20 26,4 100 0,02 100 37,152 22,048 37,152 100 0,03 100 44,791 26,881 44,791 100 0,04 100 50,759 32,612 50,759 100 0,05 100 55,734 38,419 55,734 100 0,06 100 60,046 43,96 60,046 100 0,07 100 63,865 49,108 63,865 100 0,08 100 67,285 53,83 67,285 100 0,09 100 70,367 58,136 70,367 100 0,1 100 73,151 62,05 73,151 100 0,2 100 89,968 85,812 89,968 100 0,4 100 98,599 98,018 98,599 100 0,6 100 99,804 99,723 99,804 100 0,8 100 99,973 99,961 99,973 100 1 100 99,996 99,995 99,996 100

22. Para el ejemplo de la barra visto anteriormente, la segunda derivada se aproxima mediante: Tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta ecuación se reemplaza en la EDP original, resulta una ecuación con varias incógnitas que no puede resolverse como en el método explícito. Método Implícito

24. Para el extremo izquierdo de la barra (i=0): Donde es una función que describe cómo cambia la temperatura con el tiempo de la frontera. Sustituyendo en la ecuación de diferencias, se obtiene la ecuación para el primer nodo interior: Método Implícito

25. De manera similar se obtiene la ecuación para el último nodo interior ( i =m): Donde describe los cambios específicos de temperatura en el extremo derecho de la barra. ( i =m+1) Cuando se escriben las ecuaciones de diferencias para todos los nodos, se obtiene el sistema de ecuaciones a resolver. El método tiene la ventaja de que el sistema es tridiagonal. Método Implícito

26. Aunque este método es estable y convergente, presenta una deficiencia: la aproximación en diferencias temporal tiene una exactitud de primer orden; y la aproximación en diferencias espacial tiene una exactitud de segundo orden. Además, hay un límite de exactitud para el uso de pasos de tiempo grandes. El método de Richardson tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo, pero presenta serios problemas de estabilidad. El método conocido como Crank- Nicholson o frece un esquema implícito que tiene una exactitud de segundo orden para el espacio y para el tiempo y es incondicionamente estable. Método Implícito

27. Resuelva: Condiciones Iniciales: Condiciones de Frontera 1: Condiciones de Frontera 2: Método Implícito

28. Solucion: Se construye la malla con n=4 y m=100, con lo que a=0,25 y b=0,01. Si (i,j)=(1,1), entonces: La temperatura en los nodos (0,1) y (1,0) está dada por las condiciones frontera e inicial, respectivamente, pero se desconoce la temperatura en los nodos (1,1) y (2,1). Entonces se tiene una ecuación con dos incógnitas que rearreglada queda: Método Implícito

29. El procedimiento se repite en el nodo (2,1) y la ecuación diferencial parcial queda aproximada por: En esta ecuación hay tres incógnitas , y ; así pues, al rearreglarla queda Análogamente para el nodo (3,1), la ecuación diferencial parcial (EDP) queda aproximada por: En esta ecuación sólo hay dos incógnitas, que son y : así pues, al rearreglarla resulta: Método Implícito

30. Se tiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en las incógnitas , , que son precisamente las temperaturas que se quieren conocer. Esto es: Con la sustitución de valores: Y resolviendo la matriz: Método Implícito

31. Ahora, mediante los mismos procedimientos que los descritos, se procede: Al sustituir los valores conocidos: Y al resolver, se tiene: Que son las temperaturas correspondientes a t=0.02 h y a x=0.25, x=0.5, y x=0.75 pies, respectivamente. Método Implícito

32. Al aproximar la EDP por diferencias divididas en la fila j+1, se obtiene el siguiente sistema: Hay que observar que en todos los casos por resolver, se tiene la misma matriz coeficiente, que es tridiagonal y simétrica. Todo el sistema se soluciona estableciendo y resolviendo secuencialmente los sistemas de tres ecuaciones simultaneas para cada fila a partir de la segunda. Método Implícito

33. t(horas) x (pies) 0 0,25 0,5 0,75 1 0 60 20 20 20 60 0,01 100 29,99 22,43 29,99 100 0,02 100 38,02 26,2 38,02 100 0,03 100 44,64 30,67 44,64 100 0,04 100 50,23 35,41 50,23 100 0,05 100 55,04 40,17 55,04 100 0,06 100 59,25 44,8 59,25 100 0,07 100 62,97 49,2 62,97 100 0,08 100 66,29 53,35 66,29 100 0,09 100 69,28 57,21 69,28 100 0,1 100 71,97 60,79 71,97 100 : : : : : : 0,2 100 88,62 83,91 88,62 100 0,4 100 98,1 97,32 98,1 100 0,6 100 99,68 99,55 99,68 100 0,8 100 99,95 99,93 99,95 100 1 100 99,99 99,99 99,99 100

36. Se desarrollan aproximaciones por diferencias en el punto medio del incremento del tiempo. Así, la primera derivada temporal, para el caso de la barra, se aproxima en t l+1/2 por: Método de Crank - Nicholson

37. La segunda derivada en el espacio puede determinarse en el punto medio promediando las aproximaciones por diferencias al principio (tl) y al final (tl+1) del incremento del tiempo: Método de Crank - Nicholson

38. Sustituyendo y reagrupando: Se determinan las condiciones de frontera para obtener versiones de la ecuación de diferencias para los nodos interiores primero y último. Para el primer nodo: Para el último nodo: Método de Crank - Nicholson

39. Dada una función u que depende tanto de x como de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto (x,y) esta definida como: De manera similar la derivada parcial con respecto a y esta definida como: Método de Crank - Nicholson

40. Se dice que una EDP es lineal en la función desconocida y en todas sus derivadas con coeficientes que dependen solo de las variables independientes. Por ejemplo: Para ecuaciones diferenciales de 2 orden con dos variables independientes se tiene: Método de Crank - Nicholson

41. Donde A,B y C son funciones de “x” y “y” y D es una función de: Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segunda derivada de la segunda derivada(A, B y C), la ecuación puede clasificarse en tres categorías como la muestra la siguiente tabla: Método de Crank - Nicholson

42. Este método es uno de los mas importantes por su estabilidad y alto orden de convergencia. 0,2 0,1 0,0 1,2 1,1 1,0 2,2 2,1 2,0 3,2 3,1 3,0 4,2 4,1 4,0 t X Fig. 1 Nodos usados en el Método de Crank-Nicholson Método de Crank - Nicholson

43. Al aproximar en el nodo con diferencias hacia adelante y de con diferencias centrales, se obtiene: Método de Crank - Nicholson

44. Al aproximar en el nodo con diferencias hacia atrás y a con diferencias centrales, se obtiene: Método de Crank - Nicholson

45. Método de Crank - Nicholson ALGORITMO DE CRANK-NICHOLSON

50. Método de Crank - Nicholson Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, con las condiciones de frontera, se realiza el mismo procedimiento, pero aplicado en los nodos (1,1), (1,2); (2,1), (2,2) y (3,1), (3,2).

51. Método de Crank - Nicholson

52. Método de Crank - Nicholson

53. EJEMPLO CATEGORIA <0 0 >0 ELIPTICA PARABOLICA HIPERBOLICA ECUACION DE LAPLACE ECUACION DE CONDUCCION DE CALOR ECUACION DE ONDA Método de Crank - Nicholson

54. COMPARACIÓN DE LOS MÉTODOS Explícito Implícito Crank-Nicolson Solución directa Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones Condicionalmente estable Incondicionalmente estable Incondicionalmente estable Segundo orden en espacio O(∆x 2 ) y primer orden en tiempo O(∆t) Segundo orden en espacio O(∆x 2 ) y primer orden en tiempo O(∆t) Segundo orden en espacio y en tiempo O(∆x 2 +∆t 2 )

55. [1] Douglas Wilhelm Harder, M.Math. Numerical Methods and Analysis for Engineers. University of Waterloo. Department of Electrical and Computer Engineering. http://www.ece.uwaterloo.ca/~ece204/TheBook/ [2] Chapra and Canale. Métodos numéricos para ingenieros. 4ª ed. Mc Graw Hill,2002 [3] Jeffery Cooper . Mathematics Department. The University of Maryland. http://www.math.umd.edu/~jec/ [4] Scientific Educational Matlab Database. Universidad de Stutgart. http://matlabdb.mathematik.uni-stuttgart.de/index.jsp BIBLIOGRAFIA