Fb4 s matematicas4

COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil

Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia

Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña

MATEMÁTICAS 4
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2010 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Primera edición 2011. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

COMISIÓN ELABORADORA:

Elaborador:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez

Revisión Disciplinaria:
Margarita León Vega

Corrección de Estilo:
Flora Inés Cabrera Fregoso

Supervisión Académica:
Mtra. Luz María Grijalva Díaz
Equipo Técnico RIEMS

Diseño:
Joaquín Rivas Samaniego
María Jesús Jiménez Duarte

Edición:
Bernardino Huerta Valdez

Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñuñuri
Diana Irene Valenzuela López

Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 10,064 ejemplares.

2
PRELIMINARES

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________

Plantel: __________________________________________________________________

Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________

E-mail: _________________________________________________________________

Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Ubicación Curricular

COMPONENTE: HORAS SEMANALES:
FORMACIÓN BÁSICA 05

CAMPO DE CONOCIMIENTO:
MATEMÁTICO CRÉDITOS:
10

PRELIMINARES 3

Índice
Presentación ......................................................................................................................................................... 7
Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8

BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ...... 9
Secuencia Didáctica 1: Relaciones y funciones ................................................................................................10
• Diferencia entre relaciones y funciones......................................................................................................12
• Dominio y rango ..........................................................................................................................................21
• Formas de representar una función ...........................................................................................................23
Secuencia Didáctica 2: Clasificación de funciones ...........................................................................................32
• Según su forma analítica ............................................................................................................................36
• Según la presentación de su forma analítica .............................................................................................63
• Según su gráfica .........................................................................................................................................66
Secuencia Didáctica 3: Operaciones de funciones ...........................................................................................81
 Suma de funciones .....................................................................................................................................82
 Resta de funciones .....................................................................................................................................86
 Multiplicación de funciones ........................................................................................................................90
 División de funciones ..................................................................................................................................94
 Composición de funciones .........................................................................................................................99

BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRÁFICAS. ................. 105
Secuencia Didáctica 1: Funciones especiales ................................................................................................106
 Función inversa ..........................................................................................................................................108
 Funciones definidas por partes .................................................................................................................122
Secuencia Didáctica 2: Transformaciones de gráficas de funciones .............................................................141
 Translación horizontal ................................................................................................................................144
 Traslación vertical.......................................................................................................................................146
 Reflexión con respecto al eje X ..................................................................................................................149
 Reflexión con respecto al eje Y ..................................................................................................................153
 Reflexión con respecto a la recta de 45º ...................................................................................................156
 Contracción y expansión de funciones .....................................................................................................157

BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES ......................................................................... 161
Secuencia Didáctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos .................................................164
 Concepto de función polinomial de una variable ......................................................................................166
 Características de las funciones polinomiales .......................................................................................... 166
 Influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica .... 168
Secuencia Didáctica 2: Funciones polinomiales de grado tres y cuatro ........................................................194
 Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro ...............195
 Teorema del residuo y del factor ...............................................................................................................205
 Teoremas sobre las raíces de una ecuación ............................................................................................208

BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES .............................................................................. 215
Secuencia Didáctica 1: Función racional .........................................................................................................216
 Concepto de función racional ...................................................................................................................217
 Función racional reducible .........................................................................................................................221
Secuencia Didáctica 2: Gráficas de funciones racionales ..............................................................................226
 Asíntotas de funciones racionales ............................................................................................................229

PRELIMINARES 5

Índice (continuación)
BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................ 239
Secuencia Didáctica 1: Funciones exponenciales.......................................................................................... 240
 Concepto de función exponencial ............................................................................................................ 241
 Variación exponencial ............................................................................................................................... 245
 El número e ............................................................................................................................................... 249
Secuencia Didáctica 2: Función logarítmica ................................................................................................... 254
 Propiedades de los logaritmos ................................................................................................................. 257
 Concepto de función logarítmica .............................................................................................................. 258
 Gráfica de la función logarítmica .............................................................................................................. 258
 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ................................................................................................ 262

BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS ............................................................................. 269
Secuencia Didáctica 1: Funciones sinoidales ................................................................................................. 270
 Concepto de las funciones senoidales .................................................................................................... 272
 Características de las funciones seonidales ............................................................................................ 273
Secuencia Didáctica 2: Graficación paramétrica de funciones senoidales ................................................... 283
 Graficación mediante parámetros ............................................................................................................ 284

Bibliografía ........................................................................................................................................................ 296

6
PRELIMINARES

Presentación
“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.
El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso
que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las
competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propósito en un determinado contexto.
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Matemáticas 4, es una herramienta de suma importancia, que
propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los
objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel
nacional.
El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de
estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios
local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias
didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y
cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las
preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a
abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos
conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que
tu aprendizaje sea significativo.
Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y
actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma
individual, binas o equipos.
Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de
campo, etc.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa
cuando el docente lo indique, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este
momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a
través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el
propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este
ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para
mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la
finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las
actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que
les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo laboral o en su preparación profesional.
Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de
ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y
contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y
aprender a vivir juntos.

PRELIMINARES 7

MATEMÁTICAS 4

Contiene

FUNCIONES

Cuyo análisis particularizado
conduce al estudio de

Funciones algebraicas Funciones trascendentes
Las cuales se Las cuales se
clasifican en clasifican en

Su inversa
Irracionales Polinomiales Racionales Exponenciales Logarítmicas Senoidales
Compuestas por las
Limitadas a En especial funciones

Grado de 0 a 4
Bases 10 y e Seno Coseno

Con el fin de Con el fin de

RESOLVER
PROBLEMAS

2
PRELIMINARES

Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.

Competencias disciplinares básicas:
 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,
algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o
variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la
comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las
propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:
 Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre
magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana
y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las
situaciones reales o hipotéticas que describen.
 Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.

Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de
acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 21 horas

Secuencia didáctica 1.
Relaciones y funciones.

Inicio 

Actividad: 1

Desarrolla lo que se pide.

I. Lee con atención el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores.

Mónica organizó en su salón la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una
persona para enviarle diariamente un presente; el último día de clases, cada participante descubre quién era su
amigo secreto.
Cuando se hizo el sorteo, Juan se quedó con dos papelitos y no aguantó la tentación de abrirlos, por supuesto,
sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendió, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores
amigos, por lo que decidió callar y regarle a ambos, ya que no podía decidirse por alguno.

1. ¿Qué podría pasar en la actividad que organizó Mónica, con el proceder de Juan?

Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podría quedar el reparto, si no
descubren a Juan.

Persona que regala Persona que recibe el regalo
Gustavo Gustavo
María María
Juan Juan
Sonia Sonia
Mónica Mónica
Claudia Claudia
Sandra Sandra
Carlos Carlos
Esteban Esteban

2. ¿Qué condición debe existir para que la actividad resulte?

Relaciona con una flecha una forma en la que podría quedar el reparto de tal manera que funcione.

Persona que regala Persona que recibe el regalo
Gustavo Gustavo
María María
Juan Juan
Sonia Sonia
Mónica Mónica
Claudia Claudia
Sandra Sandra
Carlos Carlos
Esteban Esteban

10 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Actividad: 1 (continuación)

3. De acuerdo a lo anterior, ¿cómo definirías una relación entre dos conjuntos?

4. De igual forma, ¿cómo definirías una relación funcional entre dos conjuntos?

II. Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la línea la palabra relación o relación
funcional, dado el caso.

Vegetales Tipos Figuras geométricas Número de lados

Chícharo Cereal 0
Avena Fruta 1
Toronja Verdura 2
Rábano Leguminosa 3
Tomate Cítrico 4
Tubérculo 5
6
7

__________________________________ __________________________________

Evaluación
Producto: Cuestionario y ejercicios
Actividad: 1 Puntaje:
de relacionar.
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Comprende la diferencia entre Identifica la diferencia entre una Muestra disposición al realizar la
relaciones y funciones. relación y una función. actividad.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente

11
BLOQUE 1

Desarrollo
Diferencia entre relaciones y funciones.
A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenómenos para poder comprender las situaciones, como por
ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los
jugadores de futbol, la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae a
una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfín de
magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición de la luna, el precio de un artículo, la población, entre otras.

A continuación se definirán los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relación y
función, y la diferencia que hay entre ellos.
Un conjunto es
Relaciones. una colección
La relación entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer de personas,
conjunto llamado dominio, con uno o más elementos de un segundo conjunto llamado animales u
contradominio o codominio. objetos con
características
Una relación se puede representar utilizando las siguientes formas: similares.

Mediante un criterio de selección o regla de asociación, el cual se puede presentar en forma de
enunciado o una expresión analítica (fórmula), que explicita la relación entre los elementos de los dos conjuntos.

Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas.

Mediante un diagrama de árbol, el cual es una representación gráfica que muestra el desglose progresivo de la
relación que existe entre los elementos de dos conjuntos.

Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primera
coordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Si
los conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B.

Mediante una tabla, la cual es la organización de los conjuntos en columnas, relacionando así los elementos de los
mismos mediante las filas.

Mediante una gráfica, la cual es una representación de elementos, generalmente numéricos, mediante líneas,
superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí.

Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si la
asociación se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto para
establecer entre ellos la relación y describir los pares ordenados.

A continuación se mostrarán ejemplos de las diferentes formas de representar una relación.

Ejemplos de relación mediante un criterio de selección o regla de asociación.

 La relación que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales.
 La relación que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora,
con el número de horas a la semana en las que se imparten.
 La relación entre los jugadores de la selección mexicana, con su posible posición en el juego contra Sudáfrica en
el mundial del 2010.
 La relación que existe entre los kilómetros que recorre un automóvil con el tiempo que transcurre, si éste se
mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregón a
Hermosillo.
 La relación que hay entre un número y su cuadrado aumentado en dos unidades.


 La relación que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su
segundo lanzamiento.
 La relación que existe entre las variables de la ecuación y  2x  3

Ejemplos de relación mediante un diagrama sagital.

Asignaturas Núm. de horas

E. socio-económica de México (ESEM)
Estados Capitales Matemáticas 4 (M4)
Chihuahua Saltillo Biología 2 (B2) 3
Sinaloa Tepic Literatura 2 (L2)
Coahuila Zacatecas Física 2 (F2) 4
Zacatecas Chihuahua Actividades paraescolares (A. P.)
Nayarit Culiacán Lengua adicional al español 4 (LAE 4) 5
Capacitación para el trabajo A (CPT A)
Capacitación para el trabajo B (CPT B)

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán),
(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4),
(Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas),
(CPT A, 4), (CPT B, 3)
(Nayarit, Tepic)

Jugadores Posiciones

Primer Segundo
lanzamiento lanzamiento Guillermo Ochoa
Paul Aguilar Portero
Carlos Salcido
Ricardo Osorio
Defensa
A A F. Javier Rodríguez
Efraín Juárez
Rafael Márquez Medio campista
S S Gerardo Torrado
Giovani dos Santos Delantero
Carlos Vela
Guille Franco

(A, A), (A, S), (S, A), (S, S) (G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio),
(C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodríguez, Defensa),
(E. Juárez, Defensa), (E. Juárez, Medio), (R. Márquez, Defensa),
(R. Márquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio),
(GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero),
(G. Franco, Delantero)

13
BLOQUE 1

Ejemplos de relación mediante diagrama de árbol.

Primer Segundo Blusas Pantalones
lanzamiento lanzamiento
Mezclilla
A Vestir
Blanca Capri
A
S Mezclilla
Vestir
S A Negra Capri

Mezclilla
S Naranja Vestir
Capri
(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)
(Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri),
(Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri),
(Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)

Ejemplos de relación mediante un producto cartesiano.

1. Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.

A:1er. lanzamiento

B: 2do. lanzamiento

Producto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)}

.


2. Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.

A: Primer dado.
B: Segundo dado.
1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6  
, , , , , ,
2,1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6 
 
3,1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6 
 
A xB  
4,1, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4,6 
5,1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6 
 
6,1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6 
 

Ejemplos de relación mediante una tabla.

ESTADO CAPITAL x y  2x  3
Chihuahua Chihuahua –1 1
Sinaloa Culiacán 0 3
Coahuila Saltillo 1 5
Zacatecas Zacatecas 2 7
Nayarit Tepic 3 9

(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, (-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)
Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)

15
BLOQUE 1

Ejemplos de relación mediante una gráfica.
y y
 
d (Km)

 


 

  

  

x x

            

 

 
t (hrs)

 
   

Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antes
mencionadas, como por ejemplo, la relación que existe entre los jugadores y su posible posición, no se puede
representar mediante una ecuación; tampoco tendría sentido intentar formar un diagrama de árbol o un producto
cartesiano, por lo que sólo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital.

Una tabla proporciona una relación directa, donde cada elemento del primer conjunto está asociado con un elemento
del segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representación gráfica proporciona una relación
directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la gráfica pueden carecer de
información suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresión analítica, por ello, la
representación analítica es la más completa, de ella se puede derivar una tabla, un gráfica, una expresión verbal y un
diagrama sagital.

El diagrama de árbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayoría, para obtener espacios muestrales y eventos
probabilísticos, como los que abordaste en el último bloque de la asignatura de Matemáticas 2.

Actividad: 2
Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relación entre dos
conjuntos.

1. Enunciado.



2. Representación analítica.

3. Diagrama sagital.

4. Diagrama de árbol.

17
BLOQUE 1


5. Producto cartesiano.

6. Tabla.

7. Gráfica.

Evaluación
Actividad: 2 Producto: Diseño de ejemplos. Puntaje:
Saberes
Reconoce las diferentes formas Ejemplifica las diferentes formas de Aprecia la utilidad de las
de representar la relación entre representar la relación entre diferentes formas de representar
conjuntos. conjuntos. una relación entre conjuntos.
Autoevaluación
docente


Funciones.
Ahora se abordará el concepto de función, la cual es un tipo especial de relación, su definición es:

Una función es una relación en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto (contradominio).

Actividad: 3

Anota en la línea la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN según corresponda y
justifica tu respuesta.
Fam. Zárate Asignaturas
 y

 1
2
María
 Carlos
3
Francisco 5
x
Manuel 6
       Lupita 7
 Javier 8
9




______________________________________ ______________________________________

Justificación: Justificación:

Estados Capitales

x y  2x  3 Chihuahua Saltillo
Sinaloa Tepic
-1 1
Coahuila Zacatecas
0 3
Zacatecas Chihuahua
1 5
Nayarit Culiacán
2 7
3 9

______________________________________ ______________________________________


19
BLOQUE 1


x 2  y 2  3x  4y  10  0 R  1  5, 5, 2, 4,  3, 1  4, 0,  5, 4, 6
, ,

______________________________________ ______________________________________


Jugadores Posiciones

y


Guillermo Ochoa

Paul Aguilar Portero
Carlos Salcido

Ricardo Osorio
F. Javier Rodríguez Defensa

Efraín Juárez
x Rafael Márquez Medio campista
     
Gerardo Torrado
Giovani dos Santos Delantero

Carlos Vela
Guille Franco


______________________________________ ______________________________________

Evaluación
Producto: Ejercicios de relacionar y
respuesta breve.
Saberes
Enuncia las características de Argumenta la diferencia entre una Expone sus ideas con claridad.
una relación y de una función. función y una relación.
Autoevaluación
docente


Dominio y rango.
En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para ser
utilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio,
mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuación.

Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relación.

Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relación, los elementos del dominio.

Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relación.

Imágenes: Son los elementos del contradominio o codominio que están asociados con algún argumento.

Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imágenes o valores de la relación.

En el siguiente ejemplo visualizarás estas definiciones.

Equipo de danza Grupos

Ana 101 M
Yolanda 102 M
Conchita 103 M
Karla 104 M
Laura 105 M
Sofía 106 M

RANGO
Equipo de danza Grupos (conjunto)

Argumentos Ana 101 M
(elementos) Yolanda 102 M
Imágenes
Conchita 103 M
(elementos)
Karla 104 M
Laura 105 M
Sofía 106 M

DOMINIO CONTRADOMINIO
(conjunto) (conjunto)

Los conjuntos se expresan de la siguiente forma:

Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofía}
Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M}
Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}

21
BLOQUE 1

Actividad: 4

Marca con  si los conjuntos corresponden a una función o relación; determina el
dominio, contradominio y rango de cada una de ellas.
Categorías
Docentes

Francisco Durán Función
Titular A
Javier Sandoval Titular B Relación
Marco Ramos Titular C Dom:
José Luis Gutierrez
CB I
Susana Herrera
Jesús Leyva CB II Contradominio:
José Armenta CB III
Antonio Ricardez CB IV
CB V Rango:

CB V
Figuras
geométricas Núm. de lados

Función

0 Relación
Dom:
1
2
3 Contradominio:
4
5
6 Rango:
7

Empleado Sueldo
Función
Antonio $5,000
Relación
Manuel $7,500
Dom:
Yolanda $8,000
Conchita $10,500
Jesús $12,000 Contradominio:
Karla $14,100

Rango:

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:
Saberes
Identifica el dominio, Escoge los elementos del dominio, Aprecia a las relaciones y
contradominio y rango de contradominio y rango de funciones como parte de su vida
relaciones y funciones. relaciones y funciones. cotidiana.
Autoevaluación
docente


Formas de representar una función.
Una función f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma:

f:XY

Se lee: “función f de X a Y”.
f
X Y

1 A

2 B

3 C

4 D

5 F

5

Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la función “f”, por lo
tanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma.

f(1) = A
f(2) = B
f(3) = D
f(4) = C
f(5) = B

En general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotaría de la
siguiente forma:
f(x)=y

Se lee: “f de x es igual a y".

Si se expresa la función como pares ordenados se obtiene:

f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)}

También se puede representar la función en forma de tabla, como se observa a continuación.

x f(x)
1 A
2 B
3 D
4 C
5 B

La representación analítica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociación que describa la
correspondencia entre los elementos.

Es necesario aclarar que una función no sólo se denota con la letra “f”, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en
mayúscula o minúscula, así como también con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situación se
acostumbra a utilizar la letra de la función que se está aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar al
volumen como función de “x”, la función se expresa como V(x).

23
BLOQUE 1

Cuando una función está expresada en forma de enunciado se puede escribir su representación analítica o viceversa,
como en los siguientes ejemplos:

1. Si el enunciado es: “El cubo de un número más cinco”, entonces su representación analítica es: f( x )  x 3  5 .
2. Si el enunciado es: “El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo”, entonces su
representación analítica es: g( x )  3x 2  2x .
x
3. Si la representación analítica es: T( x )   7 , el enunciado correspondiente es: “la cuarta parte de un
4
número disminuido en 7 unidades”.
4. Si la representación analítica es: V( x )  x  1 , el enunciado correspondiente es: “la raíz cuadrada de la
diferencia de un número con uno”.

A continuación se mostrará algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar y
representar una función.

Ejemplo 1.
La edad de los hijos de Doña Lucía de Valdez.
E
A B

Gabriel 12
Sonia 13
14
Javier
15
Humberto 16
17
18

Los conjuntos A y B se relacionan mediante la función E, la edad; ésta es función dado que a los hijos de Doña Lucía
le corresponde sólo un número, debido a que ninguna persona puede tener dos edades.

La función se denota como:
E: A  B

De manera que si se aplica la función E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B.

Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la función es:

E(Gabriel) = 12
E(Sonia) = 14
E(Javier) = 14
E(Humberto) = 18

Lo más enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relación o
función es el análisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientes
deducciones:

 Doña Lucía parió en tres ocasiones.
 Sonia y Javier provienen de un embarazo múltiple.
 La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mínimo de 5 años.


Ejemplo 2.
El tanque de gasolina de un automóvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidad
de gasolina contra la distancia, medida cada 24 km.

Litros Distancia
(l) (d)
2 24
4 48
6 72
8 96
10 120

En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la función se representa de la siguiente forma.

F: L  D

Donde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias.

Debido a la descripción del problema y la información que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analítica
de la función, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automóvil avanza 24
kilómetros. Como recordarás, en Matemáticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, la
función quedaría:

F(l)=12l

Utilizando la tabla se puede trazar la representación gráfica de la función.

d












l

             


De acuerdo a las características del problema, el dominio de la función no se puede describir de forma puntual, es
decir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, ésta es una muestra de los posibles valores que
puede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarca
el intervalo de 0 a 120 Kilómetros.

Posteriormente se proporcionará una notación más apropiada, matemáticamente hablando, de la forma de expresar
el dominio y el rango de una función en intervalos.

25
BLOQUE 1

Actividad: 5

Resuelve lo que se pide.
I. Considera la función g x   x 3  2x  3 para contestar los siguientes incisos:
a) Completa cada una de las imágenes de la función para los argumentos indicados, sigue el
ejemplo que se muestra a continuación.
g  2   2   2  2   3  1
3

g 1 
g 0 
g 1 
g 2 

b) Forma los pares ordenados con las imágenes obtenidas en el problema anterior.

g x   {(  2,  1 ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

c) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

II. Completa la siguiente tabla.
fx   x  3  2
2
x
1
2
3
4
5

a) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.

b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.

c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.


III. Realiza la representación sagital de la regla de asociación “el doble de un número más 4
unidades”, usa los primeros cinco números naturales.

IV. Dados los pares ordenados Hx   {(  2,  10 ), (1,  5 ), ( 0,0 ), (1,5 ), ( 2,10 ), ( 3,15)}
a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados.

b) Expresa la función que modele los pares ordenados.

c) Expresa el dominio y el rango de la función.

V. La renta de una habitación en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial más $300 por cada día
transcurrido.
a) Escribe la representación analítica de la renta de una habitación en función de los días transcurridos,
R(t).

b) Representa mediante una tabla, seis valores de la función anterior.
t Rt 

c) Determina el dominio y el rango de R(t).

Evaluación
Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Ubica las diferentes formas de Construye las diferentes Es creativo y propositivo al
representar una función, así representaciones de una función, realizar la actividad.
como el dominio y rango de la así como el dominio y rango de la
misma. misma.
Autoevaluación
docente

27
BLOQUE 1

Actividad: 6

En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamaño carta. Para formar
la caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesor
les asignará a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm,
etc.) que deben de recortar para formarla.

x
x

1. Calcula el área de la caja y el volumen de la misma.

2. Los equipos mencionarán los resultados obtenidos y llenarán la siguiente tabla.

x Área Volumen
1
2
3
4
5
6
7
8
9

3. Graficar en un plano cartesiano el área contra la longitud del lado del cuadrado recortado.



4. Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado
recortado.

5. Escribir la forma analítica del área y el volumen como una función que depende de la longitud del lado del
cuadrado recortado.

6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.

7. ¿Qué análisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?

Evaluación
Actividad: 6 Producto: Práctica. Puntaje:
Saberes
Identifica las diferentes formas Construye las diferentes formas de Presenta disposición al trabajo
de expresar una función. expresar una función. colaborativo con sus
compañeros.
Coevaluación
docente

29
BLOQUE 1

Cierre
Actividad: 7

Dadas las siguientes funciones, realiza la representación correspondiente.
1. fx   x 2 2. gx   3x 3. h x   2x  1 4. T x   x

a) Mediante un diagrama sagital.
f g
X Y X Y

h T
X Y X Y

b) Mediante una tabla de valores.
x fx   x 2 x gx   3x x h x   2x  1 x T x   x

c) Mediante pares ordenados.
f x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

g x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

h x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

T x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}


d) Mediante una gráfica.
 f (x)  g (x)
 
 
 
 
 
 x  x

                       
 
 
 
 
 
 
 

 h (x)  T (x)
 
 
 
 
 
 x  x

                       
 
 
 
 
 
 
 
e) Mediante un enunciado.

1. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______

Evaluación
Actividad: 7 Producto: Representaciones. Puntaje:
Saberes
Reconoce las diferentes formas Representa de diferentes formas Aporta puntos de vista
de representar a una función. una función. personales con apertura y
considera los de otras personas.
Autoevaluación
docente

31
BLOQUE 1

Clasificación de funciones.
Inicio 

Actividad: 1

Contesta lo que se pide en cada sección.
I. Observa las siguientes gráficas y escribe en la línea la palabra Función o Relación según
sea el caso; justifica tu respuesta.
f (x)

 _________________________________________________________



Justificación:______________________________________________

__________________________________________________________


__________________________________________________________
x
__________________________________________________________
           
 __________________________________________________________




f (x)


 _________________________________________________________


 Justificación:______________________________________________
 __________________________________________________________

__________________________________________________________

x __________________________________________________________
    

       __________________________________________________________




f (x)


_________________________________________________________




Justificación:______________________________________________
 __________________________________________________________
 __________________________________________________________

x __________________________________________________________
            __________________________________________________________








II. Analiza la forma que tienen las siguientes gráficas y de la clasificación que se da
posteriormente, escribe en la línea las que pienses que cumplen cada una de ellas.

Clasificación: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua.

f (x)  f (x)









x 

            
 
 
 
x

           
 
 
 


________________________________________ 
_________________________________________
 
________________________________________ _________________________________________
 f (x)
f (x)



 



 
 



 


x  x

                            
 

 
 


________________________________________ _________________________________________

 
________________________________________

_________________________________________


 f (x) f (x)











 x

            


x 
            









________________________________________ _________________________________________


________________________________________ _________________________________________

33
BLOQUE 1

f (x)
 f (x)

 
 
 
 
x

            






 x

            




 

 

________________________________________ _________________________________________

________________________________________ _________________________________________

 f (x)
f (x)
 
 
 



x 
            




 x
            


 

 

 
 

________________________________________ _________________________________________
________________________________________ _________________________________________

Evaluación
Producto: Reactivos de respuesta
breve.
Saberes
Describe el comportamiento de Explica el comportamiento de las Muestra interés al realizar la
las funciones. funciones. actividad.
Autoevaluación
docente


Desarrollo
En asignaturas anteriores te has encontrado con problemas que se tienen que modelar mediante una expresión
algebraica y que pueden ser representados con gráficas para poder darles solución, es por ello que el uso de las
funciones para construir modelos de la vida real es de suma importancia.

Para hacer un uso adecuado de las funciones debes poseer habilidades para distinguir sus características, así como
también para lograr una mejor interpretación.

En virtud de lo anterior, en este tema se analizarán las características más importantes de las funciones, las cuales
permiten su clasificación. A continuación se presenta un esquema de la forma en que se clasifican las funciones, para
que tener un panorama general de lo que se abordará en esta secuencia.

Clasificación de
funciones
Según

La presentación de La forma de
Su forma analítica su forma analítica Su gráfica correspondencia entre
sus conjuntos

Algebraicas Explícitas Por su trazo Inyectiva

Polinomiales Implícitas Continuas Sobreyectiva

Racional Discontinuas Biyectiva

Irracional
Por su variación

Trascendentes Crecientes

Trigonométricas Decrecientes

Exponenciales

Logarítmicas

A continuación se mostrarán las características de cada una de las clasificaciones y en los bloques posteriores se
estudiarán detalladamente.

Se mostrarán también gráficas de cada una de ellas para que te vayas familiarizando, asociando la representación
analítica con la gráfica, además de su variación, entre otras cosas.

Al igual que en asignaturas anteriores, a la variable “x” se le denomina variable independiente y a la variable “y” se le
conoce como variable dependiente, en pocas palabras, debido a que la variable “y” dependerá del valor que se
asigne a la variable “x”. Hay que recordar que la variable “y” está en función de “x”.

Para facilitar el lenguaje, de ahora en adelante se utilizara la palabra función para referirse a “y” y la palabra variable
para referirse a “x”.

35
BLOQUE 1

Según su forma analítica.

Funciones Algebraicas.
Son aquellas funciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.

Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuación se definirán cada una
de ellas.

Funciones polinomiales.
Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

fx   a n x n  a n1x n1  a n2 x n2  a n3 x n3  ...  a 2 x 2  a 1x  a 0

Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo.

El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden sustituirse en la función y ésta es verdadera, por lo tanto
el dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales.

Las funciones polinomiales que se tratarán en esta asignatura son hasta de grado cuatro. En seguida se mostrarán la
forma general de cada una de ellas y sus nombres.

 Función cons tan te fx   a

 Función lineal fx   mx  b con m  0

Funciones polinomiales  Función cuadrática fx   ax  bx  c
2
con a  0

 Función cúbica fx   ax  bx  cx  d
3 2
con a  0
 Función
 cuártica fx   ax  bx  cx  dx  e
4 3 2
con a  0

Si te darás cuenta, las tres primeras funciones las manejaste en las asignaturas anteriores, pero de igual forma se
ejemplificará cada una de ellas en esta secuencia y se retomarán en los bloques posteriores para abordarse con
mayor profundidad.

Función constante.
Esta función tiene como imagen el mismo número; su dominio son todos los números reales y a todos ellos se les
asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle mayor claridad se mostrarán algunos ejemplos.

Ejemplo 1.
Graficar la función fx   4 , determinar su dominio y rango.
Se utilizará una tabla para poder ubicar las coordenadas de algunos puntos de la función.

x fx   4
–2 4 Si observas en la tabla se eligen los valores de la variable más comunes como – 2, – 1. 0, 1, 2,
y a todos ellos al sustituirlos en la función les asigna el 4.
–1 4
–0 4
1 4
2 4

Como su nombre lo dice, la variable “x” es independiente, por lo que se puede elegir cualquier número perteneciente
a los números Reales y a todos ellos les asignará el mismo valor, 4; por lo que la gráfica es una recta horizontal que
corta al eje Y en 4, como se muestra a continuación en su gráfica.


 f (x)





 x

           








En la gráfica es más sencillo visualizar el dominio y el rango de la función.

 f (x)


 Rango= 4


 x
Dom =  , 
           







La notación que se usó tanto en el dominio como en el rango la puedes verificar en el anexo A, al final de tu módulo.

Ejemplo 2.
9
Expresa la función y traza la gráfica si su dominio son los números reales y el rango es  .
2
9
Sabiendo que todos los valores de la función es el número  , se puede trazar la línea horizontal a esa altura y
2
extenderse a los lados desde  hasta  , como lo determina el dominio, por lo tanto, la gráfica queda:

 f (x)
 9
Como para cualquier valor de “x” el valor de la función es  , por consiguiente
 2
 la función queda:
 9
 x fx   
2
           

 El dominio y el rango se expresan de la siguiente forma:

 Dom :  , 

 9
 Rango   
  2


37
BLOQUE 1

Función lineal.
La función lineal es una función algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.
Graficar la función gx   3x  4 , así como determinar su dominio y su rango.

Como recordarás, esta función se abordó tanto en Matemáticas 1 como en Matemáticas 3, en ellas aprendiste
diferentes formas de graficar una función lineal, por medio de una tabla, de las intersecciones de la función con los
ejes coordenados, así como también a utilizar los parámetros m (pendiente) y b (ordenada en el origen).

Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene:

x gx   3x  4 gx   3x  4
–2 – 10 g 2  3 2  4  10
–1 –7 g 1  3 1  4  7
0 –4 g0  30  4  4
1 –1 g1  31  4  1
2 2 g2  32  4  2
3 5 g3  33  4  5

Graficando los puntos se obtiene:
 g (x)



 x

     
       










Al tener la función, se puede calcular cualquier valor de x que se desee, enteros, racionales inclusive los irracionales,
por lo tanto se deben unir los puntos mediante una línea recta. Con ello se comprueba que su dominio son los
números reales, como se observa a continuación.
 g (x)



 x

     
       
 Rango=  , 









Dom =  , 


Ejemplo 2.
Graficar la función fx   x , describir su dominio y rango.
Se utilizará de nuevo una tabla para trazar su gráfica.

x fx   x
–3 –3
–2 –2
–1 –1
0 0
1 1
2 2

En ella se observa que tanto la variable como la función tienen el mismo valor, es por ello que se le denomina función
identidad o idéntica.

Posteriormente te darás cuenta que la función identidad es muy importante para identificar la inversa de una función.

Su gráfica describe una recta con un ángulo de inclinación de 45º.

 f (x)






x

       












Al igual que todas las funciones lineales, su dominio y rango es el conjunto de los números reales.
Tanto el dominio como el rango se pueden escribir de dos formas:

Forma de intervalo
Dom   ,  
Rango   ,  

Forma de conjunto.
Dom  
Rango  

39
BLOQUE 1

Función cuadrática.
La función cuadrática es de segundo grado y es de la forma fx   ax 2  bx  c con a  0 , su gráfica describe una
parábola, como a continuación se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.
Graficar la función Tx   x 2  4x  1 ; obtener el dominio y el rango.

Se utiliza una tabla para determinar la gráfica de la función.

x Tx   x 2  4x  1
T 4   4  4 4  1  1
2
–4 1
T 3   3  4 3  1  2
2
–3 –2
T 2   2  4 2  1  3
2
–2 –3
T 1   1  4 1  1  2
2
–1 –2
T0  0  40  1  1
2
0 1
T1  1  41  1  6
2
1 6

Su gráfica es:

T(x)








 Rango=  3,


x

      







Dom =  , 

Consulta el anexo A al final de tu módulo, para que verifiques cómo se representa el Dominio y Rango en forma de
intervalo.

Ejemplo 2.
Graficar la función Hx   x 2  3 ; encontrar el dominio y el rango.

Se sustituyen los valores en la función para encontrar los puntos.


x Hx   x 2  3
H 2   2  3  1
2
–2 –1
H 1   1  3  2
2
–1 2
H0  0  3  3
2
0 3
H1  1  3  2
2
1 2 H2  2  3  1
2

2 –1
Su gráfica es:
H(x)







x

       


Rango=  ,3








Dom =  , 

Función cúbica.
La función cúbica es una función polinomial de tercer grado, es de la forma fx   ax 3  bx 2  cx  d con a  0 .

Para conocer su gráfica se requiere ejemplificar.

Ejemplo 1.
Graficar la función D x   x 3  6x 2  12 x  6 ; obtener el dominio y el rango.


x D x   x 3  6x 2  12 x  6
D0.5  0.5  60.5  120.5  6  1.375
3 2
0.5 – 1.375
D1  1  61  121  6  1
3 2
1 1
D1.5  1.5  61.5  121.5  6  1.875
3 2
1.5 1.875
D2  2  62  122  6  2
3 2
2 2
D2.5  2.5  62.5  122.5  6  2.125
3 2
2.5 2.125
D3  3  63  123  6  3
3 2
3 3
D3.5  3.5  63.5  123.5  6  5.375
3 2
3.5 5.375

41
BLOQUE 1

Su gráfica es:
 D (x)










Rango=  ,

x

       








Dom =  , 

Ejemplo 2.
1
Graficar la función K x    x 3  1 ; obtener el dominio y el rango.
3

En este caso, la función no tiene el término cuadrático y lineal, pero sigue siendo una función cúbica.

1
x K x    x3  1
3
1
K 3    33  1  8
–3 8 3
1
5 K 2    23  1  5
–2 3 3
3
1 2
K 1    1  1  
3
2
–1  3 3
3
1 3
K0   0  1  1
0 –1 3
1 3 4
4 K1   1  1  
1  3 3
3
1 3 11
11 K2   2  1  
2  3 3
3
1 3
K3   3  1  10
3 – 10 3


Su gráfica es:

K(x)







 x

      

        Rango=  ,










Dom =  , 

Función cuártica.
La función cuártica es una función polinomial de cuarto grado, es de la forma:

fx   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e con a  0 .

Cualquiera de los términos b, c, d o e pueden valer cero, pero no así el coeficiente a, a continuación se ejemplificará
su gráfica.

Ejemplo 1.
Graficar la función f x   4x 4  6x 3  2x 2  2x  3 ; obtener el dominio y el rango.


x f x   4x 4  6x 3  2x 2  2x  3
–1 11 f  1  4 14  6 13  2 12  2(1)  3  11
–0.5 –0.5 f  0.5  4 0.54  6 0.53  2 0.52  2(0.5)  3  0.5
0 –3 f 0  404  603  202  2(0)  3  3
0.5 –4 f 0.5  40.54  60.53  20.52  2(0.5)  3  4
1 –5 f 1  414  613  212  2(1)  3  5
1.5 –1.5 f 1.5  41.54  61.53  21.52  2(1.5)  3  1.5

43
BLOQUE 1

Su gráfica es:

f (x)









x
Rango=  5,

       












Dom =  , 

Este tipo de funciones, como en las cuadráticas, se requiere otro proceso para encontrar el punto más bajo con el fin
de determinar con certeza el rango, como se muestra en la gráfica; esto lo aprenderás en el bloque correspondiente a
las funciones de tercer y cuarto grado, así como también, en la asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I.

Ejemplo 2.
1 21
Graficar la función G x    x4  x  ; obtener el dominio y el rango.
4 4

En este caso, se carece del término cúbico y cuadrático, pero sigue siendo una función cuártica.

1 21
x G x    x4  x 
4 4
3 1
–2  G 2    24   2  21   3  0.75
4 4 4 4
1 21
G 1    1   1 
4
–1 4 4
4 4
21 1
0
4
G0   04  0  21  21  5.25
4 4 4
1 21
1 6 G1   14  1  6
4 4
13 1 21 13
2 G2   24  2    3.25
4 4 4 4


Su gráfica es:

 G(x)












x
Rango=  ,6

       








Dom =  , 

Funciones racionales.
Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:
Px 
fx   donde Px  y Q x  son funciones polinomiales sólo que Q x   0 .
Qx 

En el caso de que Q x  sea constante, se obtiene una función polinomial, como se muestra al simplificar la función
4x 2  8x  1
fx   .
2
Para simplificarla es necesario realizar la división.
f (x)

4x 2  8x  1
fx  
2 
4 2 8 1
fx   x  x 
2 2 2 
1
fx   2 x 2  4 x  
2
x
Se obtiene una función cuadrática y su gráfica es la siguiente:      




Su dominio y rango es:

Dom :  ,  
 5 
Rango   ,  
 2 

45
BLOQUE 1

En esta sección se ejemplificará la forma que tienen las funciones racionales con denominador diferente a una función
constante y en el bloque 4 se abordará más a fondo este tipo de funciones.

Ejemplo 1.
x2  4
Graficar la función fx   ; determinar su dominio y su rango.
x2
Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función.

x2  4
x fx  
x2
 42  4 12
–4 –6 f 4    6
 4  2  2
 32  4 5
–3 –5 f 3    5
 3  2  1
 2  4 0
2

–2 No está definido f 2    No está definido
 2  2 0
 12  4  3
–1 –3 f 1    3
 1  2 1
02  4  4
0 –2 f0    2
0  2 2
12  4  3
1 –1 f1    1
1  2 3
22  4 0
2 0 f2   0
2  2 4

Al graficar se obtiene:
f(x)








x Como se observa en la gráfica, el comportamiento de los puntos parece
         ser una recta, pero cuando la variable toma el valor de –2, el cociente
 tiene divisor cero, por lo tanto, se indefine. Para poder determinar el
comportamiento alrededor de la indefinición, se requiere tomar valores

cercanos a x=–2, como se observa en la siguiente tabla.










x2  4
x fx  
x2
 2.82  4 3.84
–2.8 –4.8 f 2.8    4.8
 2.8  2  0.8
 2.62  4 2.76
–2.6 –4.6 f 2.6     4.6
 2.6  2  0.6
 2.42  4 1.76
–2.4 –4.4 f 2.4    4.4
 2.4  2  0.4
 2.22  4 0.84
–2.2 –4.2 f 2.2    4.2
 2.2  2  0.2
 22  4 0
–2 No está definido f 2    No está definido
 2  2 0
 1.82  4  0.76
–1.8 –3.8 f 1.8    3.8
 1.8  2 0.2
 1.62  4  1.44
–1.6 –1.6 f 1.6     3.6
 1.6  2 0.4
 1.4  4  2.04
2

–1.4 –3.4 f 1.4    3.4
 1.4  2 0.6
 1.22  4  2.56
–1.2 –3.2 f 1.2    3.2
 1.2  2 0.8

Al graficarse la tabla con los valores más cercanos a –2, se observa lo

f(x) siguiente:

 El comportamiento sigue siendo lineal, y se puede seguir graficando valores
 de “x” más cercanos a –2, para comprobar que efectivamente ese
comportamiento.


 Por lo tanto, se dibuja la línea pero con un “punto hueco” a la altura de –4.
x

         f (x)
 

 

 
 


 x
 4,
        



El dominio y el rango se componen de una unión de dos

intervalos, como se observa en la gráfica.

Dom   ,2   2,   Dom     2
o bien 
Rango   ,4   4,   Rango     4
 , 4




 , 2  2,

47
BLOQUE 1

Ejemplo 2.
x
Graficar la función Lx   ; determinar su dominio y su rango.
x 1
Se utiliza una tabla para conocer algunos de los puntos que pertenecen a la función.

x
x Lx  
x 1
L 3 
 3   3  0.75
–3 0.75
 3  1  4
L 2 
 2   2  0.67
–2 0.67
 2  1  3
L 1 
 1   1  0.5
–1 0.5
 1  1  2
L0 
0  0  0
0 0
0  1  1
L1 
1  1  No está definido
1 No está definido
1  1 0
L2 
2  2  2
2 2 2  1 1
L3 
3  3  1.5
3 1.5 3  1 2
L4 
4  4  1.3
4 1.3 4  1 3

Al graficar se obtiene:

L(x)






 La gráfica de los puntos no dice mucho, por lo tanto, se requiere
 tomar valores cercanos a x=1, para ver su comportamiento, así como
 también valores en los extremos, para ello consideraremos la siguiente
 x tabla.
               












x2  4
x fx  
x2
 6  6
L 6     0.86
–6 0.86  6  1  7
 5  5
L 5    0.83
–5 0.83  5  1  6
0.5 0.5
L0.5    1
0.5 –1 0.5  1  0.5
L0.8 
0.8  0.8  4
0.8 –4 0.8  1  0.2
1 1
1 No está definido L1    No está definido
1  1 0
1.2 1.2
1.2 6 L1.2   6
1.2  1 0.2
1.5 1.5
1.5 3 L1.5   3
1.5  1 0.5
5 5
5 1.25 L5    1.25
5  1 4
L6  
6  6  1.2
6 1.2 6  1 5
Según los puntos obtenidos, quedan distribuidos de la siguiente forma:
L(x)


 Al seguirse graficando puntos más cercanos al 1, se tiene que a su
 derecha tienden a irse a infinito (  ) y al acercarse por la izquierda del
 1, tienden a irse a menos infinito (  ).

 Al igual que en los extremos, entre más grande el número, el valor de la
 función se acerca al 1 por arriba, y entre más pequeño es el número, el
 valor de la función se acerca a 1 por abajo, por lo tanto, la gráfica
 x completa quedaría así:
               
 L(x)







 1, 








 x

Las líneas punteadas se llaman asíntotas, la vertical                
representa el valor que no puede tomar la variable y la 

horizontal representa el valor que no puede tomar la

función, es por ello que su dominio y rango son:

 , 1


Dom   ,1   1,   Dom    
1
o bien 
Rango   ,1   1,   Rango    
1 

 ,1 
1, 


49
BLOQUE 1

Así como estos dos ejemplos, que son tan diferentes en sus gráficas, encontrarás que las funciones racionales son
muy variadas en su comportamiento, todo depende del tipo de funciones polinomiales que contengan en su
numerador y denominador.

Funciones irracionales.
Son las funciones que se identifican por poseer raíces que involucran a la variable, este tipo de funciones no se
pueden expresar como funciones racionales.

Algunos ejemplos de funciones irracionales son:

fx   2x  5 gx   2x 2  3 hx   3 x 2  4

Se debe descartar aquellas funciones en las que se pueda extraer la variable de la raíz, como por ejemplo.

En la función fx   4 4x 8 , se puede extraer la raíz dividiendo la potencia entre el radical y se obtiene como resultado

fx   4 4x 8  4 4x 2 , dejando ver que se trata de una función polinomial.

La función fx   3x 2  5x 2  6 se puede expresar como fx   3x 2  5x  6 , que resulta ser una función
polinomial.

Se ejemplificarán algunas funciones irracionales para observar su comportamiento.

Ejemplo 1.
Graficar la función fx   x  2 , así como determinar su dominio y su rango.
Utilizando una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

x fx   x  2
–1 No es número real f 1   1  2   3 No es número real
0 No es número real f0  0  2   2 No es número real
1 No es número real f1  1  2   1 No es número real
2 0 f2  2  2  0  0
3 1 f3  3  2  1  1
4 1.4 f4  4  2  2  1.4
5 1.7 f5  5  2  3  1.7
6 2 f6  6  2  4  2

Como se observó, los valores que se pueden sustituir en la función son aquellos en los cuales el radicando sea un
número no negativo, puesto que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece al conjunto de números
imaginarios, no a los números reales.


Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se tiene:

 f (x)








x

        








Para unir los puntos se debe considerar que los valores donde existe la función son mayores o iguales a 2 ( x  2 ), por
lo tanto, la línea se traza a partir del punto ( 2, 0 ) hacia la derecha y hacia arriba, quedando la gráfica de la siguiente
forma:

 f (x)








x

        







El dominio y el rango son:

 f (x)






Rango=  0, 

x

        


 Dom =  2,  




51
BLOQUE 1

Ejemplo 2.
Graficar la función Lx    2 4  x  3 , así como determinar su dominio y su rango.

Para resolver este ejemplo, se utiliza una tabla para encontrar las coordenadas de los puntos.

x Lx    2 4  x  3
–2 –1.9 L 2   2 4   2  3  2 6  3  1.9
–1 –1.5 L 1   2 4   1  3  2 5  3  1.5
0 –1 L0   2 4  0  3  2 4  3  1
1 –0.5 L1   2 4  1  3  2 3  3  0.5
2 0.2 L2   2 4  2  3  2 2  3  0.2
3 1 L3   2 4  3  3  2 1  3  1
4 3 L4   2 4  4  3  2 0  3  3
5 No es número real L5   2 4  5  3  2  1  3 No es número real

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se obtiene:
 L(x)








x

        








De acuerdo al comportamiento de la función, los valores que hacen que sea verdadera son para “x” menores o
iguales de 4 ( x  4 ), por lo tanto se grafica a partir de ( 4, 3 ) a la izquierda y hacia abajo, quedando la gráfica de la
función como sigue:

 L(x)








x

         Rango=  ,3 







Dom =  , 4 


Funciones Trascendentes.
Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, las cuales
conociste en Matemáticas 2; también se consideran trascendentes las funciones exponenciales y logarítmicas.

A continuación se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas.

Funciones trigonométricas.
En ellas se utilizan las relaciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, así
como también las trigonométricas inversas.

Hay que recordar que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por división de las magnitudes de un
triángulo rectángulo.

b c
sen x  csc x 
c b
c a c
cos x  sec x 
b c a
b a
tan x  cot x 
x a b

a

En el bloque 6 conocerás a detalle las funciones trigonométricas, entretanto, se graficarán algunos ejemplos para
visualizar su comportamiento, y para ello se requiere el uso de la calculadora, en modo de radianes (Rad), como lo
aprendiste en matemáticas 2.

Ejemplo 1.
Graficar la función f( x )  sen x , determinar su dominio y rango.

x f( x )  sen x
–6 0.28 f 6  sen 6  0.28
–4 0.76 f 4  sen 4  0.76
–2 –0.91 f 2  sen 2  0.91
0 0 f0  sen0  0
2 0.91 f2  sen2  0.91
4 –0.76 f4  sen4  0.76
6 –0.28 f6  sen6  0.28

Al graficar los puntos se obtiene la gráfica:

 f (x)




x

             






53
BLOQUE 1

En matemáticas 2, aprendiste a graficar estas funciones utilizando los valores que provocan cambios importantes en

ellas, los cuales son los múltiplos de 90º, éstos se grafican en el plano cartesiano en radianes como múltiplos de ; a
2
continuación se muestra se muestra la tabla en estos términos.

x f( x )  sen x

2 0 f  2  sen  2  0

3  3   3 
  1 f      sen      1
2  2   2 

 0 f    sen    0

1  1   1 
  –1 f      sen      1
2  2   2 
0 0 f 0  sen 0  0

1 1  1 
 1 f     sen     1
2  2  2 
 0 f   sen   0

3 3  3 
 –1 f     sen     1
2 2  2 
2 0 f 2  sen 2  0

Graficando estos puntos con los anteriores se tiene un mejor panorama del comportamiento de la gráfica, el cual es
periódico.
 f (x)




x

        
x







Al graficar la función y ubicar solamente los múltiplos de queda:
2
 f (x)




x
Rango=  1,1 
        




Dom =  , 



Ejemplo 2.
Graficar la función T( x)  3 cos x   1 , determinar su dominio y rango.
Tomando en cuenta que el comportamiento de las funciones trigonométricas cambia en los múltiplos de π, la tabla
queda:

x T( x)  3 cos x   1

2 2 T  2  3 cos  2  1  2
3  3   3 
  –1 T      3 cos      1  1
2  2   2 
 –4 T    3 cos    1  4
1
  –1  1   1 
2 T      3 cos      1  1
 2   2 
0 2 T 0  3 cos 0  2
1 1  1 
 –1 T     3 cps     1  1
2 2  2 
 –4 T   3 cos  1  4
3 3  3 
 –1 T     3 cos     1  1
2 2  2 
2 2 T 2  3 cos 2  1  2

Al ubicar los puntos y trazar la línea se obtiene la gráfica:

T(x)








x

        
 Rango=  4,2 







Dom =  , 

55
BLOQUE 1

Funciones exponenciales.
Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:

x
 1
f x   e2x 1 f x   2 x 2 3
f x    
3
En las funciones anteriores

A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones exponenciales para conocer a grandes rasgos su
comportamiento y establecer su dominio y rango. Para encontrar los valores de la función, se requiere utilizar
calculadora.

Ejemplo 1.
Graficar la función f x   3 x  2 , determinar su dominio y rango.
Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes puntos.

x f x   3 x  2
–5 –1.996 f  5  3 5  2  1.996
–4 –1.988 f  4  3 4  2  1.988
–3 –1.963 f  3  3 3  2  1.963
–2 –1.889 f  2  3 2  2  1.889
–1 –1.667 f  1  3 1  2  1.667
0 –1 f 0  3 0  2  1
1 1 f 1  3 1  2  1
2 7 f 2  3 2  2  7
3 25 f 3  3 3  2  25

Ubicando los puntos se obtiene la gráfica:

 f (x)
 Se observa en la gráfica, entre menor sea el valor de x, la función se
 acerca al valor de –2, de hecho, jamás va a tomar el valor de –2, esto


se puede visualizar analizando la función.

 Como la función es exponencial, el valor del exponente es el que
 varía.

 f x   3 x  2


 Si la x es grande, el valor de 3 x crece muy rápido, si la x es cero, su

 valor es 3 0  1, si el valor es negativo significa que se puede
 1
 expresar como: 3 4  , se hace casi cero, pero jamás será cero
 34
 ni negativo.


 Por lo tanto, si 3 x no puede ser cero, 3 x  2 no podrá tomar el valor
 de –2, ni tampoco números menores que este valor.

 x
Se podría decir que existe una recta asíntota a la altura de y=–2, que
        
          
impide que la función toque ese valor.





 f (x)











 Rango=  2, 











 x

        
          




Dom =  , 

Ejemplo 2. El número e es un número
Graficar la función P x    e x  3 , determinar su dominio y rango. irracional famoso, y es uno
de los números más
Utilizando una tabla para determinar el comportamiento se tienen los siguientes importantes en
puntos. matemáticas.
Las primeras cifras son:
2.7182818284590452353…
Se le conoce también como
el número de Euler por
Leonhard Euler.
x P x    e x  3
–5 2.993 P  5   e 5  3  2.933
–4 2.982 P  4   e 4  3  2.982
–3 2.95 P  3   e 3  3  2.95
–2 2.865 P  2   e 2  3  2.865
–1 2.9 P  1   e 1  3  2.632
0 2 P 0   e 0  3  2
1 0.282 P 1   e 1  3  0.282
2 –4.389 P 2   e 2  3  4.389
3 –17.086 P 3   e 3  3  17.086

57
BLOQUE 1

 P(x)



 x

             



















Al igual que el ejemplo anterior, esta función está delimitada por una asíntota, la cual está ubicada a una altura de
y=3.
 P(x)
Por lo tanto, la gráfica se visualiza de la siguiente forma:



 x

             






 Rango=  ,3












Dom =  , 


Funciones logarítmicas.
Éstas son las funciones inversas a las funciones exponenciales, su definición y propiedades se retomarán más
adelante, mientras tanto, sólo se ejemplificará su forma, para ello, se requiere utilizar la calculadora científica.

Las funciones logarítmicas más usadas son las que tienen base 10 o base e, y se escriben:

Log  log10 Ln  loge
Algunos ejemplos de ellas son:
fx   Ln x f x   2 logx  1 f x   3 logx 
En las funciones anteriores

A continuación se muestran ejemplos de gráficas de funciones logarítmicas para conocer, a grandes rasgos, su
comportamiento y establecer su dominio y rango.

Ejemplo 1.
Graficar la función f x   2 Ln x , determinar su dominio y rango.

x f x   2 Ln x
–0.5 No existe f  0.5  2 Ln  0.5  No existe
0 No existe f 0  2 Ln 0  No existe
0.1 –4.61 f 0.1  2 Ln 0.1   4.61
0.3 –2.40 f 0.3  2 Ln 0.3   2.40
0.5 –1.39 f 0.5  2 Ln 0.5  1.39
1 0 f 1  2 Ln 1  0
2 1.39 f 2  2 Ln 2  1.39
3 2.20 f 3  2 Ln 3  2.20
4 2.77 f 4  2 Ln 4  2.77
5 3.22 f 5  2 Ln 5  3.22
Al sustituir los valores negativos en el logaritmo natural de tu calculadora, te das cuenta que no existe la función, esto
es porque así como en la función exponencial, para cualquier valor que sustituyas en el exponente nunca será cero ni
negativa, la función logarítmica al ser su inversa, no podrás sustituir valores negativos o el cero. Esto te quedará
mucho más claro cuando veas más detalladamente los temas de funciones inversas, funciones exponenciales y
logarítmicas.

Continuando con la gráfica, se ubican los puntos y se obtiene:

 f (x)


En esta ocasión, la asíntota es vertical y se ubica exactamente
en el eje Y, puesto que no se encuentra valor de la función
 para “x” negativa o cero.

x

           










59
BLOQUE 1

Por lo tanto, su gráfica queda:
 f (x)






x

            Rango=  ,










Dom = 0,

Ejemplo 2.
Graficar la función S x   Log  x  1  2 , determinar su dominio y rango.


x S x   Log  x  1  2
–5 2.78 S  5  Log   5  1  2  2.78
–4 2.70 S  4  Log   4  1  2  2.70
–3 2.60 S  3  Log   3  1  2  2.60
–2 2.48 S  2  Log   2  1  2  2.48
–1 2.30 S  1  Log   1  1  2  2.30
0 2 S 0  Log  0  1  2  2
0.5 1.70 S 0.5  Log  0.5  1  2  1.70
0.8 1.30 S 0.8  Log  0.8  1  2  1.30
0.9 1 S 0.9  Log  0.9  1  2  1
1 No existe S 1  Log  1  1  2  No existe
2 No existe S 2  Log  2  1  2  No existe

Los puntos quedan de la siguiente forma:
S(x)

En esta ocasión la asíntota está ubicada en x=1, dado que
 en la función, cuando x=1, se tiene que obtener el valor de
log(0) y éste no existe, así como también, valores de x
 mayores que 1 se tendría log( negativo), por lo tanto, no
x existe.
        








Trazando la línea se obtiene la siguiente gráfica:
S(x)





Rango=  , 
x

        






Dom =  ,1 

Sitios Web recomendados:

Ingresa a estos sitios para que refuerces tus conocimientos
acerca de la clasificación de funciones.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones_elem.htm#La%20funció
n%20seno
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_trascendente.html

61
BLOQUE 1

Actividad: 2

Clasifica las siguientes funciones y expresa su dominio mediante intervalos.

Función Clasificación Nombre Dominio
x3
f x  
x
rx   x 2  2x  3

H x   tanx 

N x   7

F x   4 x  2

k x   x 4  6x 2  2

x2  9
gx  
x3
q x   2 3x  1

t x   4 senx  1

s x   Lnx  3  1

L x   5x  6

w x   4x  2  5
3

Evaluación
Producto: Complementación de la
tabla.
Saberes
Reconoce la clasificación de las Clasifica las funciones y calcula el Expresa sus dudas y corrige sus
funciones, así como el dominio y dominio y rango de las mismas. errores.
rango de ellas.
Autoevaluación
docente


Según la presentación de su forma analítica.

De acuerdo con lo que se ha presentado hasta ahora, se entiende que una función es de la forma y  fx  , pero no
todo el tiempo es expresada igual.
En ella se observa claramente que “x” es la variable independiente (como se ha visto desde Matemáticas 1), y “y” es
la variable dependiente, porque está en función de x.

Es por ello que es fácilmente identificable cuando se tiene una función de esta forma; sin embargo, cuando se posee
una expresión en la que la variable dependiente no está despejada, no es tan sencillo visualizarla, es por ello que para
hacerlo se tiene que despejar. A estas dos formas de presentar una función se les conoce como funciones explícitas y
funciones implícitas; a continuación una breve explicación de cada una de ellas.

Funciones explícitas.
Son aquellas que se representan mediante una igualdad en la que aparece la variable dependiente despejada en uno
de sus miembros y en el otro una expresión en términos de la variable independiente, como por ejemplo.

1. y  x 2  3x  2
2. y  2 x 11
3. fx   3 x  1

En realidad, todas las funciones que se describieron en el tema anterior fueron expresadas en su forma explícita,
debido a la sencillez que proporciona esta forma en la sustitución de valores.

Funciones implícitas.
Son aquellas que se representan por medio de una ecuación en donde la variable dependiente e independiente
aparecen mezcladas en uno o ambos miembros de la igualdad, como se muestra a continuación.

1. 4x  3y  8  0
2. 23x  2y   6x  4y  8
3. x2  y2  1
4. x 2  2x  3 y  6  0
5. x 2 y  3x  0
6. y 2  2 x  4y  6  0

Cuando se tiene una función implícita y se desea conocer algunos puntos que pertenezcan a la función, es
recomendable despejar la variable dependiente para transformarla en una función explícita y llevar a cabo de forma
más simple, la sustitución de valores, aunque en algunas ocasiones se complica el despeje de la variable
dependiente, como sería el caso de la función número 5, en la cual se tiene “y 2” y “y”, se tendría que utilizar un
método de factorización para llevar a cabo el despeje.

El saber despejar una variable será fundamental para encontrar la función explícita, pero aún más, para expresar la
inversa de una función, como se verá en el siguiente bloque.

La notación implícita se utiliza mucho en asignaturas posteriores, como en Cálculo diferencial e integral I y II.

A continuación se transformarán las funciones implícitas anteriores en funciones explícitas, utilizando despeje simple
en algunas de ellas, hasta el método de completar trinomio cuadrado perfecto, como es el caso de la sexta función.

63
BLOQUE 1

Función implícita Función explícita. Nombre
4x  3y  8  0
 3y  4x  8
4x  3y  8  0  4x  8
y Función lineal
3
4 8 4 8
y x ó fx   x 
3 3 3 3
23x  2y   6 x  4y  8
6 x  4y  6 x  4y  8
23x  2y   6x  4y  8 4y  4y  6 x  6 x  8 Función constante
8y  8
y 1 ó f x   1
2 2
x  y 1
 y 2  x 2  1
y2  x2  1

y   x2  1
x2  y2  1 Función irracional
De ésta se derivan dos funciones
.
y  x2  1 ó fx   x 2  1

y   x2  1 ó fx    x 2  1
x 2  2x  3y  6  0
3y   x 2  2x  6
x 2  2x  3 y  6  0  x 2  2x  6 Función cuadrática
y
3
1 2 1 2
y x2  x2 ó f x    x2  x2
3 3 3 3
x 2 y  3x  2
x 2 y  3x  2
x 2 y  3x  0 Función racional
3x  2 3x  2
y ó f x  
x2 x2
y 2  2x  4y  6  0
y 2  4y  6  2x
y 2  4y  4  6  2x  4

2
y  22  10  2x
y  2 x  4y  6  0 Función irracional
y  2   10  2x
y   10  2x  2
y  10  2x  2 ó f x   10  2 x  2
y   10  2x  2 ó f x    10  2 x  2


Actividad: 3
Convierte las siguientes funciones implícitas en explícitas.

1. 4x  2y  9  0

2. x  2y 2  5  0

3. 3y  11  0

4. 3xy 2  12 xy  3x  1  0

5. x 2 y  4xy  4  4y

Evaluación
Saberes
Identifica la forma explícita e Obtiene la forma explícita de una Expresa la importancia del
implícita de una función. función, a partir de su forma manejo del Álgebra en la
implícita. obtención de funciones explícitas.
Autoevaluación
docente

65
BLOQUE 1

Según su gráfica.
En los temas anteriores se han dibujado varios tipos de funciones, en ellas se ha visto cómo el dominio y el rango van
cambiando dependiendo de qué valores se puedan sustituir en la función y qué se obtiene de la misma; también se
vieron funciones en las que para ciertos valores de “x” la función no existe o bien se acota mediante rectas
imaginarias (asíntotas), pues bien, ahora existe otra clasificación y ésta se refiere al comportamiento de su gráfica y
sólo contempla dos tipos, aquellas que su gráfica nunca se interrumpe o las que sufren cortes o saltos, es decir,
continuas o discontinuas. A continuación se proporcionará una definición intuitiva de estos dos conceptos.

Funciones continuas.
Son aquellas que pueden dibujarse sin levantar el lápiz del papel, éstas no sufren ninguna separación, salto o hueco.

Ejemplo de ellas, son todas las funciones polinomiales, la función seno y coseno, pertenecientes a las funciones
trigonométricas, así como también las funciones logarítmicas y exponenciales.

A continuación se mostrarán algunas gráficas de funcione continuas.
 f (x) f (x) f (x)

 

  

  

 
 x
 
x x
         

               
 


 

  

  

Funciones discontinuas.
Son las que presentan una ruptura en su trazo, ya sea por medio de un salto o un punto hueco, como se observa en
las siguientes gráficas.

f (x) f (x) f (x)
  
 


 


 

 

 x 

          
 x 
x

               
  
 

 

Cuando se tiene la representación analítica de la función, la discontinuidad existe para aquellos valores de “x” en
donde la función se indefine, como es el caso de las funciones racionales, las cuales se indefinen para aquellos
valores donde el denominador es cero.


Actividad: 4

Desarrolla lo que se pide en cada sección.
I. Escribe en la línea debajo de cada gráfica, si la función es continua o discontinua, expresa
su dominio y rango con intervalos.
L(x)

f (x)



 

 





 
x

         

x 

            

 

 





 

______________________________________ ______________________________________
Dom: ___________________ Dom: ____________________
Rango:__________________ Rango: ___________________
M(x) T(x)
 

 

 

 

 

 
x x

               
 

 

 

 

 

______________________________________ ______________________________________
Dom: ___________________ Dom: ____________________
Rango:__________________ Rango: ___________________

67
BLOQUE 1


II. Dadas las siguientes funciones, determina si son continuas o discontinuas (justifica tu
respuesta), en el caso de ser discontinuas, determina para qué valores se da la
discontinuidad.
x3
1) f x  
x

2) rx   x 2  2x  3

 
3) H x   4sen  x 
2 

4) x 2 y  4xy  4  4y

5) N x   7

6) F x   4 x  2



x2  9
7. gx  
x3

8. q x   2 3x  1

9. s x   Lnx  3  1

10. L x   5x  6

Evaluación
Saberes
Reconoce la diferencia entre una Diferencia funciones continuas de Practica con entusiasmo los
función continua y discontinua. funciones discontinuas y establece ejercicios y se muestra interesado
el dominio y rango de las en las aportaciones del grupo en
funciones. la retroalimentación de la
actividad.
Autoevaluación
docente

69
BLOQUE 1

Según su variación.
Como se ha observado en las funciones antes vistas, existen funciones que aumentan su valor en la medida que
aumenta la variable x, así como también hay funciones que disminuyen, a medida que la variable x aumenta, esto se
conoce como funciones monótonas, las cuales se dividen en funciones crecientes y decrecientes. También hay
funciones que tienen los dos comportamientos por intervalos. A continuación se enunciarán los conceptos de
funciones crecientes y decrecientes.

Funciones crecientes.
Una función es creciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes también crecen, esto
es:
Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)<f(b)
(f(a) es menor que f(b)).
f (x) f (x) f (x)

f b
f b
f b

f a 
f a 

f a 
a b x
a b x a b x

Funciones decrecientes.
Una función es decreciente si al crecer los valores de su dominio, las imágenes correspondientes decrecen, esto es:
Si al evaluarla en dos valores “a” y “b” de su dominio, tal que a<b (“a” sea menor que “b”) se cumple que f(a)>f(b)
(f(a) es menor que f(b)).
f (x) f (x) f (x)

f a 
f a 
f b f a 
f b
f b
a b x a b x
a b x

A estas funciones, como anteriormente se mencionó, se les conoce como monótonas, debido a que en todo su
dominio crecen o decrecen.

Las funciones en que cambia su comportamiento, se puede establecer si crecen o decrecen por intervalos, como se
muestra en los siguientes ejemplos:


Ejemplo 1.
2
Determinar para qué intervalos de la función f x   x  22  1 es creciente o decreciente.
3
 f (x)










x

         


 f (x)


La función tiene dos comportamientos: 
1. A medida que “x” se acerca a 2, la función va decreciendo.
2. Cuando “x” es mayor que 2 la función va creciendo. 


Por lo tanto, su comportamiento se expresa así:

La función es decreciente en el intervalo:  , 2
La función es creciente en el intervalo: 2,   
x

         



Ejemplo 2. Decreciente Creciente

Determinar los intervalos donde la función f x   3 cosx   1cambia de
comportamiento.
Considerando que el dominio de la función son los números reales y su gráfica es periódica, es decir que se repite
infinitamente un fragmento de ella, se obtienen una infinidad de intervalos en los cuales la gráfica cambia de
comportamiento.
 f (x)




x

           










Creciente Decreciente Creciente Decreciente Creciente Decreciente

71
BLOQUE 1

Primero se describirán los intervalos que se visualizan en la gráfica, y posteriormente se encontrará la regla que
describe a todos ellos.
1. La función es decreciente en los intervalos:  2,   , 0 ,  , 2, 3
2. La función es creciente en los intervalos:  3,  2 ,  , 0 , , 2

Por la forma que tienen los intervalos anteriores, se puede establecer una regla para encontrar todos los intervalos
donde decrece o crece.

Para n perteneciente a los números Enteros ( n  Z), los intervalos son:

1. La función decrece en los intervalos: 2n , 2n  1 
2. La función crece en los intervalos: 2n  1 , 2n 


sobre relaciones y funciones.
http://perso.wanadoo.es/paquipaginaweb/funciones/index.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/ed99-0295-01.html
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_funciones.php

Actividad: 5

Escribe en la línea debajo de cada gráfica los intervalos donde la función es creciente y
donde es decreciente.

f (x) M(x)
 







 

 
 
x

            
x 
            

 

 
 
 




Creciente:_________________________________ Creciente:_________________________________
Decreciente:_______________________________ Decreciente:_______________________________



M(x) T(x)
 

 

 

 

 

 
x x

               
 

 

 

 

 

Creciente:_________________________________ Creciente: _________________________________
Decreciente:_______________________________ Decreciente: _______________________________

Evaluación
Saberes
Reconoce la diferencia entre una Diferencia funciones crecientes de Practica con entusiasmo los
función creciente y decreciente. funciones decrecientes y establece ejercicios y se muestra interesado
los intervalos en los cuales cambia en las aportaciones del grupo en
el comportamiento de una función. la retroalimentación de la
actividad.
Autoevaluación
docente

73
BLOQUE 1

Según la forma de correspondencia entre sus conjuntos.
Este tema se refiere a la propiedad o característica de algunas funciones, ésta se refiere a la relación que existe entre
el dominio y rango de la función y puede ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Inyectiva (Uno a uno)
Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es inyectiva si y sólo si, a
elementos distintos del conjunto A, les hace corresponder imágenes distintas del conjunto B, es decir que ningún
elemento de A tiene la misma imagen, a continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital.
A B

x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
y5

Ejemplo 1.
Se relaciona las candidatas a reina del primer semestre del Colegio de Bachilleres de Magdalena, con el grupo al cual
pertenecen.
Candidata a reina Grupos

Ana 101 M
Yolanda 102 M
103 M
Susana
104 M
Karla 105 M
Laura 106 M

La relación funcional es inyectiva debido a que a cada alumna la asocia con su grupo y no existen dos candidatas que
pertenezcan al mismo grupo.

Ejemplo 2.
A cada ciudadano mexicano le corresponde una clave única de registro poblacional (CURP), ésta es una función
inyectiva, porque para dos individuos distintos, les asocia claves diferentes.

Ejemplo 3.
Determinar si la gráfica de la función f ( x )  2x  1, es inyectiva.

 f (x)
La función es lineal y su gráfica es:







x

       











La función es inyectiva, debido a que a cada “x” le asocia un valor diferente de la función.

Una forma sencilla de visualizar si una función es inyectiva, mediante su gráfica, es trazar rectas horizontales a lo largo
de la función, si esta corta una sola vez a la gráfica, entonces la función es inyectiva; si la llega a cortar en más de una
ocasión, la función no es inyectiva.
 f (x)








x

       









Ejemplo 4.
1 2
Determinar si la gráfica de la función f ( x ) 
x  3 es inyectiva.
2
Su gráfica es una parábola, puesto que es una función cuadrática.

f (x)





x

        






Al trazarle líneas horizontales, se observa a excepción de una recta (la que pasa por el vértice), las demás cortan a la
función en dos puntos, por lo tanto no es inyectiva. Para dos valores de “x” le asocia un valor de “y”.
f (x)





x

        







75
BLOQUE 1

Sobreyectiva (Sobre)
Sea f una función que relaciona al conjunto A con el conjunto B, entonces la función f es sobreyectiva si y sólo si, cada
elemento de B es imagen de por lo menos un elemento del conjunto A, es decir, no queda un solo elemento de B sin
que esté relacionado por lo menos con un elemento de A.

A continuación se ejemplificará esta definición con un diagrama sagital.
A B

x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5
x6

Ejemplo 1.
Se relaciona un grupo de jovencitas con el curso de danza que llevan en su escuela.

Grupo Danza

Abigail
Isaura Contemporánea
Abril Clásica
Moderna
Karen
Española
Lita

La relación funcional de las jóvenes con su clase de danza es sobreyectiva, dado que en todos los cursos que se
ofrecen de danza tiene al menos una alumna de ese conjunto de chicas.

Ejemplo 2.
1 3 7
Determinar si la función k( x )   x  3x  es sobreyectiva.
3 3
La gráfica de la función es:
K(x)
 La función es sobreyectiva, ya que todo valor de K(x) proviene de
 por lo menos una “x”.

Esta función no es inyectiva puesto que existen tres valores

diferentes de x que al sustituirlos en la función dan el mismo
 resultado, como se observa en el cruce de la función con el eje de
 las X, por mencionar un ejemplo de ello.
x

           








76  RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

Biyectiva.
Una función es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva, como se muestra en el siguiente diagrama.
A B

x1 y1
x2 y2
x3 y3
x4 y4
x5 y5

Ejemplo 1.
Un retiro matrimonial ofrece la oportunidad a los matrimonios de reforzar su unión y renovar sus votos.

Grupo de Grupo de
esposas esposos

Martha Rigoberto
Margarita Benjamín
Maria Guillermo
Socorro José
Lupita Gustavo

La relación funcional que existe entre los conjuntos es biyectiva, puesto que a cada esposa la relaciona con su
esposo y a su vez, no existe ningún esposo que haya asistido sin su esposa.

Ejemplo 2.
Determinar si la función f ( x )  2x  1, es biyectiva.

 f (x)








x

       










Esta función se comprobó con anterioridad que era inyectiva, puesto que a toda x le corresponde un valor de la
función, además no existe valor de la función sin que provenga de una x correspondiente, por lo tanto es biyectiva.

Como las funciones se definen en el conjunto de los números reales, esto es, que va de    , pocas de ellas
cumplen con las propiedades, si se restringe la relación al dominio y rango de las funciones, algunas más podrán
cumplir con alguna de ellas.

77
BLOQUE 1

Actividad: 6

Responde cada uno de los siguientes cuestionamientos.
1. ¿Es biyectiva la función y  x 3 ?
Justifica tus respuestas apoyándote en la gráfica correspondiente.

2. Clasifica cada una de las siguientes funciones como inyectivas, sobreyectivas o biyectivas según sea el
caso:

Función Clasificación Justificación

gx   x  2

y  9  x2

1
f( x ) 
x

kx   2x  1



3. Considera la cantidad de alumnos y el número de escritorios disponibles en un salón de
clases, describe brevemente bajo qué circunstancias se produce:
a) Una correspondencia inyectiva o uno a uno.

b) Una función sobreyectiva.

c) Una función biyectiva.

4. Entre los libros de una biblioteca y la correspondiente clave que se le asigna, ¿Qué tipo de relación se
produce, inyectiva, sobreyectiva o biyectiva? Explica tu respuesta.

Evaluación
Producto: Cuestionario y
complementación de la tabla.
Saberes
Distingue las características de Precisa la característica que Expone sus puntos de vista con
una función según la cumplen las funciones para claridad y confianza.
correspondencia entre los clasificarse en inyectivas,
conjuntos. sobreyectivas o biyectivas.
Autoevaluación
docente

79
BLOQUE 1

Cierre
Actividad: 7
Observa cada una de las funciones que se muestran a continuación y escribe al pie de
ellas dentro de cada cuadro la letra que corresponda a la característica que presentan,
guíate por las flechas para encontrar su comportamiento.
Inyectiva (I), Sobreyectiva (S), Biyectiva (B), Continua (C), Creciente (Cr),
Decreciente (D) y Creciente-Decreciente(CD).

Evaluación
Saberes
Anota la característica que Analiza las funciones por intervalos Expresa sus ideas ante el análisis
tienen las funciones por y las clasifica. realizado a las funciones.
intervalos.
Autoevaluación
docente


Operaciones de funciones.
Inicio
Actividad: 1


I. Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide.

1) fx   2x 2  8x  4 , encuentra f 3

2) 
fx   5x  3 , encuentra f 3x 3  5 

3) fx   x 4  3x 3  x 2  6x  1, encuentra f 1

4) fx   2x 2  8x  4 , encuentra f 3

x2  1 
5) fx   , encuentra f
 2 

x  x  2

II. Sea f la función definida por f(h) = 60 h que convierte horas en minutos, y g(m) = 60m la función que
convierte minutos a segundos. Encuentra una función que convierta horas en segundos.

Evaluación
Saberes
Reconoce la evaluación de Evalúa funciones en puntos dados. Muestra disposición al realizar la
funciones. actividad.
Autoevaluación
docente

81
BLOQUE 1

Desarrollo
Suma de funciones.
Como hasta ahora se ha visto, existen una gran variedad de funciones, las cuales pueden obtenerse de operaciones
simples entre dos funciones más sencillas, por ejemplo:

x2  1 1
Si se tiene T x   , la cual es una función racional, ésta puede ser el resultado de sumar las funciones f x  
x x
y g x   x , esto se puede demostrar de forma gráfica.
f (x) g (x)
 

 

 

 

 
x x

                     
 

 

 

 

 

Para analizar la suma de las funciones se tomarán como ejemplo los mismos valores en ambas funciones.

1
gx   x f x   gx  x2  1
x fx   Tx  
x x

No está
0 0 No está definida No está definida
definida

2
 1
1 1 1 5   1 1 1 5
2 5
2 2   4  4 
2 2 2 2 1 1 1 2
2 2 2

1 1 1 1 1  2
12  1 1 1 2
  2
1 1 1

3
1
3
1
3 
10 32  1 9 1 10
 
3 3 3 3 3 3


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas f  gx  (negro)










x

          










T(x)=(f +g )(x)









x

          










El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).

El dominio de f(x) es:  ,0  0, 
El dominio de g(x) es:  ,

Por lo tanto, el dominio de f  gx  es:  ,0  0,  , puesto que son los intervalos que están tanto en “f” como en
“g”.

A continuación se definirá la operación de suma entre dos funciones.
Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f+g es una
función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos del Domf , que están también en el Domg , es
decir, Domf  Domg y con la siguiente regla de correspondencia.
f  gx   fx   gx 

83
BLOQUE 1

Ejemplo 1.
Si fx   2x y gx   x , determinar la función f  gx  , así como su dominio.

Las gráficas y los dominios de cada una de las funciones son:
fx   2x gx   x
f (x) g (x)
 

 

 

 

 

 

 
x x

                     
 

 

 

 

 
Domf :  ,  Domg : 0, 

La suma de las funciones es:
f  gx   2x  x
Su gráfica se puede visualizar de color negro.

[f +g ](x)
 
f  gx   2x  x
 

 fx   2x 

 

 

 

 gx   x 
x x

        
f gx  2x 
 x
          
 

 

 

 

 
El intervalo que se encuentra tanto en el dominio de la función f, como en el dominio de la función g, es 0,  , por lo
tanto Domf g : 0,  .


Actividad: 2
Realiza la suma entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la función
resultante.
1) fx   x 2 , gx   2x 6) fx   4x  x 2 , gx   x 
1
2
f  gx   f  gx  

Domfg : Domfg :

2) fx   3x  5 , gx   x 2  x 7) fx   4x  2 , gx   1  x 3

f  gx   f  gx  


fx   x , gx   2 1
3) 8) fx   x 3  x , gx  
x
f  gx  
f  gx  

Domfg :
Domfg :

2
4) fx   1  x  x 2 , gx   x5 9) fx   2 , gx   1  x  x 2
3

f  gx   f  gx  


5) fx   x 2  9 , gx   4x 10) fx   x 2  9 , gx    x

f  gx   f  gx  

Evaluación
Saberes
Escribe la suma de dos Obtiene la suma de dos funciones. Expresa la simplicidad de la
funciones. operación suma de funciones.
Autoevaluación
docente

85
BLOQUE 1

Resta de funciones.
Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función resta es la intersección de las funciones involucradas, esto
es:

Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g es una
f  gx   fx   gx 
Ejemplo 1.
Si se tiene f x   x  1 y gx   x  4 , determinar la función f  gx  , así como su dominio.

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones y realizar con ellas la resta.

x f x   x  1 gx   x  4 f x   gx  f  gx   x 1 x  4
–1 0 No es número real No es número real  1  1   1  4   5 No es real
0 1 No es número real No es número real 0  1  0  4  1   4 No es real
1 1.4 No es número real No es número real 1  1  1  4  2   3 No es real
3 2 No es número real No es número real 3  1  3  4  2   1 No es real
4 2.2 0 2.2 4  1  4  4  5  2.2
5 2.4 1 1.4 5  1  5  4  6  1  1.4
6 2.6 1.4 1.2 6  1  6  4  7  2  1.2
7 2.8 1.7 1.1 7  1  7  4  8  3  1.09
8 3 2 1 8 1 8  4  3  2 1

Al graficar cada una de ellas se obtiene:

f x   x  1 gx   x  1 .
f (x) g (x)
 

 

 

 

 

 
x x

                       
 

 

 

 
Domf :  1 
, Domg : 4, 


En esta gráfica se observan las dos funciones f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la resta de ellas f  gx  (negro)












x

           








La gráfica de la función f  gx  es:

[f - g ](x)











x

           








El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).

El dominio de f(x) es: Domf :  1 
,
El dominio de g(x) es: Domg : 4, 

Por lo tanto, el dominio de f  gx  es: Domf g : 4,  , sólo coinciden en ese intervalo, como se muestra en el plano
cartesiano donde están las tres juntas.

Cuando se suman dos funciones, no importa el orden en que se realice la operación, la función resultante es la
misma, pero en la resta no es así, a continuación se mostrará el ejemplo anterior, pero realizando la resta en diferente
orden.

87
BLOQUE 1

Ejemplo 2.
Si se tiene f x   x  1 y gx   x  4 , determinar la función g  fx  , así como su dominio.

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la resta.

x f x   x  1 gx   x  4 gx   fx  g  fx   x 4  x 1
–1 0 No es número real No es número real  1  4   1  1   5 No es real
0 1 No es número real No es número real 0  4  0  1   4  1 No es real
1 1.4 No es número real No es número real 1  4  1  1   3  2 No es real
3 2 No es número real No es número real 3  4  3  1   1  2 No es real
4 2.2 0 –2.2 4  4  4  1   5  2.2
5 2.4 1 –1.4 5  4  5  1  1  6  1.4
6 2.6 1.4 –1.2 6  4  6  1  2  7  1.2
7 2.8 1.7 –1.1 7  4  7  1  3  8  1.09
8 3 2 –1 8  4  8  1  2  3  1

La operación queda representada en la siguiente gráfica:



 fx   x  1





 gx   x  4


x

           







f  gx   x 1 x  4


La gráfica de la función g  fx  queda de la siguiente forma:
[f - g ](x)











x

           








El dominio de g  fx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).

El dominio de f(x) es: Domf :  1 
,
El dominio de g(x) es: Domg : 4, 

Por lo tanto, el dominio de g  fx  sigue siendo Domgf  : 4,  .

Actividad: 3
Realiza la resta entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la
función resultante.
1) fx   x 2 , gx   2x 4) fx   4x  x 2 , gx   x 
1
f  gx   2
f  gx  
Domfg :
Domfg :

2) fx   3x  5 , gx   x 2  x
5) fx   4x  2 , gx   1  x 3
f  gx  
f  gx  
Domfg :
Domfg :

3) fx   x , gx   2
1
6) fx   x 3  x , gx  
f  gx   x
f  gx  
Domfg :
Domfg :

89
BLOQUE 1


7) fx   1  x  x 2 , gx  
2
x5 9) fx   2 , gx   1  x  x 2
3
f  gx   f  gx  
Domfg : Domfg :

8) fx   x 2  9 , gx   4x 10) fx   x 2  9 , gx    x
f  gx   f  gx  
Domfg : Domfg :

Evaluación
Saberes
Escribe la resta de dos Obtiene la resta de dos funciones. Es cuidoso al obtener la resta de
funciones. dos funciones.
Autoevaluación
docente

Multiplicación de funciones.
Al igual que la suma de funciones, el dominio de la función multiplicación es la intersección de las funciones
involucradas, esto es:

Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g es una

f  gx   fx  gx 
En esta ocasión se debe tener muy en cuenta al realizar las operaciones, las leyes de los signos. La porción de la
función que esté por encima del eje X es positiva y la que esté por debajo es negativa, por lo tanto:

1. Si los valores de la función f y g que estén por encima del eje X, la multiplicación también estará por encima
del eje X.

2. Si los valores de la función f y g que estén por debajo del eje X, la multiplicación estará por encima del eje X.

3. Si los valores de la función f y g se ubican en diferentes lados del eje X, la multiplicación estará por debajo del
eje X.

Lo anterior se visualizará en los siguientes ejemplos.


Ejemplo 1.
Si se tiene R x   xsen( x) , se puede comprobar que es el resultado de multiplicar las funciones f x   x y
g x   senx  .

Mediante la gráfica de cada una de ellas se visualizará la multiplicación de f y g.

f x   x g x   senx  .
 f (x)  g (x)
 
 
 
 x  x

                         
 
 
 
 
 

Domf :  ,  Domg :  , 

Ahora se obtendrán algunos valores de ambas funciones para realizar con ellas la multiplicación, con el fin de
compararla con la función R(x).

x f x   x g x   senx  f x   gx  R x   x senx 

–1 –1 –0.8 0.8 0.8
0 0 0 0 0
1 1 0.8 0.8 0.8
2 2 0.9 1.8 1.8







En esta gráfica se observan las dos funciones 
f(x) (azul) y g(x) (rojo) y la suma de ellas 
f  gx  (negro) 

 x

                         












91
BLOQUE 1

Visualizando sólo la función R(x),

 R(x)









 x

                      












El dominio de f  gx  es la intersección de los dominios de las funciones f(x) y g(x).
El dominio de f(x) es: Domf :  , 
El dominio de g(x) es: Domg :  , 
Por lo tanto, el dominio de f  gx  es: Domfg :  ,  , puesto que se intersecan en todo el conjunto de los
números reales.

Ejemplo 2.
Si fx   x  2 y gx   x  2 , determinar la función f  gx  , así como su dominio.

fx   2x gx   x
f (x) g (x)
 

 

 

 

 

 
x x

                 
 

 

 

 

Domf :  ,  Domg :  , 


La multiplicación de las funciones es:
f  gx   x  2x  2
f  gx   x 2  4

[f g ](x) [f g ](x)
 
 

 

 
 

 

 
 
x x

                         
 

 
 

 

 
 
Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su multiplicación
también.
Domfg :  , 

Actividad: 4
Realiza la multiplicación entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de
la función resultante.
1) fx   x 2 , gx   2x 4) fx   4x  x 2 , gx   x 
1
f  gx   2
f  gx  
Domfg :
Domfg :

2) fx   3x  5 , gx   x 2  x 5) fx   4x  2 , gx   1  x 3
f  gx   f  gx  

Domfg : Domfg :

fx   x , gx   2 1
3) 6) fx   x 3  x , gx  
f  gx   x
f  gx  
Domfg :
Domfg :

93
BLOQUE 1


7) fx   1  x  x 2 , gx  
2
x5 9) fx   2 , gx   1  x  x 2
3 f  gx  
f  gx  
Domfg :
Domfg :

10) fx   x 2  9 , gx    x
8) fx   x 2  9 , gx   4x
f  gx  
f  gx  
Domfg :
Domfg :

Evaluación
Saberes
Escribe la multiplicación de dos Obtiene la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de
funciones. funciones. dos funciones.
Autoevaluación
docente

División de funciones.
f
Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces es definida
g
por:
f fx 
 x   con gx   0
g gx 
f
El dominio de   x  es: Domf  Domg excluyendo los valores para los cuales gx   0 .
g

En esta operación también se debe tomar en cuenta las leyes de los signos, pero también hay que recordar que la
división entre cero no está definida, es por ello que la definición anterior está restringida a que gx   0 , en dado caso
que la operación fuera al revés, no se tendría el mismo resultado, a diferencia de la multiplicación.

Al multiplicar dos valores que son mayores que la unidad, su resultado aumenta, en el caso contrario, disminuye su
valor.

En la división sucede lo contrario: si las dos cantidades son menores que la unidad, el resultado aumenta, así como
también si el denominador es menor que la unidad. En el caso de que los dos sean mayores que la unidad, el
resultado disminuye.


Lo anterior lo visualizarán de manera más clara en las gráficas de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.
f
Si fx   x  4 y gx   x 2  1 determinar la función   x  , así como su dominio.
g

fx   x  4 gx   x 2  1
 f (x)  g (x)
 
 
 
 
 
 
 
x x

                           
 
 
 
 

Domf :  ,   Domg :  ,  
 
La división de las funciones es:
 
 f x4 
 x   2
 g x 1 

 








x

             

 En estos puntos, la
 función que
 corresponde al
denominador, es

cero, por lo tanto, se
 convierten en
 asíntotas para la
 función racional que
se formó al dividir

ambas funciones.


95
BLOQUE 1

 [f / g ](x)







x

             










Como el dominio de las funciones “f” y “g” es el conjunto de los números reales, por lo tanto, el de su división debería
ser los números reales, porque en todos sus puntos coinciden, sólo que se debe de excluir de él, los valores para los
cuales la función g(x) es cero, y como se observó en la gráfica, es para x=–1 y x=1, por lo tanto, el dominio es:
Dom f  :  ,     1 1
,
 
g
En el siguiente ejemplo se invertirá la división, para observar cuáles serían los cambios.

Ejemplo 2.
g
Si fx   x  4 y gx   x 2  1 determinar la función   x  , así como su dominio.
f

fx   x  4 gx   x 2  1
 f (x)  g (x)
 
 
 
 
 
 
 
x x

                           
 
 
 
 

Domf :  ,   Domg :  ,  
 
 
 
96  
RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

La división de las funciones es:
2
g
f x   x  1
  x4






 x

              

En este punto, la

función que

corresponde al
 denominador, es
 cero, por lo tanto, se
 convierte en una

asíntota para la
función racional que

se formó al dividir

ambas funciones.




2
g x 1
La gráfica de la función  x   , queda de la siguiente forma:
 f x4

 [g / f ](x)
En este caso el único valor que hace cero a la
 función “f” es para x=–4, por lo tanto, el dominio
 es:

 Dom g  :  ,     4 
f
  
x

              














97
BLOQUE 1

Actividad: 5
Realiza la división entre las funciones f(x) y g(x), además identifica el dominio de la
función resultante.
1) fx   x 2 , gx   2x 6) fx   4x  x 2 , gx   x 
1
f 2
  x   f
g   x  
g
Dom f  :
  Dom f  :
g  
g

2) fx   3x  5 , gx   x 2  x
7) fx   4x  2 , gx   1  x 3
f
  x   f
g   x  
g
Dom f  :
  Dom f  :
g  
g

fx   x , gx   2 1
3) 8) fx   x 3  x , gx  
x
f
  x   f
g   x  
g
Dom f  :
  Dom f  :
g  
g
2
4) fx   1  x  x , gx  
2
x5 9) fx   2 , gx   1  x  x 2
3
f f
  x     x  
g g
Domfg :
Domfg :

10) fx   x 2  9 , gx    x
5) fx   x  9 , gx   4x
2
f
f   x  
  x   g
g
Dom f  : Dom f  :
   
g g

Evaluación
Saberes
Reconoce la multiplicación de Resuelve la multiplicación de dos Es cuidoso al obtener la resta de
dos funciones. funciones. dos funciones.
Autoevaluación
docente


Composición de funciones.
¿Será lo mismo guardar una cartera en una caja de regalo, que guardar un regalo en la cartera?

En esta sección se utiliza la sustitución de valores dentro de una función, y más aún, una función dentro de otra
función, a este procedimiento se le llama composición de funciones, y tiene su sentido, no es lo mismo la función
compuesta de “f” con “g”, que la de “g” con “f”.

A continuación se desarrollará la teoría correspondiente a la función composición.

Se sabe que la notación f(a) significa el valor de la función f(x) cuando x = a; se obtiene al sustituir “a” por x, siempre
y cuando que “x” aparezca en la expresión de f(x), por ejemplo:

1. Si fx   x 2  1, entonces fa   a 2  1
2. Si fx   3 x  6 , entonces fa   3 a  6

Ahora, si g(x) es una función, entonces fgx  es la función que se obtiene al sustituir g(x) en lugar de x, siempre que
ésta ocurra en la expresión de f(x).

La función fgx  es llamada la compuesta de “f” con “g” y se utiliza el símbolo operacional “  ” para denotar la
compuesta de “f” con “g”. Así f  gx   fgx  .

Ejemplo 1.
Si fx   x  2 y gx   x 2 , determinar f  gx   fgx  y g  fx   gfx  .

Como se observa en f  gx   fgx  , f(x) es la función que será evaluada en g(x), por lo tanto, la composición de “f”
con “g” es:

fx   x  2
fgx   gx   2
fgx   x 2  2

Se puede expresar como:
f  gx   x 2  2
Ahora se obtendrá la composición de “g” con “f”.
gx   x 2
gfx   fx 2
gfx   x  22  x 2  4x  4

g  fx   x 2  4x  4
Ambas composiciones son funciones cuadráticas, por lo tanto, el dominio es el conjunto de los números reales.

Domfg :  ,  Domgf  :  , 

99
BLOQUE 1

Ahora se presenta la definición de la composición de funciones.

Si f y g son funciones reales cuyo dominio es el conjunto Domf y Domg , respectivamente, entonces f  g (también
conocida como composición de funciones) es función cuyo dominio es el conjunto que tiene todos los elementos de
Domg tal que g(x) está en Domf y con la siguiente regla de correspondencia.
f  gx   fgx 
La siguiente figura muestra una representación geométrica de f  gx   fgx  .

• • •
x g(x) fgx 

fg

Es muy importante hacer notar que para formar la función composición es necesario que el rango de la función g sea
igual o un subconjunto del dominio de la función f.

Ejemplo 2.
Si fx   2x  x y gx   x  3 , encontrar f  g y especificar su dominio.
Como se pide evaluar a “f”, se sustituye la función g dentro de cada “x” que posea la función “f”, como se muestra a
continuación.

fx   2x  x
fgx   2gx   gx 
fgx   2x  3  x  3
fgx   2x  6  x  3

La función composición se expresa así:

f  gx   2x  6  x3

Ahora, analizando el dominio de g, por ser el valor que se está sustituyendo, observamos que es una función lineal,
dado que es de primer grado, por lo tanto, el dominio y rango de gx   x  3 son todos los números reales.

Domg :  ,  y Rango g :  , 
Tomando en cuenta que los valores del Rango de g, son los que se sustituirán en la función “f”, y ésta posee una raíz,
entonces de todos los números reales sólo se tomarán como dominio de la función composición, aquellos para los
cuales f  g es válida, esto es, observando f  gx   2x  6  x  3 , se tiene que el dominio de composición de f
con g es Domfg :  3,  , porque al sustituir valores menores que –3 no se puede obtener de la raíz un número real.


Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición.

f  gx   2x  6  x3















x
fx   2x  x
           



gx   x  3








Observando la gráfica se puede concluir que la función “g” desplaza a la función “f” tres unidades hacia la izquierda.

¿Qué pasaría con la función, si la composición de las funciones fuera al revés?

Ejemplo 3.
Si fx   2x  x y gx   x  3 , encontrar g  f y especificar su dominio.
Como se pide evaluar a “g”, se sustituye la función f dentro de cada “x” que posea la función “g”, como se muestra a
continuación.

gx   x  3
gfx   fx   3
gfx   2x  x  3

La función composición se expresa así:

g  fx   2x  x 3

Ahora, para los valores mayores e iguales a cero es válida la función composición “g” con “f”, puesto que la única
parte que restringe al dominio es la raíz, sólo los valores no negativos pueden ser sustituidos, para validar esa función,
por lo tanto, su dominio es:

Domgf  : 0, 

Si se realizan las gráficas correspondientes, es más sencillo visualizar el dominio de la función composición.

101
BLOQUE 1

g  fx   2x  x 3















x
fx   2x  x
           



gx   x  3








En esta ocasión, la función “f” fue trasladada 3 unidades hacia arriba.

Generalizar este comportamiento sería muy apresurado, la forma en que varía la posición de las funciones, depende
de ellas mismas, del tipo de funciones que sean.

Posteriormente se utilizará la composición de funciones, para analizar el movimiento de las funciones, esto será en el
próximo bloque.

Los siguientes enunciados son ejemplos de la aplicación de la función composición.

1. El costo de producción de huevos por un granjero está en función del número de gallinas que tiene; el número de
gallinas depende a su vez del costo del alimento, por lo tanto, el costo de producción de huevos es una función
del costo del alimento para gallinas.

2. La producción anual de naranjas de una huerta está en función del número de árboles plantados en ella; el
número de árboles plantados es función de la fertilidad del terreno. La producción anual es, pues, función de la
fertilidad del terreno.


de operaciones con funciones.
http://www.iesmarquesdesantillana.org/departamentos/matem/funciones/funcion
es1.htm
http://ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/temas_1bach_CCNN/temario_1bach_CCN
N.htm


Actividad: 6
Utiliza las siguientes funciones para realizar las composiciones descritas en cada
inciso y describe el dominio de la función compuesta, mediante intervalos.
fx   2  x 2 gx   x  4 hx   2  x
a) fg

b) g f

c) fh

d) h f

e) hg

f) gh

g) f gh

Expresa las siguientes funciones compuestas, como las funciones que las originaron, es decir, escríbelas como
fg.
1 1 x 3
hx   x 3 hx   hx  
x2 x3
fx   fx   fx  
gx   gx   gx  
f  gx   f  gx   f  gx  

Evaluación
Saberes
Identifica la composición de dos Resuelve la composición de dos Aprecia el Álgebra como
funciones. funciones. herramienta fundamental para
obtener la composición de dos
funciones.
Autoevaluación
docente

103
BLOQUE 1

Cierre

Actividad:7

Resuelve cada una de las cuestiones que se te plantean.
d
1. Si el área de una circunferencia es A r   r 2 y si A d  r, determina la función
2
compuesta:
Ad  Ard

2. En una tienda se observa la siguiente promoción: “En la compra de un juego de maletas obtenga un 20% de
descuento”, y además “un descuento adicional de 35 pesos". Si se consideran las funciones Cx   0.8x y

Px   x  35 .

a) Calcula: CPx  PCx 

Evaluación
b) ¿Cuál de los resultados obtenidos determina el pago del juego de maletas? ________.
Actividad: x Producto: Puntaje:
c) ¿Cuánto se pagará por un juego de maletas con precio de lista de 650 pesos? _______.
Saberes

Autoevaluación
docente
3. Daniel arroja una piedra a un lago y crea una ola circular que va hacia fuera a una velocidad de 55 cm/s.
Expresa el radio del círculo formado en función del tiempo.

a) Si A es el área del círculo en función del radio, encuentra A  r e interprétala.

Evaluación
Actividad: 7 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:
Saberes
Identifica las operaciones de Aplica operaciones de funciones Propone maneras creativas para
funciones que describen para resolver problemas solucionar problemas.
problemas de la vida cotidiana. cotidianos.
Autoevaluación
docente


Aplica funciones especiales y transformaciones de gráficas.

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o
formales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.

 Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando propiedades de funciones inversas,
constantes, idénticas, valor absoluto y escalonadas, para representar situaciones y resolver problemas, teóricos
o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las
 Utiliza transformaciones de gráficas para la visualización de las representaciones algebraicas y geométricas de
las funciones

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo
a su relevancia y confiabilidad.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción
con pasos específicos.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.

Funciones especiales.

Inicio 

Actividad: 1

I. Marca con  la característica que cumple cada una de las funciones descritas por los pares
ordenados.

Función Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva
fx    2,  6,  13, 0, 0, 1 3, 2,6, 3,9, 4,12
, ,
fx    3,9,  2,4,  1 1, 0, 0, 11, 2,4, 3,9
, ,
fx   2,  5, 2,  3, 3,  1, 4,1, 5,1, 6,3, 7,5
fx    14 , 4,  13 , 3,  12 , 2, 1 1, 2, 12, 3, 13, 4, 14
,
fx    14 , 4,  13 , 3,  12 , 2, 1 1, 2, 12, 3, 13, 4, 14
 ,

II. Invierte las coordenadas de cada una de las funciones anteriores, analízalas y determina si es función
marcando con , de ser así, marca la característica que cumple cada una de ellas.

Pares ordenados Función Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva
 , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , 
 , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , 
 , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , 
 , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , 
 , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , ,  , 

III. Invierte las coordenadas de la gráfica de la función que se encuentra en el lado izquierdo, para que ubiques
los puntos invertidos en el plano cartesiano de la derecha y traces la gráfica correspondiente. Clasifica cada
una de ellas marcando con  si es función o relación; si es función, marca la característica
correspondiente.
f (x) y
 
 
 
  x

        
 
 x 

        
 

Función ( ) Relación ( ) Función ( ) Relación ( )
Inyectiva ( ) Inyectiva ( )
Sobreyectiva ( ) Sobreyectiva ( )
Biyectiva ( ) Biyectiva ( )

106 APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

f (x)  y










 x

         
 x
         

 f (x)  y
 
 
 x 

        
 
  x

        
 
 
 f (x)  y
 
 
 
x

        
 
  x

        
 
 

Evaluación
Producto: Complementación de
tablas.
Saberes
Reconoce las características de Asocia la característica de las Muestra interés al realizar la
las funciones. funciones de acuerdo a la regla de actividad y sus conocimientos
correspondencia de una función o previos.
a su gráfica.
Autoevaluación
docente

107
BLOQUE 2

Desarrollo
La importancia de las Matemáticas radica en su aplicación, en la manera que ayuda a plantear y resolver problemas;
en la modelación, es fundamental el domino de diferentes funciones, debido a la variedad de problemas que se
busca solucionar.

En diferentes disciplinas se utilizan las funciones, como es el caso de la Física, en ella se conocen como fórmulas que
requieren despejarse dependiendo la variable que se requiera conocer, por ejemplo:

Un ciclista se mueve con una velocidad constante de 10 m/s, si “x” representa el desplazamiento recorrido por el
ciclista en un tiempo t, entonces la relación entre el tiempo y el desplazamiento es:

x
v
t
x
10 
t

x
x  10 t t
10
Cada una de ellas es una función, la primera permite encontrar el desplazamiento cuando se conoce el tiempo, y en la
segunda ocurre de forma inversa, se puede conocer el tiempo si se conoce el desplazamiento, por lo tanto, se
pueden expresar como:

x
x  ft   10 t t  gx  
10

x
ft   10 t gx  
10
0 0 0 0
1 10 10 1
2 20 20 2
3 30 30 3
4 40 40 4

Si se toma la primera tabla y se invierten las columnas se obtiene la segunda, en ambos casos la relación es la
misma, pero la interpretación es diferente; desde el punto de vista de las funciones, se le denomina obtener la inversa
de una función.

Función inversa.
En la actividad de inicio encontraste que una de las características esenciales para obtener la inversa de una función,
es que ésta sea biyectiva.

A continuación se enuncia su definición.

Dada una función biyectiva f : A  B , se dice que la función g : B  A es su inversa, si se cumple que:
fgx   x, x B
gfx   x, x A

En otras palabras, una función biyectiva tiene función inversa y al encontrar la función compuesta entre ambas, se
obtiene la función identidad.

Lo anterior se visualiza en el siguiente ejemplo:


Ejemplo 1.
x2
Sea la función fx   3x  2 , demostrar que la función gx   es su función inversa.
3
Antes que nada, se graficará la función para determinar si es biyectiva, significa entonces, que debe cumplir con ser
inyectiva y sobreyectiva.

Primero se grafica la función utilizando uno de los métodos para graficar funciones lineales, obteniéndose la siguiente:

 f (x)







x

       









Posteriormente, se utilizará la prueba de las líneas horizontales para demostrar que función f(x) es inyectiva, como se
muestra a continuación.

 f (x)






Como se puede constatar, las líneas intersecan a la función una sola vez, esto
 significa que es inyectiva, porque para dos valores diferentes de x le asocia
x
dos valores diferentes de la función.
       









Si se observa el contradominio es el conjunto de los números reales y al ser igual que el rango, significa que todos las
imágenes pertenecientes al contradominio provienen de una “x” específica, con ello se demuestra que también es
sobreyectiva, por lo que se concluye que la función es biyectiva.

Una vez comprobada que es biyectiva, se requiere demostrar que la función compuesta entre ambas da como
resultado la función identidad, como se aprecia enseguida.

109
BLOQUE 2

x2
gx  
fx   3 x  2 3
fgx   3gx   2 gfx  
fx   2
x  2 3
fgx   3  2 3x  2  2
 3  gfx  
3
x  2
fgx   3  2 3x  2  2
 3  fgx  
3
fgx   x  2   2 3x
fgx   x fgx  
x
fgx   x
Cada una de ellas es la función inversa de la otra.

Al graficar ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observará otra de las características que tienen las
funciones inversas.
 y

fx   3x  2 
yx






x2
 gx  
x
3

       




La característica a la cual se refiere anteriormente, es a que las funciones son simétricas con respecto a la función
identidad y=x, es decir, que las funciones se encuentran a la misma distancia de la recta identidad.

Regularmente si la función fx  tiene inversa, ésta se representa con f 1x  , esta notación sólo es una representación
sin el sentido algebraico que tiene –1 como exponente, así que no se debe confundir el término inverso con recíproco.

En el caso anterior fue sencillo comprobar que las funciones son inversas, se complica un poco cuando se desconoce
la inversa de una función y se quiere encontrar; en el siguiente tema se explicará el proceso para encontrar la inversa
de una función.

Actividad: 2
Prueba algebraicamente que las funciones f y g son inversas.
1) fx   1 x 3 gx   3 1 x


1 1
2) fx   para x  1 gx   1
1 x x

3x
3) fx   3  2x gx  
2

4) fx   4  x 2 para x  0 gx   4  x

5x  9 9  2x
5) fx   gx  
x2 x5

Evaluación
Saberes
Reconoce la función compuesta Comprueba algebraicamente la Aprecia la utilidad de la función
como método de comprobación función inversa. compuesta como método
algebraica de la función inversa. algebraico de comprobación
para la función inversa.
Autoevaluación
docente

111
BLOQUE 2

Forma algebraica de la inversa de una función.

Los pasos requeridos para encontrar la forma algebraica de la inversa de una función, son los siguientes:
1. Comprobar que la función es biyectiva.
2. Escribir la función colocando en lugar de f(x) una “y”.
3. Despejar la “x” de la función.
4. Reescribir ésta última cambiando la “x” por la “y”, y viceversa.
5. Representar la “y” como f 1x  .

Ejemplo 1.
Encontrar la función inversa de fx   2x  4 .
Lo primero que se debe hacer, es comprobar que es biyectiva, y esto se hace utilizando las rectas horizontales en su
gráfica.
f (x)

Toda función lineal es biyectiva, tanto el dominio como el rango son los

números reales y las rectas horizontales la cortan una sola vez.







x

        









Ahora se expresa la función como y  2x  4 , para poder despejar la variable “x”.
y  2x  4
y  4  2x
y4 y
x 
2
y4 
x
2 
1
y2 x 
2
1
El siguiente paso consiste en cambiar las f 1x   x2 

variables, reescribiendo la función de la 2

siguiente forma. x

1         
y x2
2 
Por último, se representa la variable “y” como 
f 1x  , obteniéndose de esta forma la función  fx   2x  4
inversa.

1
f 1x   x  2
2 
Al graficarse ambas funciones en el mismo plano cartesiano, se observa la simetría con respecto a la función
identidad.


Ejemplo 2.
Encontrar la función inversa de fx   x 2  1.
Esta función cuadrática describe una parábola con ramas hacia arriba, como se muestra en su gráfica, y al trazarle
rectas horizontales, se comprueba que la cortan más de una vez en todos los puntos menos en su vértice, por lo tanto
no es inyectiva y por consecuencia, tampoco biyectiva.

f (x)













x

        





Si se traza una curva simétrica con respecto a la función identidad, de esta función, se obtiene la siguiente gráfica.

 y












x

        








Se obtiene una curva que no es función, porque a un valor de “x” le corresponden dos de “y”, también esto se puede
comprobar al trazar una recta vertical y verificar que corta a la función en dos puntos.

Es por ello que un requisito indispensable que se debe comprobar para obtener la función inversa, es que sea
biyectiva, es decir, que sea inyectiva y sobreyectiva.

Siempre que una función no sea inyectiva, al quererla invertir, se obtienen relaciones, no funciones.

Aunque una función no sea inyectiva, se puede acotar a un intervalo que sí lo sea, esto es, sólo considerar aquellos
valores de “x” en los que la función es inyectiva, se puede decir que se restringirá el dominio, si antes esta función
tenía como dominio todos los números reales, ahora se puede considerar el dominio de los números no negativos,
esto se escribe:
fx   x 2  1 si x   0, 

113
BLOQUE 2

Entonces con ello se obtiene sólo la mitad derecha de la función, como se ve en la siguiente gráfica.

 f (x)












x

        





Ahora se procede a obtener la función inversa.

fx   x 2  1

Recordando que primero se debe realizar el cambio de notación.

y  x2  1
Posteriormente, despejando la variable “x”.
y  x2  1
y  1 x 2
 y 1 x
x   y 1
Como se puede observar en el despeje, se obtienen dos funciones, esto es válido para cualquier “x”, pero como en
este caso las “x” están restringidas a ser no negativas, entonces sólo se elige la función irracional de signo positivo
fuera del radical.
x  y 1

A continuación se renombran las variables, intercambiando la “x” por la “y”.

y  x 1

De esta forma se obtiene la función y

inversa:
f 1x   x  1



Al graficar ambas funciones se observa la 
simetría.


fx   x 2  1 


x

        

f 1
x   x 1






Al ver los tipos de funciones que se conocieron en el bloque anterior, se observa que hay varias de ellas que no
cumplen con ser biyectivas, como por ejemplo las funciones trigonométricas, las cuales al ser periódicas no pueden
ser inyectivas, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.
Encontrar la función inversa de fx   cos x .
Al graficar esta función se observa su periodicidad, es por ello que se debe elegir un intervalo en el que la función sea
inyectiva.

f (x)




x

    






Se elegirá el intervalo de 0 a π.

f (x)



x

    







Por lo tanto, la función se redefine de la siguiente forma:

fx   cos x si x  0, 

Ahora se procede a encontrar la función inversa.

y  cos x
cos 1y   x
x  cos 1y 
Haciendo el cambio de variables se obtiene:

y  cos 1x 
Por lo tanto, la función inversa se expresa:
f 1x   cos 1x 
También se conoce como:
f 1x   arccosx 

115
BLOQUE 2

Al graficar las funciones se observa la simetría de éstas, con respecto a la función identidad.

y
f 1x   arccosx 



x

    




fx   cos x


Ahora se presentarán las dos funciones por separado, para comprobar cómo el dominio de la función original se
convierte en el rango de la inversa, y el rango de la función se convierte en el dominio de su inversa.

f (x)

y 1
f x 




x

     x
         





Dom :  0,  Dom :  1 1 
,
Rango :  1 1 
, Rango :  0, 

Ejemplo 4.
x
Utilizando la función inversa, determinar el dominio y rango de la función fx   .
x 1
Esta función es racional y se indefine sólo si el denominador es igual a cero, es decir, cuando la x=1, por lo tanto, el
dominio de la función son todos los números reales menos el 1, y se escribe de la siguiente manera:

Dom:   
1
Para obtener el rango se hace más complicado sin la gráfica, por ello es que se recurre a la función inversa, si se
obtiene el dominio de ésta, corresponderá al rango que se busca.

Ahora se procederá a obtener la función inversa, suponiendo que es biyectiva, esto se comprobará al ver la función
graficada. El propósito de este ejemplo es proporcionar otro método para obtener el rango de una función.

1. Se cambia f(x) por “y”.
x
y
x 1
2. Se despeja “x”.


y x  1  x
xy  y  x
xy  x  y
x y  1  y
y
x
y 1
3. Se cambian las variables, la “y” por la “x” y viceversa.
x
y
x 1
4. Se expresa “y” como f 1
x  .
x
f 1x  
x 1
Observando la función inversa, se deduce, que la función original y su inversa es la misma, por lo tanto, el dominio de
ésta última, también son todos los números reales menos el 1. Por lo tanto, el rango buscado en la función original es
el mismo que su dominio.

Graficando puntos se obtiene la siguiente función.

 f (x)










x

        








Dom:   
1
Rango :   
1

Resulta que la función misma es simétrica con respecto a la función identidad, es por ello que resultó ser igual a su
función inversa.

117
BLOQUE 2

Actividad: 3

Dadas las siguientes gráficas, desarrolla lo que se pide.

1. Verifica que sean uno a uno.
2. Identifica el dominio y el rango de f 1
3. En la misma gráfica, y tomando en cuenta que la función inversa se refleja en la recta y=x (la línea
punteada), traza la inversa.
a)
f (x)








x

     




b)
f (x)









x

     




c)
f (x)









x

     





d)
f (x)









x

     




e)
f (x)









x

     




valuación
Actividad: 3 Producto: Gráficas. Puntaje:
Saberes
Reproduce la gráfica de la Grafica la función inversa como Aprecia la facilidad de graficar la
función inversa. reflejo con respecto a la función función inversa a partir de la
identidad gráfica de la función.
Autoevaluación
docente


En los siguientes sitios podrás reforzar tus conocimientos.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/funciones_
definidas_oper_transf/pagina17.htm
http://cuhwww.upr.clu.edu/~basa/taller2pc/index.htm

119
BLOQUE 2

Actividad: 4

I. Toma en cuenta la siguiente función f0  0 , f1  3 , f3  6 , f5  10 , f6  12 y
f7  14 ; calcula lo siguiente:

1) f 10 

2) f 13 

3) f 16  

II. Encuentra las funciones inversas, escribe el dominio para la cual f(x) tiene inversa.

1) 0, 0 , 1, 3 , 2, 5 , 3, 6 , 4,7

2) fx   2  4x

3) fx   2 x



4) fx   6x 2

1
5) fx  
x

5x  9
6) fx  
x2

Evaluación
Saberes
Reconoce la forma algebraica Construye la forma algebraica de la Reconoce y aprecia los
de la inversa de una función. inversa de una función. conocimientos previos del
Álgebra para calcular funciones
inversas.
Autoevaluación
docente

121
BLOQUE 2

Funciones definidas por partes.
No todos los comportamientos de situaciones reales se pueden modelar con una misma función, tan sencillo como
visualizar el recorrido de un automóvil. En condiciones controladas como en un laboratorio, un automóvil puede
recorrer largas distancias a velocidad constante, pero en la vida real, un automóvil, acelera, desacelera, tiene
velocidad constante o se detiene, e incluso, invierte su marcha. Todas estos comportamientos de recorridos son
complicados para modelarse con una sola función, es por ello, que se puede modelar estas situaciones por partes,
como por ejemplo:

Un automóvil comienza acelerando los 40 primeros segundos, posteriormente su velocidad permanece constante
durante 5 minutos más, abruptamente se detiene por un lapso de 1.5 minutos, y por último, reinicia su marcha
acelerando para alcanzar en los 10 segundos siguientes, la misma velocidad a la que venía circulando, para luego
seguir su marcha a velocidad constante.

La siguiente gráfica podría modelar el comportamiento de este automóvil.

d (mt s )









 t (s eg )

                         

En ella se pueden reconocer dos funciones lineales, las cuales son definidas en los intervalos de tiempo de 40 seg a
340 seg y de 440 seg en adelante. También se reconoce la función constante que se define en el intervalo de 340 seg
a 430 seg, y las funciones en donde acelera pueden ser cuadráticas, cúbicas, exponenciales o cualquier función en la
que el crecimiento no sea de forma constante.

Ejemplos como éste hay muchos en la vida diaria, es por ello que es necesario definir y obtener las gráficas de este
tipo de funciones.

La función definida por partes es aquella que tiene dividido su dominio en al menos dos partes y en cada una de ellas
se define una regla de correspondencia diferente.

Esto es, tener en un mismo plano varias funciones, por ejemplo:

fx   x  3
f (x)

fx   x  4x  6
2
1 
fx    x3
2 
fx   x 2  4x
fx   x  4x  6
2 

fx   x 2  4x



fx   x  3  1
x fx    x3
             
2





Cada una de ellas es función, pero agrupadas, es decir, considerándolas todas a la vez, no lo son, porque a varias “x”
les corresponden varios valores de “y”, como es el valor de x=–2, que le corresponde y=1, y=2 y y= 4. Sin embargo,
a partir de ellas se puede construir una función definida por partes. Esto se puede lograr dividiendo el eje x en
intervalos consecutivos, por ejemplo:
f (x)








x

             




 , 1  1,1  1,4  4,  
En los intervalos que muestra la ilustración anterior, no quedaron definidos los números –1, 1 y 4, es decir, no están
considerados en ningún intervalo y si se desea hacer, se deben considerar sólo en uno, porque se caería de nuevo en
definir una relación no una función, por lo tanto, se definirán los intervalos de la siguiente forma:  , 1 , 1 1  , 1 4 
, ,
y 4,   . En cada uno de ellos se hará válida sólo una función, por lo tanto, se “borrarán” las gráficas que no son
válidas, dejándose sólo el trazo de una, esto garantiza que la definición de función.
f (x)

Hay que recordar que el

paréntesis “(“, “)” indica

que no está definido el
 valor de “x”, y le
 corresponde un hueco

“”. El corchete “[“, “]”
indica que está definido

el valor de “x”, y le
 corresponde un punto
x
lleno “”. Ver anexo A.
             


 , 1  1,1 
 1,4 4,  

La expresión algebraica de esta función se representa de la siguiente forma.

x 2  4 x  6 si x  1

x  3 si  1< x < 1

fx    x 2  4x si 1  x  4

 1
 2 x  3

si x>4

Como se observa, la función está compuesta por las cuatro funciones condicionadas en un intervalo, es por ello que
después de nombrar a cada una de ellas está el condicionante “si”, seguido de la desigualdad que representa al
intervalo donde son válidas.

123
BLOQUE 2

El dominio de la función será la unión de los intervalos de las funciones que la componen, esto es:
Dom:  , 1   11  14   4, ; en este caso, se puede decir que el dominio son todos los números reales,
, ,
Dom :  .

En cuanto al rango de la función definida por partes, también abarca todos los números reales, debido que la unión
de los intervalos que componen los rangos de las funciones que la integran, da como resultado el conjunto de los
números reales.

A continuación se mostrará un ejemplo de la manera que se debe graficar una función definida por partes.

Ejemplo 1.
 x 3  2x 2  4x  6
 si x < 1
Graficar la función fx    y encontrar su dominio y rango.

 2x  1 si x  1
Para graficar la función es recomendable representar, en sus diferentes formas, cada uno de los condicionantes que
validan las funciones que la componen, esto se hará de la siguiente forma:

Función  x 3  2x 2  4x  6 2x  1
Condicionante x <1 x 1
Representación por intervalo  ,1 1, 
x x

Representación gráfica                    

En la representación gráfica del condicionante quedan más claros los valores que se deben sustituir en cada una de
las funciones, y también queda más específico qué función llevará el hueco y cuál el punto.

x  x 3  2x 2  4x  6 x 2x  1
–3 3 1 3
–2 –2 2 5
–1 1 3 7
0 6 4 9
1 7 5 11

Al ubicar los puntos se tiene:

f (x)








x

        





Al ver los puntos de esta forma, es muy común que el alumno los una sin considerar que son dos funciones, y que
además, la función que está a la izquierda del 1 es cúbica y la que está a la derecha es una función lineal, por lo tanto,
si se tiene duda de la curvatura de la función cúbica, se recomienda graficar más puntos entre los valores ya
graficados, como es:

x  x 3  2x 2  4x  6
–1.5 –1.125
–1 1
–0.5 3.625
0 6
0.5 7.375

f (x)








x

        




Se debe tener en cuenta que la función es discontinua, porque da un salto, debido a que en la función cúbica el
hueco ubicado en (1, 7), y en la función lineal el punto se ubica en (1, 3).

Al unir los puntos se obtiene la gráfica:

f (x)








x

        




Dom :  , 
Rango :  2,  

125
BLOQUE 2

Ejemplo 2.
Elaborar la gráfica y obtener el dominio y rango de la función:

 x2
 si x2
g( x )  
 x  6
 si x2

Como en el ejemplo anterior, es recomendable visualizar los intervalos donde cada una de las partes que compone a
esta nueva función, es válida; así como también, determinar los puntos que se requiere sustituir.

Función x2 x  6
Condicionante x <2 x >2
Representación por intervalo  , 2 2, 
x x
Representación gráfica
                 

Sustituyendo los valores correspondientes de cada una de las funciones, se obtienen los siguientes puntos,
recordando que en ambas partes hay un hueco, debido a que ninguno de los condicionantes posee la igualdad.

x x2 x x  6
–2 4 2 4
–1 1 3 3
0 0 4 2
1 1 5 1
2 4 6 0

Al graficar los puntos se obtiene lo siguiente:
 g (x)








x

        



Para unir los puntos se debe considerar que a la izquierda del 2 la función es una parábola y a la derecha del mismo
la función es una línea recta. También se debe reflexionar el punto en el que se parte la función (x=2), éste no es
válido para ninguna de las dos partes de la función, pero en él se dibujará un círculo a la altura de 4, uniendo así la
parábola y la línea recta, debido a que en las dos se obtiene el mismo valor de “y” (y=4).

Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función g(x).


 g (x)








x

        



Su dominio son los números reales menos el 2, debido a que a la izquierda del 2 se extiende infinitamente la parábola
y a su derecha, se extiende infinitamente la recta, pero en 2 no estaba definida la función g(x).

En cuanto a su rango, la parábola se extiende infinitamente hacia arriba y a la altura de 4 si existe valor cuando x=–2,
y hacia abajo se extiende infinitamente la recta, por lo tanto, el rango son todos los números reales.

Tanto el dominio como el rango se escriben:

Notación por intervalos
Dom :  , 2  2,  
Rango :  ,  

Notación por conjuntos
Dom :   2
Rango : 

Actividad: 5
Traza la gráfica de las siguientes funciones.
x 2
 si x  2
1) f( x )  
 x  6
 si x  2
 f (x)







 x

          





127
BLOQUE 2



x 3  2 si x  1
2) f( x )  
 3
 si x  1
f (x)




 x

          








 x 2  4x si x  2

3) g( x )   1 1
 x si x  2
4 2
f (x)





 x

          










 x2  4
 si x  2
 x2

4) f( x )  
 3 si x  2



f (x)






 x

           






 x  4 si x  4

5) f( x )    2 si  4  x  1
 2
 x 3 si x  1
 f (x)






 x

           






valuación
Saberes
Reconoce las funciones que Grafica funciones definidas por Realiza la actividad con interés,
componen a una función partes. expresa sus dudas y corrige sus
definida por partes. errores.
Autoevaluación
docente

129
BLOQUE 2

Se pueden construir una cantidad innumerable de funciones definidas por partes, como los ejemplos que se acaban
de ver, pero en particular hay dos funciones especiales que por su utilidad se les denomina función valor absoluto y
función escalonada, las cuales se describen a continuación.

Función valor absoluto.
En Matemáticas 3 viste el concepto de valor absoluto y lo utilizaste en el tema de distancia entre dos puntos; éste se
representa mediante dos líneas como x , y se lee, valor absoluto de “x”.
En ese momento no se definió como función, sólo se usó para asegurarse de que las distancias obtenidas dieran
como resultado un número positivo, como por ejemplo: 6  6 y  3  3 .

Ahora observando su definición como función, se aclara más el hecho de por qué si se aplica el valor absoluto a un
número positivo resulta positivo, y si se aplica el valor absoluto a un número negativo da como resultado positivo.

La función de valor absoluto fx   x se define como:
 x si x0
f( x )  x  
 x si x0

Esta función está definida como la distancia que existe entre el 0 y el número en cuestión.

Observando las dos partes en las que está compuesta la función valor absoluto, se concluye que son dos rectas, una
con pendiente negativa y la otra con pendiente positiva, a continuación se graficará dando valores a la función.

 x si x0
f( x )  x  
 x si x0

Función x x
Condicionante x <0 x0
Representación por intervalo  , 0 0, 
x x
Representación gráfica
                 

x x x x
–4 4 0 0
–3 3 1 1
–2 2 2 2
–1 1 4 3
0 0 4 4

En las tablas anteriores se observa más claramente que se sustituye un número negativo, éste se multiplica por
menos para convertirlo a positivo, y si es positivo se deja igual.
f (x)

Posteriormente no será necesario realizar todo el proceso de separación de la

función, con sólo sustituir en el valor absoluto se obtendrá la gráfica de la función,
pero siempre es necesario visualizar de dónde proviene el valor absoluto. 

Enseguida se sustituyen los puntos; notarás que en la tabla de la izquierda hay un 
hueco en el punto (0, 0), pero en la tabla de la derecha el punto está lleno en (0, 
0), por lo tanto, le da continuidad a la función.

x

        





Su gráfica queda de la siguiente manera:
f (x)


Al extenderse infinitamente hacia los lados su dominio son los números
reales, y su rango son los números no negativos.

 Dom :  ,  
 Rango : 0, 


x

        



A continuación se mostrarán dos ejemplos de funciones de valor absoluto, utilizando simple sustitución.

Ejemplo 1.
Graficar la función fx   x  3  5 , además, encontrar su dominio y rango.
Se usa una tabla para determinar las coordenadas de los puntos por donde pasa la función, se recomienda graficar
valores a la izquierda y derecha del 3, debido a que éste al sustituirlo en la función hace cero dentro del valor
absoluto.
x fx   x  3  5
0 8 f0  0  3  5   3  5  3  5  8
1 7 f1  1  3  5   2  5  2  5  7
2 6 f2  2  3  5   1  5  1  5  6
3 5 f3  3  3  5  0  5  0  5  5
4 6 f4  4  3  5  1  5  1  5  6
5 7 f5  5  3  5  2  5  2  5  7
6 8 f6  6  3  5  3  5  3  5  8

La gráfica queda de la siguiente forma:

 f (x)








x

         


Su dominio y su rango son:

Dom :  ,  
Rango : 5, 

131
BLOQUE 2

Ejemplo 2.
1
Graficar la función k x   
x  4  2 ; encontrar su dominio y rango.
2
Ahora se tomarán valores alrededor de –4, porque es el número que al sustituirlo dentro del valor absoluto da como
resultado cero.

1
x k x    x4 2
2
1 1 1
–7 –3.5 k 7   74 2 3 2 3  2   7  3.5
2 2 2 2
1 1 1
–6 –3 k 6   64 2 2 2 2  2  3
2 2 2
1 1 1
–5 –2.5 k 5   54 2 1  2   1  2   5  2.5
2 2 2 2
1 1 1
–4 –2 k 4   44 2 0  2   0  2  2
2 2 2
1 1 1 5
–3 –2.5 k 3   34  2   1  2   1  2    2.5
2 2 2 2
1 1 1
–2 –3 k 2   24 2 2  2   2  2  3
2 2 2
1 1 1 7
–1 –3.5 k 1    1 4 2 3  2   3  2    3.5
2 2 2 2

La gráfica queda de la siguiente forma:

k (x)




x

        









Dom :  ,  
Rango :  , 2


Actividad: 6
Encuentra el dominio y el rango de las siguientes funciones, realiza la gráfica
correspondiente y entrégalas a tu profesor.

1) H( x )  x  1
 H(x)






 x

           






1
2) R( x )  3x  6  1
2
 R(x)






 x

           






3) L( x )  2 x
 L(x)



 x

           









133
BLOQUE 2


4) M( x )  x  2  2
 M(x)







 x

          




5) L( x )   2x  10  3 

L(x)




 x

           







6) K( x )  x  4

 K(x)







 x

           





Evaluación
Saberes
Identifica la función valor Grafica funciones con valor Realiza la actividad con interés,
absoluto. absoluto. expresa sus dudas y corrige sus
errores.
Autoevaluación
docente


Función escalonada.
Es la función cuya gráfica está formada por segmentos horizontales de rectas, parecidos a
escalones. Por ejemplo:

Ejemplo 1.
 1 si x  0
Graficar la función f( x )   ; encontrar su dominio y rango.
 1 si x  0
En esta función no es necesario utilizar tablas ni sustitución, ya que las partes por las que está
formada son funciones constantes.

Para todos las “x” menores que cero, se graficará una recta horizontal a la altura de –1 y para
las mayores e iguales a cero, se trazará una recta horizontal a la altura de 1.

f (x)





x

      







Su dominio son todos los números reales, debido a que los intervalos de cada una de las partes contienen a todos los
números reales,  , 0  0, ; en cuanto al rango, sólo son dos valores para los que existe la función, –1 y 1, en
este caso no se utiliza paréntesis ni corchetes, porque no son intervalos, son dos elementos, por lo tanto, se encierran
entre llaves, aquí no importa el orden en el cual se acomoden los elementos del rango.

Dom : 
Rango :  1 1
,

Ejemplo 2.
 2 si  4  x  2
 0 si 2  x  2

Graficar la función T( x )   encontrar su dominio y rango.
 2 si 2 x  4
 4
 si 4 x  6

Esta función está formada por 4 segmentos de recta, como se muestra en la gráfica.
 T(x)






x

           








135
BLOQUE 2

Su dominio lo forman los intervalos  4, 2   2, 2  2, 4  4,6 , que es lo mismo que considerar el intervalo
 4, 6 ; en cuanto al rango, únicamente son cuatro valores: –2, 0, 2 y 4.
Dom :  4, 6 
Rango :  2,0, 2, 4 

Existe una función escalonada especial, llamada función máximo entero, cuya gráfica está formada por una serie de
segmentos de recta horizontales de una unidad de longitud, cada segmento está definido por un intervalo
semicerrado por la izquierda, es decir, que incluye al extremo izquierdo pero al derecho no.

La función máximo entero se expresa como fx   x , donde el símbolo  indica el máximo entero menor o igual a
“x”. Por ejemplo: 2.3  2 , 0.74  0 ,  3.1  4
f (x)





x

     






El dominio de la función son todos los números reales, porque a cada número se le asigna el entero menor o igual
que él, por lo tanto el rango es el conjunto de los números enteros.

Dom : 
Rango : 

Las funciones escalonadas son útiles en las compañías de telefonía, en el costo de las llamadas; si un cliente rebasa
el tiempo en un determinado minuto, le cargan el siguiente minuto completo, situación que en la mayoría de los casos
es injusta para el cliente, pero ellos se amparan en el contrato. Lo mismo sucede en el cobro del uso de
estacionamiento, que por lo general tienen la leyenda “10 pesos por hora o fracción”, lo cual significa que aunque sea
mínimo el tiempo excedido, siempre cobran una hora más.

Ejemplo 3.
El costo de una llamada por celular es de 2.5 pesos los primeros cinco minuto y 1.25 por cada minuto o fracción
adicional. Expresar la función que representa esta situación.

Primero hay que determinar las variables involucradas, por lo tanto, se considerará C(t) como el costo de la llamada
en “t” minutos.

El problema dice que el primer minuto cuesta 2.5 pesos, y en el segundo minuto costará 2.5+1.25, en total 3.75, el
tercer minuto costará lo del minuto anterior más 1.25 pesos y así sucesivamente, por lo tanto, después del primer
minuto, la función dará saltos de 1.25, como se muestra en la gráfica. En este caso se realizará primero la gráfica para
poder dilucidar la forma de la función.


C (t )











t

     


También se tiene que considerar que el cobro se empieza a hacer a partir de t>0, es por ello que cuando t=0 se tiene
un hueco a la altura de 2.5.

La función que representa el costo de las llamadas en término del tiempo transcurrido es:
2.5 si 0 t  1
 3.75 si 1 t  2


C( t )   5 si 2  t  3
6.25 si 3  t  4

 

También se puede expresar como:

C(t)  2.5  1.25t para t > 0

Actividad: 7

Traza la gráfica que describe cada situación.

1) La calificación en el sistema básico tiene como mínimo aprobatoria 6, si el alumno reprueba se
le asigna la calificación de 5. La calificación aprobatoria se redondea, es decir, si obtiene de 6
a 6.4 se le asigna la calificación de 6, si obtiene como calificación de 6.5 a 7, se le asigna la
calificación de 7 y así sucesivamente. La calificación obtenida es “x” y la calificación asignada
se denota como C(x).

C (x)










 x

          



137
BLOQUE 2

2) La tabla representa el costo de envío por correo de paquetes según su peso.

Intervalo Costo en pesos
Peso (gramos) $
[0, 200) 450
[200, 500) 750
[500, 700) 950
[700, 1000) 1250
[1000, 1200] 1450

C (x)












 x (p es o s )

     

 1 si x0

3. f( x )   3 si 0x4
 5 si x4

 f (x)







 x

          



Evaluación

Saberes
Identifica a la función Representa gráficamente Aprecia la utilidad de las
escalonada en situaciones de la situaciones de la vida cotidiana funciones en la representación de
vida cotidiana. mediante funciones escalonadas. situaciones cotidianas.
Autoevaluación
docente


Cierre
Actividad: 8

Realiza lo que se pide.
I. Grafica cada una de las siguientes funciones y determina su dominio y rango:
2 x  2
 si x  3 2 x  1  2
 si x  2
a) f( x )   b) f( x )  
 x  3 1
 si x  3  x  6
 si x  2

 f (x) f (x)



 
 

 


x  x
                 
 






c) f( x)  x  1 d) f( x)  x  1 
 f (x)  f (x)
 
 
 
 
 
 x  x

                   
 
 
 
 
 

139
BLOQUE 2


II. Completa la siguiente tabla escribiendo un ejemplo de la función que se solicita, su inversa, la
comprobación algebraica y un bosquejo de la simetría de ambas funciones.

Comprobación
Nombre Función Función inversa Gráfica
algebraica

Lineal

Dom: Dom:
Rango Rango

Cuadrática

Dom: Dom:
Rango Rango

Cúbica

Dom: Dom:
Rango Rango

Racional

Dom: Dom:
Rango Rango

Irracional

Dom: Dom:
Rango: Rango

Evaluación
tabla.
Saberes
Identifica las funciones Ejemplifica funciones y sus Aporta puntos de vista
especiales e inversa de una inversas. personales con apertura y
función. considera los de otras personas.
Autoevaluación
docente


Transformaciones de gráficas de funciones.
Inicio 

Actividad: 1

En equipo, realicen lo que se solicita.

I. Utilicen lápices de colores para graficar en un mismo plano cartesiano las siguientes funciones:
a) Con rojo la función fx   x 2
b) Con azul la función fx   x 2  2
c) Con verde la función fx   x 2  2
Consideren las siguientes tablas para realizar las gráficas.

x fx   x 2 x fx   x 2  2 x fx   x 2  2
−3 −3 −3
−2 −2 −2
−1 −1 −1
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3

f (x)





















x

        




141
BLOQUE 2

II. Respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Qué ocurre con la gráfica de fx   x 2 si la comparan con la gráfica fx   x 2  2 ?

b) Ahora, ¿qué sucede si la comparan con fx   x 2  2 ?

c) ¿Sucederá lo mismo con todas las funciones?

III. Comprueba lo anterior con la función identidad.
 f (x)





x

           






IV. Escriban sus conclusiones y discutan en grupo ¿cuál es la utilidad que encuentran al usar gráficas para
representar cierta información?

Evaluación
Saberes
Identifica las funciones Transforma funciones cuadráticas. Muestra interés al realizar la
cuadráticas. actividad.
Autoevaluación
docente


Desarrollo
En Matemáticas 3 observaste cómo las figuras geométricas pueden moverse en el plano cartesiano sin cambiar de
forma, como por ejemplo una circunferencia de radio 1 puede cambiar la ubicación de su centro y no cambia su
forma, pero la ecuación que la describe sufre una modificación.
 Y  Y  Y  Y
   
   
   
X X X X

                           
   
   
   
   
2
x  y 1 2
x  y  3  1
2 2
x  3 2 2
 y 1 x  32
 y  32  1

Es muy útil al momento de graficar conocer los cambios que sufre la regla de correspondencia de una función al
trasladarse en el plano cartesiano, de antemano se puede realizar un bosquejo de la función sin necesidad de sustituir
puntos.

Estos cambios se realizan a partir de una función base, como la siguiente:
f (x)

x

Los cambios que se abordarán en esta secuencia son:
f (x)

f (x) f (x)

x

x x

Traslación horizontal Traslación vertical Reflexión con respecto al eje X

f (x) f (x) f (x)

x
x x

Reflexión con respecto al eje Y Reflexión con respecto a la recta de 45º Expansión y contracción

143
BLOQUE 2

Cuando ocurren transformaciones gráficas, se observa que existen desplazamientos y reflexiones, que por lo general
obedecen a parámetros, es decir, a valores constantes que propician dichos cambios, por ejemplo: en Matemáticas 3
se estudió a fondo la línea recta como lugar geométrico, y una de sus formas es la pendiente-ordenada en el origen
( y  mx  b ), donde “m” y “b” son los parámetros; “m” es la pendiente, la cual dependiendo de su valor es la
inclinación que tiene la recta y “b” es la ordenada en el origen, la cual determina la altura a la que se encuentra la
intersección de la recta con el eje Y.

A continuación se analizará algunas transformaciones que se pueden presentar en las funciones, esto se hará
mediante ejemplos; posteriormente se formalizará cada una de ellas.

Traslación horizontal.
Éste tipo de transformación se da cuando la función se mueve hacia la izquierda o a la
derecha, como por ejemplo:
Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función fx   x , se obtiene:

x fx   x
 f (x)
−3 8 

−2 7

−1 6 
0 5  x

1 6                  

2 7 
3 8 


Ahora se tabula y grafica la función fx  3  x  3 .
 f (x+3)
x fx  3  x  3 
−6 3 

−5 2

−4 1  x
−3 0                  

−2 1 
−1 2 

0 3

También se tabula y grafica la función fx  3  x  3  f (x-3)

x fx  3  x  3 

0 3 

1 2
 x
2 1
                 

3 0

4 1 
5 2 

6 3


Notaste que los valores de “x” en las tablas no son los mismos, se eligen alrededor del valor de “x” que hace cero
dentro del valor absoluto, cero para la primera función, menos tres para la segunda y tres para la tercera.

Si se grafican las tres funciones en el mismo plano cartesiano, se observa cómo se transforma la función al sumarle o
restarle una constante a la variable.
 f (x)


f(x+3)  f(x – 3)

 x

                 

f(x)




Con base en lo anterior, se puede concluir que:

Si fx  se transforma en fx  c , la gráfica de f(x) se desplaza horizontalmente a la izquierda o a la derecha,
obteniéndose una nueva función gx   fx  c ; hacia dónde se traslade depende del signo del parámetro “c", esto
es:
 Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la izquierda “c” unidades.

 Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia la derecha “c” unidades.

A continuación se ejemplificará la traslación horizontal, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores.

Ejemplo 1.
Graficar la función gx   x  53 como una transformación de fx   x 3 , tomando en cuenta que su gráfica es:
 f (x)






  g (x)
x

        
 
 
 
 
x

       
 


Como el valor del parámetro es −5, entonces para obtener la gráfica de g x  se


desplaza cinco unidades a la derecha la gráfica de fx  , como se muestra.





145
BLOQUE 2

Ejemplo 2.
11
Graficar la función y  x  , como transformación de la función identidad.
2
Como se sabe, la gráfica de la función identidad es la recta que pasa por el origen y tiene una inclinación de 45º, las
coordenadas de los puntos por donde pasa la función identidad son iguales.

Con base en esta información, se puede trazar la gráfica de “y” trasladando la función identidad cinco unidades y
media a la izquierda, como se muestra a continuación.
h(x)







x

             







En la gráfica se muestra cómo se traslada la función identidad hacia la izquierda, conservando su inclinación.

Traslación vertical.
Es la transformación que se presenta al trasladarse la función hacia arriba o abajo, como por ejemplo:

Si se utiliza una tabla de valores para graficar la función fx   senx  se obtiene:

x fx   senx 
2 0
 3 2 1
 0
 2 −1
0 0
 1
2
 0
3 −1
2
2 0

 f (x)

x

       




Ahora se tabula y grafica la función fx   2  senx   2 .

x fx   2  senx   2
2 2
 3 2 3
f (x)
 2 

 2 1

0 2 x

 3        
2 
 2
3 1
2
2 2

También se tabula y grafica la función fx   2  senx   2

x fx   2  senx   2
2 −2
 3 2 −1 f (x)

 −2 x

 2        
−3 
0 −2 
 −1 
2
 −2
3 −3
2
2 −2

En el caso de las tres tablas anteriores, los valores de “x” son los mismos, debido a que el argumento de la función es
“x”, es decir, para el mismo valor de “x” hace cero a la función seno en los tres casos.

Al graficar las tres funciones en el mismo plano cartesiano se observa cómo se transforma la función al sumársele o
restársele una constante.
 f (x)



fx   2

x
fx 
       

fx   2





147
BLOQUE 2

Con base en lo anterior, se puede concluir que:

Si fx  se transforma en fx   c , la gráfica de f(x) se desplaza verticalmente hacia arriba o hacia abajo, obteniéndose
una nueva función gx   fx   c ; hacia dónde se traslade dependerá del signo del parámetro “c", esto es:

 Si c > 0; es decir, “c” es positivo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia arriba “c” unidades.

 Si c < 0; es decir, “c” es negativo, la gráfica de la función f(x) se desplaza hacia abajo “c” unidades.

A continuación se ejemplificará la traslación vertical, sin utilizar la sustitución y la tabla de valores.

Ejemplo 1.
Graficar la función Tx   x 2  4 como una transformación de f x   x 2 , tomando en cuenta que su gráfica es:
f (x)









x

      





El valor del parámetro es 4, éste es positivo, significa que la función f(x) se trasladará hacia arriba cuatro unidades,
para obtener la gráfica de T(x). 


T(x)



















x

      





Ejemplo 2.
Graficar la función Cx   x  3 , como transformación de la función f x   x


En el bloque anterior se graficó la función f(x), ésta es la mitad superior de una parábola con ramas a la derecha con
vértice en el origen, por lo tanto, la gráfica de la función C(x) describe esta media parábola sólo que trasladada hacia
abajo tres unidades, como se muestra a continuación.


 C (x)


En la gráfica se muestra cómo se traslada la función
 irracional f(x) hacia abajo, conservando su forma.



x

        








Reflexión con respecto al eje X.
Esta transformación se obtiene al convertir f(x) en –f(x), debido a que las imágenes de
ambas funciones tienen la misma magnitud pero signo contrario, lo cual se
comprenderá mejor al observar las siguientes gráficas.

Al graficar la función fx   x 4 mediante la tabla de valores se obtiene:

fx   x 4  f (x)
x

−3 81

−2 16

−1 1

0 0

1 1 
2 16 
3 81 


x

        



Mediante una tabla de valores se graficará la función G x   fx  , es decir, G x   x 4 .

 fx   x 4
G(x)
x 

−3 −81 
x
−2 −16         

−1 −1

0 −0

1 −1

2 −16

3 −81









149
BLOQUE 2

Ahora se visualizarán las dos gráficas, la de base, la cual es f(x) y la reflejada G(x).

 G(x)













x

        
















Ahora se ejemplificará el trazo de algunas funciones reflejadas con respecto al eje X.

Ejemplo 1.
1 3 1
Trazar la gráfica de la función Mx    x como reflejo de la función fx   x 3
2 2
La función fx  tiene como gráfica:

f (x)








x

         










Así que la función G(x) se obtiene cambiándole de signo a todas las imágenes de la gráfica anterior, es decir, si a x=2
la función f(x) le asigna el valor de y= 4, para ese mismo valor de “x” la función G(x) le asignará a y=−4; si a x=−1
f(x) le asigna y=−0.5, la función G(x) le asignará al mismo valor de “x” a y=0.5; siguiendo este proceso se obtiene la
siguiente gráfica.

G(x)








x

         









Comparando las dos gráficas, se observa cómo la parte de la gráfica que se encuentra en el primer cuadrante pasa al
cuarto cuadrante y la parte que se encontraba en el tercer cuadrante se cambia al segundo, como si se sujetara al
plano cartesiano por los dos extremos del eje X y se le diera un medio giro.

Ejemplo 2.
Graficar –h(x) como reflexión de la función h(x) a partir de su gráfica, la cual es:

 f (x)




 x

               







Si no se tiene la regla de correspondencia, como en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de
las imágenes, como se muestra a continuación.

151
BLOQUE 2

 f (x)




 x

               






En el plano anterior se observan los puntos  6, 4 ,  3, 2 ,  2, 0 , 0,2 , 2, 0 , 3, 2 , y 6, 4 , para obtener la
gráfica de la función h(x) se invierte el signo de la segunda coordenada en cada uno de los puntos:

 6,  4 ,  3,  2 ,  2, 0 , 0, 2 , 2, 0 , 3,  2 , 6,  4
Ubicando los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función h(x).
 h(x)




 x

               







Posteriormente se dibuja la gráfica observando la curvatura de la función base f(x).

 h(x)




 x

               








Reflexión con respecto al eje Y.
Esta transformación se obtiene a partir de invertir el signo de los valores de “x”, es
decir, si se tiene la función base f(x) la reflexión con respecto al eje Y se obtiene con
f x  .

A continuación se mostrará mediante tablas que la reflexión se da de acuerdo a lo
antes mencionado.

Para graficar la función fx   2 x  3 mediante la sustitución de valores, se deben
elegir aquellos que permitan obtener la raíz cuadrada, es decir, los valores que se
sustituyan debe dar como resultado, dentro de la raíz, un número no negativo, así que podrán sustituirse todos
aquellos que sean mayores o iguales a 3.
 f (x)
x fx   2 x  3 

3 0 

4 2

5 2 2  2.8  x
6 2 3  3.5                  

7 4 
8 2 5  4.4 


De la misma forma, ahora se encontrará la gráfica de la función Rx   f x  , es decir Rx   2  x  3 ; para este
caso los valores que se pueden sustituir son los menores o iguales que menos tres.

x Rx   2  x  3  R(x)

−8 2 5  4.4 
−7 4 

−6 2 3  3.5

x
−5 2 2  2.8
−4 2         
         

−3 0 


Visualizando las dos funciones en un mismo plano cartesiano, se puede observar la simetría con respecto al eje Y.
Esto significa que si se dobla la gráfica por el eje Y, las dos gráficas deben de coincidir en todos sus puntos.

 y





x

        
         





153
BLOQUE 2

Ejemplo 1.
Trazar la gráfica de la función que se obtiene de la reflexión vertical de fx   x  4 .
Para la función f(x) no es necesario utilizar una tabla, debido a que ya se conoce la gráfica del valor absoluto básica,
sólo que se traslada cuatro unidades a la derecha, como se muestra a continuación.

f (x)





 x

 
          


La gráfica de la reflexión vertical es f(x), y se expresaría:


 f x    x  4

 f (-x)





 x

         
  



Las dos gráficas trazadas en un mismo plano se ven de la siguiente
forma:

 y 
 




 x

        
         



En ellas se nota que sólo con cambiarle el signo a la primera coordenada de la función se obtiene la función reflejada.


Si te imaginas que tomas al eje Y por los extremos y le das un medio giro a la función f(x), se obtiene la función f(x).




Ejemplo 2.
Graficar g(x) como reflexión de la función g(x) a partir de su gráfica, la cual es:
g (x)









 x

     
          



Al no conocer la regla de correspondencia, como en este caso, se ubican puntos de la gráfica y se invierte el signo de

los valores de “x”, como se muestra a continuación.

g (x)









 x

     
          




En el plano anterior se observan los puntos 0, 9 , 1 4 , 2,1 , 3, 0 , 4,1 , 5, 4 , 6, 3 , 7, 2 , 8, 1 y 9, 0 , para
 ,
obtener la gráfica de la función g(x) se invierte el signo de la primera coordenada en cada uno de los puntos:

9, 0 , 8, 1 , 7, 2 , 6, 3 , 5, 4 , 4,1 , 3, 0 , 2,1 , 1, 4 0, 9
Al ubicar los puntos en el plano cartesiano se observa la curvatura de la función g(x).
g (-x)









 x

              
   




155
BLOQUE 2

Al graficar las dos funciones en el plano cartesiano se observa la simetría.

y









 x

        
         




Reflexión con respecto a la recta de 45o.
Esta transformación se produce cuando en el mismo plano cartesiano se encuentra
función y su inversa, debido a que son simétricas con respecto a la recta de 45º
(función identidad).

Ejemplo 1.
Graficar la reflexión sobre la recta de 45º de la función fx   e x  3 .

La función f(x) es una función exponencial desplazada tres unidades hacia abajo, como se muestra a continuación.
 f (x)











 x

            




Se puede utilizar la calculadora para ubicar algunos puntos que pertenecen a la función y así invertir las coordenadas
para graficar la función inversa.

Los puntos encontrados son:

 3,  2.9 ,  2,  2.8 ,  1,  2.6 , 0,  2 , 1 0.3 , 2, 4.4
,


Entonces al invertirlos se obtiene:

 2, 0 ,  2.9,  3 ,  2.8,  2 ,  2.6,  1 ,  0.3, 1  , 4.4, 2
 y








 x

            







Al trazarse las dos funciones en el mismo plano cartesiano se observa la simetría con la recta de 45º.
y





 x

            








Contracción y expansión de funciones. 
Éstas son otro tipo de transformaciones que pueden sufrir las funciones; para visualizarlas mejor se mostrarán

ejemplos de las transformaciones que sufre la función fx   x  32 al ser multiplicada por diferentes constantes.
En los bloques posteriores se abordará con más detalle algunas funciones, y en ellos se formalizará la contracción y
expansión de funciones particularizando cada caso.

Ejemplo 1.
Describir la transformación que sufre la gráfica de la función fx   x  32 cuando se multiplica por cuatro.

Se puede decir que al multiplicar la función original por una constante, se convierte en otra función, y para efectos de
solución de este ejemplo, se le denominará como Lx   4x  32 .

Para observar la transformación que sufre, se graficarán las dos funciones mediante tablas de valores, para ello, se
graficarán valores alrededor de 3, debido a que es el valor de “x” que al sustituirlo se hace cero dentro del paréntesis.

157
BLOQUE 2

x fx   x  32 x Lx   4x  32
0 9 0 36
1 4 1 16
2 1 2 4
3 0 3 0
4 1 4 4
5 4 5 16
6 9 6 36

f (x) L(x)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x  x

                           
 
 

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano cartesiano se observa cómo la función original f(x) se “contrae”
transformándose en la gráfica L(x). 2
Lx   4x  3

y fx   x  32

 fx   x  32








 fx   x  32




 x

             



Con todo el proceso anterior, se puede concluir que la función original sufrió una contracción al ser multiplicada por
cuatro.


Ejemplo 2.
Describir la transformación que sufre la gráfica de la función fx   x  32 cuando se multiplica por 1 4 .
1
A esta nueva función se le denominará como: Nx   x  32 .
4
A continuación se muestran las tablas correspondientes a cada una de las funciones.

fx   x  32 1
x x Nx   x  32
4
0 9
0 2.25
1 4
1 1
2 1
2 0.25
3 0
3 0
4 1
4 0.25
5 4
5 1
6 9
6 2.25
f (x)
 N(x)





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x  x

                           
 
 

Ubicando las dos gráficas en un mismo plano y

cartesiano se observa cómo la función original f(x) se  fx   x  32
“expande” transformándose en la gráfica N(x). 

En este caso se puede concluir que la función original 
sufrió una expansión al ser multiplicada por 1 4 . 


Si la función que se ha estado utilizando para realizar  1
esta explicación se hubiese multiplicado por −4 y 
Nx   x  32
1 , la transformación que sufriría la función original
4

fx   x  32
4

es de contracción y expansión respectivamente, sólo 
que a su vez se reflejarían con respecto al eje X, es  fx   x  32
decir, si se multiplica por −4 las ramas de la parábola 
se cierran y se voltean hacia abajo, así como  x
también, si se multiplica por 1 4 la función se abre              

con ramas hacia abajo. 

159
BLOQUE 2

En resumen, la transformación que sufre la gráfica de una función al multiplicarse por una constante es:

1. La función fx  se contrae si se transforma en gx   a fx  cuando a  1
2. La función fx  se contrae si se transforma en gx   a fx  cuando 0  a  1

Actividad: 2
En cada uno de los siguientes casos, indica el tipo de transformación que sufre f(x)
para convertirse en g(x) y describe los cambios que se suscitaron en ellas.

Tipo de
Función base Función transformada Descripción de los cambios
transformaciones

f x   x gx   x  5

f x   x gx   4x

2
f x   x gx   x9
3
f x   x g x   x  1

f x   x g x   x  6

f x   x g x   3 x  1  4

f x   x 3 g x   x  43

f x   x 3 g x   x 3  4

f x   x 3 g x   2x  33  2

f x   x 4 g x   x  14
1 4
f x   x 4 g x   x 3
2

f x   x 4 g x   x  64  3

Evaluación
tabla.
Saberes
Reconoce los tipos de Describe las trasformaciones que Expresa sus dudas y corrige sus
transformaciones de funciones. sufren las funciones. errores.
Autoevaluación
docente


Cierre
Actividad: 3

Lee cuidadosamente los siguientes cuestionamientos y desarrolla lo que se solicita.
1. Describe cómo se desplaza g x   x  54 y h x   x  24 con respecto a la función base
f x   x 4 .

2. Describe la diferencia algebraica y gráfica que existe entre las funciones f x   x  22 y gx   x 2  2 .

3. Dadas las gráficas f x   x 3 , gx   x 3  2 y hx   x 3  7 , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con
respecto a la función base f(x).

3
4. Dadas las gráficas f x   x , gx   3 x y hx   x , describe los cambios que sufrió g(x) y h(x) con
5
respecto a la función base f(x).

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Descripciones. Puntaje:
Saberes
Identifica los cambios que se Describe los cambios que se Escucha las descripciones de
efectúan en las funciones al efectúan en las funciones al sus compañeros y participa en la
transformarse. transformarse. retroalimentación del grupo.
Autoevaluación
docente

161
BLOQUE 2

Actividad: 4

Elabora un mapa conceptual que describas las transformaciones de las funciones.

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Mapa conceptual. Puntaje:
Saberes
Identifica las transformaciones Clasifica las transformaciones de Es creativo al realizar el mapa
de las funciones. las funciones. conceptual.
Autoevaluación
docente


Emplea funciones polinomiales.

formales.
comunicación.
comportamiento.

 Construye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales; para
representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana y escolar, que le
permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las
 Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro
de distintos equipos de trabajo.

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.

Inicio 

Actividad: 1
1. ¿Qué es un polinomio?, proporciona un ejemplo.

2. ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?

3. Escribe un ejemplo de la ecuación de una recta en su forma pendiente-ordenada en el origen.

4. ¿Qué significa la pendiente de una recta?

5. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?

164
EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES

6. ¿Qué es la ordenada en el origen?

7. Escribe un ejemplo de una ecuación cuadrática.

8. ¿Cuál es la forma de una ecuación cuadrática?

9. ¿Qué es el vértice en una ecuación cuadrática?

10. ¿Cómo se obtiene el vértice de una ecuación cuadrática a partir de su forma general?

Evaluación
Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Reconoce las características de Determina las características Muestra interés al realizar la
las funciones de grado cero, uno principales de las funciones de actividad y mostrar sus
y dos. grado cero, uno y dos. conocimientos previos.
Autoevaluación
docente


165
BLOQUE 3

Desarrollo
Concepto de función polinomial de una variable.
En el bloque 1 se introdujo a las funciones polinomiales, también llamadas funciones polinómicas; la regla de
correspondencia que las distingue es:

fx   a n x n  a n1x n1  a n2 x n2  a n3 x n3  ...  a 2 x 2  a 1x  a 0 , donde an, an-1,…, a1, a0 son constantes, n es un
número no negativo y el grado de ella es n.

Características de las funciones polinomiales.
Es importante recordar que el grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio,
independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones:

1. fx   7 es de grado cero, se le conoce como función constante.
2. fx   4x  1 es de grado uno, también conocida como función lineal.
3. fx   x 2  5x  6 es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.
4. fx   4x 2  5x 3  1 es de grado tres y se le conoce como función cúbica.
5. fx   2x 4  4x 2  x 3  1 es de grado cuatro y se le conoce como función cuártica.

Las gráficas de cada una de ellas son:
fx   7 fx   4x  1 fx   x 2  6x  6
f (x) f (x)  f (x)
 

 

 

 

 

 

 
 x
 
           
x x 
                    
 

 


fx   4x 2  5x 3  1 fx   2x 4  4x 2  x 3  1
f (x)  f (x)













 x

          
x 
          





166

El dominio de una función polinomial es el conjunto de los números reales, sin embargo, el rango en algunos casos
no lo es; para entender esto, se requiere analizar las funciones hasta encontrar la generalidad, por ejemplo: en la
función de grado cero (función constante), el rango es el conjunto que tiene como único elemento la misma constante
por la cual está definida; la función de grado uno (función lineal) y la función de grado tres (función cúbica) tienen
como rango el conjunto de los números reales; la función grado dos (función cuadrática) y la función de grado cuatro
(función cuártica) tienen como rangos una parte de los números reales, a esa parte se le conoce como subconjunto.

En general, si una función es impar (grado impar) el rango de la función es el conjunto de los números reales; si una
función es par (grado par), el rango de la función es un subconjunto de los números reales.

En esta secuencia se abordarán funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, sus características y la influencia
de los parámetros en el trazo de su representación gráfica.

Actividad: 2

Completa la siguiente tabla reconociendo el grado y el coeficiente principal.

Coeficiente
Función Tipo de función Grado
principal

fx   x 3  x  r

fx   2x 4  3x 2  x

1
fx   3x 2 
x

fx   5

fx   9x  6

fx   4x 5  x 2  4x

fx   3x

fx   2x 3  5x 2  3x 4

x
fx  
x2

fx   x 2  8x  8

Evaluación
tabla.
Saberes
Identifica las características de Determina las características de las Muestra interés al realizar la
las funciones polinomiales. funciones polinomiales. actividad y reconoce la
importancia de sus
conocimientos previos.
Autoevaluación
docente

167
BLOQUE 3

Influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica.

La función constante.
La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función
polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es:

fx   a , donde “a” es una constante
Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a).

Ejemplo 1.
Graficar la función fx   5 , determinar su dominio y rango.
La función también se puede expresar como y  5 , por lo tanto su gráfica es una recta horizontal a la altura de 5,
como se muestra a continuación.
 f (x)






 x

         


Su dominio y rango son: 
Dom :  ,  

Rango : 5
Ejemplo 2.
7
Graficar la función gx   
, determinar su dominio y rango.
2
La función constante puede ser cualquier número real, en este caso es un número racional, el cual equivale a
y  3.5 .
 g (x)




x

         







Su dominio y rango son:
Dom :  ,  
 7
Rango :  
 2

168

Actividad: 3

Responde lo que se pide.
1. Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

10
hx   4 L x   y  24
3
  
  
  
  
  
  

                             
  
  
  
  
  

Dom : Dom : Dom :
Rango : Rango : Rango :

2. Analiza la gráfica que representa la posición de un automóvil y explica qué ocurre.
 d is t ancia (k m)







 t iemp o (hrs )

         

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________

Evaluación
Saberes
Reconoce la función constante, Traza e interpreta la gráfica de la Escucha la retroalimentación de
su dominio y rango. función constante. la actividad con interés y respeta
los comentarios de sus
compañeros.
Autoevaluación
docente

169
BLOQUE 3

La función lineal.
Esta función se vio en Matemáticas 1 y se retomó a fondo en Matemáticas 3 como lugar geométrico, con base en
estos conocimientos previos, se analizarán sus parámetros para trazar la gráfica.

La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen es:

y  mx  b
Donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada en el origen.

Vista como función, se expresa de la siguiente forma.

fx   mx  b

Analizando los parámetros, se tiene que:

 “b” es la constante que indica el lugar donde la recta cruza el eje Y, además se le denomina término
independiente.
 “m” es la pendiente de la recta, la cual está relacionada con su inclinación, ésta es el coeficiente de la variable.
 “x” es la variable independiente.

En la siguiente función se visualizan los parámetros antes mencionados.

fx   2x  3

m2
b3

 f (x)




Ordenada en el origen
m2
 (b)
Es la intersección con el eje Y

x

     





Existen varios métodos para graficar funciones lineales, como:

 Sustitución de valores (tablas).
 Intersección con los ejes coordenados.
 Parámetros (m y b).

En este bloque se considerará el comportamiento paramétrico para bosquejar la gráfica de las funciones, el cual se
describe a continuación.

Cuando se tiene la regla de correspondencia de una función lineal es sencillo trazar la gráfica, ubicando primero el
punto que describe la ordenada en el origen y a partir de él, mediante la pendiente, se ubica el segundo punto. Como
se muestra a continuación.

170

Ejemplo 1.
4
Trazar la gráfica de la función fx   x  1.
3
4
Observando la función, la pendiente es m  y la ordenada en el origen es b  1 , la cual proporciona la
3
intersección con el eje Y.
f (x)









x

       

b  1






Posteriormente se ubica el segundo punto a partir de la pendiente, como se muestra a continuación.

4
Como la pendiente es m  , a partir del punto se desplaza 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba, ya
3
que en el cociente de la pendiente, el numerador es el incremento vertical y el denominador es el incremento
y  y1
horizontal, dado que la fórmula de pendiente es m  2 .
x 2  x1

f (x)









x

       








Los parámetros dicen mucho del comportamiento gráfico de la función, como es el caso de la pendiente, cuando es
mayor que cero y menor que uno, su ángulo de inclinación es mayor que 0 o y menor que 45º; cuando es mayor que
uno su ángulo de inclinación es mayor que 45º y menor que 90º; en el caso de tener pendiente negativa, el ángulo de
inclinación es mayor de 90º y menor que 180º. Lo anterior se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

171
BLOQUE 3

Ejemplo 2.
Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano.
a) fx   x  1

1
b) fx   x 1
4
1
c) fx   x 1
2
d) fx   4x  1

e) fx   2x  1

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen −1.

m4 m2
f (x)
 m1



1
 m
2

x 1
m
       
4








Como las pendientes son positivas, las gráficas son crecientes; la velocidad de crecimiento está determinada por la
pendiente, entre menor sea ésta, el crecimiento será más lento, es decir, la recta estará más cerca del eje X, así
mismo, entre más grande sea la pendiente, la velocidad de crecimiento será más rápida, es decir, la recta estará más
cerca del eje Y.

Ahora se analiza el caso en el que la pendiente es negativa.

Ejemplo 3.
Graficar las siguientes funciones en el mismo plano cartesiano.
a) fx   x  5

1
b) fx    x5
4
1
c) fx    x5
2
d) fx   4x  5

e) fx   2x  5

Todas las funciones tienen como ordenada en el origen 5, es decir, cortan al eje Y a la altura de 5.

172

m  1 m  2 m  4
 f (x)
1
m 
2
1 
m
4 








x

       


En este caso, las pendientes son negativas y las gráficas son decrecientes; entre más grande sea la pendiente el
1
crecimiento es menor, como se observa, la pendiente de m   está más cercana al eje X, sin embargo, la
4
pendiente m  4 , la cual es menor que la anterior, está más cercana al eje Y.

El comportamiento paramétrico que tienen las funciones lineales ayuda a visualizar rápidamente la gráfica, y con ello,
dilucidar con anterioridad la solución de problemas que se describen mediante funciones, en este caso, lineales.

El uso principal de las funciones lineales es la variación directa, la cual es una relación directa entre dos variables,
esto es, al aumentar una, aumenta la otra; la variación que sufre una variable con respecto a la otra se puede observar
mejor en una tabla o en la regla de correspondencia.

A través de las funciones se pueden modelar fenómenos de la vida cotidiana, con el propósito de poder analizar y
describir hechos sin necesidad de realizar cálculos complicados de cada evento del fenómeno por separado.

Cuando se usan funciones lineales para describir relaciones del mundo real se llama modelación lineal.

A continuación se ejemplificará la aplicación de funciones lineales.

Ejemplo 4.
Un taxista cobra 30 pesos por salida y cada 5 pesos por kilómetro recorrido. Calcular:
a) El costo de un viaje en x kilómetros.
b) El costo del viaje si el destino de una persona es a 12 km.
c) Graficar el costo del viaje como una función de la distancia recorrida.

Es claro en el enunciado del problema, que el cobro del viaje depende de la distancia recorrida y se pueden
particularizar algunos casos para visualizar la estructura de la función que lo describe.

Si el viaje es de 1 Km, su costo es de 30+5(1)=35 pesos.

Generalizando:

Si el viaje es de x Km, su costo es de 30+5(x) pesos.

Por lo tanto, la respuesta al inciso “a”, es:
Cx   30  5x
Donde C(x) es el costo del viaje en taxi en función de la distancia recorrida “x”.

173
BLOQUE 3

En el inciso “b” se solicita un costo en particular que es el de 12 Km, sólo basta sustituir este dato en la función y así
encontrar lo que se busca.

C12  30  512  90

Por lo tanto, el costo del viaje cuando se recorren 12 Km es de 90 pesos.

Por último, se traza la gráfica de la función, notando que la ordenada en el origen es 30 y la pendiente es 5, esto se
puede deducir mejor si se acomoda la función.

Cx   5x  30
Cx   mx  b
b  30 Ordenada en el origen
m5 Pendiente

Ubicando primero el punto que intersecta al eje Y (ordenada en el origen) y, posteriormente, el punto que se obtiene a
partir de la pendiente. La gráfica queda de la siguiente forma:

 C (x)














 x

               


Ejemplo 5.
La polución del aire se compone de muchos tipos de gases, gotitas y partículas que reducen la calidad el aire. El aire
puede estar contaminado, tanto en la ciudad como en el campo.

En la ciudad, la polución del aire puede ser causada por automóviles, camiones y aviones, al igual que por la
industria y la construcción. La polución del aire en el campo puede ser causada por el polvo de los tractores que
están arando los campos, camiones y automóviles que están manejando por carreteras destapadas o con gravilla,
por canteras de donde extraen piedras, por humo de fuego de madera y de fuego de cultivos.1

1
http://familydoctor.org/online/famdoces/home/common/asthma/triggers/085.html

174

Se mide el nivel de polución del aire en una ciudad durante un día, desde las 8 horas hasta las 18 horas. Sea “p” el
nivel de polución, medido en partes por millón, y “t” el tiempo en horas, después de 8 horas. Sabiendo que a las 10
horas el nivel de polución era de 50 partes por millón (ppm), y que crece uniformemente a razón de 15 partes por
millón por hora.2
a) Identificar la pendiente y un punto de la función.
b) Escribir la función que modela la polución en función del tiempo transcurrido.
c) Graficar la polución como función del tiempo transcurrido.

En el inciso “a” se solicita la pendiente, la cual corresponde a la razón de cambio que es 15 partes por millón, y el
punto que ofrece el problema es de (10, 50), donde la primer coordenada es la hora en la que se mide la polución, la
cual corresponde a 50 ppm.

En el inciso “b” se requiere encontrar la función que modela la polución, para ello se retomarán conocimientos de
Matemáticas 3, en los que aprendiste a obtener la ecuación de una recta, dada la pendiente y un punto por donde
pasa.

Esto se logra con la siguiente fórmula:
y  y 1  m x  x 1 

Sustituyendo los valores se obtiene:
y  50  15 x  10 
y  50  15 x  150
y  15 x  100

La polución expresada como función que depende del tiempo se expresa como:

pt   15t  100

Al trazar la gráfica de la función, se considera que la intersección con el eje vertical a la altura de −100 y la pendiente
15.

Por lo tanto, la gráfica de la función sin restricciones queda:

y






p (t )

x 
              

 

La gráfica restringida al problema es considerando sólo de 8
 
a 18 horas, como se muestra a continuación.






t

           

2
Problema 2, pag. 56 de Matemáticas IV, Ramírez Margarito.

175
BLOQUE 3

Actividad: 4

I. Realiza la gráfica de las siguientes funciones, encuentra el dominio y el rango
correspondiente.

1) gx   2x  4
g (x)











x

       





1
2) k x   x 
2
k (x)







x

       









5
3. Lx   3  x
4
 L(x)










x

       






176


5
4) Gx   x
3
 G(x)






x

           





2
5) Rx    x5
7
 R(x)







x

        




1 3
6) Fx   x
2 4
 F (x)







x

        




177
BLOQUE 3

III. Completa la siguiente tabla ubicando las diferentes representaciones de las funciones
lineales.

Representación tabular Representación algebraica Representación gráfica
y

X 0 1 2 3 4 5 f(x)=

y -2 1 4 7 10 13 










 x

              



x h(x)=−2x+3 h(x)

y







x

       







G(x)

x h(x)=

y



x

         







178


Un autobús viaja desde Expresa la función que  D (x)
Hermosillo a Obregón a modela la distancia recorrida 
velocidad constante de 90Km/h. por el pasajero con respecto 
Un pasajero se sube en el cerrito al tiempo. 
de la virgen al Km 18 de los 351 
Km que hay de Hermosillo a D(t)= 
Obregón. 

Construye la tabla. 











 x

       


Evaluación
Saberes
Reconoce los parámetros de la Traza la gráfica de la función lineal Expresa sus dudas y corrige sus
función lineal, su dominio y utilizando parámetros. errores.
rango.
Autoevaluación
docente

179
BLOQUE 3

La función cuadrática.
Como ya se había visto en el bloque 1, las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2, éstas se expresan en
su forma general como: f x   ax 2  bx  c , con la condición de que su coeficiente principal es diferente de cero
( a  0 ).

Sus componentes son:

ax 2 Término cuadrático

bx Término lineal

c Término independiente

Al igual que la ecuación cuadrática, la función cuadrática tiene la misma clasificación.
La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas.

Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el
término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente
cuadro sinóptico visualizarás su estructura.

Funciones Completas: fx   ax 2  bx  c

Clasificación de las
funciones cuadráticas
Funciones Puras: fx   ax 2  c
Funciones Incompletas
Funciones Mixtas: fx   ax 2  bx

Las gráficas de las funciones cuadráticas describen parábolas. En Matemáticas 3 se abordó la parábola como lugar
geométrico, conociendo sus elementos. A continuación se visualizarán los elementos principales de la función
cuadrática.
f (x)

Eje de simetría

x

Raíces o ceros de la función

Vértice V(h,k)

Cuando la función se iguala a cero, se produce una ecuación y los valores que la satisfacen se llaman raíces de la
función.

180

Dependiendo del tipo de parábola (con ramas hacia abajo o ramas hacia arriba), el vértice es el punto mínimo o punto
máximo, como se muestra a continuación.
f (x)
Vértice V(h,k)
f (x)
Punto Máximo

x
x

Vértice V(h,k)
Punto Mínimo
Para observar cómo intervienen los parámetros en los cambios que sufre la gráfica, se tiene que reescribir la forma
general de la función cuadrática a la forma estándar, la cual explicita el vértice y la abertura que tiene la parábola que
describe.

Forma general de la función cuadrática.
fx   ax 2  bx  c

Forma estándar de la función cuadrática.
fx   ax  h2  k

Donde h y k son las coordenadas del vértice.

En los siguientes ejemplos se mostrará los cambios que sufre la gráfica de la función cuadrática.

Ejemplo 1.
Comparar las gráficas de las funciones fx   x 2 y gx   3x  22  4 , para determinar la transformación que sufre
g(x) con respecto a f(x).

Al tomar valores y evaluarlos en las funciones, las gráficas quedan de la siguiente forma:
fx   x 2 gx   3x  22  4

 f (x)  g (x)
 
x f(x) x g(x)
 
−2 4 0 8
−1 1  
1 −1
0 0 
2 −4 
1 1  3 −1 
2 4  4 8 
x x

                 
 
 
 
 
 

181
BLOQUE 3

Si la función f(x) se escribe en forma estándar, se tiene:

fx   1 x  02  0

Al compararse con la forma fx   ax  h2  k , se puede deducir que:
a 1
h0
k0

Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así:
 f (x)





a=1 

x

        

Vértice
 V(h,k)=(0,0)




El coeficiente principal que es “a”, es el que determina la abertura de la parábola si se considera una unidad a la
derecha y una a la izquierda, los puntos correspondientes están una unidad hacia arriba.

Si se realiza el mismo análisis para la función g(x), los parámetros se visualizan así:

gx   3x  22  4

Al compararse con la forma fx   ax  h2  k , se puede deducir que:
a3
h2
k  4
Estos parámetros en la gráfica se pueden visualizar así:

 g (x)

 Como consecuencia de que el coeficiente principal “a”
 es positivo, la parábola se abre hacia arriba y se

contrae, debido a que si considera una unidad a la
derecha y una a la izquierda, los puntos

correspondientes están a tres unidades hacia arriba.

x

        
a=3 
Vértice

V(h,k)=(2,−4)




182

 y






x

        






Mueve la parábola 2
unidades a la derecha

gx   3x  22  4

Se contrae y se Mueve la parábola 4
abre hacia arriba unidades hacia abajo

Ejemplo 2.
1
Graficar la función hx   
x  42  5 mediante los parámetros.
2
Analizando los parámetros, se deduce que:

1 Mueve la parábola 4
a
2 unidades a la izquierda
h  4
1
k5 hx    x  42  5
2

Se expande y se unidades hacia arriba
abre hacia abajo

h(x)




El vértice tiene como coordenadas V 4, 5 , y a partir de él, 

recorriendo una unidad a la derecha y a la izquierda, se ubican los 
puntos de la parábola, media unidad hacia abajo, de este modo se

traza la gráfica utilizando parámetros.

x

       






183
BLOQUE 3

Ejemplo 3.
Graficar la función px   x 2  6x  5 utilizando parámetros.

La función es completa y para utilizar los parámetros “a”, “h” y “k”, se debe factorizar el polinomio que la compone,
esto se hace mediante el método de completar trinomio cuadrado perfecto, éste se vio en Matemáticas 3.

Los pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto son los siguientes.

1. Se asegura que el coeficiente principal sea 1, de px   x 2  6x  5
no ser así, primero se tendría que extraer. En este
caso no es necesario, porque el coeficiente
principal es 1.
2 2
 6  6
px   x 2  6 x          5
2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del  2  2
término lineal. px   x 2  6 x  9  9  5
px   x 2  6 x  9  4

3. Se expresa el binomio al cuadrado. px   x  32  4

unidades a la izquierda

px   x  32  4

Tiene la abertura normal Mueve la parábola 4
y se abre hacia arriba unidades hacia abajo

p (x)







x

       










Ejemplo 4.
Determinar si la función t x   2x 2  4x tiene un máximo o mínimo, encontrar el punto en cuestión y graficar la
función.

Es una función mixta y se requiere expresar la forma estándar para poder determinar el vértice y hacia dónde se abre
la parábola, aunque se puede adelantar que se abre hacia abajo, debido a que el coeficiente principal es negativo.

184

Para convertirla a la forma estándar se seguirán los siguientes pasos para completar el trinomio cuadrado perfecto.
t x   2x 2  4x
1. Se extrae el coeficiente principal.

t x   2 x 2  2x 
t x   2x 2
 2x  12  12 
t x   2x 
2. Se suma y resta el cuadrado de la mitad del 2
 2x  1  2 1
término lineal dentro del paréntesis.
t x   2x 2
 2x  1  2

3. Se expresa el binomio al cuadrado. t x   2x  12  2

El vértice es el punto V 1 2 y al ser el coeficiente principal −2, se abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es el
,
punto máximo de la función.

t (x)
Mueve la parábola una
unidad a la izquierda. 


t x   2x  12  2


Contrae a la parábola y Mueve la parábola 2 x

se abre hacia abajo. unidades hacia arriba.
    






La intersección con el eje horizontal es otra información importante en las funciones, éstas se denominas raíces o
ceros de la función, para encontrarlas la función debe valer cero, como se muestra a continuación.

t x   2x 2  4x
0  2x 2  4x

La ecuación se puede resolver mediante factorización o por la fórmula general (ver anexo B), para este caso se
utilizará factorización, debido a que es más sencilla.

 2x 2  4x  0
2x x  2  0
2x  0  x  2  0
0
x x2
2
x0 x  2
En la gráfica puedes ubicar estos dos resultados.

185
BLOQUE 3

Las opciones que tienen las raíces de una función cuadráticas son tres:
1. Dos raíces reales, como en el ejemplo anterior, que es cuando la parábola corta al eje X en dos puntos.
f (x)

x

2. Una raíz real, esto sucede en el caso que el vértice esté sobre el eje X.

f (x)

x

3. Dos raíces imaginarias, sucede cuando la función no corta al eje X.

f (x)

x


Este sitio te mostrará el comportamiento de la gráfica de una
función cuadrática de acuerdo a sus parámetros.

http://intercentres.cult.gva.es/intercentres/03000679/paginas/departamentos/mat
ematicas/transformacion_de_funciones.htm

186

Actividad: 5

I. Expresa la función que describe cada una de las siguientes gráficas.
1)
 h(x)










x

     




2)
Q (x)






x

       










3)
L(x)













x

       




187
BLOQUE 3


II. Determina el punto máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones, además,
encuentra las raíces y dibuja la gráfica correspondiente.
1) gx   2x  12

g (x)











x

      




2
2) Wx    x  42
3
W (x)



 x

         








1
3) Jx   x  52  1
4
J (x)









 x

          




188


4) Fx   3x 2  9x
 F (x)


x

       
















5) Hx   x 2  6x  6

 H(x)






 x

        





189
BLOQUE 3


6) L x   5x 2  20 x  23

 L(x)

x

        










Evaluación
Saberes
Reconoce los parámetros de las Grafica funciones cuadráticas Aprecia la facilidad de utilizar
funciones cuadráticas para utilizando parámetros. parámetros para trazar la gráfica
realizar su gráfica. de una función cuadrática.
Autoevaluación
docente

190

Cierre
Actividad: 6

Resuelve los siguientes problemas.

1. El costo variable de fabricar juntas para machimbre es de $ 2 por unidad y los costos fijos
por día son de $30. Escriba la fórmula de costo total y construya su gráfica.

¿Cuánto cuesta fabricar 25 juntas de machimbre por día?

2. El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2.20, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo
cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo lineal, determine la fórmula correspondiente
a producir “x” bolsitas de papel en el día y construya su gráfica.

3. La dosis en mg de antibiótico que se suministra a niños menores de 10 años, depende en forma lineal del
peso del niño. Para un niño de 3 kg se suministra 40 mg y para un niño de 4 kg se suministra 65 kg.
Calcular la función que da la dosis del medicamento dependiendo del peso. ¿Cuánto debe recetarse a un
niño que pesa 7.5 kg?

191
BLOQUE 3


4. Un hortelano posee 50 m de varilla para cercar una parcela rectangular de terreno contigua
a un muro. ¿Qué área máxima puede cercar de esta manera?

5. Un delfín toma impulso para saltar encima de la superficie del mar siguiendo la función y=–x2+6x+12
donde “y” es la distancia al fondo del mar en metros y “x” el tiempo empleado en segundos.

a) Calcula cuándo sale de la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del
lugar es de 20 metros.

b) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

6. Antonio encuentra que si su compañía produce “x” artículos diarios, el costo está dado por la función
Cx   420  0.8x  0.002 x 2 , ¿Cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea
mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?

7. Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada
instante de tiempo la describe la función ht   16 t 2  80t  45 .
a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

192


b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edificio?

c) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?

d) Traza la gráfica de la altura de la pelota al transcurrir el tiempo.

4. En una compañía, la utilidad mensual en miles de dólares, se expresa mediante la función
Ux   2x 2  24 x  37 , donde “x” representa el número de artículos, en cientos, que se producen y venden
en un mes.
a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la utilidad
sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?

c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?

Evaluación
Saberes
Reconoce la aplicación de las Aplica las funciones lineales y Aprecia la aplicabilidad de las
funciones lineales y cuadráticas. cuadráticas en situaciones reales. funciones lineales y cudráticas.
Autoevaluación
docente

193
BLOQUE 3

Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.
Inicio 

Actividad: 1

Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué características tienen las funciones polinomiales de tercer grado?

2. ¿Cuál es su nombre común?

3. ¿Cómo reconoces a una función polinomial de grado cuatro?

4. ¿Cuál es su nombre común?

5. ¿Qué característica tiene el dominio y el rango en cada una de ellas?

6. Bosqueja la gráfica de una función polinomial de grado tres y otra de grado cuatro, en planos cartesianos
por separado.

Evaluación
Saberes
Identifica las funciones de grado Determina las características de las Muestra interés al realizar la
tres y cuatro. funciones de grado tres y cuatro. actividad.
Autoevaluación
docente

194

Desarrollo
Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Graficación mediante parámetros.
Funciones de grado tres.
La forma general de las funciones de grado tres (cúbicas) es fx   ax 3  bx 2  cx  d , con a  0 ; en su forma
estándar se presenta como fx   ax  h3  k
Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios
que sufren los parámetros.

En el primer bloque se graficó la función cúbica básica, la cual es:

fx   x 3

 f (x)
x f(x)

−2 −8

−1 −1

0 0

1 1

2 8

 x

           









Al punto donde la función cambia de concavidad, se le llama punto de inflexión (P.I.), que en el caso de la función
cúbica base, es el origen.

Para graficar una función cúbica utilizando los parámetros de forma estándar, se siguen los siguientes pasos:

1. Encontrar y graficar el punto de inflexión: P.I.(h,k).
2. A partir del punto de inflexión se recorre una unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el
punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo.
3. Ahora, a partir del punto de inflexión, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido
contrario del punto que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de
inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa.
4. Se traza la gráfica de forma suave.

A continuación se ejemplificará el procedimiento anterior.

Ejemplo 1.
Trazar la gráfica de la función fx   2x  13  3 , utilizando parámetros.
El punto de inflexión se extrae de la función cúbica, de la misma forma que se extrae el vértice de la función
cuadrática.
fx   2x  13  3
fx   ax  h3  k

195
BLOQUE 3

Por lo tanto, el punto de inflexión es P.I.(1, 3).
Además, como el parámetro a=2, cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto
se ubicará dos unidades hacia arriba, como se muestra en la siguiente gráfica.
f (x)









 x

           




Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una
unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo,
debido a que es en sentido contrario del segundo punto. 
 f (x)









 x

           



Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y

a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma.


f (x)









 x

           







196

Ejemplo 2.
1
Bosqueja la gráfica de la función Tx    x  43  5
2
El punto de inflexión es: P.I.(−4, −5).

En este caso, a partir del punto de inflexión, el segundo punto se situará una unidad a la derecha y media unidad
1
hacia abajo, debido a que el parámetro a   ; el tercer punto se situará una unidad a la izquierda y media unidad
2
hacia arriba.
 f (x)

 x

           











Ahora se traza la gráfica considerando que a la derecha del punto de inflexión la función es cóncava hacia abajo y que

a la izquierda de éste, es cóncava hacia arriba. 


 f (x)

 x

           













Sitios Web recomendados: 

Este sitio contiene un graficador en línea, el cual te ayudará a
comprobar las gráficas de las funciones.

http://fooplot.com/

197
BLOQUE 3

Funciones de grado cuatro.
La forma general de las funciones de grado cuatro (cuárticas) es fx   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e , con a  0 ; en su
forma estándar se presenta como fx   ax  h4  k
La función cuártica tiene un comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido.

La función cuártica base es:

fx   x 4

x f(x) 
f (x)
−2 16 
−1 1 
0 0

1 1

2 16










 x

           


En la función cuártica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a
diferencia de la función cúbica la cual cruza desde  hasta  .

Los parámetros tienen el mismo efecto que en la función de grado dos (cuadrática); en el caso que el parámetro “a”
sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente
hacia abajo.

Cuando se conoce la función estándar de una función cuártica, se puede conocer el punto máximo o mínimo, esto
dependerá del signo del parámetro “a”.
f (x)
Ejemplo 1. 

Trazar la gráfica de la función fx   3x  24  4 utilizando los parámetros. 

Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es 
Ph, k  y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.


fx   3x  24  4 

fx   ax  h  k
4 
x
Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).
      

El segundo punto se ubica una unidad a la derecha del máximo y tres unidades 

hacia abajo; el tercer punto se encuentra una unidad a la izquierda y de igual forma, 
tres unidades hacia abajo, como se muestra en la gráfica.





198

Actividad: 2

Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones, utilizando los parámetros.
1) H(x) = x 3 +1
H(x)









x

       








1
2) Rx   x  63  2
2
 R(x)




 x

        







3) Lx   2x 3
 L(x)




 x

         








199
BLOQUE 3


1
4) Kx   x  54  3
4
K(x)







 x

        






5) Lx   x  44
L(x)





 x

         







Evaluación
Saberes
Identifica los parámetros de las Grafica funciones de grado tres y Aprecia la facilidad del trazo de
funciones de grado tres y cuatro, cuatro, mediante parámetros. gráficas utilizando parámetros.
para trazar la gráfica.
Autoevaluación
docente

200

Graficación de funciones utilizando las raíces o ceros de la función.
Trazar gráficas de funciones cúbicas y cuárticas en su forma estándar es sencillo, el problema se presenta cuando
están en su forma general, entonces se podría graficar utilizando tablas de valores como se mostró en el primer
bloque, aunque es más tardado y posiblemente no daría un panorama completo del comportamiento de la gráfica;
para ello, en esta ocasión se abordará otra forma de bosquejar la gráfica de una función, utilizado las raíces de la
función y analizando algunas características básicas de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

En el siguiente ejemplo se visualizará la intención de este tema.

Ejemplo 1.
Bosquejar la gráfica de la función fx   x 3  2x 2  3x , mediante las raíces de la función.

Como se vio anteriormente, las raíces de la función son precisamente cuando fx   0 , es decir, cuando
x 3  2x 2  3x  0 .

Para encontrar la solución a la ecuación cúbica anterior, se requiere de factorizar el polinomio, en este caso, mediante
factor común.

x 3  2x 2  3x  0
 
x x 2  2x  3  0
x1  0 ó x 2  2x  3  0

Al separar los factores, se obtiene el primer resultado que se busca x 1=0, pero también, se obtiene una ecuación
cuadrática, la cual se requiere resolver utilizando la fórmula general o factorización, debido a su sencillez, se
factorizará la ecuación.
x 2  2x  3  0
x  3x  1  0
x30 ó x  1 0
x2  3 x 3  1
Ahora, se requiere analizar algunas características de las funciones cúbicas para poder bosquejar su gráfica.
1. El coeficiente principal es a=1, por lo tanto, la mayor parte de su trayectoria es creciente, parte de  a  .
2. Es una función suave, sin ángulos en su trazo.
3. La función pasa por las raíces encontradas.
Por lo tanto, el trazo quedaría más o menos de la siguiente forma.

Si se requiere mayor precisión en el trazo, se tiene que expresar una tabla
de valores y la gráfica exacta, como se muestra a continuación:
f (x)




x

        









201
BLOQUE 3

Ejemplo 2.
Bosquejar la gráfica de una función de grado cuatro, cuyas raíces son x1  1 , x 2  1, x 3  2 y x 4  3 , además,
su coeficiente principal es negativo.

Primero se colocan los puntos en el plano cartesiano, posteriormente se analiza las características de la función
cuártica.

1.La función cuártica es suave.
2.Su rango es un subconjunto de los números reales, es decir, no los abarca a todos.
3.El coeficiente principal es negativo, por lo tanto, la función se extiende hacia  por ambos extremos.
4.Debido al número de raíces y a las tres características anteriores, la función puede tener uno o dos puntos
máximos.
A continuación se bosqueja la gráfica.

Sustituyendo puntos se tiene la gráfica con más detalle, como se muestra a
continuación.

f (x)












 x

            








En el ejemplo anterior se puede obtener las raíces a partir de la función, su proceso sería diferente al que hasta ahora
has utilizado, debido a que de un inicio no se puede factorizar por factor común para simplificar su solución.

Como antes se ha mencionado, el cero o raíz de una función es un valor “x” para el cual f(x)=0. Por ejemplo, el cero
de la función fx   x  4 es x=4, porque si se sustituye este valor en la función, ésta será igual a cero.

202

A continuación se estudiarán algunos teoremas que ayudarán a conocer los ceros de una función de forma más
práctica.

Teorema del residuo y del factor.

Se requiere conocer la división entre polinomios como:
x2  2x  8 entre x  1 x3  5x2  3x  2 entre x  2 8x3  27 entre 2x  3

Si se toma x2  2x  8 entre x  1 y se realiza el algoritmo de la división, ésta resultaría de la siguiente manera:

Cociente

x 3
Divisor x 1 x 2  2x  8 Dividendo
2
x  x
3x  8
 3x  3 Residuo
5
El resultado se puede escribir como:
x 2  2x  8 5
 x3 
x 1 x 1

El Teorema del Residuo se enuncia de la siguiente forma:

Si un polinomio f(x) se divide entre el binomio x−r, donde “r” es cualquier número real o complejo,
entonces el residuo es f(r).

Esto significa que el residuo viene a ser el valor que se obtiene al sustituir “a” en el polinomio.

Este teorema proporciona una herramienta de comprobación del algoritmo de la división, como se muestra a
continuación.
Si se considera fx   x2  2x  8 y se evalúa en x=1, se obtiene:

fx   x 2  2x  8
f1  12  21  8
f1  1 2  8
f1  5
Esto significa que el algoritmo de la división que se realizó es correcto, porque el polinomio evaluado en x=1 resulta
−5, como el residuo en la división.

¿Por qué es tan importante este teorema para encontrar las raíces o ceros de una función?, porque si el residuo es
cero, significa que el binomio por el cual se dividió es un factor, esto es, se ha encontrado otra forma de factorizar un
polinomio.

Lo anterior da origen al Teorema del Factor, el cual se enuncia a continuación.

Si “r” es una raíz de f(x) =0, es decir f(r)=0, entonces x−r es un factor de f(x).

Recordando la división anterior, x−1 no es un factor de x2  2x  8 , porque su residuo fue −5.

203
BLOQUE 3

Ahora se retomará el polinomio anterior, pero en esta ocasión se dividirá entre x−2, para comprobar si es factor del
polinomio x2  2x  8 .
x 4
x2 x 2  2x  8
 x2  2x
4x  8
 4x  8
0
Como el resultado del residuo fue cero, entonces, x−2 es factor del polinomio x2  2x  8 , por lo tanto, éste se puede
expresar como:
x2  2x  8  x  2x  4

En el caso de que el polinomio representara a la función fx   x2  2x  8 , x=2 y x=−4 representarían las raíces de la
función.

Para comprobar se puede evaluar f2 y f 4 .
fx   x 2  2x  8 fx   x 2  2x  8
f2  22  22  8 f 4   42  2 4  8
f2  4  4  8 f 4  16  8  8
f2  0 f 4  0
Ejemplo 1.
Si las raíces de la función polinomial son −1, 1, −2, 3, determinar dicha función.

Basándose en el teorema del factor, con cada una de las raíces se forma el factor correspondiente, quedando de la
siguiente manera:
x1  1 , x 2  1, x 3  2 y x 4  3

Por lo tanto, la ecuación que satisfacen es:
x  1x  1x  2x  3  0
Multiplicando los factores queda:
x  1x
2 2

 x 6  0
4 3 2
x  x  7x  x  6  0

La función se expresa:
fx   x4  x3  7x2  x  6

Aunque éste no es el único resultado, porque la función obtenida se extiende infinitamente hacia arriba, otra forma de
función que cumple con las raíces anteriores es:

fx   x 4  x3  7x2  x  6

Ésta se pasa por las mismas raíces pero se extiende infinitamente hacia abajo.

Para simplificar un poco el procedimiento de la división de polinomios, se puede utilizar otro método menos
complicado, el cual es la división sintética, la cual es un proceso abreviado del algoritmo de división que se conoce
hasta ahora.

204

División sintética.
Para ilustrar el procedimiento de la división sintética, se utilizará un ejemplo haciendo hincapié en que esta división
sólo se aplica a divisiones con polinomios de una sola variable donde el divisor es de la forma x−r.

Procedimiento de la división sintética (Regla de Ruffini).
Dividir x3  5x2  3x  2 entre x  2

Procedimiento Ejemplo
El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente. x 3  5x 2  3x  2
En el primer renglón se ponen sólo los coeficientes del
dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes 1 5 3 2
entre un término y otro del polinomio.
A la derecha del último elemento del dividendo se escribe 1 5 3 2 2
“r” con signo contrario separado, por una línea vertical.
1 5 3 2 2
Se traza una línea horizontal que separa al segundo y
tercer renglón.

1 5 3 2 2
El primer término del dividendo se escribe como el primer
término del tercer renglón
1
Después se multiplica el primer término del tercer renglón 1 5 3 2 2
por el divisor y el producto resultante se escribe en el 2
segundo renglón y en la columna dos.
1
1 5 3 2 2
Se suman los términos de la segunda columna y el valor
resultante se multiplica por el divisor, poniéndose dicho 2 14
resultado en la tercera columna.
1 7
1 5 3 2 2
Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la
2 14  28
última columna del divisor.
1  7 17  30
1 5 3 2 2
Los coeficientes que quedan en el tercer renglón, son los 2 14  28
coeficientes del cociente, y el último elemento del tercer
renglón es el residuo. 1  7 17  30
2
x x cte. residuo

La división se puede escribir como se muestra.
x 3  5x 2  3x  2
x2
 
 x  2 x 2  7 x  17  30

Ejemplo 1.
Dividir la función fx   8x 3  27 entre 2x  3 , utilizando la división sintética.

3
8 0 0  27
2
12 18 27
8 12 18 0

205
BLOQUE 3

El cociente de esta división es 8x2  12 x  18 , entonces la función dada se puede expresar en términos de sus
 3
  
factores como fx    x   8x 2  12 x  18 o bien fx   2x  3 8x2  12 x  18 .



2

Ejemplo 2.

Demostrar que x  1 y x  3 son factores de fx   2x4  x3  14 x2  5x  6 , además, escribir la factorización
completa.
Si x  1 es factor, entonces la raíz es 1 y el residuo de la división de f(x) entre x  1 es cero.

2 1  14 5 6 1
2 3  11  6
2 3  11 6 0

Con ello se ha comprobado que x  1 es factor.

Ahora, si x  3 es factor, la división entre el polinomio resultante 2x3  3 x2  11 x  6 y x  3 debe tener residuo cero,
para ello el divisor es −3.
2 3  11 6 3
6 9 6
2 3 2 0

El polinomio resultante es 2 x2  3 x  2 y se puede factorizar, quedando:

2x2  3 x  2  2x  1x  2

Por lo tanto, f(x) se puede expresar como la multiplicación de sus factores.

fx   2x 4  x 3  14 x 2  5x  6
fx   x  1x  32x  1x  2

A partir de cada factor se obtienen las raíces.
2x  1  0
x 1 0 x3  0 x2  0
1
x 1 x  3 x x2
2

Actividad: 3
Realiza lo que se indica.
I. Determina el cociente y el residuo de las divisiones, utilizando división sintética.
1) fx   2x3  3x2  5x  7 entre x  2

206


2) fx   x 4  1 entre x  1

3) fx   2x4  2x3  10 x2  11 x  10 entre x  3

4) fx   x 3  8 entre x  2

II. Comprueba los resultados anteriores, evaluando la función.

Evaluación
tabla.
Saberes
Identifica las funciones Ejemplifica funciones y sus Aporta puntos de vista
especiales e inversas de una inversas. personales con apertura y
función. considera los de otras personas.
Autoevaluación
docente

207
BLOQUE 3

Cuando se tiene información previa de las raíces de una función es sencillo comprobar si lo son o extraer las faltantes,
pero cuando se desconocen, se debe recurrir a otros teoremas que ayudarán a calcularlas.

Teoremas sobre las raíces de una ecuación.

Teorema fundamental del Álgebra.
Toda ecuación polinomial de grado n  1 tiene al menos una raíz, real o compleja.

Teorema.
Todo polinomio de grado n  1 puede ser expresado como producto de n factores lineales. Por ejemplo:

fx   x3  2x2  5x  6 se puede factorizar y expresarse como fx   x  3x  1x  2 .
gx   x4  2x3  4x2  8 x puede expresarse como gx   xx  2x  2 ix  2 i .

Teorema de las n raíces.
Toda función polinomial f(x)=0 de grado n tiene exactamente n raíces, siempre y cuando considere la multiplicidad de
las raíces.

Por ejemplo:
f x   x2  4x  4 tiene dos raíces iguales: 2, 2.
hx   x3  2x2  5x  6 tiene tres raíces: −2, 1, 3.
gx   x4  2x3  4x2  8 x tiene cuatro raíces: 0, 2, 2i, −2i, las dos primeras son reales y las otras dos son complejas.

Teorema de las raíces racionales.
u
Si el racional irreducible es una raíz de una función polinomial de coeficientes enteros, entonces “u” es un factor
v
del término independiente y v es un factor del coeficiente principal.

En la siguiente tabla se visualizará el teorema anterior, utilizando las raíces de las funciones de los ejemplos
anteriores.

Factores
Coeficiente Factores del
Coeficiente del Probables
Función del término término Raíces
principal coeficiente raíces
independiente independiente
principal
1
  1
1
2 2
f x   x2  4x  4 1 1 4  1,  2,  4   2
1 2
4
  4
1
1
  1
1
2
  2 −2
 1,  2, 1
hx   x3  2x2  5x  6 1 1 6 1
 3,  6 3
  3 3
1
6
  6
1

208

1
  1
1
2
  2
1
3
  3
1
6 1
  6 −3
 1,  2,  3, 1
fx   2x4  x3  14 x2  5x  6 2  1,  2 6 1
6 1 
 2
2 2
2
  1
2
3

2
6
  3
2

Ejemplo 1.
Encontrar las raíces de la función polinomial fx   4x 3  16 x 2  9x  36 .
Basándose en el teorema anterior, las posibles raíces son los cocientes formados por los factores del término
independiente entre los factores del coeficiente principal.

Esto es:
Los factores del término independiente 36, son:  1,  2,  3,  4,  9,  12,  18,  36.
Los factores del coeficiente principal 4, son:  1,  2,  4

1 1 3 3 9 9
Las posibles raíces son: 1,  ,  , 2 , 3 ,  ,  , 4 , 9 ,  ,  , 12 , 6 , 18 , 36 .
2 4 2 4 2 4

Si se prueban las posibilidades con división sintética, se obtiene:

Para x=1.
4 16  9 36 1
4 20 11
4 20 11  25

Como el residuo es diferente a cero, x=1 no es raíz de la función.

Haciendo el mismo procedimiento, pero con x=−1, encontrarás que tampoco es raíz, se requiere ir sustituyendo una
a una las posibles raíces.

3
Ahora se sustituirá .
2
3
4 16  9  36
2
6 33 36
4 22 24 0
3
Como el residuo es cero, x  es raíz de la función.
2

209
BLOQUE 3

El polinomio que resulta es 4x 2  22 x  24  0 , ahora se procede a factorizar el polinomio de segundo grado.
4x 2  22 x  24  4x  6x  4  0
Por lo tanto, las raíces son:

4x  6  0 x40
4x  6 x  4
6 3
x 
4 2

3 3
Por lo tanto, las raíces de fx   4x 3  16 x 2  9x  36 son: , 4 . , 
2 2
No es necesario seguir probando con los demás valores, ya que el teorema de las n raíces dice que si el grado de la
función es 3, tiene 3 raíces.

La gráfica que describe a la función es:

 f (x)







x

            












Ingresa a estos sitios para que refuerces tu aprendizaje.

http://tycho.escuelaing.edu.co/ecinfo2/asignaturas/mrey/talleres_virtuales/funcio
nes/polinomial/Funcion_Polinomial_5_comparacion.htm
nes/polinomial/Funcion_Polinomial_6_ecuacion.htm
nes/polinomial/Funcion_Polinomial_7_ecuacion.htm
http://tutormatematicas.com/ALG/Ecuaciones_polinomios_soluciones_ceros_rai
ces.html

210

Cierre
Actividad: 4

Realiza lo que se indica.
1. Encuentra todas las raíces reales, para que escribas la forma factorizada de las siguientes
funciones polinomiales.
a) f( x )  x 4  12 x 2  64

b) T( x )  x 3  x 2  10 x  8

c) G( x )  x 3  5x 2  2x  10

d) P( x )  x 4  5x 2  36

2. Encuentra todos los ceros (reales e imaginarios) de la función F( x )  6x 3  2x 2  6x  2 .

211
BLOQUE 3


3. Factoriza directamente por agrupación de términos, la regla de correspondencia de la
función f( x )  x 3  5x 2  2x  10 .

4. Bosqueja la gráfica de la función G( x )  x 3  x 2  6x , utilizando sus raíces.

5.  
Encontrar los ceros racionales e irracionales de la función: L( x )  2x  3 x 2  5x .

6. Expresa en factores lineales la función de tercer grado H( x )  x 3  x 2  16 x  20 .

212


3
7. f(x) es una función de tercer grado cuya gráfica corta al eje X en −4, 0 y , encuentra su
2
regla de correspondencia y bosqueja la gráfica.

8. Se desea hacer una caja de cartón corrugado, la cual tenga forma rectangular de 20 cm por 10 cm,
cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Encontrar las dimensiones de
la caja sabiendo que el volumen es de 156 cm3.

9. La caja de un trailer que transporta mercancías para una cadena de supermercados, tiene una capacidad de
120 m3, si el ancho es x, el largo 3x+1 y la altura x+1 metros, ¿cuáles son sus dimensiones?

Evaluación
Saberes
Reconoce la aplicación de las Aplica las funciones cúbicas y Aprecia la aplicabilidad de las
funciones cúbicas y cuárticas. cuárticas en situaciones reales. funciones cúbicas y cuárticas .
Autoevaluación
docente

213
BLOQUE 3

214

Emplea funciones racionales.

algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.

 Construye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales
para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar,
que le permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las
 Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones racionales.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.

Funciones racionales.
Inicio 

Actividad: 1
Después de analizar el ejemplo, en equipo, determina el dominio de las siguientes
funciones.

Función Ceros del denominador Dominio

2x
fx  
x3

2x  9
fx  
x2  1

x3
fx  
x2  9

4x 2  3x  0 x0 4x  3  0
5x  3
fx   x4x  3  0 3 Dom :   0,  
2 x 4
4x  3x 
4

x2
fx  
2
x  8x  15

2
fx  
x

x 2  4x
fx  
x 3  3x 2  3x  1

3x 2  6
f( x ) 
x 4  12 x 2  64

Evaluación
tabla.
Saberes
Reconoce el dominio de la Distingue el dominio de la función Muestra interés al realizar la
función racional. racional. actividad y demostrar sus
conocimientos previos.
Autoevaluación
docente

216
EMPLEA FUNCIONES RACIONALES

Desarrollo
Concepto de función racional.
Son las funciones que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:
Px 
fx   donde Px  y Q x  son funciones polinomiales sólo que Q x   0 .
Qx 
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se encuentra el dominio de algunas funciones racionales,
además, se muestra la gráfica de cada una de ellas.

Ejemplo 1.
x2  x  1
fx  
x2  x  1

El dominio de la función es el conjunto de los números reales, menos aquellos valores que indefinan la función, esto
es, cuando x 2  x  1  0 .

Para encontrar la solución de la ecuación, se puede utilizar la fórmula general.

a 1  b  b 2  4ac
x
b  1 2a
c 1   1   12  411
x
21
1 1 4
x
2
1  3
x
2
Con el resultado anterior, se concluye que no existen números reales que sean solución de la ecuación, por lo tanto, el
dominio de la función son todos los números reales. Su gráfica se presenta a continuación.
f (x)









x

       








Ejemplo 2.
x 1
fx  
x 1

Ahora, el dominio de la función depende de la solución a la ecuación x  1  0 , y al despejarla se obtiene x  1.
El dominio de la función es:
Dom:    1 

217
BLOQUE 4

La gráfica es:
 f (x)






 x

      
      






Ejemplo 3.
24 x  6
fx  
2
8x  62 x  75

Se requiere resolver la ecuación 8x 2  62 x  75  0 , lo cual se realiza mediante la fórmula general.

a8  b  b 2  4ac
x
b  62 2a
c  75  62   62 2  4875 
x
28
 62  3844  2400
x
16
 62  1444
x
16
 62  38
x
16
 62  38 3
x1     1.5
16 2
 62  38 25
x2    6.25
16 4

 3 25   f (x)
Dom :    ,   
 2 4 


La gráfica es: 


 x

        
     









218

Ejemplo 4.
4
fx  
x

En este caso el único valor en el cual se indefine la función es x  0 , por lo que el dominio es:

Dom :   0

La gráfica es:
 f (x)






 x

      
       








Ejemplo 5.
3
fx    1
x  42

Ahora se tiene que resolver la ecuación x  42 , para ello sólo se requiere despejar.
x  42  0
x4 0
x40
x4
Por lo tanto, el dominio son todos los números reales menos el cuatro.

Dom:   4

f (x)

La gráfica es:




 x

          









219
BLOQUE 4

Actividad: 2

Anota en las líneas el dominio de cada una de las gráficas y selecciona la función
correspondiente, de la que se ofrece al final.
y y  y
  
  
  
  
  
x
 x  x
         

                   
  
  
  
  
  
  
  

_________________________ __________________________ __________________________
Dom:____________________ Dom:_____________________ Dom:_____________________

y

y y
  

 

 

 

 
 
 x
 
x
 x           

                         
  
 



 
 

 
  
 



_________________________ __________________________ __________________________
Dom:____________________ Dom:_____________________ Dom:_____________________
1 4 1
hx   gx   Vx  
x 1 2 x 1
x 1
4 x 1
k x   Qx   fx   5
x2  1 x 2  2x  3 x2

Evaluación
Saberes
Identifica el dominio de la Selecciona la gráfica de funciones Aprecia la utilidad del dominio en
función racional. racionales de acuerdo a su la identificación de gráficas.
dominio.
Autoevaluación
docente

220

Función racional reducible.
Dentro de las funciones racionales se encuentran las que son reducibles, es decir, aquellas que tienen factores
iguales en el numerador y denominador, de tal manera que se pueden eliminar y mostrar la función simplificada.

Para reducir las funciones racionales, se recurre a la factorización, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.
x2  4
fx  
x2

Es esencial determinar primero el dominio de la función, la cual parte de encontrar los ceros del denominador, el cual,
en este caso se convierte en cero cuando x=−2, por lo tanto, el dominio es:

Dom:    2

Observando la función, se deduce que el denominador es una diferencia de cuadrados, y se factoriza mediante
binomios conjugados.

A continuación se muestra la forma en que se reduce la función.

x 2  4 x  2x  2
fx     x2
x2 x2
Por lo tanto, la función queda:

fx   x  2 con x  2

La función reducida es una recta con pendiente uno y ordenada en el origen −2, su gráfica se muestra a
continuación.

Se debe dibujar un “punto hueco” en las coordenadas (2, −4), ya que en ese punto se indefine la función racional.

f (x)









x

        














221
BLOQUE 4

Ejemplo 2.
x 3  4x
gx  
x
Dom :   0

El denominador se puede factorizar por factor común, de la siguiente manera:

gx  
x 3  4x x x 2  4


 x2  4

x x


gx   x 2  4 con x  0

La función reducida es una parábola con vértice en (0, 4), sólo que al dibujar el punto correspondiente a éste, debe
ser un “punto hueco”, porque es donde la función se indefine.

g (x)













x

       









Ejemplo 3.
x3  8
hx  
x2
Dom:   2

El denominador se puede factorizar por diferencia de cubos como se muestra a continuación:

hx   

x 3  8 x  2 x 2  2x  4 2 
x 2x4
x2 x2


hx   x 2  2x  4 con x  2

Completando el trinomio cuadrado perfecto en la función cuadrática anterior, se obtiene el vértice.

222

hx   x 2  2x  4
hx   x 2  2x  12  12  4 
hx   x  1  3
2

La parábola que describe tiene su vértice en el punto (−1, 3 ) y se abre hacia arriba, también tiene un “punto hueco”
en x=2; para encontrar la altura, el valor donde se indefine se sustituye en la función reducida.

h2  22  22  4  12

Por lo tanto, el “punto hueco” tiene coordenadas (2, 12) y su gráfica queda:

h(x)













x

          



En este sitio encontrarás ejercicios concernientes a la función
racional.
http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcionesracionales.htm
http://www.x.edu.uy/racional.htm

Actividad: 3
En equipo, reduce las siguientes funciones racionales.
x 3  x 2  4x  4
1) fx  
x2  4

223
BLOQUE 4


2x 4  8x 2
2) Tx  
4x  8

2x 4  4x
3) gx  
4x

2x  4
4) px  
x2

x 2  6x  8
5) mx  
x2  4

2x 4  7 x 3  4x 2  4x
6) k x  
2x 2  3x  2

Evaluación
Saberes
Identifica el método de Establece la función reducida de Respeta la opinión de sus
factorización para reducir una una función racional. compañeros y colabora de forma
función racional. activa en el equipo.
Coevaluación
docente

224

Cierre
Actividad: 4
Las gráficas corresponden a las funciones descritas en la actividad anterior. Escribe
debajo de cada una de ellas la función racional, la función reducida, el dominio y rango.
y  y
 y



 

 
 

 


 x

         
x  
x
        
       
 

 







________________________ ________________________ ________________________
________________________ ________________________ ________________________
Dom: Dom: Dom:
Rango: Rango: Rango:
y
 y  y

 

 

 

 
x 

        


 x
        

x 

        
 

 


________________________ ________________________ ________________________
________________________ ________________________ ________________________
Dom: Dom: Dom:
Rango: Rango: Rango:

Evaluación
Saberes
Identifica la gráfica de una Distingue la gráfica de la función Realiza la actividad con
función racional, su dominio y racional, su dominio y rango. entusiasmo.
rango.
Autoevaluación
docente

225
BLOQUE 4

Gráficas de funciones racionales.
Inicio 

Actividad: 1

Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) x 4  2x 3  x 2  0

2) 2x 2  x  15  0

3) 2x 4  7x 3  2x 2  13x  6  0

4) 4x 2  x  9  0

Evaluación
Saberes
Identifica el método para Aplica diferentes métodos de Muestra interés al realizar la
resolver ecuaciones solución de ecuaciones actividad.
polinomiales. polinomiales.
Autoevaluación
docente

226

Desarrollo
Para graficar una función racional, se requiere sustituir valores alrededor de las indefiniciones (valores de “x” donde el
denominador es cero) y valores extremos (muy grandes y muy pequeños).

x 1
Por ejemplo, en la función fx   , tiene su indefinición en x=3, por lo que se requiere sustituir valores muy
x3
cercanos a 3, también es necesario sustituir valores muy grandes y pequeños, como se muestra en las siguientes
tablas.

x 1 x 1 x 1
x fx   x fx   x fx  
x3 x3 x3
2 -1 -30 0.94 14 1.18

2.5 -3 -28 0.94 16 1.15

2.9 -19 -26 0.93 18 1.13

2.99 -199 -24 0.93 20 1.12

3 indefinición -22 0.92 22 1.11

3.01 201 -20 0.91 24 1.10

3.1 21 -18 0.90 26 1.09

3.5 5 -16 0.89 28 1.08

4 3 -14 0.88 30 1.07

Con las tablas se puede concluir que:
1. En la primera se observa que para valores muy cercanos a x=3 por la izquierda, la función tiende a  ; y
cuando se sustituyen valores muy cercanos a x=3 por la derecha, la función tiende a  .
2. En la segunda tabla se observa que para valores muy pequeños la función se acerca a 1.
3. En la tercera tabla se observa que para valores muy grandes, la función se acerca a 1.

Analizando la función se pueden obtener otros datos que ayudan a visualizar la gráfica, por ejemplo:
1. Si se sustituye la función en x=3, no se obtiene valor alguno en la función.
3 1 2
f3   no está definido
33 0
2. Si se realiza el cociente de la función, se tiene:
1
x  3 x 1
x3
2
x 1
fx  
x3
2
fx   1 
x3
2
Al sustituirse valores muy grandes o muy pequeños se aproxima a cero y la función se acerca a 1.
x3

227
BLOQUE 4

Estos dos análisis coinciden, por lo tanto, se puede trazar dos rectas auxiliares que acoten estos comportamientos, a
estas rectas se les conoce como asíntotas.
f (x)












x

            f (x)
 
 
 
 
 

Graficando algunos de los puntos se puede orientar la forma de la función. 



x

           



Su gráfica queda de la siguiente manera. 



f (x)












x

           








Para bosquejar la gráfica de una función racional, se requiere conocer dónde están situadas las rectas asíntotas, es
por ello que se debe diferenciar los tipos de asíntotas.

228

Asíntotas de funciones racionales.
Una recta es asíntota de una curva (la función racional) si la distancia entre un punto sobre la curva y la recta se
aproxima a cero a medida que el punto se aleja del origen de coordenadas.

En otras palabras, las asíntotas son líneas que nunca tocan a la función pero se encuentran muy cercanas a ella.

Asíntotas verticales.
Son las rectas auxiliares que son paralelas al eje Y, como se muestra en la siguiente gráfica.
f (x)









Asíntota
 vertical

x

           








1
La función que describe la gráfica anterior es fx    4 y su indefinición es cuando x=3, la cual la
x  32
representa precisamente la asíntota vertical, por lo tanto, las asíntotas verticales son las indefiniciones que puede
tener una función.
La ecuación de la recta es x−3=0.

Asíntotas horizontales.
Éstas son las rectas auxiliares paralelas al eje X. Utilizando la función anterior para determinar las asíntotas
horizontales se observa la posición de la misma.
f (x)








 Asíntota
 horizontal

x

           








229
BLOQUE 4

Para conocer la posición de la asíntota horizontal, es necesario sustituir valores extremos, es decir, muy grandes o
pequeños.

Analizando la función, para valores que se acercan a infinito, se deduce lo siguiente:
1
fx   4
x  32
1
El término cuando “x” se acerca o tiende a  , se aproxima a cero, dado que el numerador es 1 y el
x  32
denominador cada vez es más grande, por lo tanto, el valor de la función cuando x   (“x” tiende a  ) es −4, por
lo que la ecuación de la asíntota horizontal es:
f x   4
ó
y  4
y40

Ahora, si se quiere conocer las asíntotas horizontales de una función de la cual no es tan sencillo visualizar su
comportamiento en valores extremos, se tendrá que aplicar el algoritmo de la división y expresar en forma de
factores y residuo, como se muestra a continuación.

Ejemplo1.
x3
Expresar la ecuación de la asíntota horizontal de la función fx   .
x

1
x x3
x
0 3
Por lo tanto, la función se puede expresar como:

x3
fx  
x
3
fx   1 
x
f (x)
Así que cuando x   , la función se acerca a 1, por lo tanto, la 
ecuación de la asíntota horizontal es: 

f x   1


ó

y 1

y  1 0


Si se desea visualizar la gráfica, también se considerará la asíntota x
vertical, la cual es cuando se indefine la función, y esto es, cuando
           
x=0. 






230

Asíntotas oblicuas.
Son rectas auxiliares inclinadas y éstas se generan en funciones racionales donde el grado del numerador es una
unidad mayor que el del denominador.

En este caso, al realizar el algoritmo de la división, se obtiene como cociente una recta, esto se verificará con el
siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.
x3  4
Determinar la ecuación de la asíntota de la función fx   .
x2

Al realizar el algoritmo de la división se obtiene:
x
2
x x3  4
 x3
0 4
La función se expresa así:

4
fx   x 
x2

4
Cuando x   la parte de la función  se aproxima a cero, por lo tanto, la función se convierte en:
x2
fx   x
ó
yx
La asíntota oblicua es la función identidad.

También tiene una asíntota vertical, cuando x=0, porque es cuando se indefine la función, por lo tanto, su gráfica
queda de la siguiente forma:
 f (x)









 x

        
          











Utiliza un graficador para que compruebes todas las funciones racionales que se han graficado en este bloque.

231
BLOQUE 4

En resumen, si f(x) es una función racional, se puede decir que:

1. La función f(x) tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador.
2. La función f(x) tiene asíntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual al grado del
denominador.
3. La función f(x) tiene asíntotas oblicuas, si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador.

Actividad: 2

I. Encuentra las ecuaciones de las asíntotas de cada una de las funciones y bosqueja la
gráfica correspondiente.

14  6 x 2
1) fx  
x

x 3  2x 2  x
2) g( x ) 
x2  1

3x 2
3) k x  
2x 2  1

232


x2
4) p( x ) 
x 1

x 2  3x  1
5) t( x ) 
x 1

II. Escribe la ecuación de una función racional que tenga como asíntota oblicua a la recta y  x  2 y que
además pase por el punto (1,3).

Evaluación
Saberes
Indica las asíntotas de una Obtiene las asíntotas para Aprecia la utilidad de las
función racional. bosquejar la gráfica de una función asíntotas para bosquejar las
racional. gráficas de las funciones
racionales.
Autoevaluación
docente

233
BLOQUE 4

Al igual que todas las funciones que se han abordado en este bloque, la función racional tiene aplicaciones
importantes en situaciones reales, como el ejemplo que sigue:

Ejemplo 1.
Una compañía encontró que la demanda del artículo que vende varía en forma inversamente proporcional al precio
del mismo. Cuando el precio del artículo es de $2.25, la demanda es de 300 unidades. Expresa la función que
describe la demanda del producto dependiendo del precio del artículo.

Si “D” representa la demanda del artículo y “p” se identifica como el precio, entonces, se tiene la siguiente relación.

k
D
p

Donde “k” es la constante de proporcionalidad y para encontrar su valor se sustituyen los datos que proporciona el
problema, es decir, la demanda y el precio quedando como sigue:
k
300 
2.25
Despejando “k” se tiene:

k  300 2.25 
k  675

La función una vez sustituida la constante queda:

675
Dp 
p

La gráfica que representa la demanda se muestra a continuación.
D (p )













p

                     


234

Cierre
Actividad: 3

Resuelve lo que se indica.

1. El volumen de una solución varía inversamente con su concentración. Un milímetro de una
solución tiene una concentración de 40 mg por litro de nitrato de plata.
a) Encuentra el valor de la constante de proporcionalidad.

b) Expresa el volumen en función de la concentración de nitrato de plata.

c) ¿Cuál es el volumen de la solución cuando la concentración es de 65 mg por litro de nitrato de plata?

2. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos cuando
empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de hiperactividad. Si se
x
supone que la función racional f( x )  2 , representa el porcentaje de estas sustancias en una persona,
x 1
durante una etapa de su enamoramiento, donde “x” representa el número de meses:

a) Utiliza una tabla de valores para que traces la gráfica.

235
BLOQUE 4


b) ¿Cuál es la cantidad global de estas substancias presentes a los cinco meses?

c) Según este modelo, ¿en cuánto tiempo se alcanza la máxima producción y cuál es ésta?

d) ¿Qué tipo de asíntotas tiene la función?

3. Para realizar una construcción en una fábrica, cinco obreros la terminan en tres días, Si el tiempo en el que
realizan la construcción es inversamente proporcional al número de obreros (considerando que todos trabajan
al mismo ritmo), determina lo siguiente:
a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

b) Expresa la función del trabajo realizado, en términos del número de obreros.

c) ¿En cuánto tiempo terminarán la misma construcción 7 obreros?

236


4. Una lancha demora 0.5 horas en atravesar un lago con una rapidez promedio de 40 Km/h,
¿qué rapidez promedio necesita la lancha para regresar en 0.2 horas?

5. Para llenar un estanque con una sola llave de agua se requieren 12 horas, ¿Cuántas llaves del mismo tipo
que la primera se requieren para llenar el estanque en 3 horas?

6. El valor de un automóvil se deprecia en proporción inversa a su antigüedad. Si un sedan valía $50,000
cuando tenía 3 años.
a) Encuentra la constante de proporcionalidad.

237
BLOQUE 4


b) Expresa el valor de un automóvil en función de su antigüedad.

c) ¿Cuánto tenga 10 años, cuál será su valor?

7. Si se mantiene fija el área de un terreno rectangular, el largo es inversamente proporcional a su ancho. Si el
ancho del terreno es de 12 m y su largo es de 20 m.
a) Expresa el ancho en función del largo.

b) Si el largo aumenta 16 metros, ¿cuánto mide el ancho?

Evaluación
Saberes
Reconoce la aplicación de las Aplica las funciones racionales en Aprecia la aplicabilidad de las
funciones racionales. situaciones reales. funciones racionales.
Autoevaluación
docente

238

Utiliza funciones exponenciales y logarítmicas.

 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.

 Construye e interpreta modelos exponenciales y logarítmicos aplicando las propiedades de crecimiento y
decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas teóricos o prácticos,
de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos racionales, en el contexto de las situaciones
reales o hipotéticas que describen.
 Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones exponenciales y logarítmicas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye
al alcance de un objetivo.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a
su relevancia y confiabilidad.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.

Funciones exponenciales.
Inicio


Actividad: 1
Desarrolla lo que se pide, en relación con la siguiente expresión y=2 x .

1. ¿Cuál es su significado?

2. Calcula los valores correspondientes de “y” para x =2, 3, 4, 20, 0,−1, −2, −3, 1/2, 1/4, 3/4, −1/3.

3. ¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual y  2 x resulte negativa? Justifica tu respuesta.

4. ¿Es posible encontrar algún valor de “x” para el cual “y” sea igual a 40?

5. ¿Puede representarse gráficamente la expresión? Justifica tu respuesta.

6. ¿Es posible encontrar valores de x que hagan que “y” resulte mayor que 40, que 400, que 4000? Explica tu
respuesta.

7. ¿Conoces un fenómeno o situación que se pueda representar mediante esta función? Descríbelo.

Evaluación
Saberes
Reconoce algunas Deduce algunas características de Muestra interés al realizar la
características de las funciones las funciones exponenciales. actividad y mostrar sus
exponenciales. conocimientos previos.
Autoevaluación
docente

240
UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Desarrollo
La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos
relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con
sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina y la química, entre otras
disciplinas.

Un ejemplo de la aplicación de las funciones exponenciales se presenta en la división celular
que tiene lugar en el vientre materno, cuando se gesta un ser humano. El núcleo del
espermatozoide de un hombre se fusiona con el óvulo de la mujer dando origen a una célula
llamada cigoto, la cual se divide en dos células y luego en cuatro, posteriormente en ocho y
así sucesivamente continúa desarrollándose hasta el nacimiento de un nuevo ser humano;
por otro lado, también el crecimiento bacteriológico presenta crecimiento exponencial.

Otro ejemplo se encuentra en la forma en que se reproduce la marea roja, la cual la forma
billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando con ello a muchas
especies marinas.

Concepto de función exponencial.
La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:

fx   b x

donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina
exponente.

En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:

fx   Ab x

donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene:

f0  Ab 0
f0  A 1
f0  A
La definición de la función exponencial exige que la base siempre sea positiva y diferente de uno, porque en el caso
contrario, al tener como base 1, se obtendría la función constante igual al coeficiente, como se muestra a
continuación.
fx   Ab x
fx   A 1x
fx   A
Si la base fuese negativa, se tendrían valores sin sentido en los números reales, como el siguiente.

 9 1
2
  9 no existe en los números reales

La función exponencial fx   b x presenta las siguientes características:
1. Su dominio son todos los números reales.
2. En todos los casos la función pasa por el punto (0, 1).
3. Los valores de la función siempre son positivos para cualquier valor de “x”.
4. Siempre es creciente si b>1, y siempre es decreciente si 0<b<1.
5. El eje X se convierte en una asíntota.

241
BLOQUE 5

Para visualizar todo lo anterior, en el mismo plano cartesiano, se grafica algunas funciones exponenciales.

x f x   2 x f x   3 x f x   4 x f x   4 x f x   6 x
-4 0.0625 0.0123 0.0039 0.0016 0.0008
-3 0.125 0.0370 0.0156 0.008 0.0046
-2 0.25 0.1111 0.0625 0.04 0.0278
-1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667
0 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
2 4 9 16 25 36
3 8 27 64 125 216
4 16 81 256 625 1296

f x   4 x
f x   3 x

f x   5 x
f x   2 x
f (x)

f x   6 x 







x

      



f x    12  f x    13  f x    14  f x    15  f x    16 
x x x x x
x
−4 16 81 256 625 1296
−3 8 27 64 125 216
−2 4 9 16 25 36
−1 2 3 4 5 6
0 1 1 1 1 1
1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1666
2 0.25 0.1111 0.0625 0.04 0.0277
3 0.125 0.0370 0.0156 0.008 0.0046
4 0.0625 0.0123 0.0039 0.0016 0.0007

242

f x    14 
x
f (x)

f x    15 
x



f x    13 
x
f x    16 
x



f x    12 
x

f x    12  
x

f x   2 x



x

      



Actividad: 2

I. Utiliza la calculadora para completar la tabla; con los valores obtenidos en ella, traza la
gráfica de las funciones, determina su dominio y rango.

x f x   2  x  f (x)

–5

–4

–3

–2

–1
0 

1 

2 

3 
x
4
         




243
BLOQUE 5


f x   2 5 
x  f (x)
x

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2
3 
x
4          




x f x   2 x  1  f (x)

–5

–4
–3 

–2 

–1 

0 

1 

2 

3 
x
4
         




x f x   3x  2  f (x)

–5

–4
–3 

–2 

–1 

0 

1 

2 

3 
x
4
         




244


II. Resuelve las siguientes ecuaciones (utiliza la calculadora para que verifiques los
resultados).

1) 2 x  32

x
 1
2)   4
2

3) 4  x  64

Evaluación
Saberes
Escribe los valores que Dibuja la gráfica de funciones Aprecia la utilidad de la
pertenecen a la gráfica de exponenciales. calculadora para encontrar
funciones exponenciales. valores de funciones
exponenciales.
Autoevaluación
docente

Variación exponencial.

El siguiente ejemplo se puede modelar a través de una función exponencial.

Ejemplo 1.
Un medicamento se elimina del cuerpo a través de la orina. La dosis inicial es de 10 mg
y la cantidad que queda en el cuerpo se disminuye el 80 % cada hora. Para que el
fármaco haga efecto en el cuerpo, debe haber por lo menos 2 mg del mismo.
Determinar cuándo quedan sólo 2 mg.

Con una tabla se puede visualizar la función, al ir presentando algunos datos que
cumplen con el comportamiento del medicamento en el cuerpo.

Tiempo
transcurrido 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(hrs)
Cantidad de
medicamento 10 8 6.4 5.12 4.096 3.2768 2.62144 2.09715 1.67772
(mg)

245
BLOQUE 5

Para obtener las cantidades anteriores se realizaron las siguientes operaciones.
Tiempo Cantidad de medicamento
0 10
1 10(0.80)=8
2 10(0.80)(0.80)=6.4
3 10(0.80)(0.80)(0.80)=5.12
4 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=4.096
5 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=3.2768
6 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.62144
7 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=2.09715
8 10(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)(0.80)=1.67772
Por lo tanto, la cantidad de medicamento en el cuerpo al transcurrir el tiempo se puede expresar como:
Ct   100.8t
Según los datos obtenidos, cuando han transcurrido 7 horas se acerca a la cantidad de 2 mg en el cuerpo, es por ello
que la dosis para la administración de este medicamento tiene que ser 10 mg cada 7 horas.

Para encontrar el tiempo exacto en el cual el cuerpo se tendrán 2 mg del medicamento en el cuerpo, se requiere
conocer la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, la cual se explicará al finalizar de este bloque.

Factor y tasa de crecimiento.
El factor de crecimiento es el factor constante por el cual se multiplica cada valor en un patrón de crecimiento
exponencial, para obtener el siguiente valor.

El factor de crecimiento es la base en una ecuación exponencial; por ejemplo, en el problema anterior, el factor de
crecimiento es 0.8, debido a que es el valor que se multiplica tantas veces como el tiempo transcurre.

Ahora, se presentará el siguiente ejemplo para obtener la tasa de crecimiento.

Ejemplo 1.
En un salón de clases, un alumno se enferma de gripe y contagia a cuatro de sus
compañeros en una semana. A la siguiente semana hay 16 contagiados en cinco salones. A
las tres semanas, el virus lo tienen 64 personas de la escuela. En cuatro semanas ¿cuántas
personas se habrán contagiado de gripe?

Para obtener el modelo del problema se presentan los siguientes valores.

Tiempo
0 1 2 3 4
(semana)
Número de personas
1 4 16 64 256
contagiados

Al dividir dos resultados consecutivos, siempre da como resultado 4, es por ello que el factor de crecimiento es 4, por
lo tanto, la función que modela esta situación es:
Nt   4 t
En cuatro semanas se tendrán 256 contagiados.
N4  4 4  256

Una tasa se identifica como un porcentaje de aumento o disminución de un valor inicial y se puede expresar como un
porcentaje. El término “tasa” es comúnmente utilizado en matemáticas financieras, en el cálculo del interés
compuesto.

246

La tasa de crecimiento se deduce mediante la siguiente fórmula:

Valor final del periodo  Valor inicial del periodo
Tasa de crecimient o 
Valor inicial del periodo

La razón de crecimiento =Tasa de crecimiento x 100%.

Si se considera el ejemplo anterior para encontrar la tasa de crecimiento, tomando en cuenta los dos primeros
valores, se obtiene:
4 1
Tasa de crecimient o  3
1
Si se desea generalizar, se considera la función fx   Ab x , de la cual, tomando los dos primeros valores, se obtiene:

Ab 1  Ab 0
Tasa de crecimient o 
Ab 0
Ab  A

A
A b  1

A
b 1
Por lo tanto, se concluye que si la tasa de crecimiento se denota como r, ésta se puede expresar como:

r b 1
También se puede visualizar la base como:

b  1 r
De la misma forma se puede determinar la tasa de decrecimiento, la cual es:

b  1 r

En ambos casos el crecimiento se da por periodos de tiempo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.
Si el valor de un objeto está dado por Vt  600 1.10 t , calcular:
a) La tasa de crecimiento.
b) El valor del objeto al cabo de un año.

En la función se reconoce la base, la cual es b=1.10, por lo tanto, la tasa de crecimiento es:

r  1.10  1
r  0.10

La tasa de crecimiento es 0.10, es decir, el valor del objeto crece a razón del 10%.

En cuanto al valor al transcurrir un año, éste se obtiene al sustituir t=1 en la función.

V1 600 1.10 1
V1 660
El valor del objeto es $660 al transcurrir un año.

247
BLOQUE 5

Actividad: 3
1. Escribe una función exponencial, cuyo valor inicial es igual a 24 y el factor de crecimiento es
igual a 3.

2. Si la tasa de crecimiento de una función exponencial es igual a 0.15, entonces el factor de crecimiento es
igual a:____________

3. Si se invierten $25,000 en una cuenta bancaria, al 20% de interés anual durante tres años, ¿cuál es el monto
que se genera en ese periodo?

4. Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa de 6% compuesto anual
capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tendrá en la cuenta después de un año?

5. El precio de un automóvil nuevo se incrementa cada año en 12.7%. Si actualmente un automóvil cuesta
$135 000:
a) Escribe una función mediante la cual obtengas el precio del automóvil como función del número “t” de
años transcurridos.

b) ¿Cuánto costará un auto último modelo dentro de 6 años?

6. Se sabe que el organismo elimina la nicotina a una razón de 40% cada hora. Una persona que fuma un
cigarro, después de 2 horas tiene en su cuerpo 5 mg de nicotina.
a) Escribe una función que dé la cantidad de nicotina en función del número t de horas después de haber
fumado un cigarro.

b) ¿Cuánta nicotina tiene en su cuerpo esa persona después de 3 horas?

248

Evaluación
Saberes
Identifica la tasa y factor de Aplica la función exponencial para Expresa sus dudas y corrige sus
crecimiento para dar solución a resolver problemas de la vida real. errores.
problemas reales.
Autoevaluación
docente

El número e.
Caracterización e importancia.
Al igual que 3 y  , el número “e” es un número irracional. Su descubrimiento se le atribuye a Leonhard Euler,
quien en su artículo “Introductio in Analysin Infinitourm” en 1748, demostró que:

1 1 1 1 1 1 1
e  1    ..... 1      ....
1! 2! 3! 2 6 24 120

Dando como resultado aproximado e = 2.718281828…, el cual se puede obtener con una calculadora científica.
Observa con cuidado las siguientes figuras para que localices dónde se ubica la función e.

Notarás que se encuentra de color
amarillo, lo cual significa que para activarla
tienes que oprimir primero la tecla “Shift”.

Prueba con e1 para que compruebes el
valor del número de Euler.

El número “e” se emplea como base de los logaritmos naturales y es importante, porque participa en muchas
situaciones que modelan planteamientos de tipo exponencial. Ejemplos:

 
1) En ocasiones, los psicólogos utilizan la función Lt   A 1  e kt , para medir el nivel de aprendizaje en un
determinado tiempo “t”, donde L(t) es la cantidad aprendida en el tiempo t; A es la cantidad por aprender; y k es
el nivel de aprendizaje.

2) La expresión empleada para calcular el interés compuesto continuamente es Tt   Mo (e rt ) donde M0 es el monto
inicial, T(t) es el monto a pagar transcurrido el tiempo “t”; r es la tasa de interés compuesto y “e” es el rendimiento
sobre una inversión durante “t” años, a una tasa de interés de 100% compuesto continuamente.

Función exponencial natural.
La función exponencial natural es aquella que tiene como base el número “e” y se representa mediante la función:

fx   A ek x

Si k>0, la función es creciente y si k<0, la función es decreciente.

En finanzas, cuando una cierta cantidad de dinero (C0) se capitaliza continuamente, se emplea la función exponencial
natural para determinar el monto total (C), al cabo de un cierto tiempo (t) con una tasa de interés (r). La expresión
queda como sigue:

Ct   C 0 e r t

249
BLOQUE 5

Ejemplo 1
Si son invertidos $1000 a una tasa anual del 7% capitalizado continuamente, ¿cuál será el monto al final de 3 años?

Se sustituye la función continua de capitalización continua.

Ct   C 0 e r t
Donde:
C0=1000
r=0.07
t=3
Se tiene como resultado:
Ct   C 0 e r t
C3  1000 e 0.07 3 
C3  1233 .68

Al cabo de tres años, se tiene un capital de $1233.68.

En la siguiente tabla se concentran las fórmulas explicadas anteriormente.

Forma aplicada para Forma aplicada para
Forma general comportamiento de comportamiento de Condiciones
decrecimiento crecimiento
P: Valor final.
P0: Valor inicial.
Función r: tasa de crecimiento o
fx   Ab x Pt   P0 1  r t Pt   P0 1  r t
exponencial decrecimiento por
periodos.
t: tiempo transcurrido.
P: Valor final.
Función P0: Valor inicial.
exponencial fx   A ek x Pt   P0 e r t Pt   P0 e r t r: tasa de crecimiento o
natural decrecimiento continuo.
t: tiempo transcurrido.

Ejemplo 2.
Un banco paga 8% anual de interés, si se deposita la cantidad de $25 000, calcular:
a) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza anualmente?
b) ¿Cuánto dinero habrá después de 10 años si se capitaliza continuamente?

En este caso se presentan los dos tipos de funciones; en el inciso a) se utiliza la función con crecimiento por periodo,
y en el inciso b) el crecimiento es continuo.

Para dar respuesta al inciso a)

se utiliza la fórmula Ct   C 0 1  r t , donde:
C es el capital final.
C0=25,000 Ct   C 0 1  r t
r=0.08
t=10 C10   25,000 1  0.08 10
C10   53,973 .12

Al final de 10 años, habrá $53,973.12 en el banco.

250

Para darle respuesta al inciso b)
se utiliza la fórmula Ct   C 0 e r t , donde:

C es el capital final. Ct   C 0 e r t
C0=25,000 C10   25,000 e 0.08 10 
r=0.08
C10   55,638 .52
t=10

Al final de 10 años, el monto total será de habrá $55,638.52 en el banco.


Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples
aplicaciones de la función exponencial y logarítmica.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bac
h/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-log-
aplicac.pdf
http://bc.inter.edu/facultad/NTORO/expow.htm

Cierre

Actividad: 4
Plantea y resuelve los siguientes problemas, utilizando la función correspondiente.

1. Una población crece a razón de 6% anual; si actualmente hay 3750 habitantes:
a) Escribe la función de la cantidad de habitantes al transcurrir los años.
b) ¿Cuántos habitantes habrá después de 5 años?

2. La masa de una sustancia radiactiva se desintegra en 1.17% cada hora; si inicialmente hay 26.57 Kg. de
esta sustancia:
a) Escribe la función de la masa de la sustancia al transcurrir las horas.
b) ¿Qué cantidad de sustancia habrá después de una semana?

251
BLOQUE 5

3. Una colonia de roedores crece a razón de 7% mensual; si actualmente hay 798 roedores:
a) Escribe la función de la cantidad de roedores al transcurrir los meses.
b) ¿Cuántos roedores habrá después de 20 meses?

4. Una enfermedad contagiosa se propaga en 2.5% mensual, si inicialmente hay 67 enfermos:
a) Escribe la función de la cantidad de enfermos al transcurrir los meses.
b) ¿Cuántos enfermos habrá después de un año?

5. Un banco paga un interés de 11% anual, si se desea tener $250,000 dentro de 3 años:
a) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es continua?
b) ¿Qué cantidad se debe depositar hoy si la capitalización es anual?

6. Se sabe que el número de bacterias crece en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función
Pt   P0 1.3t , si actualmente hay 127,000:
a) ¿Cuántas bacterias habrá dentro de 6 días?
b) ¿Cuántas bacterias habrás dentro de 9 días?

252

7. Se sabe que el número de ratones de una colonia crece en forma exponencial anualmente,
de acuerdo con la función Pt   P0 1.2t , si actualmente hay 25,700 ratones:
a) ¿Cuántos ratones habrá dentro de año y medio?
b) ¿Cuántos ratones habrá dentro de 4 años?

8. El uranio se desintegra de acuerdo con la función exponencial Mt   M0 0.7t , donde “t” se mide en horas,
si inicialmente hay 200 gramos de uranio, ¿qué cantidad de uranio habrá después de 6 horas?

9. Las células cancerosas de un tumor crecen en forma exponencial diariamente de acuerdo con la función
Pt   P0 1.35 t . Cuando se descubre este tumor se calcula que hay 235,000 células cancerosas.
a) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 3 días?
b) ¿Cuántas células cancerosas habrá después de 8 días?

Evaluación
Saberes
Indica la función exponencial Aplica la función exponencial para Se interesa en la aplicabilidad de
que da solución a problemas de resolver problemas de la vida real. las funciones exponenciales y
la vida cotidiana. comparte los resultados con el
grupo, en la retroalimentación.
Autoevaluación
docente

253
BLOQUE 5

Función logarítmica.
Inicio 

Actividad: 1

Utiliza la calculadora para encontrar los siguientes valores.

1) 510 

1
5
2) 7776 

3) 8 3 

4) e4 

5) 3e 5 

6) log 4.5 

7) log 0.002 

8) ln 15 

9) ln 56.13 

10) log0.000728 6 

Evaluación
Saberes
Reconoce las funciones de la Utiliza la calculadora para obtener Muestra interés al realizar la
calculadora, para obtener valores con exponentes o con actividad.
valores tanto con exponentes logaritmos.
como con logaritmos.
Autoevaluación
docente

254

Desarrollo
Durante tu trayecto académico has resuelto ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas, entre otras, pero no se te
habían presentado ecuaciones cuya variable se encontrara en el exponente, es decir, ecuaciones exponenciales,
como por ejemplo:

a) 2 x  64
b) 4x  2
c) 3 2x 1  132

Comúnmente en los despejes de ecuaciones se requiere pasar dividiendo, un término que está multiplicando, así
como se pasa restando un término que se está sumando, esto es porque se utiliza la operación inversa para llevar a
cabo los despejes.

En este caso, como la variable está en el exponente, no se puede ni multiplicar, ni dividir o potenciar la ecuación para
extraer la variable. Se requiere aplicar la función inversa de la función exponencial y ésta es la función logarítmica.

A continuación se te presenta el concepto de logaritmo.

Concepto de logaritmo.
El logaritmo base “b” es el inverso de la ecuación exponencial de base “b”.

x  logb N  b x  N si N y b son positivos y b  1 .

Lo cual permite ir de la representación exponencial a la logarítmica y viceversa.

Ejemplo 1.
Convertir la 7 x  16807 a su forma logarítmica.

Observando la ecuación exponencial anterior, se tiene:

b=7
N=16807

Siguiendo la definición se tiene que:

7 x  16807  x  log7 16807

Ejemplo 2.
Convertir la log8 262144  6 a su forma exponencial.

b=8
N=262144
x=6
log8 262144  6  8 6  262144

255
BLOQUE 5

Actividad: 2

Resuelve lo que se solicita.
I. Convierte cada una de las expresiones exponenciales a la forma logarítmica.
1) 23  8

2) 50  1

1
3) 4 3 
64

2
4) 27 3
9

5) 10 4  0.0001

6) 2x  y

II. Escribe las expresiones siguientes en forma exponencial.
1) log10 1  0

2) log10 10  1

1
3) log36 6 
2

1
4) log32 2 
5

1
5) log6  1
6

6) logx y  2

Evaluación
Saberes
Reconoce la trasformación de la Realiza transformaciones de la Muestra interés al realizar la
notación exponencial a la notación exponencial a la notación actividad.
notación logarítmica y viceversa. algebraica.
Autoevaluación
docente

256

Notarás que tu calculadora proporciona únicamente los logaritmos base 10 y base “e”, en el caso del logaritmo base
10, la notación que más se utiliza para nombrarlo es únicamente log y para el logaritmo base “e” se utiliza ln, como se
log10  log
loge  ln

A continuación se proporciona un listado de propiedades que facilitan, en mucho de los casos, la solución de
ecuaciones tanto logarítmicas como exponenciales, las cuales se abordarán al finalizar el bloque. También dentro de
este listado se encuentra el cambio de base, es decir, la forma de calcular el logaritmo de cualquier base.

Propiedades de los logaritmos.
log M
1. logb M 
log b
2. logb MN  logb M  logb N
M
3. logb  logb M  logb N
N
4. logb Mn  n logb M

Actividad: 3

Utiliza la calculadora para encontrar el valor de los siguientes logaritmos.
1) log 4 

2) log 0.001 

3) log10 2.58 

4) loge 1 

5) loge 12 

6) ln 6 

1
7) ln 
3

8) log3 81 

9) log5 625 

10) log1025 4 

Evaluación
Saberes
Selecciona las teclas adecuadas Escoge las teclas adecuadas de la Aprecia la tecnología como
de la calculadora para obtener el calculadora para obtener el valor herramienta de apoyo a su
valor del logaritmo. del logaritmo. aprendizaje.
Autoevaluación
docente

257
BLOQUE 5

Concepto de función logarítmica.
La función logarítmica de base b es la inversa de la función Exponencial de base b, esto es:
y  logb x  b y  x
El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas
realiza sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:
 
logb b x  x

Gráfica de la función logarítmica.
Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base “b”.

I. Cuando b  1 las funciones tienen las siguientes propiedades:
1. Su dominio son los números reales positivos.
2. Rango son los números reales.
3. Son funciones continuas y crecientes en todo su dominio.
4. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1).
5. La recta x=0 es una asíntota vertical.
6. La función es negativa para los valores de “x” menores que 1.
7. La función es positiva para valores de “x” mayores que 1.

Para visualizar todo lo anterior, se grafica en el mismo plano cartesiano algunas funciones logarítmicas base 10,
debido a que es la función que proporciona la calculadora, además de la función base “e”. Posteriormente se
proporcionarán algunas propiedades de los logaritmos, dentro de las cuales existe una que permite calcular el
logaritmo de cualquier base
x f x   log2 x f x   loge x  ln x f x   log10 x  log x
0.2 -2.32192809 -1.60943791 -0.69897
0.5 -1 -0.69314718 -0.30103
0.8 -0.32192809 -0.22314355 -0.09691001
1 0 0 0
2 1 0.693147181 0.30103
3 1.5849625 1.098612289 0.47712125
4 2 1.386294361 0.60205999
5 2.32192809 1.609437912 0.69897
6 2.5849625 1.791759469 0.77815125
7 2.80735492 1.945910149 0.84509804
8 3 2.079441542 0.90308999
9 3.169925 2.197224577 0.95424251
10 3.32192809 2.302585093 1


f (x) f x   log2 x




f x   ln x

x

           f x   log x








258

II. Cuando 0  b  1 las funciones tienen las siguientes propiedades:
8. Su dominio son los números reales positivos.
9. Rango son los números reales.
10. Son funciones continuas y decrecientes en todo su dominio.
11. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1).
12. La recta x=0 es una asíntota vertical.
13. La función es negativa para los valores de “x” mayores que 1.
14. La función es positiva para valores de “x” menores que 1.

A continuación se visualiza tres funciones con 0  b  1 .

x f x   log 110 x f x   log 12 x f x   log2 3 x
0.2 0.69897 2.32192809 3.9693623
0.5 0.30103 1 1.70951129
0.8 0.09691001 0.32192809 0.55033971
1 0 0 0
2 -0.30103 -1 -1.70951129
3 -0.47712125 -1.5849625 -2.70951129
4 -0.60205999 -2 -3.41902258
5 -0.69897 -2.32192809 -3.9693623
6 -0.77815125 -2.5849625 -4.41902258
7 -0.84509804 -2.80735492 -4.79920494
8 -0.90308999 -3 -5.12853387
9 -0.95424251 -3.169925 -5.41902258
10 -1 -3.32192809 -5.67887359

 f (x)





f x   log 110 x

x

            






 f x   log 12 x


f x   log2 3 x

Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función exponencial, se desprenden algunas propiedades.
1. blogb x  x
2. logb b y  y
3. logb 1  0
4. logb b  1

259
BLOQUE 5

Actividad: 4
Grafica las siguientes funciones, determina su dominio y rango.

x f x   ln x  1 f (x)







x

            








x f x   ln x  2  3 f (x)



x

           












x f x   2 log x  3 f (x)








x

               



260


x f x   2 ln ( x  3)
f (x)





x

              






x f x   2 log3 x 
f (x)




x

         








Evaluación
Saberes
Identifica la gráfica de funciones Construye la gráfica de funciones Aprecia la utilidad de la
logarítmicas. logarítmicas. calculadora en la gráfica de
funciones logarítmicas.
Autoevaluación
docente


Ingresa a los siguientes sitios, en ellos encontrarás múltiples
aplicaciones de la función logarítmica.

http://www.educar.org/enlared/planes/paginas/funcioneslogaritmicas.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm
http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica

261
BLOQUE 5

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
A continuación se presenta la solución de algunas ecuaciones tanto logarítmicas y exponenciales. Por comodidad se
utiliza el logaritmo base 10 ó base “e”, los cuales son los que ofrecen directamente las calculadoras.

Ejemplo 1.
Soluciona la ecuación 1024 x  4 .

Hay dos formas de resolverlo, una es transformando la ecuación exponencial a su forma logarítmica utilizando la
definición, y la otra opción es aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación y se utilizan las propiedades de
logaritmos.

Las siguientes tablas presentan las dos formas de solucionar la ecuación.

Utilizando la definición Descripción del proceso
x
1024  4 Ecuación original.

x  log1024 4 Se aplica la definición.

log 4 Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo.
x
log1024 log M
logb M 
log b
x  0.2 Mediante la calculadora se realiza la división.

Utilizando propiedades. Descripción del proceso
x
1024  4 Ecuación original.

log1024 x  log 4 Se aplica el logaritmo base 10 a ambos lados.

x log1024  log 4 Se aplica la propiedad:
logb Mn  n logb M
log 4 Se despeja la variable.
x
log1024
x  0.2 Mediante la calculadora se realiza la división.

Ejemplo 2.
Resolver la ecuación 4 x 1  3 x .

Como notarás, la ecuación tiene en ambos miembros la variable x como exponente, debido a esto, conviene utilizar
las propiedades para que sea más sencilla su solución.

Primero se aplica logaritmo base 10 a ambos lados de la ecuación.

4 x 1  3 x
log 4 x 1  log 3 x

262

Posteriormente, se bajan los exponentes como coeficientes en cada uno de los logaritmos.

x  1log 4  x log 3
A continuación se quita el paréntesis del lado izquierdo de la ecuación.

x log 4  log 4  x log 3

Se pasan las variables de lado derecho y se factoriza por factor común, para poder despejar la variable y encontrar su
valor.

x log 4  x log 3  log 4
x log 4  log 3  log 4
log 4
x
log 4  log 3
x  4.819
Ejemplo 3.
Resolver la ecuación log3x  1  logx   0 .

Como se observa en la ecuación, hay una diferencia de logaritmos y se puede unificar ya que existe una propiedad
para hacerlo, como se muestra a continuación.
log3x  1  logx   0
 3 x  1
log 0
 x 
Ahora se transforma el logaritmo como ecuación exponencial, utilizando la definición (recordando que la base del
logaritmo es 10), como se muestra a continuación.

3x  1
10 0 
x
3x  1
1
x
x  3x  1
x  3 x  1
 2 x  1
1
x
2

Como cualquier ecuación, se puede comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original y corroborando
que se cumple la igualdad.

log3x  1  logx   0
log3 1 2   1  log 1 2   0
log3 2  1  log 1 2   0
log 1 2   log 1 2   0
00

263
BLOQUE 5

Ejemplo 4.
La fórmula P  7e 48 / t representa la producción P de cierta especie de
árboles (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque que cuenta
con “t” años. Encontrar el tiempo que se necesita para tener una producción
de:
a) 1.4 millones cúbicos de árboles.
b) 2 millones cúbicos de árboles.

Para dar respuesta a cada uno de estos incisos se sustituye en la función la
cantidad de árboles que se espera producir, como se muestra a
continuación.

1.4  7e 48 / t
Ahora se despeja la función exponencial.
1.3
 e 48 / t
7
0.2  e 48 / t

Ahora se aplica el logaritmo natural como se muestra a continuación.


ln0.2  ln e 48 / t 
Como el logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial natural, queda:

ln0.2  48 / t
Por último se despeja el tiempo.
48
t
ln0.2 
t  29.82

Tienen que pasar aproximadamente 29.82 años para producir 1.4 millones cúbicos de árboles.

Ahora se sigue el mismo procedimiento para dar respuesta al inciso b).

2  7e 48 / t
2
 e 48 / t
7
0.2857  e 48 / t

ln0.2857   ln e 48 / t 
ln0.2857   48 / t
 48
t
ln0.2857 
t  38 .32

Tienen que pasar aproximadamente 38.32 años para producir 2 millones cúbicos de árboles.

264

Actividad: 5

Resuelve las siguientes ecuaciones.
x
 1
1) 4 x 3    2) 2 x 3  4 x 1  320
2

3) 2 log x  3  log
x
4)

log 16  x 2 2
10 log3x  4

log x 3  log6  2 log x
2 2
1 1
5) 6) 3x  3x  216

Evaluación
Saberes
Selecciona las propiedades Resuelve ecuaciones logarítmicas y Actúa de manera propositiva al
adecuadas de los logaritmos exponenciales. resolver los ejercicios.
para resolver ecuaciones.
Autoevaluación
docente

265
BLOQUE 5

Cierre
Actividad: 6


1. A unos estudiantes de física se les aplicó un examen, posteriormente se les aplicó
exámenes mensuales equivalentes al original, para medir el nivel memorístico que poseen.
La calificación promedio del grupo se obtiene mediante la función:
C(t)  80  17 logt  1 0  t  12
donde C(t) es la calificación promedio que se obtiene a partir del examen aplicado en el tiempo “t”.

a) ¿Cuál fue la calificación promedio en el examen original (t=0)?

b) ¿Cuál fue la calificación promedio después de 6 meses?

2. La relación entre el número de decibeles  y la intensidad del sonido “I” en watts por metro cuadrado está
dado por:
 1 
  10 log
 16 
 10 
a) Simplifica la fórmula mediante las propiedades de los logaritmos.

b) Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad igual a 10 10 watts por metro
cuadrado.

3. La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio
se relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula p  760e 0.145h .
¿A qué altura se tiene una presión de 150 mm de Hg?

266


4. Los químicos usan un número denotado PH para describir cuantitativamente la acidez de
   
ciertas soluciones. Por definición su fórmula es PH   log H  , donde H  , es la
concentración de iones hidrógeno en moles por litro. Calcula el valor del PH de las siguientes
 
soluciones dados sus correspondientes H  :

 
a) Vinagre: H  6.3 x10 3

 
b) Zanahoria: H   1x10 5

5. El número de miligramos en el flujo sanguíneo de cierto medicamento suministrado por vía intramuscular se
modela mediante la función
N  5e 0.4t

Si se considera que al llegar a 2 miligramos se debe administrar nuevamente el medicamento, ¿cuánto
tiempo transcurre entre la aplicación de las inyecciones?

267
BLOQUE 5


0.4 t
6. En un cultivo de bacterias, la función que modela su crecimiento es B = 15,000 e , ¿en
cuánto tiempo la población se duplicará?

12000
7. La ecuación fx   da las ventas totales en x días después del lanzamiento de un nuevo juego
1  499 1.09  x
de video. ¿En cuál día se vendieron 6000 juegos?

Evaluación
Saberes
Identifica la aplicación de las Aplica las funciones logarítmicas en Aprecia la aplicabilidad de las
funciones logarítmicas. situaciones reales. funciones logarítmicas.
Autoevaluación
docente

268

Emplea funciones periódicas.

formales.
comunicación.
comportamiento.

 Construye e interpreta modelos periódicos aplicando las propiedades de las funciones senoidales para
representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos de su vida cotidiana y escolar, que le
permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos senodidales, en el contexto de las
 Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos con información relativa a funciones polinomiales.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro
de distintos equipos de trabajo.

Funciones senoidales.

Inicio 

Actividad: 1

1. ¿Cómo se define el seno de un ángulo agudo?

2. ¿Cómo se define el coseno de un ángulo agudo?

3. Utiliza la calculadora para obtener las siguientes cantidades:
a) sen 50 o 

b) cos 45 o 

c) tan 25 o 

d) sen  

e) cos2 


f) sen 
2


g)  cos 
3

Evaluación
Saberes
Reconoce las definiciones de las Calcula el valor de las funciones Muestra interés al realizar la
funciones seno y coseno. trigonométricas de ángulos actividad y mostrar sus
agudos. conocimientos previos.
Autoevaluación
docente

270
EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS

Desarrollo
En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrón predecible, por ejemplo: el
hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energía eléctrica se eleva en verano y desciende en
invierno; el número de turistas que visitan las playas de México aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el
resto del año; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno.

Así como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones periódicas, las cuales son aquellas que
repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable.

Una función f(x) es periódica si existe un número “p”, tal que, pueda hacer f(x+p)=f(x), para todas las “x”; al número
“p” se le llama periodo.

Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrón regular, éstas son consideradas
funciones periódicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonométricas de seno y coseno,
respectivamente.

La razón trigonométrica seno, es la La razón trigonométrica coseno, es la
comparación por división entre el cateto comparación por división entre el cateto
opuesto y la hipotenusa de uno de los adyacente y la hipotenusa de uno de los
ángulos agudos del triángulo rectángulo. ángulos agudos del triángulo rectángulo.

En la asignatura de Matemáticas 2 se abordó la definición geométrica de función seno y coseno, la cual se construye
con el círculo unitario, como se muestra en las siguientes figuras.

En esta gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del seno del
ángulo A, debido a que la hipotenusa en cada triángulo es de longitud 1.
y
1 sen A

x 0 1

1

1

2

5
 
7

4

3

5

11
 2 A
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6

-1

En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del coseno
del ángulo A, por ello, en la figura el círculo unitario se voltea 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, para
que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los triángulos rectángulos coincida con la altura del valor de
la función, como se muestra en la siguiente figura:
x
1 cos A

1 1 1 2 5 7 4 3 5 11
y 0            2 A
6 3 2 3 6 6 3 2 3 6

-1

271
BLOQUE 6

En esta asignatura se desarrollarán las funciones senoidales, seno y coseno, como relación funcional entre dos
conjuntos pertenecientes a los números reales.

Concepto de las funciones senoidales.
Son las funciones que están formadas por las razones trigonométricas seno o coseno. Las expresadas en su forma
estándar son:
fx   a sen bx  c  d
fx   a cos bx  c  d

Los valores que se sustituyen de “x” son los números reales, y para construir la gráfica de las funciones mediante
tablas de valores, se sustituirán múltiplos y submúltiplos de  , debido a que son los que determinan los cambios
importantes en el comportamiento de las funciones senoidales, como se mostró en la definición geométrica de las
mismas.

Para la obtención de valores de las funciones senoidales de números reales con una calculadora, se requiere usar el
modo radián.

En el bloque 1 se graficó la función seno y se visualizó su forma, utilizando tablas de valores, como se presenta a
continuación.

x f( x )  sen x
 f (x)
2 0

 3
2 1

 x
0
        
 1
2 –1

0 0

1
2 1

 0
3
2 –1 Su dominio y su rango son:
2 Dom :  , 
0
Rango :  1,1

x f( x )  cos x

2 1
 32 0
 −1
 1
2 0

0 1
1
2 0
 −1
3
2 0
2 1 Dom :  , 
Rango :  1,1

272

Características de las funciones seonidales.
Amplitud.
Es la mitad de la diferencia entre los valores máximo y mínimo de la función.

Periodo (P).
Es el intervalo en el cual la función no se repite, o bien, el intervalo que hay entre dos máximos o dos mínimos.

Frecuencia.
Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el número de repeticiones de cualquier fenómeno o suceso
periódico en la unidad de tiempo.

Línea base.
Es la línea horizontal que se encuentra en el punto medio de oscilación, es decir, está en la mitad de la diferencia
entre los valores máximo y mínimo de la función.

f (x)=s en(x)



Amplitud x
Línea base
        





Periodo (P)

El comportamiento que tienen la función seno y coseno, en un periodo, se describe en la siguiente tabla.

Variable x Función seno Función coseno

0<x < Creciente de 0 a 1. Decreciente de 1 a 0.
2
 Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o
x Tiene un máximo en 1.
2 punto de inflexión.

<x< Decreciente de 1 a 0. Decreciente de 0 a −1.
2
Está en 0, el cual es el punto de equilibrio, en
la línea base, también es un punto de
x Tiene un mínimo en −1
inflexión, es decir, donde cambia de
concavidad.
3
< x < Decreciente de 0 a −1. Creciente de −1 a 0.
2
3 Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o
x Tiene un mínimo en −1
2 punto de inflexión.
3
< x < 2 Creciente de −1 a 0. Decreciente de 1 a 0.
2
Está en 0, el cual es el punto de equilibrio o
x  2 Creciente de 0 a 1.
punto de inflexión.

273
BLOQUE 6

Ejemplo 1.
Graficar la función fx   4 senx  en el intervalo de  0, 2 .
Primero se verifica que la calculadora se encuentre en el modo radian, si no puedes cambiar el modo, pregunta a tu
profesor.

Posteriormente se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de  dentro del intervalo solicitado, como se
x f( x )  4 senx 

0 0
1
2 4
 0
3
2 −4
2 0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se traza la función, recordando que es una curva suave.

Si se compara fx   a sen bx  c  d con la función fx   4 senx  , se tiene:

a4
b 1
c0
d0

Con ello, por lo pronto, se puede deducir que “a” proporciona la amplitud de la función, debido a que la separación
entre la línea base y el punto máximo o mínimo de la función es cuatro.

Otra forma de visualizar la amplitud, es obteniendo la mitad de la separación entre el punto máximo y mínimo, la cual
daría 8/2=4.

En cuanto a los parámetros “b” “c” y “d”, se visualizarán en los ejemplos posteriores.

274

Ejemplo 2.
Graficar la función gx  sen3x  en el intervalo de  0, 2 .
Se completa la tabla utilizando múltiplos y submúltiplos de  dentro del intervalo solicitado, sólo que en esta ocasión,
se deben tomar más valores, debido a que el argumento de la función se multiplicó por 3, así que se tomarán los
siguiente valores.
x g( x)  sen3x 

0 0
1
6 1
2 1
6 3 0
3 1
6 2 −1
4 2
6 3 0
5
6 1
6
6 0
7
6 −1
8 4
6 3 0
9 3
6 2 1
10 5
6 3 0
11
6 −1
12
6   2 0

Se ubican los puntos en el plano cartesiano y se tiene la siguiente gráfica.

g (x)




x

   




Se observa en la gráfica que se presentan tres periodos dentro del intervalo de  0, 2 , el cual es el periodo de la
función seno original, por lo tanto, si se compara fx   a sen bx  c  d con la función gx   sen3x  , se tiene:
a 1
b3
c0
d0

275
BLOQUE 6

Con lo anterior, se concluye que “b” proporciona la frecuencia de la función la cual es 3, esto es, la función se repite
tres veces en el periodo original de longitud 2 . Para obtener el periodo de esta función, se divide el periodo original
entre la frecuencia, como sigue:
2
P
3
En la gráfica se visualiza como sigue:

2
P
3

Actividad: 2
I. Coloca en el paréntesis la letra de la gráfica que corresponde a cada una de las funciones.
( ) fx   sen2x  ( ) fx   cos2x  ( ) fx   sen 12 x  ( ) fx   2senx 
( ) fx   4 cosx  ( ) fx   4sen2x  ( ) fx   cos4x  ( ) fx    cosx 

A. B.
 f (x)  f (x)
 

 

 
x
x
    
    







C. D.
 f (x)  f (x)
 
 

x 
x
    
    








276

E. F.
 f (x)  f (x)

 




 x
x
    
    







G. H.
 f (x) f (x)



 

 
x
x
    
          



 

 

II. Encuentra el periodo de cada una de las funciones anteriores.

1) fx   sen2x  P=________________

2) fx   cos2x  P=________________

3) fx   sen 12 x  P=________________

4) fx   2senx  P=________________

5) fx   4 cosx  P=________________

6) fx   4sen2x  P=________________

7) fx   cos4x  P=________________

8) fx    cosx  P=________________

Evaluación
Actividad: 2 Producto: Reactivos de relación. Puntaje:
Saberes
Identifica la amplitud, frecuencia Obtiene el periodo y distingue la Expresa sus dudas y corrige sus
y periodo de funciones amplitud y frecuencia de funciones errores.
senoidales. senoidales.
Autoevaluación
docente

277
BLOQUE 6

Actividad: 3
En equipo, investiga cómo está relacionada la frecuencia de onda de los aparatos,
antenas, luz solar, entre otros con la salud del ser humano, escribe tu investigación en
una cuartilla, coméntala en el grupo y escribe la conclusión grupal en el siguiente
espacio.

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Conclusión grupal Puntaje:
Saberes
Indaga sobre las repercusiones Sintentiza la información recabada Escucha con interés a sus
que tienen la frecuencia de onda sobre las repercusiones que tiene compañeros y comparte los
en la salud de los individuos. la frecuencia de onda en la salud resultados de su investigación.
del individuo.
Coevaluación
docente

278

Ejemplo 3.


Graficar la función tx   cos x   en el intervalo de  12 , 5 2  .
 2
Al observar la función, se tiene que:
a 1
b 1

c
2
d0
Como la frecuencia la determina el parámetro “b” y éste es 1, entonces se puede completar la tabla con los valores

usuales en el intervalo de 12 , 5 2  
 
x hx   cos x  
 2
1
2 1
 0
3
2 −1
2 0
5
2 1

Al ubicar los puntos en el plano cartesiano y trazar la curva de forma suave, se obtiene:

t (x)




x

    





 
fx   cosx  hx   cos x  
 2

Ahora, comparando esta gráfica con la función coseno original, se observa cómo existe un desplazamiento a la

derecha de unidades.
2

279
BLOQUE 6


Otro aspecto que se puede concluir de este ejemplo es que al desplazarse la función coseno unidades a la
2
derecha, coincide en todos sus puntos con la función seno original, como se muestra en las siguientes gráficas:

 f (x)


x

    





 t (x)


x

    





Así observamos una de las principales razones de por qué a las funciones seno y coseno se les denomina senoidales,
porque el coseno puede ser transformada en coseno, aplicándosele el desplazamiento correspondiente.

 
senx   cos x  
 2

Ejemplo 4.
Graficar la función hx   cosx   2 .
Como el argumento de la función coseno no ha sido modificado, los valores a sustituir son los mismos que los de la
función coseno original, como se muestra a continuación.

x hx   cosx   2

0 1
1
2 −2
 −3
3
2 −2
2 −1

Ubicando los puntos en el plano cartesiano se obtiene la siguiente gráfica:

280

h(x)


x

    







Si se grafican la función original fx   cosx  y hx   cosx   2 en el mismo plano cartesiano, se observa un
desplazamiento de la línea base, dos unidades hacia abajo.

Los parámetros que se tienen en la función hx   cosx   2 , son:

a 1
b 1
c0
d  2

Por lo tanto, el parámetro “d” desplaza a la función hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de su signo.


Ingresa a los siguientes sitios, para que refuerces tus
conocimientos de funciones senoidales.

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_
trigonometricas_vcc/seno_construccion.htm
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Olaondo/pag2.htm

281
BLOQUE 6

Cierre
Actividad: 4

Completa la tabla describiendo cómo cambia la gráfica de cada una de las funciones
dadas, en comparación con la gráfica de la función f(x)=cos(x) de acuerdo a los
parámetros que éstas poseen.

Función a b c d

J( x )  3 cos2x   1

G( x )  cosx  4  2

t( x)  2 cosx  3

1
h( x )  cosx    5
3

1 
V( x )  cos x   1
2 

U( x )  cos 2x  3  4

M( x)  5 cos2x  8  3

Evaluación
tabla.
Saberes
Indica los cambios que sufre Describe cómo influyen los Realiza la actividad con
una función senoidal, de parámetros en las gráficas de las entusiasmo y expresa sus dudas.
acuerdo a sus parámetros. funciones senoidales.
Autoevaluación
docente

282

Graficación paramétrica de funciones senoidales.
Inicio 

Actividad: 1


I. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la descripción de cada una de las
funciones dadas.

Función Descripción
( ) f( x)  4 cos3x  2 A. La amplitud es 2, su periodo es 2 y se desplaza 3
unidades a la derecha.

( ) f( x)  3 cos2x  4 B. La amplitud es 3, su periodo es  y se desplaza 2

( ) f( x)  2 cosx  3 2
C. La amplitud es 2, su periodo es y se desplaza 4
3

( ) f( x)  2 cos4x  3 2
D. La amplitud es 4, su periodo es y se desplaza
3
2
3

( ) f( x )  2 cos 3x  4  3
E. La amplitud es 2, su periodo es y se desplaza
2 4

II. Escribe en la línea la palabra “derecha” o “izquierda”, para que el enunciado resulte válido.


1. Si la gráfica de y  cosx  se traslada unidades horizontalmente a la _____________________, ésta
2
coincidirá con la gráfica de la función y  sen x  .


2. Si la gráfica de y  sen x  se traslada unidades horizontalmente a la _____________________, ésta
2
coincidirá con la gráfica de la función y  cosx  .

Evaluación
Producto: Reactivos de relacionar y
completar.
Saberes
Reconoce las características de Escoge la amplitud, periodo y Se interesa por recuperar sus
las funciones senoidales. desplazamiento de las funciones conocimientos previos.
senoidales.
Autoevaluación
docente

283
BLOQUE 6

Desarrollo
Graficación mediante parámetros.
En esta secuencia aprenderás a bosquejar las gráficas de las funciones senoidales, utilizando únicamente el análisis
de sus parámetros, para ello, se utilizarán las funciones fx   senx  y fx   cosx  como base.

A continuación se mostrará un análisis de las gráficas de las funciones base, para obtener una metodología para el
trazado de otras funciones senoidales.

La gráfica de la función fx   senx  es:

 f (x)




x

        






El periodo de la función es 2 , por lo tanto, la función corta al eje X en los extremos del intervalo  0, 2 y en el punto
medio del mismo, como se ve en la gráfica, por lo tanto se ubican los puntos 0, 0 , , 0 y 2, 0 .
 f (x)




x

        






Posteriormente, se ubican los puntos máximo y mínimo en el primer y tercer cuarto del periodo, a la altura de 1 y −1,
 
respectivamente, debido a que la amplitud es 1 (a=1), obteniéndose con ello, su máximo en  ,1 y su mínimo en
2 
 3 
 , 1 .
 2 
 f (x)




x

        






Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave.

284

 f (x)




x

        






Se sabe que el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto, la curva anterior se repite
infinitamente tanto a la derecha como a la izquierda, de la manera siguiente:

 f (x)




x

        






Ahora se analizará la función fx   cosx  , la cual tiene la siguiente gráfica:

 f (x)




x

        






El periodo de la función es 2 , pero en esta ocasión, inicia a la altura de 1, es decir que en los extremos del intervalo
 0, 2 la función vale 1, y en el punto medio del intervalo su valor es −1, por lo tanto, los máximos de la función en
este periodo se ubican en los puntos 0, 1 y 2, 1 . Su punto mínimo se encuentra en ,  1 .

En el primer y tercer cuarto del periodo la función corta al eje X, por lo tanto, las intersecciones se ubican en los
    3 
puntos  , 0  y  , 0  .
2   2 

Se ubican los puntos mencionados en el plano cartesiano, como se muestra a continuación.

285
BLOQUE 6

 f (x)




x

        






Ubicados estos puntos, se puede trazar el primer periodo, de forma suave.

 f (x)




x

        






Cuando se repite el periodo a lo largo de los números reales se obtiene la función.

 f (x)




x

        






Ahora, se mostrarán varios ejemplos en los que se variarán los parámetros y utilizando las funciones bases, se
bosquejarán las gráficas correspondientes.

Ejemplo 1.
Graficar la función gx   2 cosx    4 .
Los parámetros son:

a  2 , por lo tanto, su amplitud es 2.
b  1 , esto significa que la frecuencia es 1, por lo tanto, su periodo es:
2 2 
P   2 .
b 1
c   , desplaza a la función,  unidades a la derecha.
d  4 , desplaza a línea base, 4 unidades hacia abajo.

286

Si se traza la función base fx   cosx  y se toman en cuenta los parámetros de la función g(x), se puede bosquejar
su gráfica, como se muestra a continuación.

Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la
gráfica completa.
g (x)



x

         














Ejemplo 2.
Graficar la función hx   sen2x  6  1 .
Primero se factoriza la función en el argumento, para visualizar sin problemas el parámetro c.

hx   sen2x  6  1
hx   sen2x  3  1
Los parámetros son:
a  1 , por lo tanto, su amplitud es 1.
b  2 , esto significa que la frecuencia es 2, por lo tanto, su periodo es:
2  2
P  
b 2
c  3 , desplaza a la función, 3 unidades a la izquierda.
d  1 , desplaza a línea base, 1 unidad hacia arriba.

287
BLOQUE 6

Si se traza la función base fx   senx  y se toman en cuenta los parámetros de la función h(x), se puede bosquejar
su gráfica, como se muestra a continuación.
h(x)





x

         






Se repite infinitamente este periodo a lo largo de los números reales, los cuales son su dominio, obteniéndose así la
gráfica completa.
h(x)





x

         






Las aplicaciones más usuales son las utilizadas en Física sobre la velocidad y frecuencia de onda de emisión solar,
electromagnéticas y de sonido, entre otras.

La siguiente imagen muestra la forma en que se transforma la energía solar en energía eléctrica continua.

288

A continuación se presenta un ejemplo del movimiento ondulatorio, de los más utilizados en Física.

Ejemplo 1.
Un pescador observa que el corcho de la caña realiza 40 oscilaciones por minuto, debidas a unas olas cuyas crestas
están separadas 60 cm. ¿Con qué velocidad se propaga la onda?

La velocidad con la que se propaga una onda está dada mediante la siguiente fórmula:

v  f
Donde:

 es la longitud de onda, esto es, la separación que hay entre dos máximos o dos mínimos consecutivos.
f es la frecuencia de onda.

De acuerdo a los datos que proporciona al problema, se obtiene que:
  60 cm  0.6 m
1
f  40
min

Por lo tanto, la velocidad es de:
v  f
 1 
v  0.6 m 40 
 min 
m m
v  24  0.4
min s

Aplicaciones como la anterior se abordan en la asignatura de Física y con mayor profundidad a niveles superiores.
Ahora se planteará un problema del análisis de gráficas.

Ejemplo 2.
Los científicos consideran que la temperatura anual en ciertos lugares es periódica. La temperatura promedio en una
región geográfica determinada y en una estación dada, fluctúa con el tiempo: de frío pasa a cálido y, posteriormente,
regresa al frío. La gráfica muestra una descripción idealizada de la temperatura en grados Celsius para los últimos
miles de años, en un lugar a la misma latitud de Anchorage, Alaska.
Temperatura (oC)

Años

a) Determinar las temperaturas más alta y baja.
b) Encontrar la amplitud.
c) Determinar el periodo de la función.

289
BLOQUE 6

Para resolver los incisos es necesario observar la gráfica, por ejemplo, para el inciso a) solicita las temperaturas más
alta y más baja, por lo que se requiere conocer el máximo y mínimo de la función. La temperatura más alta es de 27ºC
y la más baja es de 9ºC.

La amplitud es la distancia de la línea base, que se encuentra a 18ºC, al máximo o mínimo de la función, la cual es de
9ºC.

Para determinar el periodo se ubican dos máximos o dos mínimos y se proporciona la distancia entre ellos; en esta
ocasión, se aproximará el dato debido a la información que proporciona la gráfica, la cual resulta aproximadamente
40,000 años.

Actividad: 2

Encuentra la amplitud, la frecuencia y el periodo de las siguientes funciones.

1) kx   2senx   a=_____________ b=_____________ T=_____________

2  
2) Rx   sen x   a=_____________ b=_____________ T=_____________
3  2

 x 
3) Lx   4 cos   a=_____________ b=_____________ T=_____________
2 2

 1
4) Mx   3 cos  x   a=_____________ b=_____________ T=_____________
 2

5) Ex   2senx   a=_____________ b=_____________ T=_____________

 
6) Sx   cos x   a=_____________ b=_____________ T=_____________
 2

7) Cx   2sen2x   a=_____________ b=_____________ T=_____________

3  
8) Px   cos 2 x   a=_____________ b=_____________ T=_____________
2  4

Evaluación
Saberes
Reconoce los parámetros de las Extrae los parámetros de las Muestra disponibilidad al hacer la
funciones senoidales. funciones senoidales. actividad.
Autoevaluación
docente

290

Actividad: 3

Grafica las funciones en los periodos indicados.
1) kx   2senx   en dos periodos.

 k (x)




x

        






2  
2) Rx   sen x   en dos periodos.
3  2

R(x)



x

        




 x 
3) Lx   4 cos   en un periodo.
2 2

L(x)







x

        








291
BLOQUE 6

4) Ex   2sen4x   en cuatro periodos.

E(x)




x

     





 
5) Sx   cos x    3 en un periodo.
 2
 S(x)
x

      









6) Cx   2sen2x    1 en tres periodos.
C (x)





x

      





Evaluación
Saberes
Identifica los parámetros de las Grafica funciones senoidales Aprecia la facilidad de utilizar
funciones senoidales. mediante sus parámetros. parámetros en la graficaión de
funciones senoidales.
Autoevaluación
docente


292

Cierre
Actividad: 4


1. La temperatura en grados Fahrenheit en una región determinada, se predice mediante la
función:

 2
Tx   37sen x  101  25

 365 
Donde T(x) es la temperatura en un día “x” de los 365 del año. Utiliza una calculadora para que calcules la
temperatura de las siguientes fechas.
a) 1 de marzo.

b) 1 de abril.

c) 19 de junio.

d) 18 de septiembre.

2. La temperatura alta normal en San Luis Missouri, varía desde 37ºC para el 15 de enero hasta 89ºC para el
15 de julio. La temperatura alta normal sigue aproximadamente una curva senoidal.
a) Determina los valores de a, b y c, tales que
Tt   a sen bt  c
Donde “t”, expresada en meses desde el 1 de enero, es un modelo razonable para la temperatura alta
normal.

b) Utiliza este modelo para aproximar la temperatura alta normal para el 15 de mayo.

293
BLOQUE 6


3. Muchas de las actividades de los organismos vivos son periódicas. La gráfica siguiente
ejemplifica la hora en la que cierto animal comienza su actividad nocturna.

Actividad de un animal nocturno

8:00
7:30
7:00
Horas p.m.
Horas (p.m.)

6:30
6:00
5:30 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
5:00
4:30
4:00
Meses

a) Determina la amplitud de esta gráfica.

b) Determina su periodo.

Evaluación
Saberes
Reconoce las características de Aplica las funciones senoidales Aprecia la aplicabilidad de las
las funciones senoidales en para resolver problemas aplicados. funciones senoidales.
problemas aplicados.
Autoevaluación
docente

294

Anexo A
Desigualdades

Si en una recta numérica se localizan los números –3, 0 y 5, y se marcan con puntos, se obtiene el siguiente
diagrama:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Intuitivamente, se puede observar que hay un orden entre los números, como se muestra a continuación:

1) –3 se encuentra a la izquierda de 0 y de 5.
2) 0 se encuentra a la derecha de –3 y a la izquierda de 5.
3) 5 está a la derecha de –3 y de 0.

Estas posiciones de los números se pueden representar de la siguiente manera: un número es mayor que otro si se
encuentra a su derecha y viceversa, un número es menor que otro si se encuentra a la izquierda.

Para representar matemáticamente lo anterior, se utilizan los símbolos “<” y “>”, a continuación se muestra cómo se
indica el orden entre los números –3, 0 y 5:

Desigualdad: Se lee:
–3<0 “–3 es menor que 0” o “0 es mayor que –3”
5>–3 “5 es mayor que –3” o “–3 es menor que 5”
0<5 “0 es menor que 5” o “5 es mayor que cero”
Esto quiere decir que la desigualdad a<b se lee en los dos sentidos:

“a es menor que b” o “b es mayor que a”
Intervalos.
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos números dados “a” y “b”, los cuales
se llaman extremos del intervalo.

Las diferentes formas de los intervalos se muestran a continuación.
Nombre intervalo Desigualdad Significa Gráfica

Intervalo El número “x” es mayor que
a,b a < x <b
abierto “a” y menor que “b”. a b

El número “x” es mayor e igual
Intervalo
cerrado
a,b a  x b que “a” y menor e igual que
“b”. a b

Intervalo
semiabierto a,b El número “x” es mayor que
a<x  b
por la “a” y menor e igual que “b”. a b
izquierda
Intervalo
semiabierto a,b El número “x” es mayor e igual
a  x <b
por la que “a” y menor que “b”. a b
derecha

Cuando se quiere nombrar un conjunto de puntos formados por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo 
(unión) entre ellos.

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