Factorización de polinomios

Factorizaci´n de polinomios
o

Christiam Huertas R.
w3 .xhuertas.blogspot.com

Universidad de Ciencias y Humanidades

Christiam Huertas R. w3 .xhuertas.blogspot.com Factorizaci´n de polinomios
o

Introducciń: Factorizaciń de n´meros naturales
o o u

En matem´ticas, un n´mero primo es un n´mero natural que tiene
a u u
unicamente dos divisores naturales distintos: ´l mismo y el 1.
´ e
Ejemplos:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; · · ·
Euclides demostr´ alrededor del aõ 300 a.n.e. que existen
o n
infinitos n´meros primos.
u

Euclides fue un matem´tico y ge´metra
a o
griego, que vivi´ alrededor del aõ 300
o n
a.n.e., (325 a.n.e.) - (265 a.n.e.). Se le
conoce como ”El Padre de la Geometr´ ıa”.
Su obra los Elementos se utilizaron como
texto durante 2000 aõs, e incluso hoy.
n

o

Introducciń: Factorizaciń de n´meros naturales
o o u
En matem´ticas (teor´ de n´meros), el teorema fundamental de la
a ıa u
Aritm´tica o teorema de factorizaciń unica afirma que todo
e o ´
entero positivo se puede representar de forma unica como producto
´
de factores primos o sus potencias.
Ejemplos:
18 = 2 · 9 No est´ factorizado
a
18 = 3 · 6 No est´ factorizado
a
18 = 2 · 32 Si est´ factorizado
a

6936 = 23 .3.172

1200 = 24 .3.52

Una vez que se conoce la factorizaciń de un n´meros, se pueden
o u
hallar fćilmente sus factores y factores primos. Por ejemplo, los
a
factores de 18 son: 1; 2; 3; 6; 12; 18 y sus factores primos son: 2 y 3.
o

Factorizaciń de polinomios
o

Idea general y conceptos previos

Un polinomio est´ completamente factorizado, si esta escrito como
a
un producto de sus factores primos o sus potencias.

− − − − − on→
−factorizaci´ −
−−−− −
x 3 − x 2 ≡ x 2 (x − 1)
←− − − − − −
− − − − − −−
multiplicaciń
o

El proceso inverso de desarrollar una multiplicaciń es la
o
factorizaciń.
o

o

Polinomio definido sobre Z

Un polinomio est´ definido sobre Z, si todos sus coeficientes son
a
enteros.

Ejemplos:
1 Dado el polinomio P(x) = 3x 2 − 5x + 8.
Como {3; −5; 8} ⊂ Z, entonces, P(x) esta definido sobre Z.
√
2 Dado el polinomio Q(x) = 4x 3 − 7x 2 + 3x − 2.
√
Como 3 ∈ Z, entonces, Q(x) no esta definido sobre Z
/
1
3 Dado el polinomio R(x;y ) = 9x 2 − 4y 2 + .
4
1
Como ∈ Z, enotnces, R(x;y ) no esta definido sobre Z
/
4

o

Factor algebraico
Diremos que el polinomio f(x) (no constante) es factor algebraico
P(x)
del polinomio P(x) , si y solo si, la divisi´n
o es exacta; es decir,
f(x)
el resto es cero: R(x) = 0.

Ejemplos:
1 f(x) = x + 1 es factor algebraico de P(x) = x 2 − 1.
x2 − 1
En efecto, la divisi´n
o es exacta, ya que R(x) = 0
x +1
2 Dado el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).
Sus factores algebraicos son:
(x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)
3 Dado el polinomio P(x;y ) = x.y 2
Sus factores algebraicos son: x, y , x.y , y 2 y x.y 2
o

Aplicaci´n 1
o
¿Es f(x) = x − 2 un factor algebraico de P(x) = x 3 − x − 6?

P(x)
Para que f(x) sea un factor algebraico de P(x) , la divisi´n
o
f(x)
debe ser exacta (R(x) = 0).
Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:
PRIMERO:
f(x) = x − 2 = 0 → x = 2
SEGUNDO:
lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,
R(x) = P(2) = 23 − 2 − 6 = 0
→ R(x) = 0
Por lo tanto, x − 2 es factor algebraico de P(x)
o

Aplicaci´n 2
o
Si 2x − 1 es un factor algebraico del polinomio
P(x) = 8x 4 − 2x 3 + 7x 2 + 4x − a2 , determine el menor valor de a.
P(x)
Como 2x − 1 es un factor algebraico de P(x) , la divisi´n
o
2x − 1
debe ser exacta (R(x) = 0).
Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:
1
PRIMERO: 2x − 1 = 0 → x = 2
SEGUNDO: Lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,
R(x) = P( 1 ) = 8( 1 )4 − 2( 2 )3 + 7( 2 )2 + 4( 1 ) − a2
2
1 1
2
2

8 2 7 4 1 1 7
→0= − + + − a2 ↔ a2 = − + + 2
16 8 4 2 2 4 4
↔ a 2 = 4 ↔ a = 2 ∨ a = −2

Por lo tanto, el menor valor de a es −2.
o

Polinomio reductible
Es aquel polinomio que admite descomposici´n en la multiplicaci´n
o o
de factores algebraicos (sobre Z).

Ejemplos:
1 Dado el polinomio P(x) = 4x 2 − 1.
P(x) = 4x 2 − 1 = (2x)2 − 12 = (2x + 1)(2x − 1)
Entonces, P(x) es reductible sobre Z
2 Dado el polinomio M(x) = x 3 + 1.
M(x) = x 3 + 1 = x 3 + 13 = (x + 1)(x 2 − x + 1)
Entonces, M(x) es reductible sobre Z
3 Dado el polinomio N(x;y ) = x 2 + y 2 .
N(x;y ) = x 2 + y 2 = ( )( )
Entonces, N(x;y ) no es reductible sobre Z.
o

Polinomio primo

Un polinomio es primo o irreductible si no es reductible; es decir,
no admite descomposici´n.
o

Ejemplos:

1 P(x;y ) = x 2 + y 2 .
2 Q(x) = x 2 + 1 = ( )( ), entonces es primo.
3 R(x) = x 2 + x + 1 = ( )( ), entonces es primo.
4 M(x) = x 2 − x + 1 = ( )( ), entonces es primo.
5 N(x;y ) = x 2 + xy + y 2 = ( )( ), entonces es primo.
6 F(x;y ) = x 2 − xy + y 2 = ( )( ), entonces es primo.
7 G(x) = 3x − 8 = ( )( ), entonces es primo.

o

Teorema

Todo polinomio lineal (o de grado uno) de coeﬁcientes enteros
siempre es primo.

Ejemplos:

1 P(x) = 5x − 4
2 Q(x) = 6x + 9 = 3(2x + 3) es un polinomio primo.
3 S(x;y ) = 3x + 4y − 2
4 T(x;y ;z) = 2x − y + 8z + 3
5 M(a;b) = a − 3b + 1
6 N(a;b;c) = a + 2b + 3c − 4

Son polinomios primos de grado uno.

o

Factor primo
Diremos que el polinomio f(x) es factor primo del polinomio P(x) si
se cumple lo siguiente:
1. f(x) es factor algebraico.
2. f(x) es polinomio primo.
3. Sus coeﬁcientes son PESI (primos entre si).
Ejemplos:

1 Para el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).
Sus factores algebraicos son: (x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)
Luego, sus factores primos son: (x + 2) y (x + 3).
2 Para el polinomio P(x;y ) = x.y 2
Sus factores algebraicos son: x, y , x.y , y 2 y x.y 2
Luego, sus factores primos son: x, y .
o

Factorizaci´n
o
Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una
multiplicaci´n indicada de sus factores primos (o potencias de sus
o
factores primos). Es decir,

P(x) = (primo)m (primo)n · · · (primo)p

Ejemplos:
1. Dado el polinomio P(x) = (4x − 1)3 .(x 2 + 1)5 .(x 2 − 9)
Vemos que P no esta factorizado, pues x 2 − 9 = (x + 3)(x − 3)
Luego, P(x) = (4x − 1)3 .(x 2 + 1)5 .(x + 3).(x − 3) (Factorizado)
Tiene 4 factores primos (lineales: 3 y cuadr´ticos: 1)
a
2. Dado el polinomio
Q(x;y ) = (x − 2y )2 .(3x + 1)4 .(x 2 − xy + y 2 ).(x 2 + y 2 )
Vemos que Q si est´ factorizado. Total FP: 4 (FPL: 2 y FPC: 2)
a
o

Obtenci´n de factores comunes
o
El primer paso en la factorizaci´n de un polinomio es sacar factores
o
comunes de sus t´rminos utilizando la propiedad distributiva.
e

Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.

1 P(x) = x 3 + x = x(x 2 + 1) Factores primos: 2
2 Q(x) = 3x 2 − 6x = 3x(x − 2) Factores primos: 2
3 R(a;b) = a3 b + ab 3 = ab(a2 + b 2 ) Factores primos: 3
4 S(x) = (2x + 4)(x − 3) − 5(x − 3)
= (x − 3)(2x + 4 − 5)
= (x − 3)(2x − 1) Factores primos: 2
5 T(x;y ) = 8x 2 y 2 + 6xy 3 − 10xy 2 = 2xy 2 (4x + 3y − 5)
Factores primos: 3
o

Factorizaci´n de la diferencia de cuadrados
o

Recuerde que: a2 − b 2 = (a + b)(a − b)


1 P(a;b) = x 2 − 9 = x 2 − 32 = (x + 3)(x − 3)
2 Q(x) = 25x 2 − 36 = (5x)2 − 62 = (5x + 6)(5x − 6)
3 R(x;y ) = 4x 2 − (y + 3)2
= (2x)2 − (y + 3)2
= [2x + (y + 3)][2x − (y + 3)]
= (2x + y + 3)(2x − y − 3)
2
4 S(x) = x 4 − 1 = x 2 − 12 = (x 2 + 1)(x 2 − 1)
= (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)

o

Factorizaci´n de trinomios cuadrados perfectos
o

Recuerde que: a2 ± 2.a.b + b 2 = (a ± b)2


1 P(x) = x 2 + 8x + 16 = x 2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2
2 Q(x) = 9x 2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x)(1) + 12 = (3x + 1)2
3 R(x;y ) = x 2 − 4xy + 4y 2 = x 2 − 2.(2x).y + (2y )2 = (x − 2y )2
4 S(x;y ) = 4x 2 − 12xy + 9y 2 = (2x)2 − 2.(2x).(3y ) + (3y )2

= (2x − 3y )2

o

Factorizaci´n de la suma y la diferencia de dos cubos
o

Recuerde que: a3 + b 3 = (a + b)(a2 − a.b + b 2 )

Tambi´n:
e a3 − b 3 = (a − b)(a2 + a.b + b 2 )

Ejemplos. Factorice los siguientes polinomios.

1 P(x) = x 3 + 8 = x 3 + 23 = (x + 2)(x 2 − x.2 + 22 )

= (x + 2)(x 2 − 2x + 4)
2 Q(x) = x 3 − 64 = x 3 − 43 = (x − 4)(x 2 + x.4 + 42 )

= (x − 4)(x 2 + 4x + 16)
3 R(x) = 8x 3 +27 = (2x)3 +33 = (2x +3) (2x)2 − (2x)(3) + 32

= (2x + 3)(4x 2 − 6x + 9)

o

Factorizaciń de un trinomio en x: Aspa simple
o

Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.

P(x) = Ax 2 + Bx + C

En general: P(x) = Ax 2n + Bx n + C

Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Descomponer los extremos convenientemente.
2. Se comprueba que el t´rmino central es igual a la suma de los
e
productos parciales en forma de aspa.
3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos
de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los
elementos de la segunda fila.
o

Ejemplos

1 P(x) = 3x 2 + 10x + 8
3x 4
x 2
→ P(x) = (3x + 4)(x + 2)

2 Q(x) = 12x 2 − 25x + 12
3x −4
4x −3
→ Q(x) = (3x − 4)(4x − 3)

3 R(x) = x 4 − 13x 2 + 36
x2 −4
x2 −9
→ R(x) = (x 2 − 4)(x 2 − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)

o

Factorizaciń de un trinomio en x e y : Aspa simple
o

Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.

P(x;y ) = Ax 2 + Bxy + Cy 2

En general: P(x;y ) = Ax 2n + Bx n y n + Cy 2n

Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Descomponer los extremos convenientemente.
2. Se comprueba que el t´rmino central es igual a la suma de los
e
productos parciales en forma de aspa.
3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos
de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los
elementos de la segunda fila.
o

Ejemplos

1 P(x;y ) = 6x 2 + 17xy + 5y 2
3x y
2x 5y
→ P(x;y ) = (3x + y )(2x + 5y )

2 Q(x;y ) = 12x 2 − 23xy + 10y 2
3x −2y
4x −5y
→ Q(x;y ) = (3x − 2y )(4x − 5y )

3 R(x) = (x 2 + 2x)2 − 2(x 2 + 2x) − 3
(x 2 + 2x) −3
(x 2 + 2x) 1
→ R(x) = (x 2 + 2x − 3)(x 2 + 2x + 1) = (x + 3)(x − 1)(x + 1)2

o

Factorizaci´n por agrupaci´n
o o
Observe que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Si un
polinomio con cuatro t´rminos es el producto de dos binomios,
e
podemos agrupar t´rminos para factorizar.
e

1 P(x) = x 3 + x 2 + 4x + 4 = x 3 + x 2 + (4x + 4)
= x 2 (x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x 2 + 4)
2 Q(x) = x 3 − 2x 2 − 3x + 6 = x 3 − 2x 2 − (3x − 6)
= x 2 (x − 2) − 3(x − 2)
= (x − 2)(x 2 − 3)
√ 2
= (x − 2) x 2 − 3
√ √
= (x − 2) x + 3 x − 3 Factorizado sobre R.
o

Factorizaci´n de an − 1
o
Se sabe que

a2 − 1 = (a − 1)(a + 1)
a3 − 1 = (a − 1)(a2 + a + 1)
a4 − 1 = (a − 1)(a3 + a2 + a + 1)
.
.
.
Y asi sucesivamente


1 P(x) = x 5 − 1 = (x − 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
2 Q(x) = x 6 − 1 = (x − 1)(x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)
3 R(x) = x 7 − 1 = (x − 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1)

o

Aplicaciones

Factorice los siguientes polinomios.

1 M(x;y ) = −7x 4 y 2 + 14xy 3 + 21xy 4
2 N(x;y ) = (2x + y − 3)2 − (x − 2x + 1)2
3 F(x;y ) = x 6 − 8y 3
4 P(a;b;c) = a3 + a2 c − a2 b − abc
5 Q(a;b;c) = a(b 2 + c 2 ) + b(c 2 + a2 )
6 R(x) = abx 2 + (a2 + b 2 )x + ab
7 S(x;y ) = x 2 + y 2 + 1 + 2xy + 2(x + y )

o

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