ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

MÉTODOS NUMÉRICOS MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA HERNAN FULA DANIEL RODRIGUEZ UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER BUCARAMANGA, AGOSTO DE 2010

Resolución de ecuaciones diferenciales de la forma Forma general del método para resolver cualquier ecuación como la anterior: Lapendiente estimada se usa para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor , en una distancia h. INTRODUCCIÓN

METODO DE EULER La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi donde f(x¡, y¡) es la ecuación diferencial evaluada en xi y yi. Tal estimación podrá sustituirse en la ecuación (1): (2)

METODO DE EULER Esta fórmula es conocida como el método de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) que habrá de extrapolarse en forma lineal sobre el tamaño de paso h.

Use el método de Euler para integrar numéricamente la ecuación : Desde x = O hasta x = 4 con un tamaño de paso 0.5. La condición inicial en x = O es y = 1. La solución exacta la da la ecuación: EJEMPLO DE EULER

Solucion Se puede usar la ecuación (2) para implementar el método de Euler: y(0.5) = y(0) + f(O, 1)0.5 donde y (0) = 1 y la pendiente estimada en x = 0 es f(O, 1) = - 2 ( 0 ) 3 + 12(0)2 - 20(0) + 8.5 = 8.5 Por tanto: y (0.5) = 1.0 + 8.5(0.5) = 5.25 La solución real en x = 0.5 es y2= -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - 10(0.5)2 + 8.5(0.5) + 1 y2 = 3.21875

Error Así, el error total es:

MÉTODO DEL PUNTO MEDIO Otra modificacion de metodo es el método del punto medio (o del polígono mejorado o el modificado de Euler), esta técnica usa el método de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo: Después, este valor predicho se usa para calcular una pendiente en el punto medio:

MÉTODO DEL PUNTO MEDIO El cual se toma para representar una aproximación válida de la pendiente promedio para todo el intervalo. Dicha pendiente es usada después para extrapolar linealmente desde x¡ hasta x¡+ 1. (1)

EJEMPLO Use el método de punto medio para integrar numéricamente la ecuación desde x = 0 hasta x = 4 usando un tamaño de 0.5. La condición inicial en x=0 es y = 1.

SOLUCIÓN Calcular: Sin embargo, como la EDO es una función sólo de x, tal resultado carece de relevancia sobre el segundo paso Calcular:

SOLUCIÓN La pendiente en el punto medio puede entonces sustituirse en la ecuación (1) para predecir: Y(0.5) = 1 + 4.21875(0.5) = 3.109375 Error:

MEJORAS DEL MÉTODO DE EULER MÉTODO DE HEUN

MEJORAS DEL METODO DE EULER Un método para mejorar la estimación de la pendiente involucra la determinación de dos derivadas para el intervalo (una en el punto inicial y otra en el final). Las dos derivadas se promedian después con el fin de obtener una estimación mejorada de la pendiente para todo el intervalo. Predictor Corrector Corrección del método de Heun al usar dos derivadas.

En el método de Euler la pendiente al inicio de un intervalo es: La cual se usa para extrapolar linealmente a es una predicción intermedia, por esto se denota con el superíndice 0: Predictor. Para estimación de la pendiente al final del intervalo: MEJORAS DEL METODO DE EULER

MEJORAS DEL METODO DE EULER Las dos pendientes calculadas, al inicio y final del intervalo se pueden combinar para obtener una pendiente promedio para el intervalo: Esta pendiente promedio se utiliza para extrapolar linealmente de hasta usando el método de Euler, que se conoce ahora como Ecuación Corrector: La ecuación Corrector, posee en ambos lados del signo igual a , por lo que se puede aplicar de forma iterativa ella misma, varias veces en cada intervalo. De esta manera en cada intervalo se podrá mejorar repetidamente una estimación de .

MEJORAS DEL MÉTODO DE EULER ESTIMACION DEL ERROR Debería entenderse que este proceso iterativo no necesariamente converge sobre la respuesta verdadera sino que lo hará sobre una estimada con un error de truncamiento finito:

EJEMPLO DEL MÉTODO DE HEUN Use el método de Heun para integrar numéricamente la siguiente ecuación diferencial: Desde x=0 hasta x=4, con un tamaño de paso h=1. Con la condición inicial de que cuando x=0 entonces y=2. Tabular los resultados de la solución real, Heun para una iteración y para quince iteraciones en cada intervalo y el error relativo porcentual.

SOLUCIÓN Con los valores iniciales = se halla la pendiente en ese punto: Ahora, utilizando el predictor: En donde, Para mejorar el estimado para usamos el valor de para predecir la pendiente al final del intervalo:

El resultado anterior debe combinarse con la pendiente inicial para obtener una pendiente promedio sobre el intervalo desde x=0 hasta 1: Este resultado puede ser sustituido en el corrector para dar la predicción en x=1: Ahora el estimado podrá usarse para refinar o corregir la predicción de yi al sustituir el nuevo resultado en: EJEMPLO DEL MÉTODO DE HEUN

METODOS DE RUNGE-KUTTA Este logra la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor sin requerir el cálculo de derivadas superiores. Forma general de los métodos RK. Donde función Incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa sobre el intervalo. Y así:

Las k son relaciones de recurrencia. Esto es, k1 aparece en la ecuación para k2, la cual aparece en la ecuación para k3, etc. Es posible concebir varios tipo de métodos Runge-Kutta al emplear diferentes números de términos en la función incremento dados por n. Método Runge Kutta de Primer Orden (n=1) == Método de Euler. Al elegir n, se evalúa a, p y q. Esta también representa el orden de la aproximación. METODOS DE RUNGE-KUTTA

Runge-Kutta de Segundo Orden De la ecuación de incremento, que proviene de la serie de Taylor y que logra exactitud en el procedimiento es: Entonces: Para 2 Orden donde

Runge Kutta de Segundo Orden Los valores de a1, a2, p2 y q11 se hallan de manera general así: Este sistema de ecuaciones se puede desarrollar solamente al suponer un valor cualquiera para alguna variable. Se desarrollaron diversos métodos, y los más utilizados son:

METODO DE HEUN: Supone que el valor de es Y desarrollando las ecuaciones con este valor da: Quedando la ecuación: Donde: Runge Kutta de Segundo Orden

METODO DE RALSTON: Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978). Con este valor, se obtiene un limite mínimo sobre el error de truncamiento para los algoritmos de RK de 2 Orden. Así: Y la ecuación quedaría: Donde: Runge Kutta de Segundo Orden

MÉTODO DEL PUNTO MEDIO: Se supone que Entonces: Y la ecuación quedaría: Donde: Runge Kutta de Segundo Orden

RUNGE KUTTA DE TERCER ORDEN Para n=3, el desarrollo es similar al de 2 Orden. El resultado es un sistema de 6 ecuaciones con 8 incógnitas. Los valores de las 2 incógnitas se deben especificar. Una versión común que resulta es: Donde: Resultados exactos cuando se trata de ecuaciones diferenciales cubicas y la solución es de 4 Orden.

RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN Es el mas utilizado de RK. También, al igual que el de 2 Orden, tiene un número infinito de versiones. Método RK Clásico de 4 Orden: Donde:

Resolver la siguiente ecuación aplicando el método de Runge-Kutta: Solución: De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h = 0.1. Sustituyendo estos valores en K1, k2,k3,k4 . EJEMPLO DE RUNGE-KUTTA

EJEMPLO DE RUNGE-KUTTA Llevando los valores de kn a: Fórmula para x=0 Con xi=0, Yi=1, entonces Con este valor vuelvo a realizar el procedimiento

Para yi+1=yi=1.0554, x=0.1 EJEMPLO DE RUNGE-KUTTA

EJEMPLO DE RUNGE-KUTTA Continuando de la misma forma, se toman todos los datos desde x=0 hasta x=0.5

Use el método RK clásico de cuarto orden para integrar a) Mediante un tamaño de paso de h=0.5 y una condicion inicial de y=1 , en x=0 . Solucion: EJERCICIO 1

EJERCICIO 2 b) usando h=0.5 con y(0)=2 desde x=0 hasta 0.5.

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