Alfabetos-Lenguajes y Automatas 1

Alfabetos, palabras, Lenguajes y
autómatas.
Clase # 2 – Compiladores e
Interpretes
Luis Ochoa
ziul1979@gmail.com

Repaso General
• Conjuntos: Un conjunto como se puede ver a grandes rasgos
como una colección de individuos u objetos . Los conjuntos se
pueden expresar de dos maneras:
En extensión, lo cual quiere decir que citamos
explícitamente cada uno de sus elementos, como en
el conjunto {1, 3, 5} que contiene exactamente los
números 1, 3 y 5.números 1, 3 y 5.
En intención, dando una descripción precisa de
los elementos que forman parte del conjunto, en
vez de citarlos explícitamente. Por ejemplo, el
conjunto del punto anterior puede ser visto como:
{i Є N | impar(i), i < 6}
donde se supone que los números impares
cumplen la condición impar(i).
La notación a Є B
significa que a es
elemento o está
contenido en el
conjunto B; por
Ejemplo:
{2, 3} Є {1, {2, 3}, 4}
Para indicar que a no
está en B se escribe
a Є B.
La notación a Є B
significa que a es
elemento o está
contenido en el
conjunto B; por
Ejemplo:
{2, 3} Є {1, {2, 3}, 4}
Para indicar que a no
está en B se escribe
a Є B.

• El tamaño de un conjunto es el número de elementos que contiene,
y se representa como |A| para un conjunto A. Por ejemplo, el
tamaño de {a, b, c} es 3, y el tamaño del conjunto vació es cero.
Aunque existen conjuntos con tamaños no muy claros.
• Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si tienen los mismos
elementos, esto es, x Є A si x Є B. Por ejemplo {1, {2, 3}} = {{3,
2}, 1} vemos que en los conjuntos el orden de los elementos es
irrelevante.
Repaso General
irrelevante.
• Se supone que en los conjuntos no hay repeticiones de elementos, y
que cada elemento del conjunto es distinto de todos los otros
elementos.
• La notación A C B significa que el conjunto A está “contenido” en el
conjunto B, o más técnicamente, que A es subconjunto de B. Por
ejemplo, el conjunto {a, c} es subconjunto de {a, b, c}, indicado
como {a, c} C {a, b, c}. En otras palabras, A C B cuando siempre
que x Є A, tenemos también x Є B. Obsérvese que de acuerdo con
esta definición, A Є A para cualquier conjunto A: todo conjunto es
subconjunto de sí mismo.

• Para indicar que un subconjunto contiene menos elementos que otro, es
decir, que es un subconjunto propio de éste, se escribe A C B. Por
ejemplo, {a, c} C {a, b, c}. Claramente, A = B si A C B y B C A.
Obsérvese también que si A C B, entonces |A| ≤ |B|, y si A C B,
entonces |A| < |B|.
• Operaciones con conjuntos:
▫ Unión: A U B contiene los elementos del conjunto A y también los
del conjunto B, es decir, {x | x Є A o x Є B}. La unión de conjuntos es
conmutativa.
▫ Intersección: A ∩ B contiene los elementos que pertenecen
Repaso General
▫ Intersección: A ∩ B contiene los elementos que pertenecen
simultáneamente al conjunto A y al conjunto B, es decir, A ∩ B = {x |
x Є A y x Є B}. Por ejemplo, {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}.Es conmutativa y
asociativa.
▫ Complemento: Dado un universo (ejemplo números naturales),
contiene entonces el complemento del conjunto contiene los
elementos del universo que no están en el conjunto. Ejemplo:
U=números naturales A= {2,4,6…} Ac = {1,3,5…}
▫ Producto Cartesiano: de dos conjuntos, A × B, es el conjunto de
pares ordenados (a, b) tales que a Є A y Є 2 B. Por ejemplo,
{1, 2} × {3, 4, 5} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
El tamaño de A×B es |A| multiplicado por |B|.

• Se llama relación a todo subconjunto de un producto
cartesiano; por ejemplo la relación ≤ contiene los pares de
números naturales tales que el primer componente es menor
o igual al segundo, esto es, ≤ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), . . .}
o relación “x es padre de y”, siendo “x” y “y” conjuntos de
personas.
• Un caso particular de las relaciones son las funciones, que
Repaso General
• Un caso particular de las relaciones son las funciones, que
son relaciones en que no hay dos pares ordenados que tengan
el mismo primer componente. Es decir, los pares ordenados
asocian a cada primer componente un único segundo
componente. Por ejemplo, la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} no
es una función, pero {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} sí lo es. Tomando
como ejemplo las familias, la relación de hermanos no es una
función, pero la relación de cada quien con su padre sí lo es
(cada quien tiene a lo más un padre).

• Además de los conjuntos “finitos” ( con un
número de elementos determinado ) también
puede haber conjuntos infinitos, cuyo tamaño no
puede expresarse con un número; un ejemplo es
el conjunto de los números naturales N = {1, 2,
Repaso General
el conjunto de los números naturales N = {1, 2,
3, . . .}. Aún a estos conjuntos pueden aplicarse
todas las operaciones antes descritas.

Conceptos
Alfabeto: Conjunto finito y no vació cuyos
elementos se denominan símbolos. Se designa
normalmente con las letras: Σ o Γ
Ejemplos:Ejemplos:
{0,1}
{a,b,c…,x,y,z}
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{a,b}

Conceptos
Palabra: es una secuencia finita de símbolos de un alfabeto,
las mismas se pueden crear especificando un alfabeto
determinado.
Ejemplos:
Si el alfabeto es {a,b}:Si el alfabeto es {a,b}:
aba, bab, a, b, bbbbabababababababababababababbaba
Si el alfabeto {0,1}:
0,1,01,11,10,…
Existe una palabra especial que representa una secuencia vacía
de símbolos, y a menudo se llama la palabra vacía, y se
representa con la letra griega λ

Subpalabras, prefijos y sufijos
• Subpalabras: subsecuencias de símbolos consecutivos de una
palabra, a menudo se usan las palabras factor o infijo.
Ejemplo:
La palabra bba contiene las siguientes subpalabras:
{λ,a,b,bb,ba,bba}
es importante las palabras en negritas son también consideradas subpalabras
impropias, las demás son subpalabras propias.
• Prefijos: subpalabras al principio de una palabra.• Prefijos: subpalabras al principio de una palabra.
• Sufijos: subpalabras al final de una palabra.
▫ Nota: La palabra vacía y entera se consideran sufijos y prefijos de cualquier
palabra.
Ejemplo:
▫ Los prefijos de la palabra bbaab son {λ,b,bb,bba,bbaa,bbaab} se observan
los prefijos propios en azul
▫ Los sufijos son {λ,b,ab,aab,baab,bbaab} se observan los sufijos propios en
azul

Lenguaje
• Se considera un lenguaje como un conjunto de palabras
sobre un alfabeto determinado.
• Para designarlo normalmente se usa la letra L, con
subíndices, si es necesario, y otras letras mayúsculas del
alfabeto latino.
Ejemplos sobre el alfabeto Σ={a,b}:
L1={a,aa,aaa,aaaa}
L2={a,b,aa,ab,ba,bb}
L3={aabb} con una sola palabra
L4={λ}
L5={}=ø
Pueden ser infinitos como:
▫ El lenguaje sobre Σ={a,b} de todas las palabras que tengan
tantas letras a como letras b.
▫ El lenguaje de todas las palabras sobre Σ={a,b,c}

Concatenación: construir una palabra nueva añadiéndole los símbolos
de la segunda tras los símbolos de la primera. Se representa con un punto
(●) normalmente, a veces si no es necesario se omite. Ejemplo:
aaa ● bbb = aaabbb
aba ● λ = aba
Operaciones sobre palabras
Propiedades:
No es conmutativa w1 ● w2 ≠ w2 ● w1
Es asociativa (w1 w2) w3 = w1 (w2 w3)
Tiene como elemento neutro la palabra vacía (λ).
Se puede representar la concatenación de una palabra consigo misma
usando la representación exponencial, ejemplo:
www = w3
ww = w2
w0 = λ

Operaciones sobre lenguajes
Las operaciones conjuntistas:
• La unión (U).
• La intersección (∩).
• La complementación (c).
• La diferencia (-).• La diferencia (-).
Propiedades básicas:
▫ (Lc)c = L
▫ (L1 U L2)c = L1
c ∩ L2
c
▫ (L1 ∩ L2)c = L1
c U L2
c
▫ L1 - L2 = L1 ∩ L2
c

La Concatenación: la concatenación de dos lenguajes L1 y
L2, es otro lenguaje formado por todas las palabras que se
pueden construir concatenando una palabra de L1 con L2.
L1 ● L2 = { x ● y | x Є L1 ^ y Є L2 }
Propiedades:Propiedades:
No es conmutativa.
Es Asociativa.
El elemento neutro es la palabra vacía λ.
No es distributiva, L1(L2 ∩ L3) ≠ L1L2 ∩ L1L3
Se puede representar la concatenación de un lenguaje
consigo mismo usando la notación exponencial.
Se pueden concatenar lenguajes con palabras.

La inversión: no es mas que el lenguajes formado por los inversos de las
palabras de L, y se denota con LR
Clausura, Cierre o Estrella de Kleene:
Su concepto es simple: El mismo es la unión de {λ} con el conjunto de todas las
palabras que se pueden formar concatenando entre sí palabras de este mismo
lenguaje.
Por ejemplo si L={a,ba} entonces
L0={λ}
L1=L={a,ba}
L2={aa, aba, baa, baba}
…
Así L*=L0 U L1 U L2 U …
¿Si fuese L={b} o L={aa} como quedaría la clausura?

• Clausura, Cierre Positivo de Kleene:
Su concepto es simple: Es similar a L*, solo difiere en que no posee L0, a diferencia
de L* que si lo posee.
Por ejemplo si L={a,ba} entonces
L0={λ}
L1=L={a,ba}
L2={aa, aba, baa, baba}
…
Así L+=L1 U L2 U …
¿Si fuese L={b} o L={aa} como quedaría la clausura?

Cierres de un alfabeto: Σ* Σ+
• Dado que un alfabeto puede ser considerado un
lenguaje formado por palabras de un solo símbolo
(longitud 1), las operaciones de cierre de Kleene y
cierre positivo de Kleene también son aplicables a
los alfabetos.los alfabetos.
• Σ* : Conjunto de todas las palabras sobre Σ.
• Σ+ : Conjunto de todas las palabras sobre Σ de
longitud no nula.

Definición de Lenguaje
Para definir un lenguaje lo podemos hacer de dos
maneras, formal e informal:

Autómatas finitos
• ¿Qué es un autómata finito?
• Autómatas finitos que reconocen lenguajes.
• Cómo hay que imaginarse un autómata finito.

¿Que es un autómata finito?
Es un modelo matemático de los sistemas que posee las
siguientes características:
I. En cada momento el sistema se encuentra en un estado
y el conjunto total de estados en los que se puede
encontrar un sistema es finito.
II. Pueden responder a un número finito de
acontecimientos diferentes.
III. El estado en el que se encuentra el sistema resume toda
la información referente a todos los acontecimientos
pasados.
IV. La respuesta a un acontecimiento solo se determina en
función del acontecimiento y del estado en que se
encuentra el sistema.
Por ejemplo: Un interruptor mecánico biestable, un
ascensor, etc.

Autómatas finitos y los lenguajes
Aunque existen muchos usos para los autómatas
finitos, en nuestro caso particular, consideraremos
los autómatas finitos como:
Maquinas conceptuales reconocedoras de
lenguajeslenguajes
Y por lo tanto la tarea realizada por los mismos
será:
responder a la pregunta de si una palabra
pertenece a un lenguaje o no.

Como imaginamos un autómata finito, desde
nuestra perspectiva de reconocedores de
lenguajes:
• La forma más habitual de hacerlo consiste en
imaginar a los autómatas como máquinas que
constan de una unidad central con un cabezal
capaz de leer una cinta sobre la cual se han escrito,capaz de leer una cinta sobre la cual se han escrito,
de izquierda a derecha los símbolos de la palabra
que se intenta reconocer.
• Inicialmente esta unidad se encuentra en un
estado inicial denominado (qo), y el cabezal está
totalmente a la izquierda de la cinta, sin haber
leído todavía ninguno de los símbolos que
contiene.

Como imaginarse un autómata finito.
Autómata en estado inicial:

Como imaginarse un autómata finito.
Cuando se lee un símbolo y se cambia de estado se
denomina transición:

Representación Gráfica de los
Autómatas finitos
Esta es su representación más usada, y es la siguiente:
1. Los estados son círculos que llevan dentro el nombre que
los identifica.
2. El estado Inicial tendrá una pequeña flecha sobre este.2. El estado Inicial tendrá una pequeña flecha sobre este.
3. Los estados aceptadores se indicaran con una pequeña
cruz que sale de ellos.
4. Las posibles transiciones, en función de los símbolos
leídos, se indicaran con flechas que van de un estado al otro
(o a sí mismo). Las mismas estarán etiquetadas con el
símbolo que produce el cambio de estado.

Autómatas finitos – Conceptos Básicos.
Algunas otras cosas importantes a tener en cuenta son:
• Los estados del autómata están divididos en dos
categorías, los estados llamados aceptadores o
finales y los estados llamados no aceptadores.
• Cuando el estado en que se encuentra la maquina es
aceptador, significa que la palabra que va desde el
inicio de la cinta hasta el símbolo actual se reconoce
como perteneciente al lenguaje.
• Por el contrario, si al llegar al final de la palabra (y la
cinta) la máquina queda en un estado que no sea
aceptador, la palabra no pertenece al lenguaje.

Representación Gráfica de los
Autómatas finitos
Por ejemplo:

Procesamiento de una palabra por
parte de un autómata
Supongamos que en el autómata anterior se
procesa la palabra w=aabab:
1. Inicialmente se esta en el estado A.1. Inicialmente se esta en el estado A.
2. Cuando se lee el símbolo a se evoluciona hacia el
estado B.
3. Cuando se lee el segundo símbolo a, se
evoluciona de B hasta B.
4. Cuando se lee el símbolo b, se evoluciona de B
hacia D.

Procesamiento de una palabra por
parte de un autómata
5. Cuando se lee el símbolo a, se evoluciona desde
D hasta B.
6. Finalmente el autómata lee el último símbolo a,
y evoluciona desde B hacia D y debido a que ya
se proceso completamente la palabra y else proceso completamente la palabra y el
autómata que ubicado en un estado aceptador,
se puede decir que la palabra aabab ha sido
reconocida como perteneciente al lenguaje L.
Importante: No basta con que una palabra pase por
un estado aceptador para decir que el lenguaje la
acepto, ya que es necesario que el último estado sea
aceptador.

Autómatas finitos y algoritmos
Cualquier autómata finito se puede
representar como un algoritmo, en
el cual independientemente de la
longitud de la palabra de entrada, la
cantidad de memoria que debe
consumirse para realizar el
procesamiento es siempre la
misma.misma.
Su estructura básica es:
Ciclo
ejecución
autómata

Tipos de autómatas finitos
• Autómatas Finitos Determinista (DFA,
Deterministic Finite Automate).Deterministic Finite Automate).
• Autómatas Finitos No Determinista (NFA, Non-
Deterministic Finite Automate)

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