Este documento presenta la solución a 10 problemas de álgebra que involucran la factorización de polinomios. El problema final involucra encontrar la suma del mayor y menor número primo generado por un factor primo de un polinomio dado.

1. BIMONTHLY EXAM OF
ALGEBRA
"Los 12 Principios del carácter: (1) Honestidad, (2) Discernimiento, (3)
Compasión, (4) Gratitud, (5) Paciencia, (6) Disciplina, (7) Fortaleza,
(8) Perseverancia, (9) Humor, (10) Humildad, (11) Generosidad y (12)
Respeto "
-KATHRYN B. JOHNSON
Problema 1
Factorizar:
6x2
− 7xy + 2y2
+ 12x − 7y + 6
La suma de los coeficientes de unos de sus factores primos es:
Solución
Aplicando aspa doble
6x2 −7xy +2y2 +12x −7y +6
3x +2y 3
2x −1y 2
Agrupando términos tenemos
(3x − 2y + 3).(2x − y + 2)
ΣCoe f icientes = 2 − 1 + 2 = 3
Problema 2
Si el polinomio:
T(x) = x2
+ (2m − 1)x + (m + 1)(m − 2)
Es factorizable mediante un aspa simple (en los enteros), además: m Z m 13,
indique un factor primo:

2. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
Solución
x2 +(2m − 1)x +(m + 1)(m − 2)
x (m + 1)
x (m − 2)
(x + m + 1).(x + m − 2)
x + m + 1
Problema 3
Un teatro tiene hasta el momento 143 butacas habilitadas y cada 20 de marzo
de cada año, se adquiere un número de butacas igual al número de factores primos
de:
p(x,y) = 12x2
+ 2xy2
− 2y4
+ 9x − 3y2
.
¿ Cuántas butacas en total tendrá el teatro en su aniversario que será el 19 de
marzo del 2025?
Solución
Aplicando aspa doble
12x2 +2xy2 −2y4 +9x −3y2 +0
4x +2y2 3
3x −1y2 0
Agrupando términos tenemos:
(4x + 2y2 + 3).(3x − y2)
#FP = 2
#Butacas = 143 + 6(2) = 155
Problema 4
Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de
la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de:
p(x) = 6x5
− 20x4
+ 63x3
− 118x2
+ 165x − 44.
en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos.
Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado
por h(x).
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3. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Solución
Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto
a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6)
Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y
b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que
x=1/3 es una raíz.
3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44
x = 1/3
2 -6 19 -33 44
÷3 6 -18 57 -99 132 0
2 -6 19 -33 44
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
(3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44
2x2 0x 11 = 11x2
1x2 −3x 4 = 8x2
0x2 19x2
Agrupando términos tenemos:
p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4)
h(x) = 2x2 + 11
h(0) = 11 h(10) = 211
Σ = 11 + 211 = 222
Problema 5
Al factorizar el polinomio
p(x) = (x − 1)4
+ 5(x − 1)2
+ 9
en Z [x],determine el resto de dividir la suma de los factores primos de p(x) por
x+2.
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4. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
Solución
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
(x − 1)4 +0(x − 1)3 +5(x − 1)2 +0(x − 1) +9
1(x − 1)2 1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2
1(x − 1)2 −1(x − 1) 3 = 3(x − 1)2
−(x − 1)2 6(x − 1)x2
Agrupando términos tenemos:
[(x − 1)2 + (x − 1) + 3].[(x − 1)2 − (x − 1) + 3]
Σ Factores primos= 2(x − 1)2 + 6
Piden resolver
2(x − 1)2
+ 6
x + 2
Utilizando el teorema del resto tenemos:
R = 2(−2 − 1)2 + 6 = 24
Problema 6
Factorice los polinomios:
P (x, y) = 6x2
+ 19xy + 15y2
− 11x − 17y + 4
F (x, y) = x2
+ 2xy + y2
+ 3x + 3y − 4
y señale como respuesta el factor primo no común de mayor suma de coefi-
cientes.
Solución
Aplicando aspa doble tenemos:
6x2 +19xy +15y2 −11x −17y +4
3x +5y −4
2x 3y −1
Agrupando tenemos:
(3x + 5y − 4).(2x + 3y − 1)
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5. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
De igual forma tenemos:
x2 +2xy +y2 +3x +3y −4
x y +4
x y −1
Agrupando tenemos:
(x + y + 4).(x + y − 1)
(x + y + 4)
Problema 7
Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes del polinomio:
p(x) = x4
− 2x3
− 13x2
+ 14x − 24
Solución
Aplicando aspa doble especial tenemos:
x4 −2x3 −13x2 +14x +24
1(x)2 1x −6 = −6x2
1(x)2 −3x −4 = −4x2
−3x2 −10x2
Agrupando términos y aplicando un aspa simple tenemos:
(x2
+ x − 6).(x2
− 3x − 4)
(x2 +x −6) (x2 −3x −4)
x 3 x −4
x −2 x +1
Agrupando términos tenemos:
(x + 3)(x − 2)(x − 4)(x + 1)
ΣCoe f(x+3) = 1 + 3 = 4
Problema 8
En el polinomio:
P(a, b) = a3
b + a2
b − a3
− a2
,
calcule la suma entre el número de factores algebraicos y el número de factores
primos.
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6. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA
Solución
Agrupando términos tenemos:
P(a, b) = a3b + a2b − a3 − a2
P(a, b) = ba2(a + 1) − a2(a + 1)
P(a, b) = (a + 1(ba2 − a2)
P(a, b) = a2(a + 1)(b − 1)
#FA = 3(2)(2) − 1 = 11
#FP = 3
Σ = 11 + 3 = 14
Problema 9
¿ Cuál de los polinomios no es factor primo de P(x), donde P(x) = 2x4 + x3 −
9x2 − 4x + 4?
Solución
Aplicando aspa doble especial tenemos:
2x4 +x3 −9x2 −4x +4
2x2 1x −1 = −x2
1x2 0x −4 = −8x2
0x2 −9x2
Agrupando términos tenemos y aplicando un aspa simple tenemos:
(2x2 +x −1) (x2 −4)
2x −1 x 2
1x 1 x −2
Agrupando términos tenemos:
(2x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 2)
No es un factor primo: 2x + 1
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7. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA
Problema 10
Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de
la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de:
p(x) = 6x5
− 20x4
+ 63x3
− 118x2
+ 165x − 44.
en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos.
Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado
por h(x).
Solución
Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto
a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6)
Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y
b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que
x=1/3 es una raíz.
3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44
x = 1/3
2 -6 19 -33 44
÷3 6 -18 57 -99 132 0
2 -6 19 -33 44
Ahora aplicando aspa doble especial tenemos:
(3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44
2x2 0x 11 = 11x2
1x2 −3x 4 = 8x2
0x2 19x2
Agrupando términos tenemos:
p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4)
h(x) = 2x2 + 11
h(0) = 11 ∧ h(10) = 211
la distancia es 211 − 11 = 200
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