1. El documento discute soluciones analíticas para problemas de flujo subterráneo bidimensional, incluyendo líneas de flujo y equipotenciales. 2. Explica que las líneas de flujo son perpendiculares a las líneas equipotenciales, lo que permite construir soluciones gráficas. 3. Presenta un ejemplo analítico para un problema bidimensional que identifica patrones de recarga y descarga.

1. Sección 5.2
Problemas en Flujo Bidimensional
Teoría de Flujo Subterráneo
Semestre 2008-1
Alberto Rosas Medina

2. En esta sección se consideran las soluciones analíticas en 2
dimensiones. Mientras que el análisis matemático nos
permite escribir soluciones bastante generales para flujo
multidimensional.
La discusión empieza con líneas de flujo y líneas
equipotenciales y se presentan condiciones bajo las cuales
este conjunto de líneas son ortogonales a otras.
Esto es usado como una base para la construcción de
soluciones gráficas. Entonces se considera una solución
analítica especifica para un problema bidimensional definido
sobre una sección vertical cruzada correspondiente a una
pendiente del cerro, identificando patrones de recarga y
descarga y desarrollando una simple pero bastante general
panorama de flujo dinámico subterráneo y su relación con la
superficie hidrológica.

3. Finalmente se considera extensiones a sistemas más
complejos que incluyen ciertos campos de heterogeneidad
5.2.1 Soluciones Gráficas
El método de solución gráfica está basado sobre la
observación que las líneas de flujo son perpendiculares
a las líneas equipotenciales
Definición 1. streamline: Es una curva en el espacio
que es tangente casi donde quiera al vector de flujo
volumétrico .
En un estado de equilibrio, un streamline traza la
trayectoria de una partícula moviéndose en el campo de
flujo.

4. El campo de flujo está dado por los gradientes en carga
hidráulica dados por la ley de Darcy.
Cuando el material es isotrópico la conductividad
hidráulica es un único número. Así en un medio
isotrópico el vector de flujo está en la misma dirección
que el gradiente
.

5. Cuando el material es anisotrópico, la situación no es
simple por que el mapeo entre
y
envuelve una
matriz con valores de conductividad hidráulica y por lo
tanto los valores de y
son
generalmente no
colineales
Por ahora se asume isotropía, así estamos asegurando
que y
tienen la misma dirección. Por lo tanto
podemos decir que streamlines sigue la dirección de
por que esta dirección es la misma que , la cual
sirve para definir los streamlines.
Definición 2. Líneas equipotenciales: son líneas por las
cuales el potencial o carga hidráulica es constante.

6. Decimos desde geometría analítica que por definición, el
gradiente de cualquier función tiene una dirección que
es perpendicular a líneas de valores constantes de la
función. Por lo tanto el gradiente de carga hidráulica
debe ser perpendicular a las líneas de carga hidráulica
constante, lo cual significa que streamlines deben ser
perpendiculares a las líneas equipotenciales en un
medio isotrópico.
De esta observación podemos graficar el flujo de líneas
basado en la relación de ortogonalidad entre líneas
equipotenciales y líneas de flujo.

7. Red de Flujo Clásicas
En el campo de mecánica sólida y fundación de
ingeniería, uno esta con frecuencia interesado en flujo a
través o alrededor de estructuras de ingeniería que
envuelve la subsuperficie y agua subterránea o quizás
construcción de diques por encima de la tierra que crea
un nuevo medio poroso (e.g. un dique de tierra) con
posibilidades de flujo asociado a través del objeto.
Como un ejemplo, considere la situación mostrada en la
figura 5.7, donde la expansión de material impermeable
es introducida dentro de la tierra que sirve como un
dique.

8. El charco de agua sobre el lado izquierdo del dique
(detrás del dique) y flujos lejos (fuera alejándose) sobre
el lado derecho. Podemos representar el flujo en este
sistema por uso del principio de ortogonalidad, dado que
podemos identificar fronteras apropiadas por que tanto
la carga hidráulica es constante (una línea
equipotencial) o no existe flujo en la dirección normal a
la frontera, (en tal caso la frontera corresponde a
streamline).

9. Esquema de un dique

10. En la figura 5.8, las líneas etiquetadas A-B y E-F-G-H-IJ son líneas a través de las cuales no ocurre flujo. Por
que el vector de flujo no tiene componente en la
dirección normal a la línea, y la única componente no
cero puede ser en la dirección tangente a la línea. Por lo
tanto, por definición de un streamline, las líneas A-B y
E-F-G-H-I-J son streamlines. Las líneas etiquetadas D-F
y I-C son líneas de igual carga hidráulica, con la carga
por D-F es igual a HL y la carga por I-C es igual a HR.
Así cualquier representación del sistema de flujo a
través del medio poroso debe incluir equipotenciales por
D-F y I-C, y streamlines por A-B y E-F-G-H-I-J.

11. F
I
G
H
Esquema de un dique con líneas de frontera etiquetadas

12. Con esta información, y los requisitos del conjunto de
streamlines y equipotenciales debe ser mutuamente
ortogonales, podemos construir un conjunto de tales
líneas. Una representación es la figura siguiente.
Líneas streamlines y equipotenciales para el problema (embalse represa dique)

13. Mientras el número de equipotenciales y streamlines, y
sus espacios, pueden ser elegidos arbitrariamente
(restringido únicamente por los requisitos de
ortogonalidad), esto es con frecuencia útil para seguir
una manera más sistemática para construcción de estas
líneas. En particular con frecuencia intentamos graficar
líneas y del flujo que ocurre entre cualesquiera dos
streamlines adyacentes es el mismo, y la carga
descendiente
entre
cualesquiera
dos
líneas
equipotenciales es el mismo.

14. Un mapa hidrológico se refiere a una representación grafica
de flujo subterráneo basado sobre líneas equipotenciales y
streamlines aplicadas a un acuífero dentro del cual el
promedio vertical ha sido aplicado (sección 4.5.2 para
adicional discusión de este tópico). Por lo tanto el mapa
representa la carga hidráulica y el flujo volumétrico en el
plano (x,y) en donde el flujo dentro del acuífero es asumido
para ser esencialmente horizontal. Para materiales
homogéneos e isotrópicos, el principio de ortogonalidad
puede ser aplicado. Por lo tanto streamlines pueden ser
esquematizadas (dibujadas) basadas sobre conocimientos de
líneas equipotenciales. La aplicación práctica de este campo
de mapas tiene soporte (depende) sobre la observación de
mediciones de niveles de agua en pozos son directamente
medidos de carga hidráulica sobre la longitud de el pozo de
investigación.

15. Y para pozos investigados dentro del mismo acuífero, las
mediciones del nivel de agua entonces proporcionan puntos
de medidas carga hidráulica. Mapas topográficos basados
sobre esta medición de pozos entonces proporciona líneas
equipotenciales, por que por definición una línea de nivel es
una línea por la cual el valor de la variable siendo contoured
es constante. Cuando la variable es la carga hidráulica, el
contorno son líneas equipotenciales. Una vez que estas
líneas son graficadas, streamlines pueden ser construidas
usando el principio de ortogonalidad. Un ejemplo de tal mapa
es proporcionado por la fig. 5.10, donde las mediciones del
nivel del agua en las inmediaciones (alrededor) de dos pozos
de bombeo son contoured, y desde estos contours
direcciones de flujo son inferidas y graficadas.

17. Supongamos un sistema bidimensional (x,y) y las
principales direcciones de la conductividad hidráulica
alineadas con los ejes coordenadas, así que en el
sistema coordenado (x,y) la matriz de conductividad
hidráulica está dada por

18. Considerando la dirección resultante de flujo cuando el
gradiente de carga hidráulica está alineado en el ángulo
α desde el eje x.

19. Donde
denota la magnitud del vector
.
Las ecuaciones gobernantes de flujo derivado de la ley
de Darcy:

20. El ángulo en el cual fluye el agua está dado por β, y se
define como
Cuando el material es isotrópico
Lo cual significa que
entonces

21. Sin embargo, cuando
el vector de flujo no está
alineada con el vector gradiente de carga excepto
cuando el gradiente pasa alineado con las direcciones
principales de la conductividad hidráulica.
Dado que se considera un sistema anisotrópico se
define un nuevo sistema coordenado, en el cual el
vector de flujo y el gradiente de carga están alineados.

22. El nuevo sistema coordenado
se obtiene
Entonces el vector de flujo están dados por

23. Por lo tanto el cálculo de la dirección de flujo muestra
que el flujo está en la nueva dirección del gradiente de
carga definido en el nuevo sistema coordenado,
así en el espacio transformado, las direcciones de flujo
pueden ser determinados desde el análisis de red de flujo.

24. Material interfaz y ley tangente
Heterogeneidad de materiales, propiedades tales como
conductividad hidráulica significa que el valor de la
propiedad cambia con la localización en el espacio.
La línea o superficie cruzada con la cual la propiedad
cambia es llamado material interfaz.
En un sistema de agua subterránea saturado, el
movimiento a través de un material interfaz obedece a
dos reglas fundamentales.

25. 1. Continuidad de la carga hidráulica
2. Continuidad de flujo normal
Ambos en el sentido matemático.
La primera regla sigue el hecho que una carga hidráulica
discontinua implica un flujo infinito para cualquier
conductividad hidráulica finita (Ley de Darcy) lo cual
físicamente es imposible.
La segunda regla se sigue desde el argumento de
balance de masas: cualquier masa entrante en la
interfaz, debe emerger del otro lado, porque la interfaz
no puede almacenar masa (tiene volumen cero).

26. Construcción de redes de flujo y mapas hidrológicos cuando el
dominio de interés está compuesto de regiones de materiales
homogéneos, separados por una interfaz A-A´
De un lado, el material i, con carga hidráulica hi, conductividad
hidráulica Ki ,vector de flujo volumétrico qi. i=1,2. La dirección
normal a la interfaz denotada por n y la dirección por la interfaz
como s.

27. La continuidad de la carga hidráulica implica que
Es decir es la misma por ambos lados de la interfaz.
De la ley de Darcy se tiene
Por lo tanto
Si relacionamos los ángulos
y
usando la tangente

28. La última ecuación nos dice que el cambio de ángulo del
vector de flujo a través del material interfaz es
gobernado por el contraste de permeabilidad a través
de la interfaz.
En particular si
, entonces
por lo tanto
el vector en el material más permeable tiene una
dirección cerrada paralela a la interfaz, mientras que en
el material menos permeable está cerrado a la dirección
normal.

29. Leyes tangentes
1.Provee una metodología para la construcción de redes
de flujo en material heterogéneo, donde la
heterogeneidad envuelve regiones simples homogéneas
separadas por un material interfaz.
La segunda consecuencia es que envuelve flujos en
sistemas acuífero-acuitardo estratificado.

30. Por que por definición los acuíferos tienen permeabilidad
mucho más grande que la permeabilidad en un
acuitardo, líneas de flujo en las inmediaciones de la
frontera acuífero-acuitardo debe ser cerrado a paralelo a
la interfaz en el acuífero y cerrado a la dirección normal
en el acuitardo. Para estratos que son esencialmente
horizontales, esta significa que el flujo en el acuífero
será esencialmente horizontal y el flujo en el acuitardo
será vertical.
Por lo tanto la ley tangente sostiene la suposición de
flujo esencialmente horizontal en acuíferos y flujo
vertical en acuitardos.

31. 5.2.2 Soluciones Analíticas en 2 Dimensiones
Las soluciones analíticas de problemas de flujo
subterráneo en más de una dimensión tienen más
complicaciones que las ecuaciones diferenciales
ordinarias.
En general, las soluciones analíticas pueden ser
únicamente derivadas para ecuaciones lineales con
coeficientes constantes definida sobre un dominio cuyas
fronteras son paralelas a los ejes coordenados.

32. Flujo subterráneo en pequeñas cuencas
hidrográficas
Veamos la siguiente figura

33. Con estas condiciones impuestas, la ecuación de flujo
subterráneo para estado de equilibrio para acuífero
homogéneo e isotrópico provee una descripción
matemática del problema, la ecuación no puede ser
resuelta por que la localización de el nivel freático no es
paralelo a los ejes coordenados.
Se puede obtener la solución si suponemos
entonces el problema se traduce en

34. Esta ecuación puede ser solucionada analíticamente, obteniendo una solución
en series infinitas envolviendo funciones trigonométricas.

36. 1. Nótese que la solución es representada por líneas de flujo
y que las líneas de flujo están únicamente graficadas dentro
del dominio donde la solución es realmente obtenida, esto es
en
.
2. Podemos identificar áreas de recarga y descarga.
Recarga: Es un área en lo alto de el dominio (en 2-D)
esto es realmente una línea de recarga, por que el “área”
envuelve la dirección y
La carga hidráulica decrece con profundidad
Descarga: Es un área para la cual la carga hidráulica
incrementa con profundidad.
3. Se identifican tres zonas generales sobre la figura, las
cuales son denotadas como: sistemas de flujo local, sistemas
de flujo intermedio y sistemas de flujo regional.

37. Sistema de flujo regional: Tiene su área de recarga en
una topografía local (senoidal) alta, y su área de
descarga en la topografía adyacente inferior.
Sistema de flujo intermedio: Tiene sus áreas de carga
y descarga separadas por una o más topografías pero
estas no abarcan la longitud entera de la pendiente de la
colina
Sistema de flujo regional: Es un sistema cuya área de
recarga incluye el agua divisor y su área de descarga
incluye el valle bottom