Formula5

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CAPITULO 2

TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS

División 2

Conceptos de Equilibrio
Conceptos de Elasticidad
Modelos Matemáticos

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

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1. Introducción
La selección de un elemento de máquina es frecuentemente una actividad muy simple (o de
mediana complejidad) en la cual es necesario calcular sólo tensiones, deformaciones y quizás
desplazamientos para garantizar que en su vida de servicio, el elemento se comporte según
criterios establecidos. Sin embargo la primer etapa de este proceso consiste en estipular
adecuadamente las cargas, las restricciones y los lugares (secciones o puntos) donde existe
mayor riesgo de rotura en la pieza. Luego de ello se deberá plantear la estrategia de cálculo
adecuada siguiendo uno de dos esquemas: MODELOS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES (Básico) o MODELOS DE LA TEORIA DE ELASTICIDAD (mejorados).

Las solicitaciones o cargas
Toda pieza que forma parte de una máquina se halla sometida a una serie de solicitaciones
que le confieren un determinado estado de desplazamientos, deformaciones y tensiones. Las
solicitaciones o cargas, dependiendo de su esencia y características pueden clasificarse en los
siguientes grupos

a) Según su Ubicación
a.1) Externas: son todo tipo de cargas que actúan fuera del contorno superficial de la
pieza o del dominio. Ejemplo: Cargas lineales, puntuales, etc.
a.2) Internas: Son todo tipo de cargas que actúan dentro del contorno superficial de la
pieza o del dominio. Ejemplo: Peso propio.
b) Forma de aplicación:
b.1) Puntuales: son aquellas cuya acción puede considerarse localizada (caso
idealizado)
b.2) Lineales: se hallan distribuidas en una línea (caso idealizado)
b.3) Superficiales: Se hallan distribuidas en una superficie. Las fuerzas de contacto
son un ejemplo clásico de este tipo de solicitaciones
b.4) Volumétricas: Se hallan distribuidas sobre un volumen. La gravedad y las fuerzas
inerciales son dos ejemplos clásicos de este tipo de fuerzas.
c) Según su tiempo de aplicación
c.1) Estáticas o estacionarias: Estas fuerzas no varían con el tiempo y se suponen
constantes siempre.
c.2) Quasi-estáticas: Van creciendo desde cero a su valor máximo siguiendo una
variación temporal muy lenta.
c.3) Transitorias: Estas cargas varían con el tiempo, sin embargo poseen características
de amortiguación que las conducen a un valor estacionario. Ejemplos de este tipo de
carga son las cargas por impacto, las cargas en los amortiguadores de un vehículo, etc.


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c.4) Cíclicas: Poseen una variación repetitiva en ciclos. Ejemplo: las cargas que
soporta el perno de pistón de una máquina de combustión interna.
d) Según el patrón de tensiones que origine
d.1) Normales: tractivas, compresivas o flexionales.
d.2) Transversales: por corte o por torsión
d.3) Mixtas: Normales y transversales.
e) Según su esencia física.
e.1) Mecánica: se lleva a cabo mediante contacto o aplicación de presiones
e.2) Térmica: Genera estados de tensiones por dilatación.
e.3) Magnética: Originada por campos electromagnéticos. Ejemplo los frenos
electrodinámicos.

Casos de carga a) y b)
Figura 2.3. Ejemplos típicos de diferentes tipos de carga

Figura 2.4. Reducción de una carga general como combinación de casos conocidos

En la Figura 2.3 se muestran ejemplos con los diferentes tipos de cargas enumeradas más
arriba. En la Figura 2.4 se puede apreciar una forma típica de reducción de una carga no
estándar a una combinación de casos conocidos. Se debe tener presente que esta clasificación
no es en absoluto rígida e inamovible, dado que se puede presentar en combinaciones de los
casos de cargas a) con los b) o con los c) y así siguiendo.


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Los vínculos y las reacciones de vínculo
Un “elemento de máquina”, por su misma concepción física, posee movimiento. Al ser
analizado, calculado, etc. tal elemento requiere de cumplimentar un conjunto de condiciones
para poder representar su funcionamiento con un esquema matemático. Es claro que el
“elemento de máquina” puede estar conectado a otras piezas de diferentes maneras para
cumplimentar diferentes acciones. Un ejemplo clásico de ello es una biela de un motor, la cual
se halla conectada a un pistón y a un cigüeñal.
Un vínculo es básicamente una restricción al movimiento, de tal forma que el cuerpo puede
quedar inmóvil y rígido en el espacio si se restringen todos los grados de libertad que posee.
Asociado con la restricción al movimiento, lo que significa fijar un desplazamiento de valor
determinado (casi siempre nulo), hay una fuerza o solicitación o carga denominada “reacción
de vínculo”.
Los vínculos se pueden clasificar según los grados de libertad que restrinjan o bien según las
reacciones de vínculo que presenten, dependiendo del tipo de movimiento que se favorezca,
así por ejemplo en el caso de elementos ubicados en un plano se tiene:

a) Biela o Cable: tanto una como otro poseen una reacción de vínculo de carga a lo largo
del eje de la misma, tal como se muestra en Figura 2.5.a.
b) Rodillo o corredera: posee una reacción en la dirección restringida, si se halla en un
plano, tal como se muestra en Figura 2.5.b
c) Articulación: Posee dos reacciones de carga en las direcciones restringidas, tal como
se ve en al Figura 2.5.c
d) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de tipo momento, según
se ve en la Figura 2.5.d

(a) (b)

(c) (d)
Figura 2.5. Tipos de reacciones de vínculo posibles en el plano

Las reacciones de vínculo puestas en consideración en Figura 2.5, se pueden generalizar sin
complicaciones al caso tridimensional. Mayores detalles y más casos de vínculos se darán en
el Capítulo 3, donde se analizarán desde un punto de vista cinemático.


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2. El Equilibrio

El Equilibrio Estático
Una forma sencilla de analizar una pieza que posee movimiento, es considerarla estáticamente
equilibrada y/o determinada, lo cual significa conocer en un instante y circunstancias fijadas
todas (activas y reactivas) las fuerzas que actúan en la pieza.

Figura 2.6. Cuerpo Genérico sometido a la acción de cargas.

Entonces un cuerpo, como el de la Figura 2.6, se hallará en equilibrio estático cuando se
satisfagan las siguientes condiciones:
N

∑F = 0
i =1
i (2.12)

N N

∑M = ∑r × F = 0
i =1
i
i =1
i i (2.13)

Téngase presente que (2.12) y (2.13) poseen significado vectorial. Estas dos ecuaciones se
pueden descomponer en las siguientes seis:
N N N

∑F i =1
X = 0, ∑F
i =1
Y =0, ∑F
i =1
Z =0 (2.14.1-3)

N N N

∑M
i =1
X =0, ∑M
i =1
Y = 0, ∑M
i =1
Z =0 (2.15.1-3)

Un cuerpo que deba ser analizado en el espacio requiere del cumplimiento de las seis
ecuaciones (2.14.1-3) y (2.15.1-3). Si se pueden efectuar hipótesis de reducción para
representar el problema del equilibrio en un plano o bien en una línea, la cantidad de
ecuaciones a verificar será menor: Por ejemplo en el caso de una barra traccionada con eje


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coincidente con X, será necesario cumplir con (2.14.1), en cambio, en el caso de una viga con
eje en la dirección X, será necesario verificar las ecuaciones (2.14.1), (2.14.2) y (2.15.3).

El Equilibrio Dinámico
El caso de equilibrio más general, que también cubre al anterior, es el equilibrio dinámico. En
estas circunstancias se verificará equilibrio siempre que se cumplan las siguientes ecuaciones:
N

∑ F = m.a
i =1
i (2.16)

N N
dH
∑M = ∑r × F =
i =1
i
i =1
i i
dt
(2.17)

siendo en las dos anteriores m la masa, a la aceleración lineal y H el momento cinético. Es
claro que (2.16) y (2.17) reproducen (2.12) y (2.13) respectivamente, cuando existe
conservación de cantidad de movimiento (o momentum lineal) y momento cinético.

Análisis del equilibrio: Diagramas de cuerpo libre
Una de las formas típicas de efectuar un análisis del equilibrio es por medio de un diagrama
de cuerpo libre. Así como ejemplo en el Figura 2.7 se puede observar el caso simple de
equilibrio estático de un freno de doble zapata externa junto con su diagrama de cuerpo libre
en cada una de sus partes constituyentes.

(a) (b)
Figura 2.7. Ejemplo de diagrama de cuerpo libre y su descomposición en partes constituyentes.
(Extractada de Figura 2.6 referencia [2])

En la Figura 2.7 se observa la representación esquemática del freno de zapatas externas y sus
diagramas de cuerpo libre. En la Figura 2.8 se puede apreciar un problema real de análisis de
un pedal de accionamiento y su diagrama de cuerpo libre asociado. Estos dos ejemplos
muestran dos facetas importantes del diagrama de cuerpo libre como modelo reducido de la


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realidad. El primero obtiene el diagrama de cuerpo libre desde un esquema y el segundo
directamente de la realidad. En el segundo caso también se podría haber efectuado un
esquema simplificativo previo al diagrama de cuerpo libre (Ver Figura 2.9), sin embargo la
simplicidad del caso no lo amerita. Para un análisis profundo y claro es necesario ser prudente
a la hora de prescindir de un esquema.

(a) (b)
Figura 2.8. Ejemplo de realidad y su diagrama de cuerpo libre asociado.

Figura 2.9. Esquema simplificado del caso de la Figura 2.8.

Ahora bien establecidos los diagramas o modelos sintetizados de la estructura o pieza, se
impondrán a ella las correspondientes condiciones de equilibrio que el problema amerite, las
(2.12) y (2.13) o las (2.16) y (2.17) según sea estático o dinámico respectivamente.

La selección del modelo de cálculo: Resistencia de Materiales o Mecánica
del continuo
Una vez asegurado el equilibrio se deberá efectuar el análisis por resistencia, involucrando los
conceptos, modelos y enfoques de resistencia de materiales. En estas circunstancias es
necesario determinar de acuerdo con la forma de la pieza, el modo deformación relevante:
tractivos, compresivos, cortantes, flexionales, torsionales, de pandeo, etc. a la vez de
determinar sus correspondientes estados de esfuerzos internos y de tensiones. Es claro que
para efectuar el análisis siguiendo alguno de los casos de deformación mencionados, la pieza
se debe ajustar fuertemente a las hipótesis que se imponen para los casos de deformación
mencionados. Tales hipótesis son, en determinadas circunstancias, difíciles de cumplimentar


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en piezas reales que poseen geometría bastante apartada al modelo - a modo de ejemplo - de
viga bajo torsión o flexión. En estos casos es necesario recurrir a otras formas de análisis o
cálculo, disponibles en la Teoría de Elasticidad bidimensionales o tridimensionales, que son la
base fundamental para entender los cálculos de los programas de Elementos Finitos, mediante
metodologías de CAD-CAM-CAE.
Para aclarar el interrogante de que modelo utilizar se puede observar la Figura 2.10, donde se
exponen los particulares de selección y preferencia de un criterio de modelación por sobre
otro. Es decir que los modelos basados en descripciones 2D o 3D de la teoría de la elasticidad,
empleando principios de mecánica del contínuo poseen mayor grado de representatividad
(entiéndase cercanía con la realidad que modelan) que su contraparte unidimensional más
típica de las teorías simplificadas de resistencia de materiales. Sin embargo tales modelos
tienen la desventaja de no ser reducibles al uso de simples fórmulas de cálculo, debiendo ser
resueltos en plataformas computacionales por métodos numéricos.

Figura 2.10. Esquema de selección de modelos de cálculo.

En la Figura 2.11 se muestra el enfoque de modelación de un diente de engranaje basado en
una teoría de resistencia de materiales, reduciendo el modelo físico a un modelo de viga
empotrada-libre resistiendo por flexión. Nótese que esta simplificación es muy restrictiva y
como se verá en el capítulo de dimensionado de engranajes, requiere de una serie de
modificaciones (entiéndase coeficientes de forma o concentraciones de tensiones, etc.) para
acercar el modelo a los estados de tensiones existentes en el diente del engranaje. En las
Figuras 2.12 y 2.13 se muestran modelos de la elasticidad 2D y 3D respectivamente,
empleando el método de elementos finitos para la solución de las ecuaciones de la elasticidad
correspondientes. Nótese que en estos últimos dos casos la representación geométrica es casi
similar a la realidad que se pretende modelar a diferencia del caso de la Figura 2.11.


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Figura 2.11. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Unidimensional.

Figura 2.12. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Bidimensional. (Referencia [4])

Figura 2.13. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Tridimensional. (Referencia [5])


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3. Revisión de Principios de Elasticidad

Breves Conceptos Introductorios y Nociones del Medio Continuo
En este apartado se describen sucintamente algunos tópicos de elasticidad lineal. En el
trascurso de tal descripción no se abundará en detalles precisos de deducciones ni
demostraciones por considerarlas fuera de los alcances de estas notas de curso, sin embargo el
lector interesado podrá recurrir a la bibliografía indicada oportunamente para obtener mayores
explicaciones. En consecuencia el material de estas notas tendrá solamente el ánimo de ser
sustancialmente sintético y suficiente como para servir de repaso a los homónimos contenidos
de las asignaturas de Estabilidad I y II, a la vez de sustentar las bases para las explicaciones de
determinadas correcciones a las teorías de resistencia de materiales, como por ejemplo, el uso
de factores de concentración de tensiones, etc.
Los conceptos que se utilizarán en este apartado del Capítulo 2, son más generales que los
involucrados en las teorías de Resistencia de Materiales, y estas últimas, como se verá son
casos particulares de los modelos derivados de la teoría de la Elasticidad.

Luego de seguir los cursos de resistencia de materiales, se puede entender claramente, que un
cuerpo sometido a la acción de solicitaciones (activas o reactivas) presentará un estado de
tensiones internas en cada punto, que desaparecerá si desaparece el estado de solicitación,
obviamente en tanto que el material se comporte en forma lineal elástica. Asociado con el
estado particular de tensiones existe un estado particular de deformaciones y un estado de
desplazamientos, propios del tipo de solicitación ejercida. Para identificar con mayor claridad
este punto, considérense los ejemplos que se muestran en la Figura 2.14, de un mismo cuerpo
(una viga) sometido a dos solicitaciones distintas, una tractiva y la otra flexional. La Viga
posee longitud L, área A y momento de inercia I.

Figura 2.14. Ejemplo de diferentes solicitaciones y estados de tensiones en una misma pieza

En la Tabla 2.3 se puede apreciar las diferencias entre el estado tensional, las deformaciones y
los desplazamientos en todo el dominio, siguiendo las teorías típicas de resistencia de
materiales. Nótese que en el caso de flexión el desplazamiento lateral flexional, depende solo
de la variable axial x.


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Caso de Tracción Caso de Flexión
P P( L − x) y
Valor de la Tensión σ xx ( x) = σ xx ( x, y ) =
A I
P ∆L P ( L − x) y
Valor de las deformaciones ε xx ( x) = = ε xx ( x, y ) =
EA L EI
P ∆L P (3 L − x ) x 2
Valor de los desplazamientos u x ( x) = x= x u y ( x, y ) =
EA L 6 EI
Tabla 2.3. Comparación de los estados de tensión, deformación y desplazamiento para tracción y flexión.

En los casos expuestos en Tabla 2.3, queda claro que los valores de tensiones, deformaciones
y desplazamientos, son los más representativos para las hipótesis que oportunamente fueron
hechas al elaborar los modelos simplificados bajo criterios de resistencia de materiales. Esto
significa que existen tensiones, deformaciones y desplazamientos en otras direcciones cuyos
valores son muy pequeños y pueden considerarse nulos frente a los presentados en Tabla 2.3.
Sin embargo, para cuerpos de forma general no se puede asegurar la simplicidad de
representación, antes bien, la forma matemática que adoptan los desplazamientos,
deformaciones y tensiones, será compleja y en el común de tales casos no será posible
obtenerla como una función algebraica. A su vez, en casos generales, si la complejidad
geométrica del cuerpo o pieza es importante no será posible despreciar componentes de
tensión frente a otras, de no ser que exista plena seguridad del comportamiento o una
condición geométrica que lo avale.
Para no abundar en mayores prólogos se darán a continuación esbozos muy elementales de
conceptos de mecánica del continuo para poder entender algunos aspectos claves y básicos de
modelación computacional.

La definición convencional de medio continuo, lo concibe como a un conjunto de partículas
que forman parte de un sólido (pudiendo ser también un líquido o un gas según sea el caso)
que se analiza sin que exista o se presuponga discontinuidad entre las partículas que lo
componen. Esto significa que toda la representación analítica-matemática del medio
contínuo se puede llevar a cabo con funciones continuas.

Los desplazamientos, deformaciones y tensiones de un cuerpo, tendrán entonces la forma de
funciones continuas. Cada punto del cuerpo tendrá un conjunto de entidades que definirán su
estado de tensiones y de deformaciones y desplazamientos. Tales entidades que pueden ser
vectoriales o tensoriales son representadas en la Tabla 2.4, con las componentes del
desplazamiento, de la deformación y de la tensión en un punto. Así, se puede observar que el
desplazamiento de un punto vendrá dado por tres componentes asociadas a todo vector en el
espacio. La deformación y la tensión, cada una viene representada por nueve componentes de


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los denominados tensores de deformación y de tensión. Estos tensores se representan
matemáticamente con formas matriciales.

Entidad (Vectorial o Tensorial) Componentes de la Entidad
Desplazamiento (Vectorial) u = {u x , u y , u z }

ε xx ε xy ε xz 
Deformación (Tensorial) ε = ε yx ε yy ε yz 
 
ε zx ε zy ε zz 
 

σ xx σ xy σ xz 
Tensión (Tensorial) σ = σ yx σ yy σ yz 
 
σ zx σ zy σ zz 
 
Tabla 2.4. Elenco de Variables en un punto material de un cuerpo

Para identificar la ubicación de las componentes de los tensores de deformación y de tensión
se recurrirá a la Figura 2.15, donde se muestra el significado de los subíndices en un ejemplo
del plano XY.

Figura 2.15. Convención de las componentes de tensión (idem para deformación).

En la Figura 2.15 se puede apreciar la distribución de las componentes del tensor de tensiones
en un elemento diferencial de volumen. Por equilibrio de momentos, empleando (2.15) se
pueden obtener las siguientes relaciones:
σ xy = σ yx
σ xz = σ zx (2.18)
σ zy = σ yz
Otro tanto puede demostrarse para las componentes de deformación (ver referencia [6],
cap.2), en consecuencia:
ε xy = ε yx
ε xz = ε zx (2.19)
ε zy = ε yz


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Figura 2.16. Descripción de las componentes de tensión en un cubo elemental.

Ecuaciones de equilibrio interno estático
Así pues, un cuerpo bajo solicitación estática tendrá un estado de equilibrio particular y
determinado que puede representarse en función de las tensiones producidas por las
solicitaciones. Tal estado de equilibrio viene dado por el siguiente conjunto de ecuaciones
diferenciales.
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+ + + fx = 0
∂x ∂y ∂z
∂σ yx ∂σ yy ∂σ yz
+ + + fy = 0 (2.20)
∂x ∂y ∂z
∂σ zx ∂σ zy ∂σ zz
+ + + fz = 0
∂x ∂y ∂z
Siendo fx, fy y fz las fuerzas distribuidas por unidad de volumen y σij las tensiones actuantes en
un punto proyectadas en las direcciones del sistema de referencia
Para entender de donde surgen estas ecuaciones se deducirá la primera de ellas. Si se observa
el elemento de volumen diferencial de la Figura 2.17, se podrá notar que empleando la
ecuación (2.14.1) correspondiente al equilibrio estático en la dirección X, se tendrá:
 ∂σ xx   ∂σ xy   ∂σ xz 
∑ FX = σ xx +
 ∂x
dx dydz +  σ xy +


 ∂y
dy dxdz +  σ xz +

  ∂z
dz dxdy
 (2.21)
− σ xx dydz − σ xy dxdz − σ xz dxdz + f x dV = 0
Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen
elemental dV=dxdydz, se obtendrá la ecuación (2.22) que es la primera de las (2.20).
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+ + + fx = 0 (2.22)
∂x ∂y ∂z


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La obtención de las restantes dos ecuaciones de (2.20) se deja al lector dado que el
procedimiento es el mismo, obviamente recurriendo a las ecuaciones (2.14.2) y (2.14.3)
respectivamente.

En resumen el equilibrio interno de un cuerpo sometido por cargas
estáticas, queda definido si se cumplen las ecuaciones (2.18) y (2.20).

Ecuaciones de Equilibrio Externo.
El cuerpo no solamente se hallará bajo tensiones internas, sino que al estar vinculado al
medio, deberá verificar un equilibrio entre las tensiones externas actuantes en el contorno del
mismo. Estas ecuaciones vienen dadas por la siguiente expresión:
σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z = Tx
σ yx n x + σ yy n y + σ yz n z = T y (2.23)
σ zx n x + σ zy n y + σ zz n z = Tz
siendo {nx, ny, nz} las componentes del vector normal al plano oblicuo α (ver Figura 2.17) y
{Tx, Ty, Tz} son las componentes del vector de tensión distribuida en la superficie.
Para deducir la primer ecuación de (2.23), se efectúa el equilibrio de fuerzas actuantes la
dirección X según se muestra en la Figura 2.17. De manera que empleando la (2.14.1) se
obtiene:

∑F X = − σ xx n x dA − σ xy n y dA − σ xz n z dA + Tx dA = 0 (2.24)

Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen
elemental dA, se obtendrá la ecuación (2.25) que es la primera de las (2.23).
σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z = Tx (2.25)

Figura 2.17. Descripción de las componentes de tensión superficial.

La ecuación (2.23) se puede escribir de la siguiente forma matricial:


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σ xx σ xy σ xz  n x  Tx 
σ σ σ  n  = T  (2.26)
 yx yy yz   y   y 
σ zx σ zy σ zz   n z  Tz 
    
Esta expresión es de mucha utilidad para entender la obtención de las tensiones principales en
un punto.

Las tensiones principales
Si se considera un estado tensional particular en un punto cualquiera P, como por ejemplo el
que se muestra en la Figura 2.18 (recordar que se trata de un volumen diferencial), en tal
punto serán las tensiones principales cuando el tensor de tensiones quede diagonalizado, es
decir cuando se puede obtener la transformación (2.27), mientras que las direcciones
principales serán las direcciones asociadas con cada tensión principal, las cuales son
ortonormales las unas a las otras.
σ xx σ xy σ xz  σ 1 0 0 
σ σ σ  ⇒  0 σ 0  (2.27)
 yx yy yz  2
0 0 σ 
σ zx σ zy σ zz 
   3

Figura 2.18. Punto P y plano de tensiones principales.

En (2.27) se cumple que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Para obtener el tensor de tensiones diagonalizado, se
puede recurrir a la expresión (2.26) en la cual el vector de fuerzas por unidad de superficie se
recompone en función del vector unitario normal del plano y una constante “σ”. Es decir:
Tx  n x  σ 0 0  n x 
     
T y  = σ n y  =  0 σ 0  n y  (2.29)
Tz 
  n z   0 0 σ  n z 
    
Entonces, reemplazando (2.29) en (2.26) y operando queda:
σ xx − σ σ xy σ xz  n x  0 
 σ    
σ yy − σ σ yz  n y  = ∆ .n = 0 
ˆ (2.30)
 yx
 0 
 σ zx
 σ zy σ zz − σ  n z 
   


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Se puede observar que (2.30) es la forma canónica para la resolución del problema de
autovalores. De tal forma que para que exista solución se debe cumplir que:

Det ∆ . = 0 (2.31)

Luego se obtendrá la ecuación característica del problema de autovalores:
σ 3 − I 1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 (2.32)
donde I1, I2 e I3 son los invariantes de primer, segundo y tercer orden dados por:
I 1 = σ xx + σ yy + σ zz
I 2 = σ xxσ yy + σ zzσ yy + σ xxσ zz − σ xy − σ yz − σ xz
2 2 2
(2.33)
I 3 = σ xxσ yyσ zz − σ xxσ 2
yz − σ yyσ 2
xz − σ zz σ 2
xy + 2σ xyσ yzσ xz

De las raíces la ecuación (2.32) se obtiene los valores de las tensiones σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.

Si se posee un sistema de álgebra simbólica como por ejemplo Mathematica o Matlab, se
puede resolver directamente el problema de autovalores y autovectores. Los autovectores
corresponderán a las direcciones principales.
Se recordará que en un estado de tensiones principales, las tensiones cortantes son nulas. Sin
embargo las tensiones cortantes máximas se pueden obtener en función de las tensiones
principales de la siguiente manera
σ1 −σ 2 σ 2 −σ3 σ1 −σ 3
σ 1, 2 = , σ 2,3 = , σ 1,3 = (2.34)
2 2 2
Es claro que las (2.34) tendrán siempre valores positivos, en tanto que se cumpla σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
En la Figura 2.19 se puede apreciar la representación del estado de tensiones principales y las
tensiones de corte máximas.

Figura 2.19. Representación del estado de tensiones principales y las tensiones de corte máximas.

Si se suprimen las tensiones en la dirección Z (es decir σzx, σzy y σzz) se obtendrá el clásico
diagrama del círculo de Mohr, del cual no se abundará en material teórico por considerarlo


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suficientemente descripto en los cursos de Estabilidad I y II. Sin embargo en el Apéndice 3, se
ofrece material suplementario para el cálculo de tensiones principales en dos o tres
dimensiones.

Las tensiones en planos octaédricos
En ciertas circunstancias es muy útil representar las tensiones en un volumen octaédrico en
vez de un elemento cúbico con las tensiones principales. En la Figura 2.20 se muestra la
orientación delos planos octaédricos y su relación con los planos del cubo convencional, de tal
manera que las tensiones en un plano octaédrico vienen representadas por solo dos
componentes. Estas componentes octaédricas son la tensión normal octaédrica σno y la
tensión tangencial octaédrica σto, las cuales son las mismas para cada plano octaédrico,
según se desprende de la Figura 2.20. Esto significa que:
- Las ocho tensiones normales octaédricas tienden a comprimir o a estirar el octaedro
pero no lo distorsionan.
- Las ocho tensiones tangenciales octaédricas distorsionan el octaedro pero no
modifican su volumen.
Las tensiones octaédricas se calculan de la siguiente forma.

σ no =
1
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 (σ xx + σ yy + σ zz )
3 3
σ to =
1
3
(
(σ xx − σ yy )2 + (σ xx − σ zz )2 + (σ zz − σ yy )2 + 6 σ xy + σ yz + σ xz
2 2 2
) (2.35)

1
σ to = (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2 = 2 σ 12, 2 + σ 12,3 + σ 22,3
3 3

Figura 2.20. Representación del estado de tensiones octaédricas.

El verdadero impacto e importancia de las tensiones octaédricas se verá en el planteo de las
teorías de rotura en los próximos capítulos.


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El tensor de deformaciones
Se recordará del curso de Resistencia de Materiales, que la deformación unitaria axial (ε) se
define matemáticamente como:
Elongación promedio
ε= (2.36)
Longitud original
Si se observa la Figura 2.21.a se podrá concluir que las deformaciones normales en las tres
direcciones de referencia serán
δx δy δz
ε xx = lim , ε yy = lim , ε zz = lim (2.37)
x →0 x y →0 y z →0 z
Si se observa la Figura 2.21.b (referida estrictamente a lo que ocurre en los planos
perpendiculares al eje Z), las deformaciones transversales serán dadas
δy δz δx
γ xy = lim
x →0 x
[ ]
= tan θ yx ≈ θ yx , γ yz = lim
y →0 y
[ ]
= tan θ yz ≈ θ yz , γ zx = lim
z →0 z
= tan[θ zx ] ≈ θ zx (2.38)

δz δx δy
γ xz = lim
x →0 x
= tan[θ xz ] ≈ θ xz , γ yx = lim
y →0 y
[ ]
= tan θ yx ≈ θ yx , γ zy = lim
z →0 z
[ ]
= tan θ zy ≈ θ zy (2.39)

Recuérdese que las expresiones (2.38) y (2.39) se verificarán siempre y cuando se considere
desplazamientos y deformaciones infinitesimales. Nótese que en la Figura 2.21.a se indica a
su vez el efecto Poisson.

(a) (b)
Figura 2.21. Representación de las deformaciones unitarias normales y transversales (en sentido ingenieril).

En la Tabla 2.4, se ha introducido el tensor de deformaciones como entidad para identificar
las variables puestas en juego en el problema de elasticidad. En el tensor de deformaciones
εxy, εxz, εyx, εyz, εzx y εzy representan deformaciones transversales, sin embargo en las
expresiones (2.38) y (2.39) las deformaciones transversales se han representado con otros
símbolos, es decir γxy, γxz, γyx, γyz, γzx y γzy La diferencia entre las primeras y las segundas
(denominadas representación ingenieril de las deformaciones transversales) se pone de
manifiesto en la Figura 2.22 comparándola con la Figura 2.21.b y cuya descripción
matemática se rige por la siguiente expresión:
γ ij = 2ε ij (2.40)


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Figura 2.22. Representación de las deformaciones unitarias

En consecuencia el tensor de deformaciones puede ser representado por alguna de las
siguientes expresiones.
ε xx ε xy ε xz   ε xx γ xy / 2 γ xz / 2 
ε = ε yx ε yy ε yz  = γ yx / 2 ε yy γ yz / 2  (2.41)
   
ε zx ε zy ε zz  γ zx / 2 γ zy / 2 ε zz 
   
De la misma manera que se ha hecho para el tensor de tensiones, con el tensor de
deformaciones se puede obtener un estado de deformaciones principales, por medio de la
diagonalización ε , o bien resolviendo el problema de autovalores y de autovectores asociado
con la matriz ε .

La concepción del tensor de deformaciones dada por las ecuaciones (2.36) a (2.39), se ha
efectuado según planteos geométricos simplificados (siguiendo algunos esquemas de la
referencia [2]), que permiten entender gráfica e intuitivamente el concepto de deformación y
sus diferentes componentes a partir de las Figuras 2.21 y 2.22. No obstante los componentes
del tensor de deformaciones (2.41) se pueden representar en una forma más apropiada para
efectuar cálculos y describir los modelos de comportamiento. Esta forma de representación
recurre a las funciones de los desplazamientos en los puntos del cuerpo (ver referencia [6]),
que vienen definidos por las siguientes expresiones:
desp. dir. X = u x ( x, y, z )
desp. dir. Y = u y ( x, y, z ) (2.42)
desp. dir. Z = u z ( x, y, z )
Con los desplazamientos (2.42) se pueden obtener los componentes del tensor de
deformaciones de la siguiente manera (ver referencia [6]):
 ∂u x
ε xx = ∂x
 ∂u y

Normales ⇒ ε yy = (2.43)
 ∂y
ε = ∂u z
 zz
 ∂z


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 γ xy γ yx 1  ∂u x ∂u y 
ε xy = ε yx = = =  + 
 2 2 2  ∂y
 ∂x 
 γ xz γ xz 1  ∂u x ∂u z 
Tangenciales ⇒  ε xz = ε zx = = =  +  (2.44)
 2 2 2  ∂z ∂x 
 γ yz γ zy 1  ∂u z ∂u y 
ε yz = ε zy = = =  + 
 2 2 2  ∂y
 ∂z 
Si se conociera el campo de desplazamiento (2.42) se podrían conocer las deformaciones en
cada punto y en consecuencia el tensor de deformaciones. Sin embargo aun conociendo las
deformaciones es necesario que las mismas verifiquen las condiciones de compatibilidad
(2.45), las cuales son imprescindibles para garantizar que en todo punto exista un solo estado
de desplazamientos, deformaciones y tensiones, para evitar configuraciones de deformación
como la que se muestra en la Figura 2.23
∂ 2 ε yy ∂ 2 ε zz ∂ ε yz
2

+ −2 =0
∂z 2 ∂y 2 ∂z∂y
∂ 2 ε xx ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xz
+ −2 =0
∂z 2 ∂x 2 ∂z∂x
∂ 2 ε yy ∂ 2 ε xx ∂ 2 ε xy
+ −2 =0
∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(2.45)
∂ 2 ε zz ∂  ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy 
− +  + − =0
∂x∂y ∂z  ∂x
 ∂y ∂z 

∂ ε yy ∂  ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy 
2

− +  − + =0
∂x∂z ∂y  ∂x
 ∂y ∂z 
∂ ε xx ∂  ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy 
2
− + − + + =0
∂z∂y ∂x  ∂x
 ∂y ∂z 

Figura 2.23. Deformaciones-desplazamientos compatibles (a) y no compatibles (b) para

Las Ecuaciones constitutivas
Las ecuaciones constitutivas identifican matemáticamente el comportamiento del material,
relacionando los estados de tensiones con los estados de deformaciones. La ley de Hooke
dada por la ecuación (2.46), es una ecuación constitutiva para el problema de tensiones


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uniaxiales, siendo σ, E y ε, valores escalares que representan la tensión axial normal, el
módulo de elasticidad normal y la deformación axial, respectivamente.
σ = Eε (2.46)
Ahora bien en la expresión (2.47) y (2.48) se representan las formas genéricas
tridimensionales de tensiones a deformaciones y viceversa
σ = Dε (2.47)

ε = Cσ (2.48)
Donde
σ = { xx , σ yy , σ zz , σ yz , σ xz , σ xy }
σ (2.49)

ε = {ε xx , ε yy , ε zz , γ yz , γ xz , γ xy } = {ε xx , ε yy , ε zz ,2ε yz ,2ε xz ,2ε xy } (2.50)

1 − ν ν ν 0 0 0 
 ν 1 −ν ν 0 0 0 
E  ν ν 1 −ν 0 0 0 
D = 1 −ν (2.51)
(1 + ν )(1 − 2ν )  0 0 0
 0
0 0
2
0
0
1 −ν
0 
0 
2
 0
 0 0 0 0 1 −ν 
2 
 1 −ν −ν 0 0 0 
− ν 1 − ν 0 0 0 
1 − ν − ν 1 0 0 0 
C = D −1 =  0 0 0 2(1 + ν ) 0 0  (2.52)
E
0 0 0 0 2(1 + ν ) 0 
0 0 0
 0 0 2(1 + ν )

Siendo E y ν el módulo de elasticidad normal y el coeficiente de Poisson respectivamente.
Nótese que (2.52) se puede obtener como la inversa de (2.51) y viceversa.
Se debe tener siempre presente la diferencia entre σ y σ o ε y ε . En el caso de una barra
sobre la letra, se entiende un vector en el sentido de las expresiones (2.49) o (2.50), pero en el
caso de doble barra sobre la letra se tratará de un tensor como en la Tabla 2.4.
Las expresiones (2.47) y (2.48) se entenderán válidas para un material isótropo, homogéneo y
lineal, tal como el acero, aluminio, bronce, etc. Para materiales de diferente composición y
macroestructura, como los materiales compuestos, se verifican otro tipo de leyes como las que
se pueden seguir en la referencia [7]
De (2.47) y (2.48) se pueden reducir varios casos particulares:

a) Estado uni-axial de tensión: El caso típico de tracción, compresión. Se obtiene de (2.47)
anulando toda tensión de (2.49) excepto la axial σxx queda:
σ xx = Eε xx (2.53)
ν
ε yy = ε zz = − σ xx (2.54)
E


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b) Estado de tensión de corte puro. Se define un plano donde se ejerce la tensión de corte,
por ejemplo el plano XY luego las restantes componentes de (2.49) se suponen nulas
quedando:
E
σ xy = γ xy = Gγ xy (2.55)
2(1 + ν )
donde G es el módulo de elasticidad transversal.

c) Estado Plano de Tensión: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo XY,
fuera del cual las tensiones son nulas, es decir que en (2.49) se suponen nulas σxz, σzz y σyz. En
consecuencia, (2.47) se reduce a:
σ xx  1 ν 0  ε xx 
  E  
σ yy  = ν 1 0  ε yy  (2.56)
σ xy  1 − ν
2
( ) 0 0 (1 − ν ) / 2 γ 
   xy 
 
ν
ε zz = − (σ xx + σ yy ) (2.57)
E

d) Estado Plano de deformación: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo
XY, fuera del cual las deformaciones son nulas, es decir que en (2.50) se suponen nulas εxz, εzz
y εyz. En consecuencia, (2.47) se reduce a:
σ xx  1 − ν ν 0  ε xx 
  E  
σ yy  =  ν 1 −ν 0  ε yy  (2.58)
σ xy  (1 + ν )(1 − 2ν )  0
 0 1 −ν
2  γ 
  xy 
 
Eν
σ zz = (ε + ε ) (2.59)
(1 + ν )(1 − 2ν ) xx yy

Solución del problema de elasticidad
La solución del problema de elasticidad de un cuerpo cualquiera cuya superficie es definida
por n = {n x , n y , n z }, implica obtener valores en todo el cuerpo a las siguientes entidades:
ˆ

{σ xx , σ yy , σ zz , σ yz , σ xz , σ xy , ε xx , ε yy , ε zz , ε yz , ε xz , ε xy , u x , u y , u z } (2.60)
en función de los datos del material {E, G, ν} y en función de las condiciones de solicitación
siguientes:
{f x , f y , f z }{ x , T y , Tz }
,T (2.61)
Para ello se debe recurrir a satisfacer en forma conjunta las ecuaciones (2.20), (2.23), (2.43),
(2.44), (2.45), (2.47) y (2.48). Es decir que se tiene que verificar, el equilibrio interno, el
equilibrio externo, compatibilidad de desplazamientos y deformaciones y la ley de Hooke.


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Existen diferentes formas para resolver tal conjunto de ecuaciones para poder obtener (2.60),
sin embargo la solución exacta en términos de desplazamientos, aún para casos de geometría
relativamente simple, implica la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden a
derivadas parciales. La respuesta a tal problema no se obtiene con una fórmula simple y
elegante al estilo de los problemas de flexión de vigas según la teoría de Bernouilli-Euler.
Para resolver problemas reales con solicitaciones complejas y geometría compleja se necesita
otro enfoque. Tal enfoque reside en los métodos numéricos, como el método de elementos
finitos, que a pesar de ser un método de solución aproximada, permite resolver con solvencia
y facilidad la gran mayoría de problemas de diseño y cálculo de ingeniería mecánica.
Por otro lado una de las formas de resolver el problema de la elasticidad para configuraciones
simples, y que también está relacionado con el método de elementos finitos, se realiza
mediante la suposición “a priori” de un campo de desplazamiento que represente la
cinemática del problema en cuestión. Sin embargo es necesario que el campo de
desplazamientos con el cual se obtendrán las deformaciones y luego las tensiones (mediante la
ley de Hooke), de todos los posibles campos de desplazamientos imaginables, debe cumplir
con una condición de minimizar la energía de deformación total del cuerpo que se pretende
estudiar. Para ello es fundamental revisar algunos aspectos de los métodos energéticos.

4. Métodos Energéticos

La Energía de deformación
La energía de deformación total para un cuerpo de volumen V, se recordará de Estabilidad II,
viene definida por medio de la siguiente expresión:

U=
1
∫(σ xxε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + σ xyγ xy + σ xzγ xz + σ yzγ yz )dV = 1 (σ ⋅ ε )dV
∫ (2.62)
2V 2V
La deducción de esta expresión puede verse en las referencias [3,5,8]. A su vez se puede
reemplazar en (2.62) la (2.47) o la (2.48) para obtenerla en función de las deformaciones o en
función de las tensiones, respectivamente. Estas expresiones se pueden ver en el Apéndice 3.
La energía de deformación es generada por el conjunto de solicitaciones que actúan sobre el
cuerpo, y éstas son cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz}, las cargas por unidad de
superficie {Tx, Ty, Tz} y las cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}. Cuando estas cargas
desaparecen la energía de deformación es restituida en forma de trabajo. El trabajo generado
por todas las cargas viene dado por la siguiente expresión:
NP

WP = − (u ⋅ f )dV −
∫ ∫ (u ⋅ T )dV − ∑ u ⋅ P i i (2.63)
V S
i =1

donde u = {u x , u y , u z } es el vector de desplazamiento genérico del cuerpo y u i = {u xi , u yi , u zi }
es el vector desplazamiento de un punto donde se aplican cargas puntuales. En (2.63), V, S y


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NP son el volumen del dominio, la superficie del dominio y el número de cargas puntuales
actuantes.

El teorema de Castigliano
Una de las aplicaciones más conocidas del concepto de energía de deformación es el empleo
del denominado método de Castigliano para la obtención de desplazamientos (y rotaciones)
en configuraciones de barras relativamente complejas. Para ello es necesario disponer la
(2.62) del sistema en función de las solicitaciones, de tal manera que el desplazamiento (o
rotación) en un punto donde actúa una carga Q (o momento), vendrá dado por la siguiente
expresión:
∂U
δi = , donde i es la carga i-esima en el punto i-esimo (2.64)
∂Qi
Para la aplicación práctica de (2.64) se recordarán las siguientes reglas:

1) Obtener la energía de deformación total (2.62) en función de todas las cargas
actuantes, es decir fuerzas normales y cortantes, momentos flectores y torsores (para
ello emplear los valores de energía de Tabla 2.5, para casos particulares) .
2) Emplear fuerzas ficticias para el cálculo de desplazamientos en puntos donde no actúa
ninguna carga. (recuérdese que estas fuerzas ficticias influyen el cálculo de momentos
y diagramas de cuerpo libre)
3) Recurrir a la expresión (2.64) y despejar el valor del desplazamiento deseado. Si la
carga actuante en tal punto es ficticia, se impone su nulidad (Qi=0).

Tipo de Expresión general para la Expresión de Energía de
Entidades
carga Energía de deformación deformación (sec. constante)
L  P2 
Axial P, E, A
L  σ xx 
2
U= ∫ 0
 2 EA dx




U= ∫∫
0

A  2E 

dAdx
 L M2 
Flexional M, E, I U= ∫ 0
 2 EI dx




L  σ xθ
2
 L  T2 
Torsional T, G, J U= ∫∫
0

A  2G

dAdx


U= ∫ 0
 2GJ dx




Cortante L  3Q 2 
transversal
(Rectángulo)
Q, G, A
L  σ xy 
2
U= ∫ 0
 5GA dx




Cortante
U= ∫∫
0

A  2G 

dAdx
 L  7Q 2 
transversal
(círculo)
Q, G, A U= ∫0
 10GA dx




Tabla 2.5. Algunos casos particulares de energía de deformación para vigas o barras


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En la Tabla 2.5, las entidades E y G significan son los módulos de elasticidad normal y
transversal. P, M, T y Q son la fuerza axial, el momento flector, el momento torsor y la fuerza
de corte respectivamente. Además A, I y J son área, momento de inercia axial y momento de
inercia polar. En el Apéndice 3 se extienden algunos tópicos a modo ilustrativo y como
referencia para los trabajos prácticos. En la Guía de Ejercicios N° 3 se verán algunos casos
para resolver en forma práctica.

Principio de la mínima energía potencial total
Un cuerpo como el de la Figura 2.3 sometido a las cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz} a
las cargas por unidad de superficie {Tx, Ty, Tz} y a cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}poseerá
una energía de deformación dada por (2.62) y un trabajo de las cargas externas dado por la
expresión (2.63). La energía potencial total de un cuerpo es la suma de ambas. Es decir:
Π = U + WP (2.65)
Ahora bien, el principio de mínima energía potencial total establece que “de todas las
posibles configuraciones de un campo de desplazamientos u en un sistema conservativo,
la configuración que corresponde al equilibrio es la que hace mínima la energía
potencial total”. Es decir:
∂Π
=0 (2.66)
∂u
Este principio de la mínima energía potencial total es una herramienta fundamental para el
desarrollo de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos como el de elementos
finitos a la vez de ser una herramienta importante para la obtención de modelos matemáticos
de cálculo y análisis más refinados.

Solución de Algunos Problemas Conocidos: Método de Rayleigh
Antes de introducir el método de elementos finitos, se efectuará una aplicación del principio
de mínima energía potencial total en la resolución de un par de problemas conocidos y típicos
de tracción y compresión. El objetivo de esta operatoria es identificar las virtudes y
potenciales limitaciones de los métodos de aproximación. Para ello se empleará a modo de
ejemplo el método de Rayleigh-Ritz, el cual se puede discriminar en los siguientes pasos:

1) Suponer un campo de desplazamiento aproximado con un conjunto de funciones
ψi(x,y,z) y constantes ai, tal como se muestra en (2.67). El campo de desplazamientos
u debe verificar las condiciones de borde del problema
NP

u= ∑ a ψ ( x, y , z )
i =1
i (2.67)


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2) Se reemplaza (2.67) en (2.65) obteniendo la energía potencial total en función de las
constantes ai, es decir
Π = Π (ai ), ∀i = 1,..., N P (2.68)
3) Luego se calculan las derivadas parciales de (2.68) respecto de las ai.
∂Π
= 0, ∀i = 1,..., N P (2.69)
∂ai
4) Se obtienen las ai del sistema de NP ecuaciones (2.69)

EJEMPLO 1.
En la Figura 2.24 se muestra una barra traccionada en un extremo por la fuerza P. La
barra tiene rigidez axial EA. Se desea hallar una función para el campo de
desplazamientos.
Para resolver este problema “académico ilustrativo” se empleará el método de Rayleigh-Ritz.
La energía de deformación para una barra traccionada se puede tomar de la Tabla 2.5,
transformada en función de los desplazamientos -emplear las (2.53) y (2.43) – y se puede
escribir en la forma de la ecuación (2.70).

Figura 2.24. barra traccionada. Ejemplo 1.

2
1 L
 ∂u 
Π =
2 ∫
0
EA x  dx − P.u xL
 ∂x 
con u xL = u x (L) (2.70)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento lineal que debe cumplir con las condiciones
de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x ⇒  x ⇒ u x ( x) = u xL .x (2.71)
u x (L ) = u xL ⇒ a 2 = u xL
Reemplazando (2.71) en (2.70) se obtiene
EA L 2 EAL 2
Π =
2 0 ∫
u xL dx − P.u xL =
2
u xL − P.u xL (2.72)

Derivando (2.72) y despejando la única incógnita del problema
∂Π P
= EAL.u xL − P = 0 ⇒ u xL = (2.73)
∂u xL EAL
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra desde el
empotramiento hasta el extremo libre como:


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P
u x ( x) = .x (2.74)
EAL
La cual es la solución obtenida previamente en el contexto de Estabilidad I y II.

EJEMPLO 2.
En la Figura 2.25 se muestra una barra solicitada por una fuerza volumétrica γ que
actúa en la dirección axial. Se desea aproximar la solución exacta (2.75) del
desplazamiento del problema mediante el método de Rayleigh-Ritz.
x(L − x )γ
u x ( x) = (2.75)
2E
En (2.75), E es el módulo de elasticidad.


La energía potencial total para este caso viene dada por:
2
1 L
 ∂u  L
Π =
2 ∫0  ∂x  0 ∫
EA x  dx − γAu x dx (2.76)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las
condiciones de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x + a 3 x 2 ⇒  x ⇒ u x ( x ) = a 3 .x ( x − L ) (2.77)
u x (L ) = u xL ⇒ a 2 = −a 3 L
Reemplazando (2.77) en (2.76) e integrando se obtiene
2
EAL3 2 γAL3
∫( )
EAa3 L L
Π = ∫
(2 x − L ) dx − Aγa3 x − xL dx =
2 2
a3 + a3 (2.78)
2 0 0 6 6
Derivando (2.78) y despejando la única incógnita del problema (a3)
∂Π EAL3 γAL3 γ
= a3 + =0⇒ a3 = − (2.79)
∂a 3 3 6 2E
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:
x(L − x )γ
u x ( x) = (2.80)
2E
La cual es idéntica a (2.75).


Versión 2004

Tanto en el Ejemplo 1 como en el Ejemplo 2, se ha visto que seleccionando adecuadamente la
función de aproximación se puede llegar a obtener la solución EXACTA. Sin embargo este
tipo de alternativas se dan en problemas muy elementales. Aún así, existen problemas
ligeramente más complejos a los planteados en los ejemplos anteriores que no son resueltos
satisfactoriamente con una función de aproximación a no ser que se plantee un esquema
alternativo que mejore la aproximación, esto se verá a continuación.

EJEMPLO 3.
En la Figura 2.26 se muestra una barra (E=1, A=1, L=1) solicitada por una fuerza
puntual P=2 que actúa en la dirección axial. Se desea aproximar la solución del
desplazamiento mediante el método de Rayleigh-Ritz. La solución exacta es:
x ∀x ∈ [0,1]
u x ( x) = 
2 − x ∀x ∈ [1,2] (2.81.a)

1 ∀x ∈ [0,1]
σ xx ( x) = 
 (2.81.b)
− 1 ∀x ∈ [1,2]

(a) (b)

La energía potencial total para este caso viene dada por:
2
1 L
 ∂u 
Π =
2 ∫0
EA x  dx − P.u xL
 ∂x 
con u xL = u x (L) (2.82)

Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las
condiciones de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x + a 3 x 2 ⇒  x ⇒ u x ( x ) = a 3 .x ( x − 2 ) (2.83)
u x (2 ) = u xL ⇒ a 2 = −2a 3
Reemplazando (2.83) en (2.82) e integrando se obtiene
2
a3 L
Π = (2 x − 2 )2 dx − 2(− a3 ) = 4 a32 + 2a3
∫ (2.84)
2 0 3
Derivando (2.84) y despejando la única incógnita del problema (a3)
∂Π 8 3
= a3 + 2 = 0 ⇒ a3 = − (2.85)
∂a 3 3 4
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:


Versión 2004

3
u x ( x) = .x(2 − x ) (2.86)
4
El valor de las tensiones será
3
σ xx ( x) = (1 − x ) (2.87)
2
En la Figura 2.27.a se muestra la comparación entre los desplazamientos dados por (2.81.a) y
(2.86) y en la Figura 2.27.b se muestran tensiones dadas por las (2.81.b) y la (2.87). Nótese
que la aproximación con una sola función en todo el dominio trae aparejado serios errores
frente a la solución exacta.

(a) (b)
Figura 2.27. barra traccionada. comparacione de soluciones exactas y aproximadas.
(a) despalzamientos (b) tensiones

Ahora bien si se plantea la disgregación del dominio en dos subdominios (Ver Figura 2.26),
uno desde el empotramiento izquierdo hasta la carga y el otro desde el empotramiento
derecho a la carga, se pueden definir una función de aproximación de desplazamientos para
cada dominio con la exigencia de mantener la compatibilidad entre subdominios.
La energía potencial total de cada subdominio será
2
1 L
 ∂u  P
Πi =
2 ∫0
EA xi  dx − .u xL
 ∂x  2
con u xL = u xi (L) , i = 1,2 (2.88)

Así pues se tendrán las siguientes funciones de aproximación para los dos subdominios,
siguiendo una referenciación independiente en cada subdominio, según muestra Figura 2.26b:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x 1 ( x ) = a1 + a 2 x ⇒  x 1 ⇒ u x 1 ( x) = u xL .x (2.89.a)
u x1 (1) = u xL ⇒ a 2 = u xL
u (0 ) = u xL ⇒ a 3 = u xL
u x 2 (x ) = a3 + a4 x ⇒  x 2 ⇒ u x 2 ( x) = u xL .(1 − x) (2.89.b)
u x 2 (1) = 0 ⇒ a 4 = −u xL
Reemplazando (2.89) en (2.88) e integrando para cada subdominio se obtiene

Π1 =
1 L2
∫
2 0
( ) 1 2
u xL dx − u xL = u xL − u xL
2
(para el subdominio 1) (2.90.a)


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1 L2
Π2 =
2 0 ∫ ( ) 1 2
u xL dx − u xL = u xL − u xL (para el subdominio 2)
2
(2.90.b)

OBSERVESE QUE (2.90.a) y (2.90.b) SON IDENTICAS. Ahora, derivando para cada
subdominio y despejando la única incógnita del problema
∂Π i
= u xL − 1 = 0 ⇒ u xL = 1 (2.91)
∂a 3
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada subdominio de la barra como:
u x 1 ( x) = x
(2.92)
u x 2 ( x) = (1 − x )
El valor de las tensiones será
σ x1 ( x) = 1
(2.93)
σ x 2 ( x) = −1
Se debe tener presente que en este enfoque de partición la coordenada x comienza en cada
subdominio en la izquierda del segmento, tal como se ve en Figura 2.27.b. En consecuencia
(2.92) y (2.93) darán los mismos resultados que (2.81.a) y (2.81.b).

Estos tres ejemplos muestran que los métodos aproximados pueden ser útiles para resolver los
problemas más complejos de ingeniería, siempre y cuando se tenga tino en la adopción de las
funciones de aproximación para las variables del problema. Por otro lado se ha visto (en el
ejemplo 3) que ante ciertas complicaciones es posible disgregar el dominio y analizar el
problema en subdominios más pequeños y que tengan una forma de aproximación de la
solución más simple y por combinación de las respuestas en cada subdominio, tener la
solución completa al problema. Se habrá notado que la solución de los problemas anteriores
condujo a la obtención de una sola incógnita, el valor de la constante del polinomio de
aproximación.
La secuencia de pasos realizada en los ejemplos anteriores unidimensionales puede ser puesta
en juego para problemas de mayor complejidad unidimensionales y hasta tridimensionales. En
la Figura 2.28 se puede apreciar un esquema general de la secuencia de pasos necesaria para
efectuar un cálculo por aproximaciones por minimización de la energía potencial total.
Téngase presente que siendo un método, el mismo es plausible de ser sistematizado en un
programa de computadora para acelerar los procesos repetitivos. Esto es lo que precisamente
se hace en los programas comerciales de cálculo por elementos finitos u otros métodos.
En estas últimas ideas radica el espíritu del método de elementos finitos, que se verá en forma
sucinta en el próximo apartado, solo con el fin de entender los basamentos y utilizar
programas académicos y profesionales para la solución de problemas más complejos y reales
que los que se pueden encarar con los métodos de resistencia de materiales y como
corroboración de los alcances y límites de estos últimos.


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Figura 2.28. Procedimiento general de calculo por aproximaciones

Con algunas variantes ligeras el mismo esquema de la Figura 2.28 se usa en forma sistemática
para desarrollar el método de elementos finitos.

5. El método de Elementos Finitos
Introducción
El método de elementos finitos es uno de los métodos de cálculo y análisis de mayor
preferencia en la ingeniería, cubriendo distintas áreas que van desde la elasticidad estática al
cálculo meramente térmico, pasando por diversas aplicaciones en mecánica de fluidos,
fractura, y dinámica entre otras. La noción de utilidad del método radica en que se trata de una
herramienta para la resolución aproximada de modelos matemáticos a derivadas parciales,
como por ejemplo los de la teoría de la elasticidad, ecuaciones de transferencia de calor,
ecuaciones de flujo de fluidos, ecuaciones de dinámica de sólidos, etc.
En el método en sí mismo lo que se hace para hallar la solución al problema determinado en
un dominio continuo es, subdividir el dominio en pequeños subdominios llamados
ELEMENTOS, y en cada uno de los subdominios proponer y hallar una solución aproximada
que luego se ensamblará en el conjunto para obtener la solución completa. En la Figura 2.29
se pueden apreciar tres tipos distintos de dominios: uni, bi y tridimensionales, con sus
respectivas discretizaciones. La respuesta del problema se halla en los puntos extremos de
cada elemento, los cuales son llamados NODOS. La ventaja de esta forma de cálculo es que el
problema de hallar en forma exacta la solución en los infinitos e indefinidos puntos del
continuo se reduce a la solución de un número discreto de variables (ubicadas en los nodos de
los elementos).
Nótese de la Figura 2.29.a que un esquema de discretización unidimensional solo está
compuesto por segmentos de línea recta. En el caso de la Figura 2.29.b se pueden apreciar
elementos cuadrangulares, sin embargo se pueden emplear también elementos triangulares.


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En la Figura 2.29.c se pueden apreciar elementos con forma de tetraedros, sin embargo
también se pueden emplear elementos con forma de cubos o cuñas. El uso de estas
alternativas depende del calculista.

(a) (b) (c)
Figura 2.29. Discretización de dominios (a) unidimensionales (b) bidimensionales (c) Tridimensionales

Es claro que para las configuraciones de la Figura 2.29 no es posible ni razonable calcular la
solución aproximada siguiendo en forma analítica para cada elemento, los pasos hechos en los
Ejemplos 1, 2 y 3 del parágrafo anterior, ya que es algo inviable. Este procedimiento (como el
que se muestra en la Figura 2.28) lo llevan a cabo los programas comerciales de elementos
finitos mediante técnicas que están fuera del alcance y espíritu de las notas de curso. Aquellos
interesados en extender sus conocimientos en el método de elementos finitos pueden recurrir a
las referencias [8,9] a título introductorio. El profesional de ingeniería solo tiene que definir
en el programa el modelo matemático, el modelo geométrico, las restricciones y el tipo de
cálculo que desea efectuar para finalmente analizar los resultados.

Figura 2.30. Etapa del cálculo con elementos finitos


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En estas circunstancias el ingeniero ante la contingencia de realizar un cálculo por
elementos finitos debe CONOCER MUY BIEN “la mecánica o la física del problema”,
es decir el MODELO MATEMATICO y sus HIPOTESIS DE MODELACION.
El procedimiento de cálculo computacional por medio del método de elementos finitos (que
es similar a cualquier otro método numérico alternativo) se puede ver esquemáticamente en la
Figura 2.30.

Existen dos tipos de programas de elementos finitos que se emplearán en este curso de
Elementos de máquina:
- Programas de Diseño Formal o Matemáticos Intensivos: en estos programas se
calcula un problema a partir de describir matemáticamente las ecuaciones, condiciones
de borde, ecuaciones constitutivas, etc. Un ejemplo de este tipo es el programa
FlexPDE. Estos programas son muy útiles para resolver problemas donde el modelo
matemático no sea estándar.
- Programas de Diseño Geométrico o CAD Intensivos: Son los más conocidos y
comunes de los programas de elementos finitos. Poseen interfaces graficas CAD para
la construcción del modelo geométrico. El cálculo se efectúa sobre modelos
matemáticos programados que no permiten mayores alteraciones a las establecidas en
las rutinas programadas como cajas negras enlatadas, esto es que estos programas no
permiten la modificación de sus modelos matemáticos a diferencia de los anteriores..
A pesar de ello, ofrecen una batería muy grande de modelos de cálculo y son muy
utilizados por su facilidad de representación y visualización. Ejemplos de estos
programas con los sistemas comerciales ALGOR, ABAQUS, MSC-NASTRAN,
COSMOS/M, I-DEAS, NISA, PATRAN, CATIA, etc.

Introducción a resolución de problemas de elasticidad lineal con FlexPDE
En la Figura 2.31 muestra una típica ventana de salida de FlexPDE. Los problemas que
resuelve este programa son en dominios 2D y 3D de ecuaciones diferenciales a derivadas
parciales, aunque se puede abundar en problemas unidimensionales. Los problemas que se
abordarán en este curso serán solamente de elasticidad estática y se dejará al estudiante
interesado la posibilidad de profundizar otros modelos y formas de resolución con el
programa, ya que se trata del material inherente a la asignatura electiva “El cálculo en
Ingeniería Mecánica con Elementos Finitos”.
El programa FlexPDE realiza todas las etapas de cálculo del método de elementos finitos en
automática. El programa se basa en definir el modelo matemático del problema junto con sus
condiciones de borde y propiedades más características (densidad, módulos de elasticidad,
etc). La discretización del dominio la efectúa el mismo programa automáticamente con sólo
definir el paso y control de error en la aproximación (esto debe hacerlo el usuario). Para
entender como se calcula un problema con FlexPDE, se puede recurrir a la Tabla 2.6 donde se


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muestra el esquema básico para la definición de un problema y en la secuencia que deben ir
las secciones donde se define cada parte del modelo.

Figura 2.31. Una ventana Típica de FlexPDE

Sección Descripción
TITLE (1) Título del problema
SELECT (1) Se definen: el tipo de aproximación, métodos de integración, error
máximo, etc.
COORDINATES (3) Se emplea sólo si el sistema de coordenadas no es cartesiano
VARIABLES (1) Se definen las variables del problema (los desplazamientos
representativos)
DEFINITIONS (1) Se definen constantes y otras entidades de utilidad
INITIAL VALUES (2) Se definen los valores iniciales de in problema variable en el tiempo
EQUATIONS (1) Se definen las ecuaciones diferenciales de equilibrio del problema
CONSTRAINTS (4) Se definen restricciones adicionales
RESOLVE (4) Se usa para resolver determinadas entidades de importancia en el proceso.
EXTRUSION (4) Se plantean los planos de extrusión para piezas tridimensionales
BOUNDARIES (1) Se definen las condiciones de borde y el contorno del problema
TIME (2) Se especifica el rango de variación de las variables en el tiempo
MONITORS (2) Se ven las evoluciones temporales en pasos
PLOTS (1) Se definen las salidas gráficas que se desean.
HISTORIES (2) Se muestra la evolución de una variable en el tiempo
END (1) Fin del archivo descriptor
Tabla 2.6. Esquema Básico de un archivo descriptor en FlexPDE. (1) secciones Mandatorias a todo problema.
(2) van en problemas dependientes del tiempo (3) van si no son sistemas cartesianos. (4) útiles para imponer
condiciones adicionales o piezas tridimensionales


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El desarrollo del archivo que se muestra en Tabla 2.6 implica la confección del “archivo
descriptor” del problema que tiene formato “*******.PDE”. Con el objeto de fijar ideas, en la
Tabla 2.7 se muestra el archivo descriptor de FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.

TITLE "Ejemplo 3 " Definición de la variable del Programa
SELECT errlim con un error menor a 0.001
errlim=1e-3
VARIABLES Definición de Ux como desplazamiento
Ux para el problema unidimensional
DEFINITIONS
Lx =1 Ly=0.1 Definición de longitudes de la barra: Lx, Ly
Em = 1 A = 1 EA=Em*A Definición de módulos de elasticidad: Em
P=2 Definición de Area: A, fuerza actuante P y
Forz1 = P tensión normal: SigmaX
SigmaX=Em*dx(Ux)
EQUATIONS Definición de la ecuación diferencial
dx(Em*dx(Ux)) = 0 ∂  ∂U x 
 Em =0
BOUNDARIES ∂x  ∂x 
Region 1 Definición de las condiciones de borde y de
start(0,0) Natural[Ux]=0 la geometría. Con las funciones, Start, Line
line to(Lx,0) Natural[Ux]=Forz1 to, y line to finish se definen los contornos
line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0 del dominio en forma de segmentos de línea
line to(0,Ly) Value[Ux]=0 line to finish recta. Nótese que a continuación de cada
Region 2 inicio de segmento aparecen las funciones
start(Lx,0) Natural[Ux]=0 Natural o Value afectando Ux. Estas son
line to(2*Lx,0) Value[Ux]=0 las condiciones de borde que imperan sobre
line to(2*Lx,Ly) Natural[Ux]=0 Ux. Natural(Ux)=0 significa que no actúa
line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0 line to finish ninguna carga, mientras que Value(Ux)=0
significa que el Ux=0
PLOTS Aquí se define el tipo de salida gráfica que
Surface(Ux) se desea: Surface(Ux) muestra la superficie
Surface(SigmaX) de la variable Ux, Surface(SigmaX) hace lo
Elevation(Ux) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2) propio para SigmaX. Con Elevation(Ux) se
Elevation(SigmaX) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2) muestra la variación de Ux a lo largo de la
END línea definida por From

Tabla 2.7. Descriptor FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.

En términos generales se debe seguir el esquema presentado en la columna izquierda de la
Tabla 2.7 para describir un problema. Se habrá podido apreciar diferentes formas de
definición de las cantidades que intervienen en el problema. En lo referente a las derivadas se
indican con la letra “d” seguida de la variable independiente respecto a la que se deriva, p.e.
“y”. Definiciones de derivadas de una variable “f” se pueden ver a continuación:
∂f ∂2 f
→ dx( f ) → dxx( f ) o dx(dx( f ))
∂x ∂x 2
∂f ∂2 f
→ dy ( f ) → dx(dy ( f )) , etc. (2.94)
∂y ∂x∂y
∂f ∂2 f
→ dz ( f ) → dx(dz ( f ))
∂z ∂x∂z


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De la (2.94) es inmediatamente clara la aplicabilidad de la regla de la cadena. Por ejemplo si
se define una entidad “ex” como la derivada de la variable representativa “Ux”, entonces la
derivada de la entidad “ex” vendrá dada como sigue:
ex = dx(Ux) ⇒ dx(ex ) = dx(dx(Ux) ) = dxx(Ux ) (2.95)
El empleo de (2.95) se puede simplificar y condensar las ecuaciones de equilibrio con las que
se representa la mecánica del problema.
Es claro que para definir un problema es necesario definir el conjunto de desplazamientos
representativos del modelo matemático. Dentro de los problemas de elasticidad
convencionales que se verán en este curso los desplazamientos podrán ser uno, dos o tres o
más según que el modelo tenga una, dos o tres o más ecuaciones de equilibrio,
respectivamente, según se muestra en la Tabla 2.8.

Cantidad de
Dominio del
variables y de
Tipo de problema Modelo /dominio Variables representativas del problema
ecuaciones del
en Flexpde
modelo en flexpde
Tracción Simple 1D / 2D 1 Ux: desplazamiento en eje x
Ux: desplazamiento en eje x
Tensión Plana 2D / 2D 2
Uy: desplazamiento en eje y
Deformación Plana 2D / 2D 2
tensión tridimensional 3D / 3D 3 Uy: desplazamiento en eje x
Uz: desplazamiento en eje z
Teoría de vigas de
1D / 2D 1 Uy: desplazamiento en eje y
Bernoulli Euler
Teoría de vigas de Uy: desplazamiento en eje y
1D / 2D 2
Timoshenko Rz: rotación en eje z
Uz: desplazamiento en eje z
Teoría de vigas
1D / 2D 7 Rx: rotación en eje x
Generalizadas
Ry: rotación en eje y
Rz: rotación en eje z
Uw: variable de alabeo
Tabla 2.8. Relación de las ecuaciones de equilibrio con las variables representativas

La otra parte neurálgica de la descripción del problema con Flexpde es la definición de las
condiciones de borde del problema, las cuales se aplicarán a las variables representativas
mediante el uso de funciones apropiadas del programa. En la Figura 2.32 se muestra un caso
de elasticidad plana donde se exponen diferentes casos de condiciones de borde que van desde
la fijación de desplazamientos hasta la imposición de cargas. Las expresiones en flexpde


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correspondientes a las condiciones de la Figura 2.32 se indican en la Tabla 2.8. Nótese que las
condiciones de borde de cargas distribuidas Tx y Ty pueden definirse de la misma manera
utilizando dos comandos distintos.

Figura 2.32. Esquema de elasticidad plana y sus condiciones de borde para un caso típico

Tipo de Condición de Borde Descripción en Flexpde
Anulación de desplazamientos en un Value(Ux)=0
segmento Value(Uy)=0
Value(Ux)=Ux0
Desplazamientos forzados en un segmento
Value(Uy)=Uy0
PointValue(Ux)=Ux1
Desplazamientos fijados en un punto
Pointvalue(Uy)=Uy1
PointLoad(Ux)=Px0
Cargas aplicadas en un punto
PointLoad(Uy)=Py0
Natural(Ux)=0 Load(Ux)=0
Segmento libre de cargas o
Natural(Uy)=0 Load(Uy)=0
Natural(Ux)=Tx Load(Ux)=Tx
Segmento con cargas distribuidas o
Natural(Uy)=Ty Load(Uy)=Ty
Tabla 2.8. Lista de condiciones de borde para Flexpde en un caso de elasticidad plana

Si bien en Tabla 2.8 se muestran las condiciones de borde más comunes, existe otro tipo de
condiciones de borde aplicables a problemas especiales y que el programa puede cubrir, sin
embargo tal cometido está fuera de los objetivos de las notas de este curso de elementos de
máquina. Para aquellos que desean mayores detalles sobre el particular se sugiere la lectura de
los libros indicados en las referencias [10,11]. Para afirmar las ideas y nociones sobre este
programa se efectuará a continuación un ejemplo.

EJEMPLO DE CÁLCULO DE FLEXPDE
En la Figura 2.33 se muestra una planchuela de 10 cm de alto y 40 cm de largo, sometida
a fuerzas superficiales tractivas en un extremo de 10 N/m y empotrada en el extremo
izquierdo. Posee dos agujeros de 1 cm de radio centrados a una distancia de 10 cm del
empotramiento y muescas de 1 cm de radio a 30 cm del empotramiento. Se desea
determinar el perfil de tensiones σxx en las secciones (1) y (2). El material es acero.


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Figura 2.33. Esquema de la planchuela.

En la Tabla 2.9 se muestra el archivo descriptor de Flexpde bajo la suposición de un estado
plano de tensiones. En las figuras 2.34 se muestran las salidas gráficas de Flexpde en las
zonas críticas solicitadas

Title 'Estado plano de tensión con agujeros y muescas'
select
errlim = 1e-5 { se fija el paso de error }
variables
Ux Uy { Se declaran las variables Ux y Uy }
definitions
{definición de algunas dimensiones}
H1 = 0.1 L1 = 0.4 L2 = 0.1 L3 = 0.25 L4=0.38 R1 = 0.01 R2 = 0.01
{definición de constantes elasticas}
nu = 0.3 Em = 2.1e11 Gm =Em/2/(1+nu) C1= Em/(1-nu**2)
{definicion de deformaciones}
ex=dx(Ux) ey=dy(Uy) exy=dx(Uy)+dy(Ux)
{definición de tensiones y deformación ezz}
Sxx = C1*(ex+nu*ey) Syy = C1*(ex*nu+ey)
Sxy = C1*(1-nu)/2*exy ezz=-nu/Em*(Sxx+Syy)
{definición de cargas actuantes en N/m}
Tx = 10 Ty = 0
equations {se define un estado plano de tensiones}
dx(Sxx) + dy(Sxy) = 0
dx(Sxy) + dy(Syy) = 0
boundaries
region 1
start (0,0)
{se define el borde inferior}
load(Ux)=0 load(Uy)=0 line to (L3-R2,0) arc(center=L3,0) angle = -180 line to (L1,0)
{se define el lado derecho}
load(Ux)=Tx load(Uy) = Ty line to (L1,H1)
{se define el borde superior}
load(Ux)=0 load(Uy)=0 line to (L3+R2,H1) arc(center=L3,H1) angle = -180 line to (0,H1)
{ se define el extremo fijo}
value(Ux)=0 value(Uy)=0 line to finish
{ definición de los agujeros}
load(Ux) = 0 load(Uy) = 0
start(L2,H1/4+R1) arc(center=L2,H1/4) angle=-360 to finish
start(L2,3*H1/4+R1) arc(center=L2,3*H1/4) angle=-360 to finish
plots {definición de los graficos de salida}
grid(x,y) Elevation(Sxx) From(L2,0) to (L2,H1)
Elevation(Sxx) From(L3,0) to (L3,H1) Elevation(Sxx) From(L4,0) to (L4,H1)
end
Tabla 2.9. Archivo descriptor del problema de la planchuela


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(a) (b)
Figura 2.34. Tensiones normales σXX. (a) en la Sección (1) y (b) en la sección (2)

NOTA: En este curso de elementos de máquina se hará profusa utilización de
modelización en Flexpde para abordar distintos problemas de la mecánica de materiales
como también para servir de comparación adicional a modelos reducidos de resistencia
de materiales y también como identificación de lo que están resolviendo los programas
comerciales de elementos finitos tales como IDEAS o COSMOS/M.

6. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.
[4] V.G. Sfakiotakis, N.K. Anifantis. “Finite element modeling of spur gearing fractures”.
Finite Elements in Analysis and Design 39, 79–92 2002
[5] Algor News, http://www.algor.com
[6] X. Oliver Olivella y C. Agelet de Saracibar Bosch. “Mecánica de medios continuo para
ingenieros”. Ediciones UPC, Ed. Alfaomega. (2002).
[7] E.J. Barbero, "Introduction to Composite Materials Design". Taylor and Francis, 1998.
[8] R.E. Rossi, “Introducción al Método de Elementos finitos, Curso Básico con aplicaciones
en elasticidad lineal”. Departamento de Ingeniería. Universidad Nacional del Sur. 1993.
[9] T. Chandrupatla, A. Belegundu, “Introducción al método de los elementos finitos”. Ed.
Prentice Hall, (1998)
[10] G. Backstrom, “Deformation an Vibration by Finite Element Analysis”. Ed.
Studentlitteratur, (1998)
[11] G. Backstrom, “Fields of Physics by Finite Element Analysis”. Ed. Studentlitteratur,
(1998)


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