1. METODO DE LAS FUERZAS
INTRODUCCION
El método de las fuerzas se basa en el concepto de que una estructura
estáticamente indeterminada cualquiera se puede considerar como un sistema
estratégicamente determinado, en el que las fuerzas redundantes (que son las
incógnitas en el método de las fuerzas) actúan de una manera análoga a las
cargas externas.- El objetivo principal del análisis consiste en la determinación de
estas fuerzas redundantes.
Las ecuaciones matriciales básicas se deducen aplicando los tres principios del
análisis estructural, esto es:
 Equilibrio de fuerzas
 Ley de Hooke (material elástico lineal)
 Compatibilidad de los desplazamientos
DEFINICIONES
1. NUDO: Un punto de la estructura en donde de elige una o varias incógnitas (en
este caso M, N, Q)
Estructura de 5 nudos y 4 barras
2. INCOGNITAS HIPERESTÁTICAS: Son las incógnitas del método de las
fuerzas definidas en ciertos nudos de la estructura estudiada
3. ESTRUCTURA ESTATICAMENTE DETERMINADA: Una estructura en que
todas las fuerzas interiores pueden ser determinadas a partir de las ecuaciones
de equilibrio.

2. 4. CORTE SIMPLE: Corresponde a la supresión de una ligazón que imponía en
un nudo una fuerza interior desconocida en una dirección dada (Un corte simple
hace desaparecer una incógnita hiperestática)
Ejemplos de cortes simples
5. GRADO DE HIPERESTATICIDAD (n): Un número representando el total de
cortes simples a efectuar en una estructura para conducirla a una estructura
isostática.
6. ESTRUCTURA ISOSTATICA DE REFERENCIA: Es una estructura isostática
que servirá de base al estudio de la estructura dada. Existen tantas estructuras
isostáticas de referencia, como uno quiera, porque se pueden aplicar cortes
simples arbitrariamente.
Se define:
n = grado de hiperestaticidad
S0= designa la estructura isostática de referencia
Xj= con j= 1, 2, 3, n Designa las n incógnitas hiperestática
Procedimiento para elegir una estructura isostática de referencia
- Determinar el grado de hiperestaticidad (n)
- Hacer cortes simples hasta llegar a un sistema transformado que sea
estáticamente determinado
Los cortes simples pueden ser elegidos en cualquier punto. (pero de tal manera
que el sistema no se transforme en un mecanismo)

3. Ejemplo de aplicación
n=3
ESTRUCTURA ORIGINAL
S01 S02 S03
7. COEFICIENTE DE FLEXIBILIDAD fij: Representa el desplazamiento relativo de
los bordes del corte i en la dirección i, debido a una fuerza unitaria xj = 1
actuando sobre el corte j en la dirección j. este desplazamiento puede
calcularse por el teorema de la fuerza unitaria.
Para una estructura formada por barras se tiene:
s s s
MiM j Ni N j Qi Q j
fij   ds   ds   ds
0
EI 0
E 0
E'
En que:
Mi, Ni, Qi, son elementos de reducción debido a xi =1
Mj, Nj, Qj, son elementos de reducción debido a xj =1
Como el sistema tiene comportamiento lineal fij = fji

4. 8. COEFICIENTE fip: Coeficiente que representa el desplazamiento relativo de los
bordes del corte i en la dirección i, producido por las fuerzas exteriores
s s s
MiM p Ni N p Qi Q p
fPip   ds   ds   ds
0
EI 0
E 0
E'
En que
Mi, Ni, Qi, son elementos de reducción debido a xi =1
Mp, Np, Qp, son elementos de reducción debido a las fuerzas exteriores
Nota: los coeficientes fij y fip se calculan en el sistema de referencia S0
ECUACIONES GENERALES DEL METODO DE LAS FUERZAS
Se analiza el siguiente caso particular, sin perder la generalidad del problema
n=3
Se supone conocido xj, y se calculan los desplazamientos asociados a ellos, y se
impone que los desplazamientos sean iguales a los de la estructura original.
d1= f(x1, x2, x3, p, EI, ………..)
d2= f(x1, x2, x3, p, EI, ………..)
d3= f(x1, x2, x3, p, EI, ………..)
Por condición de borde de un empotramiento d1 = d2 = d3 =0

5. Aplicando el principio de superposición se tiene:
Luego los desplazamientos totales son:
d1= d11 (x1) + d12 (x2) + d13(x3) + d1p = d1 =0
d2= d21 (x1) + d22 (x2) + d23(x3) + d2p = d2 =0
d3= d31 (x1) + d32 (x2) + d33(x3) + d3p = d3 =0
Cálculo de d11 (x1), d12(x2), etc. Se aplica nuevamente el principio de
superposición.

6. Finalmente se llega a formar el siguiente sistema de ecuaciones
f11x1 + f12x2 + f13x3 + f1p = d1 = 0
f21x1 + f22x2 + f23x3 + f2p = d2 = 0
f31x1 + f32x2 + f33x3 + f3p = d3 = 0
Al resolver el sistema de ecuaciones se calculan x1, x2, x3
Luego se puede generalizar, y la ecuación del método de las fuerzas queda:
fij xj + fip =di
i,j = 1,2 ….,n
(Es una ecuación de compatibilidad de desplazamiento)
Si los bordes del corte i no sufren ningún desplazamiento relativo, di = 0
NOTA: El símbolo xi puede significar:
Una fuerza común
Un par de fuerzas iguales y opuestas
Un momento flector
Un par de momentos iguales y opuestos

7. GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE UNA ESTRUCTURA PLANA (n)
Empotramiento interno
Rótula interna
Apoyo simple (p) Empotramiento €
Apoyo
Fijo (g)
Fig. Sistema compuesto por varios elementos
L  3N  p  2g 3e  2 N' 1 3 N" 1
N = Nº de elementos del sistema en estudio
p = Nº de apoyos simples
g = Nº de apoyos fijos
e = Nº de empotramientos
N’ = Nº de elementos que llegan a una rótula interna
N’’ = Nº de elementos que llegan a un empotramiento interno
L > 0 MECANISMO
L= 0 ESTRUCTURA ISOSTATICA
L < 0 ESTRUCTURA HIPERESTAICA
n=-L Grado de hiperestaticidad

8. M U M L dx
L L 2L
M 1M 3  M1  M 2  M 3 M 1M 3
2 2 3
L L L
M 1M 3  M1  2M 2  M 3 M 1M 3
3 6 3
L L L
M 1M 3  2M 1  M 2  M 3 M 1M 3
6 6 3
L L L
 M 3  2M 4  M 1  2M 3  M 4  M1   M 3  M 4  M1
6 6 3
L
  M 3  2M 4  M 2
6
L L 8L
M 1M 3  M1  M 2  M 3 M 1M 3
3 3 15