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Expresiones algebraicas y productos notables
- 1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINESTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN U.P.T. “ANDRES ELOY BLANCO” EXPRESIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN ESTUDIANTE : OSORIO ANA SECCIÓN:0100 C.I.30.325.401 07-01-2021
- 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, sumas y restas. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Ejemplo: 45X+4X= 9X -Tipos de expresiones algebraicas: *Monomios: es una expresión algebraica formada por un solo término. Ejemplo: 8Y2 , 3X *Binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos Ejemplo: a) 1 (X + 3)² = X² + 2 · X · 3 + 3² = X ² + 6X + 9. b) 2 (2X -3)2 = (2X)2 - 2 · 2X · 3 + 32 = 4X2 – 12X + 9. *Trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos Ejemplo: a) X2 -8X + 10 = X2 - 8X + 16 - 16 + 10 = ( X – 4 )2 - 6 b) 5X2 + 10X = 5 · (X2 + 2X + 1 – 1 ) = 5 · (X + 1)2 – 5 *Polinomios: es una expresión algebraica formada por más de un término Ejemplo: - 3YX + 5YX= 2XY -Suma y resta de polinomios: Suma de polinomios: se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes deben ser los mismos términos al sumar. Para sumar polinomios se utilizan dos métodos *Metodo 1:
- 3. 1. ordenar los polinomios del término de mayor grado al menor 2. agrupar los monomios del mismo grado 3. sumar los monomios semejantes Ejemplo: tenemos estos dos polinomios, P(X) = 2X³ + 5X – 3 , Q(X) = 4X – 3X² + 2X³. Los ordenamos si no lo están, P(X) = 2X³ + 5X – 3 , Q(X) = 2X³ − 3X² + 4X Agrupamos los monomios semejantes, P(X) + Q(X) = (2X³ + 5X − 3) + (2X³ − 3X² + 4X) , P(X) + Q(X) = (2X³ + 2X³) + (− 3 X²) + (5X + 4X) + (− 3) Y sumamos los monomios semejantes, P(X) + Q(X)=4X3 – 3X2 + 9X – 3 Otro ejemplo: P(x)= 6X5 - 4X -3X2 , Q(X) = 8X2 +7X – 1X P(X)= 6X5 -3X2 – 4X , Q(X) = 8X2 +7X – 1X P(X) + Q(X) = (6X5 -3X2 – 4X) + (8X2 +7X – 1X) P(X) + Q(X) = (6X5 )+ (-3X2 + 8X2 )+(7X-1X) P(X) + Q(X) =6X5 – 5X2 – 6X *Metodo 2: sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro , de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(X) = 2X4 + 4X² + 9X + 6 , Q(X) = 5X³ + 3X +1. Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado y sumar,
- 4. 2X4 + 4X2 + 9X +6 5X3 + 8X +1 2X4 +5X3 +4X2 + 17X+7 Y así nos queda, P(X)+Q(X)= 2X4 +5X3 +4X2 + 17X+7 Otro ejemplo, P(X)= 8X5 + 4X2 + 5X , Q(X)= 7X3 + 5X2 -2X+3 8X5 + 4X2 + 5X +3 7X3 +5X2 - 2X +2 8X5 7X3 + 9X2 +3X+ 5 P(X) + Q(X) = 8X5 7X3 + 9X2 +3X+ 5 - Resta de polinomios: la resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo *Metodo: 1. restar los polinomios P(X) = 1X3 + 5X - 2, Q(X) = 1X³ - 2X² + 3X P(X) − Q(X) = (2X³ + 5X − 2) − (1X³ − 2X² + 3X) 2. obtenemos el opuesto sustraendo de Q(X), P(X) − Q(X) = 1X³ + 5X − 2 – 1X³ + 2X² − 3X 3. agrupamos, P(X) − Q(X) = 1X³ − 1X³ + 2X² + 4X − 3X − 3
- 5. 4. y el resultado queda así, P(X) – Q(X) = 2X2 + X- 3 Otro ejemplo, P(X)=6X2 + 8X3 -3 , Q(X)= 2X4 – X + 1, P(X) − Q(X) = (6X2 + 8X2 -3) – (2X4 – X + 1) P(X) − Q(X)= 6X2 +8X2 -2X4 – X + 1 P(X) − Q(X)= 14X2 -2X4 –X +1 -Multiplicación de monomios y polinomios: Multiplicación de un número por un polinomio: la multiplicación por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial , por el número y dejando las mismas partes literales. Ejemplo: a) 3 · (2X³ − 3X² + 4X − 2) = 6X³ − 9X² + 12X – 6 b)2(3X³ + 4X² + 2X − 1) = 6X³ + 8X² + 4X − 2 1.Multiplicación de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomios por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio (recordar que primero se debe multiplicar los signos ),luego multiplicar los monomios correspondientes , para lo cual , se deb multiplicar los coeficientes y después realizar la multiplicación de la parte literal , en donde al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán. Ejemplos, A) 4 · (6X2 – 2X4 - 4X – 5) = 24X3 – 8X4 + 16X – 2 B) -2 · (12X4 +8X – 9+2X5 ) = 24X4 – 16X4 + 18 – 4X5
- 6. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán. Ejemplos, a) 3X² · (2X³− 3X²+ 4X − 2) = (3X² · 2X³) - (3X² · 3X²) + (3X² · 4X) - (3X² · 2) = 6X5 − 9X4 + 12X³ − 6X² b) 5X3 · (3X3 +5X - 7X2 -10X)= (5X3 · 3X3 ) + (5X3 · 5X) – (5X3 · 7X2 ) – (5X3 · 10X)= 15X6 + 25X2 - 35X5 -50X4 . 3. Multiplicación de polinomios: este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas: Método 1: 1. se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. 2. se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican Ejemplo: multiplicar los siguientes polinomios P(X)=2X2 -3 , Q(X)=2X3 – 3X2 + 4X 1) se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio, P(X) · Q(X) = (2X² − 3) · (2X³− 3X² + 4X) = 4X5 – 6X4 + 8X³− 6X³+ 9X²− 12X 2) se suman los monomios del mismo grado, P(X) · Q(X) = 4X5 – 6X4 + 8X³− 6X³+ 9X²− 12X = 4X5 – 6X4 + 2X³ + 9X² − 12X
- 7. 3) se obtiene otro polinomio cuyo grado es las suma de los de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio= grado de P(X) + grado de Q(X)= 2+3=5 y, P(X) · Q(X) = 4X5 – 6X4 + 9X2 – 12X Método 2: También se puede sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro. En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes Ejemplo: multiplicar los siguientes polinomios P(X) = 2X3 - 3 , Q(X)= 2X3 - 3X2 + 4X Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo. 2X3 – 3X2 + 4X x 2X2 - 3 -6X3 + 9X2 -12X 4X5 -6X4 +8X3 4X5 -6X4 +2X3 +9X2 – 12X Otro ejemplo, tenemos P(X)= 4X4 +5X-2X2 ,Q(X)= 3X2 – 5X
- 8. 4X4 - 2X2 + 5X 3X2 + 5X 4X4 -10X3 +10X 12X6 - 6X4 +15X3 12X6 – 10X3 +25X3 +10X División de polinomios: Se abordar la explicación con un ejemplo P(x) : Q(x) 1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. X5 + 2X3 -X-8 X2 – 2X +1 2. a la derecha situamos el divisor dentro de una caja 3. dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor X5 : X2 = X3 4. multiplicamos cada termino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: X5 + 2X3 -X-8 X2 – 2X +1 -X5 +2X4 - X3 X3 2X4 - X3 -X-8
- 9. 5. volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2 X5 + 2X3 -X-8 X2 – 2X +1 -X5 +2X4 - X3 X3 2X4 - X3 -X-8 -2X4 + 4X3 -2X2 5X3 - 2X2 –X-8 6.procedemos igual que antes 5X3 : X2 = 5 X X5 + 2X3 -X-8 X2 – 2X +1 -X5 +2X4 - X3 X3 2X4 - X3 -X-8 -2X4 + 4X3 -2X2 5X3 - 2X2 –X -8 -5X3 +10X2 -5X 8X2 - 6X -8
- 10. 7. como en los anteriores pasos , dividimos 8X2 por X2 ,y obtenemos 8. Multiplicamos 8 por cada termino del divisor (8·X2 )- (8·2X)+(8·1) y obtenemos, 8X2 – 16X + 8 Procedemos la resta , (8X2 - 6X -8)-( 8X2 – 16X + 8)=8X2 -6X-8 + 8X2 + 16X – 8= 10X-16 10X-16 es el resto , porque su grado es menor que el divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo y el cociente es , X3 +2X2 +5X+8 PRODUCTOS NOTABLES Es el nombre que rediben multiplicaciones con expresiones algebaraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fo´rmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto dos monomios, y recíprocamente. Factorización: En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica. En forma de producto. Existen distintos métodos de factorización; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de “bloques fundamentales” , que reciben el nobre de factores.
- 11. Factor común: Es el resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: c (a +b) =c a + cb para esta operación existe una interpretación geométrica ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura),que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb ejemplos: a) 3X (4X+6Y)= 12X2 +18XY b)5X (7X5 +2X2 )=35X6 +10X2 Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio: Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por si mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: ( a + b )2 = a2 +2ab+ b2 Un trinomio de la expresión siguiente: a2 +2ab+b2 se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: ( a –b )2 =a2 + 2ab +b2 En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo Ejemplo: a) (2X – 3Y)2 = (2X)2 + 2(2X)(-3Y)+(-3Y)2 Simplificando:
- 12. (2X-3Y)2 =4X2 – 12XY+ 9Y2 b) (4Y-5X)2 = (4Y)2 +2(4Y)(-5X)+(-3Y)2 Producto de dos binomios con un término común: Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común por la suma de los otros, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. (X + a ) (X + b ) = X2 +( a +b) X + ab Ejemplo: a) (3X+4) (3X – 7)= (3X)(3X) + (3X)(-7) + (3X)(4) + (4) (-7) Agrupando los términos: (3X+4) (3X – 7)= 9X2 – 21X + 12X – 28 Luego, (3X+4) (3X – 7)= 9X2 -9X - 28 b) (2X+3)(2X-5) = (2X)(2X)+(2x)(-5)+(2X)(3)+(3)(-5) (2X+3)(2X-5) = 4X2 -10X+6-15 (2X+3)(2X-5) =4X2 -4X-15 Producto de dos binomios conjugados
- 13. Se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. (a +b) (a – b) = a2 – b2 Ejemplo: (3X + 5Y)(3X-5Y) = (3X)(3X) + (3X)(-5Y) + (5Y)(-5Y) Ejemplo : (3X + 5X)(3X – 5Y) = 9X2 - 252 A este producto notable también se le conoce como suma por diferencia Polinomio al cuadrado Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suma los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) (a + b +d)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac +ad +bc +bd + cd) Multiplicando los monomios: (3X + 2Y – 5Z)2 = ( 3X + 2Y – 5Z)(3X +2Y – 5Z) (3X + 2Y – 5Z)2 = 3X · 3X + 3X · 2Y + 3X · (-5Z) +2Y · 3X + 2Y · 2Y + 2Y · (-5Z) +(-5Z) · 3X + (-5Z) · 2Y + (-5Z) · (-5Z) Agrupando los términos, (3X + 2Y – 5Z)2 = 9X2 + 4Y2 + 25Z2 + 2(6XY – 15XZ – 10YZ) Luego, (3X + 2Y – 5Z)2 =9X2 + 4Y2 + 25Z2 +12XY -20XZ
- 14. Binomio al cubo Para calcular el cubo de un binomio se suman , sucesivamente: *el cubo del primer término con el tripe producto del cuadrado del primero por el segundo *El triple producto del primero por el cuadrado del segundo. *El cubo del segundo término. (a+ b) = a3 + 3a2 b+b3 Ejemplo: (X + 2Y)3 = X3 + 6X2 Y + 8Y3 Si la operación del binomio implica resta , el resultado es: *El cubo del primer término. *Menos el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. *Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo. *Menos el cubo del segundo término. (a – b)= a2 – 3a2 b + 3ab2 – b3 .