Final grupo markov

MODELO DE MARKOV
1. ¿QUÉ ES?
Se conoce como modelo de Markov o cadena
de Markov a un tipo especial de proceso
estocástico discreto en el que la probabilidad
de que ocurra un evento depende del evento
inmediatamente anterior. Podemos decir que
esta técnica posee numerosas aplicaciones en
los negocios, entre ellas el análisis de
participación de mercados, pronósticos de
deudas incobrables o también para determinar
si una máquina se descompondrá en el futuro.
1.1. Nomenclatura
 푷풊풋 es la posibilidad de que el sistema
pase al estado j después de cualquier
ensayo en donde su estado era i antes
del ensayo.
 푷풊풋 se denomina posibilidades de
transición de una matriz.

 푷 = (푷풊풋) se conoce por matriz de
transición del sistema
1.2. Suposiciones Del Modelo De Markov
Las suposiciones del Modelo del Markov son
las siguientes:
a) La suma de las filas de la matriz d3e
transición puede ser igual a uno y su
forma general está presentado por:
Σ푝푖푛 = 1
b) Cada elemento de la matriz de transición
debe ser no negativo y su forma general
está presentado por:
푃푖푗 ≥ 0
Según Render las suposiciones del Modelo del
Markov son las siguientes:

a) Existe un número limitado o finito de
estados posibles.
b) La probabilidad de que los estados
cambien permanece igual a lo largo del
tiempo.
c) Se puede predecir cualquier estado
futuro a partir del estado anterior y de la
matriz de probabilidades se transición.
d) El tamaño y constitución del sistema
(por ejemplo, el número total de
fabricantes y clientes) no cambian
durante el análisis. (Render, 2006)
El modelo de Markov tiene la propiedad de que
las probabilidades que describen las formas en
que el proceso evolucionara en el futuro
dependen solo del estado actual en que se
encuentra el proceso y, por lo tanto, son
independientes de los eventos que ocurrieron
en el pasado. Muchos procesos se ajustan a
esta descripción, por lo que las cadenas de

Markov constituyen una clase de modelo
probabilístico de gran importancia.
Un proceso estocástico se define como una
colección indexada de variables aleatorias {퐗퐭},
donde el índice t toma valores de un conjunto
T dado. Con frecuencia T se considera el
conjunto de enteros no negativos mientras que
퐗퐭 representa una característica de interés
cuantificable en el tiempo t.
Por ejemplo, 퐗퐭 puede representar los niveles
de inventario al final de la semana t.
Los procesos estocásticos son de interés para
describir el comportamiento de un sistema en
operación durante algunos periodos.
2. ¿PARA QUÉ SE UTILIZA?
Una de las principales utilidades que tiene el
modelo de Markov es establecer las
posibilidades de cualquier evento futuro
conociendo los eventos pasados. Esto puede

y afecta las decisiones que podríamos tomar
basándonos en la incertidumbre que provocan
poseer varios eventos futuros y todos tienen su
grado de probabilidad de que sucedan.
Otro de los factores que altera la toma de
decisiones es cuando estos posibles eventos
futuros se ven alterados con el paso del tiempo,
para evitar este acontecimiento existe este
modelo el cual tiene la propiedad particular de
que las probabilidades que describen la forma
en que el proceso evolucionara en el futuro solo
dependerán del estado actual en que se
encuentra el proceso y por lo tanto son
independientes de los eventos ocurridos en el
pasado.
Esta dependencia del evento anterior distingue
a las cadenas de Márkov de las series de
eventos independientes, como tirar una
moneda al aire o un dado. En los negocios, las
cadenas de Márkov se utilizan para analizar los
patrones de compra de los deudores morosos,

para planear las necesidades del personal y
para analizar el reemplazo de equipo.
3. ¿QUÉ TIPO ES?
El Modelo de Markov es un tipo de modelo
probabilístico que se usa para predecir la
evolución y el comportamiento a corto y a largo
plazo de determinados sistemas.
4. CADENAS DE MARKOV
Las cadenas de Markov son unas herramientas
para analizar el comportamiento y el gobierno
de determinados tipos de procesos
estocásticos, esto es, procesos que
evolucionan de forma no determinística a lo
largo del tiempo en torno a un conjunto de
estados.
Una cadena de Markov, por lo tanto, representa
un sistema de cambiar su estado a lo largo del
tiempo, siendo cada cambio una transición del
sistema. Dichos cambios no están

predeterminados, aunque sí lo está la
probabilidad del próximo estado en función de
los estados anteriores, probabilidad que es
constante a lo largo del tiempo (sistema
homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en
una transición, el nuevo estado puede ser el
mismo que el anterior y es posible que exista la
posibilidad de influir en las probabilidades de
transición actuando adecuadamente sobre el
sistema (decisión).
4.1. Matriz de Transición
Al trabajar con cadenas de Markov, a menudo
es útil pensar la sucesión de ensayos como
experimentos efectuados en cierto sistema
físico, cada resultado dejando a este sistema
en cierto estado.
q q q
00 01 02
q q q
...


...






10 11 12
...
4.2. Diagrama de transición
 ij i j S q
q q q
Q


 

 


,
20 21 22
... ... ... ...

El diagrama de transición de estados (DTE) de
una cadena de Markov es un grafo dirigido
cuyos nodos son los estados de la cadena de
Markov y cuyos arcos se etiquetan con la
probabilidad de transición entre los estados
que unen. Si dicha probabilidad es nula, no se
pone arco.
풒풊풋
i j
4.3. Propiedades:
a) La suma de las probabilidades de los
estados debe ser igual a 1.
b) La matriz de transición debe ser
cuadrada.
c) Las probabilidades de transición deben
estar entre 0 y 1
4.4. Clasificación de Estados en una
Cadena de Markov

Es evidente que las probabilidades de
transición asociadas a los estados juegan un
papel importante en el estudio de las cadenas
de Markov. Para describir con más detalle las
propiedades de una cadena de Markov es
necesario presentar algunos conceptos y
definiciones que se refieren a estos estados.
En general:
a) Cualquier estado se comunica consigo
mismo porque
p = P {X0 = X0 =i } =1
b) Si el estado i se comunica con el estado
j, entonces el estado j se comunica con
el estado i.
c) Si el estado i se comunica con el estado
j y el estado j se comunica con el estado
k, entonces el estado i se comunica con
el estado k.
Un conjunto de estados S en una cadena de
Markov cerrado (constituyen una clase de la

cadena) sin ningún estado fuera de S es
alcanzable desde un estado en S.
 Un estado i es absorbente si pii=1
 Un estado i es transitorio si hay un
estado j alcanzable desde i, pero el
estado i no es alcanzable desde j.
 Un estado es recurrente si no es
transitorio.
 Un estado i es periódico con periodo
k>1 si k es el menor número tal que
todas las trayectorias que parten del
estado i y regresan al estado i tienen
una longitud múltiplo de k.
 Si un estado recurrente no es periódico
es aperiódico.
 Si todos los estados de una cadena son
recurrentes, aperiódicos y se comunican
entre sí, la cadena es ergódica.
4.4.1. Cadenas Irreducibles

Una cadena de Markov se dice irreducible si se
cumple cualquiera de las siguientes
condiciones (equivalentes entre sí):
a) Desde cualquier estado de E se puede
acceder a cualquier otro.
b) Todos los estados se comunican entre
sí.
c) C(x)=E para algún X∈E.
d) C(x)=E para todo X∈E.
e) El único conjunto cerrado es el total
4.4.2. Cadenas Positivo-Recurrentes
Una cadena de Markov se dice positivo-recurrente
si todos sus estados son positivo-recurrentes.
Si la cadena es además irreducible es posible
demostrar que existe un único vector de
probabilidad invariante y está dado por:
πx= 1/μx

4.4.3. Cadenas Regulares
Una cadena de Markov se
dice regular (también primitiva o ergódica) si
existe alguna potencia positiva de la matriz de
transición cuyas entradas sean todas
estrictamente mayores que cero.
Cuando el espacio de estados E es finito,
si P denota la matriz de transición de la cadena
se tiene que:
lim
n→∞
Pn = W
Dónde:
 W = Una matriz con todos sus renglones
iguales a un mismo vector de
probabilidad w, que resulta ser el vector
de probabilidad invariante de la cadena.
En el caso de cadenas regulares, éste
vector invariante es único.

4.4.4. Cadena de Markov de Tiempo
Continuo
Esta suposición es adecuada para muchos
problemas, pero existen ciertos casos (como
en algunos modelos de líneas de espera) en
los que se requiere un parámetro ( llamado “t”)
de tiempo continuo, debido a que la evolución
del proceso se observa de manera continua a
través del tiempo.
4.5. Propiedades a Largo Plazo de las
Cadenas de Markov
4.5.1. Probabilidades de estado
estable
Las π se llaman probabilidades de estado
estable de la cadena de Markov. El término
probabilidad de estado estable significa que la
probabilidad de encontrar el proceso en cierto
estado, digamos j, después de un número
grande de transiciones tiende al valor j, y es
independiente de la distribución de

probabilidad inicial definida para los estados.
Es importante observar que la probabilidad de
estado estable no significa que el proceso se
establezca en un estado. Por el contrario, el
proceso continúa haciendo transiciones de un
estado a otro y en cualquier paso n la
probabilidad de transición del estado i al estado
j es todavía Pij.
4.5.2. Interpretación intuitiva de las
probabilidades de estado
estable.
Pj(1 − Pjj) = Σ πKPKj
 La probabilidad de que una transición
determinada deje el estado j es igual a
la probabilidad de que una transición
determinada entre al estado j.
determinada deje el estado

j = pj(1 − pjj)
determinada entre al estado
j = ΣπKPKj
 En el estado estable el flujo de
probabilidad hacia cada estado debe ser
igual al flujo de probabilidad que sale de
cada estado es decir son las
probabilidades de equilibrio.
4.5.3. Tiempos de Primera Pasada
Con frecuencia es conveniente poder hacer
afirmaciones en términos de probabilidades
sobre el número de transiciones que hace el
proceso de ir al estado i al estado j por primera
vez. Este lapso se llama tiempo de primera
pasada.
Cuando j=i, este tiempo de primera pasada es
justo el número de transiciones hasta que el

proceso regrese al estado inicial i. En este caso
el tiempo de primera pasada se llama tiempo
de recurrencia para el estado i.
4.5.4. Estados Absorbentes
El estado k se llama estado absorbente si
퐩퐤퐤 = ퟏ, de manera que una vez la cadena
llega al estado de k permanece ahí para
siempre.
Si k es un estado absorbente y el comienzo en
el estado i, la probabilidad de llegar en algún
momento a k se llama probabilidad de
absorción al estado k, dado que el sistema
comenzó en el estado i.
Esta probabilidad se denota por 퐟퐣퐤.
Si se tienen dos o más estados absorbentes en
una cadena de Markov y es evidente que el
proceso será absorbido en uno de estos
estados, es deseable encontrar estas
probabilidades de absorción. Dichas

probabilidades pueden obtenerse con solo
resolver un sistema de ecuaciones lineales que
considera todas las posibilidades para la
primera transición y después dada la primera
transición, considera la probabilidad
condicional de absorción al estado k.
5. TEOREMAS DE MARKOV
Teorema 1.- Si T es una matriz de
probabilidades regular, entonces hay un único
vector de probabilidades t tal que tT = t.
Además, para cualquier vector de
probabilidades p, el vector de probabilidades
pT^n se acerca más a t al crecer n. El vector fijo
t se llama la distribución estacionaria de la
cadena de Markov cuya matriz de transición es
T. Además, al ir creciendo n, cada renglón de
T^n tiende al vector fijo t.
Teorema 2.- (Ecuaciones de Chapman-
Kolmogorov)

Muestra la relación que existe entre el
desarrollo a “largo plazo” y el desarrollo a
“corto plazo”, y veremos como Xn depende de
la variable inicial X0.
pij(m + n) = Σpij(m)pij(n)
k∈S
Siendo μi =
1
πi
≡ frecuencia que tarda en ser
visitado el estado i.
Donde πi ≡ probabilidad estacionaria de estar
en el estado i.
Teorema 3.- Para determinar si un estado es
persistente (recurrente) o no (transitorio), se
verifican las siguientes relaciones:
1. Pii(s) = 1 + Pii(s)Fii
2. Pij(s) = Pij(s)Fij(s) si i ≠ j .
a) Un estado j es persistente

∞
Σ pij(n) = ∞ .
n=0
b) Un estado j es transitorio
∞
Σ pij(n) < ∞ .
n=0
Teorema 4.- Sea i un estado persistente
(recurrente), entonces:
i es un estado persistente nulo si μi = ∞
i es un estado persistente no nulo si μi < ∞
Un estado i es persistente nulo ⇔ pii(n)n→∞0.
Además, en este caso,
pij(n)n→∞ 0, ∀j .
Teorema 5.- Supongamos que i ↔ j, es decir
están intercomunicados; dentro de cada clase
de equivalencia todos los estados son del
mismo tipo, entonces:
1. d(i) = d(j), es decir tienen el mismo periodo.

2. i es transitorio ⟺ j es transitorio.
3. i es persistente nulo ⟺ j es persistente nulo .
Teorema 6.- (Teorema de descomposición de
las Cadenas de Markov) El espacio de
estados S de una cadena de Markov X, tiene
la siguiente partición única:
S = T ∪ C1 ∪ C2 ∪ ….
Donde, T es un conjunto de estados
transitorios, y Ci son clases cerradas e
irreducibles de estados persistentes.
El teorema de descomposición nos muestra
las posibilidades que pueden darse en una
cadena de Markov. Esto es, si X0∈ Cr ,
entonces la cadena nunca abandonará la
clase Cr y entonces, podemos considerar el
espacio de estados S = Cr.
Por otra parte, si X0 ∈ T entonces, o la cadena
permanece por siempre en T o se mueve a
una clase Ck y permanece ahí por siempre.

Así, o la cadena siempre toma valores en el
conjunto de estados transitorios o acaba en
un conjunto cerrado persistente de estados
donde permanecerá por siempre.
Teorema 7.- Si S es finito, todos los estados
no pueden ser transitorios, siendo todos los
estados persistentes no nulos.
Teorema 8.- (Teorema fundamental de las
cadenas de Markov) Una cadena de Markov
tiene una distribución estacionaria π si y sólo si
todos sus estados son persistentes no nulos;
en cuyo caso, la distribución π es única y viene
dada por πi = μi
−1para cada i ∈ S, donde μi es
el tiempo medio de recurrencia del estado i .
Teorema 9.- Sea P la matriz de transición de
una de cadena de Markov con estados
periódicos recurrentes de periodo δ, y sean
B1,…..,Bδ. Entonces, en la cadena de Markov
con matriz de transición P = Pδ las clases

B1,…..,Bδ son cerradas e irreducibles de
estados aperiódicos.
Teorema 10.- Sean P y B∝ como en el
teorema anterior, y supongamos que la cadena
no es nula. Entonces para algún m = {0, 1,. .
., δ − 1},
lim Pij
n∝+m =
π(j) si i ϵB∝j ∈ B∝β =∝ +m(mod δ)
0 en otro caso
Supongamos que tenemos una cadena finita.
Veamos el procedimiento que vamos a seguir
para calcular la matriz límite de una cadena de
Markov:
1. Identificar los conjuntos cerrados e
irreducibles, es decir, las distintas clases de
estados persistentes.
2. Los restantes son los transitorios.
3. Estudiar la periodicidad de cada clase
cerrada por separado.

Además tenemos que como la matriz P̂
se
forma de:
P̂
= (
I 0
B Q
)
Se debe calcular R que es la matriz potencial y
(I − Q)−1:
 Si j es recurrente, entonces:
rij = {
0 si fij = 0
∞ si fij > 0
 Si j es transitorio e i es recurrente ⟹ rij = 0.
 Si j e i son transitorios , entonces: (rij)i, j ∈ D =
(I − Q)−1
Para la matriz F, tenemos:
F = (fij)i, j ∈ S, entonces:
 Si i es transitorio y k es recurrente ⟹ fik = gij
 Si i, j son transitorios tal que rij < ∞, entonces:
fjj = 1 −
1
rjj
fij =
rij
rjj

 Si i, j son recurrentes de misma clase ⟹ fij = 1.
 Si i es recurrente y j transitorio ó recurrente de distinta clase
⟹ fij = 0.
Teorema 11.- Dada una cadena de Markov
irreducible, consideramos el sistema:
π(j) = Σπ(i)pij i ϵ S
i∈S
Σπ(j) = 1
jϵS
Todos los estados serían recurrentes no nulos
si y sólo si existe solución única de este
sistema.
Teorema 12.- Si el sistema del teorema 10 no
tuviese solución tenemos en siguiente teorema:
Sea P la matriz de transición asociada a la
cadena de Markov que estamos estudiando, y
sea Q la matriz obtenida de P al suprimir la
fila y la columna k−ésima (k ∈ S cualquiera).
Entonces, los estados son recurrentes nulos si
y sólo si el sistema que la matriz Q produce

tiene solución trivial, es decir, si el sistema
tiene precisamente la solución trivial. O sea,
h(i) = Σj∈S{k} qijh(j) ⟹h(i) = 0
0 ≤ h(i) ≤ 1; i ∈ S {k
Si existe solución no trivial del sistema, los
estados serán transitorios.
6. APLICACIONES DEL MODELO DE
MARKOV
El modelo de Markov se aplica en el área de
finanzas y economía en problemas como:
 Calificación de bonos
 Predicción del precio de acciones
 Negociación de activos derivados
 Predicción de quiebras
 Análisis del riesgo en la concesión de
créditos
 Detección de oportunidades de arbitraje
en los mercados financieros

 Estudio y predicción de índices
económicos
 Instrumentos financieros infravalorados
o sobrevalorados
 Cobertura de posiciones
 Optimización de carteras, etc.
Por ello el modelo Markoviano aplicado a estas
áreas es una gran herramienta muy potente
para el análisis de mercados financieros, con
proyecciones al futuro.
En el área del personal de la empresa el
método Markoviano nos ayuda a saber cuál es
la probabilidad de que una persona según su
edad ocupe un determinado puesto de trabajo.
El método de las cadenas de Markov consiste
en emplear la información probabilística en el
análisis de tendencias con el fin de predecir sus
resultados.
Tienen diversas aplicaciones en los negocios,
la sociología, las ciencias físicas y la biología.

Por ejemplo en los negocios, las cadenas de
Markov son útiles para el análisis de los datos
referentes a la satisfacción de un cliente con un
producto y para el efecto de la publicidad del
producto, así como predecir qué sector del
mercado el producto dominara finalmente.
7. EJERCICIOS RESUELTOS
1. EJERCICIO
La Empresa de compra y venta de automóviles
“Carlos Larrea” después de haber recogido
datos durante varios años. Desea saber ¿Qué
marca de vehículo preferirán este año? Sus
clientes más frecuentes, tomando en cuenta la
siguiente tabla.
MARCAS DE VEHÍCULOS
CLIENTES
FRECUENTES
FORD CHEVROLET
C1 0,3 0,7
C2 0,6 0,4

PASO 1:
Después de analizar el ejercicio se procede a
realizar la matriz de transición, pasando los
valores dela tabla de la siguiente manera.
FORD CHEVROLET
푃 =
퐶1
퐶2
(
푃푐1퐹 = 0.3 푃푐1퐶퐻 = 0.7
푃푐2퐹 = 0.6 푃푐2퐶퐻 = 0.4
)
DONDE:
 P = Representa probabilidad
 C1 = Cliente uno
 C2 = Cliente dos
 F = Ford
 Ch = Chevrolet
Es decir que la matriz de transición quiere decir
lo siguiente:
 Pc1F= 0,3 (La probabilidad de que el
cliente uno compré un vehículo de
marca Ford es del 0,3)

 Pc2F= 0,6(La probabilidad de que el
cliente dos compré un vehículo de
marca Ford es del 0,6)
 Pc1CH= 0,7 (La probabilidad de que el
cliente uno compré un vehículo de
marca Chevrolet es del 0,7)
 Pc2CH= 0,4 (La probabilidad de que el
cliente dos compré un vehículo de
marca Chevrolet es del 0,4)
PASO 2:
Después de haber analizado la matriz de
transición el siguiente paso es realizar el
diagrama de transición.
Como hay dos clientes y dos marcas de
vehículos se traza dos círculos.
C2
0,3
0,7
0,4
Chevrolet Ford
0,6
C1

El diagrama de transición es una
representación gráfica de la matriz de
transición, es decir lo escrito pasa a ser
representado en forma gráfica.
PASO 3:
Por ultimo después de realizar el diagrama de
transición se realiza las probabilidades de
estado de sistema.
Para una matriz de transición de 2x2 se
plantean las siguientes ecuaciones:
휋C1= Pc1F 휋C1+ Pc1CH 휋C2
휋C2= Pc2F 휋C1+ Pc2CH 휋C2
1 = 휋C1+ 휋C2

Dónde:
 휋C1 = Probabilidad de que el cliente uno
adquiera un vehículo de marca Ford
 휋C2 = Probabilidad de que el cliente dos
adquiera un vehículo de marca
Chevrolet
ECUACIONES
Remplazamos las ecuaciones con los valores
de la matriz de transición y los valores que no
se conoce se deben despejar la ecuación.
휋C1= 0,3 휋C1+ 0,7 휋C2
휋C2= 0,6 휋C1+ 0,4 휋C2
1 = 휋C1+ 휋C2
Nos damos cuenta que tenemos un sistema de
ecuaciones de dos incógnitas por lo que
debemos despejar la ecuación 3, se puede
escoger cualquiera de las dos incógnitas en
este caso escogeremos 휋C1.

휋C1 = 1 - 휋C2
Luego podemos escoger cualquiera de las 2
primeras ecuaciones para reemplazar lo que
recién se despejo de la ecuación 3, en este
caso escogeremos la ecuación número 1.
휋C1= 0,3 휋C1+ 0,7 휋C2
Como se despejo 휋C1 se reemplaza en la
ecuación de la siguiente manera.
1 - 휋C2 = 0,3 (1 − 휋C2 ) + 0,7 휋C2
1 - 휋C2 = 0,3− 0,3휋C2 + 0,7 휋C2
0,3휋C2 − 0,7 휋C2 - 휋C2= 0,3 -1
−1,4 휋C2 = -0,7
휋C2 =
−0,7
−1,4
휋C2 = 0,5

Por ultimo remplazamos en la ecuación 3
despejada, con el nuevo valor de la siguiente
forma.
휋C1 = 1 - 0,5
휋C1 = 0,5
RESPUESTA
휋C1 = 0,5
휋C2 = 0,5
La probabilidad de que el cliente uno adquiera
un vehículo de marca FORD es del 50% al
igual que el cliente numero dos tiene una
probabilidad del 50% de adquirir un vehículo
de marca CHEVROLET.
2. EJERCICIO
La empresa jurídica “ROMERO S.A” emplea
tres tipos de abogados: subalternos, superiores

y socios durante cierto año 10% de los
subalternos ascienden a superiores y aun 10%
se les pide que abandonen la empresa.
Durante un año cualquiera 5% de los
superiores asciende a socios y un 13% se les
pide su renuncia. Los abogados subalternos
deben ascender a superiores antes de ser
socios. Los abogados que no se desempeñan
adecuadamente jamás descienden de su
categoría, permanecen en su nivel o se les pide
que renuncien.
a) Cuál es la probabilidad de que un
abogado subalterno llegue a socio.
b) Cuál es la probabilidad de que un
abogado subalterno llegue a renunciar.
c) Cuál es la probabilidad de que un
superior se convierta en socio.
d) Cuál es la probabilidad de que un
superior renuncie.
PASO 1:

Según la teoría primero identificamos la matriz
Absorbente y no absorbente.
Matriz de Identidad
Matriz Absorbente
Matriz no Absorbente
Subalterno
s
Superiore
s
Socio
s
Abandon
a
Subalterno
s
0,8 0,1 0 0,1
Superiores 0 0,82 0,05 0,13
Socios 0 0 1 0
Abandona 0 0 0 1
PASO 2:
Luego de haber identificado la matriz
absorbente y no absorbente se procede a
restar la matriz de identidad con la matriz no
absorbente de la siguiente manera.
Matriz Identidad
I = 1 0

0 1
Matriz no Absorbente
N = 0,8 0,1
0 0,82
Matriz Fundamental
(I-N)= (1 – 0,8)= 0,2 (0 – 0,1)= - 0,1
(0 – 0) =0 (1 – 0,82)=0,18
PASO 3:
Luego se procede a calcular la matriz inversa
de la matriz fundamental.
Inversa de la Matriz Fundamental
(푰 − 푵)−ퟏ = 5 -2,78
0 5,56
PASO 4:

Para obtener la repuesta multiplicamos la
Inversa de la Matriz Fundamental con los datos
de la matriz principal (Matriz absorbente).
Socios Abandona
(푰 − 푵)−ퟏ ∗ 푨 = 0,14 0,86 Subalterno
0,28 0,72 Superiores
RESPUESTA:
 La probabilidad de que un abogado
subalterno llegue a ser socio es del 14%.
 La probabilidad de que un abogado
subalterno llegue a renunciar es del
86%.
 La probabilidad de que un superior
llegue a ser socio es del 28%.
 La probabilidad de que un superior
llegue a renunciar es del 72%.
3. EJERCICIO

En Ecuador existen 3 operadores principales
de telefonía móvil como lo son Claro, CNT y
Movistar (estados).Los porcentajes actuales
que tiene cada operador en el mercado actual
son para Claro 0.4 para CNT 0.25 y para
Movistar 0.35. (Estado inicial). Se tiene la
siguiente información un usuario actualmente
de Claro tiene una probabilidad de permanecer
en Claro de 0.60, de pasar a CNT 0.2 y de
pasarse a Movistar de 0.2; si en la actualidad el
usuario es cliente de CNT tiene una
probabilidad de mantenerse en CNT del 0.5 de
que esta persona se cambie a Claro 0.3 y que
se pase a Movistar de 0.2; si el usuario es
cliente en la actualidad de Movistar la
probabilidad que permanezca en Movistar es
de 0.4 de que se cambie a Claro de 0.3 y a CNT
de 0.3.
 Hallar la probabilidad de que un usuario
se permanezca en la misma operadora.
PASO 1:

Partiendo de esta información podemos
elaborar la matriz de transición.
Claro CNT Movistar
E1 Claro 0,6 0,2 0,2
E2 CNT 0,3 0,5 0,2
E3 Movistar 0,3 0,3 0,4
PASO 2:
Se procede a realizar el diagrama de transición.
PASO 3:
La suma de las probabilidades de cada estado
en este caso operador deben ser iguales a 1

Po= (0.4 + 0.25 + 0.35) = 1
PASO 4:
Ahora procedemos a encontrar los estados en
los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza
multiplicando la matriz de transición por el
estado inicial y así sucesivamente pero
multiplicando por el estado inmediatamente
anterior.
Claro CNT Movistar
E1 Claro 0,6 0,2 0,2
E2 CNT 0,3 0,5 0,2
E3 Movistar 0,3 0,3 0,4

P0 0,4 0,25 0,35
P1 0,42 0,31 0,27 Po*T
P2 0,426 0,32 0,254
P3 0,4278 0,3214 0,2508 Po*T³
P4 0,42834 0,3315 0,25016 Po*T⁴
P5 0,428502 0,321466 0,25003 Po*T⁵
RESPUESTA:
p1*T=Po*T*T=Po*T
²
 La probabilidad de que un usuario
permanezca en la operadora Claro es
de 43%
 La probabilidad de que un usuario se
permanezca en la operadora CNT es de
32%
 La probabilidad de que un usuario se
permanezca en la operadora Movistar
es de 25%
4. EJERCICIO
Suponga que en el mercado se consiguen 3
tipos de gaseosas colas que son: coca cola,
Pepsi Cola y Big cola cuando una persona ha
comprado coca cola existe una probabilidad de
que la siga consumiendo del 75%, un 15% de

que compre Pepsi Cola y un 10% de que
compre Big Cola; cuando el comprador
actualmente consume Pepsi existe una
probabilidad de que la siga comprando de 60%,
un 25% que compre coca cola y un 15% Big
cola; si en la actualidad consuma Big Cola la
probabilidad de que la siga consumiendo es del
50%, un 30% que compre Coca Cola y 205
Pepsi Cola.
En la actualidad cada marca Coca Cola, Pepsi
y Big cola tienen los siguientes porcentajes de
participación en el mercado respectivamente
(60% 30% 10%)
 Elaborar la matriz de transición
 Hallar la probabilidad que tiene cada
marca en el periodo 5
PASO 1:
Partiendo de esta información podemos
elaborar la matriz de transición.

COCA COLA PEPSI BIG COLA
E1 COCA COLA 0,75 0,15 0,10
E2 PEPSI 0,25 0,6 0,15
E3 BIG COLA 0,3 0,2 0,5
PASO 2:
Ahora procedemos a encontrar los estados en
los siguientes pasos o tiempos, esto se realiza
multiplicando la matriz de transición por el
estado inicial y así sucesivamente pero
multiplicando por el estado inmediatamente
anterior.
P0 0,6 0,3 0,1
P1 0,555 0,25 0,155
P2 0,53525 0,28825 0,1765
P3 0,52645 0,2835375 0,1850125

P4 0,52247563 0,2830925 0,18843188
P5 0,52063941 0,28931322 0,18982738
Nota: Estos ejercicios se pueden realizar en
Excel utilizando la función de multiplicar
matrices.
PASO 3:
Luego se procede a calcular las siguientes
ecuaciones.
Entonces
(1) 0,55 X+0,20Y+0,10Z=0
(2) 0,20 X-0,50Y+0,20Z=0
(3) 0,35 X+0,30Y-0,30Z=0
(4) X+Y+Z=1

퐸퐶(1)푥2 = −11푥 + 0,4푦 + 0,2푧 = 0
−퐸퐶(2) = −0,2푥 + 0,5푦 − 0,2푧 = 0
(5) = −1,3푥 + 0,9푦 = 0
퐸퐶(4)푥0,3 = 0,3푥 + 0,3푦 + 0,3푧 = 0,3
+퐸퐶(3) = −0,35푥 + 0,30푦 − 0,30푧 = 0
(6) = 0,65푥 + 0,6푦 = 0,3
퐸퐶(6)푥1,5 = 0,975푥 + 0,9푦 = 0,45
−퐸퐶(5) = −1,3푥 + 0,9푦 = 0
(7) = 2,215푥 = 0,15
Despejo X en (7)
푥 =
0,45
2,24
푥 = 0,2004

Reemplazamos X en (6)
0,65(0,2004)+ 0,6 y = 0,3
0,13026+0,6y=0,3
-0,16974+0,6y= -0
푦 =
0,16974
0,6
푦 = 0,2829
Reemplazamos X, Y en (4)
0,2001+0,2829+Z=1
Z=1- 0,2004-0,2829
Z= 0,5167
RESPUESTA:
 La probabilidad de que una persona siga
consumiendo Coca Cola es del 20%.

consumiendo Pepsi es del 28%.
consumiendo Big Cola es del 52%.
5. EJERCICIO
Almacenes Mary Carmen, Charleston y Patrick
han investigado la fidelidad de sus clientes y
han encontrado los siguientes datos:
 Mary Carmen
 Charleston
 Patrick
Hallar el estado estable (L)
MARY
CARMEN
CHARLESTON PATRICK
MARY
CARMEN
0.45 0.20 0.35
CHARLESTON 0.20 0.50 0.30
PATRICK 0.10 0.20 0.70

푇 = (
0.45 0.20 0.35
0.20 0.50 0.30
0.10 0.20 0.70
)
(푋, 푌, 푍) = (
0.45 0.20 0.35
0.20 0.50 0.30
0.10 0.20 0.70
) = 푋; 푌; 푍
0.45푥 0.20푦 0.10푧 = 푥
0.20푥 0.50푦 0.20푧 = 푦
0.35푥 0.30푦 0.70푧 = 푧
(ퟏ) 0.55푥 +0.20푦
(ퟐ) 0.20푥 −0.50푦
(ퟑ) 0.35푥 +0.30푦
+0.10푧 = 0
+0.20푧 = 0
−0.30푧 = 0
퐸퐶(1)푥2 = −1.1푥 + 0.4푦 + 0.2푧 = 0
−퐸퐶(2) = −0.2푥 + 0.5푦 − 0.2푧 = 0
(ퟓ) = −1.3푥 + 0.9푦 = 0
퐸퐶(4)푥0.30 = 0.30푥 + 0.30푦 + 0.30푧 = 0.30
+퐸퐶(3) = 0.35푥 + 0.30푦 − 0.30푧 = 0
(ퟔ) = 0.65푥 + 0.6푦 = 0.30

퐸퐶(6)푥1.50 = 0.975푥 + 0.90푦 = 0.45
−퐸퐶(5) = −1.30푥 + 0.90푦 = 0
(ퟕ) = 2.245푥 = 0.45
Despejo X en (7)
풙 =
0.45
2.245
푥 = 0.2004
Reemplazo X en (6)
0.65(0.2004) + 0.6푦 = 0.30
0.13026 + 0.6푦 = 0.30
0.16974 + 0.6푦 = 0
푦 =
0.16974
0.60
푦 = 0.2829
Reemplazo X,Y, en (4)
0.2004 + 0.2829 + 푧 = 1
푧 = 1 − 0.2004 − 0.2829

푧 = 0.5167
푳 = (ퟎ. ퟐퟎퟎ; ퟎ. ퟐퟖퟐ; ퟎ. ퟓퟏퟔ)
풙 = ퟐퟎ%; 풀 = ퟐퟖ. ퟐ%; 풛 = ퟓퟏ. ퟔ%)
Según los resultados se pudo observar que el
almacén que tiene mayor porcentaje de
fidelidad de sus clientes es el Almacén Patrick
con un 51.6%, seguido del Almacén Charleston
con un 28.2% y finalmente el Almacén Mary
Carmen con un 20%.
6. EJERCICIO
La empresa PRODELTA S.A. ha decidido
lanzar al mercado un nuevo producto pero
requiere conocer cuál será el monto porcentual
en utilidades para el siguiente mes, debido a
que necesita realizar inversiones acorde a las
ganancias posibles. Determinando que si las
ventas de este mes son altas la probabilidad de
aumentar la utilidad para el siguiente mes es de
85%, si las ventas de este mes fueren bajas, la

probabilidad de que la utilidad aumente para el
siguiente mes es de 55%, es una cadena de
Markov donde los estados posibles son los
siguientes
Para la resolución del presente ejercicio vamos
a seguir los siguientes pasos.
PASO 1
Estado 0 = Las ventas del producto aumentan
Estado 1 = las ventas del producto disminuyen
PASO 2
푃 푢푡+1 = 0  푢푡 = 0  = 0.85
푃 푢푡+1 = 0  푢푡 = 1  = 0.55
PASO 3
PROBABILIDAD ESTADO
0 1
0 P00 0.85 P00 0.15
1 P10 0.55 P00 0.45

PASO 4
0.8 0.45
5
PASO 5
PASO 6
0 .7225 + 0.0825 0.1275 + 0.0675
PASO 7
0.15
0 1
0.55
.85 .15
P*P=
.55 .45
.85 .15
.55 .45
.79 .21
P*P=
.71 .29
P*P=
0.4675 + 0.2475 0 .0825 + 0.2025

Interpretación:
En la Empresa Prodelta S.A. en el lanzamiento
del producto tiene la probabilidad de obtener
una utilidad positiva de 79% y una pérdida de
21% en caso de que en el mes presente se
obtenga utilidad, en caso contrario si la
empresa tuviere una utilidad negativa el
producto tiene la posibilidad de dar utilidad para
el mes posterior de 71% y una probabilidad de
tener perdida de 29%.
7. EJERCICIO
Teorema 1
Ejemplo

Dado la siguiente matriz regular, encontrar el
vector fijo por el teorema para matrices
regulares
푇 = (
1
2
1
2
1
3
2
3
)
Solución:
PASO 1: Se busca un vector de probabilidades
t tal que Tt = t. Si t =(푥 푦), resolvemos la
ecuación
(푥 푦) (
1
2
1
2
1
3
2
3
) = (푥 푦)
Es decir,
1
2
(
푥 +
1
3
푦
1
2
푥 +
2
3
푦) = (푥 푦)

Igualando los componentes tenemos:
1
2
푥 +
1
3
푦 = 푥
1
2
푥 +
2
3
푦 = 푦
PASO 2: Igualamos a cero:
−
1
2
푥 +
1
3
푦 = 0
1
2
푥 −
2
3
푦 = 0
Además, como t es un vector de
probabilidades, debemos tener que x + y = 1.
Esto nos lleva al sistema:
−
1
2
푥 +
1
3
푦 = 0
1
2
푥 −
2
3
푦 = 0

푥 + 푦 = 1
PASO 3: Hacemos reducción por renglones
obtenemos, sucesivamente:
a) Multiplicar el primer renglón por -2.
(
−
1
2
1
2
0
1
2
2
3
0
1 1 1
) 푀1(−2) (
1 −
2
3
0
1
2
−
1
3
0
1 1 1
)
b) Multiplicar el primer renglón por −
1
2
y
sumarlo al segundo renglón:
(
1 −
2
3
0
1
2
−
1
3
0
1 1 1
) 퐴1,2 (−
1
2
) 퐴1,3(−1) (
1 −
2
3
0
0 0 0
0
5
3
1
)
c) Multiplicamos el tercer renglón por
3
5
(
1 −
2
3
0
0 0 0
0
5
3
1
) 푀3 (
3
5
) (
1 −
2
3
0
0 0 0
0 1
3
5
)
d) Multiplicar el tercer renglón por
2
3
y
sumarlo al primer renglón:

(
1 −
2
3
0
0 0 0
0 1
3
5
) 퐴3,1 (
2
3
) (
1 0
2
5
0 0 0
0 1
3
5
)
e) Intercambiamos los renglones segundo
y tercero.
(
1 0
2
5
0 0 0
0 1
3
5
) 푃2,3 (
1 0
2
5
0 1
3
5
0 0 0
)
Así, x =
2
5
, y =
3
5
y el único vector de
2
5
probabilidades es t =(
3
5
)
PASO 4: Comprobación
tT = t
2
5
tT = (
3
5
) (
1
2
1
2
1
3
2
3
) = (
2
5
3
5
)= t

8. EJERCICIO
El problema del jardinero tiene un total de 8
políticas estacionarias, como se muestra en la
siguiente tabla y con respecto a esa
información calcule cuánto es el ingreso que
produce la política 2.
Política estacionaria , S Acción
1 No fertilice nada
2
Fertilice sin importar el
estado
3 Fertilice en estado 1
6
Fertilice en estado 1 o
2
7
3
8
3
. 2 . 5 . 3
0
0
푃1 = [
. 5 . 5
0 1
7 6 3
0
0
] 푅1 = [
5 1
0 −1
]
. 3 . 6 . 1
. 1
. 05
푃2 = [
. 6 . 3
. 4 . 55
6 5 −1
7
6
] 푅2 = [
4 0
3 −2
]

. 3 . 6 . 1
0
0
푃3 = [
. 5 . 5
0 1
6 5 −1
0
0
] 푅3 = [
5 1
0 −1
]
. 2 . 5 3
. 1
0
푃4 = [
. 6 . 3
0 1
] 푅4 = [
7 6 3
7
0
4 0
0 −1
]
. 2 . 5 . 3
0
. 05
푃5 = [
. 5 . 5
. 4 . 55
7 6 3
0
6
] 푅5 = [
5 1
3 −2
]
푃6 = [
. 3 6 . 1
. 1
0
. 6 . 3
0 1
6 5 −1
7
0
] 푅6 = [
4 0
0 −1
]
. 3 . 6 . 1
0
. 05
푃7 = [
. 5 . 5
. 4 . 55
6 5 −1
0
6
] 푅7 = [
5 1
3 −2
]
. 2 . 5 . 3
. 1
. 05
푃8 = [
. 6 . 3
. 4 . 55
7 6 3
7
6
] 푅8 = [
4 0
3 −2
]
푘 se calculan como
PASO 1: Los valores de 푣푖
se muestra en la siguiente tabla.
S
vI
s i=1 i=2 i=3
1 5.3 3 -1
2 4.7 3.1 4
3 4.7 3 -1

4 5.3 3.1 -1
5 5.3 3 .4
6 4.7 3.1 -1
7 4.7 3 .4
8 5.3 3.1 .4
PASO 2: Los cálculos de las probabilidades
estacionarias se llevan a cabo con las
ecuaciones
휋푠푝푠 = 휋푠
휋1 + 휋2+. . . +휋푛 = 1
Como ejemplo, considere s=2, las ecuaciones
asociadas son:
. 3휋1 +. 1휋2 +. 05휋3 = 휋1
. 6휋1 +. 6휋2 +. 4휋3 = 휋2
. 1휋1 +. 3휋2 +. 55휋3 = 휋3
(Nota que una de las tres primeras ecuaciones
es redundante).La solución produce:
2 =
휋1
6
59
2 =
, 휋2
31
5
2 =
, 휋3
22
59
,
En este caso, el ingreso anual esperado es:

2
3
퐸2 = Σ휋푖
푖=1
2
푣푖
=
1
59
(6 ∗ 4.7 + 31 ∗ .31 + 22 ∗ .4) = 2.256
PASO 3: La siguiente tabla resume 휋푘 푦 퐸푘
para todas las políticas estacionarias. Aunque
esto de ninguna manera afectara los cálculos,
note que cada uno de las políticas 1,3,4 y 6
tiene un estado de absorción: el estado 3. Esta
es la razón que 휋1=휋2=0 푦휋3=1 para todas las
políticas.

푠 π3
π1 π2
푠 퐸푠
1 0 0 1 -1
6
59
31
59
22
59
2 2.256
3 0 0 1 .4
4 0 0 1 -1
5
154
69
154
80
154
5 1.724
6 0 0 0 -1
5
137
12
135
62
137
70
137
7 1.734
69
135
54
135
8 2.216
SOLUCIÓN: La política 2 produce el mayor
ingreso anual esperado. La política de largo
plazo óptima requiere aplicar fertilizante sin
importar el estado del sistema.
9. EJERCICIO
Teorema 8
Ejemplo: Sea P =[
1/2 1/2
1/4 3/4
] , utilizando el
teorema 8, encontrar la distribución 휋1, 휋2.

휋푃 = 휋 ⟹ (휋1, 휋2) = (휋1, 휋2) (
1
2
1
2
1
4
) = (
3
4
1
2
휋1 +
1
4
휋2,
1
2
휋1 +
9
4
휋2) ⟹
휋1 =
1
2
휋1 +
1
4
휋2
1
2
휋1 +
1
4
휋2
휋2 =
1
2
휋1 +
3
4
휋2
1
4
휋2 +
1
2
휋1
휋1 + 휋2 = 1
Resolviendo el sistema nos queda que:
휋1 =
1
3
푦 휋2 =
2
3
10. EJERCICIO
Teorema 10
Sea P una cadena de Markov donde
S= {1, 2,……., 8}, calcular la matriz límite:

Se observa que,
{1,2,3} Clases de estados recurrentes, {4,5}
irreducibles y aperiódicos.
{6,7,8} Clases de estados transitorios, sólo
pueden alcanzar los estados 1, 2 y 3.
Además tenemos que como la matriz 푃̂
se
forma de:
푃̂
퐼 0
퐵 푄
= (
)
Determinamos que las matrices I, B y Q son
푄 = [
0.4 0.6 0
0 0 0.2
0.6 0 0
] , 퐵 = [
0 0
0.8 0
0.4 0
1 0
0 1
] , 퐼 = [
]
Calculamos (퐼 − 푄)−1
0.6 −0.6 0
0 1 −0.2
−0.6 0 1
(퐼 − 푄)−1 = [
]
−1
Y

=
1
66
[
125 75 15
15 75 15
75 45 75
]
−1
=
125
66
[
75
66
15
66
15
66
75
66
15
66
75
66
45
66
75
66]
Calculamos R (matriz potencia):
 푆푖 푗 푒 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒, 푒푛푡표푛푐푒 :
푟푖푗 = {
0 푖 푓푖푗 = 0
∞ 푖 푓푖푗 > 0
 푆푖 푗 푒 푡푟푎푛 푖푡표푟푖표 푒 푖 푒 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒
⟹ 푟푖푗 = 0.
 푆푖 푗 푒 푖 표푛 푡푟푎푛 푖푡표푟푖표 , 푒푛푡표푛푐푒 :
(푟푖푗)푖, 푗 ∈ 퐷 = (퐼 − 푄)−1
De Acuerdo a lo anterior reemplazamos en la
matriz potencial y esta nos quedaría así:

Calculamos la matriz F = (푓푖푗 )푖, 푗 ∈ 푆, entonces:
 푆푖 푖 푒 푡푟푎푛 푖푡표푟푖표 푦 푘 푒 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒
⟹ 푓푖푘 = 푔푖푗
 푆푖 푖, 푗 표푛 푡푟푎푛 푖푡표푟푖표 푡푎푙 푞푢푒 푟푖푗 < ∞, 푒푛푡표푛푐푒 :
푓푗푗 = 1 −
1
푟푗푗
푓푖푗 =
푟푖푗
푟푗푗
 푆푖 푖, 푗 표푛 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒 푑푒 푚푖 푚푎 푐푙푎 푒
⟹ 푓푖푗 = 1.
 푆푖 푖 푒 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒 푦 푗 푡푟푎푛 푖푡표푟푖표 ó 푟푒푐푢푟푟푒푛푡푒
푑푒 푑푖 푡푖푛푡푎 푐푙푎 푒 ⟹ 푓푖푗 = 0.
Entonces formamos la matriz F:
La matriz límite es de la forma,

Donde las 휋푖 verifican los siguientes sistemas
de ecuaciones:
(휋1휋2휋3) = (휋1휋2휋3) (
0.4 0.3 0.3
0 0.6 0.4
0.5 0.5 0
)
휋1 + 휋2 + 휋3 = 1
0 1
0.8 0.2
(휋4휋5) = (휋4휋5) (
)
휋4 + 휋5 = 1
Como resultado tenemos que: 휋1 = 0.22 ,
휋2 = 0.51, 휋3 = 0.27, 휋4 = 0.4, 휋5 = 0.6
Reemplazando : 휋1, 휋2 , 휋3, 휋4, 휋5 nos queda
la matriz límite 푃∗ así:

6. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. EJERCICIO
Un agente comercial de la empresa
Plasticaucho realiza su trabajo en tres
ciudades, Quito, Guayaquil y Cuenca. Para
evitar desplazamientos innecesarios está todo
el día en la misma ciudad y allí pernocta,
desplazándose a otra ciudad el día siguiente, si
no tiene trabajo. Después de estar trabajando
un día en Cuenca, la probabilidad de tener que
seguir trabajando en ella al día siguiente es de
0.4, la de tener que viajar a Guayaquil es de 0.4
y la de tener que ir a Quito es de 0.2. Si el
viajante duerme un día en Guayaquil, con
probabilidad de un 20% tendrá que seguir en la
misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los

casos viajará a Cuenca, mientras que irá a
Quito con una probabilidad de 0.2. Por último,
si el agente comercial trabaja todo el día en
Quito, permanecerá en esa misma ciudad, al
día siguiente, con una probabilidad de 0.1, irá a
Guayaquil con una probabilidad de 0.3 y a
Cuenca con una probabilidad de 0.6.
a) ¿Cuáles son los porcentajes de días en
los que el agente comercial está en cada
una de las tres ciudades?
b) Si hoy el viajante está en Cuenca, ¿Cuál
es la probabilidad de que también tenga
que trabajar en Cuenca al cabo de
cuatro días?
RESPUESTAS
 El porcentaje de que el agente esté en
Quito es 18.18 %, en Guayaquil= 31.82
% y en Cuenca= 50 %.
 La probabilidad de que esté en Cuenca
y tenga que quedarse ahí al cabo de 4
días es aproximadamente es de 0.5008

2. EJERCICIO
En Quero hay tres supermercados (S. ROSITA,
S. Loren’s y S. CACHITO), existe la movilidad
de un cliente de uno a otro. El 1 de septiembre,
¼ de los clientes va al S. ROSITA, 1/3 al S.
LOREN’S y un 5/12 al S. CACHITO de un total
de 10 000 personas. Cada mes el S. ROSITA
retiene al 90 % de sus clientes y pierde el 10 %
que se va al S. LOREN’S. Se averiguó que el
S. LOREN’S sólo retiene el 5 % y pierde el 85
% que va al S. ROSITA y el resto se va al S.
CACHITO, el S. CACHITO retiene sólo el 40 %,
pierde el 50 % que va al S. ROSITA y el 10 %
va al S. LOREN’S.
a) Establecer la matriz de Transición.
b) ¿Cuál es la proporción de clientes para
los supermercados el 1 de noviembre?
RESPUESTA
 El mercado S. ROSITA después de dos
meses tendrá una clientela del 81.55 %,

el S. LOREN’S tendrá el 9.58 % y el S.
CACHITO el 8.83 % del total de clientes.
3. EJERCICIO
La empresa DELTEX Industrial fabrica
cobijas para las que hay 3 proveedores a
internacionales de materia prima de
polipropileno, nylon y poliéster. La empresa
elabora el producto con cada una de las
materias primas después de un proceso de
producción.
Polip. Nylon poliéster
0.7 0.2 0.1
0.5 0.3 0.2
0.3 0.4 0.3
Polipropileno
Nylon
Poliéster
Suponiendo que una cobija es elaborado con
polipropileno, realizar una cadena Markov para
determinar una probabilidad de que se fabrique
con el producto de Nylon en los próximos dos
procesos de producción.

RESPUESTA:
La probabilidad que se fabrique el producto con
Nylon es del 0.62%
4. EJERCICIO
La Constructora Alvarado Ortiz ha ganado un
contrato para construir una carretera que vaya
desde Pelileo a Baños. Esta carretera ayudará
a estudiar los efectos de la explosión volcánica
de 1949. La compañía ha determinado que el
polvo volcánico obstruirá los filtros de las
máquinas con mucha rapidez y provocará que
los camiones dejen de funcionar. Los filtros se
revisan todos los días y se clasifican como
recién limpiados, parcialmente obstruidos o
totalmente obstruidos. Experiencias anteriores
han demostrado que un filtro que se acaba de
limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de
permanecer limpio, una probabilidad de 0.8
de quedar parcialmente obstruido y una
probabilidad de 0.1 de quedar totalmente
obstruido. Un filtro que ya está parcialmente

obstruido tiene una probabilidad de 0.5 de
permanecer en el mismo estado y una
probabilidad de 0.5 de quedar totalmente
obstruido. Para poder utilizar un camión que
tiene un filtro totalmente obstruido éste se debe
limpiar primero.
a) Elabore una matriz de transición para
este problema.
b) Si un camión deja de operar, esto le
cuesta a la compañía $100 por el tiempo
perdido y $20 para limpiar el filtro.
¿Cuánto le costará a la compañía seguir
una política de no limpiar filtros sino
hasta que se detengan los camiones?
RESPUESTA
Le costará a la compañía $30.852 seguir la
política de no limpiar filtros sino hasta que se
detengan los camiones.
5. EJERCICIO

El ascensor del Consejo Provincial de
Tungurahua con planta baja y dos pisos realiza
viajes de uno a otro piso. El piso en el que
finaliza el viaje del ascensor sigue una cadena
de Markov. Se sabe que la mitad de los viajes
que parten de la planta baja se dirigen a cada
uno de los otros dos pisos, mientras que si un
viaje comienza en el primer piso, sólo el 25%
de las veces finaliza en el segundo. Por último,
si un trayecto comienza en el segundo piso,
siempre finaliza en la planta baja. Se pide:
 Calcular la matriz de probabilidades de
transición de la cadena.
 Dibujar el grafo asociado.
 ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo
plazo, el ascensor se encuentre en cada
uno de los tres pisos?
RESPUESTA

La probabilidad de que se encuentre en la
planta baja es 0.47, en el piso 1 es de 0.2352 y
en el piso 2 es de 0.2941.
6. EJERCICIO
Los consumidores de café de las cafeterías de
la ciudad de Ambato usan tres marcas SI
CAFÉ, CAFÉ PRES 2, BUEN DÍA. En marzo
del 2013 se hizo una encuesta en la que se
entrevistó a las 8450 personas que compran
café y los resultados fueron:
MARCAS DE CAFÉ
COMPRA
ACTUAL
SÍ CAFÉ
CAFÉ
PRES 2
BUEN
DÍA
TOTAL
SÍ CAFÉ 507 845 338 1.690
CAFÉ
676 2.028 676 3.380
PRES 2

BUEN
DÍA
845 845 1.690 3.380
TOTAL 2.028 3.718 2.704 8.450
a) Si las compras se hacen mensualmente,
¿Cuál será la distribución del mercado
de café en las cafeterías de la ciudad de
Ambato en el mes de junio?
b) A la larga, ¿Cómo se distribuirán los
clientes de café?
RESPUESTA
A la larga, la distribución del mercado será: la
marca SÍ CAFÉ tendrá el 23.8 % del mercado,
CAFÉ PRES 2 tendrá el 47.61 % y CAFÉ BUEN
DÍA tendrá el 28.57 %.
7. EJERCICIO
Suponga que toda la industria de refresco
produce dos colas: Coca Cola y Pepsi Cola.
Cuando una persona ha comprado Coca Cola
hay una probabilidad de 90 % de que siga
comprándola a la vez siguiente. Si una persona

toma Pepsi, hay un 80% de que repita la vez
siguiente.
a) Si una persona actualmente es
comprador de Pepsi. ¿Cuál es la
probabilidad de que compre Coca Cola
pasadas dos compras a partir de ahora?
b) Si una persona actualmente es
comprador de Coca Cola. ¿Cuál es la
probabilidad de que compre Coca Cola
pasadas tres compras a partir de ahora?
c) Supongamos que el 60% de toda la
gente toma hoy Coca Cola y el 40%
Pepsi. A tres compras a partir de ahora,
¿Qué fracción de los compradores
estará tomando Coca Cola?
RESPUESTA
 Hay una probabilidad del 34% de que
pasadas dos compras consuma Coca
Cola.

 Hay una probabilidad del 78.1 % de que
pasadas tres compras consuma Coca
Cola.
 Hay una probabilidad del 64.38 % de
que pasadas tres compras un
comprador consuma Coca Cola.
8. EJERCICIO
Una tienda de departamentos regional y
grande, MITULA S.A, tiene un plan de crédito
en sus tiendas. Cada mes se clasifican esas
cuentas en cuatro categorías: saldadas, con
saldo insoluto, con saldo vencido y como
cuenta perdida. Las cuentas saldadas son las
que no tienen saldo a pagar en el mes; las
cuentas con saldo insoluto son las que no
adeudan saldos en el mes anterior, pero les
han cargado compras realizadas en el mes; las
cuentas vencidas son las que tienen un saldo
que ha permanecido sin pagarse durante más
de un mes, pero menos de tres. Por último,
las cuentas pérdidas son las que tienen un

saldo con más de tres meses de vencido y que
no se espera poder cobrar.
De los registros de la tienda, se ha determinado
que el 60% de las cuentas con saldo insoluto
se pagan al siguiente mes, 30% permanece en
la misma categoría y 10% se convierte en saldo
vencido. También se ha determinado que el
40% de las cuentas vencidas se convierten en
saldos insolutos, 30% se pagan, 20%
permanecen vencidas y 10% se cancelan como
cuentas perdidas. Una vez que una cuenta
llega a la categoría de perdida, se cancela. De
manera similar, una vez que una cuenta pasa a
la categoría de saldada, ese dinero ya no es
parte de las cuentas por cobrar.
a) Escriba la matriz de transición para este
problema.
b) Si en la actualidad existen $100.000 de
las cuentas por cobrar en la categoría de
saldadas, $50.000 en la categoría de
saldo insoluto, $20.000 en la categoría

de saldos vencidos y $5.000 en la
categoría de cuentas perdidas, ¿qué
cantidad habrá en cada categoría al mes
siguiente? ¿Y al mes después de éste?
RESPUESTA
Se pueden resumir los resultados:
Cuentas
saldadas
A un mes $136 000 $23 000 $9 000 $7 000
A dos
meses
$152 500 $10 500 $4 100 $7 900
9. EJERCICIO
Cuentas
con saldo
insoluto
Cuentas
con saldo
vencido
Cuenta
perdida
Una maestra de matemáticas, no queriendo
parecer predecible, decide asignar las tareas
basándose en probabilidades. El primer día de
clases, dibuja este diagrama en el pizarrón
para decir a los estudiantes, si en la próxima
clase les espera una asignación completa (C),
una asignación parcial (P) o sin asignación (N).

Construir y etiquetar la matriz de transición
correspondiente al diagrama.
a) Si los estudiantes tienen hoy una
asignación completa, ¿cuál es la
probabilidad de que tengan una
asignación completa de nuevo la
próxima clase?
b) Si hoy no tienen asignación, ¿cuál es la
probabilidad de que no tengan una
asignación de nuevo la próxima clase?
c) Hoy es miércoles y los estudiantes
tienen una asignación parcial. ¿Cuál es
la probabilidad de que no tengan tareas
el viernes?
d) La matriz A es la matriz de transición
para un día. Encontrar la matriz de
transición para dos días (por ejemplo, si
hoy es lunes, ¿cuáles son las
oportunidades de cada clase de
asignación el día miércoles?).

e) Encontrar la matriz de transición para
tres días.
f) Si no se tienen tareas este viernes,
¿cuál es la probabilidad de que no se
tengan tareas el próximo viernes?
(considerar sólo cinco días de escuela a
la semana). Dar respuesta exacta para
dos decimales.
RESPUESTAS
Los resultados son:
x = 0.4888839
y = 0.33330357
z = 0.180804
10. EJERCICIO
En la industria de la cerveza lidera, tres marcas
comparten aproximadamente el 75 % de todas
las ventas; la Pilsener, Club Verde y
Budweiser. Estas tres marcas compiten de
forma intensa por los clientes de la cerveza

ligera. En tiempos recientes, la Pilsener hizo
que una agencia externa llevara a cabo un
estudio sobre la forma en que los clientes
estaban reaccionando a los anuncios. Los
resultados del estudio mostraron que después
de tres meses, el 50 % de los clientes de la
Pilsener seguían prefiriendo la Pilsener, el 30
% preferían la Club Verde y el 20 % preferían
la Budweiser. De los clientes de la Club, el 60
% seguían prefiriendo la Club Verde, el 30 %
preferían la Pilsener y el 10 % preferían la
Budweiser. De los clientes de la Budweiser, 40
% seguían prefiriendo su marca, 30 % preferían
la Pilsener y el 30 % preferían la Club.
a) Elabore la Matriz de Transición para
este problema de cambios de marca.
b) Determine el porcentaje de estado
estacionario de los clientes que
prefieren cada tipo de cerveza.
RESPUESTA

En el largo plazo, el 37.5 % preferirán Pilsener,
el 42.857 % Club Verde y el 19.64 %
Budweiser.
11. EJERCICIO
Una vez terminado el censo realizado en el
cantón salitre se determinó que existen 10,000
habitantes, de los cuales 5000 personas no
fuman, 2500 fuman uno o menos de un
paquete diario y 2500 fuman más de un
paquete diario. En un mes hay un 5% de
probabilidad de que un no fumador comience a
fumar un paquete diario, o menos, y un 2% de
que un no fumador pase a fumar más de un
paquete diario. Para los que fuman un paquete,
o menos, hay un 10% de probabilidad de que
dejen el tabaco, y un 10% de que pasen a
fumar más de un paquete diario. Entre los que
fuman más de un paquete, hay un 5% de
probabilidad de que dejen el tabaco y un 10%
de que pasen a fumar un paquete, o menos.

¿Cuántos individuos habrá de cada clase el
próximo mes?
0 0.93 0.05 0.02
1 0.10 0.80 0.10
2 0.05 0.10 0.85
RESPUESTA:
0 1 2
Después de un mes habrá:
 No Fuman = 5025,
 Fuman uno o menos de un paquete
diarios = 2500,
 Fuman más de un paquete diario = 2475
12. EJERCICIO
La tienda “BROTHERGAMES” dedicada a la
renta de Videojuegos tiene tres locales en la
ciudad de Ambato. Un videojuego puede ser
rentado en cualquiera de los tres locales y

regresado en cualquiera de ellos. Hay estudios
que muestran que los Videojuegos son
rentados en un local y devueltos de acuerdo
con las probabilidades dadas por:
Rentado en
Devuelto a
1 2 3
1 70% 10% 20%
2 20% 80% 0
3 20% 20% 60%
Suponga que el 20% de los videos son
rentados inicialmente en el local 1, el 50% en el
local 2 y el 30% en el local 3. Encuentre los
porcentajes que puede esperarse sean
devueltos en cada local, después de:
a) Una renta
b) Dos rentas
RESPUESTA
 La probabilidad de que los videojuegos
sean devueltos en cada local después
de una renta es:

푃1 = (0,36 0,54 0,40)
 La probabilidad de que los videojuegos
sean devueltos en cada local después
de dos rentas es:
푃2 = (0,44 0,548 0,312)
13. EJERCICIO
Para que Juanito Pérez pueda ingresar a
trabajar en la empresa Konami S.A deberá
pasar la prueba que consiste hacer un peinado
de zona en 3 ciudades A, B y C, para evitar
perder el tiempo entre el desplazamiento de
ciudad en ciudad decide hacer el peinado de
zona por día. Después de un día de trabajo en
la ciudad C, la probabilidad de tener que
trabajar en la misma ciudad al día siguiente es
de 0.4, la de tener que viajar a B es de 0.4 y la
de tener que ir a la ciudad A es de 0.2. Si el
viajero duerme un día en B, con probabilidad de
un 20%, tendrá que seguir trabajando en la
misma ciudad al día siguiente, en el 60% de los

casos viajara a C, mientras que irá a la ciudad
A con probabilidad de 0.2 por último si el
aspirante a vendedor trabaja todo un día en A
permanecerá en esa ciudad al mismo siguiente
con una probabilidad del 0.1, irá a B con una
probabilidad de 0.3 y a C con una probabilidad
de 0.6.
a) Si hoy el viajante está en C, ¿cuál es la
probabilidad de que también tenga que
trabajar en C al cabo de cuatro días?
b) ¿Cuáles son los porcentajes de días en
los que el agente comercial está en cada
una de las 3 ciudades?
RESPUESTA
La matriz de solución P es la siguiente para
el orden A,B,C
푃 = (
0,1 0,3 0,6
0,2 0,2 0,6
0,2 0,4 0,4
)
El apartado a) consiste en averiguar el

término P433, es decir el término que ocupa
la fila 3 y la columna 3 de la matriz P4. lo cual
se obtiene con la fila 3 y la columna 3 de P2,
cuyos valores son;
- - 0,48
- - 0,48
0.18 0.30 0.52
P =
Por tanto el término buscado es:
(0,18) (0,48)+ (0,30) (0,48)+ (0,52) (0,52)= 0,5008
14. EJERCICIO
El valor de una acción fluctúa día con día.
Cuando la bolsa de valores se encuentra
estable, un incremento en un día tiende a
anteceder una baja el día siguiente, y una baja
por lo regular es seguida por un alza. Podemos

modelar estos cambios en el valor mediante un
proceso de Markov con dos estados, el primer
estado consistente en que el valor se
incrementa un día dado, el segundo estado
definido por la baja. (la posibilidad de que el
valor permanezca sin cambio se ignora)
suponga que la matriz de transición es la
siguiente:
Cambio de
Mañana
A B
Cambio
de hoy
A 0.1 0.9
B 0.8 0.2
Si el valor de la acción bajó hoy, calcule la
probabilidad de que se incremente 3 días
después a partir de ahora.
RESPUESTA:

El valor de la acción en 3 días se incrementara
en un 0.36%
15. EJERCICIO
Se analizó en la ciudad de Ambato el número
de estudiantes que se cambió de una escuela
a otra durante su periodo lectivo. En promedio,
Escuela La Salle, fue capaz de retener 65% de
sus estudiantes inscripto originalmente. Sin
embargo, 20% de los estudiantes que al
princip9i se inscribieron en ella se fueron a la
escuela Pensionado La Merced y 15% a la
escuela Juan Montalvo. de esta dos La Merced
: 90% de sus estudiantes se quedaron hasta
terminar totalmente el año lectivo el rector de la
escuela La Salle estima que la mitad de los
estudiante que abandona la escuela
Pensionado La Merced entran a la escuela La
Salle y la otra mitad a la escuela Juan
Montalvo. Esta última pudo retener el 80% de
sus estudiantes después que se inscribieron.
Por otra parte, 10% de los estudiantes

originalmente se cambiaron al Pensionado La
Merced y el otro 10% se inscribió en la Salle.
Actualmente, La Salle tiene 40% del mercado.
Pensionado La Merced, tiene 35% de mercado.
La participación de mercado restante (25%)
consiste en estudiantes que asisten a la
escuela Juan Montalvo.
Al rector de la escuela La Salle de gustaría
determinar la participación de mercado que
tendrá la escuela el próximo año. La matriz de
transición está dada por:
A
DE LA SALLE
PENSIONADO
LA MERCED
JUAN
MONTALVO
LA SALLE 0.65 0.20 0.15
PENSIONADO
LA MERCED
0.05 0.90 0.05
JUAN
MONTALVO
0.10 0.10 0.80

RESPUESTA
ESCUELA PARTICIPACIÓN DE MERCADO
X1 LA SALLE 0.158
X2 PENSIONADO LA MERCED 0.579
X3 JUAN MONTALVO 0.263
16. EJERCICIO
La UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
administra exámenes de competencia cada
semestre. Estos exámenes permiten a los
estudiantes extender la clase de
introducción a la computación que se
imparte en la Universidad. Los resultados de
los exámenes pueden clasificarse en uno de
los siguientes cuatro estados:

Estado 1: aprobación de todos los
exámenes de cómputo y exención del curso
Estado 2: no se aprueba todos los
exámenes de cómputo en el tercer intento y
se requiere tomar el curso
Estado 3: reprobar los exámenes de
cómputo en el primer intento
Estado 4: reprobar los exámenes de
cómputo en el segundo intento
El coordinador de los exámenes del curso ha
notado la siguiente matriz de probabilidades
de transición:
1 0 0 0
0 1 0 0
0.8 0 0.1 0.1
0.2 0.2 0.4 0.2
RESPUESTA

(231; 19)
Como puede observarse, la matriz consta de
dos números. El número de estudiantes que
exentará es de 231. El número de alumnos
que finalmente tendrán que tomar el curso
es de 19.
17. EJERCICIO
El departamento de marketing de
INDUSTRIAS CATEDRAL S.A ha realizado
un estudio de mercado en el año 2013 donde
se estima que el 10% de la gente que
compra un producto un mes, no lo comprará
el mes siguiente. Además, el 45% de
quienes no lo compren un mes lo adquirirá al
mes siguiente. En una población de 1.000
individuos, 200 compraron el producto el

primer mes. ¿Cuántos lo comprarán al mes
próximo? ¿Y dentro de dos meses?
A continuación se muestra la siguiente
matriz de transición:
푷(ퟎ) = (200 800) (
0,90 0,10
0,45 0,55
)
RESPUESTA
 El primer mes comprarán C=540
personas y no comprarán N=460
personas.
 El segundo mes comprarán C=693
personas y no comprarán N= 307
personas.
18. EJERCICIO
Los sectores económicos del Ecuador se
pueden dividir en 3 clases: Primario,

Secundario y Terciario. Actualmente el 30% de
las empresas pertenecen al sector Primario, el
40% al sector Secundario, y el 30% pertenecen
al sector Terciario. La matriz de transición de
un año al siguiente es:
푆. 푃 푆. 푆 푆. 푇
푆. 푃
푆. 푆
푆. 푇
(
0,8 0,1 0,1
0,2 0,8 0
0,1 0,1 0,8
)
Donde:
S.P= Sector Primario
S.S= Sector Secundario
S.T= Sector Terciario
De acuerdo a la información dada, el 푃0 es:
푃0 = (0,3 0,4 0,3)

Preguntas: Encuentre los porcentajes de los
tres tipos Sectores Económicos: a) para el año
próximo, b) dentro de 2 años.
RESPUESTA
 El valor de las probabilidades para el
año siguiente es:
푃1 = (0,35 0,38 0,27) 푃1 = 푃0 ∗ 푇
 El porcentaje para cada tipo de sector
económico para el año 2 es:
푃2 = (0,383 0,366 0,251) 푃2 = 푃1 ∗ 푇
19. EJERCICIO
La empresa “Creaciones Loren´s” produce dos
tipos de buzos, buzos de talla S y buzos de talla
M. El gerente de la empresa se ha dado cuenta
que cada seis meses, los buzos de talla S
permanece en bodega un 40%, 10% se vende
a $20 c/u, 30% no han salido defectuosos (es
decir se mantienen en la talla S) y 20% han
salido defectuosos (es decir se acercan a la

Talla M). Los buzos de talla M un 50% se han
vendido en $50, 20% en $30 y 30% no han
salido defectuosos.
ESTADOS:
BS: Buzos de talla Small
BM: Buzos de talla Medium
B: Permanecen en Bodega
V: Vendidos
BS BM B V
BS 0,3 0,2 0,4 0,1
BM 0 0,3 0 0,7
B 0 0 1 0
V 0 0 0 1
a) ¿Cuantos se mantiene en la talla S (sin
defectos)?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los
buzos permanezcan en bodega antes de
ser vendidos?
RESPUESTA
 1.423 buzos no saldrán defectuosos
 57% de probabilidad de que los buzos
permanezcan en bodega antes de ser
vendidos
20. EJERCICIO
Una estudiante está preocupada por su auto,
pues no le gustan las abolladuras. En la
escuela puede estacionarlo en la calle en un
espacio, en dos espacios o en el
estacionamiento. En la calle, en un espacio, y
la probabilidad de que lo abollen es de
1
10
. En
dos espacios es de
1
50
y la probabilidad de una
infracción es de $15 es de
3
10
. El
estacionamiento le cuesta $5, pero no lo
abollarán. Si lo abollan y lo lleva a reparar, se

queda sin auto 1 día y el costo asciende a $50
por la reparación y el transporte en taxi.
También puede manejar su auto abollado, pero
piensa que la pérdida del valor y su orgullo
equivalen a un costo de $9 por día de escuela.
Desea determinar la política óptima para
estacionarse y repararlo o no si lo abollan a fin
de minimizar su costo promedio esperado (a
largo plazo) por día de escuela.
a) Formule este problema como un
proceso de decisión markoviano;
identifique estados y decisiones y
encuentre 퐶푖푗.
b) Encontrar la política óptima por
enumeración exhaustiva.
RESPUESTA:
 Los estados posibles del automóvil son
abollado y no abollado.
 Cuando el automóvil no este abollado,
estacionarlo en un espacio en la calle.

Cuando este abollado, llevarlo a
reparación.
7. BIBLIOGRAFÍA:
 FREDERICK S. HILLER, GERALD J.
LIEBERMAN, Introducción a la
Investigación Operativa, 9na edición, Mc
Graw Hill.
 GIL ALUJA J.; (1967); El Estudio
Dinámico De La Elección De
Inversiones; Técnica Contable; Pág. 41-
50 y 66.
 HERNÁNDEZ, B; (2000); Bolsa y
estadística bursátil; España; Editorial-
Díaz De Santos S.A; Pág. 29.
 JOHNSON David B, MOWRY Thomas
A. Matemáticas finitas: aplicaciones
prácticas. Año 2000. Editorial Thomson.
pág. 340

 LÓPEZ E.; Departamento De Dirección
Y Economía De La Empresa; España;
Campus de vegazana; Pág. 355 - 356
 RENDER BARRY, STAIR RALPH,
HANNA MICHAEL, (2006). Métodos
Cuantitativos para los Negocios; México
Novena Edición, Pearson.

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