S02.s1 Estadistica Inferencial Distribucion Muestral.pdfS02.s1 Estadistica Inferencial Distribucion Muestral.pdf

1. ESTADISTICA INFERENCIAL
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
SESION N°3

2. • Actividad: Los estudiantes comparten con el docente las dudas que hubieran existido en la
segunda sesión.
• El estudiante responde las siguientes preguntas:
1.- Que conoce o ha escuchado sobre distribución muestral?
2.- Y para que sirve la Distribución Muestral?
Inicio (10min)
Inicio

3. SABERES PREVIOS
LA ESTADISTICA INFERENCIAL
Que conozco de Distribucion Muestral?
Para que sirve?

4. LOGRO DE SESION
El estudiante conocerá los principales conceptos y cálculos referidos a la
distribución muestral, teorema del límite central, distribución muestral de la
media con varianza conocida y desconocida a fin de poder aplicarlos en el
campo de la ciencia e ingeniería.

5. • Actividad: A continuación el estudiante va revisar los conceptos básicos
correspondientes a Distribución Muestral y se van a plantear ejercicios
para poder desarrollar los conceptos revisados en clase.
TRANSFORMACIÓN (30 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo y Aprendizaje colaborativo.
Transformación

6. Datos/Observaciones
 La teoría del muestreo estudia las relaciones entre una población y las muestras
extraídas de la misma.
 Permite estimar cantidades desconocidas de la población como la media poblacional,
la varianza, etc., frecuentemente llamadas parámetros poblacionales a partir de las
correspondientes cantidades muestrales como son la media, la varianza, y otros
estadísticos muéstrales o brevemente llamados estadísticos.
 La teoría de muestreo es útil para determinar por ejemplo: el aplicar un nuevo suero
para el tratamiento de una enfermedad, o decidir si un proceso de producción es mejor
que otro. estas decisiones envuelven a los llamados ensayos e hipótesis de
significación.
 En general, a todo lo mencionado anteriormente se le conoce como inferencia
estadística.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

7. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Consideremos todas las muestras de tamaño n que pueden
extraerse de una población . (con o sin reemplazo).
Si obtenemos estadísticos , tales como la media (ഥ
𝑿), la
proporción p, la desviación típica (desviación estándar)
s, etc., que varían de una muestra a otra. Formaremos una
distribución del estadístico deseado, lo que se conoce como
distribución muestral.
 Si, el estadístico es la media muestral ( ഥ
𝑿 ) , la
distribución se conoce como distribución muestral de la
medias.
 Si, el estadístico es la proporción muestral p, la
distribución se conoce como distribución muestral de la
proporción.
N

2

X
S2
p
MUESTREO
n
Población
Muestra

8. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
supóngase que son extraídas de una población Infinita todas las posibles muestras sin
remplazo de tamaño n. si se denota:
 La media (µ) y la desviación típica () de la población
 La media (𝝁ഥ
𝑿 ) y la desviación típica ( 𝝈ഥ
𝑿) de la distribución muestral
La distribución muestral de las medias cumplen la siguiente igualdad:
𝜇 ത
𝑋 = 𝜇
𝜎 ത
𝑋 =
𝜎
𝑛
NOTA:
Si el muestreo es sin reemplaz
de un población finita
𝜇 ത
𝑋 = 𝜇
𝜎 ത
𝑋 =
𝜎
𝑛
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
¿Estas muestras aleatorias a que tipo de distribución se ajustan?

9. Datos/Observaciones
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
Caso 1: Población con distribución normal: 𝑿~𝑁 𝜇, 𝜎2
Si la muestra aleatoria 𝑋1, … , 𝑋𝑛 Tiene distribución normal con media µ y desviación
típica :
Para cualquier tamaño de muestra (n):
La media muestral también tiene una distribución normal con
media 𝜇 ത
𝑋= 𝜇 y desviación Típica: 𝜎 ത
𝑋 =
𝜎
𝑛
Notación Estadística Si: 𝑿~𝑁 𝜇, 𝜎2
→ ഥ
𝑿~𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
Caso 2: Población con distribución no normal: 𝑿~? ? 𝜇, 𝜎2
Teorema del limite central
Si la muestra seleccionada tiene un tamaño mayor o igual a 30, sea cual sea la
forma de la distribución de la población (sea normal o no), las medias de todas
las muestras seleccionadas de la población tendrán una distribución normal.

10. Datos/Observaciones
PRUEBA DE NORMALIDAD
Se aplica para comprobar si la distribución de datos de una muestra se ajusta a una
Distribución Normal Teórica.
Existen diversas pruebas para comprobar si una distribución de datos se ajusta a una
distribución normal, para nuestro análisis aplicaremos la Prueba de Kolgomorov Smirnov:
Prueba de Kolgomorov Smirnov
Prueba de Kolgomorov Smirnov(KS): Es una prueba no paramétrica que determina la
bondad de ajuste de un conjunto de datos con una distribución especifica. Se deben
realizar los siguientes pasos:
1.- Ho: Los datos analizados siguen una distribución normal estándar
H1: Los datos analizados no siguen una distribución normal estándar
2.- α = 0.01, 0.05, 0.01

11. Datos/Observaciones
PRUEBAS DE NORMALIDAD
3.- Estadístico de Prueba:
Donde:
Xi: es el i-esimo valor observado en la muestra( Cuyos valores se han ordenado previamente de mayor a
menor)
Fn( Xi): es un estimador de la probabilidad de observar valores menores o iguales que Xi
Fo( Xi): es la probabilidad de observar valores menores o iguales que Xi cuando Ho es cierta
Así pues D es la mayor diferencia absoluta entre la frecuencia acumulada observada Fn(Xi) y la frecuencia
acumulada teórica Fo(x) obtenida a partir de la probabilidad que se especifica como Hipótesis Nula.
Para efectos prácticos 𝐷+
= 𝐷− =
Por tanto a partir de estos Valores

12. Datos/Observaciones
PRUEBAS DE NORMALIDAD
4.- Por tanto el criterio para rechazar o aceptar la prueba de hipótesis es:
Donde Dα =
Cα podrá tomar los siguientes valores:
K(n) podrá tomar los siguientes valores:

13. Datos/Observaciones
Ejemplo Nª1
Se tienen los ingresos de un grupo de 10 ingenieros egresado de la UTP, los
cuales se presentan a continuación( en miles):
6.0, 2.3, 4.8, 5.6, 4.5, 3.4, 3.3, 1.9, 4.8, 4.5
Probar que los sueldos se ajustan a una distribución normal con un nivel de
significación de α= 0.05
Solución:
α = 0.05
. Ho: Los Sueldos siguen una distribución normal estándar
H1: Los Sueldos no siguen una distribución normal estándar

14. Datos/Observaciones
A partir de la definición se construye la siguiente tabla: donde X= 4.1, S= 1.34
Los cálculos para la primera fila será:
Z = Y1 – x = 1.9 – 4.1 = -1.628
S 1.34
Fo = P( Z=- 1.628) = 0.051
D1+ = 0.1- 0.051 = 0.049
D1- = 0.051 – 0 = 0.051
= 0.216
Conclusión:
Como D < Dα, se puede
concluir que los sueldos de
los ingenieros de la UTP se
ajustan a una distribucion
Normal

15. Datos/Observaciones
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON
VARIANZA CONOCIDA
Sabemos que si de una muestra aleatoria (x1, x2, . . . . . , xn)de tamaño n, procedente
de una población normal N μ,σ2 ; entonces la distribución de la media muestral
tendrá una distribución normal para cualquier tamaño.
Resumen: Si: 𝑿~𝑁 𝜇, σ2 → ത
𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
𝑺𝒊: 𝑿~? ? 𝜇, σ2 𝑻𝑳𝑪 𝒔𝒊 𝒏 ≥ 𝟑𝟎 → ത
𝑋~𝑁 𝜇,
𝜎
𝑛
Emplearemos tabla Z
cuando:
a. n ≥ 30 y σ2 conocida
b. n < 30 y σ2 conocida.
→ 𝑍 =
ത
𝑋 − 𝜇
𝜎
n
𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓𝒊𝒛𝒂𝒄𝒊ó𝒏
~𝑁(0,1)

16. Datos/Observaciones
PRACTICA Nª1( 15 Minutos)
El valor nominal de la resistencia de una lámina de un
metal compuesto es de 8500 psi. Por estudios pasados se
conoce que la desviación estándar de esta resistencia es
1950 psi. Se tiene una muestra de 100 láminas. ¿Cuál es la
probabilidad de que la media de esa muestra:
a) Sea mayor a 8900 psi?
b) Sea menor a 8000 psi?

17. Datos/Observaciones
SOLUCION Nª A
DATOS DEL PROBLEMA:
=8500
=1950 (conocida)
n=100
Variable: X resistencia de una lámina
a. Media mayor que 8900 ( ҧ
𝑥 > 8900)
)
𝑷(ഥ
𝒙 > 𝟖𝟗𝟎𝟎) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 8900
Estandarizando
1 − 𝑃 𝑍 ≤
8900 − 8500
1950
100
1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2.05
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑧
)
=
∴ 𝑃( ҧ
𝑥 > 8900) = 1 − 𝟎. 𝟗𝟕𝟗𝟖𝟐 = 0.02018
Recordando
𝑍 =
ത
𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
~𝑁(0,1)
1
( ( )
) P Z a
P Z a  
 

18. Datos/Observaciones
SOLUCION Nª B
DATOS DEL PROBLEMA:
=8500
=1950 (conocida)
n=100
Variable: X resistencia de una lámina
a. Media menor que 8000 ( ҧ
𝑥 < 8000)
𝑃( ҧ
𝑥 < 8000) = 𝑃 𝑍 <
8000 − 𝟖𝟓𝟎𝟎
1950
100
= 𝑃(𝑍 < −2.56
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎
) = 0.00523

19. Datos/Observaciones
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON
VARIANZA DESCONOCIDA
Condiciones:
Se utiliza en muestras pequeñas de menos de 30 elementos.
La desviación estándar de la población (𝝈) no se conoce.
Distribución Población tiene que ser normal
.
DISTRIBUCIÓN T- STUDENT
Características:
Es simétrica, cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
Las áreas de los extremos las cuales son más amplias que la distribución
normal, como consecuencia de que usualmente se trabaja con muestras
pequeñas
Tiene grados de libertad (g.l) : V = n – 1 , cuando V → ∞ la curva T se
aproxima a la Normal

20. Datos/Observaciones
=
Recordando
𝑍 =
ത
𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
~𝑁(0,1)
1
( ( )
) P Z a
P Z a  
 
Grados de
Libertad!
Valores T

21. Datos/Observaciones
PROBLEMA Nª2
Una máquina produce piezas con un tamaño que se ajusta
a una distribución normal cuyo valor medio es de 14 cm.
¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra
de tamaño 20 sea menor que 14.58 cm., sabiendo que la
varianza muestral ha sido de 9 cm2 ?
PRACTICA Nª2 ( 15 minutos)

22. Datos/Observaciones
SOLUCION Nª 2
DATOS DEL PROBLEMA:
=14CM
S2=9 cm2 (σ2 desconocida)
n=20
Variable: X:Tamaño de la pieza en cm
Si: 𝑋~𝑁 𝜇, ? ?  ത
𝑋~𝑁 𝜇,
𝑆
𝑛
Entonces:ഥ
𝑋~𝑁 14,
3
20
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜎2 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑛 < 30
𝑃𝑖𝑑𝑒𝑛: 𝑃 ҧ
𝑥 < 14.58
Estandarizando: = 𝑃 𝑡𝑛−1 <
14.58 − 14
3
20
→ 𝑃 𝑡19 < 0.8646
𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑇
≅ 0.80
Recordando: 𝑇 =
ത
𝑋−𝜇
𝑆
n
~𝑇𝑛−1

23. Actividad:
• Lluvia de Ideas: El estudiante responde 4 principales
preguntas del docente sobre su aprendizaje en la clase de
hoy.
CIERRE (15 min)
Principio pedagógico: Aprendizaje autónomo.
Cierre

24. Datos/Observaciones
1. ¿Qué es la distribución muestral de medias?
2. ¿Cuándo se aplica el teorema del límite central?
3. ¿Cuándo se aplica la distribución Z?
4. ¿Cuándo se aplica la distribución T-Student?
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?