Flujo en conductos cerrados

Tema1:
Introducción:FlujoenConductosCerrados
1
HIDRAULICA APLICADA
Código 325, 3º Curso, 1º Semestre, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Área Mecánica de Fluidos. Dpto. Tecnología
HIDRAULICA APLICADA
Código 325
3º Curso, INGENIERÍA INDUSTRIAL
Curso 2003/04
TEMA 1
Introducción: Flujo en
Conductos Cerrados

Tema1:
2
HIDRAULICA APLICADA
Fluidos No Viscosos: La ecuación de Euler y La Ecuación de Bernoulli
Aunque no existan flujos no viscosos, existen muchas aplicaciones reales en las cuales, el efecto de
la viscosidad es muy pequeña frente a otros efectos, por lo cual pueden ser ignorados. Aunque no
sea definitivo, en general podemos decir que si Re >>1 podríamos considerar el fluido como no
viscoso, recordemos que:
µ
ρ..
Re
LV
=
De todas maneras, será la experiencia y la experimentación los que en último término determinen si
podemos considerar un fluido como viscoso o no, sobre todo cerca de fronteras sólidas.
Vamos a aplicar la segunda ley de Newton a un volumen diferencial de un fluido que consideraremos
como no viscoso. Es decir, vamos a considerar que la aceleración del volumen de fluido es igual a las
fuerzas exteriores al mismo:

Tema1:
3
HIDRAULICA APLICADA
dydz
dx
x
P
P 





∂
∂
−
2
. dydz
dx
x
P
P 





∂
∂
+
2
.
En el eje de las X tenemos:
ρρ ...
2
.
2
. x
x
xx g
x
P
dxdydz
F
dxdydzgdydz
dx
x
P
Pdydz
dx
x
P
PF +
∂
∂
−=
∑
→+





∂
∂
+∑ +





∂
∂
+−=
( )VV
t
V
Dt
VD
a
rr
rr
r
..∇+
∂
∂
==
La aceleración del sistema lo podemos
calcular como:
Por tanto, según la segunda ley de
Newton:
( ) ( ) ( ) ∑=





∇+
∂
∂
== FVV
t
V
dxdydz
Dt
VD
dxdydzadmsistema
rrr
rr
r
..... ρρ
Las fuerzas exterior al sistema, un volumen diferencial de fluido, dV=dx.dy.dz, son la presión exterior y la fuerza
de la gravedad:
ρ
ρ
ρ
.
.
.
z
z
y
y
x
x
g
z
P
dxdydz
F
g
y
P
dxdydz
F
g
x
P
dxdydz
F
+
∂
∂
−=
∑
+
∂
∂
−=
∑
+
∂
∂
−=
∑
ρ.gP
dxdydz
F r
r
+−∇=
∑

Tema1:
4
HIDRAULICA APLICADA
( ) ( ) ∑=





∇+
∂
∂
FVV
t
V
dxdydz
rrr
r
...ρ ( )
( )dxdydz
F
VV
t
V
.
..
ρ
∑
=





∇+
∂
∂
r
rr
r
ρ.gP
dxdydz
F r
r
+−∇=
∑
( ) gPVV
t
V rrr
r
+−∇=





∇+
∂
∂
ρ
1
.. Ecuación de Euler
z
y
x
g
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
g
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
g
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
ρ
ρ
1
...
1
...
1
...
Una primera conclusión de esta ecuación
es la siguiente: imaginemos que estamos
en un tubo en el que hacemos el vacío,
es decir no hay variación de la presión,
por tanto el término:
De lo que se concluye que caerá igual de
aprisa una gota de agua que una de
mercurio, ya que la densidad desaparece
de la ecuación
0=∇P
Descomponiéndola en
los ejes

Tema1:
5
HIDRAULICA APLICADA
Ahora vamos a integrar la ecuación de Euler sobre una línea de corriente,s, es decir sobre el camino
que recorre una partícula de fluido dentro del volumen de control:
( ) gPVV
t
V rrr
r
+−∇=





∇+
∂
∂
ρ
1
..
( ) ( )VV
V
VV
rrrr
∧∇∧−








∇=∇
2
..
2
Utilizando el cálculo vectorial se
puede demostrar fácilmente que
( ) ( )VVgP
V
t
V
gPVV
V
t
V rrr
r
rrr
r
∧∇∧=−∇+








∇+
∂
∂
→+−∇=∧∇∧−








∇+
∂
∂
ρρ
1
2
1
2
22
[ ] ( )[ ]∫ ∧∇∧=∫−∫ 





∇+∫
















∇+∫ 





∂
∂ b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
sdVVsdgsdPsd
V
sd
t
V rrrrrrrr
r
ρ
1
2
2
Integrando

Tema1:
6
HIDRAULICA APLICADA
[ ] ( )[ ]∫ ∧∇∧=∫−∫ 





∇+∫
















∇+∫ 





∂
∂ b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
sdVVsdgsdPsd
V
sd
t
V rrrrrrrr
r
ρ
1
2
2
( )kdzjdyidxk
V
dz
d
j
V
dy
d
i
V
dx
d
sd
V
ˆ.ˆ.ˆ..ˆ.
2
ˆ.
2
ˆ.
2
.
2
2222
++
















+







+







=








∇
r
















+







+







=








∇ dz
V
dz
d
dy
V
dy
d
dx
V
dx
d
sd
V
.
2
.
2
.
2
.
2
2222
r
22
.
2
.
2
.
22
222222
ab
b
a
b
a
VV
dz
V
dz
d
dy
V
dy
d
dx
V
dx
d
sd
V
−=∫ 















+







+







=∫
















∇
r
( )12
11
PPsdP
b
a
−=∫ 





∇
ρρ
r
[ ] ( )[ ] ( )ab
b
a
b
a
rgrgsdrgsdg
rrrrrrrrr
... −−=∫ ∇−=∫−

Tema1:
7
HIDRAULICA APLICADA
( )[ ] 0=∫ ∧∇∧
b
a
sdVV
rrr
( )( ) 0. =∧∇∧ sdVV
rrr
Por ser perpendiculares
( )( ) 0..
22
22
=−−−+





−+







−+∫ 





∂
∂
ab
abab
b
a
rgrg
ppVV
sd
t
V rrrrr
r
ρρ
0.
2
.
2
22
=







−+−







−++∫ 





∂
∂
a
aa
b
bb
b
a
rg
pV
rg
pV
sd
t
V rrrrr
r
ρρ
Sustituyendo:
Como normalmente : zgrgkgjig ..ˆ.ˆ.0ˆ.0 −=→−+=
vrr
0.
2
.
2
22
=







++−







+++∫ 





∂
∂
a
aa
b
bb
b
a
zg
pV
zg
pV
sd
t
V
ρρ
r
r
Ecuación de Bernoulli

Tema1:
8
HIDRAULICA APLICADA
0.
2
.
2
22
=







++−







++ a
aa
b
bb
zg
pV
zg
pV
ρρ
Si tratamos con problemas estacionarios:
a
aa
b
bb
zg
pV
zg
pV
.
2
.
2
22
++=++
ρρ
a
aa
b
bb
z
g
p
g
V
z
g
p
g
V
++=++
..2.2
22
ρρ aa
a
bb
b
zgp
V
zgp
V
..
2
..
2
22
ρρρ ++=++
Unidades de Energía
Unidades de PresiónUnidades de Altura
Ecuación de Bernoulli

Tema1:
9
HIDRAULICA APLICADA
Veamos el significado de la ecuación. Se trata, ante todo, de una ecuación de conservación de la
energía:
Energía A, Ea
Energía B, Eb
a
aa
zg
pV
.
2
2
++
ρ
b
bb
zg
pV
.
2
2
++
ρ
Si no hay fricción, ni perdidas por el camino, la energía a la entrada y salida de la tubería se
conservará. Ahora bien, esta puede que cambie es su composición, es decir, lo que no se mantiene es
la energía cinética, potencial, etc.., sino el conjunto

Tema1:
10
HIDRAULICA APLICADA
Analicemos ahora los términos de las distintas expresiones de la ecuación de Bernoulli:
a
aa
b
bb
zg
pV
zg
pV
.
2
.
2
22
++=++
ρρ
Términos en forma de energía:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
kg
J
kg
mN
m
kg
kg
s
m
m
s
m
zg
kg
J
kg
m
m
NP
kg
J
kg
mN
kg
kg
m
m
s
mV
====
==
====
.
....
.
.
.
2
22
3
2
2
2
2
22
ρ
Energía Cinética
Energía Presión
Energía Potencial Geodésica
Términos en forma de Alturas: [ ]
[ ]
mz
m
m
s
kg
m
ms
mkg
m
s
kg
m
m
N
g
P
m
m
s
s
m
g
V
=
===
==
23
22
23
2
2
2
22
..
1.
..
1
.
.
2
ρ
a
aa
b
bb
z
g
p
g
V
z
g
p
g
V
++=++
..2.2
22
ρρ
Altura Cinética o de Velocidad
Altura Geométrica
Altura Presión
Altura
Piezométrica
z
g
P
+
.ρ
Existe una relación muy útil que
suma la altura de presión y la
geométrica

Tema1:
11
HIDRAULICA APLICADA
Términos en forma de presión:
[ ]
[ ]
Pa
m
N
m
s
m
m
kg
zg
Pa
m
N
P
Pa
m
N
m
kg
s
mV
===
==
===
223
2
232
22
....
2
ρ
ρ Presión Dinámica
Presión Estática
Presión Hidrostática
aa
a
bb
b
zgp
V
zgp
V
..
2
..
2
22
ρρρ ++=++
Por ejemplo, si utilizamos la ecuación en sus términos medidos en alturas, la interpretación sería
,por ejemplo, para el caso anterior:
b
bb
a
aa
BA
z
g
p
g
V
z
g
p
g
V
HHH
++=++
==
.2..2
22
ρρ
g
p
.ρ
g
V
2
2
z
g
V
2
2
g
V
2
2
g
p
.ρg
p
.ρ
z
H
H
H
Altura Total
La altura Cinemática no varía ya que la
velocidad no varía si la tubería tiene una
sección constante
La alturas geométricas coinciden con el eje
de la tubería
Se puede ver como varía la altura de
presión en función de los otros términos

Tema1:
12
HIDRAULICA APLICADA
Si conocemos la línea de altura de presión podemos determinar el timbraje ( espesor de l a
tubería ) de cada tramo.

Tema1:
13
HIDRAULICA APLICADA
Imaginemos una tubería real en la que se existe rozamiento, es decir pérdidas de energía del fluido que
se consume en vencer esas pérdidas, por tanto, si llamamos hf a las pérdidas de energía por fricción en
la tubería ahora lo que tendremos será lo siguiente:
∑+= fba hEE
∑+++=++ fb
bb
a
aa
hzg
pV
zg
pV
.
2
.
2
22
ρρ
La energía que entra en A es igual ala que sale por
B más la energía consumida para vencer la
fricción, es decir las pérdidas
La ecuación de puede escribir en términos de presión o en términos de altura y el significado es
completamente análogo. Es decir, hablaríamos de pérdidas de altura debidas a la fricción, o de pérdidas
de presión debidas a la fricción.

Tema1:
14
HIDRAULICA APLICADA
Lo anterior se puede generalizar a cualquier tipo de pérdida de energía que sufra el fluido
en su trayectoria, como perdidas por estrechamientos, codos, válvulas, bifurcaciones, turbulencia,
etc.., como se verá en sucesivos temas, a estos se le suele llamar pérdidas menores, hm , para
distinguirlas de las pérdidas por fricción. Así podemos generalizar como:
∑+∑+= mfba hhEE
∑+∑+++=++ mfb
bb
a
aa
hhzg
pV
zg
pV
.
2
.
2
22
ρρ
Existen dos elementos interesantes que vale la pena estudiar, por un lado las bambas, las
cuales comunican energía al fluido, en forma de aumento de la presión, y las turbinas, las cuales
consumen energía del fluido, para poder transformarla en electricidad, etc.. Si en nuestro proceso nos
encontramos con alguna de ellas, debemos introducirlas dentro de la ecuación de Bernoulli, para tener
en cuenta su aporte ( bombas ) o consumo ( turbinas ) de energía en el balance.

Tema1:
15
HIDRAULICA APLICADA
bBa EHE =+
b
bb
Ba
aa
zg
pV
Hzg
pV
.
2
.
2
22
++=+++
ρρ
bTa EHE =−
b
bb
Ta
aa
zg
pV
Hzg
pV
.
2
.
2
22
++=−++
ρρ
( Después de la bomba disponemos, de la energía
que teníamos en A más la energía que nos
proporciona la bomba )
( Después de la Turbina disponemos, de la energía
que teníamos en A menos la energía que nos
consume la turbina )

Tema1:
16
HIDRAULICA APLICADA
Flujo Laminar Completamente Desarrollado en una Tubería
rdrdA π2=
Tomamos un volumen de control
diferencial, en forma de cilindro, tal y
como indica la figura, y sobre el
aplicamos un balance de fuerzas
Fuerza sobre los laterales
debida a la acción de la
presión del fluido
rdr
dx
x
p
p π2
2






∂
∂
−
rdr
dx
x
p
p π2
2






∂
∂
+
dr
dx
dr
r
dr
dr
d rx
rx 





−





−
2
2
2
π
τ
τ
dx
dr
r
dr
dr
d rx
rx 





+





+
2
2
2
π
τ
τ
dx
r
La fricción debida a la
viscosidad del fluido
producirá una fuerza de
rozamiento sobre la cara
interior del cilindro, así como
sobre la exterior, las cuales
actuarán en sentido
contrario a las anteriores
p
Elemento de fluido
Tubería

Tema1:
17
HIDRAULICA APLICADA
Sumando todas las fuerzas en x, tenemos que:
dx
dr
r
dr
dx
d
rdr
dx
x
p
pdx
dr
r
dr
dx
d
rdr
dx
x
p
p rx
rx
rx
rx 





−





−+





∂
∂
+=





+





++





∂
∂
−
2
2
2
2
22
2
2
2
2
π
τ
τππ
τ
τπ
( )
dr
rd
rx
p
dr
d
rx
p
dxdrr
dr
d
dxdrdxdrr
x
p rxrxrxrx
rx
τττ
π
τ
πτπ
.1
0...2...2....2. =
∂
∂
→+=
∂
∂
→=++
∂
∂
−
Reordenando tenemos que:
Si ahora integramos respecto a r:
( ) ( )
r
c
x
pr
c
x
pr
rdr
dr
rd
dr
x
p
r
dr
rd
x
p
r
rx
rx
rxrx
1
1
2
2
2
.
.
.
.
.
+





∂
∂
=
+





∂
∂
=∫ →=∫
∂
∂
→=
∂
∂
τ
τ
ττ
Recordando la definición de esfuerzo cortante, , obtenemos que:
dr
du
µτ =
2
1
2
1 ln
42
cr
c
x
pr
u
r
c
x
pr
dr
du
++





∂
∂
=→+





∂
∂
=
µµ
µ
Presión sobre el
lado izquierdo
Fuerza debido a la
viscosidad sobre la cara
exterior del elemento
Fuerza debido a la
viscosidad sobre la cara
interior del elemento
Presión sobre el
lado izquierdo

Tema1:
18
HIDRAULICA APLICADA
De la expresión de la velocidad faltan por determinar las dos constantes.
•Una de las condiciones que ha de cumplir es que en todo punto dentro de la tubería
la velocidad sea finita, o lo que es lo mismo, no puede valer infinito. Por tanto, para
que esto se cumpla en el centro de la tubería, r=0, la única forma será si c1 es cero.
•La otra constante la podemos sacar de la condición de frontera:
si r=R, u=0:
2
2
2
1
2
4
ln
4
c
x
pr
cr
c
x
pr
u +





∂
∂
=++





∂
∂
=
µµµ






∂
∂
−





∂
∂
=






∂
∂
−=→+





∂
∂
=→==
x
pR
x
pr
u
x
pR
cc
x
pR
uRr
µµ
µµ
44
44
00,
22
2
22
2
2
1
2
ln
4
),( cr
c
x
pr
rxu ++





∂
∂
=
µµ














−





∂
∂
=
22
1
4
),(
R
r
x
pR
xru
µ
Distribución parabólica
de la velocidad en el
interior de una tubería
en régimen laminar

Tema1:
19
HIDRAULICA APLICADA
De esta expresión podemos determinar una serie de expresiones de utilidad:
• Distribución de esfuerzos cortantes:
• Flujo Volumétrico:
•Velocidad Promedio:
• Velocidad Máxima:






∂
∂
==
x
pr
dr
du
rx
2
µτ
( ) →∫ ∫ −





∂
∂
==∫=
R R
A
drrRr
x
p
drruAdVQ
0 0
22
..2
4
1
..2. π
µ
π
rr
→==
2
.R
Q
A
Q
V
π
0
2
1
0
2
1
max
=→





∂
∂
== →





∂
∂
=
=
rr
x
p
dr
du
r
x
p
dr
du
uu µµ






∂
∂
−=
x
pR
Q
µ
π
8
. 4






∂
∂
−=
x
pR
V
µ8
2
V
x
pR
u .2
4
2
max =





∂
∂
−=
µ

Tema1:
20
HIDRAULICA APLICADA
Otra de las utilidades de esta expresión será el ayudarnos a determinar el tipo de perfil de
velocidades en un flujo totalmente desarrollado en el interior de tubería. Haciendo uso de la
expresión de la velocidad máxima, U, la expresión de la velocidad la podemos escribir de la
siguiente forma:
2
1 





−=
R
r
U
u Lo que indica que el perfil de velocidades es parabólico para un flujo
completamente desarrollado en régimen laminar en el interior de una
tubería
Hay que tener siempre en cuenta que estamos hablando de flujos
completamente desarrollados. La zona en la que el flujo se
desarrolla, llamada “longitud de entrada”, es más complicada de
analizar, y normalmente, desde el punto de vista práctico, no se
suele tener en cuenta si la tubería es lo suficientemente larga.
Existen multitud de formulas que determinan la longitud de
entrada. A modo de primera estimación, podemos utilizar
la expresión de Langhaar por su sencillez:
Re058.0=
D
Lentrada

Tema1:
21
HIDRAULICA APLICADA






∂
∂
=
x
pr
rx
2
τ 





∂
∂
−=
x
pR
Q
µ
π
8
. 4






∂
∂
−=
x
pR
V
µ8
2
V
x
pR
u .2
4
2
max =





∂
∂
−=
µ














−





∂
∂
=
22
1
4
),(
R
r
x
pR
xru
µ
Fuerza superficial sobre la
pared de la tubería debida
a la fricción producida
viscosidad del fluido en
movimiento
[ N/m2]
Caudal Volumétrico
trasegado por la
tubería
[ m3/s]
Velocidad promedio
del fluido en el
interior de la tubería.
[ m/s]
Velocidad máxima
del fluido en el
interior de la tubería.
[ m/s]
Distribución parabólica de la
velocidad en el interior de una
tubería en régimen laminar
Como se puede ver, en todas la expresiones existe una incógnita a determinar, el gradiente de presiones,
o lo que es lo mismo, la variación de la presión a lo largo de la tubería en el sentido de avance del fluido.
¿ Cómo lo determinamos? Mediante el concepto de pérdidas

Tema1:
22
HIDRAULICA APLICADA
Análisis del Flujo Completamente Desarrollado en una Tubería
En un conducto, si el flujo es:
•Incompresible
•Estacionario
• Totalmente desarrollado
y no hay fugas, la ecuación de continuidad y
de Bernoulli para el volumen de control
comprendido entre los planos 1 y 2 queda de
la siguiente forma:
Lhgzg
Vp
zg
Vp
..
2
.
2
2
2
22
1
2
11 +++=++
ρρ
Si A1 = A2
VVV == 21 (1)(2)
2211 AVAV =
Lhgzg
p
zg
p
... 2
2
1
1 ++=+
ρρ
Ec. Bernoulli Ec. Continuidad o Conservación de la masa

Tema1:
23
HIDRAULICA APLICADA
(1) La energía cinética no se pierde por rozamiento a lo largo de la tubería con
flujo totalmente desarrollado
(2) Las perdidas la podemos expresar como:
( )21
21 .. zzg
pp
hg L −+
−
=
ρ
Perdidas expresadas en forma de perdida
de altura columna de agua
Perdidas expresadas en forma de perdida
de presión
De estas ecuaciones podemos extraer las siguientes conclusiones:
( )2121
21
21
.. zzpphp
zz
pp
h
LL
L
−+−=≡∆
−+
−
=
γγ
γ
Es decir, la pérdida de energía debida a
las fricciones con las paredes se puede
decir que se manifiesta con una
variación de la energía asociada a la
presión
Obviamente, si la altura no varía, las pérdidas se manifiestan exclusivamente en una pérdida de
presión
ρ
21.
pp
hg L
−
=
Las pérdidas las podemos expresar en otras unidades:

Tema1:
24
HIDRAULICA APLICADA
( ) ( )∫ ∫ ∑∫ =−+∀
∀ ent salvc
A A
sysrr FdAnVVdAnVVdV
dt
d rrrrrr
ˆˆ ρρρ
Hemos aplicado la ecuación de conservación de la energía y la de la masa, ahora, para conocer más
sobre su comportamiento mecánico podemos aplicar la ecuación de conservación del momento
lineal, que nos proporcionará la fuerza exterior que actúa sobre el fluido. Aplicada al volumen de
control comprendido entre los dos planos, 1 y 2 y las paredes de la tubería tendremos
0 por ser la hipótesis
de estacionario
∑=− sysFAVAV
r
1
2
12
2
2 ρρ
Las fuerzas únicas fuerza que actúan sobre el sistema, es decir, el fluido encerrado por la tubería
serán:
• Presión a ambos lados
• Fricción sobre las paredes de la tubería
• Gravedad
gravedadfricciónpresiónsys FFFF
rrrr
++=∑

Tema1:
25
HIDRAULICA APLICADA
[ ]
fricciónFuerzawA
wesionFuerza dAApApAVAV








∫−−=− τρρ Pr22111
2
12
2
2
Si suponemos, para simplificar que la tubería es horizontal, z1=z2, la gravedad no tendría
componente en la dirección de la tubería, por lo que sólo actuarían las dos primeras fuerzas:
Lo usual es que una tubería no cambie de sección a lo largo se su trayectoria, por lo que podemos
suponer que A2=A1=A, y por tanto V1=V2, así que la expresión anterior se puede expresar como:
∫=−
wA
wdA
A
pp τ
1
21
Si podemos expresar Aw como, Aw=P.x, donde P es el perímetro mojado por el fluido
( ) xPxxPdxPdA ww
x
x
w
A
w
w
∆=−== ∫∫ ..... 12
2
1
ττττ
Donde se ha supuesto que τw es un promedio de la fricción superficial con las paredes de la
tubería en toda la longitud y perímetro de la misma.
01
2
12
2
2
++=− fricciónpresión FFAVAV
rr
ρρ

Tema1:
26
HIDRAULICA APLICADA
A
xP
pp w ∆
=−
..
21
τ
ρ
21.
pp
hg L
−
= x
A
P
hg w
L ∆





= ...
ρ
τ
DD
D
A
P 4
4/.
.
2
==
π
π
Así, esta ecuación nos permite obtener una nueva expresión para determinar las pérdidas





 ∆
=
D
x
hg w
L ..4.
ρ
τ
Es decir, las pérdidas de energía las
podemos expresar en función de la tensión
tangencial τw y parámetros directamente
medibles, y que podemos conocer a priori.
La pregunta será, como calcular τw , que
vuelve a ser un problema.
21
21
. pphp
pp
h
LL
L
−=≡∆
−
=
γ
γ





 ∆
≡∆





 ∆
=
D
x
p
D
x
h
wL
w
L
..4
..4
τ
γ
τ
Análogamente:

Tema1:
27
HIDRAULICA APLICADA






=





=
DD
L
F
D
VD
D
L
F
V
hg L εε
µ
ρ
Re,,,,
2
1
.
2
Utilizando el teorema Pi del análisis dimensiona, podemos reorganizar la expresión anterior y obtener:
Es usual definir el Coeficiente de Perdidas, K, como:
2
2
1
.
V
hg
K L=
Existe un método alternativo al desarrollado hasta ahora, el cual se basaba exclusivamente en un
enfoque totalmente mecanicista. El método es utilizar el análisis dimensionan. Sabemos que las
pérdidas en una tubería dependerán de:
( )εµρ ,,,,, VDLfhL =






=
DD
L
FK
ε
Re,,
Por lo que este coeficiente dependerá de tres grupos adimensionales:








=∆








=








=
2
.
.2
.
2
..
2
2
2
V
Kp
g
V
Kh
V
Khg
L
L
L
ρ
Podemos redefinir
la expresión de las
pérdidas como

Tema1:
28
HIDRAULICA APLICADA
En la expresión de K, aparece la longitud de la tubería entre los puntos entre los cuales queremos
calcular la pérdida. Para un flujo totalmente desarrollado, el esfuerzo cortante es constante,
independiente de la longitud, por lo que parece lógico que se pueda sacar fuera de la función la
relación (L/D), tal y como se intuye en las expresiones para las pérdidas deducidas anteriormente
donde aparece el parámetro (∆x/D). Así expresaremos:












=





=
DD
L
DD
L
FK
ε
ϕ
ε
Re,.Re,,
Ahora, vamos a definir un nuevo parámetro, f, que llamaremos factor de fricción:






≡
D
f
ε
ϕ Re,
Este nuevo parámetro, f, que como vemos será adimensional, se le suele llamar factor de fricción de
Darcy. Lo que nos permitirá expresar:














=
2
...
2
V
D
L
fhg L





=
D
L
fK .

Tema1:
29
HIDRAULICA APLICADA














=∆














=














=
2
..
.2
..
2
...
2
2
2
V
D
L
fp
g
V
D
L
fh
V
D
L
fhg
L
L
L
ρ






=
D
L
fK .
En general a estas ecuaciones se las suele llamar Ecuaciones de Darcy-Weisbach:
Bien, hemos seguido un camino alternativo, el del análisis dimensional , y hemos llegado a una nueva
expresión para las pérdidas, y esta vez lo conocemos todo excepto un parámetro, el factor de fricción f.
Así que aparentemente volvemos al mismo sitio, pero sólo aparentemente, porque para el factor de
fricción, como veremos si existen expresiones generales que nos permiten calcularlo a priori de una
forma bastante sencilla y eficaz.

Tema1:
30
HIDRAULICA APLICADA
f
w C
V
f
==
2
.
4 2
ρ
τ
Podemos definir un nuevo parámetro de gran utilidad utilidad práctica, el Coeficiente de Fricción, Cf :
¿ Porqué es útil esta expresión ? Por dos cosas:
• Expresa la relación entre la energía cinética del fluido y la fricción en las paredes y la
podemos calcular fácilmente si conocemos el valor de f.
• Nos permite calcular la tensión tangencial que soportará la tubería debida a la viscosidad
del fluido de una forma rápida y fácil
¿ Esto indica que se trata de dos caminos independientes y que el primero no nos sirve ? No, claramente
no. Ambos caminos son muy útiles, y como muestra de ello veamos que ocurre cuando comparamos las
expresiones de las pérdidas.






=














→





 ∆
=














=
D
LV
D
L
f
D
x
hg
V
D
L
fhg
w
w
L
L
..4
2
..
..4.
2
... 2
2
ρ
τ
ρ
τ

Tema1:
31
HIDRAULICA APLICADA














=
∆
=∆














==














==
2
.
1
.
.2
.
1
.
2
.
1
.
.
.
2
2
2
V
D
f
L
p
p
g
V
D
f
L
h
h
V
D
f
L
hg
hg
L
L
L
ρ
Las expresiones de las perdidas las hemos deducido teniendo en cuenta la perdida a lo largo
de una longitud L de tubería. Pero sería equivalente haberlas deducido por metro lineal de tubería, y así,
de algún modo, hacerlas más generales y más fáciles de aplicar.
Bien, ahora vamos a buscar las expresiones que nos permitan determinar el factor de fricción.
Veremos que en régimen laminar podemos deducirlo de una forma totalmente analítica, pero en
régimen turbulento, es necesario buscar expresiones basadas en datos experimentales.
)..(
.2
.
1
.
2
acm
g
V
D
fh














=
La expresión más útil en la práctica es la
que expresa las pérdidas por fricción
medidas en m.c.a

Tema1:
32
HIDRAULICA APLICADA
( ) ( ) LL hgpzpzp ..2211 ργγ =∆=+−+
Si ahora recordamos la expresión de Bernoulli tay y como la hemos empleado en los casos anteriores,
tenemos que:
podemos expresar la perdida de presión como, . Recordando, para el caso de flujo
laminar totalmente desarrollado, la expresión del caudal volumétrico:
x
p
LpL
∂
∂
=∆ .
Q
R
L
L
x
p
x
pR
Q .
.
..8
.
8
.
4
4
π
µ
µ
π
=





∂
∂
→





∂
∂
=
Por lo que podemos expresar que:
( ) ( ) Q
R
L
hgpzpzp LL .
.
..8
.. 42211
π
µ
ργγ ==∆=+−+
De esta expresión también podemos deducir que:
( ) ρ
µ
π
ρπ
µ
ρπ
µ
π
µ
ρ
.
...8
...
..
..8
.
..
..8
..
.
..8
.. 2
2
444
R
LV
RV
R
L
Q
R
L
hgQ
R
L
hg LL ===→=
Recordando la expresión deducida para las perdidas en función del factor de fricción:
Re
64
Re
64
..
642
..
.
2
...8
.
...8
2
... 222
2
=→==






=→=













= f
DVVL
D
D
LV
f
R
LVV
D
L
fhg L
µ
ρ
ρ
µ
ρ
µ
Factor de Fricción : Régimen Laminar

Tema1:
33
HIDRAULICA APLICADA
Así, para un flujo laminar totalmente desarrollado tendremos que el factor de fricción se puede
calcular mediante la expresión:
Re
64
=f
Que se conoce como fórmula de Poiseuille, y de la cual podemos deducir que:
Re
16
4
.
Re
64
. ==





=





=
f
C
D
L
f
D
L
K f
Factor de Fricción: Régimen turbulento
El régimen turbulento completamente desarrollado, Re > 4000, ofrece una mayor dificultad para
analizar el factor de fricción, ya que el esfuerzo cortante no tiene una expresión sencilla. Existen dos
formas límites:
• SI la tubería es lisa, f es únicamente función del Re, y no depende de la rugosidad de la
tubería.
• Si el flujo es altamente turbulento, Re muy altos, f depende únicamente de la rugosidad relativa
de la tubería, siendo independiente del Re del fluido
Entre ambos casos, se deberá buscar una expresión que nos proporcione el valor de f.

Tema1:
34
HIDRAULICA APLICADA
• Expresión de Blasius:
• Para tuberías hidrodinámicamente lisas.
• 3.103 < Re < 105
25.0
Re.3164.0 −
=f
• Expresión de Von Karman y Prandtl:
• Para tuberías hidrodinámicamente lisas.
• Rango mayor que la de Blasius




×−=
ff .Re
51.2
log0.2
1
10
• Expresión de Nikuradse:
• Para tuberías rugosas.




×−=
7.3
log0.2
1
10
r
f
ε
• Expresión de Colebrook-White:
• Para tuberías Rugosas.
• Re > 4000




+×−=
ff
r
.Re
51.2
7.3
log0.2
1
10
ε
La expresión de Colebrook-White esta pensada para la rugosidad de las tuberías comerciales, y
ofrece muy buenos resultados, pero tiene el inconveniente de tener que calcularse f de forma
iterativa, al ser una formula implícita.

Tema1:
35
HIDRAULICA APLICADA
Moody, propuso su expresión en forma de ábaco, en el cual se puede calcular f de forma muy rápida y
cómoda, sin tener que acudir a procedimientos iterativos que consumen mucho tiempo.
DIAGRAMA DE MOODY

Tema1:
36
HIDRAULICA APLICADA
Fórmula de
Poiseuille
Fórmula de Von Karman-
Prandtl
Fórmula de
Colebrook-
White
Fórmula de
Nikuradse
Adaptación de las expresiones anteriores al diagrama de Moody

Tema1:
37
HIDRAULICA APLICADA
Como se puede intuir, uno de los problemas de utilizar Colebrook-White es que se
tarta de una fórmula implícita, y que por tanto la única forma de encontrar una solución de f es por
medio de un proceso iterativo. En principio esto no tiene porque ser un problema ya que en la
mayoría calculadoras programables se puede incluir un proceso iterativo que dados Re, y εr nos
den un valor de f. Y no digamos de cualquier programa informático. Pero aún así a veces es
interesante disponer una fórmula que nos proporcione un valor estimado de forma rápida y
sencilla, bien para un cálculo preliminar o bien como valor inicial para la iteración con Colebrook-
White. Existen muchas fórmulas que los proporcionan. A continuación proponemos la formulación
de Chen que para régimen turbulento 4.103 < Re < 1.108 y para valores de rugosidad relativa de 0
< εr < 0.05 proporciona valores muy aproximados a la realidad, con una precisión +/- 0.3%:






+











−=
7.37
Re
log
Re
52.4
log2
1
1010
r
f
ε

Tema1:
38
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
39
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
40
HIDRAULICA APLICADA
Entre dos puntos cualquiera del diagrama, que estén suficientemente cerca, podemos interpolar,
tomando su comportamiento como lineal:
( )0.log.
..
.4
log.loglog
..
..4
Re
..
Re
Relog.loglog
2
.
.4
<=→++=→







= →=
+=
=
bQKfQb
D
baf
D
QDV
baf
b
D
Q
V
πµ
ρ
πµ
ρ
µ
ρ
π
Si ahora sustituimos esta expresión en la ecuación de Darcy-Weisbach:
( )2..
..
..8
.
..
..8
.2
.. 2
52
2
52
2
<=→=→=













= +
nQRhQ
Dg
LK
hQ
Dg
Lf
g
V
D
L
fh n
L
b
LL
ππ
Esta expresión es muy típica para expresar pérdidas de carga, y al coeficiente R se denomina
resistencia hidráulica , con valores de b entre [1.75-2.0] en los casos más típicos

Tema1:
41
HIDRAULICA APLICADA
Formulas empíricas de pérdida de carga:
• Fórmula de Hazen-Williams:
85.1
87.485.1
54.063.2
54.063.0
..
1
.61.10
...279.0
...355.0
Q
D
L
C
h
hDCQ
hDCV
H
L
H
H
=
=
=
Donde CH es el coeficiente de Hazen-Williams que depende del material de la tubería:
• Para tubería lisa y nueva: CH = 140
• Si la tubería tiene mucho tiempo de uso, con incrustaciones, baja calidad superficial, etc...:
CH = 40-80
• Los valores de CH menores de 120 no suelen dar buenos resultados en la expresión de
Hazen-Williams , aunque se usen con frecuencia. Los valores
• Tuberías de fibrocemento nuevas: CH = 140-150
• Tuberías de fundición nuevas: CH = 120-130

Tema1:
42
HIDRAULICA APLICADA
• Fórmula de Manning:
2
3/162
2
3/16
2
2/13/22/13/2
..
29.10
..29.10
....
1
Q
D
L
K
Q
D
L
nh
hRKhR
n
V
s
L
hsh
==
==
• Tuberías de fibrocemento: n=0.0095-0.0105
• Tuberías de fundición: n=0.0125

Tema1:
43
HIDRAULICA APLICADA
Perdidas Menores
Todos los elementos accesorios para el montaje de redes de tuberías introducen ciertas
perturbaciones el el flujo, las cuales producirán perdidas de carga que se localizan
exclusivamente en el elemento que las produce.
Las perdidas así generadas se llaman perdidas menores , localizadas o singulares, pero hay que
destacar que pueden ser perdidas muy superiores a las que generan las propias tuberías.
Si la red de tuberías es suficientemente grande, estas perdidas no se suelen modelizar de forma
individual, si no que se mayora la red en una longitud equivalente para tenerlas en cuenta, salvo
elementos que introduzcan perdidas de carga del orden de las de las tuberías, como válvulas o
bombas.

Tema1:
44
HIDRAULICA APLICADA
La forma habitual de calcular las perdidas menores es mediante un coeficiente, K, que multiplica a la
altura cinética del flujo que entra al elemento:
2
42
2
.
..
.8
.2
. Q
Dg
K
g
V
Khm
π
==
K , adimensional, depende del Re y sobre todo de la geometría del componente. Otra forma muy útil
de expresar estas perdidas es mediante el concepto de longitud equivalente, Le :
2
522
2
.
..
..8
.
.2
.
.2
..
Q
Dg
Lf
h
f
D
kL
g
V
kh
g
V
D
L
fh
e
me
L
e
L
π
=→=→







=
=
Este método lo que hace es reemplazar el componente por un tamo recto de tubería que produjera
la misma pérdida.
Los valores de K se sacan de manuales o tablas, o de los fabricantes. En redes extensas, se suele
añadir un 5-10% a las perdidas totales para tener en cuenta estos elementos.

Tema1:
45
HIDRAULICA APLICADA
g
V
khm
.2
.
2
=
22
2
11














−=
D
D
k
22
1
215.0














−×=
D
D
k
Ejemplos de perdidas menores en componentes de tuberías

Tema1:
46
HIDRAULICA APLICADA
• Válvulas: Son elementos especiales que pueden inducir una perdida de carga considerable en
función del grado de apertura de la válvula. La perdida puede expresarse como:
( ) ( ) 2. ≈= nQKh n
v
θ
θ
• Bombas: Son elementos motrices que proporcionan energía de presión adicionales. Poseen una
característica decreciente con el caudal, como se indica en la figura:
2
0 .QBHhb −=

Tema1:
47
HIDRAULICA APLICADA
En Resumen
∑+∑+++=++ mfb
bb
a
aa
hhzg
pV
zg
pV
.
2
.
2
22
ρρ
Podemos Utilizar Bernoulli para relacionar
dos puntos cualquiera de una tubería, a
condición de que entre ellos trascurra una línea
de corriente que una ambos puntos de forma
unívoca
Para calcular las pérdidas por fricción:
2
52
.
..
..8
Q
Dg
Lf
hf
π
=














=
g
V
D
fh
.2
.
1
.
2
Si existen pérdidas menores, es decir,
válvulas estrechamientos, etc.. g
V
khm
.2
.
2
=
2
42
.
..
.8
Q
Dg
k
hm
π
=
Para calcular el factor de fricción
utilizaremos Colebrook-white o el ábaco
de Darcy




+×−=
ff
r
.Re
51.2
7.3
log0.2
1
10
ε

Tema1:
48
HIDRAULICA APLICADA
Los cuatro problemas básicos del cálculo de tuberías
Existen 4 variables básicas en el cálculo de conducciones simples:
• Perdida de carga: hL
• Caudal trasegado: Q
• Diámetro de la tubería: D
• Rugosidad: ε
Así, los 4 problemas serán, la determinación de uno de estos parámetros básicos, suponiendo
conocidos el resto.
A.- Cálculo de hL dados Q y D, supuesto que ε y L son datos. ( Análisis de Presiones )
Se trata del caso más simple ya que bien sea por el ábaco de Moody o por la fórmula de
Colebrook se puede encontrar el factor de fricción, f, y con el las pérdidas.
B.- Cálculo de Q dados hL y D, supuesto que ε y L son datos.
Se trata de un problema muy parecido al anterior, pero en este caso no conocemos el Re del
fluido, ya que desconocemos el Q. Habría dos modos de hacerlo:

Tema1:
49
HIDRAULICA APLICADA












+−=






















==




+×−=
gDh
D
L
L
gDhD
Q
g
V
D
L
fh
D
Q
ff
L
rL
L
r
...
..4
.851.2
7.3
log
.8
...
.2
.2
..;
..
..4
Re
.Re
51.2
7.3
log0.2
1
10
2
2
10
µ
ρ
επ
πµ
ρ
ε
• De la formula de Colebrook, despejamos el caudal Q:
Que es una expresión directa del Q en función del resto de variables
• Utilizando el ábaco de Moody, lo que nos dará un proceso iterativo:
Lf
Dgh
Q L
..8
... 52
π
=
Si conociésemos le valor de f, obtendríamos Q, pero para saber f, necesitamos Q. Es decir, hay
que actuar de forma iterativa:
Partimos de un valor
de f=[0.015-0.020]
Determinamos Q con la
formula anterior µπ
ρ
..
..4
Re
D
Q
=
Mediante el ábaco
de Moody
determinamos un
nuevo factor de
fricción f=(εr,Re)Comparamos con el valor anterior de f

Tema1:
50
HIDRAULICA APLICADA
C.- Cálculo de D dados hL y Q, supuesto que ε y L son datos.( diseño o dimensionado )
Si conocemos el factor de fricción f, despejando de la formula de Darcy obtendríamos el valor
del diámetro:
5
2
2
..
...8
gh
QLf
D
L π
=
Partimos de un valor
de f=[0.015-0.020]
Determinamos Q con la
formula anterior µπ
ρ
..
..4
Re
D
Q
=
Mediante el ábaco
de Moody
determinamos un
nuevo factor de
fricción f=(εr,Re)Comparamos con el valor anterior de f
• Utilizando el ábaco de Moody, lo que nos dará un proceso iterativo:
• Otro método para hacer lo mismo sería el siguiente. Despejamos de la formula de Darcy el factor de
fricción:
5.2
5.22
.
1
..
.81 −
=→





×= DK
fD
Q
hg
L
f Lπ

Tema1:
51
HIDRAULICA APLICADA
( )DGD
DQ
K
K
D
DQ
K
DK
r
r
=→














+×−=






+×−=
−
−
4.0
5.110
5.110
5.2
...4
...51.2
7.3
log
2
...4
...51.2
7.3
log0.2.
ρ
µπε
ρ
µπε
De la formula de Colebrook, sustituyendo:
Obtenemos una expresión implícita de D, que mediante un proceso iterativo nos permitiría calcular D.
Considerando un primer valor de de la fricción f(0), despejamos un primer diámetro D(0):
5
2
2)0(
)0(
..
...8
gh
QLf
D
L π
=
Ahora con este diámetro obtendríamos un nuevo valor del diámetro utilizando la expresión
D(1)=G(D(0)), repitiendo este proceso hasta alcanzar la convergencia.
Como normalmente el diámetro que se calcula no coincide con los que se dispone de forma
comercial, lo normal es sustituir este por dos o más de diámetro comercial que proporcionen la
misma pérdida de carga

Tema1:
52
HIDRAULICA APLICADA
Por ejemplo, si se eligen 2 tubos, D1 < D < D2, se busca que provoquen la misma pérdida de
carga que el diámetro D:
( )







 −
+== 5
2
12
5
1
11
2
2
52
..
.
.8
.
..
..8
D
LLf
D
Lf
g
Q
Q
Dg
Lf
hL
ππ
Conocidos D1 y D2 se puede calcular f mediante Moody o Colebrook, y lo que queda es un a
ecuación de 1º grado, cuya única incógnita es L1., ya L, εr y Q son datos.
D.- Cálculo de ε dados hL , D y Q, supuesto L es datos.( Estado de la tubería )
Se trata de un problema muy sencillo ya que se conocen Q, D y hL. Dos formas de hacer el cálculo:
• Mediante Moody: Sabemos D y Q, por lo que obtenemos Re, y por Darcy el factor f. Con estos
dos datos entramos en el ábaco de Moody y determinamos la rugosidad relativa.
• Mediante la fórmula de Colebrook: Se despeja directamente la rugosidad de la propia fórmula,
dando un resultado directo.

Tema1:
53
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
54
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
55
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
56
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
57
HIDRAULICA APLICADA
(a) gate valve;
(b) globe valve;
(c) angle valve;
(d) swing-check valve;
(e) Disktype gate valve.

Tema1:
58
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
59
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
60
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
61
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
62
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
63
HIDRAULICA APLICADA

Tema1:
64
HIDRAULICA APLICADA

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