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MECANICA DE FLUIDOS I
Juan Chamorro GonzálezJuan Chamorro González
Departamento de Metalurgia
Universidad de Atacama
PRESIÓN Y MANOMETRÍAPRESIÓN Y MANOMETRÍA
La PresiónLa Presión
El término presión se usa para indicar laEl término presión se usa para indicar la
fuerza normal por unidad de área en un
punto dado que actúa sobre un planopunto dado que actúa sobre un plano
específico dentro de la masa de fluido
de interés.
La presión en un punto
Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña
triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.
La presión en un punto
Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan
sobre la cuña se deben a la presión y al peso.
Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las
direcciones Y y Z son, respectivamente:
ZYXZYX
Y
ZYX
SXSZXYY
δδδδδδ
θδδδδF
a
2
δδδ
ρθsenδδpδδpF
⋅⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅
=⋅⋅⋅−⋅⋅=
∑
∑
Z
ZYXZYX
SXSYXZZ a
2
δδδ
ρ
2
δδδ
γθδδpδδpF ⋅=⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ cos
Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso
específico y la densidad del fluido, respectivamente y aY, aZ son las
aceleraciones.
La presión en un punto
Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la
presión por un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene:
θsenδδθδδ SZSY ⋅=⋅= cos
Por lo que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como:q p
2
δ
aρpp Y
YSY ⋅⋅=−
2
δ
γaρpp
2
ρpp
Z
ZSZ
YSY
⋅+⋅=− )(
Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX,
δY y δZ tienden a cero, se concluye que:
SZSY pPpp ==
La presión en un punto
Es decir:
ZYS ppp ==
Según lo anterior se concluye que:
LEY DE PASCAL : La presión en un punto de unLEY DE PASCAL : La presión en un punto de un
fluido en reposo, o en movimiento, es
independiente de la dirección en tanto no hayap y
esfuerzos cortantes
Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio provista de pequeños
orificios abiertos en varios puntos de su superficie Empujando por medio deorificios abiertos en varios puntos de su superficie. Empujando por medio de
un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se aprecia su salida
a través de los orificios con velocidad uniforme (pequeños chorritos de igual
intensidad), lo que evidencia el principio de Pascal, es decir, que "la presión
j id lí id d d t d i i t t it i lejercida a un líquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual
a todos los puntos del fluido y a las propias paredes del mismo".
Propiedades de la presiónp p
• La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas
direcciones.
• La presión en todos los puntos situados en un mismo plano
horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma.
• En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el
interior, una parte del fluido con la otra contigua el mismo tiene lap g
dirección normal a la superficie de contacto.
• La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre haciaLa fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia
el interior el fluido, es decir, es una compresión, no una tracción.
• La superficie libre de un líquido siempre es horizontal a menos queLa superficie libre de un líquido siempre es horizontal, a menos que
existan fuerzas externas que influyan.
Presión absoluta y manométricay
La presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se
mide se conoce como presión manométrica.
La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como
presión absoluta.
La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión
é i ( ió l i )manométrica (o presión relativa) es:
aatmosféricamanométricabsoluta
ppp +=
La presión atmosféricap
La presión atmosférica se lleva a cabo
con un barómetro de mercurio
(Exp i n i d E n list T i lli(Experiencia de Evangelista Torricelli
en 1644)
vaporaatmosféric
php +=
La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi
ºabsolutos a 68 ºF ) puede ignorarse, por lo que:
hp t fé i
= hp aatmosféric
Evangelista Torricelli (1608 -1647)
En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la
existencia de la presión atmosférica principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones aexistencia de la presión atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a
distinta altura. La unidad de presión torr (presión ejercida por una columna de un milímetro de mercurio, es decir
1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia
fundamental en hidráulica.
La presión manométrica
La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica
local.local.
Una presión manométrica de cero corresponde a una presión que es
i l l ió fé i l l
p p p q
igual a la presión atmosférica local.
Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tuboLos dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tubo
en U y de Bourdon)
El manómetro de tubo en U
U té i l di l ió h d l dUna técnica normal para medir la presión hace uso de columnas de
líquido en tubos verticales o inclinados.
Medida de la presión arterial:
Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos para
determinar la presión arterial.p
Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y
que se infla hasta ejercer una presión superior a la presiónque se infla hasta ejercer una presión superior a la presión
arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente.
El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm-Hg:El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm Hg:
la presión más alta o sistólica y la presión más baja o
diastólica.
El manómetro de Bourdon
Un dispositivo para medir presión que se utiliza
ampliamente es el medidor de presión de tubo de Bourdon.p p
Transductores de presión
Di iti i t l ió lid lé t iDispositivo que convierte la presión en una salida eléctrica.
Por ejemplo: cuando se requiere controlar continuamente
ó l
j p q
una presión que cambia con el tiempo.
Algunos conceptos básicos
• Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Es decir, una
presión absoluta siempre será positiva.
• Una presión manométrica que esté por encima de la presión
atmosférica es positiva.
• Una presión manométrica que esté por debajo de la presión
atmosférica es negativa (presión de vacío).g p
• La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con
las condiciones climatológicas.las condiciones climatológicas.
• A nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.325
pascales (absoluta) = 14 69 psi (absoluta)pascales (absoluta) = 14,69 psi (absoluta).
Presión absoluta y manométricay
La presión p se define como la fuerza F que se ejercep p f f q j
sobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a
partir de:
F
A
F
p =
A
E l l ( / 2)En el Sistema S.I. se expresa en pascales (= N/m2) ,
mientras que en el Sistema Inglés se expresa en lb/pulg2
= psi (del inglés: pound per square inches)p ( g p u p qu )
Variación de la presión en un fluido en reposo
Superficie del fluidoSuperficie del fluido
0F∑ 0=F∑ H
Variación de la presión en un fluido en reposo
Superficie del fluido
F2 = p2A A
z2
2 p2
(p1+dp) = p2
dz, dpw
z1p1
F1 = p1A Peso esp. fluido = γ
0=w-F-F=F 21∑
0=dz×A×γ-A×dp)+(p-A×p
0wFFF 21v
∑
dzγ=dp
0=dz×A×γ-A×dp)+(p-A×p 11
dzγ-=dp
Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar paraEcuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para
determinar la forma en que la presión cambia con la elevación).
La presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamientop y q p
ascendente en un fluido en reposo.
Para líquidos y gases en reposo, el gradiente de presión en la direccióny p p
vertical en cualquier punto del fluido depende sólo del peso específico
del fluido en dicho punto.
Fluido Incompresible
Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad,
inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se
trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es
t t P l l ió t i d i tconstante. Por lo que la ecuación anterior puede integrarse como:
∫∫
22 Z
Z
p
p
dZγ-dp =
11 Zp
)( 1212 ZZγpp −⋅−=−
)( 1221 ZZγpp −⋅+=
hhγpp 21 ⋅+=
En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente conEn un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con
la profundidad.
Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma
presión si:
1) El fluido se encuentra en reposo
2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel
3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa
contínua de fluido.
La diferencia de presión entre dos puntos puedef p p p
especificarse mediante la distancia h, es decir:
pp
γ
pp
h 21 −
=
En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y
i l l d b di lse interpreta como la altura que debe medir una columna
de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia
de presión p1-p2.p p1 p2
Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar
en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ= 62,4en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ 62,4
lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)
La paradoja de Pascal
Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es
conveniente usar como plano de referencia) La presión de referencia pconveniente usar como plano de referencia). La presión de referencia po
corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele
ser la presión atmosférica).
El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del
tipo de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se
encuentra el fluido.
La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B
La paradoja de Pascal
El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se
aplica en prensas hidráulicas en controles hidráulicos de aviones y enaplica en prensas hidráulicas, en controles hidráulicos de aviones y en
ciertos tipos de maquinaria pesada.
El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para
éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo que resulta F2=(A2/A1)F1.
Fluidos Compresibles
Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno,
nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa
con cambios de presión y de temperaturacon cambios de presión y de temperatura.
Los pesos específicos de gases comunes son pequeños enL p p f g mu p qu
comparación con los de los líquidos. Por ejemplo, a nivel del
mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763
lb/pie3 mientras que el del agua en las mismas condicioneslb/pie3 mientras que el del agua, en las mismas condiciones,
es de 62,4 lb/pie3.
El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño
por lo que es posible ignorar el efecto de los cambios de
elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitoselevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos,
balones de gas, tuberías, etc.
Fluidos Compresibles
En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de
pies, es necesario considerar el peso específico del gas.
La ecuación de estado de los gases ideales establece que:
TRnVp ⋅⋅=⋅
TR
m
Vp
p
⋅⋅=⋅
Rm
TR
PM
Vp ⋅⋅=⋅
T
PM
R
V
m
p ⋅⋅=
TRρp ⋅⋅= ∗
La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede
combinarse con la ecuación anterior:
TR
pg
γ
dZ
dp
⋅
⋅
−=−= *
Al separar variables se tiene:
⋅
−=
dZgdp
∫∫ ⎟
⎞
⎜
⎛
⋅
=
22 Zp
dZgpdp
TRp *
∫∫ −=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
11 Z1
2
p
T
dZ
R
g
p
p
p
dp
*
ln
Si la temperatura se considera constante T = T0 (condicionesp 0 (
isotérmicas) se concluye que:
⎥
⎤
⎢
⎡ −⋅
−⋅= 12
12
ZZg
pp
)(
exp ⎥
⎦
⎢
⎣ ⋅ 0
12
TR
pp *
exp
Manometría
Piezómetro
Consiste en un tubo vertical, abierto en la
parte superior, conectado al recipiente en
que se desea medir la presión.
Como A y 1 están al mismo nivel, PA= P1
Por lo que:
PA= γ h1
Se utiliza solo si la presión en el recipiente es mayor
que la presión atmosférica (en caso contrario aspiraría
aire). La presión a medir debe ser relativamente
pequeña (de modo que la altura de la columna de fluidopequeña (de modo que la altura de la columna de fluido
sea razonable). Se aplica solo a los líquidos.
Manómetro simple de tubo en U
El fluido del manómetro se llama
fluido manométrico (puede ser
Hg CCl4 aceite agua etc )Hg, CCl4, aceite, agua, etc.)
En la configuración mostrada se
cumple que: pA = p1 y p2 = p3.
Además, p2 = p1 + γA h1 y
p3 = p0 +γmanómetro h2
Es decir:
pA = γmanómetro h2 – γ1 h1
Manómetro simple de tubo en U
La ventaja del tubo en U es que el
fluido manométrico puede ser
distinto al fluido que se quiere
medir.med r.
Se aplica en líquidos y en gases.
Si el fluido en A fuera un gas, se
tiene que pA = p2, por lo que:
pA = γmanómetro h2
Si la presión en A es grande, se debe
usar un fluido manométrico pesadousar un fluido manométrico pesado
(por ejemplo Hg) para tener una
columna de fuido no demasiado
grande.
Si la presión en A es pequeña, se debep p q
usar un líquido manométrico más
ligero, para tener una columna de
fluido que se pueda leer.
Manómetro diferencial de tubo en U
Se usa para medir la diferencia de
presión que hay entre dos
recipientes o dos puntos de un
sistema dado.s stema dado.
Dos líquidos manométricos comunes
son agua y mercurio. Ambos poseen
un m nisc bi n d finidun menisco bien definido y
propiedades bien conocidas.
El fluido manométrico debe serEl fluido manométrico debe ser
inmiscible con los demás fluidos con
los que esté en contacto.
Para obtener mediciones exactas es
necesario medir la temperatura, ya
que los diversos pesos específicos
de los fluidos manométrica varían
con ella.
Manómetro de tubo inclinado
Manómetro de tubo inclinado
Se usa para medir pequeños cambios de presiónSe usa para medir pequeños cambios de presión.
Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial
l2 se mide a lo largo del tubo inclinado
La diferencia de presión entre los puntos A y B está dada por:
hγhγ+θsenlγ=pp
Para ángulos relativamente pequeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo
inclinado se puede hacer grande incluso para pequeñas diferencias de presión.
113322BA hγhγ+θsenlγ=pp --
El manómetro de tubo inclinado se usa para medir pequeñas diferencias de
presión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces:
pp
pA – pB = γ2 l2 senθ Es decir :
La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se puede incrementar
f t d 1/ θ b l bti ó t d t b
θsenγ
pp
=l
2
BA
2
-
por un factor de 1/senθ sobre la que se obtiene con un manómetro de tubo en
U convencional.
Medidores de presión de aire
Constan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el
otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el
exterior del extremo sellado por la acción de la presión donde esta regla es graduada y se
observa la medición por lectura directa. Una de las aplicaciones prácticas es la medición de la
presión de aire en los neumáticos y compresores de aire.
EjerciciosEjercicios
Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temperatura media de 10
ºC y una profundidad máxima de 40 m. Para una presión barométrica dey p p
598 mm-Hg, determinar la presión absoluta (en pascales) en la parte más
profunda del lago.
Datos: a 10 ºC γH = 133 kN/m3 y γ = 9 804 kN/m3Datos: a 10 C, γHg = 133 kN/m y γagua = 9,804 kN/m
Respuesta: 472 kPa (absoluta)
Ejercicio 2) Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite
(GEaceite=0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con
mercurio (GE =13 6) Para las alturas de columna h =36 pulgadas h = 6mercurio (GEHg=13,6). Para las alturas de columna h1=36 pulgadas, h2 = 6
pulgadas y h3 = 9 pulgadas, determine la lectura de presión en el manómetro
(en psi).
Datos: γagua,4ºC = 62,4 libras/pie3
Respuesta: pmanométrica = 3,06 psi
Ejercicio 3) Un depósito se construye con una serie de cilindros que
ti n n diám t s d 0 30 0 25 0 15 m El d pósit nti n ittienen diámetros de 0.30 , 0.25 y 0.15 m. El depósito contiene aceite, agua y
glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la
lectura h del manómetro.
Respuesta: 0 0327 mRespuesta: 0,0327 m
Ejercicio 4) El caudal que pasa por una tubería se puede determinar por
medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de presión,p ,
pA-pB, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la
ecuación Q = K √(pA-pB), donde k es una constante que depende de la tubería y
del tamaño de la tobera.
(a) Determinar una ecuación para p p en términos de los pesos específicos(a) Determinar una ecuación para pA-pB, en términos de los pesos específicos
del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas.
(b) Para γ1 = 9,80 kN/m3, γ2=15,6 kN/m3, h1= 1,0 m y h2= 0,5 m. ¿cuál es el
valor de la caída de presión pA-pB ?
Respuest :Respuesta:
(a) pA-pB = h2(γ2-γ1)
(b) 2,90 kPa
Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un depósito
d i i E l d d l ó lcerrado que contiene aire y agua. En el extremo cerrado del manómetro la
presión de aire es de 16 psia. Determinar la lectura en el indicador de presión
para una lecura diferencial de 4 pies en el manómetro. Expresar la respuesta
en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de lasen psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las
columnas de aire en el manómetro.
Respuesta: 4,68 psig
Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión
en el tubo A es de 0 8 psi El fluido en ambos tubos A y B es agua y el fluidoen el tubo A es de 0,8 psi. El fluido en ambos tubos A y B es agua, y el fluido
en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. ¿Cuál es la presión
en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra?
Respuesta: 0,424 psip p
Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de presión en un gas suelen medirse con un
micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este dispositivo consta de dos
grandes depósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal Ar, que
están llenos de un líquido de peso específico γ1 y conectados por un tubo en U de área de
sección transversal At, que contiene un líquido de peso específico γ2. Cuando al gas se le
aplica una diferencia de presión p1 – p2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea
que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de poder leerla fácilmente) para
pequeñas diferencias de presión. Determinar la relación que hay entre h y p1 – p2 cuando
la razón de áreas At/Ar es pequeña, y demostrar que la lectura diferencial h se puede
ampliar haciendo pequeña la diferencia de pesos específicos γ2 – γ1. Suponer que
inicialmente (con p1 = p2) los niveles del fluido en ambos depósitos son iguales.
Respuesta: 21
γγ
pp
h
−
=
12 γγ −
Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A1/A2 de las dos ramas del
manómetro si con un cambio de presión de 0 5 psi en el tubo B se obtiene unmanómetro si con un cambio de presión de 0,5 psi en el tubo B se obtiene un
cambio correspondiente de 1 pulgada en el nivel del mercurio en la rama
derecha. La presión en el tubo A no cambia.
Respuesta: 11,7
Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama
inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12
kPa y la presión en el tubo B permanece sin cambio. La densidad del fluido en
el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua.
Respuesta: 0,244 m
Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra enEjercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en
la figura si la presión en A es de 2 psi mayor que en B.
ºRespuesta: 34,2 º
Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa para medir la diferencia
de presión en las dos tuberías mostradas en la figura. Por A fluye aceitep m f g f y
combustible (peso específico = 53,0 lb/pie3), y por B fluye aceite lubricante
SAE 30 (peso específico = 57,0 lb/pie3). Una bolsa de aire queda atrapada en
el aceite lubricante, como se indica. Determine la presión en el tubo B si la
presión en A es de 15 3 psi (γ = 847 lb/pie3)presión en A es de 15,3 psi. (γHg = 847 lb/pie3)
Respuesta: 18,2 psi
Niels Henrik David Bohr (1885-1962)
Premio Nobel de Física de 1922
Ejercicio 12) La presión arterial comúnmente se expresa como la relación
de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica)de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica).
Por ejemplo, un valor representativo de ésta relación para un ser humano es de
120/70 mm-Hg. ¿No sería más simple y más barato usar un manómetro de agua
en vez de uno de mercurio?. Explique su respuesta apoyándose en los cálculos
necesarios.
Respuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy
grande 1 63 m (manómetro impráctico)grande, 1.63 m. (manómetro impráctico)
Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura
diferencial de 0,30 m cuando la presión de vacío en el tubo A es de 25 mm-Hg.
l ó lDetermine la presión en el tubo B.
γHg= 133 kN/m3 , γaceite= 8,95 kN/m3, γagua= 9,80 kN/m3
Respuesta: 33,4 kPap
Ejercicio 13) Obtener una expresión para la variación de presión en un
líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad h según lalíquido en que el peso específico aumenta con la profundidad, h, según la
relación γ = kh + γ0, donde k es una constante y γ0 es el peso específico en la
superficie libre.
Respuesta: hγ
2
hk
p 0
2
⋅+
⋅
=

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  • 1. MECANICA DE FLUIDOS I Juan Chamorro GonzálezJuan Chamorro González Departamento de Metalurgia Universidad de Atacama
  • 3. La PresiónLa Presión El término presión se usa para indicar laEl término presión se usa para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado que actúa sobre un planopunto dado que actúa sobre un plano específico dentro de la masa de fluido de interés.
  • 4. La presión en un punto Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.
  • 5. La presión en un punto Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las direcciones Y y Z son, respectivamente: ZYXZYX Y ZYX SXSZXYY δδδδδδ θδδδδF a 2 δδδ ρθsenδδpδδpF ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ =⋅⋅⋅−⋅⋅= ∑ ∑ Z ZYXZYX SXSYXZZ a 2 δδδ ρ 2 δδδ γθδδpδδpF ⋅=⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=∑ cos Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso específico y la densidad del fluido, respectivamente y aY, aZ son las aceleraciones.
  • 6. La presión en un punto Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la presión por un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene: θsenδδθδδ SZSY ⋅=⋅= cos Por lo que las ecuaciones de movimiento se pueden escribir como:q p 2 δ aρpp Y YSY ⋅⋅=− 2 δ γaρpp 2 ρpp Z ZSZ YSY ⋅+⋅=− )( Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX, δY y δZ tienden a cero, se concluye que: SZSY pPpp ==
  • 7. La presión en un punto Es decir: ZYS ppp == Según lo anterior se concluye que: LEY DE PASCAL : La presión en un punto de unLEY DE PASCAL : La presión en un punto de un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la dirección en tanto no hayap y esfuerzos cortantes
  • 8. Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio provista de pequeños orificios abiertos en varios puntos de su superficie Empujando por medio deorificios abiertos en varios puntos de su superficie. Empujando por medio de un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se aprecia su salida a través de los orificios con velocidad uniforme (pequeños chorritos de igual intensidad), lo que evidencia el principio de Pascal, es decir, que "la presión j id lí id d d t d i i t t it i lejercida a un líquido encerrado dentro de un recipiente se transmite por igual a todos los puntos del fluido y a las propias paredes del mismo".
  • 9. Propiedades de la presiónp p • La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones. • La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma. • En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior, una parte del fluido con la otra contigua el mismo tiene lap g dirección normal a la superficie de contacto. • La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre haciaLa fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior el fluido, es decir, es una compresión, no una tracción. • La superficie libre de un líquido siempre es horizontal a menos queLa superficie libre de un líquido siempre es horizontal, a menos que existan fuerzas externas que influyan.
  • 10. Presión absoluta y manométricay La presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión manométrica. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión absoluta. La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión é i ( ió l i )manométrica (o presión relativa) es: aatmosféricamanométricabsoluta ppp +=
  • 11. La presión atmosféricap La presión atmosférica se lleva a cabo con un barómetro de mercurio (Exp i n i d E n list T i lli(Experiencia de Evangelista Torricelli en 1644) vaporaatmosféric php += La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi ºabsolutos a 68 ºF ) puede ignorarse, por lo que: hp t fé i = hp aatmosféric
  • 12. Evangelista Torricelli (1608 -1647) En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la existencia de la presión atmosférica principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones aexistencia de la presión atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a distinta altura. La unidad de presión torr (presión ejercida por una columna de un milímetro de mercurio, es decir 1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica.
  • 13. La presión manométrica La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica local.local. Una presión manométrica de cero corresponde a una presión que es i l l ió fé i l l p p p q igual a la presión atmosférica local. Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tuboLos dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tubo en U y de Bourdon)
  • 14. El manómetro de tubo en U U té i l di l ió h d l dUna técnica normal para medir la presión hace uso de columnas de líquido en tubos verticales o inclinados. Medida de la presión arterial: Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos para determinar la presión arterial.p Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y que se infla hasta ejercer una presión superior a la presiónque se infla hasta ejercer una presión superior a la presión arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente. El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm-Hg:El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm Hg: la presión más alta o sistólica y la presión más baja o diastólica.
  • 15. El manómetro de Bourdon Un dispositivo para medir presión que se utiliza ampliamente es el medidor de presión de tubo de Bourdon.p p
  • 16.
  • 17. Transductores de presión Di iti i t l ió lid lé t iDispositivo que convierte la presión en una salida eléctrica. Por ejemplo: cuando se requiere controlar continuamente ó l j p q una presión que cambia con el tiempo.
  • 18.
  • 19. Algunos conceptos básicos • Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Es decir, una presión absoluta siempre será positiva. • Una presión manométrica que esté por encima de la presión atmosférica es positiva. • Una presión manométrica que esté por debajo de la presión atmosférica es negativa (presión de vacío).g p • La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con las condiciones climatológicas.las condiciones climatológicas. • A nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.325 pascales (absoluta) = 14 69 psi (absoluta)pascales (absoluta) = 14,69 psi (absoluta).
  • 20. Presión absoluta y manométricay La presión p se define como la fuerza F que se ejercep p f f q j sobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a partir de: F A F p = A E l l ( / 2)En el Sistema S.I. se expresa en pascales (= N/m2) , mientras que en el Sistema Inglés se expresa en lb/pulg2 = psi (del inglés: pound per square inches)p ( g p u p qu )
  • 21. Variación de la presión en un fluido en reposo Superficie del fluidoSuperficie del fluido 0F∑ 0=F∑ H
  • 22. Variación de la presión en un fluido en reposo Superficie del fluido F2 = p2A A z2 2 p2 (p1+dp) = p2 dz, dpw z1p1 F1 = p1A Peso esp. fluido = γ
  • 23. 0=w-F-F=F 21∑ 0=dz×A×γ-A×dp)+(p-A×p 0wFFF 21v ∑ dzγ=dp 0=dz×A×γ-A×dp)+(p-A×p 11 dzγ-=dp Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar paraEcuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para determinar la forma en que la presión cambia con la elevación). La presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamientop y q p ascendente en un fluido en reposo. Para líquidos y gases en reposo, el gradiente de presión en la direccióny p p vertical en cualquier punto del fluido depende sólo del peso específico del fluido en dicho punto.
  • 24. Fluido Incompresible Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad, inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es t t P l l ió t i d i tconstante. Por lo que la ecuación anterior puede integrarse como: ∫∫ 22 Z Z p p dZγ-dp = 11 Zp )( 1212 ZZγpp −⋅−=− )( 1221 ZZγpp −⋅+= hhγpp 21 ⋅+= En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente conEn un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con la profundidad.
  • 25. Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma presión si: 1) El fluido se encuentra en reposo 2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel 3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa contínua de fluido.
  • 26. La diferencia de presión entre dos puntos puedef p p p especificarse mediante la distancia h, es decir: pp γ pp h 21 − = En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y i l l d b di lse interpreta como la altura que debe medir una columna de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia de presión p1-p2.p p1 p2 Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ= 62,4en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ 62,4 lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)
  • 27. La paradoja de Pascal Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es conveniente usar como plano de referencia) La presión de referencia pconveniente usar como plano de referencia). La presión de referencia po corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele ser la presión atmosférica). El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del tipo de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se encuentra el fluido. La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B
  • 28. La paradoja de Pascal
  • 29.
  • 30. El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se aplica en prensas hidráulicas en controles hidráulicos de aviones y enaplica en prensas hidráulicas, en controles hidráulicos de aviones y en ciertos tipos de maquinaria pesada. El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo que resulta F2=(A2/A1)F1.
  • 31.
  • 32. Fluidos Compresibles Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno, nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa con cambios de presión y de temperaturacon cambios de presión y de temperatura. Los pesos específicos de gases comunes son pequeños enL p p f g mu p qu comparación con los de los líquidos. Por ejemplo, a nivel del mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763 lb/pie3 mientras que el del agua en las mismas condicioneslb/pie3 mientras que el del agua, en las mismas condiciones, es de 62,4 lb/pie3. El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño por lo que es posible ignorar el efecto de los cambios de elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitoselevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos, balones de gas, tuberías, etc.
  • 33. Fluidos Compresibles En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de pies, es necesario considerar el peso específico del gas. La ecuación de estado de los gases ideales establece que: TRnVp ⋅⋅=⋅ TR m Vp p ⋅⋅=⋅ Rm TR PM Vp ⋅⋅=⋅ T PM R V m p ⋅⋅= TRρp ⋅⋅= ∗
  • 34. La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede combinarse con la ecuación anterior: TR pg γ dZ dp ⋅ ⋅ −=−= * Al separar variables se tiene: ⋅ −= dZgdp ∫∫ ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⋅ = 22 Zp dZgpdp TRp * ∫∫ −=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 11 Z1 2 p T dZ R g p p p dp * ln Si la temperatura se considera constante T = T0 (condicionesp 0 ( isotérmicas) se concluye que: ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ −⋅ −⋅= 12 12 ZZg pp )( exp ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⋅ 0 12 TR pp * exp
  • 35. Manometría Piezómetro Consiste en un tubo vertical, abierto en la parte superior, conectado al recipiente en que se desea medir la presión. Como A y 1 están al mismo nivel, PA= P1 Por lo que: PA= γ h1 Se utiliza solo si la presión en el recipiente es mayor que la presión atmosférica (en caso contrario aspiraría aire). La presión a medir debe ser relativamente pequeña (de modo que la altura de la columna de fluidopequeña (de modo que la altura de la columna de fluido sea razonable). Se aplica solo a los líquidos.
  • 36. Manómetro simple de tubo en U El fluido del manómetro se llama fluido manométrico (puede ser Hg CCl4 aceite agua etc )Hg, CCl4, aceite, agua, etc.) En la configuración mostrada se cumple que: pA = p1 y p2 = p3. Además, p2 = p1 + γA h1 y p3 = p0 +γmanómetro h2 Es decir: pA = γmanómetro h2 – γ1 h1
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  • 38. Manómetro simple de tubo en U La ventaja del tubo en U es que el fluido manométrico puede ser distinto al fluido que se quiere medir.med r. Se aplica en líquidos y en gases. Si el fluido en A fuera un gas, se tiene que pA = p2, por lo que: pA = γmanómetro h2 Si la presión en A es grande, se debe usar un fluido manométrico pesadousar un fluido manométrico pesado (por ejemplo Hg) para tener una columna de fuido no demasiado grande. Si la presión en A es pequeña, se debep p q usar un líquido manométrico más ligero, para tener una columna de fluido que se pueda leer.
  • 39. Manómetro diferencial de tubo en U Se usa para medir la diferencia de presión que hay entre dos recipientes o dos puntos de un sistema dado.s stema dado. Dos líquidos manométricos comunes son agua y mercurio. Ambos poseen un m nisc bi n d finidun menisco bien definido y propiedades bien conocidas. El fluido manométrico debe serEl fluido manométrico debe ser inmiscible con los demás fluidos con los que esté en contacto. Para obtener mediciones exactas es necesario medir la temperatura, ya que los diversos pesos específicos de los fluidos manométrica varían con ella.
  • 40. Manómetro de tubo inclinado
  • 41. Manómetro de tubo inclinado Se usa para medir pequeños cambios de presiónSe usa para medir pequeños cambios de presión. Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial l2 se mide a lo largo del tubo inclinado La diferencia de presión entre los puntos A y B está dada por: hγhγ+θsenlγ=pp Para ángulos relativamente pequeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo inclinado se puede hacer grande incluso para pequeñas diferencias de presión. 113322BA hγhγ+θsenlγ=pp -- El manómetro de tubo inclinado se usa para medir pequeñas diferencias de presión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces: pp pA – pB = γ2 l2 senθ Es decir : La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se puede incrementar f t d 1/ θ b l bti ó t d t b θsenγ pp =l 2 BA 2 - por un factor de 1/senθ sobre la que se obtiene con un manómetro de tubo en U convencional.
  • 42. Medidores de presión de aire Constan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el exterior del extremo sellado por la acción de la presión donde esta regla es graduada y se observa la medición por lectura directa. Una de las aplicaciones prácticas es la medición de la presión de aire en los neumáticos y compresores de aire.
  • 44. Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temperatura media de 10 ºC y una profundidad máxima de 40 m. Para una presión barométrica dey p p 598 mm-Hg, determinar la presión absoluta (en pascales) en la parte más profunda del lago. Datos: a 10 ºC γH = 133 kN/m3 y γ = 9 804 kN/m3Datos: a 10 C, γHg = 133 kN/m y γagua = 9,804 kN/m Respuesta: 472 kPa (absoluta)
  • 45. Ejercicio 2) Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite (GEaceite=0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con mercurio (GE =13 6) Para las alturas de columna h =36 pulgadas h = 6mercurio (GEHg=13,6). Para las alturas de columna h1=36 pulgadas, h2 = 6 pulgadas y h3 = 9 pulgadas, determine la lectura de presión en el manómetro (en psi). Datos: γagua,4ºC = 62,4 libras/pie3 Respuesta: pmanométrica = 3,06 psi
  • 46. Ejercicio 3) Un depósito se construye con una serie de cilindros que ti n n diám t s d 0 30 0 25 0 15 m El d pósit nti n ittienen diámetros de 0.30 , 0.25 y 0.15 m. El depósito contiene aceite, agua y glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la lectura h del manómetro. Respuesta: 0 0327 mRespuesta: 0,0327 m
  • 47. Ejercicio 4) El caudal que pasa por una tubería se puede determinar por medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de presión,p , pA-pB, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la ecuación Q = K √(pA-pB), donde k es una constante que depende de la tubería y del tamaño de la tobera. (a) Determinar una ecuación para p p en términos de los pesos específicos(a) Determinar una ecuación para pA-pB, en términos de los pesos específicos del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas. (b) Para γ1 = 9,80 kN/m3, γ2=15,6 kN/m3, h1= 1,0 m y h2= 0,5 m. ¿cuál es el valor de la caída de presión pA-pB ? Respuest :Respuesta: (a) pA-pB = h2(γ2-γ1) (b) 2,90 kPa
  • 48. Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un depósito d i i E l d d l ó lcerrado que contiene aire y agua. En el extremo cerrado del manómetro la presión de aire es de 16 psia. Determinar la lectura en el indicador de presión para una lecura diferencial de 4 pies en el manómetro. Expresar la respuesta en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de lasen psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las columnas de aire en el manómetro. Respuesta: 4,68 psig
  • 49. Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión en el tubo A es de 0 8 psi El fluido en ambos tubos A y B es agua y el fluidoen el tubo A es de 0,8 psi. El fluido en ambos tubos A y B es agua, y el fluido en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. ¿Cuál es la presión en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra? Respuesta: 0,424 psip p
  • 50. Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de presión en un gas suelen medirse con un micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este dispositivo consta de dos grandes depósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal Ar, que están llenos de un líquido de peso específico γ1 y conectados por un tubo en U de área de sección transversal At, que contiene un líquido de peso específico γ2. Cuando al gas se le aplica una diferencia de presión p1 – p2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de poder leerla fácilmente) para pequeñas diferencias de presión. Determinar la relación que hay entre h y p1 – p2 cuando la razón de áreas At/Ar es pequeña, y demostrar que la lectura diferencial h se puede ampliar haciendo pequeña la diferencia de pesos específicos γ2 – γ1. Suponer que inicialmente (con p1 = p2) los niveles del fluido en ambos depósitos son iguales. Respuesta: 21 γγ pp h − = 12 γγ −
  • 51. Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A1/A2 de las dos ramas del manómetro si con un cambio de presión de 0 5 psi en el tubo B se obtiene unmanómetro si con un cambio de presión de 0,5 psi en el tubo B se obtiene un cambio correspondiente de 1 pulgada en el nivel del mercurio en la rama derecha. La presión en el tubo A no cambia. Respuesta: 11,7
  • 52. Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12 kPa y la presión en el tubo B permanece sin cambio. La densidad del fluido en el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua. Respuesta: 0,244 m
  • 53. Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra enEjercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en la figura si la presión en A es de 2 psi mayor que en B. ºRespuesta: 34,2 º
  • 54. Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa para medir la diferencia de presión en las dos tuberías mostradas en la figura. Por A fluye aceitep m f g f y combustible (peso específico = 53,0 lb/pie3), y por B fluye aceite lubricante SAE 30 (peso específico = 57,0 lb/pie3). Una bolsa de aire queda atrapada en el aceite lubricante, como se indica. Determine la presión en el tubo B si la presión en A es de 15 3 psi (γ = 847 lb/pie3)presión en A es de 15,3 psi. (γHg = 847 lb/pie3) Respuesta: 18,2 psi
  • 55. Niels Henrik David Bohr (1885-1962) Premio Nobel de Física de 1922
  • 56. Ejercicio 12) La presión arterial comúnmente se expresa como la relación de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica)de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica). Por ejemplo, un valor representativo de ésta relación para un ser humano es de 120/70 mm-Hg. ¿No sería más simple y más barato usar un manómetro de agua en vez de uno de mercurio?. Explique su respuesta apoyándose en los cálculos necesarios. Respuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy grande 1 63 m (manómetro impráctico)grande, 1.63 m. (manómetro impráctico)
  • 57. Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura diferencial de 0,30 m cuando la presión de vacío en el tubo A es de 25 mm-Hg. l ó lDetermine la presión en el tubo B. γHg= 133 kN/m3 , γaceite= 8,95 kN/m3, γagua= 9,80 kN/m3 Respuesta: 33,4 kPap
  • 58. Ejercicio 13) Obtener una expresión para la variación de presión en un líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad h según lalíquido en que el peso específico aumenta con la profundidad, h, según la relación γ = kh + γ0, donde k es una constante y γ0 es el peso específico en la superficie libre. Respuesta: hγ 2 hk p 0 2 ⋅+ ⋅ =