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Concepto de función Análisis de funciones I II III IV Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3 Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva Elementos característicos de una función TEMARIO

ANTERIOR FUNCIÓN Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada. Conjunto de partida: Dominio Conjunto de llegada: Codominio

Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos:

A B C D E 1 2 3 4 5 7 Dominio (x) Codominio (y) Imagen Dominio (x) Dominio (x) Codominio (y) Dominio (x) El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x). El Codominio son los valores que puede tomar la variable dependiente (y). La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este. Imagen

a. b. c. m n p q f función A B f A = Dom f Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R 1 = {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1} I R 1 = {(0,1),(1,2),(2,3)} A B 0 . 3 . 2 Para cada elemento x Є A, excepto 3, existe un solo elemento y Є B tal que el par ( x,y ) Є R 1 Para el elemento 3 Є A, no existe imagen Є B tal que el par ( 3,y ) Є R 1 -1 2 3 0 1 1 . Por lo tanto podemos afirmar que NO ES FUNCIÓN , ya que no cumple con la condición de existencia.

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R 2 = {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y 2 = x 2 } II R 2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)} B A 0 1 -1 2 3 Para cada elemento x Є A , excepto 1, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R 2 Para el elemento 1 Є A , existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R 2 y (1,-1) Є R 2 . 0 . 1 . 2 . 3 . Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES FUNCIÓN , ya que no cumple la condición de unicidad para un elemento del dominio.

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R 3 = {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x} A III R 3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)} B Para todo elemento x Є A , en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R 3. 0 1 2 3 -1 0. 1. 2. 3. Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN .

Sean los conjuntos A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3} y las siguientes relaciones definidas de A en B R 4 = {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3} IV R 4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)} A B Para todo elemento x Є A , sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R 4. 3 0 1 -1 2 0. 1. 2. 3. Podemos afirmar que es FUNCION , ya que cumple con las condiciones de unicidad y existencia.

1 2 3 a b Reconocimiento de funciones 1 A B Es función? En diagrama ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

INCORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 1 es función

1 2 a b c Reconocimiento de funciones 2 C D SI NO Es función? En diagrama CONTINUAR ANTERIOR

INCORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D.

CORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le corresponden dos elementos de D.

1 2 3 a b Reconocimiento de funciones 3 E F Es función? En diagrama ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

CORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.

1 2 3 a b c d Reconocimiento de funciones 4 G H Es función? En diagrama ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO ANTERIOR La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.

1 2 3 a b Reconocimiento de funciones 5 I J Es función? En diagrama ANTERIOR CONTINUAR SI NO

1 2 3 4 a b c d Reconocimiento de funciones 6 K L Es función? En diagrama ANTERIOR CONTINUAR SI NO

En tabla de valores 1 x y -3 4 0 4 -6 8 0 0 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO ANTERIOR La relación 1 no es función porque 4 tiene dos imágenes.

CORRECTO ANTERIOR La relación 1 no es función porque 4 está relacionado dos veces.

En tabla de valores 2 x y -3 4 0 8 8 8 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO ANTERIOR La relación 2 es función.

INCORRECTO ANTERIOR La relación 2 es función.

En tabla de valores 3 x y -3 4 0 6 0 8 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO ANTERIOR La relación 3 es función.

INCORRECTO ANTERIOR La relación 3 es función.

En tabla de valores 4 x y -3 4 0 0 -6 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

INCORRECTO ANTERIOR La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen.

CORRECTO ANTERIOR La relación 4 no es función porque 0 no tiene imagen.

En gráfico cartesiano y x p n m O a b c 1 Es función? ANTERIOR CONTINUAR SI NO

CORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 1 es función.

INCORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 1 es función.

INCORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 2 no es función porque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.)

CORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 2 no es función porque c no tiene imagen.

CORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 3 es función.

INCORRECTO ANTERIOR La relación del gráfico 3 es función.

Clasificación de las funciones Ejemplo: Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A -> B / f(x) = x 2 tenemos: A B 0. -1. 1. 2. 0 1 4 f ANTERIOR CONTINUAR Función sobreyectiva o suryectiva Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y perteneciente a B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y. Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir, todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.

R R Dominio Codominio y x En otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo contrario. Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img ES SOBREYECTIVA

Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A -> B / f(x) = 2x + 1 tenemos: A B f 0. 1. 2. 3. 1. 3. 5. 7. 9. ANTERIOR Función inyectiva

Ejemplo: Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A -> B / f(x) = x +1 tenemos: A B 0. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. Observamos que en este caso la relación es uno a uno. ANTERIOR Función biyectiva Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva e inyectiva.

Y X Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad. Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo tanto es FUNCION.

y x Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales para ver si cumple con las condiciones: Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la condición de existencia

Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido como 5 Observar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese valor. y x Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay imagen, lo que nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple la condición de existencia

Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo ) 5 y x Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico corresponde a una función.

Elementos característicos de una gráfica Veremos ahora como reconocer algunas características de las graficas: Dominio: recorrido de la función sobre el eje x Imagen: recorrido de la función sobre el eje y Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor, pueden ser relativos o absolutos Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor, pueden ser relativos o absolutos Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función toma valores positivos Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función toma valores negativos

Y X -8 5 Dom: [-8;5] Img: [-5;6] -5 6 Punto mínimo relativo (3;-4) Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1) Raíces:{-6;-2;2;4} -6 -2 2 3 4 -4 1 4 -4 1 Pto. Máximo absoluto: (5;6) Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5) Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4) Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5] Intersección con el eje y: (0;3)

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