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Formulas estadisticas
Este documento presenta tablas y fórmulas estadísticas relacionadas con medidas de posición, medidas de variabilidad, índices de precios, muestreo aleatorio simple, análisis de regresión lineal simple, análisis de correlación lineal simple, muestreo aleatorio estratificado y muestreo por conglomerados. Incluye fórmulas para calcular el promedio, la mediana, la moda, la varianza, el coeficiente de variación, percentiles, entre otras medidas.
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Formulas estadisticas
- 1. Tablas y FórmulasEstadísticas TABLAS Y FORMULAS ESTADISTICAS Carlo Magno Araya Profesor de Estadística Sede de Occidente Universidad de Costa Rica 1
- 2. Tablas y FórmulasEstadísticas MEDIDAS DE POSICION Datos sin agrupar Datos agrupados Promedio aritmético de muestras k n ∑ xi fi ∑ xi x= x = i =1 ∑ fi n i =1 Promedio ponderado n Mediana ∑ x i wi x= i=1 k i =1 n ∑ wi n - F i-1 2 *c M e = Li + fi i =1 Mediana para n impar M e = X n +1 2 Moda d1 *c M o = Li + d 1+ d 2 d 1 = f i − f i −1 d 2 = f i − f i +1 Mediana para n par Percentiles X n + X n Me = +1 2 2 2 m.n - F i-1 100 *c P m = Li + fi Percentiles Pm = X m 100 ( n + 1) Media geométrico n x g = x 1 . x 2 .... x n Media armónica xa = n n ∑ i=1 1 xi 2
- 3. Tablas y FórmulasEstadísticas MEDIDAS DE VARIABILIDAD Datos sin agrupar Datos agrupados Variancia de una muestra 1 k 1 n 2 2 2 ∑ ( x − x )2 . f i sx = sx = xi − x ) ∑( n − 1 i =1 i n − 1 i =1 2 n xi n ∑ 1 2 i =1 2 sx = ∑ xi − n − 1 i =1 n 2 k ∑ xi f i k i=1 1 2 sx = . ∑ x2 f n - 1 i=1 i i n Variancia de la población 1 N 2 2 σ x = ∑ ( xi − µ ) N i =1 2 N N ∑ xi 1 2 σ x = . ∑ xi2 - i=1 i=1 N N Coeficiente de variación de una población CV x = σx * 100 µ σ2= x 2 1 k ∑ xi − µ . f i N i =1 ( ) 2 k ∑ xi f i k i=1 1 σ 2 = . ∑ xi2 f i x N i=1 N Coeficiente de variación de una muestra sx CV x = * 100 x Desviación media k n ∑ | xi - x|. f i ∑ | xi - x| D. M.= i=1 D. M.= n i=1 k ∑ fi i=1 Medida de variabilidad para muestras pareadas s2 = d 1 n 2 . ∑ di n -1 i=1 di = X 1i - X 2i Variancia para variables dicotómicas σ 2 = PQ $$ s 2 = pq 3
- 4. Tablas y FórmulasEstadísticas INDICE DE PRECIOS Relativo simple de precios p I = n ⋅ 100 p0 Agregado simple de precios k ∑ pn i =1 k I= ⋅ 100 ∑ p0 i =1 Promedio de los relativos simples de precios k p ∑ n i =1 p 0 I = ⋅ 100 k Laspeyres I PL = Laspeyres I QL = Índices de precios ponderados Paasche ∑ pn q o ⋅ 100 ∑ po q o I PP = ∑ pn q n ⋅ 100 ∑ po q n Índices de cantidades ponderados Paasche ∑ po q n ⋅ 100 ∑ po q o I QP = ∑ pn q n ⋅ 100 ∑ pn q o Indice de precio de Fischer ∑ pn q0 ∑ pn qn ⋅ 100 I PF = ∑ p0 q0 ∑ p0qn 4
- 5. Tablas y FórmulasEstadísticas MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Población finita Población infinita Variancia del promedio N - n s2 . x N -1 n N - n σ2 2 = . x σx N -1 n s2 = x s2 = x σ2 = x s2 x n σ2 x n Variancia de una proporción s 2$ = p $$ N - n pq . N -1 n s2$ = p $$ pq n PQ N - n PQ . σ 2$ = p n N -1 n Tamaño de muestra para la estimación De un promedio y una proporción poblacional σ 2$ = p n1 n= n 1+ 1 N n1 n= n 1+ 1 N Zα / 2 σ donde n1 = d 2 Z α / 2 PQ donde n1 = d Z σ n = α/2 d 2 2 Z α / 2 PQ n= d 2 Intervalos de confianza para el promedio cuando la variancia de la población es conocida σx N -n σx * Li = x ± Zα /2* N -1 n n Intervalos de confianza para el promedio cuando la variancia de la población es desconocida y n≤30 ≤ N - n sx sx * Li = x ± t α / 2(n-1)gl * Li = x ± t α / 2(n-1)gl * N -1 n n Li = x ± Z α / 2 * Intervalos de confianza para una proporción si np>5 y nq>5 $$ N -n pq $$ pq $ * Li = p ± Z α / 2 * $ Li = p ± Z α / 2 * N -1 n n 5
- 6. Tablas y FórmulasEstadísticas ESTADISTICO PARA PRUEBA DE HIPOTESIS Promedios Para un promedio: variancia conocida Proporciones Para una proporción x-µ Zc = Zc = σ $ p- P PQ n n Para un promedio: variancia desconocida x-µ tc = Diferencia de proporciones $ $ p1 − p2 $ $ $ $ p1 q1 p2 q 2 + n1 n2 Zc = s n Diferencia de dos promedios: variancia Otra alternativa de cálculo: x1 x 2 conocida − x1 - x 2 Zc = 2 σ1 n1 + Zc = σ2 2 n2 n1 1 1 p(1 − p) − n1 n 2 p= Diferencia de dos promedios: variancia desconocida x1 - x 2 *k k= tc = donde 2 ( n1 - 1) S 1 + ( n2 - 1) S 2 2 Estadístico de prueba de independencia y de homogeneidad Ji-Cuadrada 2 r (Oij - E ij )2 c χ =∑ ∑ i=1 j=1 E ij = E ij Ni N j N n2 x1 + x 2 n1 + n2 n1 n2 ( n1 + n2 - 2) n1 + n 2 Estadístico de prueba para muestras pareadas tc = d Sd / n 6
- 7. Tablas y FórmulasEstadísticas ANALISIS DE REGRESION LINEAL SIMPLE Constante de regresión Coeficiente regresión lineal n n a = y − bx b= i=1 i=1 Intervalos de confianza para el promedio de y dado un x0 ( n i=1 ) 2 ( x0 - x 1 1+ + n SC x $ Li = y ± tα / 2(n-2)gl * S e Suma de cuadrados de x n i=1 n Intervalos de confianza para una observación de y dado un x0 x0 - x 1 $ + Li = y ± t α / 2(n-2)gl * S e n SC x Error estándar de estimación n i=1 2 n ∑ xi2 - ∑ xi i=1 i=1 n i=1 2 ∑ yi - a ∑ y i - b ∑ xi yi Se = n n ∑ xi yi - ∑ xi ∑ yi n SC x = ∑ xi2 - n ∑ xi i=1 2 n i=1 n-2 Inferencia sobre la constante y coeficiente de regresión Intervalos de confianza Estadístico de prueba de hipótesis a 1 x2 tc = a ± t ( n− 2 ) gl S e + 1 x2 n SCx + Se n SC x Se b ± t ( n−2 ) gl tc = SC x b Se / SC x ANALISIS DE CORRELACION LINEAL SIMPLE Coeficiente de correlación lineal n n n i=1 i=1 i=1 n ∑ xi yi - ∑ xi ∑ y i r= 2 n n n ∑ xi2 - ∑ x i i=1 i=1 2 n n * n ∑ y i2 - ∑ yi i=1 i=1 Estadístico para prueba de hipótesis sobre Coeficiente de correlación parcial r12 − r13 r23 el coeficiente de correlación tc = r−ρ 2 1− r n−2 r12.3 = (1 − r )(1 − r ) 2 13 2 23 ) 2 7
- 8. Tablas y FórmulasEstadísticas MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO Afijación de la muestra proporcional Afijación de la muestra óptima o Neyman N σ =n⋅ L h h nh ∑ Nhσ h h=1 Nh nh = n ⋅ L ∑ Nh h=1 Promedio aritmético estratificado y st = Proporción estratificada L 1 L ∑ N h yh = ∑ Wh xh N h=1 h =1 N Wh = h N Variancia del promedio estratificada $ pst = Variancia de la proporción estratificada l l Var ( y st ) = ∑ Wh2 ⋅Var ( yh ) y =1 Tamaño de la muestra para proporciones Tamaño de la muestra para la estimación de la media de la población 2 1 Wh2 sh 1 2 V = ∑ − ∑ Wh sh n wh N ( ) $ $ Var ( pst ) = ∑ Wh2 ⋅Var ph y =1 2 Wh2 sh ∑ wh n= 1 W 2 s2 V+ ∑ h h N wh L 1 L $ $ ∑ N h ph = ∑ Wh ph N h=1 h =1 Proporcional: n= ∑ Wh ph qh n0 donde n0 = n V 1+ 0 N Optimo supuesto: n0 n= 1+ n0 1 ∑ Wh ph qh NV (∑ W = h ph qh V ) 2 8
- 9. Tablas y FórmulasEstadísticas MUESTREO POR CONGLOMERADOS Estimación del promedio Estimación de una proporción A A ∑ yi y = ∑ ai i=1 A i =1 A $ p= ∑ mi ∑ mi i=1 i =1 MODELOS DE CRECIMIENTO Modelo aritmético Modelo geométrico N t = N 0 (1 + rt ) N t = N 0 (1+ r ) t 1 N - N0 r= ⋅ t t N0 N r= t No 1/ t -1 Modelo exponencial N t = N 0 e rt 1 r = ln N t t N0 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución binomial n f ( x ) = p x q n − x x=0, 1,..., n x Distribución de Poisson x −λ f ( x) = Distribución hipergeométrica D N − D x n − x f ( x) = N n x=0, 1, 2,..., min(n,D) f λe x! x=0, 1,... Distribución geométrica ( x ) = q x −1 p x=1, 2,... TEOREMA DE BAYES P( A) P( D / A) P( A D ) = P( A) P( D / A) + P( B) P( D / A) TECNICAS DE CONTEO Combinaciones Permutaciones n Pr = n! (n − x)! nCr = n! r!(n − x)! 9
- 10. Tablas y FórmulasEstadísticas 10 ANALISIS DE VARIANCIA A UNA VIA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO Media total Suma de cuadrados total r r c SCT = ∑ ∑ ( xij − x ) 2 ∑ ∑ xij x= c i =1 j =1 i =1 j =1 n Suma de cuadrados de los tratamientos c SCTR = ∑ rj ( x j − x ) j =1 2 Suma del cuadrado de error r c SCE = ∑ ∑ ( xij − x j ) 2 i =1 j =1 Prueba para diferencias entre pares de medias Diseños balanceados Diseños no balanceados Criterio de Tukey Diferencia mínima significativa T = qα , c , n − c CME R DMS J , K = 1 1 + (CME ) Fα , c −1,n − c rj rk Diferencia mínima significativa DMS = 2( CME ) Fα ,1,n − c r ANALISIS DE VARIANCIA A DOS VÍAS: DISEÑO ALEATORIZADO EN BLOQUES Suma de cuadrados de bloques r SCBL = ∑ ci ( xi − x ) 2 i =1 Suma de cuadrados del error SCE = SCT − SCTR − SCBL
- 11. Tablas y FórmulasEstadísticas 11 PRUEBAS NO PARAMETRICAS Prueba U de Mann-Whitney n1 ( n1 + 1) − ∑ R1 2 U1 = n1n2 + Media y desviación estándar de la distribución muestral para la prueba U de Mann-Whitney µu = n2 ( n2 + 1) − ∑ R2 2 U 2 = n1n2 + n1n2 ( n1 + n2 + 1) σu = Valor Z para normalizar la prueba U de Mann-Whitney Z= n1n2 2 12 Prueba de independencia ChiCuadrada U i − µu 2 χ obs σu rc ( Oi − E i ) 2 i =1 Ei =∑ Coeficiente de correlación de Spearman Desviación normal para la prueba de rangos de Spearman rs = 1 − 6∑ di2 ( Z = rs n − 1 ) n n2 − 1 Prueba de Kruskal-Wallis 12 Ri2 K= ∑ − 3( n + 1) n( n + 1) ni Valor crítico para la prueba de Kruskal-Wallis Ck = n( n + 1) χα , k −1 12 2 1 1 + ni n j