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Dpto. de Ingeniería en Obras Civiles
Construcción Civil




                 ESTRUCTURAS
              Segundo Semestre 2008


                                  Prof. Alejandro Torres F.
                                  atorres@usach.cl
Cálculo de Estructuras Isostáticas
   Conceptos Preliminares
Ingeniería
Estructural:
disciplina cuyo
objetivo es el análisis,
planificación, diseño,
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sistemas
estructurales.
Cálculo de Estructuras Isostáticas
                            Conceptos Preliminares
Principios del Análisis Estructural
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   relacionadas por la ley tensión-deformación
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Definición de Fuerzas

FUERZA EXTERNA (Solicitaciones): es la
fuerza que solicita a una estructura. Pueden ser
fuerzas verticales, horizontales, inclinadas y
momentos.
REACCIÓN: es la fuerza con que el material
sobre el cual se apoya la estructura, responde
ante las fuerzas transmitidas por ésta.
FUERZA INTERNA: es la fuerza que se
genera dentro del cuerpo como respuesta a
las fuerzas externas y a las reacciones.
Definición de Fuerzas
FUERZA PUNTUAL: es una fuerza que se
concentra en una superficie suficientemente
pequeña como para ser considerada un punto.
FUERZA DISTRIBUIDA
Lineal: es una fuerza que está aplicada sobre
una superficie suficientemente delgada como
para ser considerada una línea (peso propio de
una viga).
Distribuida: es la fuerza que está aplicada
sobre una superficie (peso propio de una losa).
Definición de Fuerzas
Carga Muerta: es la carga externa producida
por estados externos que no sufrirán
modificación en el tiempo (peso propio,
sobrecarga de uso, muebles, etc.).


Carga Viva: es la carga externa producida
por solicitaciones eventuales (sismo, viento,
nieve, etc.).
Peso Propio
                                                      Sobrecarga
                                       Permanentes    de uso
                                                      Cargas
                      Solicitaciones                  móviles


          Externas                                    Sismo
                                         Eventuales   Viento
FUERZAS
                                                      Nieve
                      Reacciones


           Internas          Esfuerzos
Elementos Estructurales


BARRA: dispone de un eje longitudinal y una
sección transversal. Se modela con un eje que
pasa a través de su eje longitudinal.



                                    Eje barra

                    L
Elementos Estructurales

 VIGA: es un miembro estructural diseñado para
 soportar cargas en distintos puntos de su
 longitud.


                                     Eje viga



                    L
Elementos Estructurales
  Tipos de apoyo de una viga (Reacciones)
Apoyo simple (o simplemente apoyado): el
nudo es incapaz de desplazarse en dos
direcciones perpendiculares, sin embargo puede
rotar. Se generan reacciones en las dos
direcciones cuyo desplazamiento está impedido.


          FX



                        FY
Elementos Estructurales
Tipos de apoyo de una viga (Reacciones)
 Apoyo deslizante (de carro): el nudo es capaz
 de rotar y desplazarse sólo en una dirección. Se
 genera una reacción en la dirección cuyo
 desplazamiento está impedido.




                         FY
Elementos Estructurales
  Tipos de apoyo de una viga (Reacciones)
Empotramiento: el nudo no puede desplazarse en
dos direcciones perpendiculares y no puede rotar.
Se generan reacciones en las direcciones cuyo
desplazamiento está impedido, es decir, dos
fuerzas y un momento.
               FX        MX




                              FY
SOLICITACIONES

   Y




 Carga puntual
 (Kg, T…)
                             Carga distribuida
           Momento flector   (Kg/m, T/m…)
           (Kg·m, T·m…)


                                                 X

                      L
Descomposición en ejes cartesianos
                EJE Y
                                  F4
          F3

                F2X              F1X= F1cosθ
                                                EJE X
                        θ
                                        F1Y =- F1senθ
                F2Y
                            F1

               F2
EQUILIBRIO
                                   ESTÁTICO
Cuando un cuerpo está en reposo o se
mueve con velocidad constante (esto es, su
aceleración a=0), se dice que este cuerpo
está en equilibrio.
El equilibrio requiere que todas las fuerzas que
actúan sobre la partícula formen una resultante
de fuerza nula.
EQUILIBRIO ESTÁTICO

Es decir, considerando la segunda ley del
movimiento de Newton F = m·a, cuando el
cuerpo se mueve a velocidad constante o está
en reposo a=0.

Por lo tanto, en condición de equilibrio estático,
                   F=m·a=0.
EQUILIBRIO ESTÁTICO
Condiciones de equilibrio, las ecuaciones
fundamentales de la estática:
∑FX = 0                   ∑F y = 0

            ∑M = 0

Estas ecuaciones que definen el equilibrio estático,
son condiciones necesarias y suficientes para
reflejar esta situación.
Diagrama de cuerpo libre

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio, se
deben considerar todas las fuerzas conocidas
y desconocidas que actúan sobre un cuerpo.
La manera más simple de efectuar este análisis es
a través de la construcción del diagrama de
cuerpo libre.
Este diagrama es un esquema simple que muestra el
elemento libre de su entorno con todas las cargas
que lo solicitan.
Diagrama de cuerpo libre
Procedimiento
1.   Se debe dibujar el cuerpo o elemento estructural libre de
     su entorno.
2.   Indicar sobre este esquema, todas las fuerzas conocidas
     y desconocidas, las que pueden ser activas (tienden a
     poner el cuerpo en movimiento), o fuerzas reactivas (que
     son resultado de las restricciones o apoyos que tienden a
     prevenir el movimiento.
3.   Las fuerzas conocidas deberán rotularse con sus
     magnitudes y direcciones; las desconocidas se definirán
     positivas y su magnitud se representa mediante una letra
     (incógnita).
Sistemas estructurales
                 longitudinales
Elementos básicos:
Elementos lineales rectos.
Sección pequeña respecto a
su longitud.
  Esfuerzos internos
  Axiales (compresión o
  tracción)
  Flexión
  Corte
Fuerzas internas en elementos estructurales


Análogamente al caso de las cargas
externas (reacciones y solicitaciones),
también los cuerpos están caracterizados
por esfuerzos internos.

El diseño de cualquier elemento estructural,
requiere estudiar estos esfuerzos internos, para
asegurarse de que el material puede resistir las
cargas externas.
DIAGRAMAS DE ESFUERZOS
                                   INTERNOS
Las cargas internas se determinan seccionando la viga en 
estudio. El número de secciones dependerá del estado de 
cargas externas que soliciten a viga.

Estos esfuerzos internos se manifestarán en la
viga, dependiendo del estado de cargas externas.
En general son axiales (N), corte (V) y momento
(M).


                                   Axial (N)
                       Corte (V)               Momento
                                               (M)
Esfuerzos internos en vigas




Si se considera un diagrama de cuerpo libre de un
trozo de viga (entre un apoyo y una sección
intermedia cualquiera) el conjunto total de las
fuerzas actuantes, es decir, solicitaciones, reacciones
y esfuerzos internos deben estar en equilibrio.
ESFUERZO DE CORTE (V)


Fuerza vertical paralela al plano de la sección
de la viga.
                             q


                                      V(x)

               RA
                         X
Su magnitud queda determinada por la suma
vectorial de fuerzas que estén actuando en la
misma dirección (∑FY=0).
MOMENTO FLECTOR (M)

Momento aplicado en el centro de gravedad de
la sección.                  q
                                          M(x)

                                       V(x)
             RA
                          X


Su magnitud queda determinada por la suma
vectorial de los momentos provocados por la
reacción en el apoyo y por las solicitaciones
(∑M=0).
DIAGRAMAS DE MOMENTO Y CORTE EN
             FLEXIÓN


Al efectuar cortes en diferentes secciones
características de la viga, se puede encontrar
la expresión de V y M para esos puntos.


El dibujo de la distribución de los valores
calculados en cada sección de la viga, se
denomina diagrama.
OBJETIVO DE LOS DIAGRAMAS


Entregar la ubicación y el valor de los esfuerzos
máximos y mínimos.

Indicar el signo de éstos.

Ver la forma cómo varían a lo largo de la viga.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS


1.   Determinar las reacciones en los apoyos.
2.   Seccionar la viga en tantas partes como cambios en 
     el estado de cargas tenga la viga.
3.   Analizar una a una las secciones determinadas en
     el punto anterior comenzando por la menos
     cargada, trazando el diagrama de cuerpo libre de
     cada sección.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
4.   En cada sección utilizar las ecuaciones de equilibrio para
     determinar los valores de N, V y M como una función de la
     posición (distancia desde el extremo)

                                       q
                                                     M(x)    N (x)

                                                  V(x)
                  RA
                                 X
5.   Se encuentran los valores de corte y momento
     máximo y mínimo utilizando las propiedades del
     cálculo diferencial.
RECOMENDACIONES (Diagrama de corte)


1.   El diagrama comienza con el valor de la reacción en el
     primer apoyo de la izquierda y termina con el valor de la
     reacción de la derecha.
2.   En los tramos donde no hay cargas el valor se
     mantiene constante, por lo tanto el diagrama es
     horizontal.
3.   Bajo las cargas puntuales el diagrama no es continuo y
     se produce un salto equivalente al valor de la carga.
RECOMENDACIONES (Diagrama de corte)


4.    Bajo cargas uniformemente distribuidas, el diagrama
      varía linealmente.
5.    Bajo cargas variables, el diagrama varía en un
      grado más que el de la carga. Así, para una
      variación lineal de la carga (carga triangular) el
      diagrama varía en forma cuadrática.
6.    Cuando el diagrama corta el eje de la viga,
      generalmente corresponde a un máximo del
      momento.
RECOMENDACIONES (Diagrama de momento)


1.   Identifique los puntos donde el momento es nulo:
-    En vigas simplemente apoyadas, en ambos apoyos.
-    En cada rótula interna.
-    En vigas en voladizo, en su extremo libre.
2.   El diagrama de momentos es continuo, solo
     presenta saltos cuando hay aplicado un momento
     en un punto.
3.   En los tramos donde no hay cargas, el diagrama varía en
     forma lineal.
RECOMENDACIONES (Diagrama de momento)


4.   Bajo cargas variables, el diagrama varía en dos
     grados más que el de la carga.
5.   El diagrama presenta un máximo cuando el
     diagrama de corte presenta un punto nulo (es
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Estructuras

  • 1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Dpto. de Ingeniería en Obras Civiles Construcción Civil ESTRUCTURAS Segundo Semestre 2008 Prof. Alejandro Torres F. atorres@usach.cl
  • 2. Cálculo de Estructuras Isostáticas Conceptos Preliminares Ingeniería Estructural: disciplina cuyo objetivo es el análisis, planificación, diseño, construcción y mantenimiento de sistemas estructurales.
  • 3. Cálculo de Estructuras Isostáticas Conceptos Preliminares Principios del Análisis Estructural 1. La vinculación de los sistemas estructurales al terreno de fundación o a otros sistemas, será tal que éstos permanecerán sin movimientos de cuerpo rígido cuando sobre él actúe una fuerza estática. 2. Las fuerzas que participan en estos tipos de sistemas estructurales estarán gobernadas por las leyes del equilibrio estático.
  • 4. Cálculo de Estructuras Isostáticas Conceptos Preliminares Principios del Análisis Estructural 3. El conjunto de las deformaciones de una estructura debe satisfacer condiciones de compatibilidad geométrica. Debe existir continuidad de los elementos estructurales y sus conexiones. 4. Las fuerzas y deformaciones están relacionadas por la ley tensión-deformación que caracteriza al material estructural.
  • 5. Definición de Fuerzas FUERZA EXTERNA (Solicitaciones): es la fuerza que solicita a una estructura. Pueden ser fuerzas verticales, horizontales, inclinadas y momentos. REACCIÓN: es la fuerza con que el material sobre el cual se apoya la estructura, responde ante las fuerzas transmitidas por ésta. FUERZA INTERNA: es la fuerza que se genera dentro del cuerpo como respuesta a las fuerzas externas y a las reacciones.
  • 6. Definición de Fuerzas FUERZA PUNTUAL: es una fuerza que se concentra en una superficie suficientemente pequeña como para ser considerada un punto. FUERZA DISTRIBUIDA Lineal: es una fuerza que está aplicada sobre una superficie suficientemente delgada como para ser considerada una línea (peso propio de una viga). Distribuida: es la fuerza que está aplicada sobre una superficie (peso propio de una losa).
  • 7. Definición de Fuerzas Carga Muerta: es la carga externa producida por estados externos que no sufrirán modificación en el tiempo (peso propio, sobrecarga de uso, muebles, etc.). Carga Viva: es la carga externa producida por solicitaciones eventuales (sismo, viento, nieve, etc.).
  • 8. Peso Propio Sobrecarga Permanentes de uso Cargas Solicitaciones móviles Externas Sismo Eventuales Viento FUERZAS Nieve Reacciones Internas Esfuerzos
  • 9. Elementos Estructurales BARRA: dispone de un eje longitudinal y una sección transversal. Se modela con un eje que pasa a través de su eje longitudinal. Eje barra L
  • 10. Elementos Estructurales VIGA: es un miembro estructural diseñado para soportar cargas en distintos puntos de su longitud. Eje viga L
  • 11. Elementos Estructurales Tipos de apoyo de una viga (Reacciones) Apoyo simple (o simplemente apoyado): el nudo es incapaz de desplazarse en dos direcciones perpendiculares, sin embargo puede rotar. Se generan reacciones en las dos direcciones cuyo desplazamiento está impedido. FX FY
  • 12. Elementos Estructurales Tipos de apoyo de una viga (Reacciones) Apoyo deslizante (de carro): el nudo es capaz de rotar y desplazarse sólo en una dirección. Se genera una reacción en la dirección cuyo desplazamiento está impedido. FY
  • 13. Elementos Estructurales Tipos de apoyo de una viga (Reacciones) Empotramiento: el nudo no puede desplazarse en dos direcciones perpendiculares y no puede rotar. Se generan reacciones en las direcciones cuyo desplazamiento está impedido, es decir, dos fuerzas y un momento. FX MX FY
  • 14. SOLICITACIONES Y Carga puntual (Kg, T…) Carga distribuida Momento flector (Kg/m, T/m…) (Kg·m, T·m…) X L
  • 15. Descomposición en ejes cartesianos EJE Y F4 F3 F2X F1X= F1cosθ EJE X θ F1Y =- F1senθ F2Y F1 F2
  • 16. EQUILIBRIO ESTÁTICO Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (esto es, su aceleración a=0), se dice que este cuerpo está en equilibrio. El equilibrio requiere que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula formen una resultante de fuerza nula.
  • 17. EQUILIBRIO ESTÁTICO Es decir, considerando la segunda ley del movimiento de Newton F = m·a, cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante o está en reposo a=0. Por lo tanto, en condición de equilibrio estático, F=m·a=0.
  • 18. EQUILIBRIO ESTÁTICO Condiciones de equilibrio, las ecuaciones fundamentales de la estática: ∑FX = 0 ∑F y = 0 ∑M = 0 Estas ecuaciones que definen el equilibrio estático, son condiciones necesarias y suficientes para reflejar esta situación.
  • 19. Diagrama de cuerpo libre Para aplicar las ecuaciones de equilibrio, se deben considerar todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre un cuerpo. La manera más simple de efectuar este análisis es a través de la construcción del diagrama de cuerpo libre. Este diagrama es un esquema simple que muestra el elemento libre de su entorno con todas las cargas que lo solicitan.
  • 20. Diagrama de cuerpo libre Procedimiento 1. Se debe dibujar el cuerpo o elemento estructural libre de su entorno. 2. Indicar sobre este esquema, todas las fuerzas conocidas y desconocidas, las que pueden ser activas (tienden a poner el cuerpo en movimiento), o fuerzas reactivas (que son resultado de las restricciones o apoyos que tienden a prevenir el movimiento. 3. Las fuerzas conocidas deberán rotularse con sus magnitudes y direcciones; las desconocidas se definirán positivas y su magnitud se representa mediante una letra (incógnita).
  • 21. Sistemas estructurales longitudinales Elementos básicos: Elementos lineales rectos. Sección pequeña respecto a su longitud. Esfuerzos internos Axiales (compresión o tracción) Flexión Corte
  • 22. Fuerzas internas en elementos estructurales Análogamente al caso de las cargas externas (reacciones y solicitaciones), también los cuerpos están caracterizados por esfuerzos internos. El diseño de cualquier elemento estructural, requiere estudiar estos esfuerzos internos, para asegurarse de que el material puede resistir las cargas externas.
  • 23. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS INTERNOS Las cargas internas se determinan seccionando la viga en  estudio. El número de secciones dependerá del estado de  cargas externas que soliciten a viga. Estos esfuerzos internos se manifestarán en la viga, dependiendo del estado de cargas externas. En general son axiales (N), corte (V) y momento (M). Axial (N) Corte (V) Momento (M)
  • 24. Esfuerzos internos en vigas Si se considera un diagrama de cuerpo libre de un trozo de viga (entre un apoyo y una sección intermedia cualquiera) el conjunto total de las fuerzas actuantes, es decir, solicitaciones, reacciones y esfuerzos internos deben estar en equilibrio.
  • 25. ESFUERZO DE CORTE (V) Fuerza vertical paralela al plano de la sección de la viga. q V(x) RA X Su magnitud queda determinada por la suma vectorial de fuerzas que estén actuando en la misma dirección (∑FY=0).
  • 26. MOMENTO FLECTOR (M) Momento aplicado en el centro de gravedad de la sección. q M(x) V(x) RA X Su magnitud queda determinada por la suma vectorial de los momentos provocados por la reacción en el apoyo y por las solicitaciones (∑M=0).
  • 27. DIAGRAMAS DE MOMENTO Y CORTE EN FLEXIÓN Al efectuar cortes en diferentes secciones características de la viga, se puede encontrar la expresión de V y M para esos puntos. El dibujo de la distribución de los valores calculados en cada sección de la viga, se denomina diagrama.
  • 28. OBJETIVO DE LOS DIAGRAMAS Entregar la ubicación y el valor de los esfuerzos máximos y mínimos. Indicar el signo de éstos. Ver la forma cómo varían a lo largo de la viga.
  • 29. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 1. Determinar las reacciones en los apoyos. 2. Seccionar la viga en tantas partes como cambios en  el estado de cargas tenga la viga. 3. Analizar una a una las secciones determinadas en el punto anterior comenzando por la menos cargada, trazando el diagrama de cuerpo libre de cada sección.
  • 30. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 4. En cada sección utilizar las ecuaciones de equilibrio para determinar los valores de N, V y M como una función de la posición (distancia desde el extremo) q M(x) N (x) V(x) RA X 5. Se encuentran los valores de corte y momento máximo y mínimo utilizando las propiedades del cálculo diferencial.
  • 31. RECOMENDACIONES (Diagrama de corte) 1. El diagrama comienza con el valor de la reacción en el primer apoyo de la izquierda y termina con el valor de la reacción de la derecha. 2. En los tramos donde no hay cargas el valor se mantiene constante, por lo tanto el diagrama es horizontal. 3. Bajo las cargas puntuales el diagrama no es continuo y se produce un salto equivalente al valor de la carga.
  • 32. RECOMENDACIONES (Diagrama de corte) 4. Bajo cargas uniformemente distribuidas, el diagrama varía linealmente. 5. Bajo cargas variables, el diagrama varía en un grado más que el de la carga. Así, para una variación lineal de la carga (carga triangular) el diagrama varía en forma cuadrática. 6. Cuando el diagrama corta el eje de la viga, generalmente corresponde a un máximo del momento.
  • 33. RECOMENDACIONES (Diagrama de momento) 1. Identifique los puntos donde el momento es nulo: - En vigas simplemente apoyadas, en ambos apoyos. - En cada rótula interna. - En vigas en voladizo, en su extremo libre. 2. El diagrama de momentos es continuo, solo presenta saltos cuando hay aplicado un momento en un punto. 3. En los tramos donde no hay cargas, el diagrama varía en forma lineal.
  • 34. RECOMENDACIONES (Diagrama de momento) 4. Bajo cargas variables, el diagrama varía en dos grados más que el de la carga. 5. El diagrama presenta un máximo cuando el diagrama de corte presenta un punto nulo (es cero).