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ESTADÍSTICA
 APLICADA EN
CONFIABILIDAD
CONTENIDO


• CONFIABILIDAD BASICA
• FIABILIDAD EN SISTEMAS
• DIAGRAMA DE PARETO
• DISTRIBUCION BINOMIAL
• DISTRIBUCION DE POISSON
• DISTRIBUCION DE WEIBULL
CONFIABILIDAD
      BASICA
COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA


COMPONENTE
DEFINIDO COMO LA PARTE PEQUEÑA DE UN ENSAMBLE.
EJEMPLOS: UN RESORTE, UN TORNILLO, UN PIÑON, UNA
BALINERA, ETC.

EQUIPO
DEFINIDO COMO UN CONJUNTO DE COMPONENTES
INTEGRADOS EN UNA FUNCION PREVIAMENTE DEFINIDA.
EJEMPLOS : BOMBAS, MOTORES, LICUADORAS, ETC.

SISTEMA
DEFINIDO COMO UN CONJUNTO EQUIPOS QUE EN SU
INTEGRIDAD PRESTA UN A FUNCION ESPECIFICA. EJEMPLO:
FUNCION DE BOMBEO( MOTOR + BOMBA), ETC.
ESTRUCTURA DE PROCESOS




       MEGAPROCESOS      PROCESOS
                         CENTRALES
       MACROPROCESO


         PROCESOS


       SUBPROCESOS


     PROCEDIMIENTOS

          TAREAS


        ACTIVIDADES
ESTRUCTURA DE PROCESOS


PROCEDIMIENTO (Es la forma y secuencia      como se deben realizar

      un conjunto de tareas)




         TAREAS (Es el conjunto de actividades que constituyen un
         trabajo u oficio)




              ACTIVIDADES (Acciones de transformación que la
         persona realiza)
FIABILIDAD DE SISTEMAS

Sistemas en serie

              CI       C2        C3




                            C1
Sistemas en paralelo

                            C2
FIABILIDAD DE SISTEMAS

Sistemas en serie

        R ( s ) ( t ) = ψ ( R1 ( t ),..., R k ( t ))
                         k
                    =   ∏ R (t )
                        i =1
                               i




Sistemas en paralelo
                                    k
      R   ( p)
                 (t ) = 1 − ∏ (1 − Ri (t ))
                                   i =1
COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA




PARA ENCONTRAR LA CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA (Rs ),
EN SERIE, SE HACE NECESARIO ENCONTRAR EL
PRODUCTO DE LAS CONFIABILIDADES INDIVIDUALES DE
SUS COMPONENTES.



      R1 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 1
      R2 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 2
      Rn = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE

      Rs = R1 X R2 X R3 X........................Rn
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD



EJEMPLO No3: Nels Electric, COLORADO, PRODUCE UN
SWITHC REVELADOR ELECTRICO, QUE TIENE TRES
COMPONENTES DISPUESTOS EN SERIE:


     R1           R2           R3

    0,90          0,80        0,99         Rs



          Rs = 0,90 x 0,80 x 0,99 = 0,713 ( 71% )
FIABILIDAD DE SISTEMAS
EJEMPLO 1:
Una tarjeta de computadora tiene 200 componentes que deben
funcionar en forma correcta. La confiabilidad de cada componente,
para un periodo de 200 hr de funcionamiento, es R=0.9999.
¿Cual es la confiabilidad de la tarjeta para este
intervalo?




    to = 200 hr

   R (t o ) = (0.9999 )
      (s)
      sis
                                        200
                                              = 0.9802
FIABILIDAD DE SISTEMAS

• ¿Que pasaría si cada uno de los componentes
  tuviera una confiabilidad de 0.99?




  R (t o ) = (0.99 )
    (s)
    sis
                          200
                                = 0.134
FIABILIDAD DE SISTEMAS
EJEMPLO 2
                       M1       RM1 = R1 .R2
            C1   C2




                 C4


        C3

                 C5
                       M2
                 RM2 = R3 (1-(1- R4)(1- R5)) R3
                       = R3(R4+ R5 - R4R5)
                      = R3R4+ R3R5 - R3R4R5
FIABILIDAD DE SISTEMAS

                    M1


                    M2


• Por ultimo la confiabilidad del sistema es
           RSIS = 1-(1-RM1)(1-RM2)
EJEMPLO COMPARATIVO (serie y paralelo)
              R1               R2                  R3              R4
             0,95              0,95                0,95                0,95
SISTEMA
EN SERIE
              Rs = 0,95 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 081450625


                                    R1=0,95


                                     R1=0,95
SISTEMA EN
PARARLELO
                                     R1=0,95


                                    R1=0,95

               R    S
                        = 1− ( −
                              1    R )(1 − R )(1 − R )(1
                                     1         2          3
                                                              −   R )
                                                                   4



               Rs = 1- (0,05 x 0,05 x 0,05 x 0,05) =0,9999935
EJEMPLO N2: CALCULO DE CONFIABILIDAD DE UN
              M1     SISTEMA
           1               2                  3

      0,99              0,99              0,99                         SUBSISTEMA M1
                          2                   3
        1
                                                        RM1= R1 x R2x R3 =0,99 x 0,99 x 0,99=0,970299
                        0,75     5


      0,99                       6
                                                                      SUBSISTEMA M2
                        0,75              0,99
       4                                      88
                                 7 7
                                                        RM2= ( 1- (1-R5)(1-R6)(1-R7))
                        0,75
               M2                         M3            RM2= ( 1- (1-0,75)(1-0,75)(1-0,75)) =

                                                        RM2= (1-(0,25)(0,25)(0,25))= 0,984375
            1
                    0,970299                       M1
                                                                        SUBSISTEMA M3
                                     5                  RM3= (R4 x RM2 x R8)= 0.99 x 0,984375 x 0,99
       0,99
                        0,9843       6    0,99     M3   RM3= 0,964785
        4
         4               M2                   8
                        0,7          7
                        52
                                                                      SISTEMA TOTAL (S)
                    0,970299             M1
                                                        R (S) = (1 – (1-RM1)(1-RM3)) =
QUIZ No1                                                R (S) = (1 - (1-0,970299)(1-0,964785)) =0,99895
                    0,964785             M3
SISTEMA DE RESERVA (STANBY)

ES UN SISTEMA QUE ESTA EN ESTADO DESACTIVADO Y EN
PARALELO CON UN SISTEMA EN OPERACIÓN, EN ESPERA DE
ENTRAR EN SERVICIO UNA VEZ QUE EL SISTEMA BASICO
OPERATIVO FALLE.
                            PARA TASAS DE FALLA DIFERENTES

 OPERANDO
             C1
                           RS = R1+ λ1(λ −λ       )R
                                                     (1 − l (λ λ ) )
                                                     2
                                                                −   1
                                                                        −   2
                                                                                .t

                                          1   2


                            PARA TASAS DE FALLA IGUALES

              C2
                                                     λ t   (1   + λ t           )
  RESERVA
                            R     t
                                      =       l
SISTEMA DE RESERVA (STANBY)
EL CIRCUITO DE AGUA DE ALIMENTACION DE UNA CALDERA DE VAPOR DISPONE, PARA UNA
MAYOR SEGURIDAD, DE DOS BOMBAS CENTRIFUGAS EN PARALELO, DE LAS CUALES UNA
ESTARÁ EN FUNCIONAMIENTO Y LA OTRA EN RESERVA ( TASA DE FALLAS = 0,1 FALLOS/AÑO).
LA CONMUTACION DE UNA A OTRA SE HARA EN FORMA MANUAL O AUTOMATICA,
RALIZANDOSE CON UN PULSADOR EN EL PANEL DE CONTROL DE LA CALDERA. SE ASUME QUE
LA MANIOBRA DE CONMUTACION ES INSTANTANEA Y SIN FALLOS. ¿DETERMINAR LA
FIABILIDAD DURANTE DOS AÑOS?.


                                             PARA TASAS DE FALLA IGUALES
 OPERANDO
             P1
                                         R       t
                                                      =         l
                                                                      λ t
                                                                            x   (1   +         λ t        )
                                                                                           (−0 , 2 )
                                                                   x (1 + 0 ,1 x 2 ) = l
                                                      − 0 ,1 x 2
                                         R2 = l                                                        x1, 2

                                         R   2
                                                 = 0 , 81873                x 1 , 2 = 0 , 9824
             P2
                                                                                      ( −0, 2 )
                                                              x(1 + 0,001x0,1x 2) = l
 RESERVA                                          −0 ,1 x 2
                                         R2 = l                                                   x1,0004
Y SI SE SUPONE QUE LA CONMUTACION
PUEDE FALLAR Y QUE SU FIABILIDAD ES
                                         R   2
                                                 = 0 ,81873 x1, 0004 = 0 ,8190
DE 0,002, LA SOLUCION SERIA
DIAGRAMA DE PARETO

Principio de Pareto (pocos vitales, muchos triviales)



Detectar los problemas que tienen más relevancia



Ya que por lo general, el 80% de los resultados
totales se originan en el 20% de los elementos.
DIAGRAMA DE PARETO


Ejemplo de Minorías vitales:
  – La minoría de clientes que representen
    la mayoría de las ventas.
  – La minoría de problemas causantes del
    grueso del retraso de un proceso.
  – La minoría de personas que controlan la
    mayoría de dinero en un país.
DIAGRAMA DE PARETO

• Es una gráfica donde se organizan diversas
  clasificaciones   de     datos   por     orden
  descendente, de izquierda a derecha por medio
  de barras sencillas después de haber reunido
  los datos para calificar las causas, de modo
  que se pueda asignar un orden de prioridades.
DIAGRAMA DE PARETO

• El Dr. Juran aplicó este concepto a la calidad,
  obteniéndose lo que hoy se conoce como la
  regla 80/20.

• Según este concepto, si se tiene un problema
  con muchas causas, podemos decir que el
  20% de las causas resuelven el 80% del
  problema y el 80% de las causas solo
  resuelven el 20% del problema.
DIAGRAMA DE PARETO

Para que se utiliza:

   •   Para analizar las causas
   •   Para estudiar los resultados
   •   Para planear una mejora continua
   •   Las Gráficas de Pareto son especialmente
       valiosas como fotos de “antes y después”
       para demostrar qué progreso se ha
       logrado.
DIAGRAMA DE PARETO

Pasos para llevar a cabo este diagrama:

• Determinar los datos a reunir (diseño de la investigación).
• Recoger los datos.
• Organización de los datos (tablas de frecuencia, graficas,
  etc.)
• Calcular índices que permitan resumir los datos
  recolectados.
• Analizar y evaluar la información.
• Tomar de decisiones.
• Controlar los cambios realizados.
DIAGRAMA DE PARETO

Ejemplo:

 • Un fabricante de heladeras desea
   analizar cuales son los defectos más
   frecuentes que aparecen en las
   unidades al salir de la línea de
   producción.
DIAGRAMA DE PARETO

   Modo de falla                          Causa de la falla            Frec.
Burlete Def.         Burlete roto o deforme que no ajusta               9
Pintura Def.         Defectos de pintura en superficies externas        5
Gavetas Def.         Gavetas interiores con rajaduras                   1
Mala Nivelación      La heladera se balancea y no se puede nivelar      1
Motor no arranca     El motor no arranca después de ciclo de parada     1
Motor no detiene     No para el motor cuando alcanza Temperatura        36
No enfría            El motor arranca pero la heladera no enfría        27
No funciona          Al enchufar no arranca el motor                    2
Otros                Otros Defectos no incluídos en los anteriores      0
Puerta Def.          Puerta de refrigerador no cierra herméticamente    0
Puerta no cierra     La puerta no cierra correctamente                  2
Rayas                Rayas en las superficies externas                  4
Total:                                                                  88
DIAGRAMA DE PARETO

Tipo de Defecto                 Detalle del Problema                 Frec.   Frec acum.
Motor no detiene   No para el motor cuando alcanza Temperatura        36        36
No enfría          El motor arranca pero la heladera no enfría        27        63
Burlete Def.       Burlete roto o deforme que no ajusta               9         72
Pintura Def.       Defectos de pintura en superficies externas        5         77
Rayas              Rayas en las superficies externas                  4         81
No funciona        Al enchufar no arranca el motor                    2         83
Puerta no cierra   La puerta no cierra correctamente                  2         85
Gavetas Def.       Gavetas interiores con rajaduras                   1         86
Mala Nivelación    La heladera se balancea y no se puede nivelar      1         87
Motor no arranca   El motor no arranca después de ciclo de parada     1         88
Puerta Def.        Puerta de refrigerador no cierra herméticamente    0         88
Otros              Otros Defectos no incluidos en los anteriores      0         88
Total:                                                                88
DIAGRAMA DE PARETO
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD



PARA   CREAR   UN   MODELO    MATEMÁTICO   PARA  LA
PROBABILIDAD    DE     FALLO,   CONSIDERAMOS     EL
FUNCIONAMIENTO DE UN DETERMINADO ELEMENTO EN EL
MEDIO PARA ÉL ESPECIFICADO. DEFINIMOS LA VARIABLE
ALEATORIA COMO EL TIEMPO DURANTE EL QUE EL ELEMENTO
FUNCIONA SATISFACTORIAMENTE ANTES DE QUE SE
PRODUZCA UN FALLO.

LA PROBABILIDAD DE QUE EL ELEMENTO PROPORCIONE UNOS
RESULTADOS SATISFACTORIOS EN EL MOMENTO T SE PUEDE
DEFINIR COMO FIABILIDAD. LA DESIGNAMOS R (T)
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

DE UNA FORMA PRÁCTICA SI DESIGNAMOS:

NS (T) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO EN EL INSTANTE T

N (0) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO AL PRINCIPIO

NF (T) = Nº DE ELEMENTOS AVERIADOS HASTA EL MOMENTO T

SE CUMPLIRÁ:

N (0) = NF (T) + NS (T)
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

LA FIABILIDAD R (T) ESTÁ RELACIONADA CON LA FUNCIÓN
INVERSA LLAMADA INFIABILIDAD Q (T) QUE ES SU
PROBABILIDAD CONTRARIA O SEA LA PROBABILIDAD DE QUE
OCURRA UN FALLO ANTES DEL INSTANTE T.

POR LO TANTO LA INFIABILIDAD VALDRÁ:


                                                    −t
                                       R (t ) = l        m




   CUMPLIÉNDOSE QUE: la no confiabilidad Q(T)
             Q (T) = 1 - R (T) (4)
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD




           Q[ ] =1− R( )t                t




               −t
  R (t ) = l        m




                                −t
                    R( ) =l t
                                     m
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

FALLA:  ES EL CAMBIO EN UN PRODUCTO O SISTEMA DESDE UNA
CONDICION SATISFACTORIA ( ESTANDAR )    DE TABRAJO, A UNA
CONDICION DE TRABAJO POR DEBAJO DEL ESTANDAR.
LA UNIDAD BASICA DE MEDIDA PARA CONFIABILIDAD ES LA TASA DE
FALLA DEL PRODUCTO (FR) . LA TASA DE FALLA MIDE EL PORCENTAJE
DE FALLAS ENTRE EL NUMERO TOTAL DE PRODUCTOS PROBADOS, O
DE UN NUMERO DE FALLAS DURANTE UN PERIDO DE TIEMPO, ( FR (N) ).

FR (%) = NUMERO DE FALLAS / NUMERO DE UNIDADES PROBADAS

FR (N ) = NUMERO DE FALLAS / UNIDADES DE TIEMPO DE OPERACION

QUIZAS EL TERMINO MAS COMUN EN EL ANALISIS DE CONFIABILIDAD
ES EL TIEMPÓ PROMEDIO DE FALLA ( MTBF) QUE ES EL RECIPROCO
DE FR(N).


FR ( N ) = λ                    MTBF =        1 / FR (N)
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

EJEMPLO No2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS, QUE SERAN
UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN LOS TRANSBORDADORES,
FUERON OPERADOS DURANTE 1000 HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA
DE LA NASA EN HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON
DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL OTRO DESPUES
DE LAS 600 HORAS. 1. CUAL ES EL PORCENTAJE DE FALLAS?. 2.CUAL ES EL
NUMERO DE FALLAS POR TIEMPO DE OPERACIÓN? 3. CALCULE EL TIEMPO
PROMEDIO DE FALLAS?
1.FRECUENCIA DE FALLA         FR(%) = NUMERO DE FALLAS/ No UNIDADES
PROBADAS    DE DONDE                   FR( % ) = 2/20 = 0,10 O 10 %
2. No FALLAS POR HORA DE OPERACIÓN:
FR( N) = NUMERO DE FALLAS/TIEMPO DE OPERACIÓN                DE DONDE
FR( N ) = 2 / TIEMPO TOTAL OPERACIÓN - TIEMPO PERDIDO
REMPLAZANDO FR ( N) = 2/ (1000x 20) – [( 800 hrs . 1 falla) + (400 hrs. 2
falla)]
RESULTADO       FR ( N ) = 2 fallas/ 18800 hrs = 0,000106 UNIDADES HORA
POR OTRA PARTE : MTBF = 1 / FR(N) = 1/ 0,000106 = 9434 hrs
MEDICION DE LA CONFIABILIDAD

EJEMPLO2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS,
QUE SERAN UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN
LOS TRANSBORDADORES, FUERON OPERADOS DURANTE 1000
HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA DE LA NASA EN
HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON
DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL
OTRO DESPUES DE LAS 600 HORAS.
3. SI EL VIAJE TIPICO DEL TRASBORDADOR DURA 60 DIAS , LA
NASA ESTA INTERESADA EN CONOCER CUAL ES LA TASA DE
FALLA POR VIAJE?:
TASA DE FALLA = ( No.FALLAS/HORA) X (UNIDADES) X ( TOTAL
HORAS DE OPERACIÓN
TASA DE FALLAS = ( 0,000106 ) ( 24 hrs / dia X 60 dias / viaje)
TASA DE FALLAS = 0,000106 x 24 x 60
TASA DE FALLAS = 0,152 FALLAS POR VIAJE
CONFIABILIDAD BASICA

           TASA INSTANTÁNEA DE FALLA

         f (t )             λ(t) es la frecuencia con que
λ (t ) =
         R (t )             se presentan los fallos en
                  t         los             componentes,
R (t ) = e ∫o λ ( t ). dt
              −
                            expresada en fallos/hora.

La inversa de λ(t), 1/λ(t) (horas/fallo) es el denominado
MTBF (Mean Time Between Failures, Tiempo Medio
Entre Fallos).
ESTRUCTURA DE TIEMPOS DE FALLA




                             MTTF                     MTTR
                   MTTF: MEAN TIME TO FAILURE MTTF: MEAN
                                               TIME TO
                                                REPAIR

                      MTBF
          MTTF: MEAN TIME BETWEEN FAILURE




                                            Falla 2
Falla 1
¿QUÉ ES MTBF

           1
 MTBF =
           λ
           1
 MTBF =               SI LA RATA DE FALLA
           1          DE UN COMPONENTE
                      ES UNA CADA 10
        10 años       AÑOS O
                                  1
                          λ=
                               10 años
 MTBF = 10 años



EJEMPLO1                  EJEMPLO2
DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS
¿ si hay una población de 100 lámparas con rata de fallas de 1/10
años, cuantas habrán fallado cuando regrese a los 10 años.?
AÑOS          RATA DE
              FALLAS      λ    ITEMS NO
                               FALLADOS
                                                 ITEMS
                                               FALLADOS
                                                                ITEMS
                                                              RESTANTES
          1             0,1       100,00            10,00          90,00
          2             0,1        90,00             9,00          81,00
          3             0,1        81,00             8,10          72,90
          4             0,1        72,90             7,29          65,61
          5             0,1        65,61             6,56          59,05
          6             0,1        59,05             5,90          53,14
          7             0,1        53,14             5,31          47,83
          8             0,1        47,83             4,78          43,05
          9             0,1        43,05             4,30          38,74
         10             0,1        38,74             3,87          34,87
Habran fallado                   61,26%
En la práctica esto significa que, poniendo en funcionamiento 100 lámparas
del mismo tipo, cuando hayan pasado un número de horas t = m = MTBF
funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los 62 restantes
DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS
                       En la práctica esto significa que, poniendo en
            100        funcionamiento 100 lámparas del mismo tipo, cuando
            90         hayan pasado un número de horas t = m = MTBF
                       funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los
LAMPARAS



            80         62 restantes
            70
            60

            50

            40
38%
            30
            20

            10
            00
                  01 03 05 07   09 11 13 15 17 19 21 23 AÑOS
                                MTBF (EN TERMINOS DE WEIBULL   η   )
EJERCICIO No. 1 : CONFIABILIDAD

¿CALCULAR LA CONFIABILIDAD ( R ), PARA LOS TIEMPOS
INDICADOS EN LA TABLA, TENIENDO EN CUENTA QUE MTBF
DE LA BOMBA ES DE 36 MESES?

 TABLA DE DATOS                         SOLUCION

TIEMPO   ¿R?   MESE DATOS DEL MESES        ⎛
                                           ⎜
                                               t  ⎞ ⎛ t ⎞
                                                  ⎟ −⎜     ⎟
                                                                    ⎛ t
                                                                   −⎜
                                                                           ⎞
                                                                           ⎟
   DE
OPERA
                S    EJENPLO (por -1)
                                      MTBF
                                           ⎝ MTBF ⎠ ⎝ MTBF ⎠   l    ⎝ MTBF ⎠

 CION              1     720      -1    36 (1/36)    -0,0278 0,972604
1 MES           6,94    5000   -6,94    36 (6,94/36) -0,1928 0,824665
          ?
                120       10    -120    36 (120/36) -3,3333 0,035674
5000      ?
HORAS
                  36       3     -36    36                -1 0,367879
10        ?
AÑOS
TABLA EXPONENCIAL



x/m      0,00     0,01     0,02     0,03     0,04     0,05     0,06     0,07     0,08     0,09

 0,0   1,0000   0,9900   0,9802   0,9704   0,9608   0,9512   0,9418   0,9324   0,9231   0,9139

 0,1   0,9048   0,8958   0,8860   0,8781   0,8694   0,8607   0,8521   0,8437   0,8553   0,8270

 0,2   0,8187   0,8106   0,8025   0,7945   0,7866   0,7788   0,7711   0,7634   0,7758   0,7483

 0,3   0,7408   0,7334   0,7261   0,7189   0,7116   0,7447   0,6977   0,6907   0,6839   0,6771

 0,4   0,6703   0,6637   0,6570   0,6505   0,6440   0,6376   0,6313   0,6250   0,6188   0,6126



 0,5   0,6065   0,6005   0,5945   0,5886   0,5827   0,5769   0,5712   0,5655   0,5599   0,5543

 0,6   0,5488   0,5434   0,5379   0,5326   0,5273   0,5220   0,5169   0,5117   0,5066   0,5016

 0,7   0,4966   0,4916   0,4868   0,4819   0,4771   0,4724   0,4677   0,4630   0,4584   0,4538

 0,8   0,4493   0,4449   0,4404   0,4360   0,4317   0,4274   0,4232   0,4190   0,4148   0,4107

 0,9   0,4466   0,4025   0,3985   0,3946   0,3906   0,3867   0,3829   0,3791   0,3753   0,3716

x/m      0,00     0,01     0,02     0,03     0,04     0,05     0,06     0,07     0,08     0,09

  1    0,3679   0,3329   0,3012   0,2725   0,2466   0,2231   0,2019   0,1827   0,1653   0,1496

  2    0,1353   0,1225   0,1108   0,1003   0,0907   0,0821   0,0743   0,0672   0,0608   0,5500

  3    0,0498   0,0450   0,0408   0,0369   0,0334   0,3202   0,0273   0,0247   0,0224   0,2020

  4    0,0183   0,0166   0,0150   0,0130   0,0123   0,0111   0,0101   0,0091   0,0082   0,0074

  5    0,0067   0,0061   0,0055   0,0050   0,0045   0,0045   0,0037   0,0033   0,0030   0,0027

  6    0,0025   0,0022   0,0020   0,0018   0,0017   0,0015   0,0014   0,0012   0,0011   0,0010
EJEMPLO PRÁCTICO


DURANTE EL PROGRAMA DE MANTENIMIENTO ANUAL QUE
REALIZA UNA EMPRESA SE HAN RECOGIDO LOS DATOS DE FALLOS
DE UN CONJUNTO DE 50 VÁLVULAS MECÁNICAS HABIENDO
FALLADO 2 DE ELLAS. PARA REPROGRAMAR EL PROGRAMA DE
MANTENIMIENTO PREVENTIVO QUE SE LLEVA ACTUALMENTE EN
LA EMPRESA SE DESEA SABER:

1. TASA DE FALLOS ANUAL PARA DICHAS VÁLVULAS.
2. QUÉ PROBABILIDAD TIENE UNA VÁLVULA DE FALLAR ANTES DE
   ALCANZAR UN TIEMPO DE FUNCIONAMIENTO DE 4 MESES.
3. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE LA UNA VÁLVULA ESTÉ
   EN FUNCIONAMIENTO AL CABO DE 6 MESES.
4. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA
   ESTÉ COMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES.
5. DETERMINAR UN INTERVALO DE VIDA CON UN NIVEL DE
   CONFIANZA (CENTRADO) DEL 90 %.
SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO



1.   LA TASA DE FALLOS SERÁ LA RELACIÓN ENTRE EL NÚMERO DE VÁLVULAS
     FALLADAS Y EL NÚMERO TOTAL DE VÁLVULAS EN FUNCIONAMIENTO:




2.
2.   LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO
     LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO
     DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T):
     DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T):


Q(t)= 1 - exp ( - λt)
λ= 4. 10-2
t = 4 meses - expresado en años = 1/3 año
Luego, para t = 1/3, se tendrá:
Q (t) = 1 - exp (- 4.10 -2 . 1/3) = 1 - 0,986886 = 0,013114
SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO




3. LA PROBABILIDAD DE QUE NO SE HAYA PRODUCIDO EL
   FALLO ANTES DE LOS 6 MESES SERÁ LA FIABILIDAD PARA
   ESE TIEMPO, QUE RESULTARÁ:




R (T) = EXP (-λT) = EXP (- 4. 10-2 . 1/2) = EXP (- 0,002) =
0,998

ESTO QUIERE DECIR QUE EXISTE UNA PROBABILIDAD
DEL 99,80 % DE QUE UNA VÁLVULA NO SE AVERÍE
ANTES DE LOS SEIS MESES.
SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

4. LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA ESTÉ
   COMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES SERÁ LA DIFERENCIA
   ENTRE LA PROBABILIDAD DE QUE FALLE ANTES DE LOS 6
   MESES Y LA DE QUE FALLE ANTES DE LOS 4 MESES;
   MATEMÁTICAMENTE SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LAS
   INFIABILIDADES DE AMBOS PERIODOS DE TIEMPO SEA:


Pr = Q (1/2) - Q (1/3) =

=[1 - exp (- 1/2)] - [1 - exp (- 1/3)] =

=exp (- 1/3) - exp (-1/2) =

= 0,7165-0,6065= (11 %)
SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO

5. SUSTITUYENDO LAS EXPRESIONES               LUEGO, DEBE VERIFICARSE
ANTERIORES POR SUS RESPECTIVOS                QUE LOS VALORES DE LA
VALORES TENDREMOS:
                                              INFIABILIDAD  PARA   LOS
1 - EXP (- T1) = 0,05
                                              MOMENTOS T1, Y T 2 SERÁN
1 - EXP (-T2) = 0,95                          RESPECTIVAMENTE:
DESPEJANDO:
                                              Q (T1) = 0,05
EXP (- T1) = 0,95

EXP (- T2) = 0,05                             Q (T2) = 0,95
INVIRTIENDO:
EXP (T1) = 1,06 DE DONDE T1 = 0,05826
AÑOS

EXP (T2) = 20 DE DONDE T2 = 2,9957
AÑOS
Luego, para un nivel de confianza del 90 %,
la vida de la válvula estará comprendida
entre 0,05826 y 2,9957 años.
DISTRIBUCION DE
       WEIBULL
DISTRIBUCION DE WEIBULL


EL ANÁLISIS DEL WEIBULL DE DATOS DE FALLA ES
UNA     HERAMIENTA    IMPORTANTE    DE    LA
CONFIABILIDAD. LA DISTRIBUCIÓN DEL WEIBULL
FUE INVENTADA POR WALODDI WEIBULL EN LOS
AÑOS 1930. ES EL MODELO ESTADÍSTICO MÁS
POPULAR PARA LOS DATOS DE VIDA        DE UN
EQUIPO.

WEIBULL TIENE LA VENTAJA DE USAR LOS
TAMAÑOS DE LA MUESTRA MUY PEQUEÑOS PARA
HACER JUICIOS RAZONABLE DE CONDUCTA
FUTURA DE VIDA DE LOS EQUIPOS
LAS CURVAS DE WEIBULL

       Zona 1              Zona 2                  Zona 3

      Eta =1                Eta =2             Eta =3




         Beta < 1          Beta = 1          Beta > 1




    Gamma 1     Gamma 2                 Gamma 3

Los parámetros de weibull pueden describir cualquier
comportamiento de falla durante el ciclo de vida de un equipo,
usando las tres zonas de la curva de la bañera.
DISTRIBUCION DE WEIBULL




La Distribución Weibull de Tres parámetros


                      γ




ETA     η   = Parámetro escalar.

BETA    β = Parámetro de forma.
GAMMA   γ   = Parámetro de posición.
PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION DE
               WEIBULL

η      ETA, LA CARACTERÍSTICA DE VIDA, O EL PUNTO A
       QUE 63,2% DE LOS ITEMS PROBABLEMENTE
       HABRÁN FALLADO CON EL MISMO MODO DE FALLA.




β
       BETA,   ES LA CUESTA DE LA CURVA     O    LA
       CARACTERÍSTICA DE LA FORMA DE LA CURVA    DE
       FALLAS. LA BETA SE USA PARA AYUDAR         A
       DETERMINAR QUÉ CLASE DE ACTIVIDADES       DE
       MANTENIMIENTO SE DESTINA PARA UN MODO     DE
       FALLA DADO.


γ     GAMMA DESCRIBE EL PUNTO A QUE LA
      CURVA DE WEIBULL CAMBIA DE FORMA.
DISTRIBUCION DE WEIBULL
      Efectos Característicos del Parámetro de Forma




.




    Se puede ver que la forma de la función de densidad puede tomar una
    variedad de formas basadas en el valor de
DISTRIBUCION DE WEIBULL
 Efectos Característicos del Parámetro de
                  Escala
DISTRIBUCION DE WEIBULL

 Efectos Característicos del Parámetro de
                 Posición
DISTRIBUCION DE WEIBULL

La ecuación para la función de densidad Weibull
acumulativa de tres parámetros, es dada por




El valor r(t), en el tiempo t, es la razón de falla
instantánea de los componentes que aun existen en el
periodo t
EJERCICIO No. 2 : CONFIABILIDAD

CUAL ES LA CONFIABILIDAD DE UN VENTILADOR
PARA UN TIEMPO DE OPERACIÓN DE 17.000 HORAS,
SI EL VENTILADOR TIENE UNA CARACTERISTICA DE
VIDA DE η DE 8760 HORAS Y BETA β ES DE 4,07


                      (             )l
                 β

             − ⎛ t ⎞ = 17000
                                    4
                                            − (1 , 94 )4

   R (t ) = l ⎜ η ⎟ l
                                        =
               ⎝   ⎠         8760


                                 −7
          R ( t ) = 6 ,92 X 10
PROPIEDADES ESTADISITICAS DE
  LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

La Media o MTTF




La Desviación Estándar
REGRESION EN LA DISTRIBUCION
             DE WEIBULL
Convertir la función en una forma lineal




                                           x= Ln(T)

que causa la ecuación lineal de,
REGRESION EN LA DISTRIBUCION
              DE WEIBULL




     ∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑ xy                n∑ xy − ∑ x∑ y
a=                              b=β =
       n∑ x − (∑ x )                     n∑ x − (∑ x )
            2        2                        2      2




                                    a

                            η = e   −β
DESARROLLO DE LAREGRESION
   EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión

1. Primero se alinea los tiempos de fallo en orden
   ascendente

2. Segundo se Obtiene la mediana trazando
   posiciones, mediante la siguiente ecuación:




   donde i es el número de orden de fallos y N es el
   tamaño total de la muestra.
DESARROLLO DE LAREGRESION
   EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión


3. Tercero     debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar
  represión lineal mediante las siguientes ecuaciones:
DESARROLLO DE LAREGRESION
   EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión




4. Cuarto     debemos realizar la tabla de regresion lineal


  Tiempo de    F(T)     x      y      xy      x2     y2
  falla
DESARROOLLO DE LAREGRESION
      EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión


5. Quinto        debemos hallar a y b



 a=
      ∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑ xy
                                 b=β =
                                         n∑ xy − ∑ x∑ y
        n∑ x − (∑ x )                    n∑ x − (∑ x )
             2        2                              2
                                              2




Donde                                     a

                                η=e      −β
DESARROOLLO DE LAREGRESION
   EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL

Pasos para la regresión



6. Sexto se puede hallar la  confiabilidad o razón de falla
   instantánea de los componentes
DISTRIBUCION DE WEIBULL


                        EJEMPLO:
Asuma que seis unidades idénticas con la fiabilidad
probada en la misma aplicación y niveles de tensión de
operación. Todas estas unidades fallan durante la prueba
después de haber funcionado el número siguiente de horas
: 93, 34, 16, 120, 53 y 75. Estime los valores de los
parámetros para una distribución Weibull de dos
parámetros y determine la fiabilidad de las unidades a la 15
horas puesto a operar 1 semana después de haber sido
compradas
DISTRIBUCION DE WEIBULL
1. Primero, alinee los tiempos a falla en orden
   ascendente así:

       Tiempo a Fallar     Orden de numero
           (horas)             de fallas
             16                   1

             34                   2

             53                   3

             75                   4

             93                   5

            120                   6
DISTRIBUCION DE WEIBULL

2. Paso : Se Obtiene la mediana trazando posiciones,
   mediante la siguiente ecuación:




donde i es el número de orden de fracaso y N es el tamaño
total de la muestra.


           MR% = (1 – 0.3 / 6 + 0.4) *100
           MR% = 10.91
DISTRIBUCION DE WEIBULL
2. Segundo .Los tiempos a falla, con sus filas
  correspondientes medianas, son las siguientes

          Tiempo a Fallar
                               MR o F (T)
              (horas)
                16                10.91

                 34               26.44

                 53               42.14

                 75               57.86

                 93               73.56

                120                89.1
Tamaño de muestra
N
u
m
e
r
o


d
e


f
a
ll
o
s
DISTRIBUCION DE WEIBULL

3. Tercero:    Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder
  aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones:



               Yi = ln ( -ln (1 - 0.1091))
                         Y1 =2,15


                         X1 = ln 16
                         X1 = 2.77
DISTRIBUCION DE WEIBULL

3. Tercero:    Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder
  aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones:



               Yi = ln ( -ln (1 - 0.2644))
                        Y1 = -1,18


                         X1 = ln 34
                         X1 = 3,52
DISTRIBUCION DE WEIBULL
4. Cuarto          debemos realizar la tabla de regresion lineal
 Tiempo a Fallar      F(t)    Y      X       xy       x2       y2

       16            10.91   -2,15   2,77    -5,955   7,672    4,6225

       34            26.44   -1,18   3,52   -4,1536   12,39    1,3924

       53            42.14    -0,6   3,97    -2,382   15,76      0,36

       75            57.86   -0,14   4,31   -0,6288   18,57   0,02128

       93            73.56           4,53   1,2910    20,52   0,08122
                             0,28
      120            89.1     0,79   4,78   3,8039    22,84   0,63329

      391                    -2,99   23,8   -8,0249   97,76   7,11070
DISTRIBUCION DE WEIBULL
Luego a través de las ecuaciones de Represión hallamos
ayb

       a=
            ∑ x 2 ∑ y − ∑ x∑ xy
              n∑ x − (∑ x)
                   2        2


          (97.76 * −2.99) − (23.88 * −8.0249)
       a=                                     = −6.15
                6(97.7696 − (23.88 ))
                                    2



                n ∑ xy − ∑ x ∑ y
       b=β =
                 n ∑ x − (∑ x )
                        2          2


          6( −8.0249 − ( 23 .88 * −2.99 ))
       b=                                  = 1.42
              6(97 .7696 − ( 23 .88 ))
                                   2
DISTRIBUCION DE WEIBULL

Nos queda la siguiente ecuación:
                  Y = -6.15 + 1.42x
La cual utilizamos para hallar β   y
                                       η


                               = 1.42

           a                       −6.15
  η=e     −β
                          η=e      −1.42
                                           = 76
Tabla No1
DISTRIBUCION DE WEIBULL
Por ultimo determinamos la fiabilidad de las
unidades a las 15 horas, puesto a operar 1
semana después de haber sido compradas.

γ =1 semana = 7 dias X 24 horas = 168 horas




      R(183) = e     – (183-168/76) 1.42

                 =   0.9049
DISTRIBUCION DE WEIBULL

Finalmente procedemos a calcular el MTBF Y
desviación estándar.


MTBF
       = 0,9114
  η                                               WEIBULL- C


MTBF = η 0 ,9114 = 76 x 0 ,9114 = 69 , 26 horas
σ
  = 0,659                                         WEIBULL- S
η

σ = η 0 , 659 = 76 x 0 , 659 = 50 , 08 horas
                                                  WEIBULL- P
EJERCICIOS


      EJERCICIO N:1
Analizar   y   evaluar  la
fiabilidad de la Torre de
Limpieza de Malta
PASO No. 1

ELABORAR LA ESTADISTICA DE FALLAS DE
TODOS LOS EQUIPOS DE LA UNIDAD,
PLANTA O EN EL CASO ESPECIFICO LA
TORRE DE LIMPIEZA DE MALTA
PASO No. 2

APLICAR LA MATRIZ DE CRITICALIDAD PARA
SELECCIONAR LOS EQUIPOS DE MAYOR
IMACTO NEGATIVO AL NEGOCIO EN CASO
DE FALLA.
PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA


PUNTOS                   PROBABILIDAD DE FALLA                FRECUENCIA
                                                               DE FALLA

         REMOTA O RARO : No es razonable que este modo Fallas mayores
  1      de falla ocurra                                      de 3 años.

         MUY BAJA O AISLADO: Basado en diseños 1 / 10000
  2      similares y teniendo numero de fallas bajo.

         BAJA        O   ESPORADICO: Basado en diseños 1/1000
  3      similares que han experimentado fallas esporádicas

         CONCEBIBLE: Basado en diseños similares que han 1/100
  4      causado problemas.

         RECURRENTE:          Hay certeza que las fallas se 1/10
  5      repetirán
PS = PROBABILIDAD DE SEVERIDAD


PUNTOS                CRITERIO DE SEVERIDAD

         MENOR : No   hay efecto informado
  1
  2      MARGINAL:    Fastidiosa. No hay degradación de
           sistema.
  3      MODERADO:      Causa insatisfacción. Alguna
         degradación en el sistema.
         CRITICA: Causa un alto grado de insatisfacción.
  4      Perdida de la función del sistema.
         CATASTROFICA: Una falla que puede causar
  5      muerte(s) o daños graves a la propiedad.
PS = PROBABILIDAD DE DETECCION



PUNTOS            PROBABILIDAD DE FALLA                    FRECUENCIA
                                                            DE FALLA
         MUY ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla 80 % - 100%
  1      hasta que esta ocurra. Casi siempre hay señales de
         precaución.
         ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta 60 % - 80%
  2      que esta ocurra. La mayoría de las veces está precedida
         por una señal de precaución.
         PROBABILIDAD DE DETECCIÓN MODERADA de la falla 40 % - 60%
  3      hasta que esta ocurra. Cerca del 50% de oportunidad de
         tener una señal de precaución
         BAJA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta 20 % - 40%
  4      que esta ocurra. La mayoría de las veces hay una pequeña
         o ninguna señal de precaución.
         REMOTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla 0 % - 20%
  5      hasta que esta ocurra. Siempre sin ninguna señal de
         precaución
EQUIPO 1: ELEVADOR No. 10
        PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
 PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA
    4         CONCEBIBLE             1/194

          PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD
PUNTOS             CRITERIO DE SEVERIDAD
   4                      CRITICO

 GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 4x4= 16
EQUIPO 1: LIMPIADORA A
        PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
 PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA
    3         ESPORADICO             1/375

          PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD
PUNTOS             CRITERIO DE SEVERIDAD
   3                    MODERADO

 GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 3x3= 9
MATRIZ DE RIESGO

                SEVERIDAD                                     FRECUENCIA
PU   PERSONAS   PROCESO      MEDIO     CLIENTES    IMAGEN
NT                          AMBIENTE                          1   2    3    4     5
OS
     LESION     NO HAY      EFECTO      NO HAY     IMPACTO
1    LEVE                   LEVE        EFECTO       LEVE         RIESGO BAJO
     LESION     FASTIDIO    EFECTO      FASTIDIO   IMPACTO
2    MENOR                  MENOR      INDIVIDUA
                                           L
                                                   LIMITAD0                 RIESGO
                                                                            MEDIO
     LESION     INESTABIL   EFECTO     INSATISFA   IMPACTO
3    MAYOR      IDAD        LOCALIZ.      CION
                                         VARIOS
                                                    MAYOR             EQ2

     UNA        ALTA        EFECTO      PERDIDA    IMPACTO
4    MUERTE     INESTABIL
                IDAD
                            MAYOR      INDIVIDUA
                                           L
                                                   NACIONAL                 EQ1

     VARIAS     GRAVES      EFECTO     PERDIDA     IMPACTO
5    MUERTE     DAÑOS       MASIVO     MASIVA       INTER.
                                                                      RIESGO ALTO
EQUIPO DE MAYOR IMPACTO



                    EQUIPO
                 SELECCIONADO
                 ELEVADOR No10
PASO No. 3


APLICAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL A
LA DATOS ESTADISTICOS DE FALLA DEL
ELEVADOR No 10.




 WEIBULL-C                   REGRESION
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  • 2. CONTENIDO • CONFIABILIDAD BASICA • FIABILIDAD EN SISTEMAS • DIAGRAMA DE PARETO • DISTRIBUCION BINOMIAL • DISTRIBUCION DE POISSON • DISTRIBUCION DE WEIBULL
  • 3. CONFIABILIDAD BASICA
  • 4. COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA COMPONENTE DEFINIDO COMO LA PARTE PEQUEÑA DE UN ENSAMBLE. EJEMPLOS: UN RESORTE, UN TORNILLO, UN PIÑON, UNA BALINERA, ETC. EQUIPO DEFINIDO COMO UN CONJUNTO DE COMPONENTES INTEGRADOS EN UNA FUNCION PREVIAMENTE DEFINIDA. EJEMPLOS : BOMBAS, MOTORES, LICUADORAS, ETC. SISTEMA DEFINIDO COMO UN CONJUNTO EQUIPOS QUE EN SU INTEGRIDAD PRESTA UN A FUNCION ESPECIFICA. EJEMPLO: FUNCION DE BOMBEO( MOTOR + BOMBA), ETC.
  • 5. ESTRUCTURA DE PROCESOS MEGAPROCESOS PROCESOS CENTRALES MACROPROCESO PROCESOS SUBPROCESOS PROCEDIMIENTOS TAREAS ACTIVIDADES
  • 6. ESTRUCTURA DE PROCESOS PROCEDIMIENTO (Es la forma y secuencia como se deben realizar un conjunto de tareas) TAREAS (Es el conjunto de actividades que constituyen un trabajo u oficio) ACTIVIDADES (Acciones de transformación que la persona realiza)
  • 7. FIABILIDAD DE SISTEMAS Sistemas en serie CI C2 C3 C1 Sistemas en paralelo C2
  • 8. FIABILIDAD DE SISTEMAS Sistemas en serie R ( s ) ( t ) = ψ ( R1 ( t ),..., R k ( t )) k = ∏ R (t ) i =1 i Sistemas en paralelo k R ( p) (t ) = 1 − ∏ (1 − Ri (t )) i =1
  • 9. COMPONENTE, EQUIPO, SISTEMA PARA ENCONTRAR LA CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA (Rs ), EN SERIE, SE HACE NECESARIO ENCONTRAR EL PRODUCTO DE LAS CONFIABILIDADES INDIVIDUALES DE SUS COMPONENTES. R1 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 1 R2 = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE 2 Rn = CONFIABILIDAD DEL COMPONENTE Rs = R1 X R2 X R3 X........................Rn
  • 10. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD EJEMPLO No3: Nels Electric, COLORADO, PRODUCE UN SWITHC REVELADOR ELECTRICO, QUE TIENE TRES COMPONENTES DISPUESTOS EN SERIE: R1 R2 R3 0,90 0,80 0,99 Rs Rs = 0,90 x 0,80 x 0,99 = 0,713 ( 71% )
  • 11. FIABILIDAD DE SISTEMAS EJEMPLO 1: Una tarjeta de computadora tiene 200 componentes que deben funcionar en forma correcta. La confiabilidad de cada componente, para un periodo de 200 hr de funcionamiento, es R=0.9999. ¿Cual es la confiabilidad de la tarjeta para este intervalo? to = 200 hr R (t o ) = (0.9999 ) (s) sis 200 = 0.9802
  • 12. FIABILIDAD DE SISTEMAS • ¿Que pasaría si cada uno de los componentes tuviera una confiabilidad de 0.99? R (t o ) = (0.99 ) (s) sis 200 = 0.134
  • 13. FIABILIDAD DE SISTEMAS EJEMPLO 2 M1 RM1 = R1 .R2 C1 C2 C4 C3 C5 M2 RM2 = R3 (1-(1- R4)(1- R5)) R3 = R3(R4+ R5 - R4R5) = R3R4+ R3R5 - R3R4R5
  • 14. FIABILIDAD DE SISTEMAS M1 M2 • Por ultimo la confiabilidad del sistema es RSIS = 1-(1-RM1)(1-RM2)
  • 15. EJEMPLO COMPARATIVO (serie y paralelo) R1 R2 R3 R4 0,95 0,95 0,95 0,95 SISTEMA EN SERIE Rs = 0,95 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 081450625 R1=0,95 R1=0,95 SISTEMA EN PARARLELO R1=0,95 R1=0,95 R S = 1− ( − 1 R )(1 − R )(1 − R )(1 1 2 3 − R ) 4 Rs = 1- (0,05 x 0,05 x 0,05 x 0,05) =0,9999935
  • 16. EJEMPLO N2: CALCULO DE CONFIABILIDAD DE UN M1 SISTEMA 1 2 3 0,99 0,99 0,99 SUBSISTEMA M1 2 3 1 RM1= R1 x R2x R3 =0,99 x 0,99 x 0,99=0,970299 0,75 5 0,99 6 SUBSISTEMA M2 0,75 0,99 4 88 7 7 RM2= ( 1- (1-R5)(1-R6)(1-R7)) 0,75 M2 M3 RM2= ( 1- (1-0,75)(1-0,75)(1-0,75)) = RM2= (1-(0,25)(0,25)(0,25))= 0,984375 1 0,970299 M1 SUBSISTEMA M3 5 RM3= (R4 x RM2 x R8)= 0.99 x 0,984375 x 0,99 0,99 0,9843 6 0,99 M3 RM3= 0,964785 4 4 M2 8 0,7 7 52 SISTEMA TOTAL (S) 0,970299 M1 R (S) = (1 – (1-RM1)(1-RM3)) = QUIZ No1 R (S) = (1 - (1-0,970299)(1-0,964785)) =0,99895 0,964785 M3
  • 17. SISTEMA DE RESERVA (STANBY) ES UN SISTEMA QUE ESTA EN ESTADO DESACTIVADO Y EN PARALELO CON UN SISTEMA EN OPERACIÓN, EN ESPERA DE ENTRAR EN SERVICIO UNA VEZ QUE EL SISTEMA BASICO OPERATIVO FALLE. PARA TASAS DE FALLA DIFERENTES OPERANDO C1 RS = R1+ λ1(λ −λ )R (1 − l (λ λ ) ) 2 − 1 − 2 .t 1 2 PARA TASAS DE FALLA IGUALES C2 λ t (1 + λ t ) RESERVA R t = l
  • 18. SISTEMA DE RESERVA (STANBY) EL CIRCUITO DE AGUA DE ALIMENTACION DE UNA CALDERA DE VAPOR DISPONE, PARA UNA MAYOR SEGURIDAD, DE DOS BOMBAS CENTRIFUGAS EN PARALELO, DE LAS CUALES UNA ESTARÁ EN FUNCIONAMIENTO Y LA OTRA EN RESERVA ( TASA DE FALLAS = 0,1 FALLOS/AÑO). LA CONMUTACION DE UNA A OTRA SE HARA EN FORMA MANUAL O AUTOMATICA, RALIZANDOSE CON UN PULSADOR EN EL PANEL DE CONTROL DE LA CALDERA. SE ASUME QUE LA MANIOBRA DE CONMUTACION ES INSTANTANEA Y SIN FALLOS. ¿DETERMINAR LA FIABILIDAD DURANTE DOS AÑOS?. PARA TASAS DE FALLA IGUALES OPERANDO P1 R t = l λ t x (1 + λ t ) (−0 , 2 ) x (1 + 0 ,1 x 2 ) = l − 0 ,1 x 2 R2 = l x1, 2 R 2 = 0 , 81873 x 1 , 2 = 0 , 9824 P2 ( −0, 2 ) x(1 + 0,001x0,1x 2) = l RESERVA −0 ,1 x 2 R2 = l x1,0004 Y SI SE SUPONE QUE LA CONMUTACION PUEDE FALLAR Y QUE SU FIABILIDAD ES R 2 = 0 ,81873 x1, 0004 = 0 ,8190 DE 0,002, LA SOLUCION SERIA
  • 19. DIAGRAMA DE PARETO Principio de Pareto (pocos vitales, muchos triviales) Detectar los problemas que tienen más relevancia Ya que por lo general, el 80% de los resultados totales se originan en el 20% de los elementos.
  • 20. DIAGRAMA DE PARETO Ejemplo de Minorías vitales: – La minoría de clientes que representen la mayoría de las ventas. – La minoría de problemas causantes del grueso del retraso de un proceso. – La minoría de personas que controlan la mayoría de dinero en un país.
  • 21. DIAGRAMA DE PARETO • Es una gráfica donde se organizan diversas clasificaciones de datos por orden descendente, de izquierda a derecha por medio de barras sencillas después de haber reunido los datos para calificar las causas, de modo que se pueda asignar un orden de prioridades.
  • 22. DIAGRAMA DE PARETO • El Dr. Juran aplicó este concepto a la calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como la regla 80/20. • Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas, podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80% del problema y el 80% de las causas solo resuelven el 20% del problema.
  • 23. DIAGRAMA DE PARETO Para que se utiliza: • Para analizar las causas • Para estudiar los resultados • Para planear una mejora continua • Las Gráficas de Pareto son especialmente valiosas como fotos de “antes y después” para demostrar qué progreso se ha logrado.
  • 24. DIAGRAMA DE PARETO Pasos para llevar a cabo este diagrama: • Determinar los datos a reunir (diseño de la investigación). • Recoger los datos. • Organización de los datos (tablas de frecuencia, graficas, etc.) • Calcular índices que permitan resumir los datos recolectados. • Analizar y evaluar la información. • Tomar de decisiones. • Controlar los cambios realizados.
  • 25. DIAGRAMA DE PARETO Ejemplo: • Un fabricante de heladeras desea analizar cuales son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción.
  • 26. DIAGRAMA DE PARETO Modo de falla Causa de la falla Frec. Burlete Def. Burlete roto o deforme que no ajusta 9 Pintura Def. Defectos de pintura en superficies externas 5 Gavetas Def. Gavetas interiores con rajaduras 1 Mala Nivelación La heladera se balancea y no se puede nivelar 1 Motor no arranca El motor no arranca después de ciclo de parada 1 Motor no detiene No para el motor cuando alcanza Temperatura 36 No enfría El motor arranca pero la heladera no enfría 27 No funciona Al enchufar no arranca el motor 2 Otros Otros Defectos no incluídos en los anteriores 0 Puerta Def. Puerta de refrigerador no cierra herméticamente 0 Puerta no cierra La puerta no cierra correctamente 2 Rayas Rayas en las superficies externas 4 Total: 88
  • 27. DIAGRAMA DE PARETO Tipo de Defecto Detalle del Problema Frec. Frec acum. Motor no detiene No para el motor cuando alcanza Temperatura 36 36 No enfría El motor arranca pero la heladera no enfría 27 63 Burlete Def. Burlete roto o deforme que no ajusta 9 72 Pintura Def. Defectos de pintura en superficies externas 5 77 Rayas Rayas en las superficies externas 4 81 No funciona Al enchufar no arranca el motor 2 83 Puerta no cierra La puerta no cierra correctamente 2 85 Gavetas Def. Gavetas interiores con rajaduras 1 86 Mala Nivelación La heladera se balancea y no se puede nivelar 1 87 Motor no arranca El motor no arranca después de ciclo de parada 1 88 Puerta Def. Puerta de refrigerador no cierra herméticamente 0 88 Otros Otros Defectos no incluidos en los anteriores 0 88 Total: 88
  • 29. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD PARA CREAR UN MODELO MATEMÁTICO PARA LA PROBABILIDAD DE FALLO, CONSIDERAMOS EL FUNCIONAMIENTO DE UN DETERMINADO ELEMENTO EN EL MEDIO PARA ÉL ESPECIFICADO. DEFINIMOS LA VARIABLE ALEATORIA COMO EL TIEMPO DURANTE EL QUE EL ELEMENTO FUNCIONA SATISFACTORIAMENTE ANTES DE QUE SE PRODUZCA UN FALLO. LA PROBABILIDAD DE QUE EL ELEMENTO PROPORCIONE UNOS RESULTADOS SATISFACTORIOS EN EL MOMENTO T SE PUEDE DEFINIR COMO FIABILIDAD. LA DESIGNAMOS R (T)
  • 30. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD DE UNA FORMA PRÁCTICA SI DESIGNAMOS: NS (T) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO EN EL INSTANTE T N (0) = Nº DE ELEMENTOS EN FUNCIONAMIENTO AL PRINCIPIO NF (T) = Nº DE ELEMENTOS AVERIADOS HASTA EL MOMENTO T SE CUMPLIRÁ: N (0) = NF (T) + NS (T)
  • 31. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD LA FIABILIDAD R (T) ESTÁ RELACIONADA CON LA FUNCIÓN INVERSA LLAMADA INFIABILIDAD Q (T) QUE ES SU PROBABILIDAD CONTRARIA O SEA LA PROBABILIDAD DE QUE OCURRA UN FALLO ANTES DEL INSTANTE T. POR LO TANTO LA INFIABILIDAD VALDRÁ: −t R (t ) = l m CUMPLIÉNDOSE QUE: la no confiabilidad Q(T) Q (T) = 1 - R (T) (4)
  • 32. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD Q[ ] =1− R( )t t −t R (t ) = l m −t R( ) =l t m
  • 33. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD FALLA: ES EL CAMBIO EN UN PRODUCTO O SISTEMA DESDE UNA CONDICION SATISFACTORIA ( ESTANDAR ) DE TABRAJO, A UNA CONDICION DE TRABAJO POR DEBAJO DEL ESTANDAR. LA UNIDAD BASICA DE MEDIDA PARA CONFIABILIDAD ES LA TASA DE FALLA DEL PRODUCTO (FR) . LA TASA DE FALLA MIDE EL PORCENTAJE DE FALLAS ENTRE EL NUMERO TOTAL DE PRODUCTOS PROBADOS, O DE UN NUMERO DE FALLAS DURANTE UN PERIDO DE TIEMPO, ( FR (N) ). FR (%) = NUMERO DE FALLAS / NUMERO DE UNIDADES PROBADAS FR (N ) = NUMERO DE FALLAS / UNIDADES DE TIEMPO DE OPERACION QUIZAS EL TERMINO MAS COMUN EN EL ANALISIS DE CONFIABILIDAD ES EL TIEMPÓ PROMEDIO DE FALLA ( MTBF) QUE ES EL RECIPROCO DE FR(N). FR ( N ) = λ MTBF = 1 / FR (N)
  • 34. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD EJEMPLO No2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS, QUE SERAN UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN LOS TRANSBORDADORES, FUERON OPERADOS DURANTE 1000 HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA DE LA NASA EN HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL OTRO DESPUES DE LAS 600 HORAS. 1. CUAL ES EL PORCENTAJE DE FALLAS?. 2.CUAL ES EL NUMERO DE FALLAS POR TIEMPO DE OPERACIÓN? 3. CALCULE EL TIEMPO PROMEDIO DE FALLAS? 1.FRECUENCIA DE FALLA FR(%) = NUMERO DE FALLAS/ No UNIDADES PROBADAS DE DONDE FR( % ) = 2/20 = 0,10 O 10 % 2. No FALLAS POR HORA DE OPERACIÓN: FR( N) = NUMERO DE FALLAS/TIEMPO DE OPERACIÓN DE DONDE FR( N ) = 2 / TIEMPO TOTAL OPERACIÓN - TIEMPO PERDIDO REMPLAZANDO FR ( N) = 2/ (1000x 20) – [( 800 hrs . 1 falla) + (400 hrs. 2 falla)] RESULTADO FR ( N ) = 2 fallas/ 18800 hrs = 0,000106 UNIDADES HORA POR OTRA PARTE : MTBF = 1 / FR(N) = 1/ 0,000106 = 9434 hrs
  • 35. MEDICION DE LA CONFIABILIDAD EJEMPLO2: VEINTE SISTEMAS DE AIRE ACONDICIONADOS, QUE SERAN UTILIZADOS POR ASTRONAUTAS DE LA NASA EN LOS TRANSBORDADORES, FUERON OPERADOS DURANTE 1000 HORAS, EN LAS INSTALACIONES DE PRUEBA DE LA NASA EN HUNTSVILLE, ALABAMA. DOS DE LOS SISTEMAS FALLARON DURANTE LA PRUEBA, UNO DESPUES DE LAS 200 HORAS Y EL OTRO DESPUES DE LAS 600 HORAS. 3. SI EL VIAJE TIPICO DEL TRASBORDADOR DURA 60 DIAS , LA NASA ESTA INTERESADA EN CONOCER CUAL ES LA TASA DE FALLA POR VIAJE?: TASA DE FALLA = ( No.FALLAS/HORA) X (UNIDADES) X ( TOTAL HORAS DE OPERACIÓN TASA DE FALLAS = ( 0,000106 ) ( 24 hrs / dia X 60 dias / viaje) TASA DE FALLAS = 0,000106 x 24 x 60 TASA DE FALLAS = 0,152 FALLAS POR VIAJE
  • 36. CONFIABILIDAD BASICA TASA INSTANTÁNEA DE FALLA f (t ) λ(t) es la frecuencia con que λ (t ) = R (t ) se presentan los fallos en t los componentes, R (t ) = e ∫o λ ( t ). dt − expresada en fallos/hora. La inversa de λ(t), 1/λ(t) (horas/fallo) es el denominado MTBF (Mean Time Between Failures, Tiempo Medio Entre Fallos).
  • 37. ESTRUCTURA DE TIEMPOS DE FALLA MTTF MTTR MTTF: MEAN TIME TO FAILURE MTTF: MEAN TIME TO REPAIR MTBF MTTF: MEAN TIME BETWEEN FAILURE Falla 2 Falla 1
  • 38. ¿QUÉ ES MTBF 1 MTBF = λ 1 MTBF = SI LA RATA DE FALLA 1 DE UN COMPONENTE ES UNA CADA 10 10 años AÑOS O 1 λ= 10 años MTBF = 10 años EJEMPLO1 EJEMPLO2
  • 39. DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS ¿ si hay una población de 100 lámparas con rata de fallas de 1/10 años, cuantas habrán fallado cuando regrese a los 10 años.? AÑOS RATA DE FALLAS λ ITEMS NO FALLADOS ITEMS FALLADOS ITEMS RESTANTES 1 0,1 100,00 10,00 90,00 2 0,1 90,00 9,00 81,00 3 0,1 81,00 8,10 72,90 4 0,1 72,90 7,29 65,61 5 0,1 65,61 6,56 59,05 6 0,1 59,05 5,90 53,14 7 0,1 53,14 5,31 47,83 8 0,1 47,83 4,78 43,05 9 0,1 43,05 4,30 38,74 10 0,1 38,74 3,87 34,87 Habran fallado 61,26% En la práctica esto significa que, poniendo en funcionamiento 100 lámparas del mismo tipo, cuando hayan pasado un número de horas t = m = MTBF funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los 62 restantes
  • 40. DISTRIBUCION EXPONENCIAL DE FALLAS En la práctica esto significa que, poniendo en 100 funcionamiento 100 lámparas del mismo tipo, cuando 90 hayan pasado un número de horas t = m = MTBF funcionarán aproximadamente 38, habiendo fallado los LAMPARAS 80 62 restantes 70 60 50 40 38% 30 20 10 00 01 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23 AÑOS MTBF (EN TERMINOS DE WEIBULL η )
  • 41. EJERCICIO No. 1 : CONFIABILIDAD ¿CALCULAR LA CONFIABILIDAD ( R ), PARA LOS TIEMPOS INDICADOS EN LA TABLA, TENIENDO EN CUENTA QUE MTBF DE LA BOMBA ES DE 36 MESES? TABLA DE DATOS SOLUCION TIEMPO ¿R? MESE DATOS DEL MESES ⎛ ⎜ t ⎞ ⎛ t ⎞ ⎟ −⎜ ⎟ ⎛ t −⎜ ⎞ ⎟ DE OPERA S EJENPLO (por -1) MTBF ⎝ MTBF ⎠ ⎝ MTBF ⎠ l ⎝ MTBF ⎠ CION 1 720 -1 36 (1/36) -0,0278 0,972604 1 MES 6,94 5000 -6,94 36 (6,94/36) -0,1928 0,824665 ? 120 10 -120 36 (120/36) -3,3333 0,035674 5000 ? HORAS 36 3 -36 36 -1 0,367879 10 ? AÑOS
  • 42. TABLA EXPONENCIAL x/m 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 1,0000 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,9139 0,1 0,9048 0,8958 0,8860 0,8781 0,8694 0,8607 0,8521 0,8437 0,8553 0,8270 0,2 0,8187 0,8106 0,8025 0,7945 0,7866 0,7788 0,7711 0,7634 0,7758 0,7483 0,3 0,7408 0,7334 0,7261 0,7189 0,7116 0,7447 0,6977 0,6907 0,6839 0,6771 0,4 0,6703 0,6637 0,6570 0,6505 0,6440 0,6376 0,6313 0,6250 0,6188 0,6126 0,5 0,6065 0,6005 0,5945 0,5886 0,5827 0,5769 0,5712 0,5655 0,5599 0,5543 0,6 0,5488 0,5434 0,5379 0,5326 0,5273 0,5220 0,5169 0,5117 0,5066 0,5016 0,7 0,4966 0,4916 0,4868 0,4819 0,4771 0,4724 0,4677 0,4630 0,4584 0,4538 0,8 0,4493 0,4449 0,4404 0,4360 0,4317 0,4274 0,4232 0,4190 0,4148 0,4107 0,9 0,4466 0,4025 0,3985 0,3946 0,3906 0,3867 0,3829 0,3791 0,3753 0,3716 x/m 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1 0,3679 0,3329 0,3012 0,2725 0,2466 0,2231 0,2019 0,1827 0,1653 0,1496 2 0,1353 0,1225 0,1108 0,1003 0,0907 0,0821 0,0743 0,0672 0,0608 0,5500 3 0,0498 0,0450 0,0408 0,0369 0,0334 0,3202 0,0273 0,0247 0,0224 0,2020 4 0,0183 0,0166 0,0150 0,0130 0,0123 0,0111 0,0101 0,0091 0,0082 0,0074 5 0,0067 0,0061 0,0055 0,0050 0,0045 0,0045 0,0037 0,0033 0,0030 0,0027 6 0,0025 0,0022 0,0020 0,0018 0,0017 0,0015 0,0014 0,0012 0,0011 0,0010
  • 43. EJEMPLO PRÁCTICO DURANTE EL PROGRAMA DE MANTENIMIENTO ANUAL QUE REALIZA UNA EMPRESA SE HAN RECOGIDO LOS DATOS DE FALLOS DE UN CONJUNTO DE 50 VÁLVULAS MECÁNICAS HABIENDO FALLADO 2 DE ELLAS. PARA REPROGRAMAR EL PROGRAMA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO QUE SE LLEVA ACTUALMENTE EN LA EMPRESA SE DESEA SABER: 1. TASA DE FALLOS ANUAL PARA DICHAS VÁLVULAS. 2. QUÉ PROBABILIDAD TIENE UNA VÁLVULA DE FALLAR ANTES DE ALCANZAR UN TIEMPO DE FUNCIONAMIENTO DE 4 MESES. 3. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE LA UNA VÁLVULA ESTÉ EN FUNCIONAMIENTO AL CABO DE 6 MESES. 4. CUÁL SERÁ LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA ESTÉ COMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES. 5. DETERMINAR UN INTERVALO DE VIDA CON UN NIVEL DE CONFIANZA (CENTRADO) DEL 90 %.
  • 44. SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO 1. LA TASA DE FALLOS SERÁ LA RELACIÓN ENTRE EL NÚMERO DE VÁLVULAS FALLADAS Y EL NÚMERO TOTAL DE VÁLVULAS EN FUNCIONAMIENTO: 2. 2. LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO LA PROBABILIDAD DE QUE UNA VÁLVULA FALLE ANTES DE UN NÚMERO DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T): DETERMINADO DE MESES VIENE EXPRESADO POR LA INFIABILIDAD Q (T): Q(t)= 1 - exp ( - λt) λ= 4. 10-2 t = 4 meses - expresado en años = 1/3 año Luego, para t = 1/3, se tendrá: Q (t) = 1 - exp (- 4.10 -2 . 1/3) = 1 - 0,986886 = 0,013114
  • 45. SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO 3. LA PROBABILIDAD DE QUE NO SE HAYA PRODUCIDO EL FALLO ANTES DE LOS 6 MESES SERÁ LA FIABILIDAD PARA ESE TIEMPO, QUE RESULTARÁ: R (T) = EXP (-λT) = EXP (- 4. 10-2 . 1/2) = EXP (- 0,002) = 0,998 ESTO QUIERE DECIR QUE EXISTE UNA PROBABILIDAD DEL 99,80 % DE QUE UNA VÁLVULA NO SE AVERÍE ANTES DE LOS SEIS MESES.
  • 46. SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO 4. LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE VIDA ESTÉ COMPRENDIDO ENTRE 4 Y 6 MESES SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LA PROBABILIDAD DE QUE FALLE ANTES DE LOS 6 MESES Y LA DE QUE FALLE ANTES DE LOS 4 MESES; MATEMÁTICAMENTE SERÁ LA DIFERENCIA ENTRE LAS INFIABILIDADES DE AMBOS PERIODOS DE TIEMPO SEA: Pr = Q (1/2) - Q (1/3) = =[1 - exp (- 1/2)] - [1 - exp (- 1/3)] = =exp (- 1/3) - exp (-1/2) = = 0,7165-0,6065= (11 %)
  • 47. SOLUCION EJEMPLO PRÁCTICO 5. SUSTITUYENDO LAS EXPRESIONES LUEGO, DEBE VERIFICARSE ANTERIORES POR SUS RESPECTIVOS QUE LOS VALORES DE LA VALORES TENDREMOS: INFIABILIDAD PARA LOS 1 - EXP (- T1) = 0,05 MOMENTOS T1, Y T 2 SERÁN 1 - EXP (-T2) = 0,95 RESPECTIVAMENTE: DESPEJANDO: Q (T1) = 0,05 EXP (- T1) = 0,95 EXP (- T2) = 0,05 Q (T2) = 0,95 INVIRTIENDO: EXP (T1) = 1,06 DE DONDE T1 = 0,05826 AÑOS EXP (T2) = 20 DE DONDE T2 = 2,9957 AÑOS Luego, para un nivel de confianza del 90 %, la vida de la válvula estará comprendida entre 0,05826 y 2,9957 años.
  • 48. DISTRIBUCION DE WEIBULL
  • 49. DISTRIBUCION DE WEIBULL EL ANÁLISIS DEL WEIBULL DE DATOS DE FALLA ES UNA HERAMIENTA IMPORTANTE DE LA CONFIABILIDAD. LA DISTRIBUCIÓN DEL WEIBULL FUE INVENTADA POR WALODDI WEIBULL EN LOS AÑOS 1930. ES EL MODELO ESTADÍSTICO MÁS POPULAR PARA LOS DATOS DE VIDA DE UN EQUIPO. WEIBULL TIENE LA VENTAJA DE USAR LOS TAMAÑOS DE LA MUESTRA MUY PEQUEÑOS PARA HACER JUICIOS RAZONABLE DE CONDUCTA FUTURA DE VIDA DE LOS EQUIPOS
  • 50. LAS CURVAS DE WEIBULL Zona 1 Zona 2 Zona 3 Eta =1 Eta =2 Eta =3 Beta < 1 Beta = 1 Beta > 1 Gamma 1 Gamma 2 Gamma 3 Los parámetros de weibull pueden describir cualquier comportamiento de falla durante el ciclo de vida de un equipo, usando las tres zonas de la curva de la bañera.
  • 51. DISTRIBUCION DE WEIBULL La Distribución Weibull de Tres parámetros γ ETA η = Parámetro escalar. BETA β = Parámetro de forma. GAMMA γ = Parámetro de posición.
  • 52. PARAMETROS DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL η ETA, LA CARACTERÍSTICA DE VIDA, O EL PUNTO A QUE 63,2% DE LOS ITEMS PROBABLEMENTE HABRÁN FALLADO CON EL MISMO MODO DE FALLA. β BETA, ES LA CUESTA DE LA CURVA O LA CARACTERÍSTICA DE LA FORMA DE LA CURVA DE FALLAS. LA BETA SE USA PARA AYUDAR A DETERMINAR QUÉ CLASE DE ACTIVIDADES DE MANTENIMIENTO SE DESTINA PARA UN MODO DE FALLA DADO. γ GAMMA DESCRIBE EL PUNTO A QUE LA CURVA DE WEIBULL CAMBIA DE FORMA.
  • 53. DISTRIBUCION DE WEIBULL Efectos Característicos del Parámetro de Forma . Se puede ver que la forma de la función de densidad puede tomar una variedad de formas basadas en el valor de
  • 54. DISTRIBUCION DE WEIBULL Efectos Característicos del Parámetro de Escala
  • 55. DISTRIBUCION DE WEIBULL Efectos Característicos del Parámetro de Posición
  • 56. DISTRIBUCION DE WEIBULL La ecuación para la función de densidad Weibull acumulativa de tres parámetros, es dada por El valor r(t), en el tiempo t, es la razón de falla instantánea de los componentes que aun existen en el periodo t
  • 57. EJERCICIO No. 2 : CONFIABILIDAD CUAL ES LA CONFIABILIDAD DE UN VENTILADOR PARA UN TIEMPO DE OPERACIÓN DE 17.000 HORAS, SI EL VENTILADOR TIENE UNA CARACTERISTICA DE VIDA DE η DE 8760 HORAS Y BETA β ES DE 4,07 ( )l β − ⎛ t ⎞ = 17000 4 − (1 , 94 )4 R (t ) = l ⎜ η ⎟ l = ⎝ ⎠ 8760 −7 R ( t ) = 6 ,92 X 10
  • 58. PROPIEDADES ESTADISITICAS DE LA DISTRIBUCION DE WEIBULL La Media o MTTF La Desviación Estándar
  • 59. REGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Convertir la función en una forma lineal x= Ln(T) que causa la ecuación lineal de,
  • 60. REGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL ∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑ xy n∑ xy − ∑ x∑ y a= b=β = n∑ x − (∑ x ) n∑ x − (∑ x ) 2 2 2 2 a η = e −β
  • 61. DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Pasos para la regresión 1. Primero se alinea los tiempos de fallo en orden ascendente 2. Segundo se Obtiene la mediana trazando posiciones, mediante la siguiente ecuación: donde i es el número de orden de fallos y N es el tamaño total de la muestra.
  • 62. DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Pasos para la regresión 3. Tercero debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar represión lineal mediante las siguientes ecuaciones:
  • 63. DESARROLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Pasos para la regresión 4. Cuarto debemos realizar la tabla de regresion lineal Tiempo de F(T) x y xy x2 y2 falla
  • 64. DESARROOLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Pasos para la regresión 5. Quinto debemos hallar a y b a= ∑ x 2 ∑ y − ∑ x ∑ xy b=β = n∑ xy − ∑ x∑ y n∑ x − (∑ x ) n∑ x − (∑ x ) 2 2 2 2 Donde a η=e −β
  • 65. DESARROOLLO DE LAREGRESION EN LA DISTRIBUCION DE WEIBULL Pasos para la regresión 6. Sexto se puede hallar la confiabilidad o razón de falla instantánea de los componentes
  • 66. DISTRIBUCION DE WEIBULL EJEMPLO: Asuma que seis unidades idénticas con la fiabilidad probada en la misma aplicación y niveles de tensión de operación. Todas estas unidades fallan durante la prueba después de haber funcionado el número siguiente de horas : 93, 34, 16, 120, 53 y 75. Estime los valores de los parámetros para una distribución Weibull de dos parámetros y determine la fiabilidad de las unidades a la 15 horas puesto a operar 1 semana después de haber sido compradas
  • 67. DISTRIBUCION DE WEIBULL 1. Primero, alinee los tiempos a falla en orden ascendente así: Tiempo a Fallar Orden de numero (horas) de fallas 16 1 34 2 53 3 75 4 93 5 120 6
  • 68. DISTRIBUCION DE WEIBULL 2. Paso : Se Obtiene la mediana trazando posiciones, mediante la siguiente ecuación: donde i es el número de orden de fracaso y N es el tamaño total de la muestra. MR% = (1 – 0.3 / 6 + 0.4) *100 MR% = 10.91
  • 69. DISTRIBUCION DE WEIBULL 2. Segundo .Los tiempos a falla, con sus filas correspondientes medianas, son las siguientes Tiempo a Fallar MR o F (T) (horas) 16 10.91 34 26.44 53 42.14 75 57.86 93 73.56 120 89.1
  • 71. DISTRIBUCION DE WEIBULL 3. Tercero: Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones: Yi = ln ( -ln (1 - 0.1091)) Y1 =2,15 X1 = ln 16 X1 = 2.77
  • 72. DISTRIBUCION DE WEIBULL 3. Tercero: Luego debemos hallar los Xi y Yi para poder aplicar regresión lineal mediante las siguientes ecuaciones: Yi = ln ( -ln (1 - 0.2644)) Y1 = -1,18 X1 = ln 34 X1 = 3,52
  • 73. DISTRIBUCION DE WEIBULL 4. Cuarto debemos realizar la tabla de regresion lineal Tiempo a Fallar F(t) Y X xy x2 y2 16 10.91 -2,15 2,77 -5,955 7,672 4,6225 34 26.44 -1,18 3,52 -4,1536 12,39 1,3924 53 42.14 -0,6 3,97 -2,382 15,76 0,36 75 57.86 -0,14 4,31 -0,6288 18,57 0,02128 93 73.56 4,53 1,2910 20,52 0,08122 0,28 120 89.1 0,79 4,78 3,8039 22,84 0,63329 391 -2,99 23,8 -8,0249 97,76 7,11070
  • 74. DISTRIBUCION DE WEIBULL Luego a través de las ecuaciones de Represión hallamos ayb a= ∑ x 2 ∑ y − ∑ x∑ xy n∑ x − (∑ x) 2 2 (97.76 * −2.99) − (23.88 * −8.0249) a= = −6.15 6(97.7696 − (23.88 )) 2 n ∑ xy − ∑ x ∑ y b=β = n ∑ x − (∑ x ) 2 2 6( −8.0249 − ( 23 .88 * −2.99 )) b= = 1.42 6(97 .7696 − ( 23 .88 )) 2
  • 75. DISTRIBUCION DE WEIBULL Nos queda la siguiente ecuación: Y = -6.15 + 1.42x La cual utilizamos para hallar β y η = 1.42 a −6.15 η=e −β η=e −1.42 = 76
  • 77. DISTRIBUCION DE WEIBULL Por ultimo determinamos la fiabilidad de las unidades a las 15 horas, puesto a operar 1 semana después de haber sido compradas. γ =1 semana = 7 dias X 24 horas = 168 horas R(183) = e – (183-168/76) 1.42 = 0.9049
  • 78. DISTRIBUCION DE WEIBULL Finalmente procedemos a calcular el MTBF Y desviación estándar. MTBF = 0,9114 η WEIBULL- C MTBF = η 0 ,9114 = 76 x 0 ,9114 = 69 , 26 horas σ = 0,659 WEIBULL- S η σ = η 0 , 659 = 76 x 0 , 659 = 50 , 08 horas WEIBULL- P
  • 79. EJERCICIOS EJERCICIO N:1 Analizar y evaluar la fiabilidad de la Torre de Limpieza de Malta
  • 80. PASO No. 1 ELABORAR LA ESTADISTICA DE FALLAS DE TODOS LOS EQUIPOS DE LA UNIDAD, PLANTA O EN EL CASO ESPECIFICO LA TORRE DE LIMPIEZA DE MALTA
  • 81. PASO No. 2 APLICAR LA MATRIZ DE CRITICALIDAD PARA SELECCIONAR LOS EQUIPOS DE MAYOR IMACTO NEGATIVO AL NEGOCIO EN CASO DE FALLA.
  • 82. PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA REMOTA O RARO : No es razonable que este modo Fallas mayores 1 de falla ocurra de 3 años. MUY BAJA O AISLADO: Basado en diseños 1 / 10000 2 similares y teniendo numero de fallas bajo. BAJA O ESPORADICO: Basado en diseños 1/1000 3 similares que han experimentado fallas esporádicas CONCEBIBLE: Basado en diseños similares que han 1/100 4 causado problemas. RECURRENTE: Hay certeza que las fallas se 1/10 5 repetirán
  • 83. PS = PROBABILIDAD DE SEVERIDAD PUNTOS CRITERIO DE SEVERIDAD MENOR : No hay efecto informado 1 2 MARGINAL: Fastidiosa. No hay degradación de sistema. 3 MODERADO: Causa insatisfacción. Alguna degradación en el sistema. CRITICA: Causa un alto grado de insatisfacción. 4 Perdida de la función del sistema. CATASTROFICA: Una falla que puede causar 5 muerte(s) o daños graves a la propiedad.
  • 84. PS = PROBABILIDAD DE DETECCION PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA MUY ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla 80 % - 100% 1 hasta que esta ocurra. Casi siempre hay señales de precaución. ALTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta 60 % - 80% 2 que esta ocurra. La mayoría de las veces está precedida por una señal de precaución. PROBABILIDAD DE DETECCIÓN MODERADA de la falla 40 % - 60% 3 hasta que esta ocurra. Cerca del 50% de oportunidad de tener una señal de precaución BAJA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla hasta 20 % - 40% 4 que esta ocurra. La mayoría de las veces hay una pequeña o ninguna señal de precaución. REMOTA PROBABILIDAD DE DETECCIÓN de la falla 0 % - 20% 5 hasta que esta ocurra. Siempre sin ninguna señal de precaución
  • 85. EQUIPO 1: ELEVADOR No. 10 PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA 4 CONCEBIBLE 1/194 PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD PUNTOS CRITERIO DE SEVERIDAD 4 CRITICO GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 4x4= 16
  • 86. EQUIPO 1: LIMPIADORA A PO = PROBABILIDAD DE OCURRENCIA PUNTOS PROBABILIDAD DE FALLA FRECUENCIA DE FALLA 3 ESPORADICO 1/375 PS = PROBABILIDA DE SEVERIDAD PUNTOS CRITERIO DE SEVERIDAD 3 MODERADO GRADO CRITICALIDAD = PO x PS = 3x3= 9
  • 87. MATRIZ DE RIESGO SEVERIDAD FRECUENCIA PU PERSONAS PROCESO MEDIO CLIENTES IMAGEN NT AMBIENTE 1 2 3 4 5 OS LESION NO HAY EFECTO NO HAY IMPACTO 1 LEVE LEVE EFECTO LEVE RIESGO BAJO LESION FASTIDIO EFECTO FASTIDIO IMPACTO 2 MENOR MENOR INDIVIDUA L LIMITAD0 RIESGO MEDIO LESION INESTABIL EFECTO INSATISFA IMPACTO 3 MAYOR IDAD LOCALIZ. CION VARIOS MAYOR EQ2 UNA ALTA EFECTO PERDIDA IMPACTO 4 MUERTE INESTABIL IDAD MAYOR INDIVIDUA L NACIONAL EQ1 VARIAS GRAVES EFECTO PERDIDA IMPACTO 5 MUERTE DAÑOS MASIVO MASIVA INTER. RIESGO ALTO
  • 88. EQUIPO DE MAYOR IMPACTO EQUIPO SELECCIONADO ELEVADOR No10
  • 89. PASO No. 3 APLICAR LA DISTRIBUCION DE WEIBULL A LA DATOS ESTADISTICOS DE FALLA DEL ELEVADOR No 10. WEIBULL-C REGRESION