Expresiones Algebraicas, Factorizaciòn, Radicaciòn

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación
Universidad PolitécnicaTerritorial Andrés Eloy Blanco
PNF Turismo
Matemática:
Expresiones Algebraicas,
Factorización, Radicación
MUJICA YELISVETH
C.I: 31.118.485
SECCION: TU0232

2. Expresiones Algebraicas
Las expresiones algebraicas: son combinaciones de números variables y operaciones matemáticas,
como la suma, resta, multiplicación y división. Se representa mediante símbolos y letras, donde los números
se consideran constante y las representan variables , es decir, valores que pueden variar, las expresiones
algebraicas nos permiten hallar áreas y volúmenes por EJEMPLO:
*Longitud de la circunferencia L= 2π.r donde r es el radio de la circunferencia.
*Área del cuadrado S= I2 , donde I es el lado del cuadrado.
*Volumen del cubo V = a³ donde a es la arista del cubo.
Las expresiones algebraicas se clasifican en:
• Monomio: Es la expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
variables son el producto y la potencia de expresión natural. EJEMPLO: 2X2 Y³ Z
• Binomio: Es una expresión algebraica formado por dos monomios.
• Trinomio: Es una expresión algebraica formada por tres monomios.
• Polinomio: Es una expresión algebraica formada por mas de un monomio.
 Suma de expresiones algebraicas: Es una operación que permite reunir dos o mas expresiones
algebraicas en una sola expresión, se busca reducir los términos semejantes si es posible.
EJEMPLO:
1) 7a + 5 ab +7a = 14a + 5 ab
2) a + 3b, 2a + 3ab, 4b + 2ab = ( a + 3b ) + ( 2a + 3ab ) ( 4b + 2ab) = 3a + 7b + 5ab
 Resta de expresiones algebraicas: Es el proceso inverso de la suma algebraica.
EJEMPLO:
1 ) 8X ; 2X = 8X – 2X = 6X
2) -3X2 ; - 6X2 = ( -3X2 ) – ( -6x2 ) = ( -3X2 ) + 6X2 = 3X2

3. Expresiones Algebraicas
 Valor numérico de las expresiones algebraicas: El valor numérico de una expresión algebraica,
Para un determinado valor, es el numero que se obtiene al sustituir en esta el valor numérico dado y
realizar las operaciones indicadas.
EJEMPLO:
1) L = 2 π r r = 5cm
L = 2 . π . 5cm = L = 10cm . π = L = π .10cm
2) 6(b2 + c2) - 4d2 b=2 ; c=3 ; d=4
6(22 + 32) - 4.42 = 6( 4 + 9) - 4.16 = 6(13) - 64 = 78 - 64 = 14
 Multiplicación de las expresiones algebraicas: Para esta operación se debe de aplicar la regla de
los signos, donde los signos iguales se suman y los diferentes se restan.
EJEMPLO:
1) 3X³ Y2 por 7X4
( 3X³ Y2 ) (7X4 ) = 21X 7 Y 2
2) 3 ( 2X³ - 3X² + 4X -2 ) =
( 3. 2X ³) + (3.- 3X 2) + (3. 4X ) + (3. -2) = 6X³ - 9X 2 + 12X – 6
 División de las expresiones algebraicas:
1) P(X) = 20X³ - 23X 2 + 31X – 15 ; Q(X) = 5X – 2 Hallar P(X) : Q(X)
20X³ - 23X2 + 31X – 15 5X – 2
-20X³ + 8X2 4X2 - 3X + 5
0 - 15X2 + 31X
+ 15X2 - 6X
0 + 25X – 15
-25X + 10
0 – 5

4. Expresiones Algebraicas
2) P(X) = 5X⁴ - 3X³ + 2X² - 7X +3 y Q(X) = X-1 Hallar P(X) : Q(X)
5X⁴ - 3X³ + 2X² - 7X +3 X - 1
- 5X⁴ + 5X³ 5X³ + 2X² + 4X - 3
0 + 2X³ + 2X²
- 2X³ + 2X²
0 + 4X² - 7X
- 4X² + 4X
0 – 3X + 3
+ 3X - 3
0 0
 Producto notable de las expresiones algebraicas: Los productos notables son expresiones
algebraicas que aparecen con frecuencia y que pueden someterse a una factorización a simple vista.
*Cuadrado de un binomio: ( a+ b)² = a² + 2ab + b²
EJEMPLO:
1) ( X + 10 )² = X² + 2(X.10)+ 10² = X² + 20X + 100
2) ( 7a² + 5X³ )² = ( 7a²)² + 2( 7a² . 5X³ ) + ( 5X³)² = 49 a⁴ + 2( 35a² x³) + 25X⁶ = 49a⁴+ 70a² X³ + 25X⁶
* Cuadrado de la diferencia de un binomio: ( a – b ) ² = a² - 2ab + b²
EJEMPLO:
1) ( X – 10 ) ² = X² - 2 ( X . 10 ) + 10² = X² - 20X + 100
2) ( 7a² - 5X³ )² = ( 7a² ) ² - 2 ( 7a² . 5X³ ) + ( 5X³) ² = 49a⁴ - 2( 35a² X³ ) + 5X⁶ = 49 a⁴ - 70a² X³ + 25X⁶

5. Expresiones Algebraicas
* Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades ( Binomio conjugado):
( a+ b ) . ( a – b ) = a² - ab + ab - b² = a² - b²
EJEMPLO:
1) ( X + 1 ) ( X – 1 ) =
X² - 1² = X² - 1
2) ( 5a + 3a² ) ( 3a² – 5a ) =
( 5a)² – 5a. 3a² + 5a . 3a² - (3a² )² = 25a² - 15a³ + 15a³ - 9a⁴ = 9a⁴ - 25 a²
* Multiplicación del trinomio: ( a + b + c ) ( a + b – c )
( a + b + c ) ( a + b – c ) = { ( a + b ) + c } { ( a + b ) – c } = ( a + b ) ² - c² = a² + 2 ab + b² - c²
EJEMPLO:
1) ( X + Y -2 ) ( X + Y + 2 )
{ ( X + Y ) + ( -2 ) } { ( X + Y ) – ( -2 ) } = ( X Y ) ² - 2² = X² + 2 XY + Y² - 2² = X² + 2XY + Y² - 4
2) ( a² - 2a + 3 ) ( a² + 2a + 3 )
{ ( a² + ( -2a ) + 3} { ( a² + ( -2a ) ) – 3 } = ( a ² . – 2 a ) ) ² - 3² = a⁴ - 4 a² - 9
* Trinomio al cuadrado: ( a + b + c) ² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
EJEMPLO:
1) ( 2 m + 3 n + 5 ) ²
( 2m ) ² + ( 3n ) ² + 5² + 2 ( 2m . 3n ) + 2 ( 2m . 5 ) + 2 ( 3n . 5 ) =
4m² + 9n² + 25 + 12mn + 20m + 30n
2) ( 3X - 2Y – 5 ) ²
( 3X) ² + ( -2Y) ² + ( -5) ² + 2 ( 3X .( -2Y)) + 2 ( 3X . ( -5) + 2(( -2Y . ( -5)) =
9X² + 4Y² + 25 – 12 X Y – 30X +20Y

6. Expresiones Algebraicas
 Simplificación de fracciones algebraicas : Es un tipo de fracciones cuyo numerado y cuyo denominador
son expresiones algebraicas
*Suma de expresiones algebraicas
1) X + 1 + 3X -2 =
2X 2X
X + 1 + 3X -2 =
2X
4X – 1
2X
2) X + X + 1 - 3 = m.c.m= 18X² Y²
3X² Y 6X Y² 9X Y
6X Y + 3X² + 3X - 6 X Y =
18X² Y² 18X² Y² 18 -X² Y²
6XY + 3X²+3X - 6XY =
18X² Y² 18X² Y² 18X² Y²
6XY+3X²+3X-6XY =
18X² Y²
3X² + 3X =
18X² Y²
3X(X+1) =
18X² Y²
X+1
6XY²

7. Expresiones Algebraicas
*Resta de fracciones algebraicas
1) m + 2 - m + 3 =
m -2 m – 3
(m + 2) (m – 3) – (m + 3) (m – 2) =
(m – 2) (m – 3) (m – 3) (m – 2)
(m + 2) (m -3) – (m + 3) (m – 2) =
(m – 2) (m – 3)
m² - 3m + 2m – 6 – (m² - 2m + 3m – 6) =
(m – 2) (m – 3)
m² - 3m + 2m – 6 - m² + 2m – 3m + 6 =
(m – 2) (m – 3)
-2m
(m – 2) (m – 3)
2) X – X + 1 =
X² - 1 (X – 1)²
X – X + 1 =
(X + 1 ) (X -1) (X – 1)²
X (X – 1) – ( X + 1)² =
(X+ 1) (X – 1)² (X + 1) (x – 1)²
X (X – 1) -( X + 1)² =
(X+ 1) (X – 1)²
X² - X - X² - 2X -1 =
(X + 1) (X – 1)²
3X – 1
(X + 1) (X – 1)²

8. Expresiones Algebraicas
* Multiplicación de fracciones algebraicas
Es igual que multiplicar fracciones numéricas, es mucho mas fácil si factorizamos los polinomios antes de
multiplicar.
1) X² - 4 X . X² + 8X + 15 = X (X – 4) . (X + 3) (X + 5) = X + 5
X³ - 9 X² - 2X – 8 X (X – 3) (X + 3) (X + 2) (X – 4) (x – 3) (X + 2)
2) 4X² + 4X + 1 . (3X – 2) . X² - 25 =
2X² - 9X – 5 6 X² - X – 2
(2x + 1) (2X + 1) . 3X – 2 . (X – 5) (X + 5) = X + 5
(2 X + 1) (X – 5) 1 (3X – 2) (2X + 1)
* División de fracciones algebraicas
1) 4X² + 16X + 16 =
2X² - 8
4(X² + 4X + 4) = 4(X + 2)² = 4(X + 2)
2(X² - 4) 2(X + 2) (X – 2) 2(X – 2)
2) X³ - 4X =
X³ + 2X²
X(X² - 4) = X (X + 2) (X – 2) = X – 2
X²(X + 2) X²(X + 2) X

9. Factorización
 Factorización por el método de Ruffini
Reglas
- El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del dividendo
- El primer coeficiente del cociente es igual al primer.
- Cada coeficiente del cociente se obtiene multiplicando el anterior por ( a ) , y sumando luego el
coeficiente del termino de igual grado en el dividendo .
- El resto se obtiene efectuando el producto del termino independiente del cociente de ( a ) , y sumándole
el termino independiente del dividendo
EJEMPLO:
1) P (X) = 2X⁴ - 3X² + 5X -1 Por X-2
2 0 - 3 + 5 - 1
2 4 + 8 + 10 + 30
+ 2 + 4 + 5 + 15 + 29
2X³+4X²+5X+15 y el residuo es 29
2) (2X⁵+X³-4) : (X+2)
2 + 0 + 1 + 0 + 0 – 4
-2 -4 + 8 – 18 +36 -72
+ 2 – 4 + 9 – 18 + 36 – 76
2X⁴-4X³+9X²-18X+36 y el residuo es -76

10. RADICACION
 La Radicación
Es una operación inversa a la potenciación , consiste en determinar la base conocida, la potencia y el exponente.
La radicación es la operación matemática que encuentra o extrae la raíz de un numero . Básicamente consiste en
encontrar la base de una potencia conociendo el exponente, por ello se conoce como la operación inversa de la
potenciación-
 Partes de la radicación
√ a = b n = índice de la raíz
a = radicando
√ = Símbolo matemático
de la radicación
B = raíz
 Propiedades de la radicación:

11. RADICACION
Los radicales son expresiones que contienen una raíz cuadrada, una raíz cubica u
otras raíces que dan como resultado un numero irracional, con infinitos decimales.
Se dejan en su forma radical para representarla con mayor precisión
Para sumar o restar radicales, el numero dentro de las raíces debe ser el mismo, es
posible que haya que simplificar primero
Para multiplicar y dividir radicales con números diferentes dentro de la raíz , el
índice de las raíces debe ser el mismo
El propósito de racionalizar el denominador de las fracciones que contiene raíces es
eliminar las raíces del denominador .

12. RADICACION
Suma de radicales
Resta de radicales

13. RADICACION
Multiplicación de radicales
División de radicales

14. Expresiones Conjugadas
Las conjugadas son dos expresiones algebraicas que tienen la misma forma, pero con signos opuestos en
uno o varios términos.
Las conjugadas son importantes en diversas ramas de las matemáticas, como el álgebra, el cálculo y la
teoría de números. En el álgebra, por ejemplo, se utilizan las conjugadas para simplificar expresiones,
factorizar polinomios y encontrar raíces de ecuaciones. En el cálculo, las conjugadas se utilizan para
racionalizar expresiones y simplificar cálculos. las conjugadas del binomio (a + b) son (a – b) y las
conjugadas del binomio (2x + 3y) son (2x – 3y).

15. BIBLIOGRAFIA
• Matemática para tercer año, E. Navarro.
• Matematica para cuarto año, E. Navarro.
• Matematica V, 2 año/ Educacion Media, Diversificada y
Profecional, J. Gimenez Romero.
• Matematica, segundo año ciclo diversificado, Salazar
JorgeAntonio, Bosch Tovar Jofre, Sarabias Antonio Jose,
Pantoja Hector, Barragan Fernando, Jimenez Rojas Julian.
• Prof. Alex de youtube