Este documento trata sobre cómo factorizar expresiones algebraicas. Explica los diferentes tipos de factorización como polinomios con factores comunes, diferencias de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos y trinomios de la forma ax^2 + bx + c. También incluye ejemplos para practicar cada tipo de factorización.

1. unidad 4
APRENDAMOS A
FACTORIZAR

2. Se llama factores o divisores, a las expresiones algebraicas
que multiplicadas entre sí, dan como producto la primera
expresión.
Al proceso de encontrar los factores o divisores a partir de
una expresión determinada se llama descomposición
factorial o factores. En otras palabras, el factoreo, es el
proceso inverso de la multiplicación y la división, en
consecuencia de los productos y cocientes notables.
El proceso de encontrar factores, está dependiendo de
ciertas características que las expresiones algebraicas
presentan.

3. Las características más comunes de
polinomios factorizables, son:
1. Polinomios que tienen factores
comunes.
2. Binomios con diferencias de
cuadrados
3. Trinomios cuadrados perfectos
4. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

5. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS QUE
TIENEN FACTOR COMÚN
Un factor común está sobre la base de la ley distributiva del
producto sobre la suma.
La clave de la solución a estos ejercicios está en encontrar
dicho factor. En algunos polinomios es fácil y en otros, se
requiere de realizar procedimientos para identificarlos.
ejemplo:
En el polinomio:
ax + bx - 3x
El valor que se repite en todos los términos se denomina
factor común, y en este caso es “x”

6. Cuando se identifica el término común, se escribe como
coeficiente de un paréntesis, y dentro del paréntesis los
cocientes de dividir cada uno de los términos, entre el
factor común.

8. A) Cuando el polinomio tiene letras y/o números que se
repiten
Identificar las letras y números que se repiten, estas serán el
factor común.
Si éste, se encuentra con exponente, se selecciona el que es de
menor exponente. ejemplo:
m2x5 + m3y4 - m4n2 El factor común es m2
Se escribe el factor común como coeficiente de un paréntesis, y
dentro de éste, se coloca el cociente de dividir cada uno de los
términos de la expresión original entre el factor común,
identificado en el paso anterior.

9. B) Cuando los términos del polinomio tienen coeficientes
que son divisibles entre si.
Se obtiene el máximo común divisor (M.C.D) de todos los
coeficientes de la expresión y este será parte del factor común a
encontrar. Cuando existen una o varias letras que son comunes,
entonces se toma la de menor exponente. ejemplos:
Factorar 5x2 – 10x3y + 30x4y2
El MCD de los coeficientes 5 – 10 – 30 es 5
5 10 30 5
1 2 6
luego, la parte literal que se repite es x2
Siempre se deberá tomar la letra que tiene el menor exponente
En consecuencia, el factor común es 5x2

10. Factorar las expresiones:
1) x2 + x
2) 2x – 5x2
3) a3 b2 – 2a3b
4)16x3 + 4x5 – 12x7
5) 96 – 48mn2 + 144n3
6) 14x2y3 – 28x3 + 56x4
7)10ab + 15a2b + 25ab2 – 5ab

11. C) Cuando en el polinomio se encuentran
otros polinomios que se repiten
Cuando se identifican polinomios agrupados que se
repiten, se consideran como si fueran una sola
expresión y se realizan los procedimientos descritos
anteriormente. Ejemplo:
Descomponer:
2x(n – 1) – 3y (n – 1).
Se puede observar que el factor común es (n – 1)

12. D) POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Este tipo de polinomio presenta varios factores comunes,
por lo que se agrupan de acuerdo a los factores comunes
identificados en cada grupo. Ejemplo:
a) Factorar ax + bx +ay + b
Se agrupan los términos que tienen factores comunes, así:
(ax + bx) + (ay + by)
Se realiza el proceso de descomposición factorial de cada
una de las expresiones.
x (a + b) + y(a + b)
luego, se descomponen utilizando el procedimiento
aplicado anteriormente
Respuesta: ( a + b) (x + y)

13. b) Factorar x(a + 1) - a - 1
Esta expresión equivale a escribir x(a + 1) -1 (a +1)
En este caso el factor común es:
(a + 1)
Entonces dividimos la expresión original entre este
factor común:
Por lo tanto, la respuesta quedará:
(x -1) ( a + 1)

14. Factorar las expresiones:
1) 3x(x – 1) – 2y(x – 1) +2(x– 1)
2) x2(m – 1 - n) - (m – 1 - n )
3) 7a(x – y) + x – y
4) 4am3 – 12amn – m2 + 3n
5) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx
6) 6ax + 3a + 1 + 2x
7) nx – ny + nz + x – y + x
8) 3ax – 3x + 4y – 4ay
9) 4x(m – n) + n – m
10) d(x + y) – x – y

15. DIFERENCIA DE CUADRADOS
En los productos notables se pudo ver que la suma de dos
cantidades por su diferencia, es igual al cuadrado del
minuendo menos el cuadrado del sustraendo
Siempre aparecerán dos términos que tienen raíces
cuadradas exactas, separadas
por un signo menos.
El procedimiento para obtener la factorización de una
diferencia de cuadrados
es el siguiente:

17. Factorar las expresiones siguientes:
1) 16 – x6
2) b8 – 49
3) 1 – a4
4) 25x2 – 36y2
5) 4m8 – 121n4
6) 4 – (x – 2)2
7) (a + 2)2 – (1 – a)2
8) (2a – c )2 – (a + c)2
9) 25x2 – (5 + x)2
10) (x – y)2– (x – 1)2
11) (a + 1)2 - 4
12) (x -3)2 - (y + 3)2

18. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el
cuadrado de otra cantidad.
Así: a2 es un cuadrado perfecto porque es el
cuadrado de a, 9b2 es cuadrado perfecto por que
es el cuadrado de 3b.
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se
extrae la raíz de su coeficiente y se divide el
exponente de cada factor literal por 2.
Así, la raíz cuadrada de 16x4 es 4x2
Por productos notables sabemos que
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, por tanto

19. a2 + 2ab + b2 es el trinomio cuadrado perfecto porque es el
cuadrado de a + b
El procedimiento para identificar si un trinomio es cuadrado
perfecto es:
Ejemplo: 9x2 -12 xy + 4y2
Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto.
Se obtienen las raíces cuadradas del primero y tercer término
raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la raíz cuadrada de 4y2 es 2y
Se obtiene el doble del producto de las raíces obtenidas
anteriormente.
(2) (3x) (2y) = 12xy
Entonces 9x2 -12 xy + 4y2 = (3x – 2y)2

21. Factorar las expresiones:
1. 4a2 – 20ab + 25b2
2. 9b2 – 30a2b + 25a4
3. 49m6 + 25a2n4 – 70am3n2
4. 4x2 – 12xy + 9y2
5. 4m2 + 9n2 + 12mn

22. Existen ocasiones en que el trinomio cuadrado perfecto, se
encuentra implícitamente con otros términos, es decir, pueden
no aparecer tres términos, sino cuatro o más.
Considere las ilustraciones siguientes:
1) Factorar: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy
SOLUCIÓN:
Se identifica el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo dentro
de un paréntesis.
Se ordenan 4x2+ 20xy + 25y2 – 36
Se agrupan (4x2+ 20xy + 25y2) – 36
Descomponer el trinomio cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada de 4x2 es 2x
La raíz cuadrada de 25y2 es 5y
Luego 2(2x) (5y) = 20xy

23. Se verifica si el término independiente tiene raíz
cuadrada exacta, en caso de no tenerlo, termina el
ejercicio, pero si tiene raíz cuadrada exacta, se
realiza una diferencia de cuadrado.
(2x + 5y)2 – 36
Luego, se factoriza la diferencia de cuadrados.
[(2x+5y)+6][(2x+5y)-6]
(2x + 5y + 6) (2x + 5y - 6) respuesta

24. 2) Factorar: a2 + 2ab + b2 - 1
Encuentra los factores del polinomio siguiente:
a2 + 2ab + b2 – 1
Se identifican el trinomio cuadrado perfecto
(a2 + 2ab + b2 ) – 1
Se factorizan el trinomio (a + b)2 – 1
Se factorizan las diferencias de cuadrados
(a + b + 1) (a + b - 1) respuesta

25. Factorar las expresiones
1) 9x2 + 25y2 – 30xy – 16
2) m2 + 2mn + n2 – 25
3) m2 – x2 –2xy – y2
4) 25 – x2 – 16y2 + 8xy
5) 49x4 25x2 – 9y2 + 30xy
6) a2 – 16 – x2 + 36 + 12a – 8x

26. TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx +c
Anteriormente se estudió en los productos
notables que (3x + 5) (4x + 6) se obtiene 12x2 +
12x + 30, en la misma forma se puede realizar el
procedimiento inverso así:

27. Para poder realizar el camino inverso y decir que los factores
de 3x2 – 5x -2
son (x - 2) (3x + 5)
descomponer en sus factores el polinomio
3x2 - 5x - 2
El primer coeficiente se deberá multiplicar por cada uno de los
términos, dejando indicado el segundo término con el valor que
posee y en la misma forma se deberá dividir por el mismo valor
para no alterar la expresión.
Lógicamente si el primer coeficiente tiene valor de uno, no se
deberá hacer esta parte

28. 3(3x - 5x - 2)
3
Se multiplica todo el trinomio por el mismo factor del primer término, y
dividiéndolo por el mismo factor
9x - 5(3x) - 6
3
se descompone en dos términos haciendo uso de paréntesis, escribiendo
en cada uno de ellos la raíz cuadrada del primer término.
(3x ) (3x )
3
Se escribe el signo en cada paréntesis el cual se hace de la manera
siguiente:
a) El signo que le corresponde al primer paréntesis es el mismo que
tiene el segundo término del trinomio;
b) El signo correspondiente al segundo paréntesis es el resultado de
la
multiplicación de los signos del segundo y el tercer término del
trinomio.

29. Se escribe el segundo término de los paréntesis, de acuerdo a los dos
signos encontrados en el paso anterior, los cuales se hacen con los
criterios siguientes:
a) Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma,
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y el producto
del tercer término.
Estos dos números encontrados serán los segundos valores de los
binomios.

30. b) Si los signos son contrarios, se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del
trinomio y el producto sea igual al tercer término.
Para que no exista la posibilidad de equivocarse, escribe
siempre el número mayor en el primer paréntesis.
Estos dos números encontrados, serán los segundos valores de
los binomios.
Como los signos que tienen los paréntesis son distintos, se
buscan dos números que multiplicados resulten 6 y restados
resulten 5
6 x 1 = 6 y 6 - 1 = 5
( 3x - 6 ) ( 3x + 1 )
3 * 1

31. Se obtiene el factor común del primer
paréntesis y se simplifican si es posible
1
3 (x - 2 ) (3x + 1 )
3
Luego:
3x2 - 5x - 2 = (x - 2) (3x + 1)

32. Factorar las expresiones:
1) x2 + 7x + 10
7) 12 – 7m – 10m2
2) 2x2 + 3x – 2
8) m – 6 + 15m2
3) x2 + 3x – 10
9) c2 + 33 - 14c
4) 5x2 + 13x – 6
10) 18p2 - 13p - 5
5) c2 + 5c – 24
11) 20x2 + 7x - 6
6) 9b2 + 10b + 1
12) 15 + 2n - n2

33. Cuando tenemos una suma de cubos y queremos
factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos
cantidades y estas son colocadas en un paréntesis,
separadas por el mismo signo de la suma.
A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos en
el la primera cantidad elevada al cuadrado, menos la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la
segunda cantidad.

34. Ejemplo:
Factorizar 8m3 + n3 =(2m+n)[(2m)2-(2m)(n)+(n)2]
=(2m+n)(4m2-2mn+n2)
2m n
√
3 3
√

35. Cuando tenemos una diferencia de cubos y queremos
factorizarla, sacamos la raíz cúbica de las dos
cantidades y estas son colocadas en un paréntesis,
separadas por el mismo signo de la resta.
A continuación abrimos otro paréntesis y escribimos
en el la primera cantidad elevada al cuadrado, más la
primera cantidad por la segunda más el cuadrado de
la segunda cantidad.

36. Ejemplo:
Factorizar 8m3- 27n3 =(2m-3n)[(2m)2-(2m)(3n)+(3b)2]
=(2m-3n)(4m2-6mn+9n2)
2m 3n
√
3 3
√

42. 1) 6x4y – 9x3y2 + 12x2y3
2) 5a2 – a
3) xz + xy – x2
4) x2 – 81
5) 6x2 – x – 2
6) (a + 1) (x + y) – (a + 1)
7) (x – y)2 - ax +ay
8) x3 + 2x2 +yx + 2y
9) (x – y)2 – 25
10) 7x2 + 31x - 20
11) a2 + 4a + 4
12) 10a2 + 29a + 21
13) x2 – 9y2
INDICACIONES: FACTORICE LOS POLINOMIOS SIGUIENTES
14) 16b2 + 24bm + 9b2
15) 1 + 18ab + 81a2b2
16) 8a2 – 22a – 21
17) 14√x – 3c – 5c2
18) (x + y)2 – z2
19) 4a2m + 12a2n – 5bm – 15bn
20) n4 + n2 + 1
21) a2 – x2 – a – x2
22) 5b2 + 7b + 2
23) n2 + n – 42
24) (6a – 3b) (a + b) + (6a – 3b) (5a
+10b)
25) 20 – x – x2
26) 81a2 – 4b2c8
27) 16 – (2a + b)2

43. 28) ax – ay – bx + by
29) x2 + 14x + 49
30) ax + a – x - 1
31) 7x2 + 31x - 20
32) m4 + m2n2 + n4
33) 1 + 2x + x2 – y2
34) 25b2 + 90b + 81
35) x2 + 6x + 9