El documento explica diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo encontrar factores comunes, agrupar términos con factores comunes, diferencias y sumas de cuadrados y cubos, y trinomios cuadrados perfectos y de la forma x2 + bx + c. Proporciona ejemplos detallados de cada método y una estrategia general para factorizar expresiones.

1. Tema: Factorizaciones

2. Factorizar una expresión algebraica es hallar dos
o más factores cuyo producto es igual a la
expresión propuesta. La factorización puede
considerarse como la operación inversa a la
multiplicación, pues se buscan los factores de un
producto dado.
Palabras clave: factorizar, expresión
algebraica, producto.

3. • Cuando se habla de factorizar una expresión algebraica,
consiste en hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual
a la expresión propuesta. Por ejemplo:
• 15= (3)(5)
• 14ab= (2)(7)(a)(b)
• 5x + 5y= (5)(x + y)

4. • Al factor que aparece en todos los términos de una
expresión se le llama factor común.
• Si en una expresión todos sus términos tienen factor
común, este será uno de los factores de
factorización.
• Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es
determinar en la expresión el factor común, y luego
dividir todo el binomio o polinomio dado entre
dicho factor, indicando la factorización como el
producto del factor común por el cociente
obtenido.
(TIPOS DE
FACTORIZACIÓN)

5. • 4ab + 10ac=
• El factor común es a, por lo tanto la expresión
quedaría de la siguiente manera:
• a(4b + 10c) ó
• 2a(2b + 5c), ya que en la expresión anterior
todavía se puede seguir factorizando.

6. • Algunos polinomios no tienen un factor
común a todos los términos; pero puede
ocurrir que grupos de términos tengan cierto
factor común.
• Agrupándolos y factorizando cada grupo
puede resultar un factor común a todos los
grupos del polinomio.
• Estas factorizaciones se llaman por
agrupación de términos.

7. • Factoricemos ax + 2a + bx + 2b, notemos que
el polinomio no tiene un factor común a todos
los términos, pero se puede agrupar tomando
en cuenta los términos que tengan algún
factor común.
• (ax + bx) + (2a + 2b), donde los dos primeros
términos tienen a x como factor común, y los
dos últimos 2.

8. • Factorizando cada grupo quedaría: x(a + b) +
2(a + b).
• Resulta que (a + b) es un factor común de
todo el polinomio, por lo que factorizándolo
se tiene: x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b)
• Así ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)

9. • La diferencia de cuadrados es igual al
producto de dos binomios conjugados
formados por las raíces cuadradas de los
términos de esta diferencia, teniendo en
cuenta que los términos simétricos de los
binomios conjugados deben corresponder a
la raíz cuadrada del sustraendo en la
diferencia de cuadrados.

10. • Factoricemos 9a2 – 16b2
• Obtengamos la raíz cuadrada de 9a2 es: 3a
• Determinamos la raíz cuadrada de 16b2 es: 4b
• Obtenemos los binomios conjugados
multiplicando la suma de estas raíces (3a +4b)
por su diferencia (3a – 4b) y tendremos:
• 9a2 – 16b2= (3a + 4b)(3a - 4b)

11. • Una cantidad es cuadrado perfecto cuando
su raíz cuadrada es racional.
• Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene
un trinomio, este se denomina trinomio
cuadrado perfecto, ya que se obtiene al
elevar al cuadrado el binomio a + b, es
decir:
• (a + b)2= a2 + 2ab +b2

12. • X2 + 14x + 49
• La raíz cuadrada del primer término x2 es: x
• La raíz cuadrada del tercer término 49 es: 7
• Por lo tanto, x2 y 49 son cuadrados perfectos y
ambos términos tienen signos positivos.
• El doble del producto de las raíces es (2)(7)(x)=
14x, el segundo término
• Así x2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto

13. • A el resultado del producto de dos
binomios con un término común se le
conoce como: trinomio de la forma x2 +
bx +c, cuyo primer término es cuadrado
perfecto, el segundo término tiene un factor
igual a la raíz cuadrada positiva del primero
y el tercer término es independiente de la
letra del primer término.

14. • x2 + 5x + 6
• Se debe obtener dos binomios cuyo primer
término sea x, osea la raíz cuadrada del primer
término del trinomio (x )(x ).
• Ahora se debe encontrarlos segundos
términos, que deben ser 2 números cuyo
producto debe ser igual a 6 (el término
independiente), y cuya suma sea 5 (el
coeficiente de x)

15. • El producto (+6) es positivo, lo que indica
que ambos términos deben ser positivos o
negativos, además la suma también es
positiva (+5), por lo que ambos deben ser
positivos.
• Los números buscados son 2 y 3, ya que el
producto de estos da 6, y la suma de los
mismos da 5.
• Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)

16. • Trinomios de este tipo provienen de
multiplicar dos binomios, donde los
términos de un binomio son
semejantes a los términos del otro
binomio.

17. • Factoricemos 5x2 + 16 x +3
• Una forma de resolverlo es la siguiente:
podemos convertir este trinomio en otro
que tenga la forma x2 + bx + c, esto es
posible multiplicándolo por el coeficiente
del primer término así:
• 5(5x2) +5(16x) +5(3)
• Escribiéndolo de otro modo (5x)2 + 5(16x)
+ 5(3)

18. • Los factores deben ser dos binomios cuyo
primer término sea 5x y los segundos términos
deben ser dos números cuyo producto sea 15
y cuya suma sea 16:
• (5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1)
• Factorizando: = 5(x + 3)(5x + 1)
• Debido a que al trinomio original lo
multiplicamos por 5, la expresión anterior la
dividiremos entre 5 para tener la factorización
del trinomio original:
• 5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)

19. • Se tiene una suma o diferencia de cubos
cuando en un binomio ambos términos
tienen raíz cúbica racional.
• La suma de los cubos de 2 términos se
factoriza como el producto de dos factores,
uno de los cuales es la suma de las raíces
cúbicas de esos términos, y el otro es la
suma de los cuadrados de las mismas
raíces, disminuida en su producto.

20. • La diferencia de los cubos de dos términos
se factoriza como el producto de dos
factores, uno de los cuales es la diferencia
de las raíces cúbicas de esos términos, y el
otro es la suma de los cuadrados de las
mismas raíces, incrementada en su
producto.

21. • Factoricemos x3 + 27
• La Raíz cúbica de x3 + 27 es: (x + 3)
• El binomio anterior (x + 3) se eleva al
cuadrado
• (x + 3)[(x)2 -3(x) + 32)=
• (x + 3)(x2 - 3x + 9)

22. ESTRATEGIA GENERAL PARA
FACTORIZAR
• Cuando se te presente un expresión para
factorizar, después de observarla debes
analizar si tiene un factor común, en caso
de que lo tenga lo factorizas.
• Si no tiene factor común pasa a contar el
número de términos que tiene.

23. • Si es un binomio, analiza si es una diferencia de
cuadrados, diferencia de cubos o suma de cubos
y lo factorizas según el caso.
• Si la expresión no es binomio puede ser un
trinomio, en caso de serlo analiza si es trinomio
cuadrado perfecto, trinomio de la forma x2 + bx
+c, o trinomio de la forma ax2 + bx + c, y lo
factorizas según el caso.

24. • Si la expresión no es binomio ni trinomio, puede
ser un polinomio de más de 3 términos y en ese
caso debes analizar si se puede factorizar por
agrupación; en caso contrario ya habrás
terminado la secuencia.
• Después de factorizar de alguna de las formas
mencionadas debes analizar cada uno de los
factores obtenidos, realizando nuevamente la
secuencia, ya que es posible que alguno de los
factores se pueda factorizar.