Este documento trata sobre lenguajes regulares, expresiones regulares y autómatas finitos. Explica que los lenguajes regulares contienen "regularidades" o repeticiones de componentes. Luego define las condiciones para que un lenguaje sea regular y da ejemplos de expresiones regulares. Finalmente, describe los componentes de un autómata finito y cómo se pueden transformar expresiones regulares en autómatas finitos y viceversa.

1. Universidad Iberoamericana (UNIBE)
Prof. Rhina Familia

2. Kilson Jiménez 12-0639
Janny Luz Pérez 11-1178
Silvia Nathaly Rodríguez 11-1165

3.  Los lenguajes regulares se llaman así porque sus palabras
contienen “regularidades” o repeticiones de los mismos
componentes, como por ejemplo en el lenguaje L1 siguiente:
L1 = {ab, abab, ababab, abababab, . . .}

4. Un lenguaje L es regular si y solo si se cumple al menos una de
las condiciones siguientes:

5. Sea el lenguaje L de palabras formadas por a y b, pero que
empiezan con a, como aab, ab, a, abaa, etc. Probar que este
lenguaje es regular, y dar una expresion de conjuntos que lo
represente.

6. Una expresión regular es una forma de representar a los lenguajes
regulares (finitos o infinitos) y se construye utilizando caracteres del
alfabeto sobre el cual se define el lenguaje.
Más específicamente, las expresiones regulares se construyen utilizando
los operadores unión, concatenación y clausura de Kleene.

7.  Las ER son simplemente formulas cuyo propósito es representar cada una
de ellas un lenguaje. Así, el significado de una ER es simplemente el
lenguaje que ella representa.
Por ejemplo, la ER “Ø” representa el conjunto vacıo {}.
Una palabra de una letra como “a” empata con una ER consistente en la
misma letra “a”, “b” empata “b”, etc.

9. Ejemplo, la equivalencia R + S = S + R quiere decir que la suma de expresiones, regulares
es conmutativa, por lo que si tenemos dos ER específicas, como a ∗ y b∗ab, entonces la ER
a∗+b∗ab será equivalente a la ER b∗ab+a∗, y ambas representarán las mismas palabras.

10.  Un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es
un modelo computacional que realiza cómputos en forma
automática sobre una entrada para producir una salida.
Formalmente, un autómata finito es una 5-tupla (Q, Σ, q0, δ, F) donde:6
es un conjunto finito de estados;
es un alfabeto finito;
es el estado inicial;
es una función de transición;
es un conjunto de estados finales o de aceptación

13.  Un autómata finito determinista (abreviado AFD) es
un autómata finito que además es un sistema determinista;
es decir, para cada estado en que se encuentre el autómata, y
con cualquier símbolo del alfabeto leído, existe siempre a lo
más una transición posible desde ese estado y con ese
símbolo.

18. Dos expresiones regulares r y s son equivalentes si describen el mismo lenguaje, es
Dos expresiones regulares r y s son equivalentes si describen el mismo lenguaje, es
decir, L(r) = L(s). A partir de la definición de equivalencia podemos comprobar
decir, L(r) = L(s). A partir de la definición de equivalencia podemos comprobar
las siguientes propiedades:
las siguientes propiedades:

20.  Tres modelos para expresar lenguajes regulares

22.  La prueba de que si un lenguaje es regular entonces es aceptado por un AF
consiste en dar un procedimiento para transformar en forma sistemática
una expresión regular en un autómata finito que acepte su lenguaje. Dicho
procedimiento se describe a continuación:
 La idea es hacer una transformación gradual que vaya convirtiendo la ER
en AF.
 Los AFN son un subconjunto propio de las GT, puesto que las palabras en
las etiquetas de un AFN pueden ser vistas como expresiones regulares que
se representan a si mismas.
 Ahora procederemos a describir el procedimiento de transformación de
ER a AFN.

23.  A partir de una ER es trivial obtener una GT que acepte el mismo lenguaje.
En efecto, sea R una ER; entonces, si G1 = ({q0, q1},, {(q0,R, q1)}, q0,
{q1}) entonces L(G) = L(R).

24. Obtener la ER equivalente al siguiente AFD:
 La expresión regular buscada es:

25.  La prueba de la parte “si” del teorema consiste en dar un
procedimiento para transformar en forma sistemática un
autómata finito en una expresión regular equivalente. Un
procedimiento para hacerlo consiste en ir eliminando
gradualmente nodos de una GT, que inicialmente es el AFN que
se quiere transformar, hasta que ´únicamente queden un nodo
inicial y un nodo final.
1) Nota: El ejemplo se realizara en la pizarra

26. Pasos:

27. Ventajas:
 Método mecánico que permite obtener la expresión regular
 Aunque hemos supuesto AFD, es válido para AFND y AFND-ε
 Implementación recursiva
Desventajas:
 La aplicación del método es costosa (≅ n3 expresiones para
 un autómata con n estados) La longitud de las expresiones puede crecer en un factor 4 en cada
paso ⇒ expresión regular del orden de 4n símbolos si no se simplifica
 Implementación recursiva ⇒ calcular repetidas veces una misma expresión regular (p.e. rk-1 kk en
el paso i-ésimo)

28. Una gramática es un conjunto de reglas para formar correctamente las frases
de un lenguaje. La formalización que presentaremos de la noción de
gramática es debida a N. Chomsky, y está basada en las llamadas reglas
gramaticales.
Las reglas de una gramática pueden ser vistas como reglas de reemplazo.

29. Son gran áticas cuyas reglas son de la forma A → aB o bien A → a, donde A y
B son variables, y a es un carácter terminal.

30. Una gramática regular es un cuádruplo (V,,R, S) en donde:
 V es un alfabeto de variables,
 es un alfabeto de constantes,
 R, el conjunto de reglas, es un subconjunto finito de V × (V [ ).
 S, el símbolo inicial, es un elemento de V .

31. Dicho de otra manera, una palabra w Є ∑* es derivable a partir de G si S w, donde
denota la cerradura reflexiva y transitiva de .

32. El lenguaje generado por una gramática G, L(G), es igual al conjunto de
las palabras derivables a partir de su símbolo inicial.

33. Teorema.- La clase de los lenguajes generados por alguna gramática
regular es exactamente la de los lenguajes regulares.
Los AF están limitados a los estados de que disponen como único medio para “recordar” la serie de
símbolos recibidos hasta un momento dado. Por lo mismo, varias secuencias distintas de caracteres
que llevan a un mismo estado son consideradas como indistinguibles.

34. Referencias
 http://virtual.unibe.edu.do/file.php?file=
%2F712%2FRamon.Brena.-.Automatas.y.Lenguajes_-_By_Santirub.pdf