fisca 2.3.PPTX

ESTÁTICA DE LA
PARTÍCULA
UNIDAD II

Principios fundamentales
 Principio 1. El equilibrio de un cuerpo no se altera si en un punto
cualquiera de él se aplican dos fuerzas colineales de igual magnitud y de
sentido opuesto.
 Principio 2 (Ley del paralelogramo). Dos fuerzas aplicadas a un
cuerpo en un punto pueden remplazarse por una fuerza única, llamada
resultante, aplicada en el mismo punto y representada por la diagonal del
paralelogramo cuyos lados son iguales a las fuerzas dadas.
 Principio 3 (De transmisibilidad). El efecto de una fuerza sobre un
cuerpo rígido no se altera si se remplaza por otra colineal, del mismo módulo
y el mismo sentido, que actúe en otro punto del cuerpo.
Lo anterior nos dice que los vectores representantes de fuerzas son
deslizantes o axiales, es decir, que pueden moverse a lo largo de su línea de
acción, sin modificar su efecto sobre un cuerpo, siempre que actúe sobre
éste.
La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria extendida
indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones.

Principios fundamentales
 Principio 4 (De acción y reacción). A toda fuerza (acción) que se
ejerce sobre un cuerpo A sobre otro B, se opone otra fuerza (reacción)
ejercida por B sobre A, de igual magnitud y dirección, pero de sentido
contrario. Este principio se conoce como la tercera ley de Newton.
 Principio 5 (De rigidez). El equilibrio de un cuerpo deformable que
se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas se conserva si este
cuerpo se considera rígidos.
Expresado en otras palabras:
En condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
deformable satisfacen las mismas condiciones que en el caso de los
cuerpos rígidos.

Vectores
En física hay dos clases de magnitudes esencialmente diferentes: las
escalares y las vectoriales.
Se llaman escalares las magnitudes que quedan determinadas por el
conocimiento de un solo número una vez fijada la unidad de medida.
Las magnitudes vectoriales, además del número que da su medida o
valor, tienen dirección y sentido.

Representación gráfica de un vector
Las magnitudes vectoriales se representan por medio de vectores (segmentos
orientados); en un vector:
 El módulo es la longitud del segmento
 La dirección es la recta que lo contiene
 El sentido es el determinado por una flecha
A
B
AB
‫׀‬AB‫׀‬
Módulo del vector AB

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el
punto final. En este sentido


 SR
RS
Vectores de la misma
dirección
S
R Q
P
S
R
S
R
Vectores en direcciones
distintas
P
Q

Vectores Equivalentes
Q
P


 RS
PQ
Tienen la misma magnitud y
dirección
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los segmentos
dirigidos equivalentes

Para expresar los vectores se van a utilizar las letras
minúsculas del abecedario, por ejemplo: 𝑎, 𝑏, ℎ, 𝑒, etc. No
es aconsejable utilizar la x, y, z ya que pertenecen al plano
cartesiano. Para expresar el calculo de resultante y
operaciones entre vectores se van a utilizar las letras
mayúsculas del abecedario, por ejemplo: 𝐶 = 𝑎 + 𝑏-𝑐-𝑓, en
este caso la 𝐶 indica el resultado de la operación indicada.
Nomenclatura

Recordatorio
de
Trigonometría

RELACIONES FUNDAMENTALES PARA UN
TRIANGULO RECTÁNGULO
opuesto
cateto
hipotenusa
de
ante
Co
adyacente
cateto
hipotenusa
de
Secante
opuesto
cateto
adyacente
cateto
de
angente
adyacente
cateto
opuesto
cateto
de
Tangente
hipotenusa
adyacente
cateto
de
Coseno
hipotenusa
opuesto
cateto
de
Seno












sec
cot

RELACIONES FUNDAMENTALES PARA UN
TRIANGULO RECTÁNGULO
a
c
A
Csc
b
c
A
Sec
a
b
A
Cot
b
a
A
Tan
c
b
A
Cos
c
a
A
Sen






C
A
B
b
a
c

Ejercicio:
Calcular relaciones fundamentales para un triangulo rectángulo

Teorema de Pitágoras
2
2
2
b
a
c 

C
A
B
b
a
c
En todo triángulo rectángulo el
cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.

Funciones de 45°
Considérese un cuadrado
cuyos lados miden 1.
La diagonal del cuadrado
divide en dos triángulos
isósceles al cuadrado.
1
1

Funciones de 45°
   
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2







c
c
c
b
a
c
b=1
a=1
A C
B
45°

Funciones de 45°












45
45
45
tan
45
45
45
Csc
Sec
Co
Tan
Cos
Sen
b=1
a=1
A C
B
2
2
1
1
2
1
2
1
45°

Funciones de 30° y 60°
Considérese un triángulo equilátero
ABD cuyos lados miden 2 y trácese
una línea perpendicular BC de B a
AD y considérese el triángulo ABC.
A
B
D
C

3
1
4
1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2











a
a
a
b
c
a
b
c
a
b
a
c
A
B
C
60°
30°
c=2
b=1
a=?













30
30
30
cot
30
30
30
Csc
Sec
an
Tan
Cos
Sen
A
B
C
60°
30°
c=2
b=1
a=√3
2
3
3
2
3
3
3
2
3
2
1

3
3
2
60
2
60
3
3
60
cot
3
60
2
1
60
2
3
60












Csc
Sec
an
Tan
Cos
Sen
A
B
C
60°
30°
c=2
b=1
a=√3

Ejercicios aplicativos
1. Un poste vertical al suelo y de altura h está sujeto por una cuerda
de longitud L con un ángulo de inclinación a ¿Cuál es la altura del
poste?

2. Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con
un ángulo de inclinación a. ¿A qué distancia se ubica la base de la
escalera con respecto al muro?
Ejercicios aplicativos

Ley de senos y cosenos
C
Sen
c
B
Sen
b
A
Sen
a


Ley de senos
Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos
opuestos.
A
B
C
a
c h

Ley de senos y cosenos
A
bc
c
b
a cos
2
2
2
2



Ley de cosenos
En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos
lados por el coseno del ángulo que forman.
c
A
B
b
a
C

El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes como se ilustra
en la figura. La dirección o ángulo de inclinación de un vector se mide desde el
eje x positivo del plano cartesiano en sentido contrario a las manecillas del
reloj.
Plano cartesiano
I
II
III IV
00
π/2=900
π =1800
3π/2=2700
2π =3600
Ejes I II III IV
X + - - +
Y + + - -

SUMA Y RESTA DE VECTORES
 La resultante de la suma o de la diferencia de vectores se
puede hallar a través de diferentes métodos, tales como:
 Método Gráfico
 Método Analítico
Método del Polígono
Método de Triángulo
Método del Paralelogramo

 Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la
misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la
sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos
opuestos se restan.
 A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de
vectores.
SUMA RESTA

SUMA DE VECTORES - MÉTODO GRÁFICO
Si dos vectores se encuentran en
la misma recta también podemos
usar aritmética, pero no así si los
vectores no se encuentran en la
misma recta. Por ejemplo, si Ud.
se desplaza 4 km hacia el este y
luego 3 km hacia el norte, su
desplazamiento neto o resultante
respecto del punto de partida
tendrá una magnitud de 5 km y un
ángulo = 36.87º respecto del eje x
positivo.

Ejemplo:
Un camión viaja de Calkiní a Campeche recorre 10 km al sur, 15 km al oeste
y 5 al norte.
Recordatorio:
Para encontrar la medida de la distancia del segmento AB se utiliza el
Teorema de Pitágoras.
AB= (𝑥2−𝑥1)2 − (𝑦2−𝑦1)2

VR = V1 + V2 +V3
VR es el vector resultante destacado con línea gruesa.
METODO DEL POLÍGONO
Este método de cola a punta
se puede ampliar a tres o
más vectores. Suponga que
deseamos sumar los
vectores V1, V2, y V3
representados a
continuación:

METODO DEL TRIÁNGULO
Consiste en disponer
gráficamente un vector a
continuación de otro, es
decir, el extremo inicial del
vector "b" coincide con el
extremo final del vector "a".
Luego se traza una diagonal
que une el inicio del vector
"a" con el resto de los
extremos
?

LEY DEL PARALELOGRAMO PARA LA
ADICIÓN DE FUERZAS
Esta ley establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden
ser sustituidas por una sola fuerza llamada resultante, que se obtiene al
trazar la diagonal del paralelogramo que tiene los lados iguales a las
fuerzas dadas.

Ejemplo:
Vector
)
0
,
3
(
)
2
,
1
(
b
a


)
9
,
7
(
)
5
,
4
(

b
a


Ejercicio:

Cuando las componentes forman un ángulo recto, se les llama
componentes rectangulares. En la figura se ilustran las componentes
rectangulares del vector, en este caso 𝑎𝑥 a 𝑎𝑦 .
Descomposición Vectorial
Método Analítico
adyacente
cateto
opuesto
cateto
de
Tangente
hipotenusa
adyacente
cateto
de
Coseno
hipotenusa
opuesto
cateto
de
Seno







Método Analítico
Notación escalar.

Notación vectorial cartesiana.
Método Analítico
Al usar notación vectorial cartesiana, cada fuerza se representa primero
como un vector cartesiano, es decir:
Por lo tanto, la resultante vectorial es

Método de las componentes para la
adición de un vector
 Dibújense todos los vectores a partir del origen en un sistema de ejes coordenados.
 Resuélvase todos los vectores en sus componentes x e y.
 Encuéntrese la componente x de la resultante sumando las componentes en x de todos los
vectores.
Rx= Ax+Bx+Cx
 Encuéntrese la componente y de la resultante sumando las componentes en y de todos los
vectores.
Ry= Ay+By+Cy
 Obténgase la magnitud y la dirección de la resultante a partir de los dos vectores
perpendiculares Rx y Ry
2
2
y
x R
R
R 

x
y
R
R
Tan 


Ejercicio 1:
Las dos fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determínese
su resultante
97.73 N, 35.04°

Calcule la resultante de las fuerzas del sistema que se
muestra en la figura.
30°
45°
55°
A=200 N
B=300 N
C=155 N
x
y
225 N; 124.61º

420 N
150 N
500 N
40° 60°
Tres barcas ejercen fuerzas en un gancho de amarre. ¿Cuál es la fuerza
resultante en el gancho si la barca A ejerce una fuerza de 420 N, la
barca B ejerce una fuerza de 150 N, y la barca C ejerce una fuerza de
500 N?
Ejercicio 4.
853 N, 101.7°

Determínese la fuerza resultante en el remache de la figura
Ejercicio 5.
20°
40 lb
60 lb
60°
50 lb
69.6 lb, 154.1°

Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las
fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5000 lb dirigida a
la largo del eje del lanchón, determine:
a) La tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que a es igual a 45°.
b) El valor de a tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima.
a) T1= 3660Lb,T2= 2590 Lb; a= 60º
Ejercicio 6.

Determine las componentes x e y de cada una de las fuerzas
que se muestra. Calcular la resultante y su ángulo.
Ejercicio 7.
84.2 lb, 31.4°

Equilibrio de una partícula
Se han estudiado los métodos para determinar la resultante de varias fuerzas que
actúan sobre una partícula. Es muy posible que al determinar la resultante de un
sistema de fuerzas ésta sea igual a cero, cuando lo anterior sucede se dice que la
partícula se encuentra en equilibrio. Por lo tanto, se tiene la siguiente definición:
“Cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula
es igual a cero, la partícula está en equilibrio.”

Equilibrio de una partícula
  0
x
F   0
y
F
 
 0
F
R
Las condiciones necesarias y suficiente para el equilibrio de una partícula son:
Es decir:

Primera ley del movimiento de Newton
Al final del siglo XVII Sir Isaac Newton formuló tres leyes
fundamentales sobre las cuales se basa la ciencia de la mecánica. La
primera de estas leyes puede ser enunciada como sigue:
“Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a cero, la
partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se
moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en
movimiento).”
A partir de esta ley y de la definición de equilibrio proporcionada, se
observa que una partícula en equilibrio: está en reposo o se está
moviendo en línea recta con velocidad constante.

Diagramas de cuerpo libre
Un problema en el área de ingeniería surge a partir de una situación
física real. Un croquis que muestre las condiciones físicas del problema
recibe el nombre de diagrama espacial.
Un gran número de problemas que involucran estructuras reales
pueden ser reducidos a problemas relacionados con el equilibrio de una
partícula. Esto se lleva a cabo seleccionando una partícula de interés y
dibujando, por separado, un diagrama que muestre esta partícula y
todas las fuerzas que están actuando sobre ella. Un diagrama de este
tipo recibe el nombre de diagrama de cuerpo libre.

Diagrama de cuerpo libre
Ejemplo

Considérese la caja de 75 Kg mostrado en la figura. Dicha caja esta en el piso
entre dos edificios y ahora esta siendo elevada para colocarla en un camión que
la transportará. La caja esta soportada por un cable vertical, el cual esta unido
en A a dos cuerdas que pasan por poleas (no se considere la fricción de las
poleas) que a su vez están sujetadas a los edificios en B y C. Determine la
tensión en las cuerdas AB y AC.
TAB= 647 N; TAC = 480 N
Ejercicio 1:

Un cuadro de 2 Kg se cuelga de un clavo como se muestra en la
figura, de manera que las cuerdas que lo sostienen forman un
ángulo de 60º. ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?
TA=11.31 N; TB=
Ejercicio 2:
TA
TB

Calcule la tensión en cada cordel de la figura, si el peso del objeto
suspendido es de 10 N.
Ejercicio 3:
TA=7.35 N; TB= 9N

En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 3500 lb se
sostiene mediante un cable. Una cuerda esta atada al cable en A y ésta se
estira para centrar al automóvil sobre la posición deseada. El ángulo entre
el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la cuerda y la
horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda?
TAB= 3570 lb; TAC= 144 lb
Ejercicio 3:

Dos cables están unidos a C y se cargan como se muestra. Determina el
tensión (a) en la AC cable, (b) en el cable de AC.
TAC=441 lb; TBC=487 lb
Ejercicio 4:

Para los cables y la carga del problema , determine (a) el valor de α para
que la tensión del cable BC sea lo mas pequeño posible, (b) el valor
correspondiente de la tensión.
α=55 ° ; TBC=2 410.8 N
Ejercicio 5:

Fuerzas en el espacio (Tridimensionales)
Los problemas que se han considerado hasta ahora
involucraban únicamente dos dimensiones; podían ser
formulados y resueltos en un solo plano. Ahora se
considerarán problemas que involucran las tres
dimensiones del espacio.

Fuerzas en el espacio
Considere una fuerza F actuando en el origen O del sistema de coordenadas rectangulares
x, y, z. Para definir la dirección de F, se dibuja el plano vertical OABC que contiene a F.
Este plano pasa a través del eje vertical y, su orientación está definida por el ángulo f que
éste forma con el plano xy.
La dirección de F dentro del plano esta definida
por el ángulo qy que F forma con el eje y.

y
h
y
y Fsen
F
F
F q
q 
 cos
La fuerza F se puede descomponer en una
componente vertical Fy y una componente
horizontal Fh.
Esta operación, mostrada en la figura, se lleva a
cabo en el plano OBAC siguiendo las reglas
desarrolladas para calcular las componentes
rectangulares de una fuerza se tienen que:

f
f
sen
F
F
F
F
h
z
h
x

 cos
Pero Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de los
ejes x y z, respectivamente.
Esta operación, mostrada en la figura, se lleva a cabo
en el plano xz. De esta forma, se obtienen las
siguientes expresiones para las componentes escalares
correspondientes a Fx y Fz:

2
2
2
z
y
x F
F
F
F 


Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos OAB
y OCD de la figura se tiene:
     
      2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
x
h
h
y
F
F
DC
OD
OC
F
F
F
BA
OB
OA
F









 (1)
(2)
Sustituyendo la ec. 2 en 1

z
z
y
y
x
x F
F
F
F
FCos
F q
q
q cos
cos 


Las componentes rectangulares del vector F se calculan como:
Los tres ángulos qx, qy, qz definen la dirección de F.
Dichos ángulos se conocen como los cosenos
directores de la fuerza F.

Vectores unitarios trirectangulares
k
F
j
F
i
F
F z
y
x 


Los vectores unitarios i, j y k, dirigidos, respectivamente, a lo largo de los ejes x, y y z. Por
lo tanto el vector F puede expresarse como:

Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los
ejes x, y y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y
Fz de la fuerza.
F=250i + 354j - 250k
Ejercicio 1:

k
F
j
F
i
F
F z
y
x 


z
z
y
y
x
x F
F
F
F
FCos
F q
q
q cos
cos 

 Fórmula 1
Fórmula 2
Sustituimos 1 en 2
)
( k
Cos
j
Cos
i
Cos
F
F z
y
x q
q
q 


)
( k
Cos
j
Cos
i
Cos z
y
x q
q
q
 


Vector Unitario
Se refiera al largo de la
línea de acción de F.

)
( k
Cos
j
Cos
i
Cos z
y
x q
q
q
 


Vector Unitario
Cuando las componentes 𝐹𝑥, 𝐹𝑦 y 𝐹𝑧e una fuerza F
están dadas, la magnitud F de la fuerza se obtiene
con el modulo de la Resultante.
Entonces las relaciones
Pueden resolverse para los cosenos directores:
z
z
y
y
x
x F
F
F
F
FCos
F q
q
q cos
cos 


z
z
y
y
x
x
F
F
Cos
F
F
Cos
F
F
Cos 

 q
q
q

Una fuerza F tiene las componentes Fx=20 lb, Fy=-30 lb y Fz=60 lb. Determine su
magnitud F y los ángulos 𝜃x, 𝜃 y y 𝜃 z que ésta forma con los ejes coordenados.
70 lb; 73.4°; 115.4° ; 31°
Ejercicio 2:

Fuerza definida en términos de magnitud y
dos puntos sobre su línea de acción
M y N mismo sentido que F
𝑀𝑁 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧k
𝜆 =
𝑀𝑁
𝑀𝑁
=
𝑑𝑥𝑖
𝑑
+
𝑑𝑦𝑗
𝑑
+
𝑑𝑧k
𝑑
Vector Unitario 𝜆 a lo largo de la
línea de acción de F.
𝜆 =
𝑀𝑁
𝑀𝑁
Vector
Magnitud

𝐹 = 𝐹𝜆 =
𝐹𝑑𝑥𝑖
𝑑
+
𝐹𝑑𝑦𝑗
𝑑
+
𝐹𝑑𝑧k
𝑑
𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 + 𝐹𝑧
Formula General
La determinación de las componentes de las fuerzas F de magnitud F cuando la
línea de acción de F esta definida por dos puntos M y N.
Paso 1.- Restando las coordenadas de M a N es decir buscar las componentes
del vector 𝑀𝑁 y la distancia d de M a N:
𝑑𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑑𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑑𝑧= 𝑧2 − 𝑧1
𝑑 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧
2
𝐹 =
Nota: El punto inicial y final lo especifica la dirección de la fuerza .

Paso 2.- Sustituyendo los valores en la formula general.
Paso 3.- Los ángulos que forman F con los ejes coordenados pueden
obtenerse por:
𝐹 = 𝐹𝜆 =
𝐹𝑑𝑥𝑖
𝑑
+
𝐹𝑑𝑦𝑗
𝑑
+
𝐹𝑑𝑧k
𝑑
𝐹 = 𝐹𝑥+ 𝐹𝑦+ 𝐹𝑧
z
z
y
y
x
x
F
F
Cos
F
F
Cos
F
F
Cos 

 q
q
q

El tirante de una torre está anclado por medio de un perno en A. La tensión en
dicho cable es de 2500 N.
Determine:
a) Las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno.
b) Los ángulos 𝜃x, 𝜃 y y 𝜃 z que definen la dirección de dicha fuerza.
Ejercicio 1:
F=(-1060N)i + (2120)j + (795)k 𝜽x =115.1° 𝜽 y =32 ° 𝜽z =71.5 °

Determine la fuerza desarrollada en cada uno de los cables que sostiene la caja de
40 lb.
Ejercicio 2:
FB=23.5lb, FD=15lb y FC=?

Si la cubeta y su contenido tienen un peso total de 20 lb, determine la fuerza en
los cables de soporte DA, DB y DC
Ejercicio 3:
FDA = 10.0 lb ; FDB = 1.1 1 lb ; FDC= 15.61b

Ejercicio 4:
La lámpara tiene una masa de 15 kg y está soportado por un poste y cables
AO, AB y AC. Si la fuerza actúa en el polo largo de su eje, determine las
fuerzas en AO, AB y AC para el equilibrio.
FAO = 319 N ; FAB = 110 N ; FAC= 85.8 N

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