Este documento presenta una introducción a los conceptos de equilibrio y deformación en elementos de máquinas. Explica diferentes tipos de cargas, vínculos y reacciones de vínculo. Luego describe el equilibrio estático y dinámico, y cómo realizar análisis de equilibrio mediante diagramas de cuerpo libre. Finalmente, discute la selección entre modelos de resistencia de materiales o mecánica del continuo para el análisis de elementos de máquinas.
Este documento presenta el método de doble integración para determinar la deflexión en vigas. Se explica que este método utiliza la ecuación diferencial de la elástica y permite obtener las ecuaciones para la pendiente y deflexión mediante doble integración. Luego, se detallan los pasos para aplicar este método, incluyendo la integración de la ecuación diferencial para obtener expresiones para la pendiente y deflexión en cualquier punto de la viga.
Este documento presenta el método de rigidez según Gere para analizar vigas planas. Explica conceptos como acciones, desplazamientos, principio de superposición y rigidez. Luego detalla los pasos del método, incluyendo identificar grados de libertad, generar ecuaciones de rigidez, formular la matriz de rigidez y resolver para obtener desplazamientos. Finalmente aplica el método a una viga continua de tres tramos para calcular desplazamientos nodales.
El documento describe los conceptos de deflexión y inestabilidad en vigas curvas. Explica cómo las cargas externas producen diferentes estados de esfuerzos en elementos de volumen y cómo ciertas vigas sometidas a fuerzas combinadas pueden experimentar cambios geométricos como pandeo que conducen al colapso. También revisa conceptos como deflexión, momento flector y pendiente en vigas, y presenta un ejemplo de cálculo de deflexión y esfuerzos máximos en un ala de avión.
El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas. Explica que este tipo de vigas tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio disponibles para resolverlas. Presenta ejemplos de vigas apoyada-empotrada y continua, y métodos como el de la doble integración para determinar las reacciones y deformaciones de las vigas hiperestáticas mediante el análisis de rotaciones y desplazamientos. Resuelve tres problemas aplicando este método para calcular fuerzas, momentos y flechas en diferentes configuraciones de vigas.
Este documento presenta conceptos básicos de mecánica de materiales como grados de libertad, cálculo de reacciones, método de secciones, diagramas de fuerzas solicitantes, principio de superposición y ejemplos de ejercicios propuestos para su resolución. Se explican conceptos clave como fuerzas internas, relación entre cortante y momento flector, y casos importantes para el cálculo de reacciones y diagramas de fuerzas. El documento proporciona los fundamentos teóricos necesarios para resolver problemas de equilibrio en estructuras
1200L2
2
VA =
1200L
2
MB =
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2
VB =
1200L
2
Este documento describe:
1) El análisis de vigas estáticamente indeterminadas mediante el método de doble integración.
2) La solución de tres problemas de vigas hiperestáticas, encontrando las reacciones y momentos flexores.
3) Cómo se determinan las constantes de integración usando las condiciones de contorno en los apoyos.
Este documento presenta el método de las fuerzas para analizar estructuras indeterminadas. Explica que este método involucra dividir la estructura en un sistema primario determinado y fuerzas redundantes. Luego, utiliza el principio de superposición y el método de trabajo virtual para establecer ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos que relacionan las fuerzas redundantes con los desplazamientos causados. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se pueden determinar las fuerzas finales en la estructura.
El documento describe el método de la línea elástica para determinar la forma de una viga sometida a flexión. Se establecen las hipótesis del método y se deriva la ecuación diferencial de la curva elástica. Además, se presentan ejemplos de aplicación del método al cálculo de giros y flechas en diferentes secciones de vigas isostáticas y hiperestáticas.
Este documento presenta el método de doble integración para determinar la deflexión en vigas. Se explica que este método utiliza la ecuación diferencial de la elástica y permite obtener las ecuaciones para la pendiente y deflexión mediante doble integración. Luego, se detallan los pasos para aplicar este método, incluyendo la integración de la ecuación diferencial para obtener expresiones para la pendiente y deflexión en cualquier punto de la viga.
Este documento presenta el método de rigidez según Gere para analizar vigas planas. Explica conceptos como acciones, desplazamientos, principio de superposición y rigidez. Luego detalla los pasos del método, incluyendo identificar grados de libertad, generar ecuaciones de rigidez, formular la matriz de rigidez y resolver para obtener desplazamientos. Finalmente aplica el método a una viga continua de tres tramos para calcular desplazamientos nodales.
El documento describe los conceptos de deflexión y inestabilidad en vigas curvas. Explica cómo las cargas externas producen diferentes estados de esfuerzos en elementos de volumen y cómo ciertas vigas sometidas a fuerzas combinadas pueden experimentar cambios geométricos como pandeo que conducen al colapso. También revisa conceptos como deflexión, momento flector y pendiente en vigas, y presenta un ejemplo de cálculo de deflexión y esfuerzos máximos en un ala de avión.
El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas. Explica que este tipo de vigas tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio disponibles para resolverlas. Presenta ejemplos de vigas apoyada-empotrada y continua, y métodos como el de la doble integración para determinar las reacciones y deformaciones de las vigas hiperestáticas mediante el análisis de rotaciones y desplazamientos. Resuelve tres problemas aplicando este método para calcular fuerzas, momentos y flechas en diferentes configuraciones de vigas.
Este documento presenta conceptos básicos de mecánica de materiales como grados de libertad, cálculo de reacciones, método de secciones, diagramas de fuerzas solicitantes, principio de superposición y ejemplos de ejercicios propuestos para su resolución. Se explican conceptos clave como fuerzas internas, relación entre cortante y momento flector, y casos importantes para el cálculo de reacciones y diagramas de fuerzas. El documento proporciona los fundamentos teóricos necesarios para resolver problemas de equilibrio en estructuras
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VA =
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Este documento describe:
1) El análisis de vigas estáticamente indeterminadas mediante el método de doble integración.
2) La solución de tres problemas de vigas hiperestáticas, encontrando las reacciones y momentos flexores.
3) Cómo se determinan las constantes de integración usando las condiciones de contorno en los apoyos.
Este documento presenta el método de las fuerzas para analizar estructuras indeterminadas. Explica que este método involucra dividir la estructura en un sistema primario determinado y fuerzas redundantes. Luego, utiliza el principio de superposición y el método de trabajo virtual para establecer ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos que relacionan las fuerzas redundantes con los desplazamientos causados. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se pueden determinar las fuerzas finales en la estructura.
El documento describe el método de la línea elástica para determinar la forma de una viga sometida a flexión. Se establecen las hipótesis del método y se deriva la ecuación diferencial de la curva elástica. Además, se presentan ejemplos de aplicación del método al cálculo de giros y flechas en diferentes secciones de vigas isostáticas y hiperestáticas.
1) El documento explica conceptos fundamentales sobre estabilidad estructural, fuerzas cortantes y momento flector en vigas.
2) Las estructuras requieren componentes de reacción no concurrentes ni paralelas para garantizar la estabilidad.
3) Se presentan ejemplos para calcular reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores en diferentes tipos de vigas.
1) El documento describe los conceptos básicos de deformación en sólidos, incluyendo deformaciones longitudinales, angulares y de corte. 2) Explica cómo medir las deformaciones a través del campo de desplazamientos y define el tensor de deformaciones. 3) Discutes las direcciones principales de deformación y las invariantes asociadas.
Este documento describe los métodos matriciales para el análisis de estructuras de elementos unidimensionales. Explica los conceptos clave como los grados de libertad, las matrices de rigidez y flexibilidad, y cómo se pueden modelar diferentes tipos de estructuras como pórticos, celosías y emparrillados usando este enfoque. También cubre temas como la discretización, los sistemas de referencia global y local, y cómo se definen y calculan los términos de las matrices de rigidez elementales.
Este documento presenta un resumen sobre el cálculo de deformaciones y deformadas en estructuras. Explica que el cálculo de deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos y que el método de doble integración utiliza la relación entre curvatura, momento flector y momento de inercia. Propone dos ejercicios para calcular la deformación vertical y el ángulo de la deformada en vigas con condiciones de contorno específicas.
1) El documento describe los conceptos de líneas de influencia y cómo se pueden utilizar para analizar estructuras isostáticas y hiperestáticas sometidas a cargas móviles. 2) Se definen las líneas de influencia y se explican métodos como el de puntos y el de Müller-Breslau para trazar las líneas de influencia de reacciones, momentos flectores, esfuerzos cortantes y deformaciones. 3) Finalmente, se menciona el método de superposición de efectos utilizando la matriz β para calcular líneas
Este documento describe el método de rigidez para el cálculo matricial de estructuras. Explica conceptos básicos como el comportamiento lineal de los materiales y movimientos pequeños. También cubre relaciones fundamentales como equilibrio y compatibilidad de movimientos. Luego, introduce la matriz de rigidez y flexibilidad, y cómo se usan para relacionar fuerzas y desplazamientos. Finalmente, detalla la discretización de la estructura y el cálculo de las rigideces de diferentes tipos de barras elementales.
Este documento presenta la solución a varios problemas de análisis de estructuras de pórticos sometidos a diferentes cargas. En el primer problema se analiza un pórtico con cargas distribuidas y puntuales para obtener los diagramas de esfuerzos, cortantes y momentos flectores. En el segundo problema se resuelve un pórtico con una carga puntual. El tercer problema analiza otro pórtico con cargas distribuidas y puntuales. Finalmente, el cuarto problema estudia una estructura formada por una viga y un cable.
Este documento describe métodos para analizar vigas hiperestáticas, incluyendo vigas bi-empotradas, empotrada-apoyada y continuas. Explica cómo descomponer estas vigas en vigas isostáticas equivalentes para determinar reacciones, momentos y deformaciones. Incluye ecuaciones para calcular momentos máximos, reacciones y flechas máximas para cada tipo de viga hiperestática.
1. El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas, las cuales tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio estático disponibles. 2. Para resolver este tipo de vigas se requieren ecuaciones adicionales basadas en el análisis de deformaciones. 3. El método de la doble integración integra sucesivamente la ecuación diferencial de la elástica para determinar las reacciones y momentos flexionantes en vigas hiperestáticas.
Este documento describe el método de las fuerzas para analizar estructuras hiperestáticas utilizando el principio de las fuerzas virtuales. Se explica el procedimiento paso a paso, que incluye elegir un sistema base isostático, plantear ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos, calcular dichos desplazamientos, y resolver el sistema de ecuaciones para obtener las incógnitas hiperestáticas. Se incluye un ejemplo completo de aplicación del método a una estructura con una carga puntual.
En el presente informe se calculara los desplazamientos , fuerzas , reacciones y esfuerzo en cada punto seleccionado de una armadura cuya representacion se mostrara a continuacion en la siguiente pagina , para calcular lo anteriormente mencionado se hara uso de un metodo de VANGUARDIA y de ultima generacion que se esta utilizando en los mejores institutos de investigacion del mundo
El documento presenta diferentes métodos para calcular la deflexión en vigas, incluyendo la ecuación diferencial de la elástica, el método de doble integración, el método de área de momento y el método de tres momentos. Explica que la ecuación diferencial gobierna el comportamiento de la curva elástica y describe las deflexiones de una viga sometida a cargas. El método de doble integración permite determinar directamente el punto de máxima deflexión mediante la integración de las ecuaciones de fuerza cortante y
El documento describe los métodos para analizar las deformaciones en vigas, incluyendo la línea elástica, supuestos base como la ley de Hooke y deducción de la fórmula de flexión. Explica el método del área de momentos, los teoremas de Mohr, y el método de doble integración para calcular ángulos de curvatura y flechas en vigas isostáticas y hiperestáticas. También presenta un ejemplo para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Seminario de la semana 8: Magnetismo. Fuerza de LorentzYuri Milachay
I. La práctica trata sobre fuerzas magnéticas que actúan sobre partículas cargadas y corrientes eléctricas en presencia de campos magnéticos.
II. Se presentan una serie de problemas y preguntas conceptuales relacionadas con trayectorias de partículas cargadas, fuerzas sobre corrientes eléctricas y medidas de campo magnético.
III. Se analizan diferentes configuraciones de campos magnéticos, corrientes eléctricas y partículas cargadas para calcular fuerzas y característic
1. El documento describe dos programas, Anesmef y Finterpo, que realizan cálculos numéricos y simbólicos de estructuras mediante el método de los elementos finitos. Anesmef resuelve problemas en 2D de estructuras articuladas, reticuladas y mixtas, mientras que Finterpo incluye elementos unidimensionales, triangulares, rectangulares y de cuerpo axilsimétrico.
2. Se incluye la solución de un problema del método de los elementos finitos donde se calcula la matriz de rig
El documento describe los efectos de animación y transición que realizó Santiago Alexander Díaz Rengifo para su proyecto escolar, incluyendo una pelota que rebota, letras que aparecen y desaparecen, y un laberinto.
El documento proporciona información sobre los recursos disponibles en el aula virtual, incluyendo enlaces a programas como Acrobat Reader, Flash Player y Mozilla Firefox. También describe cómo los estudiantes pueden acceder a materiales de sus cursos, como guías y videos, y enviar trabajos a los profesores para su calificación. Además, explica cómo usar el correo institucional para acceder al aula virtual y compartir archivos con compañeros de clase usando Google Docs.
Daniela expresa su amor por Fernando Flores López y lo extraña mucho a pesar de la distancia. Recuerda con cariño cada momento que pasaron juntos y desea que Fernando se quede con ella para siempre. Aunque ha pasado tiempo, Daniela sigue amando a Fernando y él siempre tendrá un lugar especial en sus recuerdos y en su corazón.
1) El documento explica conceptos fundamentales sobre estabilidad estructural, fuerzas cortantes y momento flector en vigas.
2) Las estructuras requieren componentes de reacción no concurrentes ni paralelas para garantizar la estabilidad.
3) Se presentan ejemplos para calcular reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores en diferentes tipos de vigas.
1) El documento describe los conceptos básicos de deformación en sólidos, incluyendo deformaciones longitudinales, angulares y de corte. 2) Explica cómo medir las deformaciones a través del campo de desplazamientos y define el tensor de deformaciones. 3) Discutes las direcciones principales de deformación y las invariantes asociadas.
Este documento describe los métodos matriciales para el análisis de estructuras de elementos unidimensionales. Explica los conceptos clave como los grados de libertad, las matrices de rigidez y flexibilidad, y cómo se pueden modelar diferentes tipos de estructuras como pórticos, celosías y emparrillados usando este enfoque. También cubre temas como la discretización, los sistemas de referencia global y local, y cómo se definen y calculan los términos de las matrices de rigidez elementales.
Este documento presenta un resumen sobre el cálculo de deformaciones y deformadas en estructuras. Explica que el cálculo de deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos y que el método de doble integración utiliza la relación entre curvatura, momento flector y momento de inercia. Propone dos ejercicios para calcular la deformación vertical y el ángulo de la deformada en vigas con condiciones de contorno específicas.
1) El documento describe los conceptos de líneas de influencia y cómo se pueden utilizar para analizar estructuras isostáticas y hiperestáticas sometidas a cargas móviles. 2) Se definen las líneas de influencia y se explican métodos como el de puntos y el de Müller-Breslau para trazar las líneas de influencia de reacciones, momentos flectores, esfuerzos cortantes y deformaciones. 3) Finalmente, se menciona el método de superposición de efectos utilizando la matriz β para calcular líneas
Este documento describe el método de rigidez para el cálculo matricial de estructuras. Explica conceptos básicos como el comportamiento lineal de los materiales y movimientos pequeños. También cubre relaciones fundamentales como equilibrio y compatibilidad de movimientos. Luego, introduce la matriz de rigidez y flexibilidad, y cómo se usan para relacionar fuerzas y desplazamientos. Finalmente, detalla la discretización de la estructura y el cálculo de las rigideces de diferentes tipos de barras elementales.
Este documento presenta la solución a varios problemas de análisis de estructuras de pórticos sometidos a diferentes cargas. En el primer problema se analiza un pórtico con cargas distribuidas y puntuales para obtener los diagramas de esfuerzos, cortantes y momentos flectores. En el segundo problema se resuelve un pórtico con una carga puntual. El tercer problema analiza otro pórtico con cargas distribuidas y puntuales. Finalmente, el cuarto problema estudia una estructura formada por una viga y un cable.
Este documento describe métodos para analizar vigas hiperestáticas, incluyendo vigas bi-empotradas, empotrada-apoyada y continuas. Explica cómo descomponer estas vigas en vigas isostáticas equivalentes para determinar reacciones, momentos y deformaciones. Incluye ecuaciones para calcular momentos máximos, reacciones y flechas máximas para cada tipo de viga hiperestática.
1. El documento analiza vigas estáticamente indeterminadas, las cuales tienen más incógnitas que ecuaciones de equilibrio estático disponibles. 2. Para resolver este tipo de vigas se requieren ecuaciones adicionales basadas en el análisis de deformaciones. 3. El método de la doble integración integra sucesivamente la ecuación diferencial de la elástica para determinar las reacciones y momentos flexionantes en vigas hiperestáticas.
Este documento describe el método de las fuerzas para analizar estructuras hiperestáticas utilizando el principio de las fuerzas virtuales. Se explica el procedimiento paso a paso, que incluye elegir un sistema base isostático, plantear ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos, calcular dichos desplazamientos, y resolver el sistema de ecuaciones para obtener las incógnitas hiperestáticas. Se incluye un ejemplo completo de aplicación del método a una estructura con una carga puntual.
En el presente informe se calculara los desplazamientos , fuerzas , reacciones y esfuerzo en cada punto seleccionado de una armadura cuya representacion se mostrara a continuacion en la siguiente pagina , para calcular lo anteriormente mencionado se hara uso de un metodo de VANGUARDIA y de ultima generacion que se esta utilizando en los mejores institutos de investigacion del mundo
El documento presenta diferentes métodos para calcular la deflexión en vigas, incluyendo la ecuación diferencial de la elástica, el método de doble integración, el método de área de momento y el método de tres momentos. Explica que la ecuación diferencial gobierna el comportamiento de la curva elástica y describe las deflexiones de una viga sometida a cargas. El método de doble integración permite determinar directamente el punto de máxima deflexión mediante la integración de las ecuaciones de fuerza cortante y
El documento describe los métodos para analizar las deformaciones en vigas, incluyendo la línea elástica, supuestos base como la ley de Hooke y deducción de la fórmula de flexión. Explica el método del área de momentos, los teoremas de Mohr, y el método de doble integración para calcular ángulos de curvatura y flechas en vigas isostáticas y hiperestáticas. También presenta un ejemplo para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Seminario de la semana 8: Magnetismo. Fuerza de LorentzYuri Milachay
I. La práctica trata sobre fuerzas magnéticas que actúan sobre partículas cargadas y corrientes eléctricas en presencia de campos magnéticos.
II. Se presentan una serie de problemas y preguntas conceptuales relacionadas con trayectorias de partículas cargadas, fuerzas sobre corrientes eléctricas y medidas de campo magnético.
III. Se analizan diferentes configuraciones de campos magnéticos, corrientes eléctricas y partículas cargadas para calcular fuerzas y característic
1. El documento describe dos programas, Anesmef y Finterpo, que realizan cálculos numéricos y simbólicos de estructuras mediante el método de los elementos finitos. Anesmef resuelve problemas en 2D de estructuras articuladas, reticuladas y mixtas, mientras que Finterpo incluye elementos unidimensionales, triangulares, rectangulares y de cuerpo axilsimétrico.
2. Se incluye la solución de un problema del método de los elementos finitos donde se calcula la matriz de rig
El documento describe los efectos de animación y transición que realizó Santiago Alexander Díaz Rengifo para su proyecto escolar, incluyendo una pelota que rebota, letras que aparecen y desaparecen, y un laberinto.
El documento proporciona información sobre los recursos disponibles en el aula virtual, incluyendo enlaces a programas como Acrobat Reader, Flash Player y Mozilla Firefox. También describe cómo los estudiantes pueden acceder a materiales de sus cursos, como guías y videos, y enviar trabajos a los profesores para su calificación. Además, explica cómo usar el correo institucional para acceder al aula virtual y compartir archivos con compañeros de clase usando Google Docs.
Daniela expresa su amor por Fernando Flores López y lo extraña mucho a pesar de la distancia. Recuerda con cariño cada momento que pasaron juntos y desea que Fernando se quede con ella para siempre. Aunque ha pasado tiempo, Daniela sigue amando a Fernando y él siempre tendrá un lugar especial en sus recuerdos y en su corazón.
Este documento contiene información personal de un estudiante incluyendo su nombre, número de registro y número de identificación. También menciona actualización de perfil, sistema de mensajería y foro y creación de grupo, lo que sugiere que es sobre una plataforma educativa en línea.
Compendio de demandas y propuestas estudiantiles [versión de sociabilización] panycirkoo
Este documento presenta una introducción y una sección sobre la problemática de la educación chilena. Resume la estructura del sistema educativo chileno desde la educación preescolar hasta la educación superior, destacando la diferenciación entre el sistema público y privado. También describe brevemente la historia de la educación en Chile y los cambios realizados en 1981 hacia un modelo inspirado en las ideas neoliberales.
El documento describe las herramientas de las TIC que pueden apoyar la formación en competencias ciudadanas de tres maneras: 1) como fuente para convertirse en ciudadanos informados, 2) para desarrollar habilidades de indagación y comunicación, y 3) para desarrollar habilidades de participación y acción responsables. Entre las herramientas descritas se incluyen Internet, correo electrónico, listas de correo, grupos de discusión, salones de conversación, blogs, presentaciones, manejo de datos, grabadoras de audio y video,
Colombia es un país tropical con gran diversidad geográfica, cultural e histórica. Es famoso por su café y esmeraldas, y por la leyenda de El Dorado. Su escudo representa los recursos naturales del país, la libertad conquistada, y su ubicación geográfica. La bandera simboliza la federación y la independencia de España. El catolicismo es la religión predominante. Algunas de las principales ciudades son Bogotá, Medellín, Cali, Cartagena y Barranquilla.
Este documento describe diferentes formas de comunicación en línea como el chat, IRC, mensajería instantánea y Skype. El chat permite conversaciones escritas entre dos o más personas a través de Internet. IRC fue desarrollado en 1988 y permite crear canales de chat sobre diferentes temas. La mensajería instantánea como Windows Live Messenger y Yahoo Messenger ofrece un software más sencillo que IRC para conversar con contactos. Skype utiliza la tecnología VoIP para realizar llamadas de voz y video gratuitas a través de Internet.
El documento describe los pasos para elaborar un bolso de tela. Inicia con un corte del modelo deseado, luego se cortan y cosen las piezas principales con pliegues y costuras. Después se unen tiras a las partes grandes y se les da vuelta para reforzar. Finalmente, se cosen pedazos de tela en el fondo y se termina el bolso.
El documento resume las reglas de acentuación y tildes de las palabras agudas, graves, esdrújulas y sobreesdrújulas en español. Explica que las agudas llevan tilde solo si terminan en n, s o vocal; las graves solo si no terminan en esas letras; las esdrújulas siempre llevan tilde en la antepenúltima sílaba; y las sobreesdrújulas siempre llevan tilde antes de la antepenúltima sílaba.
Este documento proporciona ejemplos de cómo usar objetos animados para resaltar puntos clave durante una presentación. Sugiere usar animaciones para marcar etapas de un proceso, destacar los pasos de un diagrama o ciclo, describir los datos de un gráfico, o simular el funcionamiento de un sistema. La animación puede ayudar a enfocar la atención del público y mejorar la comprensión de conceptos complejos.
La francmasonería se define como una institución iniciática, no religiosa, filantrópica y filosófica fundada en la fraternidad. Tiene como objetivo la búsqueda de la verdad a través de la razón y el desarrollo moral e intelectual. Apareció en Europa entre finales del siglo XVII y principios del XVIII y se presenta como una herramienta para desarrollar la capacidad de escucha, reflexión y diálogo. Existen diferentes corrientes masónicas que no siempre se reconocen entre sí debido
El documento presenta información sobre la Maestría en Gerencia Empresarial de la Universidad Fermín Toro. Se ofrece el programa de posgrado bajo la dirección del Decano de Investigación y Postgrado. El documento incluye un mapa conceptual y lista de referencias bibliográficas relacionadas con temas de gerencia privada y pública.
Una niña ve un collar azul en una joyería y le pide al vendedor verlo para regalárselo a su hermana en su cumpleaños. Cuando el dueño le pregunta cuánto dinero tiene, la niña muestra solo unas monedas. Aun así, el dueño envuelve el collar y se lo regala. Más tarde, la hermana entra angustiada a reclamar el precio, pero el dueño le dice que ella pagó el precio más alto al dar todo lo que tenía.
Este documento describe la diversificación curricular como un proceso mediante el cual la comunidad educativa adecua el currículo nacional a la realidad local para atender la diversidad. Señala que la diversificación permite incorporar elementos regionales, culturales y de aprendizaje de los estudiantes para garantizar los aprendizajes básicos nacionales.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría la importación de petróleo ruso a la UE y también prohibiría a los buques europeos transportar petróleo ruso a otros lugares. Sin embargo, Hungría se opone al embargo al petróleo, lo que podría retrasar la aprobación del paquete de sanciones de la UE.
El documento invita a celebrar una Navidad diferente enfocada en Jesús, sugiriendo comprar un regalo extra "Para Jesús que vive en Ti" para darlo a alguien necesitado que Dios ponga en tu camino. Al dar el regalo y leer la etiqueta, se cumple el evangelio de servir a los demás como a Jesús. El autor espera que esta práctica traiga paz y enseñe sobre hacer feliz a Jesús a través de los demás.
Este documento trata sobre la sexualidad humana y los derechos sexuales. Explica que la sexualidad incluye el sexo, la identidad de género, el erotismo, la intimidad y la reproducción. También enumera varios derechos sexuales como la libertad, privacidad, placer y educación sexual. Discuten la responsabilidad sexual, las enfermedades de transmisión sexual y el aborto. Finalmente, enfatiza la importancia de la educación sexual para vivir la sexualidad de manera saludable y con respeto hacia los demás.
Reporte anual de gestión aiesec en colombia 2011 - 2012aiesecencolombia
El documento presenta el informe de gestión de AIESEC en Colombia para el período 2011-2012. Resume los logros de la organización, incluyendo haber entregado todos los proyectos planeados, haber crecido un 101% en el programa de intercambios, y haberse convertido en una organización capaz de garantizar un crecimiento sostenido. El equipo nacional MC START se enfocó en fortalecer el liderazgo, integrar la organización y preparar su expansión. AIESEC en Colombia está presente en 13 ciudades y 20 universidades, y
Este documento presenta un resumen de conceptos teóricos relacionados con los teoremas de energía, incluyendo el principio de los trabajos virtuales, el primer teorema de Castigliano, el teorema de Betti y el teorema de Maxwell. Explica estos teoremas y su aplicación al análisis de estructuras deformables elásticamente, así como ejemplos de su uso en el cálculo de deformaciones.
Conceptos basicos de la Resistencia de Materialesfelipegc27
Este documento presenta los principios básicos de la resistencia de materiales. Explica conceptos como el equilibrio estático, el principio de corte, las tensiones unitarias y sus componentes. También describe diferentes tipos de solicitaciones como la tracción, compresión y flexión pura. Define la hipótesis de resistencia de materiales y explica cómo se calculan las tensiones y deformaciones en cada caso de solicitación.
El documento presenta el contenido de la semana 7 del curso de Estática de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad César Vallejo. Incluye el análisis estructural de armaduras simples mediante los métodos de nudos y secciones, así como el análisis de armaduras espaciales. Se explican los conceptos teóricos y se proponen ejercicios prácticos para determinar fuerzas en miembros específicos de armaduras.
El documento presenta el contenido de la semana 7 del curso de Estática de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad César Vallejo. Incluye el análisis estructural de armaduras simples mediante los métodos de nudos y secciones, así como el análisis de armaduras espaciales. Se explican los conceptos y procedimientos para determinar las fuerzas internas en los miembros de armaduras planas y espaciales.
El documento describe conceptos básicos de la electricidad y la electrostática. Explica que la electricidad describe la interacción entre objetos cargados eléctricamente y que la electrostática se refiere a objetos cargados en reposo. También describe que la carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia asociada con electrones y protones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la mecánica de materiales, incluyendo grados de libertad, cálculo de reacciones, método de secciones, líneas de estado, principio de superposición y ejemplos de aplicación. También proporciona ejercicios propuestos para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos teóricos sobre la solicitación por flexión en vigas y perfiles metálicos. Explica los conceptos de flexión simple normal y oblicua, así como flexión compuesta y combinada con corte. Describe cómo calcular las tensiones, la posición del eje neutro y la sección resistente requerida para resistir diferentes momentos de flexión. El objetivo es proveer una guía teórica para los trabajos prácticos de la asignatura Estabilidad IIb.
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos. El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Este documento presenta conceptos sobre equilibrio de partículas y sistemas de fuerzas, incluyendo diagramas de cuerpo libre, ecuaciones de equilibrio y reducción de sistemas tridimensionales a un solo plano. También cubre momentos de fuerzas, incluyendo cálculo de momentos resultantes, uso de productos vectoriales y principios como el teorema de Varignon. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
El documento presenta un resumen de la lección 6 sobre diagramas de solicitudes en vigas. Explica conceptos clave como esfuerzo normal, cortante y momento flector, y cómo representarlos gráficamente en diagramas. También cubre la resolución estática de un pórtico con una viga y dos apoyos para calcular las reacciones y solicitudes en distintas secciones.
Este documento presenta un análisis estructural de vigas, incluyendo el cálculo de fuerzas internas como fuerza cortante y momento flector. Explica la relación entre la fuerza cortante y el momento flector a lo largo de una viga, y cómo calcular ambos efectos para diferentes cargas aplicadas. También presenta varios ejercicios de aplicación para determinar la distribución de fuerzas internas en vigas sometidas a cargas puntuales y distribuidas.
Este documento presenta los fundamentos de la resistencia de materiales, incluyendo el método general de la estática para resolver problemas de equilibrio de sólidos rígidos. Explica conceptos como apoyos, momentos y cortantes, y proporciona ejemplos de cálculo de reacciones, fuerzas cortantes y momentos flectores para vigas simplemente apoyadas y empotradas con diferentes tipos de cargas.
Este documento explica el concepto de líneas de influencia y cómo se utilizan para analizar estructuras sometidas a cargas móviles. Define las líneas de influencia como curvas que muestran cómo varían las fuerzas internas como reacciones, cortes y momentos a medida que una carga unitaria se desplaza por la estructura. Explica cómo trazar líneas de influencia para vigas estáticamente determinadas y da ejemplos de su aplicación en el análisis y diseño de puentes.
Este documento presenta el Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) y sus aplicaciones en el análisis de estructuras. Explica que el PTV establece que para un cuerpo en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas externas es igual al trabajo interno de deformación para cualquier deformación virtual compatible. Luego aplica el PTV al cálculo de deformaciones como desplazamientos y giros en vigas, mediante el uso de cargas auxiliares unitarias. Por último, presenta un ejemplo de cálculo de deformaciones en una viga.
Este documento presenta ejercicios para trazar diagramas de esfuerzos en estructuras simples. Comienza analizando una viga biapoyada, calculando las reacciones y esfuerzos mediante cortes. Luego introduce relaciones diferenciales para calcular cortantes y momentos. Finalmente, muestra cómo usar los valores en los cortes para graficar los diagramas de esfuerzos.
METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES.pdfmariavitriago
1. El método de las fuerzas (MF) permite resolver estructuras estáticamente indeterminadas agregando ecuaciones de compatibilidad de deformaciones a las ecuaciones de equilibrio. 2. El MF se basa en la flexibilidad de la estructura y usa el principio de superposición para descomponer el problema. 3. Los pasos del MF incluyen seleccionar una estructura primaria isostática, analizarla con cargas reales y unitarias, y establecer ecuaciones de compatibilidad para calcular fuerzas redundantes.
No puedo determinar cuál llegará primero con certeza con la información dada. Aunque todos tienen la misma masa y radio, otros factores como la forma, superficie de contacto, centro de masa, etc. también afectarán la velocidad con que ruedan y lleguen abajo. Se necesitaría más detalles sobre la forma y características de cada objeto para predecir cuál será el más rápido.
1) El método de la doble integración se usa para determinar la curva elástica de una viga sometida a flexión. Esto implica integrar dos veces la ecuación M(x)/EI para obtener la ecuación de la elástica.
2) El método de las funciones de singularidad permite plantear una sola ecuación de momento flector para varios tramos de carga, representando cada tramo con funciones especiales.
3) El principio de superposición establece que para una estructura elástica, las re
1. El documento explica el método de rigidez para analizar estructuras. Se describen las ecuaciones de rigidez que relacionan los desplazamientos de los nudos con los momentos en las barras. 2. Se analiza un ejemplo de estructura con 3 nudos y 3 barras para ilustrar cómo se determina el grado de desplazabilidad y las ecuaciones requeridas. 3. El ejemplo considera dos alternativas de vinculación y explica cómo cambian las incógnitas y ecuaciones para cada caso.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Inteligencia Artificial para Docentes HIA Ccesa007.pdf
Formula5
1. Versión 2004
CAPITULO 2
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
División 2
Conceptos de Equilibrio
Conceptos de Elasticidad
Modelos Matemáticos
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
2. Versión 2004
1. Introducción
La selección de un elemento de máquina es frecuentemente una actividad muy simple (o de
mediana complejidad) en la cual es necesario calcular sólo tensiones, deformaciones y quizás
desplazamientos para garantizar que en su vida de servicio, el elemento se comporte según
criterios establecidos. Sin embargo la primer etapa de este proceso consiste en estipular
adecuadamente las cargas, las restricciones y los lugares (secciones o puntos) donde existe
mayor riesgo de rotura en la pieza. Luego de ello se deberá plantear la estrategia de cálculo
adecuada siguiendo uno de dos esquemas: MODELOS DE RESISTENCIA DE
MATERIALES (Básico) o MODELOS DE LA TEORIA DE ELASTICIDAD (mejorados).
Las solicitaciones o cargas
Toda pieza que forma parte de una máquina se halla sometida a una serie de solicitaciones
que le confieren un determinado estado de desplazamientos, deformaciones y tensiones. Las
solicitaciones o cargas, dependiendo de su esencia y características pueden clasificarse en los
siguientes grupos
a) Según su Ubicación
a.1) Externas: son todo tipo de cargas que actúan fuera del contorno superficial de la
pieza o del dominio. Ejemplo: Cargas lineales, puntuales, etc.
a.2) Internas: Son todo tipo de cargas que actúan dentro del contorno superficial de la
pieza o del dominio. Ejemplo: Peso propio.
b) Forma de aplicación:
b.1) Puntuales: son aquellas cuya acción puede considerarse localizada (caso
idealizado)
b.2) Lineales: se hallan distribuidas en una línea (caso idealizado)
b.3) Superficiales: Se hallan distribuidas en una superficie. Las fuerzas de contacto
son un ejemplo clásico de este tipo de solicitaciones
b.4) Volumétricas: Se hallan distribuidas sobre un volumen. La gravedad y las fuerzas
inerciales son dos ejemplos clásicos de este tipo de fuerzas.
c) Según su tiempo de aplicación
c.1) Estáticas o estacionarias: Estas fuerzas no varían con el tiempo y se suponen
constantes siempre.
c.2) Quasi-estáticas: Van creciendo desde cero a su valor máximo siguiendo una
variación temporal muy lenta.
c.3) Transitorias: Estas cargas varían con el tiempo, sin embargo poseen características
de amortiguación que las conducen a un valor estacionario. Ejemplos de este tipo de
carga son las cargas por impacto, las cargas en los amortiguadores de un vehículo, etc.
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c.4) Cíclicas: Poseen una variación repetitiva en ciclos. Ejemplo: las cargas que
soporta el perno de pistón de una máquina de combustión interna.
d) Según el patrón de tensiones que origine
d.1) Normales: tractivas, compresivas o flexionales.
d.2) Transversales: por corte o por torsión
d.3) Mixtas: Normales y transversales.
e) Según su esencia física.
e.1) Mecánica: se lleva a cabo mediante contacto o aplicación de presiones
e.2) Térmica: Genera estados de tensiones por dilatación.
e.3) Magnética: Originada por campos electromagnéticos. Ejemplo los frenos
electrodinámicos.
Casos de carga a) y b)
Figura 2.3. Ejemplos típicos de diferentes tipos de carga
Figura 2.4. Reducción de una carga general como combinación de casos conocidos
En la Figura 2.3 se muestran ejemplos con los diferentes tipos de cargas enumeradas más
arriba. En la Figura 2.4 se puede apreciar una forma típica de reducción de una carga no
estándar a una combinación de casos conocidos. Se debe tener presente que esta clasificación
no es en absoluto rígida e inamovible, dado que se puede presentar en combinaciones de los
casos de cargas a) con los b) o con los c) y así siguiendo.
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Los vínculos y las reacciones de vínculo
Un “elemento de máquina”, por su misma concepción física, posee movimiento. Al ser
analizado, calculado, etc. tal elemento requiere de cumplimentar un conjunto de condiciones
para poder representar su funcionamiento con un esquema matemático. Es claro que el
“elemento de máquina” puede estar conectado a otras piezas de diferentes maneras para
cumplimentar diferentes acciones. Un ejemplo clásico de ello es una biela de un motor, la cual
se halla conectada a un pistón y a un cigüeñal.
Un vínculo es básicamente una restricción al movimiento, de tal forma que el cuerpo puede
quedar inmóvil y rígido en el espacio si se restringen todos los grados de libertad que posee.
Asociado con la restricción al movimiento, lo que significa fijar un desplazamiento de valor
determinado (casi siempre nulo), hay una fuerza o solicitación o carga denominada “reacción
de vínculo”.
Los vínculos se pueden clasificar según los grados de libertad que restrinjan o bien según las
reacciones de vínculo que presenten, dependiendo del tipo de movimiento que se favorezca,
así por ejemplo en el caso de elementos ubicados en un plano se tiene:
a) Biela o Cable: tanto una como otro poseen una reacción de vínculo de carga a lo largo
del eje de la misma, tal como se muestra en Figura 2.5.a.
b) Rodillo o corredera: posee una reacción en la dirección restringida, si se halla en un
plano, tal como se muestra en Figura 2.5.b
c) Articulación: Posee dos reacciones de carga en las direcciones restringidas, tal como
se ve en al Figura 2.5.c
d) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de tipo momento, según
se ve en la Figura 2.5.d
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2.5. Tipos de reacciones de vínculo posibles en el plano
Las reacciones de vínculo puestas en consideración en Figura 2.5, se pueden generalizar sin
complicaciones al caso tridimensional. Mayores detalles y más casos de vínculos se darán en
el Capítulo 3, donde se analizarán desde un punto de vista cinemático.
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2. El Equilibrio
El Equilibrio Estático
Una forma sencilla de analizar una pieza que posee movimiento, es considerarla estáticamente
equilibrada y/o determinada, lo cual significa conocer en un instante y circunstancias fijadas
todas (activas y reactivas) las fuerzas que actúan en la pieza.
Figura 2.6. Cuerpo Genérico sometido a la acción de cargas.
Entonces un cuerpo, como el de la Figura 2.6, se hallará en equilibrio estático cuando se
satisfagan las siguientes condiciones:
N
∑F = 0
i =1
i (2.12)
N N
∑M = ∑r × F = 0
i =1
i
i =1
i i (2.13)
Téngase presente que (2.12) y (2.13) poseen significado vectorial. Estas dos ecuaciones se
pueden descomponer en las siguientes seis:
N N N
∑F i =1
X = 0, ∑F
i =1
Y =0, ∑F
i =1
Z =0 (2.14.1-3)
N N N
∑M
i =1
X =0, ∑M
i =1
Y = 0, ∑M
i =1
Z =0 (2.15.1-3)
Un cuerpo que deba ser analizado en el espacio requiere del cumplimiento de las seis
ecuaciones (2.14.1-3) y (2.15.1-3). Si se pueden efectuar hipótesis de reducción para
representar el problema del equilibrio en un plano o bien en una línea, la cantidad de
ecuaciones a verificar será menor: Por ejemplo en el caso de una barra traccionada con eje
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coincidente con X, será necesario cumplir con (2.14.1), en cambio, en el caso de una viga con
eje en la dirección X, será necesario verificar las ecuaciones (2.14.1), (2.14.2) y (2.15.3).
El Equilibrio Dinámico
El caso de equilibrio más general, que también cubre al anterior, es el equilibrio dinámico. En
estas circunstancias se verificará equilibrio siempre que se cumplan las siguientes ecuaciones:
N
∑ F = m.a
i =1
i (2.16)
N N
dH
∑M = ∑r × F =
i =1
i
i =1
i i
dt
(2.17)
siendo en las dos anteriores m la masa, a la aceleración lineal y H el momento cinético. Es
claro que (2.16) y (2.17) reproducen (2.12) y (2.13) respectivamente, cuando existe
conservación de cantidad de movimiento (o momentum lineal) y momento cinético.
Análisis del equilibrio: Diagramas de cuerpo libre
Una de las formas típicas de efectuar un análisis del equilibrio es por medio de un diagrama
de cuerpo libre. Así como ejemplo en el Figura 2.7 se puede observar el caso simple de
equilibrio estático de un freno de doble zapata externa junto con su diagrama de cuerpo libre
en cada una de sus partes constituyentes.
(a) (b)
Figura 2.7. Ejemplo de diagrama de cuerpo libre y su descomposición en partes constituyentes.
(Extractada de Figura 2.6 referencia [2])
En la Figura 2.7 se observa la representación esquemática del freno de zapatas externas y sus
diagramas de cuerpo libre. En la Figura 2.8 se puede apreciar un problema real de análisis de
un pedal de accionamiento y su diagrama de cuerpo libre asociado. Estos dos ejemplos
muestran dos facetas importantes del diagrama de cuerpo libre como modelo reducido de la
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realidad. El primero obtiene el diagrama de cuerpo libre desde un esquema y el segundo
directamente de la realidad. En el segundo caso también se podría haber efectuado un
esquema simplificativo previo al diagrama de cuerpo libre (Ver Figura 2.9), sin embargo la
simplicidad del caso no lo amerita. Para un análisis profundo y claro es necesario ser prudente
a la hora de prescindir de un esquema.
(a) (b)
Figura 2.8. Ejemplo de realidad y su diagrama de cuerpo libre asociado.
Figura 2.9. Esquema simplificado del caso de la Figura 2.8.
Ahora bien establecidos los diagramas o modelos sintetizados de la estructura o pieza, se
impondrán a ella las correspondientes condiciones de equilibrio que el problema amerite, las
(2.12) y (2.13) o las (2.16) y (2.17) según sea estático o dinámico respectivamente.
La selección del modelo de cálculo: Resistencia de Materiales o Mecánica
del continuo
Una vez asegurado el equilibrio se deberá efectuar el análisis por resistencia, involucrando los
conceptos, modelos y enfoques de resistencia de materiales. En estas circunstancias es
necesario determinar de acuerdo con la forma de la pieza, el modo deformación relevante:
tractivos, compresivos, cortantes, flexionales, torsionales, de pandeo, etc. a la vez de
determinar sus correspondientes estados de esfuerzos internos y de tensiones. Es claro que
para efectuar el análisis siguiendo alguno de los casos de deformación mencionados, la pieza
se debe ajustar fuertemente a las hipótesis que se imponen para los casos de deformación
mencionados. Tales hipótesis son, en determinadas circunstancias, difíciles de cumplimentar
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en piezas reales que poseen geometría bastante apartada al modelo - a modo de ejemplo - de
viga bajo torsión o flexión. En estos casos es necesario recurrir a otras formas de análisis o
cálculo, disponibles en la Teoría de Elasticidad bidimensionales o tridimensionales, que son la
base fundamental para entender los cálculos de los programas de Elementos Finitos, mediante
metodologías de CAD-CAM-CAE.
Para aclarar el interrogante de que modelo utilizar se puede observar la Figura 2.10, donde se
exponen los particulares de selección y preferencia de un criterio de modelación por sobre
otro. Es decir que los modelos basados en descripciones 2D o 3D de la teoría de la elasticidad,
empleando principios de mecánica del contínuo poseen mayor grado de representatividad
(entiéndase cercanía con la realidad que modelan) que su contraparte unidimensional más
típica de las teorías simplificadas de resistencia de materiales. Sin embargo tales modelos
tienen la desventaja de no ser reducibles al uso de simples fórmulas de cálculo, debiendo ser
resueltos en plataformas computacionales por métodos numéricos.
Figura 2.10. Esquema de selección de modelos de cálculo.
En la Figura 2.11 se muestra el enfoque de modelación de un diente de engranaje basado en
una teoría de resistencia de materiales, reduciendo el modelo físico a un modelo de viga
empotrada-libre resistiendo por flexión. Nótese que esta simplificación es muy restrictiva y
como se verá en el capítulo de dimensionado de engranajes, requiere de una serie de
modificaciones (entiéndase coeficientes de forma o concentraciones de tensiones, etc.) para
acercar el modelo a los estados de tensiones existentes en el diente del engranaje. En las
Figuras 2.12 y 2.13 se muestran modelos de la elasticidad 2D y 3D respectivamente,
empleando el método de elementos finitos para la solución de las ecuaciones de la elasticidad
correspondientes. Nótese que en estos últimos dos casos la representación geométrica es casi
similar a la realidad que se pretende modelar a diferencia del caso de la Figura 2.11.
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Figura 2.11. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Unidimensional.
Figura 2.12. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Bidimensional. (Referencia [4])
Figura 2.13. Cálculo de Engranajes: Ejemplo de Modelo Tridimensional. (Referencia [5])
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3. Revisión de Principios de Elasticidad
Breves Conceptos Introductorios y Nociones del Medio Continuo
En este apartado se describen sucintamente algunos tópicos de elasticidad lineal. En el
trascurso de tal descripción no se abundará en detalles precisos de deducciones ni
demostraciones por considerarlas fuera de los alcances de estas notas de curso, sin embargo el
lector interesado podrá recurrir a la bibliografía indicada oportunamente para obtener mayores
explicaciones. En consecuencia el material de estas notas tendrá solamente el ánimo de ser
sustancialmente sintético y suficiente como para servir de repaso a los homónimos contenidos
de las asignaturas de Estabilidad I y II, a la vez de sustentar las bases para las explicaciones de
determinadas correcciones a las teorías de resistencia de materiales, como por ejemplo, el uso
de factores de concentración de tensiones, etc.
Los conceptos que se utilizarán en este apartado del Capítulo 2, son más generales que los
involucrados en las teorías de Resistencia de Materiales, y estas últimas, como se verá son
casos particulares de los modelos derivados de la teoría de la Elasticidad.
Luego de seguir los cursos de resistencia de materiales, se puede entender claramente, que un
cuerpo sometido a la acción de solicitaciones (activas o reactivas) presentará un estado de
tensiones internas en cada punto, que desaparecerá si desaparece el estado de solicitación,
obviamente en tanto que el material se comporte en forma lineal elástica. Asociado con el
estado particular de tensiones existe un estado particular de deformaciones y un estado de
desplazamientos, propios del tipo de solicitación ejercida. Para identificar con mayor claridad
este punto, considérense los ejemplos que se muestran en la Figura 2.14, de un mismo cuerpo
(una viga) sometido a dos solicitaciones distintas, una tractiva y la otra flexional. La Viga
posee longitud L, área A y momento de inercia I.
Figura 2.14. Ejemplo de diferentes solicitaciones y estados de tensiones en una misma pieza
En la Tabla 2.3 se puede apreciar las diferencias entre el estado tensional, las deformaciones y
los desplazamientos en todo el dominio, siguiendo las teorías típicas de resistencia de
materiales. Nótese que en el caso de flexión el desplazamiento lateral flexional, depende solo
de la variable axial x.
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Caso de Tracción Caso de Flexión
P P( L − x) y
Valor de la Tensión σ xx ( x) = σ xx ( x, y ) =
A I
P ∆L P ( L − x) y
Valor de las deformaciones ε xx ( x) = = ε xx ( x, y ) =
EA L EI
P ∆L P (3 L − x ) x 2
Valor de los desplazamientos u x ( x) = x= x u y ( x, y ) =
EA L 6 EI
Tabla 2.3. Comparación de los estados de tensión, deformación y desplazamiento para tracción y flexión.
En los casos expuestos en Tabla 2.3, queda claro que los valores de tensiones, deformaciones
y desplazamientos, son los más representativos para las hipótesis que oportunamente fueron
hechas al elaborar los modelos simplificados bajo criterios de resistencia de materiales. Esto
significa que existen tensiones, deformaciones y desplazamientos en otras direcciones cuyos
valores son muy pequeños y pueden considerarse nulos frente a los presentados en Tabla 2.3.
Sin embargo, para cuerpos de forma general no se puede asegurar la simplicidad de
representación, antes bien, la forma matemática que adoptan los desplazamientos,
deformaciones y tensiones, será compleja y en el común de tales casos no será posible
obtenerla como una función algebraica. A su vez, en casos generales, si la complejidad
geométrica del cuerpo o pieza es importante no será posible despreciar componentes de
tensión frente a otras, de no ser que exista plena seguridad del comportamiento o una
condición geométrica que lo avale.
Para no abundar en mayores prólogos se darán a continuación esbozos muy elementales de
conceptos de mecánica del continuo para poder entender algunos aspectos claves y básicos de
modelación computacional.
La definición convencional de medio continuo, lo concibe como a un conjunto de partículas
que forman parte de un sólido (pudiendo ser también un líquido o un gas según sea el caso)
que se analiza sin que exista o se presuponga discontinuidad entre las partículas que lo
componen. Esto significa que toda la representación analítica-matemática del medio
contínuo se puede llevar a cabo con funciones continuas.
Los desplazamientos, deformaciones y tensiones de un cuerpo, tendrán entonces la forma de
funciones continuas. Cada punto del cuerpo tendrá un conjunto de entidades que definirán su
estado de tensiones y de deformaciones y desplazamientos. Tales entidades que pueden ser
vectoriales o tensoriales son representadas en la Tabla 2.4, con las componentes del
desplazamiento, de la deformación y de la tensión en un punto. Así, se puede observar que el
desplazamiento de un punto vendrá dado por tres componentes asociadas a todo vector en el
espacio. La deformación y la tensión, cada una viene representada por nueve componentes de
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los denominados tensores de deformación y de tensión. Estos tensores se representan
matemáticamente con formas matriciales.
Entidad (Vectorial o Tensorial) Componentes de la Entidad
Desplazamiento (Vectorial) u = {u x , u y , u z }
ε xx ε xy ε xz
Deformación (Tensorial) ε = ε yx ε yy ε yz
ε zx ε zy ε zz
σ xx σ xy σ xz
Tensión (Tensorial) σ = σ yx σ yy σ yz
σ zx σ zy σ zz
Tabla 2.4. Elenco de Variables en un punto material de un cuerpo
Para identificar la ubicación de las componentes de los tensores de deformación y de tensión
se recurrirá a la Figura 2.15, donde se muestra el significado de los subíndices en un ejemplo
del plano XY.
Figura 2.15. Convención de las componentes de tensión (idem para deformación).
En la Figura 2.15 se puede apreciar la distribución de las componentes del tensor de tensiones
en un elemento diferencial de volumen. Por equilibrio de momentos, empleando (2.15) se
pueden obtener las siguientes relaciones:
σ xy = σ yx
σ xz = σ zx (2.18)
σ zy = σ yz
Otro tanto puede demostrarse para las componentes de deformación (ver referencia [6],
cap.2), en consecuencia:
ε xy = ε yx
ε xz = ε zx (2.19)
ε zy = ε yz
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Figura 2.16. Descripción de las componentes de tensión en un cubo elemental.
Ecuaciones de equilibrio interno estático
Así pues, un cuerpo bajo solicitación estática tendrá un estado de equilibrio particular y
determinado que puede representarse en función de las tensiones producidas por las
solicitaciones. Tal estado de equilibrio viene dado por el siguiente conjunto de ecuaciones
diferenciales.
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+ + + fx = 0
∂x ∂y ∂z
∂σ yx ∂σ yy ∂σ yz
+ + + fy = 0 (2.20)
∂x ∂y ∂z
∂σ zx ∂σ zy ∂σ zz
+ + + fz = 0
∂x ∂y ∂z
Siendo fx, fy y fz las fuerzas distribuidas por unidad de volumen y σij las tensiones actuantes en
un punto proyectadas en las direcciones del sistema de referencia
Para entender de donde surgen estas ecuaciones se deducirá la primera de ellas. Si se observa
el elemento de volumen diferencial de la Figura 2.17, se podrá notar que empleando la
ecuación (2.14.1) correspondiente al equilibrio estático en la dirección X, se tendrá:
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
∑ FX = σ xx +
∂x
dx dydz + σ xy +
∂y
dy dxdz + σ xz +
∂z
dz dxdy
(2.21)
− σ xx dydz − σ xy dxdz − σ xz dxdz + f x dV = 0
Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen
elemental dV=dxdydz, se obtendrá la ecuación (2.22) que es la primera de las (2.20).
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+ + + fx = 0 (2.22)
∂x ∂y ∂z
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La obtención de las restantes dos ecuaciones de (2.20) se deja al lector dado que el
procedimiento es el mismo, obviamente recurriendo a las ecuaciones (2.14.2) y (2.14.3)
respectivamente.
En resumen el equilibrio interno de un cuerpo sometido por cargas
estáticas, queda definido si se cumplen las ecuaciones (2.18) y (2.20).
Ecuaciones de Equilibrio Externo.
El cuerpo no solamente se hallará bajo tensiones internas, sino que al estar vinculado al
medio, deberá verificar un equilibrio entre las tensiones externas actuantes en el contorno del
mismo. Estas ecuaciones vienen dadas por la siguiente expresión:
σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z = Tx
σ yx n x + σ yy n y + σ yz n z = T y (2.23)
σ zx n x + σ zy n y + σ zz n z = Tz
siendo {nx, ny, nz} las componentes del vector normal al plano oblicuo α (ver Figura 2.17) y
{Tx, Ty, Tz} son las componentes del vector de tensión distribuida en la superficie.
Para deducir la primer ecuación de (2.23), se efectúa el equilibrio de fuerzas actuantes la
dirección X según se muestra en la Figura 2.17. De manera que empleando la (2.14.1) se
obtiene:
∑F X = − σ xx n x dA − σ xy n y dA − σ xz n z dA + Tx dA = 0 (2.24)
Simplificando términos de igual valor y dividiendo ambos miembros por el volumen
elemental dA, se obtendrá la ecuación (2.25) que es la primera de las (2.23).
σ xx n x + σ xy n y + σ xz n z = Tx (2.25)
Figura 2.17. Descripción de las componentes de tensión superficial.
La ecuación (2.23) se puede escribir de la siguiente forma matricial:
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σ xx σ xy σ xz n x Tx
σ σ σ n = T (2.26)
yx yy yz y y
σ zx σ zy σ zz n z Tz
Esta expresión es de mucha utilidad para entender la obtención de las tensiones principales en
un punto.
Las tensiones principales
Si se considera un estado tensional particular en un punto cualquiera P, como por ejemplo el
que se muestra en la Figura 2.18 (recordar que se trata de un volumen diferencial), en tal
punto serán las tensiones principales cuando el tensor de tensiones quede diagonalizado, es
decir cuando se puede obtener la transformación (2.27), mientras que las direcciones
principales serán las direcciones asociadas con cada tensión principal, las cuales son
ortonormales las unas a las otras.
σ xx σ xy σ xz σ 1 0 0
σ σ σ ⇒ 0 σ 0 (2.27)
yx yy yz 2
0 0 σ
σ zx σ zy σ zz
3
Figura 2.18. Punto P y plano de tensiones principales.
En (2.27) se cumple que σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Para obtener el tensor de tensiones diagonalizado, se
puede recurrir a la expresión (2.26) en la cual el vector de fuerzas por unidad de superficie se
recompone en función del vector unitario normal del plano y una constante “σ”. Es decir:
Tx n x σ 0 0 n x
T y = σ n y = 0 σ 0 n y (2.29)
Tz
n z 0 0 σ n z
Entonces, reemplazando (2.29) en (2.26) y operando queda:
σ xx − σ σ xy σ xz n x 0
σ
σ yy − σ σ yz n y = ∆ .n = 0
ˆ (2.30)
yx
0
σ zx
σ zy σ zz − σ n z
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Se puede observar que (2.30) es la forma canónica para la resolución del problema de
autovalores. De tal forma que para que exista solución se debe cumplir que:
Det ∆ . = 0 (2.31)
Luego se obtendrá la ecuación característica del problema de autovalores:
σ 3 − I 1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0 (2.32)
donde I1, I2 e I3 son los invariantes de primer, segundo y tercer orden dados por:
I 1 = σ xx + σ yy + σ zz
I 2 = σ xxσ yy + σ zzσ yy + σ xxσ zz − σ xy − σ yz − σ xz
2 2 2
(2.33)
I 3 = σ xxσ yyσ zz − σ xxσ 2
yz − σ yyσ 2
xz − σ zz σ 2
xy + 2σ xyσ yzσ xz
De las raíces la ecuación (2.32) se obtiene los valores de las tensiones σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
Si se posee un sistema de álgebra simbólica como por ejemplo Mathematica o Matlab, se
puede resolver directamente el problema de autovalores y autovectores. Los autovectores
corresponderán a las direcciones principales.
Se recordará que en un estado de tensiones principales, las tensiones cortantes son nulas. Sin
embargo las tensiones cortantes máximas se pueden obtener en función de las tensiones
principales de la siguiente manera
σ1 −σ 2 σ 2 −σ3 σ1 −σ 3
σ 1, 2 = , σ 2,3 = , σ 1,3 = (2.34)
2 2 2
Es claro que las (2.34) tendrán siempre valores positivos, en tanto que se cumpla σ1 ≥ σ2 ≥ σ3.
En la Figura 2.19 se puede apreciar la representación del estado de tensiones principales y las
tensiones de corte máximas.
Figura 2.19. Representación del estado de tensiones principales y las tensiones de corte máximas.
Si se suprimen las tensiones en la dirección Z (es decir σzx, σzy y σzz) se obtendrá el clásico
diagrama del círculo de Mohr, del cual no se abundará en material teórico por considerarlo
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17. Versión 2004
suficientemente descripto en los cursos de Estabilidad I y II. Sin embargo en el Apéndice 3, se
ofrece material suplementario para el cálculo de tensiones principales en dos o tres
dimensiones.
Las tensiones en planos octaédricos
En ciertas circunstancias es muy útil representar las tensiones en un volumen octaédrico en
vez de un elemento cúbico con las tensiones principales. En la Figura 2.20 se muestra la
orientación delos planos octaédricos y su relación con los planos del cubo convencional, de tal
manera que las tensiones en un plano octaédrico vienen representadas por solo dos
componentes. Estas componentes octaédricas son la tensión normal octaédrica σno y la
tensión tangencial octaédrica σto, las cuales son las mismas para cada plano octaédrico,
según se desprende de la Figura 2.20. Esto significa que:
- Las ocho tensiones normales octaédricas tienden a comprimir o a estirar el octaedro
pero no lo distorsionan.
- Las ocho tensiones tangenciales octaédricas distorsionan el octaedro pero no
modifican su volumen.
Las tensiones octaédricas se calculan de la siguiente forma.
σ no =
1
(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 1 (σ xx + σ yy + σ zz )
3 3
σ to =
1
3
(
(σ xx − σ yy )2 + (σ xx − σ zz )2 + (σ zz − σ yy )2 + 6 σ xy + σ yz + σ xz
2 2 2
) (2.35)
1
σ to = (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2 = 2 σ 12, 2 + σ 12,3 + σ 22,3
3 3
Figura 2.20. Representación del estado de tensiones octaédricas.
El verdadero impacto e importancia de las tensiones octaédricas se verá en el planteo de las
teorías de rotura en los próximos capítulos.
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18. Versión 2004
El tensor de deformaciones
Se recordará del curso de Resistencia de Materiales, que la deformación unitaria axial (ε) se
define matemáticamente como:
Elongación promedio
ε= (2.36)
Longitud original
Si se observa la Figura 2.21.a se podrá concluir que las deformaciones normales en las tres
direcciones de referencia serán
δx δy δz
ε xx = lim , ε yy = lim , ε zz = lim (2.37)
x →0 x y →0 y z →0 z
Si se observa la Figura 2.21.b (referida estrictamente a lo que ocurre en los planos
perpendiculares al eje Z), las deformaciones transversales serán dadas
δy δz δx
γ xy = lim
x →0 x
[ ]
= tan θ yx ≈ θ yx , γ yz = lim
y →0 y
[ ]
= tan θ yz ≈ θ yz , γ zx = lim
z →0 z
= tan[θ zx ] ≈ θ zx (2.38)
δz δx δy
γ xz = lim
x →0 x
= tan[θ xz ] ≈ θ xz , γ yx = lim
y →0 y
[ ]
= tan θ yx ≈ θ yx , γ zy = lim
z →0 z
[ ]
= tan θ zy ≈ θ zy (2.39)
Recuérdese que las expresiones (2.38) y (2.39) se verificarán siempre y cuando se considere
desplazamientos y deformaciones infinitesimales. Nótese que en la Figura 2.21.a se indica a
su vez el efecto Poisson.
(a) (b)
Figura 2.21. Representación de las deformaciones unitarias normales y transversales (en sentido ingenieril).
En la Tabla 2.4, se ha introducido el tensor de deformaciones como entidad para identificar
las variables puestas en juego en el problema de elasticidad. En el tensor de deformaciones
εxy, εxz, εyx, εyz, εzx y εzy representan deformaciones transversales, sin embargo en las
expresiones (2.38) y (2.39) las deformaciones transversales se han representado con otros
símbolos, es decir γxy, γxz, γyx, γyz, γzx y γzy La diferencia entre las primeras y las segundas
(denominadas representación ingenieril de las deformaciones transversales) se pone de
manifiesto en la Figura 2.22 comparándola con la Figura 2.21.b y cuya descripción
matemática se rige por la siguiente expresión:
γ ij = 2ε ij (2.40)
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19. Versión 2004
Figura 2.22. Representación de las deformaciones unitarias
En consecuencia el tensor de deformaciones puede ser representado por alguna de las
siguientes expresiones.
ε xx ε xy ε xz ε xx γ xy / 2 γ xz / 2
ε = ε yx ε yy ε yz = γ yx / 2 ε yy γ yz / 2 (2.41)
ε zx ε zy ε zz γ zx / 2 γ zy / 2 ε zz
De la misma manera que se ha hecho para el tensor de tensiones, con el tensor de
deformaciones se puede obtener un estado de deformaciones principales, por medio de la
diagonalización ε , o bien resolviendo el problema de autovalores y de autovectores asociado
con la matriz ε .
La concepción del tensor de deformaciones dada por las ecuaciones (2.36) a (2.39), se ha
efectuado según planteos geométricos simplificados (siguiendo algunos esquemas de la
referencia [2]), que permiten entender gráfica e intuitivamente el concepto de deformación y
sus diferentes componentes a partir de las Figuras 2.21 y 2.22. No obstante los componentes
del tensor de deformaciones (2.41) se pueden representar en una forma más apropiada para
efectuar cálculos y describir los modelos de comportamiento. Esta forma de representación
recurre a las funciones de los desplazamientos en los puntos del cuerpo (ver referencia [6]),
que vienen definidos por las siguientes expresiones:
desp. dir. X = u x ( x, y, z )
desp. dir. Y = u y ( x, y, z ) (2.42)
desp. dir. Z = u z ( x, y, z )
Con los desplazamientos (2.42) se pueden obtener los componentes del tensor de
deformaciones de la siguiente manera (ver referencia [6]):
∂u x
ε xx = ∂x
∂u y
Normales ⇒ ε yy = (2.43)
∂y
ε = ∂u z
zz
∂z
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20. Versión 2004
γ xy γ yx 1 ∂u x ∂u y
ε xy = ε yx = = = +
2 2 2 ∂y
∂x
γ xz γ xz 1 ∂u x ∂u z
Tangenciales ⇒ ε xz = ε zx = = = + (2.44)
2 2 2 ∂z ∂x
γ yz γ zy 1 ∂u z ∂u y
ε yz = ε zy = = = +
2 2 2 ∂y
∂z
Si se conociera el campo de desplazamiento (2.42) se podrían conocer las deformaciones en
cada punto y en consecuencia el tensor de deformaciones. Sin embargo aun conociendo las
deformaciones es necesario que las mismas verifiquen las condiciones de compatibilidad
(2.45), las cuales son imprescindibles para garantizar que en todo punto exista un solo estado
de desplazamientos, deformaciones y tensiones, para evitar configuraciones de deformación
como la que se muestra en la Figura 2.23
∂ 2 ε yy ∂ 2 ε zz ∂ ε yz
2
+ −2 =0
∂z 2 ∂y 2 ∂z∂y
∂ 2 ε xx ∂ 2 ε zz ∂ 2 ε xz
+ −2 =0
∂z 2 ∂x 2 ∂z∂x
∂ 2 ε yy ∂ 2 ε xx ∂ 2 ε xy
+ −2 =0
∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y
(2.45)
∂ 2 ε zz ∂ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy
− + + − =0
∂x∂y ∂z ∂x
∂y ∂z
∂ ε yy ∂ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy
2
− + − + =0
∂x∂z ∂y ∂x
∂y ∂z
∂ ε xx ∂ ∂ε yz ∂ε xz ∂ε xy
2
− + − + + =0
∂z∂y ∂x ∂x
∂y ∂z
Figura 2.23. Deformaciones-desplazamientos compatibles (a) y no compatibles (b) para
Las Ecuaciones constitutivas
Las ecuaciones constitutivas identifican matemáticamente el comportamiento del material,
relacionando los estados de tensiones con los estados de deformaciones. La ley de Hooke
dada por la ecuación (2.46), es una ecuación constitutiva para el problema de tensiones
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21. Versión 2004
uniaxiales, siendo σ, E y ε, valores escalares que representan la tensión axial normal, el
módulo de elasticidad normal y la deformación axial, respectivamente.
σ = Eε (2.46)
Ahora bien en la expresión (2.47) y (2.48) se representan las formas genéricas
tridimensionales de tensiones a deformaciones y viceversa
σ = Dε (2.47)
ε = Cσ (2.48)
Donde
σ = { xx , σ yy , σ zz , σ yz , σ xz , σ xy }
σ (2.49)
ε = {ε xx , ε yy , ε zz , γ yz , γ xz , γ xy } = {ε xx , ε yy , ε zz ,2ε yz ,2ε xz ,2ε xy } (2.50)
1 − ν ν ν 0 0 0
ν 1 −ν ν 0 0 0
E ν ν 1 −ν 0 0 0
D = 1 −ν (2.51)
(1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0 0
0
0 0
2
0
0
1 −ν
0
0
2
0
0 0 0 0 1 −ν
2
1 −ν −ν 0 0 0
− ν 1 − ν 0 0 0
1 − ν − ν 1 0 0 0
C = D −1 = 0 0 0 2(1 + ν ) 0 0 (2.52)
E
0 0 0 0 2(1 + ν ) 0
0 0 0
0 0 2(1 + ν )
Siendo E y ν el módulo de elasticidad normal y el coeficiente de Poisson respectivamente.
Nótese que (2.52) se puede obtener como la inversa de (2.51) y viceversa.
Se debe tener siempre presente la diferencia entre σ y σ o ε y ε . En el caso de una barra
sobre la letra, se entiende un vector en el sentido de las expresiones (2.49) o (2.50), pero en el
caso de doble barra sobre la letra se tratará de un tensor como en la Tabla 2.4.
Las expresiones (2.47) y (2.48) se entenderán válidas para un material isótropo, homogéneo y
lineal, tal como el acero, aluminio, bronce, etc. Para materiales de diferente composición y
macroestructura, como los materiales compuestos, se verifican otro tipo de leyes como las que
se pueden seguir en la referencia [7]
De (2.47) y (2.48) se pueden reducir varios casos particulares:
a) Estado uni-axial de tensión: El caso típico de tracción, compresión. Se obtiene de (2.47)
anulando toda tensión de (2.49) excepto la axial σxx queda:
σ xx = Eε xx (2.53)
ν
ε yy = ε zz = − σ xx (2.54)
E
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22. Versión 2004
b) Estado de tensión de corte puro. Se define un plano donde se ejerce la tensión de corte,
por ejemplo el plano XY luego las restantes componentes de (2.49) se suponen nulas
quedando:
E
σ xy = γ xy = Gγ xy (2.55)
2(1 + ν )
donde G es el módulo de elasticidad transversal.
c) Estado Plano de Tensión: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo XY,
fuera del cual las tensiones son nulas, es decir que en (2.49) se suponen nulas σxz, σzz y σyz. En
consecuencia, (2.47) se reduce a:
σ xx 1 ν 0 ε xx
E
σ yy = ν 1 0 ε yy (2.56)
σ xy 1 − ν
2
( ) 0 0 (1 − ν ) / 2 γ
xy
ν
ε zz = − (σ xx + σ yy ) (2.57)
E
d) Estado Plano de deformación: Se obtiene suponiendo un plano de acción, por ejemplo
XY, fuera del cual las deformaciones son nulas, es decir que en (2.50) se suponen nulas εxz, εzz
y εyz. En consecuencia, (2.47) se reduce a:
σ xx 1 − ν ν 0 ε xx
E
σ yy = ν 1 −ν 0 ε yy (2.58)
σ xy (1 + ν )(1 − 2ν ) 0
0 1 −ν
2 γ
xy
Eν
σ zz = (ε + ε ) (2.59)
(1 + ν )(1 − 2ν ) xx yy
Solución del problema de elasticidad
La solución del problema de elasticidad de un cuerpo cualquiera cuya superficie es definida
por n = {n x , n y , n z }, implica obtener valores en todo el cuerpo a las siguientes entidades:
ˆ
{σ xx , σ yy , σ zz , σ yz , σ xz , σ xy , ε xx , ε yy , ε zz , ε yz , ε xz , ε xy , u x , u y , u z } (2.60)
en función de los datos del material {E, G, ν} y en función de las condiciones de solicitación
siguientes:
{f x , f y , f z }{ x , T y , Tz }
,T (2.61)
Para ello se debe recurrir a satisfacer en forma conjunta las ecuaciones (2.20), (2.23), (2.43),
(2.44), (2.45), (2.47) y (2.48). Es decir que se tiene que verificar, el equilibrio interno, el
equilibrio externo, compatibilidad de desplazamientos y deformaciones y la ley de Hooke.
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23. Versión 2004
Existen diferentes formas para resolver tal conjunto de ecuaciones para poder obtener (2.60),
sin embargo la solución exacta en términos de desplazamientos, aún para casos de geometría
relativamente simple, implica la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden a
derivadas parciales. La respuesta a tal problema no se obtiene con una fórmula simple y
elegante al estilo de los problemas de flexión de vigas según la teoría de Bernouilli-Euler.
Para resolver problemas reales con solicitaciones complejas y geometría compleja se necesita
otro enfoque. Tal enfoque reside en los métodos numéricos, como el método de elementos
finitos, que a pesar de ser un método de solución aproximada, permite resolver con solvencia
y facilidad la gran mayoría de problemas de diseño y cálculo de ingeniería mecánica.
Por otro lado una de las formas de resolver el problema de la elasticidad para configuraciones
simples, y que también está relacionado con el método de elementos finitos, se realiza
mediante la suposición “a priori” de un campo de desplazamiento que represente la
cinemática del problema en cuestión. Sin embargo es necesario que el campo de
desplazamientos con el cual se obtendrán las deformaciones y luego las tensiones (mediante la
ley de Hooke), de todos los posibles campos de desplazamientos imaginables, debe cumplir
con una condición de minimizar la energía de deformación total del cuerpo que se pretende
estudiar. Para ello es fundamental revisar algunos aspectos de los métodos energéticos.
4. Métodos Energéticos
La Energía de deformación
La energía de deformación total para un cuerpo de volumen V, se recordará de Estabilidad II,
viene definida por medio de la siguiente expresión:
U=
1
∫(σ xxε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + σ xyγ xy + σ xzγ xz + σ yzγ yz )dV = 1 (σ ⋅ ε )dV
∫ (2.62)
2V 2V
La deducción de esta expresión puede verse en las referencias [3,5,8]. A su vez se puede
reemplazar en (2.62) la (2.47) o la (2.48) para obtenerla en función de las deformaciones o en
función de las tensiones, respectivamente. Estas expresiones se pueden ver en el Apéndice 3.
La energía de deformación es generada por el conjunto de solicitaciones que actúan sobre el
cuerpo, y éstas son cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz}, las cargas por unidad de
superficie {Tx, Ty, Tz} y las cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}. Cuando estas cargas
desaparecen la energía de deformación es restituida en forma de trabajo. El trabajo generado
por todas las cargas viene dado por la siguiente expresión:
NP
WP = − (u ⋅ f )dV −
∫ ∫ (u ⋅ T )dV − ∑ u ⋅ P i i (2.63)
V S
i =1
donde u = {u x , u y , u z } es el vector de desplazamiento genérico del cuerpo y u i = {u xi , u yi , u zi }
es el vector desplazamiento de un punto donde se aplican cargas puntuales. En (2.63), V, S y
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24. Versión 2004
NP son el volumen del dominio, la superficie del dominio y el número de cargas puntuales
actuantes.
El teorema de Castigliano
Una de las aplicaciones más conocidas del concepto de energía de deformación es el empleo
del denominado método de Castigliano para la obtención de desplazamientos (y rotaciones)
en configuraciones de barras relativamente complejas. Para ello es necesario disponer la
(2.62) del sistema en función de las solicitaciones, de tal manera que el desplazamiento (o
rotación) en un punto donde actúa una carga Q (o momento), vendrá dado por la siguiente
expresión:
∂U
δi = , donde i es la carga i-esima en el punto i-esimo (2.64)
∂Qi
Para la aplicación práctica de (2.64) se recordarán las siguientes reglas:
1) Obtener la energía de deformación total (2.62) en función de todas las cargas
actuantes, es decir fuerzas normales y cortantes, momentos flectores y torsores (para
ello emplear los valores de energía de Tabla 2.5, para casos particulares) .
2) Emplear fuerzas ficticias para el cálculo de desplazamientos en puntos donde no actúa
ninguna carga. (recuérdese que estas fuerzas ficticias influyen el cálculo de momentos
y diagramas de cuerpo libre)
3) Recurrir a la expresión (2.64) y despejar el valor del desplazamiento deseado. Si la
carga actuante en tal punto es ficticia, se impone su nulidad (Qi=0).
Tipo de Expresión general para la Expresión de Energía de
Entidades
carga Energía de deformación deformación (sec. constante)
L P2
Axial P, E, A
L σ xx
2
U= ∫ 0
2 EA dx
U= ∫∫
0
A 2E
dAdx
L M2
Flexional M, E, I U= ∫ 0
2 EI dx
L σ xθ
2
L T2
Torsional T, G, J U= ∫∫
0
A 2G
dAdx
U= ∫ 0
2GJ dx
Cortante L 3Q 2
transversal
(Rectángulo)
Q, G, A
L σ xy
2
U= ∫ 0
5GA dx
Cortante
U= ∫∫
0
A 2G
dAdx
L 7Q 2
transversal
(círculo)
Q, G, A U= ∫0
10GA dx
Tabla 2.5. Algunos casos particulares de energía de deformación para vigas o barras
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25. Versión 2004
En la Tabla 2.5, las entidades E y G significan son los módulos de elasticidad normal y
transversal. P, M, T y Q son la fuerza axial, el momento flector, el momento torsor y la fuerza
de corte respectivamente. Además A, I y J son área, momento de inercia axial y momento de
inercia polar. En el Apéndice 3 se extienden algunos tópicos a modo ilustrativo y como
referencia para los trabajos prácticos. En la Guía de Ejercicios N° 3 se verán algunos casos
para resolver en forma práctica.
Principio de la mínima energía potencial total
Un cuerpo como el de la Figura 2.3 sometido a las cargas por unidad de volumen {fx, fy, fz} a
las cargas por unidad de superficie {Tx, Ty, Tz} y a cargas puntuales Pi = {Pxi, Pyi, Pzi}poseerá
una energía de deformación dada por (2.62) y un trabajo de las cargas externas dado por la
expresión (2.63). La energía potencial total de un cuerpo es la suma de ambas. Es decir:
Π = U + WP (2.65)
Ahora bien, el principio de mínima energía potencial total establece que “de todas las
posibles configuraciones de un campo de desplazamientos u en un sistema conservativo,
la configuración que corresponde al equilibrio es la que hace mínima la energía
potencial total”. Es decir:
∂Π
=0 (2.66)
∂u
Este principio de la mínima energía potencial total es una herramienta fundamental para el
desarrollo de soluciones aproximadas mediante métodos numéricos como el de elementos
finitos a la vez de ser una herramienta importante para la obtención de modelos matemáticos
de cálculo y análisis más refinados.
Solución de Algunos Problemas Conocidos: Método de Rayleigh
Antes de introducir el método de elementos finitos, se efectuará una aplicación del principio
de mínima energía potencial total en la resolución de un par de problemas conocidos y típicos
de tracción y compresión. El objetivo de esta operatoria es identificar las virtudes y
potenciales limitaciones de los métodos de aproximación. Para ello se empleará a modo de
ejemplo el método de Rayleigh-Ritz, el cual se puede discriminar en los siguientes pasos:
1) Suponer un campo de desplazamiento aproximado con un conjunto de funciones
ψi(x,y,z) y constantes ai, tal como se muestra en (2.67). El campo de desplazamientos
u debe verificar las condiciones de borde del problema
NP
u= ∑ a ψ ( x, y , z )
i =1
i (2.67)
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2) Se reemplaza (2.67) en (2.65) obteniendo la energía potencial total en función de las
constantes ai, es decir
Π = Π (ai ), ∀i = 1,..., N P (2.68)
3) Luego se calculan las derivadas parciales de (2.68) respecto de las ai.
∂Π
= 0, ∀i = 1,..., N P (2.69)
∂ai
4) Se obtienen las ai del sistema de NP ecuaciones (2.69)
EJEMPLO 1.
En la Figura 2.24 se muestra una barra traccionada en un extremo por la fuerza P. La
barra tiene rigidez axial EA. Se desea hallar una función para el campo de
desplazamientos.
Para resolver este problema “académico ilustrativo” se empleará el método de Rayleigh-Ritz.
La energía de deformación para una barra traccionada se puede tomar de la Tabla 2.5,
transformada en función de los desplazamientos -emplear las (2.53) y (2.43) – y se puede
escribir en la forma de la ecuación (2.70).
Figura 2.24. barra traccionada. Ejemplo 1.
2
1 L
∂u
Π =
2 ∫
0
EA x dx − P.u xL
∂x
con u xL = u x (L) (2.70)
Se supone el siguiente campo de desplazamiento lineal que debe cumplir con las condiciones
de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x ⇒ x ⇒ u x ( x) = u xL .x (2.71)
u x (L ) = u xL ⇒ a 2 = u xL
Reemplazando (2.71) en (2.70) se obtiene
EA L 2 EAL 2
Π =
2 0 ∫
u xL dx − P.u xL =
2
u xL − P.u xL (2.72)
Derivando (2.72) y despejando la única incógnita del problema
∂Π P
= EAL.u xL − P = 0 ⇒ u xL = (2.73)
∂u xL EAL
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra desde el
empotramiento hasta el extremo libre como:
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P
u x ( x) = .x (2.74)
EAL
La cual es la solución obtenida previamente en el contexto de Estabilidad I y II.
EJEMPLO 2.
En la Figura 2.25 se muestra una barra solicitada por una fuerza volumétrica γ que
actúa en la dirección axial. Se desea aproximar la solución exacta (2.75) del
desplazamiento del problema mediante el método de Rayleigh-Ritz.
x(L − x )γ
u x ( x) = (2.75)
2E
En (2.75), E es el módulo de elasticidad.
Figura 2.25. barra traccionada. Ejemplo 2.
La energía potencial total para este caso viene dada por:
2
1 L
∂u L
Π =
2 ∫0 ∂x 0 ∫
EA x dx − γAu x dx (2.76)
Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las
condiciones de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x + a 3 x 2 ⇒ x ⇒ u x ( x ) = a 3 .x ( x − L ) (2.77)
u x (L ) = u xL ⇒ a 2 = −a 3 L
Reemplazando (2.77) en (2.76) e integrando se obtiene
2
EAL3 2 γAL3
∫( )
EAa3 L L
Π = ∫
(2 x − L ) dx − Aγa3 x − xL dx =
2 2
a3 + a3 (2.78)
2 0 0 6 6
Derivando (2.78) y despejando la única incógnita del problema (a3)
∂Π EAL3 γAL3 γ
= a3 + =0⇒ a3 = − (2.79)
∂a 3 3 6 2E
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:
x(L − x )γ
u x ( x) = (2.80)
2E
La cual es idéntica a (2.75).
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28. Versión 2004
Tanto en el Ejemplo 1 como en el Ejemplo 2, se ha visto que seleccionando adecuadamente la
función de aproximación se puede llegar a obtener la solución EXACTA. Sin embargo este
tipo de alternativas se dan en problemas muy elementales. Aún así, existen problemas
ligeramente más complejos a los planteados en los ejemplos anteriores que no son resueltos
satisfactoriamente con una función de aproximación a no ser que se plantee un esquema
alternativo que mejore la aproximación, esto se verá a continuación.
EJEMPLO 3.
En la Figura 2.26 se muestra una barra (E=1, A=1, L=1) solicitada por una fuerza
puntual P=2 que actúa en la dirección axial. Se desea aproximar la solución del
desplazamiento mediante el método de Rayleigh-Ritz. La solución exacta es:
x ∀x ∈ [0,1]
u x ( x) =
2 − x ∀x ∈ [1,2] (2.81.a)
1 ∀x ∈ [0,1]
σ xx ( x) =
(2.81.b)
− 1 ∀x ∈ [1,2]
(a) (b)
Figura 2.26. barra traccionada. Ejemplo 3.
La energía potencial total para este caso viene dada por:
2
1 L
∂u
Π =
2 ∫0
EA x dx − P.u xL
∂x
con u xL = u x (L) (2.82)
Se supone el siguiente campo de desplazamiento cuadrático que debe cumplir con las
condiciones de borde del problema:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x ( x ) = a1 + a 2 x + a 3 x 2 ⇒ x ⇒ u x ( x ) = a 3 .x ( x − 2 ) (2.83)
u x (2 ) = u xL ⇒ a 2 = −2a 3
Reemplazando (2.83) en (2.82) e integrando se obtiene
2
a3 L
Π = (2 x − 2 )2 dx − 2(− a3 ) = 4 a32 + 2a3
∫ (2.84)
2 0 3
Derivando (2.84) y despejando la única incógnita del problema (a3)
∂Π 8 3
= a3 + 2 = 0 ⇒ a3 = − (2.85)
∂a 3 3 4
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada plano transversal de la barra como:
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29. Versión 2004
3
u x ( x) = .x(2 − x ) (2.86)
4
El valor de las tensiones será
3
σ xx ( x) = (1 − x ) (2.87)
2
En la Figura 2.27.a se muestra la comparación entre los desplazamientos dados por (2.81.a) y
(2.86) y en la Figura 2.27.b se muestran tensiones dadas por las (2.81.b) y la (2.87). Nótese
que la aproximación con una sola función en todo el dominio trae aparejado serios errores
frente a la solución exacta.
(a) (b)
Figura 2.27. barra traccionada. comparacione de soluciones exactas y aproximadas.
(a) despalzamientos (b) tensiones
Ahora bien si se plantea la disgregación del dominio en dos subdominios (Ver Figura 2.26),
uno desde el empotramiento izquierdo hasta la carga y el otro desde el empotramiento
derecho a la carga, se pueden definir una función de aproximación de desplazamientos para
cada dominio con la exigencia de mantener la compatibilidad entre subdominios.
La energía potencial total de cada subdominio será
2
1 L
∂u P
Πi =
2 ∫0
EA xi dx − .u xL
∂x 2
con u xL = u xi (L) , i = 1,2 (2.88)
Así pues se tendrán las siguientes funciones de aproximación para los dos subdominios,
siguiendo una referenciación independiente en cada subdominio, según muestra Figura 2.26b:
u (0 ) = 0 ⇒ a1 = 0
u x 1 ( x ) = a1 + a 2 x ⇒ x 1 ⇒ u x 1 ( x) = u xL .x (2.89.a)
u x1 (1) = u xL ⇒ a 2 = u xL
u (0 ) = u xL ⇒ a 3 = u xL
u x 2 (x ) = a3 + a4 x ⇒ x 2 ⇒ u x 2 ( x) = u xL .(1 − x) (2.89.b)
u x 2 (1) = 0 ⇒ a 4 = −u xL
Reemplazando (2.89) en (2.88) e integrando para cada subdominio se obtiene
Π1 =
1 L2
∫
2 0
( ) 1 2
u xL dx − u xL = u xL − u xL
2
(para el subdominio 1) (2.90.a)
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1 L2
Π2 =
2 0 ∫ ( ) 1 2
u xL dx − u xL = u xL − u xL (para el subdominio 2)
2
(2.90.b)
OBSERVESE QUE (2.90.a) y (2.90.b) SON IDENTICAS. Ahora, derivando para cada
subdominio y despejando la única incógnita del problema
∂Π i
= u xL − 1 = 0 ⇒ u xL = 1 (2.91)
∂a 3
en definitiva se obtiene el desplazamiento para cada subdominio de la barra como:
u x 1 ( x) = x
(2.92)
u x 2 ( x) = (1 − x )
El valor de las tensiones será
σ x1 ( x) = 1
(2.93)
σ x 2 ( x) = −1
Se debe tener presente que en este enfoque de partición la coordenada x comienza en cada
subdominio en la izquierda del segmento, tal como se ve en Figura 2.27.b. En consecuencia
(2.92) y (2.93) darán los mismos resultados que (2.81.a) y (2.81.b).
Estos tres ejemplos muestran que los métodos aproximados pueden ser útiles para resolver los
problemas más complejos de ingeniería, siempre y cuando se tenga tino en la adopción de las
funciones de aproximación para las variables del problema. Por otro lado se ha visto (en el
ejemplo 3) que ante ciertas complicaciones es posible disgregar el dominio y analizar el
problema en subdominios más pequeños y que tengan una forma de aproximación de la
solución más simple y por combinación de las respuestas en cada subdominio, tener la
solución completa al problema. Se habrá notado que la solución de los problemas anteriores
condujo a la obtención de una sola incógnita, el valor de la constante del polinomio de
aproximación.
La secuencia de pasos realizada en los ejemplos anteriores unidimensionales puede ser puesta
en juego para problemas de mayor complejidad unidimensionales y hasta tridimensionales. En
la Figura 2.28 se puede apreciar un esquema general de la secuencia de pasos necesaria para
efectuar un cálculo por aproximaciones por minimización de la energía potencial total.
Téngase presente que siendo un método, el mismo es plausible de ser sistematizado en un
programa de computadora para acelerar los procesos repetitivos. Esto es lo que precisamente
se hace en los programas comerciales de cálculo por elementos finitos u otros métodos.
En estas últimas ideas radica el espíritu del método de elementos finitos, que se verá en forma
sucinta en el próximo apartado, solo con el fin de entender los basamentos y utilizar
programas académicos y profesionales para la solución de problemas más complejos y reales
que los que se pueden encarar con los métodos de resistencia de materiales y como
corroboración de los alcances y límites de estos últimos.
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Figura 2.28. Procedimiento general de calculo por aproximaciones
Con algunas variantes ligeras el mismo esquema de la Figura 2.28 se usa en forma sistemática
para desarrollar el método de elementos finitos.
5. El método de Elementos Finitos
Introducción
El método de elementos finitos es uno de los métodos de cálculo y análisis de mayor
preferencia en la ingeniería, cubriendo distintas áreas que van desde la elasticidad estática al
cálculo meramente térmico, pasando por diversas aplicaciones en mecánica de fluidos,
fractura, y dinámica entre otras. La noción de utilidad del método radica en que se trata de una
herramienta para la resolución aproximada de modelos matemáticos a derivadas parciales,
como por ejemplo los de la teoría de la elasticidad, ecuaciones de transferencia de calor,
ecuaciones de flujo de fluidos, ecuaciones de dinámica de sólidos, etc.
En el método en sí mismo lo que se hace para hallar la solución al problema determinado en
un dominio continuo es, subdividir el dominio en pequeños subdominios llamados
ELEMENTOS, y en cada uno de los subdominios proponer y hallar una solución aproximada
que luego se ensamblará en el conjunto para obtener la solución completa. En la Figura 2.29
se pueden apreciar tres tipos distintos de dominios: uni, bi y tridimensionales, con sus
respectivas discretizaciones. La respuesta del problema se halla en los puntos extremos de
cada elemento, los cuales son llamados NODOS. La ventaja de esta forma de cálculo es que el
problema de hallar en forma exacta la solución en los infinitos e indefinidos puntos del
continuo se reduce a la solución de un número discreto de variables (ubicadas en los nodos de
los elementos).
Nótese de la Figura 2.29.a que un esquema de discretización unidimensional solo está
compuesto por segmentos de línea recta. En el caso de la Figura 2.29.b se pueden apreciar
elementos cuadrangulares, sin embargo se pueden emplear también elementos triangulares.
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En la Figura 2.29.c se pueden apreciar elementos con forma de tetraedros, sin embargo
también se pueden emplear elementos con forma de cubos o cuñas. El uso de estas
alternativas depende del calculista.
(a) (b) (c)
Figura 2.29. Discretización de dominios (a) unidimensionales (b) bidimensionales (c) Tridimensionales
Es claro que para las configuraciones de la Figura 2.29 no es posible ni razonable calcular la
solución aproximada siguiendo en forma analítica para cada elemento, los pasos hechos en los
Ejemplos 1, 2 y 3 del parágrafo anterior, ya que es algo inviable. Este procedimiento (como el
que se muestra en la Figura 2.28) lo llevan a cabo los programas comerciales de elementos
finitos mediante técnicas que están fuera del alcance y espíritu de las notas de curso. Aquellos
interesados en extender sus conocimientos en el método de elementos finitos pueden recurrir a
las referencias [8,9] a título introductorio. El profesional de ingeniería solo tiene que definir
en el programa el modelo matemático, el modelo geométrico, las restricciones y el tipo de
cálculo que desea efectuar para finalmente analizar los resultados.
Figura 2.30. Etapa del cálculo con elementos finitos
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En estas circunstancias el ingeniero ante la contingencia de realizar un cálculo por
elementos finitos debe CONOCER MUY BIEN “la mecánica o la física del problema”,
es decir el MODELO MATEMATICO y sus HIPOTESIS DE MODELACION.
El procedimiento de cálculo computacional por medio del método de elementos finitos (que
es similar a cualquier otro método numérico alternativo) se puede ver esquemáticamente en la
Figura 2.30.
Existen dos tipos de programas de elementos finitos que se emplearán en este curso de
Elementos de máquina:
- Programas de Diseño Formal o Matemáticos Intensivos: en estos programas se
calcula un problema a partir de describir matemáticamente las ecuaciones, condiciones
de borde, ecuaciones constitutivas, etc. Un ejemplo de este tipo es el programa
FlexPDE. Estos programas son muy útiles para resolver problemas donde el modelo
matemático no sea estándar.
- Programas de Diseño Geométrico o CAD Intensivos: Son los más conocidos y
comunes de los programas de elementos finitos. Poseen interfaces graficas CAD para
la construcción del modelo geométrico. El cálculo se efectúa sobre modelos
matemáticos programados que no permiten mayores alteraciones a las establecidas en
las rutinas programadas como cajas negras enlatadas, esto es que estos programas no
permiten la modificación de sus modelos matemáticos a diferencia de los anteriores..
A pesar de ello, ofrecen una batería muy grande de modelos de cálculo y son muy
utilizados por su facilidad de representación y visualización. Ejemplos de estos
programas con los sistemas comerciales ALGOR, ABAQUS, MSC-NASTRAN,
COSMOS/M, I-DEAS, NISA, PATRAN, CATIA, etc.
Introducción a resolución de problemas de elasticidad lineal con FlexPDE
En la Figura 2.31 muestra una típica ventana de salida de FlexPDE. Los problemas que
resuelve este programa son en dominios 2D y 3D de ecuaciones diferenciales a derivadas
parciales, aunque se puede abundar en problemas unidimensionales. Los problemas que se
abordarán en este curso serán solamente de elasticidad estática y se dejará al estudiante
interesado la posibilidad de profundizar otros modelos y formas de resolución con el
programa, ya que se trata del material inherente a la asignatura electiva “El cálculo en
Ingeniería Mecánica con Elementos Finitos”.
El programa FlexPDE realiza todas las etapas de cálculo del método de elementos finitos en
automática. El programa se basa en definir el modelo matemático del problema junto con sus
condiciones de borde y propiedades más características (densidad, módulos de elasticidad,
etc). La discretización del dominio la efectúa el mismo programa automáticamente con sólo
definir el paso y control de error en la aproximación (esto debe hacerlo el usuario). Para
entender como se calcula un problema con FlexPDE, se puede recurrir a la Tabla 2.6 donde se
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muestra el esquema básico para la definición de un problema y en la secuencia que deben ir
las secciones donde se define cada parte del modelo.
Figura 2.31. Una ventana Típica de FlexPDE
Sección Descripción
TITLE (1) Título del problema
SELECT (1) Se definen: el tipo de aproximación, métodos de integración, error
máximo, etc.
COORDINATES (3) Se emplea sólo si el sistema de coordenadas no es cartesiano
VARIABLES (1) Se definen las variables del problema (los desplazamientos
representativos)
DEFINITIONS (1) Se definen constantes y otras entidades de utilidad
INITIAL VALUES (2) Se definen los valores iniciales de in problema variable en el tiempo
EQUATIONS (1) Se definen las ecuaciones diferenciales de equilibrio del problema
CONSTRAINTS (4) Se definen restricciones adicionales
RESOLVE (4) Se usa para resolver determinadas entidades de importancia en el proceso.
EXTRUSION (4) Se plantean los planos de extrusión para piezas tridimensionales
BOUNDARIES (1) Se definen las condiciones de borde y el contorno del problema
TIME (2) Se especifica el rango de variación de las variables en el tiempo
MONITORS (2) Se ven las evoluciones temporales en pasos
PLOTS (1) Se definen las salidas gráficas que se desean.
HISTORIES (2) Se muestra la evolución de una variable en el tiempo
END (1) Fin del archivo descriptor
Tabla 2.6. Esquema Básico de un archivo descriptor en FlexPDE. (1) secciones Mandatorias a todo problema.
(2) van en problemas dependientes del tiempo (3) van si no son sistemas cartesianos. (4) útiles para imponer
condiciones adicionales o piezas tridimensionales
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El desarrollo del archivo que se muestra en Tabla 2.6 implica la confección del “archivo
descriptor” del problema que tiene formato “*******.PDE”. Con el objeto de fijar ideas, en la
Tabla 2.7 se muestra el archivo descriptor de FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.
TITLE "Ejemplo 3 " Definición de la variable del Programa
SELECT errlim con un error menor a 0.001
errlim=1e-3
VARIABLES Definición de Ux como desplazamiento
Ux para el problema unidimensional
DEFINITIONS
Lx =1 Ly=0.1 Definición de longitudes de la barra: Lx, Ly
Em = 1 A = 1 EA=Em*A Definición de módulos de elasticidad: Em
P=2 Definición de Area: A, fuerza actuante P y
Forz1 = P tensión normal: SigmaX
SigmaX=Em*dx(Ux)
EQUATIONS Definición de la ecuación diferencial
dx(Em*dx(Ux)) = 0 ∂ ∂U x
Em =0
BOUNDARIES ∂x ∂x
Region 1 Definición de las condiciones de borde y de
start(0,0) Natural[Ux]=0 la geometría. Con las funciones, Start, Line
line to(Lx,0) Natural[Ux]=Forz1 to, y line to finish se definen los contornos
line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0 del dominio en forma de segmentos de línea
line to(0,Ly) Value[Ux]=0 line to finish recta. Nótese que a continuación de cada
Region 2 inicio de segmento aparecen las funciones
start(Lx,0) Natural[Ux]=0 Natural o Value afectando Ux. Estas son
line to(2*Lx,0) Value[Ux]=0 las condiciones de borde que imperan sobre
line to(2*Lx,Ly) Natural[Ux]=0 Ux. Natural(Ux)=0 significa que no actúa
line to(Lx,Ly) Natural[Ux]=0 line to finish ninguna carga, mientras que Value(Ux)=0
significa que el Ux=0
PLOTS Aquí se define el tipo de salida gráfica que
Surface(Ux) se desea: Surface(Ux) muestra la superficie
Surface(SigmaX) de la variable Ux, Surface(SigmaX) hace lo
Elevation(Ux) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2) propio para SigmaX. Con Elevation(Ux) se
Elevation(SigmaX) From(0,Ly/2) to (2*Lx,Ly/2) muestra la variación de Ux a lo largo de la
END línea definida por From
Tabla 2.7. Descriptor FlexPDE para el Ejemplo 3 de la sección 4.
En términos generales se debe seguir el esquema presentado en la columna izquierda de la
Tabla 2.7 para describir un problema. Se habrá podido apreciar diferentes formas de
definición de las cantidades que intervienen en el problema. En lo referente a las derivadas se
indican con la letra “d” seguida de la variable independiente respecto a la que se deriva, p.e.
“y”. Definiciones de derivadas de una variable “f” se pueden ver a continuación:
∂f ∂2 f
→ dx( f ) → dxx( f ) o dx(dx( f ))
∂x ∂x 2
∂f ∂2 f
→ dy ( f ) → dx(dy ( f )) , etc. (2.94)
∂y ∂x∂y
∂f ∂2 f
→ dz ( f ) → dx(dz ( f ))
∂z ∂x∂z
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