1. Los lenguajes regulares son aquellos cuyas palabras contienen regularidades o repeticiones de componentes. 2. Un lenguaje es regular si es finito, la unión o concatenación de otros lenguajes regulares, o la cerradura de Kleene de algún lenguaje regular. 3. Las expresiones regulares representan lenguajes regulares mediante símbolos y reglas que definen su estructura.

1. Robín Peña 12-0914
Noel Gutiérrez 12-0723

2. Lenguajes Regulares
Los lenguajes regulares se llaman así porque sus palabras contienen regularidades”
o repeticiones de los mismos componentes, como por ejemplo en el lenguaje L1
siguiente:
L1 = {ab, abab, ababab, abababab, . . .}
Definicíon.- Un lenguaje L es regular si y sólo si se cumple al menos una de las
condiciones siguientes:
L es finito;
L es la unión o la concatenación de otros lenguajes regulares R1 y R2, L = R1 [
R2 o L = R1R2 respectivamente.
L es la cerradura de Kleene de algun lenguaje regular, L = R.

3. Definición.- Sea un alfabeto. El conjunto ER de las
expresiones regulares sobre contiene las cadenas en el
alfabeto [ {“^”, “+”, “•”, “”, “(”, “)”, “”} que cumplen con lo
siguiente:
1. “^” y “” 2 ER
2. Si 2 , entonces 2 ER.
3. Si E1,E2 2 ER, entonces “(”E1“+”E2“)” 2 ER, “(”E1“•”E2“)” 2
ER, “(”E1“)”
2 ER.
Las comillas “ ” enfatizan el hecho de que estamos
definiendo cadenas de texto, no expresiones matemáticas 3.
Es la misma diferencia que hay entre el carácter ASCII
“0”, que se puede teclear en una terminal, y el número
0, que significa que se cuenta un conjunto sin ningún
elemento.

4. Las ER son simplemente formulas cuyo propósito es
representar cada una de ellas un lenguaje. Así, el
significado de una ER es simplemente el lenguaje que ella
representa.
Por ejemplo, la ER “” representa el conjunto vacío {}.
1. L(“”) = ; (el conjunto vacío)
2. L(“^”) = {"}
3. L(“”) = {}, 2 .
4. L(“(”R“•”S“)” ) = L(R)L(S),R, S 2 ER
5. L( “(”R“+”S“)” ) = L(R) [ L(S),R, S 2 ER
6. L( “(”R“)” ) = L(R),R 2 ER

5. Ejemplo.- Obtener una ER para el lenguaje en el alfabeto {a, b, c} en que las palabras contienen
exactamente una vez dos b contiguas. Por ejemplo, las palabras aabb, babba, pertenecen al lenguaje, pero no
aaba, abbba ni bbabb.
Para resolver este problema, expresamos primero la estructura de la ER de la manera
siguiente:
< contexto1 > bb < contexto2 >
Podemos ver que en esta expresión aparecen directamente las bb que deben estar en la ER, rodeadas por otras dos
ER, que son < contexto1 > y < contexto2 >. Ahora el problema es determinar qu´e ER corresponden a < contexto1 > y <
contexto2 >, lo cual es un su problema del problema original. El lenguaje de < contexto1 > comprende a las palabras
que no tienen bb y además no terminan en b. Esto es equivalente a decir que toda b esta seguida de una a o una c.
Esto quiere decir que la ER de este contexto va ser de la forma:
(. . . b(a + c) . . .)
donde los detalles que faltan están representados por las “. . .”. Lo que falta por considerar
es que puede haber cualquier cantidad de a’s o c’s en el < contexto1 >, por lo que dicho
contexto queda como:
(b(a + c) + a + c)
Similarmente se puede obtener la expresión para < contexto2 >, que es (a + c + (a + c)b),
por lo que finalmente la ER del problema es:
(b(a + c) + a + c)bb(a + c + (a + c)b)

6. 1. R + S = S + R, (R + S) + T = R + (S + T), R + = + R = R, R + R = R
2. R • ^ = ^ • R = R, R • = • R = , (R • S) • T = R • (S • T)
3. R • (S + T) = R • S + R • T, (S + T) • R = S • R + T • R
4. R = R • R = (R) = (^ + R), = ^ = "
5. R = ^ + RR
6. (R + S) = (R + S) = (RS) = (RS)R = R(SR) 6= R + S
7. RR = RR, R(SR) = (RS)R
8. (RS) = ^ + (R + S)S, (RS) = ^ + R(R + S)
9. R = SR + T ssi R = ST, R = RS + T ssi R = TS

7. Por ejemplo, el conjunto de todas las palabras formadas por a’s y
b’s, que es el conjunto infinito {", a, b, ab, ba, aaa, aab, . .
.}, puede ser representado mediante la cadena de caracteres
“{a, b}”, que es una palabra formada por caracteres del alfabeto
{“a”,“b”,“{”,“}”,“”, “,” }. Como vemos en este ejemplo, una cadena de
caracteres de 6 caracteres puede representar todo un lenguaje
infinito.
Teorema.- El conjunto de los lenguajes en un alfabeto finito es
incontable.

8. Teorema de Kleene.- Un lenguaje es regular si y solo si es
aceptado por algún autómata finito.

9. Una posible solución es el uso de las graficas de transición. Estas ´ultimas son esencialmente AFN en
que las etiquetas de las flechas tienen expresiones regulares, en lugar de palabras. Las graficas de
transición (GT) son por lo tanto quíntuplos (K,,, s, F) en donde 2 K × ER × K.
Los AFN son un subconjunto propio de las GT, puesto que las palabras en las etiquetas de un AFN
pueden ser vistas como expresiones regulares que se representan así mismas.

10. Un procedimiento para hacerlo consiste en ir
eliminando gradualmente nodos de una
GT, que inicialmente es el AFN que se quiere
transformar, hasta que únicamente queden un
nodo inicial y un nodo final.

11. 1. El primer paso en este procedimiento
consiste en añadir al autómata finito un
nuevo estado inicial i, mientras que el
antiguo estado inicial q0 deja de ser
inicial, y un nuevo estado final f, mientras
que los antiguos estados finales qi ∈ F
dejan de ser finales;
2. El segundo paso consiste en eliminar
nodos intermedios en la GT.

13. Una gramática es un conjunto de reglas para
formar correctamente las frases de un lenguaje; así
tenemos la gramática del español, del francés, etc
Una regla es una expresión de la forma α → β, en
donde tanto α como β son cadenas de símbolos en
donde pueden aparecer tanto elementos del alfabeto
Σ como unos nuevos símbolos, llamados variables.
Los símbolos que no son variables son constantes.

14. Formalizamos estas nociones con las siguientes
definiciones:
Definición.- Una gramática regular es un
cuádruplo (V, Σ, R, S) en donde:
V es un alfabeto de variables,
Σ es un alfabeto de constantes,
R, el conjunto de reglas, es un subconjunto finito
de V × (ΣV ∪ Σ).
S, el símbolo inicial, es un elemento de V

15. Teorema.- La clase de los lenguajes generados
por alguna gramática regular es exactamente
la de los lenguajes regulares.
Limitaciones de los lenguajes
regulares
Los AF están limitados a los estados de que
disponen como único medio para “recordar” la
serie de símbolos recibidos hasta un momento dado.

16. Teorema.- Si L es un lenguaje regular
infinito, entonces existen cadenas x, y, z tales
que
y 6= ε, y xynz ∈ L, para algún n ≥ 0.
Lo que este resultado establece es
que, suponiendo que cierto lenguaje es
regular, entonces forzosamente dicho
lenguaje debe contener palabras en que una
subcadena se repite cualquier número de