Presentación de las Expresiones Algebraicas. elaboradas por Alumnas: Kerlys Perdomo CI: 27.585.063 Pastora Rionda CI: 24.557.602 Sección: AD 0301

1. Operaciones
Algebraicas
Alumnas:
Kerlys Perdomo CI: 27.585.063
Pastora Rionda CI: 24.557.602
Sección: AD 0301

2. Expresiones algebraicas
1.1 Valor numérico
1.2 Clasificaciones de las
expresiones algebraicas
Identidades notables
y factorización
3.1 Productos notables
3.2Trinomio cuadrado perfecto
3.3 Diferencia de cuadrados
3.4 Diferencia de cubos
Operaciones con
expresiones algebraicas
2.1 Suma 2.3 Multiplación
2.2 Resta 2.4 División
Radicación
4.1 Denominador con una raíz
4.2 Denominador radical no cuadrático
4.3 Denominador con sumas y diferencias.
01
03
02
04

3. 01 - Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras y
números ligadas por los signos de las operaciones: adición,
sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2πr, donde r es el radio de
la circunferencia.
1.1 - Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir
en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones
indicadas.
Por ejemplo:
L = 2πr donde r = 5 cm
L(5) = 2 π.5 = 10 π cm

4. 1.2 - Clasificación de las expresiones algebraicas
(monomio, binomio, trinomio, polinomio)
Un polinomio es una suma de términos en los cuales cada uno es el producto de
un coeficiente y una o más variables. Todas las variables tienen exponentes
enteros, no negativos, y ninguna variable aparece en el denominador. Es
conveniente recordar que lo enteros no negativos son los números del
conjunto (0,1, 2, 3,...) En el caso de que el exponente de las variables sea
cero, entonces el término se reduce a una constante.
Ejemplos:
Monomios Binomios Trinomios
4 x + 4 x² - 2x + 1
6x x² - 6x 6x² + 3xy – 2y²
⅓xyz³ xy²-y² ½x + 3y + 6x²y²

5. 1. 2.1-Suma : Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes
de los términos del mismo grado.
Ejemplo:
Sumar P(x)= 2x³ + 5x – 3 y Q(x) = 4x – 3x² + 2x³
a) Ordenamos los polinomios en caso de no estarlo y los
completamos
Q(x) = 2x³ – 3x² + 4x
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x – 3) + (2x³ - 3x² + 4x)
b) Agrupamos los monomios del mismo grado
= (2 + 2)x³ - 3x² + (5 + 4)x – 3
c)Sumamos los monomios semejantes
P(x) + Q(x) = 4x ³ - 3x² + 9x - 3
02 - Operaciones con expresiones algebraicas
Ejemplo:
Sumar P(x)= 4x³ + 2x²y – 3xy² y Q(x) = 6x²y + 2xy² - 4x ³
F(x) = x ³ - 7x² + 6xy²
Para efectuar la suma se tiene;
P(x) + Q(x) + F(x) = 4x³ + 2x²y – 3xy²
- 4x³ + 6x²y + 2xy²
x³ - 7x²y + 6xy²
x³ + x²y + 5xy²
P(x) + Q(x) + F(x) = x³ + x²y + 5xy²

6. 2.2 - Resta: Se llama resta o diferencia de dos polinomios, P – Q, a la suma de P con el opuesto de Q. Al
polinomio P se le llama minuendo y al polinomio Q se llama sustraendo.
Ejemplo:
Restar P(x) = 3x^4 – 5x² + 7x, Q(x) = x³ + 2x² - 11x + 3,
se procede así:
Solución:
P(x) – Q(x) = (3x^4 – 5x² + 7x) - (x³ + 2x² - 11x + 3)
= (3x^4 – 5x² + 7x) + (-x³ - 2x² + 11x - 3)
= 3x^4 – 5x² + 7x - x³ - 2x² + 11x – 3
Agrupamos los monomios del mismo grado
= 3x^4 - x³ + (-5-2) x² + (7+11)x – 3
= 3x^4 - x³ - 7x² + 18x – 3
P(x) – Q(x) = 3x^4 - x³ - 7x² + 18x – 3
En forma parecida al caso de la suma, para restar dos
polinomios puede resultar cómodo escribir el
opuesto del sustraendo debajo del minuendo de manera
que los términos semejantes queden en la
misma columna y, a continuación, se reducen los
términos semejantes.
Ejemplo:
Restar P(x) = 4x^4 - 2x³y + 5x²y²,
Q(x) = 8x^4 – 5x³y + 3x²y²
Solución:
Se escribe el sustraendo con los signos cambiados
(para tener su opuesto) debajo del minuendo,
ordenándolos ambos en orden descendente con
respecto a la variable x, y se suma.
Q(x) + ¨(-P(x)) = 8x^4 – 5x³y + 3x²y²
= - 4x^4 + 2x³y - 5x²y²
= 4x^4 – 3 x³y - 2x²y²
Q(x) + ((-P(x)) = 4x^4 – 3 x³y - 2x²y²

7. 2.3 - Producto
Producto de monomios:
Para multiplicar monomios se aplican las reglas
de los signos y las reglas de los exponentes. El
grado del monomio resultante es igual a la suma
de los grados de los monomios que se
multiplican.
Ejemplo:
Multiplicar (4xy) por (6xy³)
Solución:
(4xy). (6xy³) = 4.6.x.x.y.y³
= 24 (x)¹+¹. (y)³+¹
= 24x²y^4
Producto de un monomios por un polinomio:
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se
multiplica cada uno de los términos del polinomio
por el monomio.
Ejemplo:
3x² por (2x³ - 3x² + 4x - 2)
Solución:
= (3x² ).(2x³) – (3x²)(3x²) + (3x²)(4x) – (3x²)(2)
= 6x^5 – 9 x^4 + 12x³ - 6x²
Producto de polinomios:
Para multiplicar dos polinomios, es decir para
obtener su producto, se multiplican, término a
término, cada monomio de uno por cada
monomio del otro y, posteriormente, se
simplifican los términos semejantes.
Ejemplo:
Multiplicar P(x) = 5x + 11 y Q(x) = x ³ + 2x² + 4
Solución:
P(x)Q(x) = (5x + 11 )(x ³ + 2x² + 4 )
= (5x)(x³ + 2x² + 4 ) + (11)(x³ + 2x² + 4 )
= (5x)(x³) + (5x)(2x²) + (5x)(4) + (11)(x³) +
(11)(2x²) + (11)(4)
= 5x^4 +10x³ + 20x + 20x +11x³ + 22x²+ 44
= 5x^4 + (10 + 11) x³ + 20x + 22x² + 44
= 5x^4 + 21 x³ + 22x² + 20x + 44

8. 2.4 - División:
División entre monomios:
A la expresión en que se presenta una división entre
monomios o polinomios se le llama fracción algebraica. Al
término correspondiente al numerador se le conoce como
dividendo, y al del denominador como divisor. El
resultado de la división es el cociente.
En la fracción P/M el dividendo es P, y el divisor es M.
Al obtener P/ M = Q, el cociente es Q.
El grado del monomio resultante es igual a la diferencia
del grado del monomio dividendo menos el grado del
monomio divisor
Ejemplos:
a)
b)
División entre polinomios:
Ejemplos:
a) P(x) = 2x^5 + 2x³ - x – 8 , Q(x) = 3x² - 2x + 1
P(x):Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. El polinomio si no es completo
dejamos huecos en los lugares que corresponda y a la derecha
situamos al divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y el
primer monomio del divisor y multiplicamos cada termino del
polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio
del dividendo.
10x-16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por
tanto no se puede seguir dividiendo, x³+2x²+5x+8 es el cociente

9. 03 - Identidades notables
3.1 - Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del
primer término más, o menos, el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado segundo.
Ejemplo gráfico:
Como resta o diferencia:
(a – b)² = a² - 2.a.b + b²
Ejemplos:
a) (x + 5) ² = x² + 2.x.5 + (5)²
= x² + 10x + 25.
b) (2x – 3) ² = (2x)² - 2.(2x)(3) + (3)²
= 4x² - 12x + 9
c) (a + 5b)² = a² + 2.a.5b + (5b)²
= a² + 10ab + 25b²

10. Factorización por productos notables
Método de las identidades
Consiste en aplicar de forma inversa las diferentes
identidades notables.
3.2 - Trinomio cuadrado perfecto:
Un trinomio es un “cuadrado perfecto” cuando es el cuadrado
de un binomio.
Un trinomio ordenado con relación a una variable cuando el
primer y tercer termino son cuadrados perfectos y positivos,
y el segundo termino es el doble producto de sus raíces
cuadradas, tiene esta forma.
A²± 2AB + B² = (A ± B)²
El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del binomio al
cuadrado, se caracteriza porque el doble producto de la raíz
de dos de sus términos es igual al tercer termino. Todo
trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al
cuadrado..
Ejemplo:
16x² + 40xy³ + 25y^6 = (4x + 5y³)² Binomio cuadrado
perfecto
(4x)² 2(4x)(5y³) (5y³)², es un trinomio cuadrado perfecto
3.3 - Diferencia de cuadrados:
Se denomina diferencia de cuadrados, a la diferencia de
dos expresiones que tienen raíz cuadrada exacta.
De los productos notables sabemos que:
(A + B)(A – B) = A² - B²
Por lo tanto;
A² - B² = (A - B)(A + B)
Toda diferencia de cuadrados se descompone en
dos factores, que son la suma y resta de las raíces
cuadradas.
Ejemplos:
a) x^8 – 25 =
Extraemos la raíz cuadrada de cada termino.
x^8 = x^4
25 = 5
La expresión factorizada será la suma por la
diferencia de dichas raíces.
x^8 – 25 = (x^4 + 5)(x^4 – 5)

11. 3.4 - Suma o diferencia de cubos:
Se denomina “suma de cubos” a la suma de dos
cantidades que tienen raíz cubica exacta. De los
productos notables se sabe que:
(a ± b)² = a² ± 2.a.b + b²
Así tenemos que;
(a³ + b³)= (a + b)(a² - ab + b²)
(a³ - b³)= (a - b)(a² + ab + b²)
Toda suma de cubos se descompone en dos
factores, uno es la suma de las raíces cubicas y el
otro es igual a la raíz cubica elevada al cuadrado
menos el producto de la raíces.
Ejemplo:
a) Factorizar: 27x³ - 8
Solución:
• Convertimos los términos en potencias cubicas
27x³ = (3x)³ y 8 = (2)³
(3x)³ - (2)³
• Aplicamos la identidad
(a³ - b³)= (a - b)(a² + ab + b²)
Donde a = 3x y b = 2
Entonces;
(3x)³ - (2)³ = (3x - 2)((3x)² + 3x.2 + 2²)
= (3x – 2)(9x² + 6x + 4)

12. b) Factorizar: R(x) = x³ + x² - x – 1
Solución:
Agrupamos como se indica
R(x) = x³ + x² - x – 1
sacamos factor común “x²”
R(x) = x² (x +1) – (x +1) Factor común (x+1)
= (x + 1)(x² - 1)
= (x +1 )(x² - 1²) Diferencia de
= (x + 1)(x + 1)(x – 1) cuadrados
=(x + 1)²(x – 1)
Por lo tanto; R(x) = (x + 1)²(x – 1)
Ejemplo de factorización por identidades.
a) Factorizar:
P(x)= x² + 2(a+b)x+ a² + ab + b²
Solución:
Como a² + 2ab + b² = (a + b) ²
Luego;
P(x) = x² + 2(a+b)x + (a + b) ²
Trinomio cuadrado perfecto
Por lo tanto;
P(x) = (x + (a+b))²

13. 4.1 - Cuando el denominador tiene una sola raíz sin
sumas ni restas:
Si tiene una raíz cuadrada para eliminarlas se multiplica por
si misma.
Ejemplos:
a)
Solución:
Se racionaliza multiplicando el numerador y denominador
por la raíz cuadrada del denominador.
El cuadrado y la raíz se
simplifican
04 - Racionalización: racionalizar es quitar los
radicales del denominador.
4.2 - Cuando el denominador es un radical no
cuadrático:
Se racionaliza multiplicando el numerador y el denominador
por una raíz con el mismo índice con las potencias de la
misma base y de exponentes la diferencia entre el índice de
la raíz y los exponentes de las potencia, es decir, se
completan con los factores que le falten para que los
exponentes iguales al índice de la raíz.
Ejemplos:
a)
Solución:
Por propiedades de los radicales se suman
los exponentes dentro de las raíces (4+3) ya
que son iguales

14. 4.3 - Cuando el denominador tiene una suma o diferencia
Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del
denominador, usando identidades notables para quitar el radical
Ejemplos:
a) Racionalizar el denominador de la siguiente expresión
Solución:
Para esto utilizaremos diferencia de cuadrados
(A + B)(A – B) = A² - B²
Los binomios ( A + B)(A – B) se les llaman binomios conjugados.
Para racionalizar un denominador que sea un binomio irracional
cuadrático, se multiplican el denominador y el denominador por el
binomio conjugado del denominador.
En este caso el conjugado de es , así;
(a+b)(a-b) = a²-b²
se simplifican
se efectúan algunas
operaciones algebraicas
Algunos ejemplos con variables.
a) Factorizar la siguiente expresión:
b)
(a+b)(a-b) = a²-b²

15. ● https://www.matematicasonline.es/
pdf/Temas/3_ESO/Expresiones%2
0algebraicas.pdf
● https://gauss.acatlan.unam.mx/plug
infile.php/465/mod_resource/conte
nt/0/POLINOMIOS/PDFs_Poli/UNI
DAD_4_Guia_mayo_08.pdf
● http://departamento.us.es/edan/ph
p/asig/GRABIO/GBM/ApendiceB.p
df
● https://yoquieroaprobar.es/_pdf/34
774.pdf
Bibliografía