Explicación sencilla de cómo descomponer fuerzas en componentes rectangulares y cómo obtener la fuerza resultante de varias fuerzas que actúan sobre una partícula

1. FUERZAS EN EL ESPACIO. (PROF. JOSÉ GRIMÁN)
En este material se presentan dos fuerzas en el espacio. Una fuerza F definida
por medio de su magnitud F, de su dirección dada por el ángulo θy que la línea de
acción forma con el eje y, y el plano vertical que la contiene definido por el ángulo 
que dicho plano forma con respecto al plano xy. La otra fuerza P definida por su
magnitud P y por su línea de acción definida por la línea OA, que a su vez queda
definida por el vector unitario .
Se explica en este material la forma de obtener las componentes rectangulares en
el espacio de las fuerzas dadas, cómo expresar estas fuerzas en forma vectorial en
términos de los vectores unitarios i , j , k y también cómo determinar la resultante de las
dos fuerzas.
En la figura 1 se observa las fuerza F y P actuando en una partícula ubicada en
el origen O del sistema de coordenadas cartesianas Oxyz. Sea la magnitud F del vector
fuerza F igual a 1000 N, el ángulo θy = 40º y el ángulo  = 30º. Así mismo sea la
magnitud P del vector fuerza P igual a 750 N y las coordenadas del punto A(x,y,z), x =
-100 mm, y = 500 mm y z = 300 mm.

2. ¿Cómo descomponer el vector fuerza F en sus componentes rectangulares?
En la figura 2 se muestra el vector fuerza F descompuesto en sus componentes
rectangulares: Fx, Fy, Fz. Primero se descompone la fuerza F en el plano vertical que la
contiene en las componentes:
Fy = F cos θy y Fh = F sen θy (1)
Luego se descompone la componente horizontal Fh en las componentes Fx, Fz,
que resultan de la manera siguiente:
Fx = Fh cos  = F sen θy cos  y Fz = Fh sen  = F sen θy sen  (2)
Sustituyendo los datos (F = 1000 N; θy = 40º;  = 30º) en las ecuaciones (1) y
(2) se obtienen las componentes rectangulares (Fx; Fy; Fz) de la fuerza F.
 Fy = 1000·cos 40º = 766,04 N; Fh = 1000·sen 40º = 642,79 N
 Fx = 642,79· cos 30º = 556,67 N; Fz = 642,79· sen 30º =321,39 N
Debido a que todas las componentes Fx, Fy, Fz, apuntan respectivamente en los
sentidos positivos de los ejes x,y,z, todas las componentes resultan positivas, pero si
alguna de las componentes hubiese resultado en sentido opuesto al eje respectivo, se le
debería colocar el signo negativo.

3. ¿Cómo se expresa la fuerza F en forma vectorial en términos de sus componentes
rectangulares y de los vectores unitarios?.
Al conocer las componentes rectangulares, cada componente se expresa en
forma vectorial, multiplicando el escalar que representa su magnitud, acompañado con
el signo respectivo que representa el sentido, por el vector unitario correspondiente al
eje coordenado a lo largo del cual está la línea de acción de la componente rectangular
considerada. Por ejemplo, la componente rectangular vectorial a lo largo del eje x
resulta igual a: Fx = Fx i.
Para obtener la fuerza F se escribe la suma vectorial de las tres componentes
vectoriales que actúan a lo largo de cada uno de los tres ejes coordenados:
F = Fx i + Fy j + Fz k (3)
Sustituyendo las componentes ya calculadas en la ecuación (3), se obtiene la
fuerza F en forma vectorial, sin olvidar escribir la unidad de la fuerza, que en nuestro
ejemplo es newton (N):
F = 556,67 i + 766,04 j + 321,39 k N
¿Cómo se expresa la fuerza P en forma vectorial en términos de sus componentes
rectangulares y de los vectores unitarios?.
La fuerza P está definida por su magnitud, su sentido dado por la punta de flecha
y su dirección dada por la línea de acción OA. Para determinar la fuerza P en forma
vectorial se debe primero determinar el vector unitario  que define la dirección de la
línea de acción OA, para luego determinar el vector fuerza P multiplicando el escalar
dado por su magnitud P por el vector unitario , resultando:
P = P  (4)
El vector unitario  de la línea OA es igual al vector OA dividido por un escalar
igual a la distancia entre los puntos O y A, que es igual a la magnitud o norma OA del
vector OA, resultando:
OA = OA / OA (5)
El vector OA expresado en componentes rectangulares resulta igual a:
OA = x i + y j + z k (6)
Se tiene que:
x = xA – xO ; y = yA – yO ; x = zA – zO (7)

4. La magnitud o distancia OA está dada por:
𝑂𝐴 = √∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2 (8)
Se sustituyen las ecuaciones (6) y (8) en la ecuación (5) y se obtiene de una
forma explícita el vector unitario  en componentes rectangulares.
OA =
∆𝒙
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝑖̂ +
∆𝒚
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒋̂ +
∆𝒛
√∆𝑥2 + ∆𝑦2+ ∆𝑧2
𝒌̂ (9)
En la figura 3, se observa la fuerza P que se quiere expresar en forma vectorial
en términos de sus componentes rectangulares. Para esto, primero debemos determinar
el vector OA y su magnitud OA, para luego escribir el vector OA en componentes
rectangulares.
De la ecuación (7) se determinan las componentes rectangulares del vector OA:
 x = xA – xO = -100 – 0 = -100 mm = -0.1 m
 y = yA – yO = 500 – 0 = 500 mm = 0,5 m
 x = zA – zO = 300 – 0 = 300 mm = 0,3 m
De la ecuación (8) de determina la magnitud OA:
𝑂𝐴 = √−0,12 + 0,52 + 0,32 = 0,592 𝑚

5. De la ecuación (9) se obtiene el vector unitario OA:
OA =
−𝟎,𝟏
0,592
𝑖̂ +
𝟎,𝟓
0,592
𝒋̂ +
𝟎,𝟑
0,592
𝒌̂ = −𝟎, 𝟏𝟔𝟗 𝑖̂ + 𝟎, 𝟖𝟒𝟓 𝒋̂ + 𝟎, 𝟓𝟎𝟕 𝒌̂
De la ecuación (4) se obtiene la fuerza P :
P = 750 (−𝟎, 𝟏𝟔𝟗 𝑖̂ + 𝟎, 𝟖𝟒𝟓 𝒋̂ + 𝟎, 𝟓𝟎𝟕 𝒌̂) =
P = −𝟏𝟐𝟔, 𝟕𝟓 𝑖̂ + 𝟔𝟑𝟑, 𝟕𝟓 𝒋̂ + 𝟑𝟖𝟎, 𝟐𝟓 𝒌̂ N
¿Cómo se determina la fuerza resultante R de las dos fuerzas P y F?
Para obtener la resultante de las dos fuerzas se suman algebraicamente las
componentes en cada una de las direcciones y el resultado se expresa en forma vectorial
en términos de los vectores unitarios i ; j ; k.
R = Fx i + Fy j + Fz k
 Fx = 556,67 – 126,75 = 429,92 N
 Fy = 766,04 + 633,75 = 1399,77 N
 Fz = 321,39 + 380,25 = 701,64 N
R = 429,92 i + 1399,77 j + 701,64 k N
¿Cómo se determina la magnitud de la fuerza resultante y su dirección definida
por medio de los cosenos directores?.
La magnitud la resultante R está dada por:
𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 + 𝑅𝑧2 (10)
Los cosenos directores de la fuerza resultante están dados por las relaciones
siguientes:
cos 𝜃𝑥 =
𝑹𝒙
√𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2+ 𝑅𝑧2
cos 𝜃𝑦 =
𝑹𝒚
√𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2+ 𝑅𝑧2
cos 𝜃𝑧 =
𝑹𝒛
√𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2+ 𝑅𝑧2
(11)
Sustituyendo los valores correspondientes en las ecuaciones (10) y (11)
𝑅 = √429,922 + 1399,772 + 701,642 = 1623,73 𝑁
cos 𝜃𝑥 =
429,92
1623,73
= 0,2648

6. cos 𝜃𝑦 =
1399,77
1623,73
= 0,8621
cos 𝜃𝑧 =
701,64
1623,73
= 0,4321