Fp5 s caldifeintegral1

2 PRELIMINARES
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2012.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 2,160 ejemplares.
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero
Director Académico
Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Segunda edición 2012. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaborador:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Revisión Disciplinaria:
Margarita León Vega
Corrección de Estilo:
María Esperanza Brau Santacruz
Supervisión Académica:
Mtra. Luz María Grijalva Díaz
Diseño:
Joaquín Alfredo Rivas Samaniego
Edición:
Bernardino Huerta Valdez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Diana Irene Valenzuela López
Coordinación General:
Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela

3PRELIMINARES
Ubicación Curricular
HORAS SEMANALES:
03
CRÉDITOS:
06
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: _______________________________________________________________
Plantel: __________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________
E-mail: _________________________________________________________________
Domicilio: ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
COMPONENTE:
FORMACIÓN PROPEDÉUTICA
GRUPO:
FÍSICO – MATEMÁTICO Y
QUÍMICO – BIOLÓGICO

5PRELIMINARES
Presentación .........................................................................................................................................................7
Mapa de asignatura..............................................................................................................................................8
BLOQUE 1: ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS
DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES .....9
Secuencia Didáctica 1: Antecedentes del Cálculo ............................................................................................10
• Evolución del cálculo..................................................................................................................................11
Secuencia Didáctica 2: Modelación de problemas ...........................................................................................15
• La variación de fenómenos ........................................................................................................................16
• Modelación con funciones .........................................................................................................................19
BLOQUE 2: RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER
ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL ....................................................................31
Secuencia Didáctica 1: Límite de una función...................................................................................................32
• Noción intuitiva de límite.............................................................................................................................34
• Teoremas de límites....................................................................................................................................46
• Límite de funciones algebraicas.................................................................................................................51
• Límites de funciones trascendentes...........................................................................................................60
• Límites en el infinito.....................................................................................................................................65
Secuencia Didáctica 2: Continuidad de una función.........................................................................................74
• Funciones continuas o discontinuas..........................................................................................................75
BLOQUE 3: ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES ...........85
Secuencia Didáctica 1: La derivada como razón de cambio instantáneo........................................................86
• Razón de cambio instantáneo....................................................................................................................93
Secuencia Didáctica 2: Reglas de derivación..................................................................................................107
• Derivada de una función...........................................................................................................................109
BLOQUE 4: CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE
OPTIMIZACIÓN ..................................................................................................................................135
Secuencia Didáctica 1: Aplicaciones de la derivada.......................................................................................136
• Puntos críticos de una función .................................................................................................................139
• Criterio de la primera derivada para la clasificación de los puntos críticos de una función...................146
• Resolución de problemas de optimización..............................................................................................160
Secuencia Didáctica 2: Concavidad de una función.......................................................................................166
• Criterio de la segunda derivada ...............................................................................................................167
Bibliografía ........................................................................................................................................................178
Índice

7PRELIMINARES
“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.
El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso
que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las
competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propósito en un determinado contexto.
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Calculo Diferencial e Integral 1, es una herramienta de suma
importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se
establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está
implementando a nivel nacional.
El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de
estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios
local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias
didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y
cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las
preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a
abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos
conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que
tu aprendizaje sea significativo.
Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y
actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma
individual, binas o equipos.
Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de
campo, etc.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa,
de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una
visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a
través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el
propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este
ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para
mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la
finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las
actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que
les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que
contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser
receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización
de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir
juntos.
Presentación

estas son
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
La evolución del Cálculo
Modelar problemas
Límites de funciones
Continuidad
La derivada de la
función
Teoremas sobre
derivadas
 Polinomiales
 Racionales
 Trigonométricas
 Logarítmicas
 Exponenciales
Teoremas
 Límites unilaterales.
 Límites absolutos.
 Límites en el infinito y
al infinito.
Razón de cambio
Criterio de la
primera derivada
Optimización de
funciones
Concavidad de
funciones
Trazo de curvas
Valores máximos y
mínimos
contiene
con el fin de
para
se determinan los
se interpreta como
para obtener
en relación con
para
para
Resolver problemas de diferentes sectores
productivos, ambientales y sociales
mediante
aplicando
se define como
Funciones algebraicas Funciones trascendentales
Criterio de la
segunda derivada
Funciones crecientes
y decrecientes
La pendiente de la
recta tangente
se interpreta como se calculan por medio del
para determinar

Tiempo asignado: 10 horas
Argumenta el estudio del cálculo mediante el análisis
de su evolución, sus modelos matemáticos y su
relación con hechos reales.
Competencias disciplinares:
 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el
lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de
los objetos que lo rodean.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Unidad de competencia:
 Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta
con su aplicación en situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica.
 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos
matemáticos.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al
alcance de un objetivo.
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su
relevancia y confiabilidad.
7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos
específicos.
8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos
equipos de trabajo.

10 ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES
Secuencia didáctica 1.
Antecedentes del Cálculo.
Inicio
Evaluación
Actividad:1
Producto: Descripción y
cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Reconoce personajes que
contribuyeron al desarrollo de
las Matemáticas.
Explica las contribuciones a las
Matemáticas de personajes de la
historia.
Describe en forma clara y limpia
las contribuciones de diferentes
personajes de la historia, a las
Matemáticas.
Autoevaluación
C MC NC Calificación otorgada por el
docente
Realiza lo siguiente.
I. Enuncia cinco personajes de la historia que hayan contribuido con el desarrollo de las
Matemáticas.
1) __________________________________________________________________________________________
2) __________________________________________________________________________________________
3) __________________________________________________________________________________________
4) __________________________________________________________________________________________
5) __________________________________________________________________________________________
II. Describe cuáles fueron las aportaciones de los personajes que mencionaste.
III. ¿Por qué crees que es importante conocer la historia de las Matemáticas?
IV. ¿Cuáles crees que son los beneficios que han aportado las Matemáticas en tu vida?
Actividad: 1

11BLOQUE 1
Desarrollo
Evolución del Cálculo.
El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de
curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Se utiliza
para el análisis y la solución de múltiples problemas que se presentan en la naturaleza, en la ciencia y en la vida
diaria.
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Línea del tiempo. Puntaje:
Saberes
Describe el origen del Cálculo y
sus aportaciones.
Representa el origen del Cálculo y
sus aportaciones.
Es creativo al realizar la
representación de los
acontecimientos que dieron
origen al Cálculo.
Autoevaluación
docente
Realiza lo que se te solicita.
1. Investiga cómo se originó el Cálculo y las aportaciones que se hicieron al mismo.
2. Realiza una línea del tiempo en donde plasmes los acontecimientos, incluyendo fechas, hechos e imágenes
de los principales aportadores.
3. Una vez que hayas elaborado la línea del tiempo, pégala en el siguiente espacio, de manera que quede
doblado en el interior del módulo y no haya dificultad alguna al momento de mostrarlo a tu profesor.
Actividad: 2

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Presentación. Puntaje:
Saberes
Expone una breve biografía de
un personaje que aportó en gran
medida al desarrollo del Cálculo.
Sintetiza la información obtenida y
la reestructura en una
presentación.
Cumple con los requisitos de la
exposición.
Coevaluación
docente
Realicen en equipo lo siguiente:
I. Elijan un personaje que haya contribuido en gran medida al desarrollo del Cálculo, escribe su
nombre en la línea.
___________________________________________________
II. Realicen una presentación en Power Point, que contenga los siguientes puntos:
1. Datos generales del personaje (nombre completo, lugar, fecha de nacimiento y ocupación).
2. Aspectos de su infancia y adolescencia.
3. Su trayectoria como científico.
4. Cuáles fueron sus aportaciones al Cálculo.
III. La presentación deberá contener imágenes alusivas al personaje y su duración será de máximo 10 minutos.
IV. En la presentación incluirán una diapositiva final que contenga el nombre de los integrantes del equipo, su
aportación a la investigación y presentación del personaje.
V. Estos son algunos de los aspectos que deberán cuidar en la exposición.
Aspectos generales:
 Puntualidad.
 Uso del tiempo.
 Originalidad en la presentación.
 Contacto visual.
 Tono de voz.
Contenido:
 Vocabulario.
 Dominio del contenido.
 Procura la atención de sus compañeros.
 Secuencialidad.
Lámina:
 Tamaño de letra
 Ortografía.
 Rotulado.
 Calidad del contenido presentado.
Actividad: 3

13BLOQUE 1
Cierre
Realiza lo siguiente:
I. Escribe con tus propias palabras una cuartilla sobre la importancia del Cálculo en la
sociedad actual. Para hacerlo tienes que dar respuesta a los siguientes cuestionamientos.
1) ¿Qué es el Cálculo Diferencial e Integral?
2) ¿Cómo se ha desarrollado a través del tiempo?
3) ¿Cuáles son las aplicaciones del Cálculo en la actualidad?
4) ¿En tu entorno, dónde se aplica el Cálculo?
II. Para realizar tu escrito considera los siguientes aspectos:
 Estructura el título.
 Utiliza las palabras más adecuadas para expresar tus ideas.
 Elabora las oraciones de forma coherente y lógica.
 Revisa que estén correctos los signos de puntuación, letras mayúsculas y los acentos.
 Elabora un borrador para que te ayude a estructurar mejor tu escrito final y lo plasmes en la siguiente
hoja.
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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Actividad: 4

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Escrito. Puntaje:
Saberes
Identifica las aplicaciones del
Cálculo y su desarrollo a través
del tiempo.
Opina sobre la importancia del
Cálculo en la sociedad actual.
Cumple con los requisitos
indicados para realizar el escrito.
Autoevaluación
docente
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
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_________________________________________________________________________________________________
Actividad: 4 (continuación)

15BLOQUE 1
Modelación de problemas.
Inicio
Evaluación
Actividad:1
Producto: Complementación de la
tabla.
Puntaje:
Saberes
Identifica el nombre, figura y
fórmulas de diferentes figuras
geométricas.
Expresa el nombre, figura y
fórmulas de diferentes figuras
geométricas.
Despeja variables de fórmulas.
Se interesa por realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
Completa la siguiente tabla.
Nombre Figura geométrica Fórmulas Despeje
Rectángulo
h2b2P  b
hbA  b
b
a
h
A h
V a
r
b
r2P  r
2
rA  r
Esfera
2
r4A  r
3
r
3
4
V  r
r
b h
r
b
A r
V h
Cono
hr
3
1
V 2
 h
222
rhrrA   h
Actividad: 1

Desarrollo
La variación de fenómenos.
Es imposible imaginar al mundo que nos rodea sin movimiento; ¿has notado que todo lo que te rodea está
cambiando? Cambia la distancia a la que se encuentran dos personas cuando se aleja una de otra, la altura en que
se encuentra una persona cuando se tira en paracaídas; la temperatura de un líquido al aplicarle calor, la velocidad
con que se transporta un sujeto en su automóvil, de una ciudad a otra, etc. y no nada más a los cambios que surgen
en el transcurrir del tiempo, sino a cambios que se establecen para optimizar el desarrollo de la sociedad, como son:
la distribución de las casas, los materiales con los que están hechas, el cambio de las rutas del trasporte urbano
conforme crece la población, y así como estos ejemplos, podrías encontrar una gran diversidad de problemas en los
que es necesario la optimización de alternativas que tienen que ver con las variables involucradas y sus cambios.
En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes
formas, como son: tablas, gráficas, analíticas, entre otras, esto lo manejaste en Matemáticas 4.
Conjugar las diferentes representaciones ayuda a tener una mejor perspectiva de los problemas para así poder darles
solución.
Para encontrar la representación analítica de un problema, es importante establecer la dependencia de las variables,
es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, en otras palabras, cuándo una cantidad está en
función de otra. Por ejemplo:
 El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la
velocidad que lleva.
 El volumen de un recipiente, depende de la forma y el tamaño.
 La cantidad de líquido en un recipiente que se coloca en el fuego, depende del tiempo
que se exponga y la intensidad de calor.
 El nivel de agua en una presa, depende de muchas variables,
algunas de ellas son, la cantidad que pierde al evaporarse, la
cantidad de agua que ingresa de otras afluencias, la cantidad
de lluvia, la cantidad que pierde al abastecer a las diferentes
comunidades, etc.
 El costo de elaboración de un recipiente cilíndrico de determinado volumen, depende del
material con que se elabora, del área de la superficie del cilindro, etc.
 El costo de producción del recipiente anterior, tiene muchas variables, depende de la cantidad
de trabajadores, de la calidad del producto, del tiempo de producción, de la maquinaria, etc.

17BLOQUE 1
En equipo, analicen de qué depende cada una de las siguientes situaciones y enumera la
mayor cantidad posible.
1. El volumen de un globo que se está inflando.
2. El nivel del agua de un recipiente cilíndrico cerrado que es llenado hasta la mitad al ir girando hasta 180o
, es
decir, que la tapa queda como base.
3. La velocidad a la que cae una pelota.
4. La distancia a la que llega un proyectil.
5. Lo que pagas por consumo de luz en un mes.
Actividad: 2

Evaluación
Actividad: 2 Producto: Descripción. Puntaje:
Saberes
Identifica las relaciones entre las
variables que componen una
situación.
Distingue las relaciones entre las
variables que componen una
situación.
Es respetuoso y muestra interés
en la opinión de sus compañeros.
Aporta ideas claras para la
realización de la actividad.
Coevaluación
docente
6. El área de un círculo.
7. El volumen de un cilindro.
8. El volumen de un prisma.
9. El sueldo de un trabajador.
10. El costo de un determinado artículo.

19BLOQUE 1
Modelación con funciones.
Una de las representaciones más usadas en los laboratorios e industrias son los registros numéricos o tablas, ésta se
lleva a cabo, tomando el registro del comportamiento de la situación en cada instante de tiempo, con instrumentos
especializados, donde se puede medir la velocidad, la temperatura, la posición de una partícula, la presión, la fuerza,
etc.
Cuando se tiene el registro numérico de un problema, se pueden analizar varios aspectos como es la velocidad con
que cambian los factores involucrados, también se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o
bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se
llevó a cabo.
Desafortunadamente, la exactitud del análisis de una tabla depende del número de registros que se hayan recabado,
además del tamaño de intervalos en los que se tomó la lectura, como por ejemplo:
Tres personas hicieron 10 registros con sensores conectados a una computadora, de la posición de un automóvil que
transita por una carretera recta al transcurrir el tiempo y obtuvieron los siguiente resultados.
Donde “t” es el tiempo transcurrido en segundos y “x” es la posición del automóvil medida en metros.
Si no se tuviera la información del problema, a simple vista se podría pensar que se trata de tres situaciones
diferentes, pero al observar las tablas anteriores se puede determinar que se trata del mismo auto o tres automóviles
que salieron al mismo tiempo y llevan hasta los 2.25 s la misma velocidad constante; debido a que en las tres tablas
la posición inicial es de 20 m.
Para complementar el análisis de un problema, se puede utilizar la representación gráfica, utilizando los datos de una
tabla, con el propósito de obtener información más detallada del problema. Por supuesto, si se tiene la representación
analítica (función) de una situación, se conoce exactamente el comportamiento numérico y gráfico en cada instante.
Como por ejemplo, si se grafican las tablas anteriores, se observa que tienen la misma inclinación, cortan al eje
vertical en el mismo punto y se pueden modelar mediante una función lineal, como se muestra a continuación.
t x
0 20
1 50
2 80
3 110
4 140
5 170
6 200
7 230
8 260
9 290
t x
0.0 20
0.5 35
1.0 50
1.5 65
2.0 80
2.5 95
3.0 110
3.5 125
4.0 140
4.5 155
t x
0.00 20.0
0.25 27.5
0.50 35.0
0.75 42.5
1.00 50.0
1.25 57.5
1.50 65.0
1.75 72.5
2.00 80
2.25 87.5
Persona 2 Persona 3
.
Persona 1

            































t(s)
x(m)
            































t(s)
x(m)
            































t(s)
x(m)
La función anterior se conoce como función lineal y en Matemáticas 3 la conociste en su forma pendiente-ordenada
en el origen.
En ocasiones, a partir de un registro numérico, se puede generalizar y establecer en forma analítica (función) la
relación que existe entre las variables involucradas y de esta forma, llevar a cabo un análisis más completo del
comportamiento del problema y así poder determinar con exactitud la gráfica.
Además, si se tiene de forma detallada alguna situación, se puede modelar con una función y así poder encontrar
aspectos importantes para su manejo y solución.
Enseguida se presentan la modelación con funciones, mediante la descripción detallada de algunas situaciones.
Ejemplo 1.
El volumen de una caja rectangular sin tapa, en función de los cuadrados de longitud “x” que se recortan en los
extremos de una lámina de 60 cm de largo, por 40 cm de ancho.
60 – 2x
40 – 2x
x
60
x
40
)x)(x240)(x260()x(V 
x2400x200x4)x(V 23

20t30)t(x 
Posición inicial
Velocidad del automóvil

21BLOQUE 1
Si se conoce la representación analítica de un problema, se pueden representar de forma numérica y gráfica los
factores más importantes que intervienen en el análisis de la situación; como por ejemplo, la función que se obtuvo
del volumen de la caja sin tapa, quedó determinada de la siguiente forma:
x2400x200x4)x(V 23

De tal manera que, si se quiere conocer cómo varía el volumen cuando cambia la longitud del cuadrado recortado,
sólo es necesario asignarle valores a la longitud y se obtendrán los respectivos valores del volumen, como se
mencionó con anterioridad, el registro numérico será tan exacto como tú quieras, debido a la forma en que vayas
proporcionando el incremento de la longitud, por ejemplo:
x V(x)
3 5508
4 6656
5 7500
6 8064
7 8372
8 8448
9 8316
10 8000
Si se observa la tabla, se puede notar cómo a medida que cambia la longitud, varía el volumen y si se sustituyen más
valores de “x” en la tabla, se puede obtener un mejor acercamiento de la gráfica, como se muestra a continuación:
La tabla se realizó mediante Excel; de tal manera, que si deseas hacer una tabla con
incrementos más pequeños, comenta con tu maestro y con el mismo paquete
informático, puedes hacer una gráfica más fina que la anterior, para que puedas
tener una información más exacta del problema.
x V(x)
0 0
1 2204
2 4032
3 5508
4 6656
5 7500
6 8064
7 8372
8 8448
9 8316
10 8000
11 7524
12 6912
13 6188
14 5376
15 4500
16 3584
17 2652
18 1728
19 836
20 0
V(x)
x
(
c
m
.
)

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Cuestionario. Puntaje:
Saberes
Reconoce características
importantes para la solución del
problema.
Detecta algunas características del
problema, para graficarlo y darle
solución.
Se interesa en el análisis de los
cuestionamientos y aporta ideas
claras y concisas de su solución.
Autoevaluación
docente
De la información antes obtenida del problema de la caja, analiza y comenta en clase
las respuestas a las siguientes preguntas.
1. ¿Qué ocurre con el volumen de la caja a medida que se cortan cuadros cada vez más grandes?
2. ¿Cuál es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamaño que se puede recortar?
3. ¿Existe una caja que tenga el volumen máximo? Justifica tu respuesta.
4. ¿Cuál será la longitud del cuadrado base que se recorta para construir la caja de máximo volumen?
5. ¿De qué forma se podría conocer la longitud del cuadrado, tomado como base de la caja que nos da mayor
volumen?
6. ¿Cómo sería la gráfica de la función que describe a este problema?
Actividad: 3

23BLOQUE 1
Ejemplo 2.
Expresar el área de la caja anterior, en función de la longitud del lado de los cuadrados.
Para expresar el área de la caja, se tiene que encontrar primero el área de cada uno de los rectángulos que la
forman.
VIVIIIIII AAAAA)x(A 
2400x200x4A
x40x2AA
x60x2AA
2
III
2
IVII
2
VI



Por lo tanto, la función queda:
2400x4)x(A
2400x200x4)x40x2(2)x60x2(2)x(A
2
222


Ejemplo 3.
Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama siguiente:
Para expresar la longitud L en función del ángulo , es
necesario recordar los temas de triángulos semejantes y
funciones trigonométricas, debido a que los ángulos de
los triángulos ACB y DCE tienen la misma medida. Si al
segmento BC se le asigna la letra x, se obtiene la
siguiente expresión:
x
x52.1
73.0
L 

)x52.1)(73.0()x)(L( 
Al realizar el despeje de L se obtiene:
73.0
x
1096.1
L 
De tal forma que utilizando las funciones trigonométricas, la longitud L en función de  es:
73.0tan52.1)(L  
I
III
60 – 2x
40 – 2xII IV
V
E
C
A
B D
0.73 m
 
L
1.52 m

Ejemplo 4.
Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2
en dos porciones
iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud
“x”.
La cantidad de alambre (perímetro) se expresa mediante la
fórmula
y3x2L 
Tomando en cuenta que el área es de 1800 m2
, se obtiene la
siguiente expresión:
xy1800 
De tal forma que la cantidad de alambre en función de “x” es:
x
5400
x2)x(L 
x
1800 m2
y
En equipo, redacten 5 preguntas para cada uno de los ejemplos 2, 3 y 4 de esta
secuencia, de tal forma que describa el comportamiento de cada función, para
posteriormente dar una conclusión grupal a cada una de ellas.
Descripción Dibujo Función que lo modela
Expresar el área de la caja anterior
en función de la longitud de los
lados de los cuadrados.
I
III
60 – 2x
40 – 2xII IV
V
2400x4)x(A 2

Preguntas
Conclusión:
Actividad: 4

25BLOQUE 1
Descripción Dibujo
Función que lo
modela
Una bola de billar
recorre la trayectoria
indicada por el
diagrama. Expresar la
longitud L en función
del ángulo .
73.0tan52.1)(L 
Preguntas
Conclusión:

Evaluación
Actividad: 4 Producto: Conclusión grupal. Puntaje:
Saberes
Comprende las características
principales de las funciones que
describen el problema.
Diseña cuestionamientos que
describe el comportamiento de la
función que modela el problema.
Es propositivo para diseñar las
preguntas, escucha y respeta las
opiniones de sus compañeros.
Coevaluación
docente
Descripción Dibujo Función que lo modela
Expresar la cantidad de alambre (L)
necesaria para cercar un terreno
rectangular de 1800 m2
en dos
porciones iguales, con una cerca
adicional paralela a dos de los
lados, como se muestra en la
figura, en término de la longitud “x”.
x
1800 m2
y
x
5400
x2)x(L 
Preguntas
Conclusión:

27BLOQUE 1
Cierre
Modela los siguientes problemas:
1. Expresa el área de un cono circular en función de la altura, si el volumen es de 50 cm3
.
2. Se desea construir un cilindro de 60 cm3
de volumen, expresa el área del cilindro en función de su radio.
Actividad: 5

3. Se desea fabricar un tanque de gas estacionario en forma de cilindro circular horizontal de
3.5 m de largo, para una fábrica de muebles. Expresa el volumen en función del radio.
4. Don Agustín heredó a su hijo un terreno rectangular de 1,500 m2
. Si tiene la oportunidad de elegir las
dimensiones del terreno, determina la longitud del alambre que utilizará para cercarlo, en función de uno de
sus lados.

29BLOQUE 1
Evaluación
Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje:
Saberes
Relaciona las variables que
componen un problema.
Construye la función que modela
un problema.
Es creativo y muestra interés en
realizar la actividad.
Autoevaluación
docente
5. Un alambre de 1 m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado
formando un cuadro y otro formando un círculo, expresa la suma de las áreas de las dos
figuras en función de la cantidad “x” que debe ser cortada del alambre.

Resuelve problemas de límites en situaciones
de carácter económico, administrativo, natural
y social.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el
lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de
los objetos que lo rodean.
 Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la
vida cotidiana.
 Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en algún software y su interpretación de las representaciones gráficas
de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al
5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos
específicos.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos
equipos de trabajo.

32 RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL
Límite de una función.
Inicio
Realiza lo siguiente:
1. Una agencia de renta de automóviles cobra $60 diarios por alquiler de un automóvil, más $0.40
por km.
a) Escribe la fórmula del costo total de la renta por día.
b) Si rentas un carro por un día, ¿cuántos kilómetros podría recorrer por $220?
2. El precio de una computadora personal (en pesos) está dado por la expresión , donde “x”
es el tiempo en meses.
a) ¿Cuál será el precio de una computadora dentro de 6 meses?
b) ¿Cuánto bajará el precio del séptimo al octavo mes?
c) ¿En qué tiempo será de $9,200?
d) ¿Qué pasa con el precio conforme aumenta el tiempo?
e) ¿Consideras posible que la computadora salga gratis en un determinado número de meses? Justifica tu
respuesta.
Actividad: 1

33BLOQUE 2
Evaluación
Actividad:1 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:
Saberes
Describe el comportamiento de la
función que modela un problema
de la vida cotidiana.
Analiza el comportamiento de
funciones que modela problemas de
la vida cotidiana.
Muestra interés al realizar la
actividad, expresa sus ideas y
corrige sus errores.
Autoevaluación
docente
3. Traza la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones:
 Es creciente en el intervalo [−6, 0 ).
 Es constante de valor −2 en el intervalo [0, 5]
 Es decreciente en (5, 10]
 y

Desarrollo
Noción intuitiva de límite.
En el lenguaje ordinario, la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, confín o lindero. Sin embargo, en
Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un punto
o un valor. En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo más posible del origen, o hacer lo más grande
posible un número. A continuación se verá la noción de límite a partir de ejemplos prácticos.
Si se observa el velocímetro de un automóvil cuando está en marcha, sobre todo en el tráfico de una ciudad, la aguja de
éste se mueve constantemente, debido a que registra la velocidad definida en cada momento, puede verse que la aguja
no permanece inmóvil mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto no es constante. Al observar el velocímetro, se
supone que el vehículo tiene una velocidad definida en cada momento, la cual se denomina velocidad instantánea. Sin
este instrumento sería prácticamente imposible conocer la velocidad instantánea, sin embargo, se puede calcular la
velocidad promedio del automóvil, dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido. Para conocer la velocidad
instantánea a partir de las velocidades promedio, es necesario recurrir al límite, como se observará en el siguiente
ejemplo:
Ejemplo 1.
Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Latinoamericana, la cual mide 204 m de altura.
Encontrar la velocidad de la pelota a los 5 segundos después de que se soltó.
Para resolver este problema se tiene que tomar en cuenta el descubrimiento que hizo Galileo
Galilei en el siglo XVI, el cual determinó que la distancia que recorre cualquier cuerpo que cae
libremente, es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Si la distancia
recorrida después de t segundos se denota mediante d(t) y se mide en metros, entonces la ley
de Galileo se expresa con la ecuación:
  2
t9.4td 
En el problema se desea encontrar la velocidad instantánea, debido a que especifica el momento en que se requiere
saber la velocidad, la cual es a los 5 segundos, es por ello que se recurrirá a la velocidad promedio o media (vm) para
calcular éste valor.
dotranscurriTiempo
recorridaciatanDis
mediaVelocidad 
Entonces, si se considera el intervalo de tiempo desde t=5 hasta t=5.5, la velocidad promedio es:
if
if
m
tt
dd
V



Donde fd es la distancia en el tiempo final 5.5tf  y id es la distancia en el tiempo inicial 5tf  , de tal manera que la
velocidad media se obtiene de la siguiente manera:
55.5
)5(d)5.5(d
Vm



Como la distancia recorrida después de “t” segundos está expresada por   2
t9.4td  , se tiene:
s
m
22
m 45.51
55.5
)5(9.4)5.5(9.4
v 



El resultado anterior corresponde a la velocidad promedio en el intervalo de [5.5−5] segundos; como se desea saber la
velocidad exactamente a los 5 segundos, se irá acortando el intervalo de manera que se haga lo suficientemente pequeño
y cercano a 5 segundos, para aproximar cuál será la velocidad en ese instante.

35BLOQUE 2
Ahora se tomará el intervalo un intervalo más pequeño. Por lo tanto, la velocidad media para ese intervalo será:
s
m
22
m
49.49
51.5
)5(9.4)1.5(9.4
51.5
)5(d)1.5(d
v







Mediante cálculos similares, se pueden ir tomando intervalos cada vez más pequeños, como se aprecian en la siguiente
tabla:
Intervalo de tiempo
(s)
Velocidad promedio
(m/s)
5 – 5.5 51.45
5 – 5.1 49.49
5 – 5.05 49.245
5 – 5.01 49.049
5 – 5.005 49.0245
5 – 5.001 49.0049
5 – 5.0005 49.00245
5 – 5.0001 49.00049
En ella se observa que, conforme se acorta el periodo de tiempo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/s. Por lo que,
la velocidad instantánea, cuando t=5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos
cada vez más cortos que se inician en t=5. Por consiguiente, la velocidad (instantánea) a los 5 segundos de lanzada la
pelota, es:
s
m49v 
Realiza lo que se te solicita:
1. Se lanza una pelota hacia el aire con una velocidad de 40 pies/s, su altura en pies, después de t
segundos, se expresa por y(t)=40t−16t2
.
a) Encuentra la velocidad promedio en cada uno de los intervalos que especifica la tabla.
Intervalo de tiempo
(s)
Velocidad promedio
(pies/s)
2 – 2.5
2 – 2.1
2 – 2.01
2 – 2.001
2 – 2.0001
b) Estima la velocidad instantánea para t=2.
Actividad: 2

2. Se dispara una flecha hacia arriba, con una velocidad de 58 m/s, su altura en metros, después
de t segundos, se expresa por h(t)=58t-0.82t2
.
a) Encuentra la velocidad promedio durante los intervalos:
[2.5−3], [2.9−3], [2.95−3], [2.99−3], [2.995−3],[2.999−3]
b) Estima la velocidad instantánea para t=3.
3. El desplazamiento oscilatorio de una partícula está dado por la función , donde el tiempo
se mide en segundos y el desplazamiento en centímetros.
a) Encuentra la velocidad promedio para el periodo que se inicia cuando t=1 y dura:
0.5, 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 y 0.001 seg.
b) Estima la velocidad instantánea de la partícula cuando t=1.
4. Como observaste, en los problemas anteriores se toman intervalos antes o después del tiempo en el que se
desea conocer la velocidad instantánea, ¿cambiaría el resultado de la velocidad instantánea si los intervalos se
toman de forma contraria?, es decir, si por ejemplo en cada intervalo del primer problema los intervalos se toman
antes del tiempo indicado, justifica tu respuesta.

37BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Identifica el límite de las
velocidades promedio, como
velocidad instantánea.
Estima el límite de las velocidades
promedio.
Es reflexivo al resolver la actividad.
Expresa las dudas al docente.
Autoevaluación
docente
En los problemas anteriores se observó que se requiere conocer el concepto de límite para establecer cantidades
importantes como es la velocidad instantánea de partículas, objetos, entre otros.
A continuación se observa la gráfica de la función 2
t9.4)t(d  que
describe el ejemplo 1, en ella se puede visualizar que, a medida que
transcurre el tiempo, la distancia que ha recorrido la pelota crece más
rápidamente, esto significa que su velocidad va aumentando a medida
que la pelota se acerca al piso.
Para graficar la velocidad de la pelota al transcurrir el tiempo, se tendría
que calcular las velocidades instantáneas en todo momento, desde que
se suelta a una altura de 204 m hasta que toca el suelo, resultando
tedioso determinar la gráfica de la velocidad de la pelota mediante
tablas, como se hizo en el ejemplo anterior. Por ello, se requiere conocer
un poco más de límites de funciones para poder generalizar.
Para completar el análisis se te proporcionará a continuación la gráfica
de la velocidad que lleva la pelota en cada instante de tiempo.
En el ejemplo 1, se tomó como intervalo inicial a [5 – 5.5] y
posteriormente se fueron tomando intervalos más pequeños
acercándose a 5. Nótese que los intervalos tomados estaban a la
derecha del 5 y a medida que se acercaron a él, el valor de la
velocidad promedio se aproximó a 49 m/s.
Con ello se puede decir que el límite por la derecha, cuando t se
acerca a 5, da como resultado que las velocidades promedio se
aproximen a 49 m/s.
Cabe mencionar que si se hubieran tomado intervalos, que se
acercaran a 5 por la izquierda, se obtendría el mismo resultado.
Como se observa en la gráfica, mientras los valores del tiempo se
acercan a t=5 tanto por la izquierda como por la derecha; los
valores de la velocidad promedio se aproximan a 49 m/s, tanto por
abajo como por arriba, respectivamente.
        























t
d(t)
        











t
v(t)

A continuación se desarrollará de manera general la noción de límite de una función, analizando las gráficas y
posteriormente se llevará a cabo la obtención algebraica del límite de una función.
Ejemplo 2.
Dada la gráfica de la función, determinar el límite en los valores indicados.
a) Cuando “x” tiende (se aproxima) a −4.
b) Cuando “x” tiende a 0.
c) Cuando “x” tiende a 2.
d) Cuando “x” tiende a 4.
Si utilizan flechas azules para indicar cómo se aproxima al valor por la izquierda y flechas rojas para observar cómo se
aproxima al valor por la derecha, éstas también auxilian al momento de ubicar el valor del límite de la función.
               











x
f(x)
               











x
f(x)

39BLOQUE 2
En seguida, se analizará cada uno de los límites que se solicitan en los incisos anteriores y se expresarán cada uno de los
límites en su forma algebraica.
a) Cuando “x” tiende a −4 por la izquierda, la cual se denota como 
 4x , se observa como la función va
incrementando su valor hacia 3; de igual forma, cuando “x” tiende a −4 por la derecha  
 4x la función va
disminuyendo su valor hacia 3, por lo tanto, se puede decir que el límite de la función cuando “x” tiende a −4
 4x  es 3.
El hecho de que el valor de la función en x=−4 no exista (punto hueco) no invalida el límite, porque precisamente se
acerca infinitamente a −4 sin tomar el valor exacto.
Forma algebraica Se lee
3)x(flim
4x



El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es 3.
3)x(flim
4x



El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es 3.
3)x(flim
4x


El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 es 3
b) Cuando “x” tiende a 0 por la izquierda  
 0x , la función decrece hacia 5, y cuando “x” tiende a 0 por la derecha
 
 0x la función incrementa su valor aproximándose a 5, por lo tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 0
 0x  es 5.
5)x(flim
0x



5)x(flim
0x



5)x(flim
0x

 El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 es 5.
c) Cuando “x” tiende a 2 por la izquierda  
 2x , la función disminuye su valor aproximándose a 3; cuando “x” tiende a
2 por la derecha  
 2x la función aumenta su valor aproximándose a 2; como ambos límites se aproximan a
valores diferentes de la función, este límite no existe.
3)x(flim
2x



2)x(flim
2x





)x(flim
2x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 0 no existe.
d) Al igual que el inciso anterior, el límite de la función cuando “x” tiende a 4 no existe, debido que el límite cuando “x”
tiende a 4 por la izquierda  
 4x se va hacia  , y el límite de la función cuando “x” tiende a 4 por la derecha
 
 4x se va hacia  .



)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la izquierda es − .



)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 por la derecha es .


)x(flim
4x
El límite de f(x) cuando “x” tiende a 4 no existe.

Los límites que se obtienen por uno de los lados, ya sea por la derecha o por la izquierda, se les conoce como límites
unilaterales y cuando estos son iguales, el límite de la función existe y es igual al valor de los límites unilaterales, pero
cuando ambos límites se van al infinito ( ) o al menos infinito ( − ), se dice que el límite de la función no existe.
Escribe los límites que se indican en cada una de las gráficas.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Actividad: 4
           

















x
h(x)
           















x
f(x)

41BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Identifica el límite de una función
dada su gráfica.
Obtiene el límite de una función dada
su gráfica.
Aprecia la facilidad de ubicar los
límites de una función cuando se
conoce su gráfica.
Autoevaluación
docente
a)
b)
c)
a)
b)
c)
        











x
g(x)
             















x
L(x)

Los límites también son útiles para obtener el comportamiento de la gráfica de una función, cuando se conoce la
representación analítica de ésta, como se muestra en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 3.
Graficar la función
x3
x9
)x(f
2


 .
La función f(x) es racional y se indefine cuando x=−3, debido a que el denominador en ese valor se hace cero.
Para graficarla se toman algunos valores de su dominio y se sustituyen en la función para encontrar las coordenadas de
los puntos.
x )x(f
−5 8
−4 7
−3
−2 5
−1 4
0 3
1 2
2 1
3 0
4 −1
5 −2
Para observar el comportamiento alrededor de −3, se sustituyen valores muy cercanos a −3, tanto por la derecha como
por la izquierda, como se muestra en las siguientes tablas.
x )x(f x )x(f
−3.1 6.1 −2.9 5.9
−3.01 6.01 −2.99 5.99
−3.001 6.001 −2.999 5.999
−3.0001 6.0001 −2.9999 5.9999
−3.00001 6.00001 −2.99999 5.99999
Se puede observar que cuando “x” se acerca a –3 por la izquierda o por la derecha los valores de )x(f se aproximan a 6.
Este comportamiento se representa matemáticamente de la siguiente forma:
6)x(f  cuando 3x 
o bien, de manera formal:
6
x3
x9
lím
2
3x




Una vez obtenido el límite de la función, se puede ubicar el punto hueco a la altura de 6 y unir los puntos, como se
muestra a continuación.
           










x
f(x)

43BLOQUE 2
Ejemplo 4.
Elaborar la gráfica y obtener )x(flim
3x
, donde la función es:







3xsi13x
3xsi2x2
)x(f
En esta función, el dominio está formado por todos los números reales; se sabe que la gráfica de la primera parte de la
función es un “trozo” de una línea en forma de “V” debido a que es una función de valor absoluto, y la otra parte resultará
en una porción de una media parábola horizontal abierta hacia la derecha, dado que es una función irracional. Sin
embargo, no se sabe si esas dos partes se juntarán en un punto, para ello se debe considerar para qué intervalo de los
números reales es válida cada una de ellas.
Para este ejemplo, se sustituirá el valor de 3x  en la función de valor absoluto de manera abierta, es decir, con
paréntesis, pues dicho valor no se incluye en esa parte; sin embargo, para la función irracional, ese mismo valor sí se
incluirá pues sí está dentro de los valores correspondientes. De esta manera, la tabla de valores queda:
x 2x2)x(f  x 13x)x(f 
-1 6 [3] 1
-0 4 4 2
1 2 5 2.41
2 0 6 2.73
(3) (2) 7 3
La gráfica correspondiente a la función dada es:
           










x
f(x)
x<3
        







x
f(x)

Se puede notar en esta gráfica que las dos partes de la función quedan separadas; ahora, para obtener )x(flim
3x
se debe
tener la precaución de tomar los límites unilaterales correctos, debido a que las partes de las que se conforma la función
tienen restringido su dominio.
Debido a lo anterior, los límites se expresan de la siguiente forma:

 3x 
 3x
x 2x2)x(f  x 13x)x(f 
2.9 1.8 3.1 1.31
2.99 1.98 3.01 1.1
2.999 1.998 3.001 1.03
2.9999 1.9998 3.0001 1.01
2.99999 1.99998 3.00001 1.003
2)x(flim
3x



y 1)x(flim
3x



Como estos dos límites son diferentes, el límite buscado no existe:


)x(flim
3x
De todo lo anterior se desprende que, de manera intuitiva, el límite de una función es el valor al que se aproxima f(x)
cuando la variable “x” tiende a un valor dado. También se deduce que el límite existe, siempre y cuando, los límites
unilaterales coinciden, aun cuando la función no esté definida para el valor hacia donde “x” se aproxima. Así mismo, que
el límite no existe cuando los límites unilaterales no coinciden en el mismo valor, o cuando alguno de ellos se vaya al
infinito o al menos infinito.
Elabora la gráfica correspondiente de cada una las funciones y construye tablas de valores
para encontrar el límite dado:
1.
2.
Actividad: 5

45BLOQUE 2
3.
4.
5.

Evaluación
Saberes
dado una tabla de valores y su
gráfica.
Obtiene el límite de una función, a
partir de una tabla de valores y la
gráfica correspondiente.
Aprecia la necesidad de utilizar
algún software para graficar
funciones.
Autoevaluación
docente
Teoremas de límites.
En el tema anterior, se te presentó la noción intuitiva de límite, con el fin de introducirte al tema de una manera más o
menos sencilla e informal. Sin embargo, como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de
valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta razón, ahora se formaliza la obtención de
los límites mediante la utilización de algunos teoremas que ayudarán obtener de manera rápida, el límite de una función.
En estos teoremas sobre límites, “a” representa el valor hacia donde tiende “x”.
1. Límite de una constante:
Si c es una constante, entonces, cclim
ax


Ejemplos:
 1010lim
3x



44
4x
7)7(lim 

En otras palabras, este teorema indica que el límite de una función constante es la misma constante; recuerda que una
función constante es aquella en la cual no aparece la variable independiente “x”.
Para el siguiente teorema, la aproximación de “x” hacia el valor dado “a” es tan cercana, que bien se puede suponer una
sustitución de dicho valor en la función f(x), como se expresa a continuación:
2. Límite de la función identidad:
axlim
ax


Ejemplos:
 1xlim
1x


 5xlim
5x


 5xlim
5x



47BLOQUE 2
Aquí, el teorema dice que la función se acerca siempre al mismo valor hacia donde tiende la variable independiente “x”.
3. Límite de una constante multiplicada por una función:
Si c es una constante, entonces, )x(flimc)x(cflim
axax 

Ejemplos:
 15)3()5(xlim5x5lim
3x3x


   4)6()(xlimxlim
3
12
3
2
6x3
2
3
2
6x
 



4. Límite de una suma, de un producto y de un cociente:
Si 1
ax
L)x(flim 

y 2
ax
L)x(glim 

, entonces:
a) El límite de una suma de funciones es la suma de los
límites:
  21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)x(g)x(flim 

b) El límite de un producto de funciones es el producto
de los límites:
  21
axaxax
LL)x(glim)x(flim)x(g)x(flim 

c) El límite de un cociente de funciones es el cociente de
los límites, siempre y cuando el límite del
denominador sea diferente de cero:
0L,
L
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim 2
2
1
ax
ax
ax




Ejemplos:
 2limxlim52limx5lim)2x5(lim
3x3x3x3x3x 
 172)3)(5( 
 xlim)3(7lim)x3(lim7lim)x37(lim
2x2x2x2x2x 
 1367)2()3(7 
5. Límite de una potencia.
Si n es un entero positivo, entonces:
a) nn
ax
axlim 

b)   n
ax
n
ax
)]x(flim[)x(flim



Ejemplos:
 343]7[]xlim[xlim 33
7x
3
7x


 423)5(4)5(3limx4limxlim)3x4x(lim 2
5x5x
2
5x
2
5x



 
  2
1
200
10
2limxlimxlim
1limxlim
2xxlim
1Xlim
2xx
1x
lim
0x0x
2
0x
0x0x
2
0x
0x
20x






















6. Límite de una raíz.
Si existe )x(flim
ax
, entonces:
n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim


Siempre y cuando “n” sea un entero positivo impar, o
bien, “n” sea un entero positivo par y 0)x(flim
ax


.
Ejemplos:
 112)1)(3(2limxlim3)2x3(lim2x3lim 55
5
1x1x
5
1x
5
1x


 2
7
14
18
216
1)4(2
4)4(4
1limxlim2
xlimxlím4
1x2
xx4
lim
4x4x
4x4x
4x















             008428limxlim28limx2lim8x2lim8x2lim
33
3
4x4x
3
4x4x
3
4x
3
4x


       

3limxlim3xlim3xlim
3x3x3x3x
Aunque el resultado algebraico es 0, el límite no existe, debido a que es una de las condiciones del teorema; el 3xlim
3x


debe ser mayor que 0, por ser una raíz cuadrada, de no ser así, el límite no existe.
En la siguiente actividad analizarás esta condición y concluirás el por qué se establece en el teorema.

49BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Identifica el comportamiento de
una función, para determinar el
límite de la misma a un valor
determinado.
Contrasta el límite de una función
con el comportamiento de la misma
visualizado en su gráfica.
Es respetuoso con sus
compañeros, realiza aportaciones
en el desarrollo de la actividad.
Coevaluación
docente
En equipo, realicen lo que se les solicita.
1. Tracen las gráficas de las dos últimas funciones de los ejemplos anteriores, analicen y justifiquen
los resultados de sus límites.
2. Comenten sus observaciones con el grupo y escriban en siguiente espacio la conclusión a la que llegaron.
Actividad: 6

Evaluación
Saberes
Identifica los teoremas que
requiere aplicar para resolver
límites de funciones.
Aplica los teoremas de límites para
resolver límites de funciones.
Realiza el proceso con limpieza y
claridad.
Autoevaluación
docente
Calcula el valor de los siguientes límites, utilizando los teoremas.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Actividad: 7

51BLOQUE 2
Límites de funciones algebraicas.
A continuación se abordarán los límites de funciones, analizando comportamientos similares dependiendo de su
clasificación.
En la sección anterior se determinaron los teoremas sobre límites, y al aplicarlos de forma literal se hace el proceso un
poco tedioso, a continuación se mostrará un nuevo teorema que engloba la mayoría de los teoremas y agiliza el resultado
de los límites.
Límites de funciones polinomiales.
Una función polinomial es aquella que se expresa como:
  01
2
2
3n
3n
2n
2n
1n
1n
n
n axaxa...xaxaxaxaxf  





Donde an, an.1,…, a1, a0 son constantes y n es un número no negativo.
El dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números reales.
Debido a la forma que tienen las funciones polinomiales, se requieren los cinco primeros teoremas de límites,
exceptuando la multiplicación y división de funciones, es por ello que, éstos se conjugan en un nuevo teorema que agiliza
el proceso.
7. Límite de un polinomio.
Si f(x) es una función polinomial y “a” es cualquier número
real, entonces:
   afxflim
ax


Ejemplo 1.
Calcular el
2
9
lim
2x


y verificar el resultado, graficando la función.
Este límite se resuelve con el teorema de límite de una función constante, o bien con este último, sólo que al no haber
variable independiente (x) no existe lugar dónde sustituir, es por ello que permanece como resultado la misma constante.
2
9
2
9
lim
2x


Esto se puede verificar con la gráfica de la función
2
9
)x(f 
En la gráfica también se refleja una especie de comprobación del
teorema, porque independientemente del número al que se aproxime
“x”, el valor del límite siempre será la misma función constante.          









x
f(x)

Ejemplo 2.
Calcular el x4lim
2x


y verificar el resultado graficando la función.
Sustituyendo el valor en la función se obtiene el límite:
  824x4lim
2x


Se utiliza una tabla de valores para graficar la función y comprobar el resultado del límite.
Ejemplo 3.
Calcular el )3xx2(lim 2
3x


y verificar el resultado graficando la función.
Utilizando el teorema anterior, se tiene:
    183332)3xx2(lim 22
3x


Ahora se le dan distintos valores a “x” (de preferencia alrededor de x=3), para
encontrar los puntos que pertenecen a la función y así poder graficarla, a esto
se le conoce como el método de tabulación, para realizar una gráfica.
x y
−3 12
−2 3
−1 −2
0 −3
1 0
2 7
3 18
4 33
x y
−3 12
−2 8
−1 4
0 0
1 −4
2 −8
3 −12
          
























x
y
           












x
y

53BLOQUE 2
Límite de funciones racionales
Las funciones racionales son las que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:
 
 
 xQ
xP
xf  donde  xP y  xQ son funciones polinomiales sólo que   0xQ  .
Cuando se obtiene el límite de una función racional, puede dar como resultado alguno de los siguientes casos:
I) El resultado es un número real.
II) El resultado es un cociente de la forma
0
0
.
III) El resultado es un cociente donde el denominador es cero 





a,
0
a
.
Con ejemplos se mostrarán los tres casos, determinando el comportamiento de la función mediante gráficas, debido a
que en el caso II la función puede tener límite, y en el caso III, el límite no existe, pero tiene una denominación especial que
se abordará más adelante.
Ejemplo 1.
Calcular el
1x
5x4x
lim
2
4x 


.
Utilizando el teorema de límite de una función polinomial, se lleva a cabo la sustitución directa de los polinomios que
conforman la función racional.
   
  3
5
14
5444
1x
5x4x
lim
22
4x







En matemáticas 4 se inició el análisis de las funciones racionales, y se observó que tienen diferentes comportamientos,
dependiendo de los polinomios que conformen el cociente, es por ello que para graficar las funciones, se recurrirá a la
tecnología, como son el graficador Winplot, para poder visualizar la gráfica completa y realizar el análisis más rápido,
verificando que el límite obtenido es congruente con la gráfica de la función.
                  



















x
y

Ejemplo 2.
Calcular el .
3x
6xx
lim
2
3x 


Al sustituir el valor de −3 en la función se obtiene:
   
  0
0
33
633
3x
6xx
lim
22
3x







El resultado corresponde al segundo caso de límites de funciones racionales, debido a que en −3 se indefine la función,
pero dicha indefinición puede ser un punto hueco o que existan asíntotas. En el caso de que hubiera un punto hueco, el
límite sí existe y en el caso de que estuviera una asíntota, no existiría el límite. Para determinar de qué indefinición se trata,
se requiere utilizar algebra preliminar, en este caso es necesario recurrir a la factorización, como se muestra a
continuación.
  
3x
2x3x
lim
3x
6xx
lim
3x
2
3x 





En esta etapa, se puede cancelar el factor (x+3), que hace cero tanto al numerador como al denominador, y es válido
cancelarlo debido a que x se aproxima infinitamente a −3, pero sin llegar a tomar su valor.
Al transformarse
3x
6xx
)x(f
2


 en una función lineal 2x)x(g  , cuando 3x  , se puede concluir que su gráfica es
una recta con un punto hueco en (−3, −5), como se observa en la gráfica correspondiente.
En el plano de la izquierda se visualiza mejor el punto hueco y en el derecha puedes observar que cuando tiende a −3 por
ambos lados, la función se aproxima a −5, que es la altura a la que se encuentra la indefinición.
         











x
f(x)
         











x
f(x)
   5232xlim
3x
2x3x
lim
3x
6xx
lim
3x3x
2
3x








55BLOQUE 2
Ejemplo 3.
Calcular el
 2
4
2x 2x
16x
lim



Al evaluar x=2 en la función se obtiene:
 
 
  0
0
22
162
2x
16x
lim
2
4
2
4
2x







Ahora se procede a factorizar el numerador del cociente.
Aunque se obtuvo como primer resultado
0
0
y se realizó la factorización correspondiente, el límite de la función no existe.
Ahora se observará gráficamente el comportamiento de la función alrededor de x=2.
En la gráfica se observa que los límites unilaterales no coinciden por lo
tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 2, no existe.
Ejemplo 4.
Calcular el
 2
2
1x 1x
1x
lim



.
 
 
  0
2
11
11
1x
1x
lim
2
2
2
2
1x







El límite de la función cuando “x” tiende a −1 no existe. Al observar la gráfica se tiene que cumple con un comportamiento
muy particular, en este caso los límites unilaterales crecen arbitrariamente, es decir, se van hacia el infinito (  ) como se
observa en la gráfica.
 
  
 
   
  
  
 
   
  0
32
22
4222
2x
4x2x
lim
2x2x
4x2x2x
lim
2x
4x4x
lim
2x
16x
lim
22
2x
2
2x2
22
2x2
4
2x

















               




















x
y

Para indicar este comportamiento, se utiliza la siguiente notación:
 



 2
2
1x 1x
1x
lim
Esto no significa que  sea un número, ni que exista el límite,
simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe.
En general, se escribirá de forma simbólica
  

xflim
ax
para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más
grandes cuando “x” tiende a “a”.
De manera análoga, se escribirá
  

xflim
ax
para indicar que los valores de f(x) se vuelven cada vez más
pequeños cuando “x” tiende a “a”.
Límites en las funciones definidas por partes
Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas anteriormente, se puede obtener el límite de la función
simplemente sustituyendo el valor de “a” en la x, siempre y cuando se pueda obtener ese valor, es decir, que al hacerlo,
no resulte en una raíz de un número negativo o en una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas,
funciones radicales que dén como resultado n
0 cuando n es par.
Cuando se abordó el tema de noción intuitiva de límite, se ejemplificaron funciones definidas por partes, es decir, donde el
dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente, y su comportamiento puede tener cambios
muy significativos, precisamente en aquel valor de “x” donde se divide el dominio. Debido a esto, se establecen dos
maneras de obtener el límite, dependiendo de cuál sea el valor de “a” hacia donde tiende la “x”, es decir, si “a” coincide o
no con el valor donde se divide el dominio.
             















x
y

57BLOQUE 2
Ejemplo 1.
Considerando la función:







2xsi8x6x
2xsi21x
)x(f
2
Encontrar el )x(flim
0x
.
Antes de empezar a resolver este límite, se requiere ubicar hacia dónde tiende la “x”, si está contenida dentro del dominio
de una de las partes que componen a la función o si es el número donde se dividen éstas, para determinar los límites
unilaterales y poder así elegir la función que corresponde, como se muestra a continuación:
32121021xlim)x(flim
0x0x



32121021xlim)x(flim
0x0x



Por lo que:
3)x(flim
0x


Una manera más simple de hacer el cálculo de este límite sería lo siguiente:
Como en este caso, “x” tiende a 0 y pertenece al dominio del valor absoluto, debido a que está definida para todos los
valores de 2x  , entonces sólo se sustituye el valor de 0 en el valor absoluto, porque los límites unilaterales daría la
misma sustitución, como se muestra a continuación.
32121021xlim
0x


En la gráfica de la función se visualiza que cuando “x” tiende a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, la función que
está involucrada es la de valor absoluto, no incluye la función cuadrática.
Ejemplo 2.
Considerando la función:







1xsix3
1xsix
)x(g
3
Calcula el )x(glim
1x
.
Lo primero que se requiere considerar el la ubicación del valor al que tiende “x”, con el propósito de identificar si se
requieren los límites unilaterales o una sustitución directa.
En este caso “x” tiende a 1 y al observar el dominio de la función, es precisamente el valor donde se parte la función en
una función cúbica a la izquierda del 1 y en una función lineal a la derecha del mismo. Debido a lo anterior, se requiere
obtener los límites unilaterales, como se muestra a continuación:
          










x
f(x)

  11xlim)x(glim 33
1x1x



213x3lim)x(glim
1x1x



Por lo tanto:


)x(glim
x
En la gráfica se visualiza que cada límite unilateral requiere la sustitución de una función diferente y como no llegan al
mismo punto cuando “x” tiende a 1, no existe su límite.
          









x
g(x)
Calcula el límite indicado en cada una de las funciones, si es que existe.
1.
a)
b)
c)
Actividad: 8

59BLOQUE 2
2.
a)
b)
3.
4.
5.
6.
7.

Evaluación
Saberes
Identifica los teoremas que
requiere aplicar para resolver
límites de funciones racionales y
definidas por partes.
Aplica los teoremas de límites para
resolver límites de funciones
racionales y definidas por partes.
Realiza el proceso con limpieza y
claridad.
Autoevaluación
docente
Límites de funciones trascendentes.
Las funciones trascendentes son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Límites de funciones trigonométricas
Los límites de las funciones trigonométricas elementales son aquellos que se obtienen de la sustitución directa, es decir, al
evaluar el valor al cual tiende “x”, como se muestra a continuación:
Ejemplo 1.
Calcular xsenlim
4
x


Primero hay que aclarar que las funciones trigonométricas se evalúan en radianes, debido a que son funciones definidas
en los números reales.
Luego, asegurándose que la calculadora científica que se utiliza está en radianes, sustituir el valor al cual tiende “x” en la
función dada, como se muestra a continuación.
7071.0
4
senxsenlim
4
x





 



Para visualizar mejor el límite, se realiza la gráfica en cualquier graficador (Winplot, Geogebra Derive, Graphics, entre otros)
Ejemplo 2.
Calcular el xcos4lim
0x
Al sustituir el valor de x=0 en la función, se obtiene:
  40cos4xcos4lim
0x


Observando la gráfica se comprueba dicho comportamiento.
4
    





x
sen(x)

61BLOQUE 2
Ejemplo 3.
Obtener el 


tanlim
2
Al sustituir el valor de
2

en la calculadora se obtiene como resultado una leyenda que
describe que hay un error y es porque la función trigonométrica tangente, se define
como el cociente del cateto opuesto entre el cateto adyacente, y cuando el ángulo se
acerca a
2

(es decir, 90º) y ubicándose en el círculo unitario, como se vio en
Matemáticas 2, el cateto adyacente es cero, es por ello que no existe. Se puede decir
que la función tiene un comportamiento asintótico en
2

.
¿Se podrá decir que 


tanlim
2
ó 


tanlim
2
?
Al observar la siguiente gráfica de la función se puede dar respuesta a la pregunta anterior.
Como se observa, cuando  tiende a
2

por la izquierda, la función se va hacia ∞ y cuando  tiende a
2

por la derecha,
la función se va hacia −∞, por lo tanto, no se puede decir que el límite es igual a ∞ o −∞, simplemente éste no existe.



tanlim
2
        








x
4 cos(x)
      









tan ()
radio=1
Cat. Op.
Cat. Ady.
Hip


Límites de funciones exponenciales
La función exponencial es una función trascendente cuya forma es:
  x
bxf 
Donde a “b” se le denomina base y es una constante positiva diferente de 1, y a la variable “x” se le denomina exponente.
En la definición anterior, el coeficiente principal es uno, así que generalizando la definición se tiene:
  x
Abxf 
Donde el coeficiente A representa la condición inicial, esto es porque cuando x=0 se tiene:
 
   
  A0f
1A0f
Ab0f 0



La gráfica de la función exponencial dependiendo del valor de su base es la siguiente.
Con b>1 Con 0<b<1
   






x
f(x)
   






x
f(x)
Observa las gráficas anteriores responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué sucede con la función exponencial cuando “x” tiende a 0?
2. ¿Cuál es el comportamiento de la función exponencial cuando “x” aumenta indefinidamente?
3. ¿Hacia dónde se aproxima la función cuando “x” decrece indefinidamente?
Actividad: 9

63BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Observa las gráficas de funciones
exponenciales para encontrar el
comportamiento de las mismas,
cuando los valores crecen o
decrecen indefinidamente.
Predice el límite de una función
exponencial, analizando el
comportamiento del límite de
funciones.
Tiene apertura para hacer
aportaciones de relevancia en el
análisis de las preguntas.
Autoevaluación
docente
Límite de funciones logarítmicas
La función logarítmica de base b es la inversa de la función exponencial de base b, esto es:
xbxlogy y
b 
El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza
sobre un número, es eliminada por la otra función, es decir:
  xblog x
b 
El comportamiento de la función logarítmica dependiendo del valor de la base es la siguiente.
Con b>1 Con 0<b<1
       





x
f(x)
       




x
f(x)
Describe el comportamiento de la función utilizando límites.
Actividad: 10

Evaluación
Actividad: 10 Producto: Descripción. Puntaje:
Saberes
Comprende el comportamiento
de una función, utilizando límites.
Describe el comportamiento de una
función,utilizando límites.
Muestra interés para realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
Resuelve los siguientes límites:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Actividad: 11

65BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Reconoce los límites de las
funciones trascendentes.
Calcula límites de funciones
trascendentes..
Expresa sus dudas y corrige sus
errores.
Autoevaluación
docente
Límites en el infinito.
Hasta ahora se han considerado límites de funciones cuando “ x ” se ha aproximado a algún número real. Ahora se
considerará el cálculo de límites donde “x” aumenta o disminuye indefinidamente.
Utiliza el Winplot o algún otro software para que grafiques e imprimas cada una de las
siguientes funciones. Describe hacia dónde se aproxima cada una de las funciones
cuando “x” crece o decrece indefinidamente, es decir, cuando ó . Pega en
el lugar correspondiente cada una de las funciones impresas.
1.
2.
Actividad: 12

3.
4.
5.
6.

67BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Identifica el comportamiento de
una función mediante su gráfica.
Analiza el comportamiento de una
función, mediante su gráfica, para
describir su tendencia.
Reconoce la importancia del uso
de graficadores en el análisis del
comportamiento de funciones.
Autoevaluación
docente
Con la actividad anterior, notaste que cuando “x” aumenta o disminuye indefinidamente, la función racional cuyo
numerador es una constante y su denominador contiene a la variable, se aproxima a cero, este teorema se puede
representar de la siguiente forma:
0
x
c
lim
x


Donde “c” es la constante.
En el caso de que la variable esté elevada a alguna potencia, se aproxima más rápido a cero y se puede generalizar de la
siguiente forma:


 Zncon,0
x
c
lim nx
Además de observarlo en la gráfica, se puede visualizar el teorema de la siguiente forma:
  00c
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
clim
x
c
lim
vecesn
xnx


  

También observaste que algunas funciones, cuando tienden hacia el infinito a la derecha o izquierda, se aproximan a un
número en específico, esto se puede resolver algebraicamente utilizando el teorema anterior, como se muestra en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo1.
Calcular el
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim 234
234
x 


Se identifica el grado mayor de los polinomios que componen el numerador y denominador, posteriormente se divide
cada término entre la variable “x” con el máximo exponente, en este caso, se divide entre 4
x , como se muestra a
continuación:
444
2
4
3
4
4
444
2
4
3
4
4
x234
234
x
x
10
x
x8
x
x4
x
x8
x
x6
x
6
x
x3
x
x4
x
x5
x
x3
lim
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim






,
Se realiza la división, utilizando las leyes de los exponentes:
432
432
x
x
10
x
8
x
4
x
8
6
x
6
x
3
x
4
x
5
3
lim



;
Aplicando los teoremas anteriores, todos los términos divididos entre la variable “x” elevada a una potencia con
aproximarán a cero cuando “x” tiende a infinito, lo anterior se puede escribir de la siguiente forma, para visualizar cuales
son los términos que se transforman en cero.

Por tanto:
.
2
1
6
3
10x8x4x8x6
6x3x4x5x3
lim 234
234
x




La gráfica de la función, valida el resultado que se obtuvo del límite de la función cuando “x” aumenta indefinidamente.
Ejemplo 2.
Encontrar
1x
x23
lim
3
x 


.
En este caso, el grado mayor es tres, y por ello se divide el numerador y el denominador entre 3
x , como se muestra a
continuación:
32
3
x
33
3
3
3
x
3
x
x
1
x
1
2
x
3
lim
x
1
x
x
x
x2
x
3
lim
1x
x23
lim









En este caso, cuando “x” tiende a  , se observa lo siguiente:
                        


















x
f(x)
32
3
x
x
1
x
1
2
x
3
lim



0
0 0
432
432
x
x
10
x
8
x
4
x
8
6
x
6
x
3
x
4
x
5
3
lim



0 0 0 0
0 0 0 0

69BLOQUE 2
El denominador se transforma en cero, por lo tanto, el límite de la función racional no existe, sin embargo, se puede
analizar qué sucede con la función cuando “x” decrece indefinidamente; si se observa la función original  
1x
x23
xf
3


 ,
cuando “x” decrece infinitamente, el numerador 3
x23  es positivo, debido a que 3
x es negativo y al multiplicarse por
−2, su coeficiente, el producto es positivo y al sumársele 3, sigue siendo positivo. En el caso del denominador 1x  , “x”
es infinitamente pequeño, por lo tanto, negativo, y al sumársele 1 sigue siendo negativo, así que el cociente es negativo.
El análisis anterior se puede visualizar con la siguiente gráfica de la función.
El límite se puede expresar como:



 1x
x23
lim
3
x
Ejemplo 3.
Obtener el
x10x8
6x2
lim 5
3
x 


.
Ahora, se detecta que el grado mayor de los polinomios que conforman a la función racional es de grado cinco, por lo
tanto, se divide tanto el numerador como el denominador entre 5
x .
4
52
x
55
5
55
3
x5
3
x
x
10
8
x
6
x
2
lim
x
x10
x
x8
x
6
x
x2
lim
x10x8
6x2
lim









;
Al aplicar el teorema se observa que el numerador se aproxima a cero y el denominador a ocho, como se muestra a
continuación.
0
8
0
x
10
8
x
6
x
2
lim
4
52
x




0
0
0

 
I. Resuelve los siguientes límites en el infinito:
1.
2.
3.
4.
Actividad: 13

71BLOQUE 2

































Evaluación
Actividad: 13
Producto: Ejercicios y problema
aplicado.
Puntaje:
Saberes
Reconoce el límite al infinito de
una función.
Emplea el límite de una función, para
resolver un problema práctico.
Muestra disposición en el
desarrollo de la actividad.
Autoevaluación
docente
II. Cuando se arroja materia orgánica de desecho a un estanque, éste se va oxidando y la
cantidad de oxígeno varía de acuerdo a la siguiente función:
Donde N es el nivel de oxígeno en un estanque y t el tiempo medido en semanas. Cuando t=0 el nivel de
oxígeno es el normal.
a) ¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana?
b) ¿Tras diez semanas?
c) ¿Cuál es el porcentaje de oxígeno para “t” excesivamente grande?

Cierre
Resuelve los siguientes problemas:
1. El costo en millones de pesos que gasta una agencia gubernamental al incautar “x”% de cierta
droga ilegal es:
Determina el costo que gasta la agencia, cuando la droga incautada se acerca al 100%.
2. La población de una pequeña ciudad se puede predecir mediante la función
Donde “t” es el tiempo medido en años. ¿Cuál es el límite cuando “t” es excesivamente grande?
3. El costo promedio por disco (en pesos) cubierto por una compañía grabadora al imprimir x discos compactos
de audio está dado por la función de costo promedio.
Cómo se interpreta cuando “x” tiende infinito.
Actividad: 14

73BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 14 Producto: Problemas de aplicación Puntaje:
Saberes
en problemas cotidianos.
Aplica el límite de una función para
resolver problemas cotidianos.
Se interesa por resolver los
problemas de aplicación.
Autoevaluación
docente
4. Las feromonas y dopaminas son sustancias químicas que libera el organismo en los individuos
cuando empiezan a enamorarse, produciendo una doble sensación de aletargamiento y de
hiperactividad. Si se supone que la función , representa el porcentaje de estas
sustancias en una persona, durante una etapa de su enamoramiento, donde “t” representa el
número de meses, qué cantidad de estas sustancias se generarán cuando el tiempo es
exageradamente grande.
5. La presión atmosférica “p” disminuye al aumentar la altura. Esta presión medida en milímetros de mercurio se
relaciona con la altura “h” en kilómetros mediante la fórmula .
¿Qué presión se obtiene si la altura es excesivamente grande?

Continuidad de una función.

Inicio
Determina el dominio y rango de las siguientes funciones.
Dom:_______________________ Dom:_______________________ Dom:_______________________
Rango:_____________________ Rango:_____________________ Rango:_____________________
Dom:_______________________ Dom:_______________________ Dom:_______________________
Actividad: 1

75BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Identifica el dominio y rango de
una función.
Distingue el dominio y rango de una
función.
Muestra interés por realizar la
actividad.
Reconoce la importancia de los
conocimientos previos.
Autoevaluación
docente
Dom:_______________________ Dom:_______________________ Dom:_______________________

Desarrollo
Funciones continuas o discontinuas.
¿Alguna vez te ha tocado que al ir caminando encuentras a tu paso algún obstáculo, como un charco de agua y para
poder continuar tu marcha, es necesario brincarlo?
En esta situación se ejemplifica que el salto que diste fue un impedimento para que tu caminar se diera en una forma
continua, en otras palabras, te diste cuenta que para poder continuar tu marcha tuviste que despegar los pies del suelo.
En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso, es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz
del papel para poder dibujarla. En el caso de que la gráfica se pueda realizar como se mencionó anteriormente, sin
necesidad de despegar el lápiz del papel, se dice que la función es una función continua. En el caso contrario, la función
es discontinua.
Observa con atención las siguientes gráficas, repásalas con un lápiz de tal manera que
compruebes cuales de ellas coinciden con la idea de ser continua o discontinua. Escribe en
la línea si es continua en todos los números reales, de no ser así, escribe la palabra
discontinua y los valores de “x” donde se da la discontinuidad.
______________________________ ______________________________
______________________________ ______________________________
Actividad: 2

77BLOQUE 2
Evaluación
Saberes
Diferencia las funciones continuas
y discontinuas.
Distingue los puntos de
discontinuidad de las funciones.
Reconoce la importancia de
graficar funciones para visualizar la
continuidad de las funciones.
Autoevaluación
docente
Conocer la gráfica de una función proporciona información acerca de la continuidad y discontinuidad de una función, sin
embargo, en ocasiones determinar los valores de discontinuidad se complica cuando éstos no son enteros, para ello se
tiene que realizar un método analítico.
______________________________ ______________________________
Analiza con detenimiento los siguientes cuestionamientos y responde en forma clara,
utiliza las funciones de las dos actividades anteriores para que te ayude en el análisis.
1. ¿Qué puedes decir acerca de los valores del dominio y la continuidad o discontinuidad de la
función?
2. De la misma forma, ¿qué observas en torno al rango y la continuidad o discontinuidad de la función?
Actividad: 3

Evaluación
Saberes
Identifica las condiciones que
debe cumplir una función para ser
continua o discontinua en un
punto específico.
Infiere las condiciones que cumple
una función para ser continua o
discontinua en un punto específico.
Aporta ideas y respeta las
aportaciones de sus compañeros.
Autoevaluación
docente
3. ¿Si observas el límite de las funciones en su discontinuidad, qué puedes decir al respecto?
4. ¿Qué requisito debe tener una función para que sea continua en algún punto indicado?
5. ¿De qué manera se relaciona el límite de la función con la continuidad de la misma en un punto determinado?
Anota la conclusión grupal en el siguiente espacio:

79BLOQUE 2
Todo lo anterior se reduce a:
Una función es continua en x=a, si satisface las tres condiciones siguientes:
a) f(a) existe.
b) )x(flim
ax
existe.
c) )x(flim)a(f
ax

Para que una función sea continua en un punto, debe cumplir las tres condiciones, y para que sea discontinua, es
suficiente que no se cumpla alguna de las tres.
Ejemplo 1.
Determina si la función f(x) es continua en 2x  :







2xsi6x
2xsi21x2
)x(f
Para graficar la función, se puede utilizar el programa Winplot y se obtiene la siguiente forma:
En la gráfica se puede observar que la función es continua, ahora hay que demostrarlo comprobando las tres
condiciones, como se muestra a continuación:
a) 462)2(f  , el valor de la función en 2x  existe, por lo tanto, la primera condición se cumple.
b) 4)x(flím
462)x(flim
42122)x(flim
2x
2x
2x













El límite existe cuando “x” se acerca a 2, por lo que la segunda condición también se cumple.
c) )x(flim)2(f
2x
 , por lo tanto, se satisface también la tercera condición.
Como las tres condiciones se satisfacen para 2x  , se concluye que la función es continua en ese valor.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)

Ejemplo 2.
Determina si la función
5x
10x3x
)x(T
2


 es continua en x=5.
Al aplicar las tres condiciones se tiene:
a)
   
  0
0
55
10535
)5(T
2




La función no está definida para 5x  , por lo tanto, no cumple con la primera condición, con ello, se puede concluir que
la función es discontinua en el valor indicado.
Cuando se grafica la función hay que considerar que hay una ruptura en la gráfica en 5x 
En la gráfica también se puede observar que el límite cuando “x” tiende a 5 existe, y se puede comprobar de la siguiente
forma:
b) 7)2x(lim
5x
)2x)(5x(
lim
5x
10x3x
lim
5x5x
2
5x







Debido a lo anterior se puede decir que se cumple con la segunda condición.
La tercera condición tampoco se cumple debido a que )5(f)x(flim
5x


.
Ejemplo 3.
Determina si la función .
2xsi12
2xsi
2x
8x
)x(g
3








 es continua en x=2.
a) 12)2(g 
b) En este caso no es necesario obtener los límites unilaterales, debido que a ambos lados de x=2 la función es la
misma, por lo tanto:
12)4x2x(lim
2x
)4x2x)(2x(
lim
2x
8x
lim 2
2x
2
2x
3
2x







c) )2(g)x(glim
2x


Por tanto, la función )x(g es continua en 2x  .
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
T(x)

81BLOQUE 2
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejemplos. Puntaje:
Saberes
Escribe los tipos de
discontinuidad de una función.
Cataloga, ejemplifica y grafica los
tipos de discontinuidad de una
función.
Plasma la información de forma
clara y concisa.
Coevaluación
docente
En equipo, investiguen cuáles son los tipos de discontinuidad que existen, escriban en el
siguiente espacio dos ejemplos de cada tipo, con sus respectivas gráficas.
Actividad: 4

Cierre
Contesta lo que se te pide.
1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. En el punto donde se indica,
utilizando las tres condiciones de continuidad.
2. Ingresa cada función al graficador Winplot, imprímela, recórtala y pégala en el espacio
correspondiente, para que compruebes con la gráfica el proceso algebraico que realizaste.
a) en
b) en
c) , en
Actividad: 5

83BLOQUE 2
d) en
e) en
f) en

Evaluación
Saberes
Contrasta las tres condiciones de
continuidad de una función con la
gráfica de la misma.
Comprueba la continuidad de una
función, mediante las tres
condiciones y su gráfica.
errores.
Autoevaluación
docente
g) en
h) en

Analiza razones de cambio en
fenómenos naturales y sociales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante
el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas
de los objetos que lo rodean.
 Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de casos
relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial existentes en el entorno
cotidiano.
 Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio para cuantificar el cambio físico, químico,
biológico, económico, entre otros, después de transcurrido un tiempo.
4.1.Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1.Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al
5.4.Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6.Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1.Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su
7.1.Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1.Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
8.2.Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3.Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

86 ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES

La derivada como razón de cambio instantáneo.
Inicio
Encuentra la función que modela cada uno de los siguientes problemas:
1. Una compañía de taxis cobra $50 por un viaje y $2 adicionales por cada kilómetro que recorre.
Escribe una función que representa la cantidad P(x) de dinero que debe pagar un pasajero,
como función del número “x” de kilómetros recorridos.
2. El departamento de recreación de la ciudad planea construir un campo de juego rectangular de 3,600 m2
. El
campo de juego ha de estar rodeado de una cerca. Expresa la cantidad de cerca necesaria en función de la
medida de la longitud del terreno.
3. Un fabricante produce cierto artículo a un costo de $12.00 cada uno. Si los vende a “x” pesos, entonces
podrá vender (300 – x ) artículos a la semana. Expresa la utilidad semanal en función de “x”.
Actividad: 1

87BLOQUE 3
Evaluación
Actividad:1 Producto: Problemas de aplicación Puntaje:
Saberes
Distingue la variable
dependiente e independiente y
su relación, en un problema
cotidiano.
Construye la función que modela a
un problema cotidiano.
Es reflexivo y muestra
disponibilidad al realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
4. El dueño de un rancho quiere construir un corral de forma rectangular que tenga una
superficie de 1,000 m2
, lo cercará por tres de sus lados, puesto que uno corresponde a la
pared de la casa. Expresa la longitud de la cerca en función de la longitud del terreno.
5. Una caja sin tapa se construye con un pedazo de cartón de 70 por 80 cm., cortando un cuadrado de cada
esquina. Expresa el volumen de la caja en función de la longitud del lado del cuadrado.

Desarrollo
En equipo, desarrolla lo que se les solicita.
Don Manuel quiere sembrar sandías en un terreno rectangular y cercarlo con 80 metros de
malla, para evitar que se las coma el ganado del vecino. ¿Cuánto deberán medir los lados del
terreno para así poder sembrar el mayor número de plantas?
1. Dibujen en la cuadrícula, a escala, dos posibles formas de cercar el terreno de Don Manuel.
2. ¿Cuál de los dos terrenos que dibujaron representa la mejor opción para Don Manuel?, ¿por qué?
3. ¿Son éstas las únicas opciones posibles?, ¿por qué?
4. ¿Qué valor o valores están cambiando en el terreno?
5. ¿Cuáles cantidades no cambian?
Actividad: 2

89BLOQUE 3
6. Asignen una letra a cada una de las cantidades que cambian.
7. Diseñen una tabla que contenga todas las cantidades involucradas en el problema.
8. Comparen la tabla con el resto de los equipos, complétenla si es necesario y añadan los datos de los
demás equipos.
9. De los valores contenidos en la tabla, ¿cuál es la mejor opción?
10. ¿Cuál de las cantidades antes mencionadas les ayuda a decidir cuál es la mejor opción de terreno?
11. ¿Creen que pueda haber una mejor opción?
12. En caso de contestar afirmativamente la pregunta anterior, ¿entre qué valores se encuentra la mejor opción?
13. Elaboren una nueva tabla en la que visualicen los valores que mencionaron en la pregunta 12.
14. ¿Creen que haya otra mejor opción? ¿Por qué?

Evaluación
Actividad: 2
Producto: Cuestionario, tablas y
gráficas.
Puntaje:
Saberes
Distingue la variación y la
dependencia entre las variables.
Argumenta la variabilidad y la
respuesta óptima de una situación.
Es respetuoso, aporta ideas y
tiene apertura con las
aportaciones de sus
compañeros.
Coevaluación
docente
15.Realicen una gráfica de la cantidad que les ayude en su decisión, con respecto a uno de los
lados del terreno, apóyense en las tablas que realizaron.
16. Analizando la gráfica, qué otras situaciones observan en ella, de tal manera que les ayude a visualizar una
mejor opción.
17. ¿Qué requieren para encontrar dicha opción?

91BLOQUE 3
Ahora Don Manuel quiere construir un gallinero con 50 m de tela de alambre y desea hacerlo de
forma rectangular, de tal manera que las gallinas tengan una mayor área para moverse.
Apóyate en las preguntas y acciones semejantes a las de la actividad anterior, para ayudar a Don
Manuel con su gallinero.
Actividad: 3

Evaluación
Actividad: 3 Producto: Problema aplicado. Puntaje:
Saberes
Identifica la variación y la
dependencia entre las variables.
Representa mediante una función
un problema cotidiano y plantea la
solución óptima.
errores.
Autoevaluación
docente

93BLOQUE 3
Razón de cambio instantáneo.
En las actividades anteriores llevaste a cabo un análisis sobre cómo elegir la mejor solución de un problema, y
observaste la necesidad de modelar el comportamiento de la situación mediante una función, así como la gráfica de
la misma, ya que proporciona mayor información para tomar una decisión. Uno de los objetivos principales de este
bloque, es analizar e interpretar la razón de cambio de una función, es decir, la velocidad con que cambian las
cantidades que están involucradas en una situación. Por ejemplo, si se observa a un automóvil que se mueve por una
carretera recta, se puede calcular la velocidad promedio que éste lleva en un intervalo de tiempo. Si se deseara
conocer su velocidad en un preciso instante, se necesitaría tener un sensor de movimiento, pero si la persona que
observa el movimiento conduce el automóvil, con sólo observar el velocímetro tiene la velocidad instantánea. A
continuación se mostrarán algunos ejemplos para comprender el concepto de razón de cambio.
Ejemplo 1.
En una industria, se está probando un nuevo automóvil; los ingenieros en diseño determinaron que al circular por una
carretera recta, la posición que tiene en cada instante de tiempo está determinada por la función:
32
t
2
1
t)t(x 
Donde la distancia que recorre está medida en metros y el tiempo en segundos. Ellos desean saber la velocidad que
alcanza exactamente cuando el tiempo marca 2 segundos.
En otras palabras, requieren conocer la velocidad instantánea en el tiempo t=2, esto se logrará, por lo pronto,
tomando diferentes valores de tiempo para encontrar la posición correspondiente, como se observa en la siguiente
tabla.
En ella se observa la correspondencia que existe entre el tiempo y la posición
correspondiente, de acuerdo a la expresión x(t), por ejemplo, cuando han transcurrido
2 segundos, el automóvil se encuentra a 8 m del punto de partida.
En la tabla se observa la manera en que aumenta la distancia del automóvil al ir
cambiando de posición conforme pasa el tiempo.
En la asignatura de Física 1 estudiaste la velocidad promedio o media de objetos en movimiento, y conociste la
siguiente fórmula para calcularla.
if
if
m
tt
xx
v



La velocidad promedio (vm) se puede calcular en un intervalo de tiempo, por esta razón, se precisa tomar la posición
final (xf) registrada en el tiempo final (tf) del intervalo, así como la posición inicial (xi) que corresponde al tiempo inicial
(tf) del mismo intervalo.
Por ejemplo, si se desea obtener la velocidad promedio que llevaba el automóvil en los primeros 2 segundos, se toma
como intervalo de tiempo [0, 2].
Los datos que se tomarán para calcular la velocidad promedio en el intervalo mencionado son:
s2tf  m8xf 
s0ti  m0xi 
Sustituyendo los datos en la fórmula se obtiene:
t x(t)
0 0
1 1.5
2 8
3 22.5
4 48
5 87.5

s
m
m
if
if
m
4
s2
m8
s0s2
m0m8
v
tt
xx
v







Si observas la tabla anterior, hubo un cambio de posición del automóvil, lo cual da como resultado una distancia
recorrida y si se toma cualquier otro intervalo de tiempo, obtendrán distancias recorridas diferentes, así mismo, se
puede calcular la velocidad promedio correspondiente.
Para obtener la velocidad en el instante deseado, el cual es exactamente a los 2 segundos, es necesario obtener
primero la velocidad media en un intervalo de tiempo que contenga a dicho instante de tiempo, como se mostrará a
continuación.
Se considerará el intervalo de tiempo de 1 a 2 segundos para calcular la velocidad media, donde los datos a
considerar son:
s2tf  m8xf 
s1ti  m5.1xi 
s
m
m 5.6
s1
m5.6
s1s2
m5.1m8
v 



Pero la velocidad encontrada no es la que se requiere, de tal forma que si se elige otro intervalo de tiempo más
pequeño, se acercará un poco más a lo buscado. Ahora se toma el intervalo de tiempo de 1 a 2 segundos con
cambios de tiempo de medio segundo, a dichos cambios también se les conoce como incrementos de tiempo.
Haciendo los mismos cálculos para encontrar la velocidad media tomando los datos
que se encuentran sombreados en la tabla, se tiene:
s
m
m 125.8
s5.0
m0625.4
s5.1s2
m9375.3m8
v 



Con este nuevo cálculo se acerca mucho a la velocidad instantánea en t=2 s, pero no es suficiente, se tendría que
considerar un intervalo más pequeño, donde esté involucrado el tiempo que interesa. Haciendo más pequeños los
incrementos de tiempo, se puede construir la siguiente tabla y su correspondiente velocidad promedio.
s
m
m 605.9
s1.0
m9605.0
s9.1s2
m0395.7m8
v 



Para tener una idea más precisa de cuál es el valor de la velocidad instantánea, se elabora la siguiente tabla en donde
se calculan velocidades medias de diferentes incrementos de tiempo, a los incrementos o cambios se les denota con
la letra griega  (delta mayúscula).
t x(t)
1 1.5
1.5 3.9375
2 8
2.5 14.0625
3 22.5
3.5 33.6875
t x(t)
1.7 5.3465
1.8 6.156
1.9 7.0395
2 8
2.1 9.0405
2.2 10.164
ti tf xi xf ∆t = tf - ti ∆x =xf - xi vm
1.9 2 7.03950 8 0.10000 0.96050 9.60500
1.99 2 7.90040 8 0.01000 0.09960 9.96005
1.999 2 7.99000 8 0.00100 0.01000 9.99600
1.9999 2 7.99900 8 0.00010 0.00100 9.99960
1.99999 2 7.99990 8 0.00001 0.00010 9.99996

95BLOQUE 3
De la misma forma, se pueden calcular las velocidades medias con incrementos posteriores a t=2 s, y se obtendrá la
siguiente tabla:
Observando las velocidades medias de las dos tablas anteriores, se puede concluir que la velocidad instantánea es el
límite de la velocidad promedio cuando el incremento de tiempo tiende a cero, es decir, se hace infinitamente
pequeño.
Con el procedimiento anterior se puede concluir que ambos límites, tanto el que se acerca a t=2 s por la izquierda,
como por la derecha, se aproxima a 10 m/s.
Realizar este proceso en cada uno de los problemas que se susciten posteriormente es muy tedioso, por lo tanto, se
requiere encontrar un proceso general que agilice los cálculos, éste se analizará utilizando la gráfica del ejemplo
anterior, así como las consideraciones que se hicieron para llegar a la velocidad instantánea deseada.
Primero, se grafica la función con la ayuda de un programa graficador, en este caso,
se utilizó el Geogebra.
Como se observa en la gráfica, para incrementos iguales de tiempo, la posición
aumenta más rápido cada vez, es por ello que se dice que tiene un comportamiento
creciente.
La gráfica corresponde a una función cúbica, debido a que proviene de una función
polinomial de tercer grado, pero como se refiere a un problema aplicado donde no
existen valores negativos del tiempo, es por ello que parte de t=0.
Ahora se ubicarán en la gráfica los valores correspondientes a los intervalos de
tiempos y posiciones que se utilizaron para formar las tablas anteriores.
ti tf xi xf ∆t = tf - ti ∆x =xf - xi vm
2 2.1 8 9.04050 0.1 1.04050 10.40500
2 2.01 8 8.10040 0.01 0.10040 10.04005
2 2.001 8 8.01000 0.001 0.01000 10.00400
2 2.0001 8 8.00100 0.0001 0.00100 10.00040
2 2.00001 8 8.00010 0.00001 0.00010 10.00004

Cada una de las rectas secantes está uniendo la posición del automóvil en el intervalo descrito, y si se analiza con
más detenimiento la fórmula para obtener la velocidad media, resulta ser la pendiente de la recta secante que une a
dichos puntos.
Ahora, si se grafican todas esas rectas en un solo plano cartesiano, se observa cómo la inclinación de la misma va
cambiando, es decir, se va incrementando el valor de la pendiente de las rectas cuando el intervalo de tiempo es cada
vez menor y cercano a t=2 s.
Con ello se puede decir que: cuando el incremento de tiempo es infinitamente pequeño, se obtendrá la velocidad
instantánea, como ya se probó de manera tabular. Gráficamente hablando, La recta secante se convertirá en una
recta que toca a la función en un solo punto, es decir, en una recta tangente muy parecida en comportamiento a la
función.
Una definición más formal de la recta tangente a una función en un punto es:
La recta tangente una función en un punto es aquella que en un intervalo de la
misma, la toca sólo en dicho punto y tiene la misma pendiente que la curva.
¿Recuerdas la fórmula de pendiente?
12
12
xx
yy
m




97BLOQUE 3
Por lo anterior, la velocidad que alcanza el nuevo automóvil en un instante preciso se puede escribir de la siguiente
forma.
m
0t
vlimv


Ahora hará un análisis de manera general, para la rapidez de cambio instantáneo de cualquier función en un punto
dado.
Sea la función f(x), tal que se desea obtener la rapidez de cambio instantáneo en el punto (xo, f(xo)). Para encontrarla
se utilizará su grafica, la cual es la siguiente:
Ahora, se tomará otro punto de referencia para observar la razón de cambio entre los dos puntos.
xo xo+∆x
f(xo+∆x)
f(xo)
x
xo
f(xo)

La razón de cambio de la función entre estos dos puntos es la pendiente de la recta secante que pasa por ellos, como
se muestra a continuación:
 
x
)x(f)xx(f
xxx
)x(f)xx(f
m
0o
oo
0o
sec






Cuando x es infinitamente pequeño, (xo+ x , f(xo+ x )) se aproxima indefinidamente al punto (xo, f(xo)), y la recta
secante se convierte en una recta tangente, por lo tanto, al obtener la pendiente de ésta última resulta ser la rapidez
de cambio instantáneo, como se vio en el ejemplo 1 anterior.
x
)x(f)xx(f
limm
mlimm
0o
0x
tan
sec
0x
tan






La expresión anterior se conoce como la derivada de la función f(x) evaluada en el punto xo.
Ahora, volviendo a la función que se muestra en el ejemplo 1, se puede comprobar el resultado que se obtuvo
utilizando las tablas.
La función es: 32
t
2
1
t)t(x 
La velocidad instantánea que se obtuvo fue para t=2, por lo tanto, al sustituir estas condiciones se logra:
t
)2(x)t2(x
limmv
mlimmv
0t
tan
sec
0t
tan






Al evaluar x(2) y x(2+ t ) se obtiene:
       
      
     
   32
322
322
3232
t
2
1
t4t108
t
2
1
t3t64tt44
tt6t128
2
1
tt44
t2
2
1
t2)t2(x8442
2
1
2)2(x




     
   
   
t
t
2
1
t4t10
lim
t
8t
2
1
t4t108
lim
t
8t
2
1
t4t108
lim
t
)2(x)t2(x
limmv
32
0t
32
0t
32
0t
0t
tan























99BLOQUE 3
 
 
10
t
2
1
t410lim
t
t
2
1
t410t
lim
2
0t
2
0t



















Efectivamente, el resultado de la velocidad instantánea, es la misma que la que se obtuvo de las tablas, 10 m/s.
Ejemplo 2.
A Marco Antonio le dejaron de tarea obtener la velocidad de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba exactamente
a los 4 segundos del lanzamiento; el maestro le dijo que la altura está dada por la función 2
t16t96)t(h  , donde la
altura está medida en pies y el tiempo en segundos. ¿Cómo podrá resolver la tarea Marco?
Idalia, amiga de Marco, le comentó que habían aprendido dos procedimientos para llegar a la velocidad instantánea o
razón de cambio instantáneo, el primero fue utilizando límites con las tablas de incrementos, y el segundo es mediante la
fórmula de la pendiente de la recta tangente, así es que él se decidió por el segundo, debido a que lo había entendido
muy bien, el procedimiento algebraico no era problema para él y además, era más rápido de utilizar, así se hizo los
siguientes cuestionamientos.
−Si la rapidez de cambio instantáneo está dada por la siguiente fórmula:
x
)x(f)xx(f
limm 0o
0x
tan




−¿Qué es f(xo+ x ) y, f(xo)?, ¿cómo lo puedo obtener?
−Bueno, aquí dice que tengo f(xo) esto debe ser la función evaluada en xo, pero ¿quién es xo?, a ver, a ver, despacio,
de nuevo….xo no es cualquier valor, debe ser uno específico. Mmmhhh, pero no he visto primero qué me preguntan.
−Bueno, me regreso un poco, me están pidiendo la velocidad instantánea en el tiempo t=4, y lo que sí conozco es la
altura y aquí viene la función, 2
t16t96)t(h  , entonces, como la variable ya no es “x” sino “t”, la fórmula queda:
x
)x(f)xx(f
limm 0o
0x
tan




t
)t(h)tt(h
limm 0o
0t
tan




En el proceso anterior, Marco hizo un cambio de función y de variable para poder resolver el problema. Él continúa su
análisis con las siguientes reflexiones.
−Ahora tengo que comprender de qué partes está compuesta la fórmula y primero debo obtener h(to+ t ). Sé que
to+ t es el valor a sustituir en la función, y además, to=4, porque en ese valor es donde me pide obtener la velocidad
instantánea.
−Mmmhh, bien, ya entendí… tomo la función 2
t16t96)t(h  y sustituyo 4+ t .
2
)t4(16)t4(96)t4(h 
−Ok, tengo que multiplicar )t4(96  y elevar el binomio 2
)t4(  antes de multiplicarlo por −16.
−Para elevar un binomio al cuadrado tengo que elevar el primer término al cuadrado, sumarle el doble del producto
del primer término por el segundo y elevar el segundo término al cuadrado, ¿estará bien?, a ver, voy a multiplicarlo
mejor por separado para ver si no me equivoqué.
    22
tt816t4t4)t4( 

    222
t16t128256tt81616)t4(16 
−Muy bien, ahora ya puedo armar la fórmula y hacer el procedimiento.
         
    
 
t
t16t32
lim
t
256384t16t128256t96384
lim
t
416496t416t496
limm
2
0t
2
0t
22
0t
tan












−Ya hice todas las operaciones, pero si sustituyo el límite me va a quedar un cero en el denominador y no puede ser…
−Ahhh, pero como en el numerador tengo en cada término t , lo puedo factorizar para poder eliminarlo con el t que
tengo en el denominador. Bueno a ver qué sale.
 
 
 t1632lim
t
t1632t
lim
t
t16t32
limm
0t
0t
2
0t
tan










−Ahora si puedo evaluar el límite y como t tiende a cero me va a quedar nada más el −32.
−¿Negativo?, ¿me habré equivocado en algo?.....ya verifiqué y nada, parece que todo está bien, pero ese negativo no
me cuadra.
−Si −32 es la velocidad que llevaba el objeto a los 4 segundos, ¿qué significa que sea negativo?....ya sé, voy a
graficar la función a ver qué me dice la gráfica….jaja, como si la gráfica hablara…..bueno Marco no te distraigas y
síguele…
−Para graficarla utilizaré el programa Geogebra, al cabo que mi profesor ya me explicó cómo se hace.
− ¡Qué bien!, ahora sí sé por qué es negativa, resulta que el objeto va de bajada, por eso sale negativa.

101BLOQUE 3
−Si le dibujo la recta tangente, ¿de qué otra cosa me daré cuenta?, es mejor averiguarlo.
−¡Andaleee!, la pendiente es negativa porque me acuerdo que en Mate 3 aprendí sobre las rectas cuyo ángulo de
inclinación se pasaba de los 90º, y son las que tienen pendientes negativas.
−Bueno ya terminé el problema, pero…. y si le dibujo varias rectas tangentes ¿qué obtendré?, mejor lo checo.
−¡Cuantas cosas puedo hacer con este programita!…..bueno, a ver, ¿qué encontré?
−Cuando el objeto va para arriba, todas las pendientes de las rectas tangentes son positivas, lo que significa que
todas las velocidades son positivas y luego, cuando llega a su altura máxima, su velocidad debe ser cero, por lo que
la pendiente de la recta tangente en ese punto debe ser cero también, y por lo tanto, una recta completamente
horizontal….aunque la recta que puse cerquita del t=3 casi es horizontal, ¿será que en t=3 s, alcanzará su máxima
altura?....bueno, eso después lo averiguo, ahorita estaba con las pendientes…y bueno, cuando el objeto va de bajada
todas las pendientes de las rectas son negativas, y por lo visto, aumenta a gran velocidad, porque cada vez están
más inclinadas.

−Pero me quedé con la duda si será o no en t=3 s alcanzará su máxima altura, ¿cómo lo sabré?....ya sé, y si obtengo
ahora la velocidad instantánea en t=3 y si resulta cero, significa que tengo razón, su altura es máxima, bueno, manos
a la obra, haré los mismos pasos del problema que me dijo el profesor. No importa que me haya extendido un poquito
más, pero no me puedo quedar con la duda.
         
    
 
 
0t16lim
t
t16
lim
t
144288t16t96144t96288
lim
t
144288t16t96144t96288
lim
t
316396t316t396
limm
0t
2
0t
2
0t
2
0t
22
0t
tan


















−¡Excelente!, sí es el tiempo donde la altura es máxima, y ahora, ¿cuál será esa altura?, ésta la puedo obtener si
sustituyo t=3 en la función de la altura.
   
144)3(h
144288)3(h
316396)3(h
t16t96)t(h
2
2




−O sea que su altura máxima es de 144 pies….¡guauu!, lo que acabo de encontrar es el vértice de la parábola,
porque su exponente mayor es 2, ¡oraleee!, es otro método para encontrar el vértice….aunque está un poco largo, y si
no hubiera sido t=3 el tiempo que da la altura máxima, ¿cómo le hubiera hecho?, ¿existirá una forma de obtener la
pendiente de la recta tangente en cualquier punto?
−Creo que lo comentaré mañana con mi profesor, aunque le voy a ir pensando a ver cómo sería.

Sitios Web recomendados:
Ingresa a los siguientes sitios para que visualices la
derivada de una función.
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1/Descartes/deri1/f
uncionderivada2.htm
http://www.analyzemath.com/spanish/calculus.html
http://www.jpimentel.com/departamentos/matematicas/nan
agonza/Deriv2.htm

103BLOQUE 3
Cierre
En equipo, desarrollen lo que se les solicita.
I. Utilicen materiales, dibujos, tablas, gráficas, fórmulas, o lo que consideren necesario, para
que resuelvan cada uno de los problemas que se les presentan a continuación:
1. Valeria es una estudiante del COBACH plantel Prof. Ernesto López Riesgo, ella y su equipo deben elaborar
un producto para la muestra de la Microempresa. Se les ocurrió elaborar joyeros de forma rectangular sin
tapa, para hacerlo utilizarán hojas de cartón fotográfico doble carta (17 x 22 plg.), y recortarán cuadros del
mismo tamaño en las esquinas para hacer los dobleces y formar el Joyero. Valeria pensó hacer joyeros de
diferentes tamaños y una duda que les surgió es a qué precio deben de venderlos, si el material que
utilizarán para todas es la misma cantidad. A Fátima, compañera de equipo, se le ocurrió obtener la
capacidad de diferentes cajas y al encontrar aquella de máxima capacidad para asignarle el precio más alto
y de ahí variar los precios. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de máxima capacidad?
Actividad: 4

2. Don Juan desea comprar un lote rectangular dentro de un terreno baldío de 100 metros de
ancho por 50 de largo, en él construirá una llantera que debe tener 800 m2
; para decidir las
dimensiones del lote, debe bardearlo por tres de sus lados, dejando libre el lado que utilizará
como entrada. ¿qué dimensiones debe tener el lote para que la suma de las longitudes
bardeadas sea mínima?

105BLOQUE 3
3. Karla es alumna del COBACH plantel Obregón 2, y desea realizar un viaje de estudio a
Puerto Vallarta por cinco días, para hacerlo, acudió a una agencia de viajes que ofrece un
paquete para excursionistas con las siguientes condiciones:
 El grupo no será menor de 30 personas.
 La tarifa es de $10,000 pesos por persona si asisten 30.
 La tarifa se reduce en 150.00 por persona si el número de excursionistas excede 30.
¿Qué número de alumnos tendrán que ir para que el pago sea mínimo y cuánto tendría que pagar cada uno?

Evaluación
Saberes
Identifica la razón de cambio
instantáneo en un problema
cotidiano.
Aplica la razón de cambio
instantáneo para resolver
problemas cotidianos.
Es participativo, respetuoso y
tiene apertura con las
aportaciones de sus
compañeros.
Coevaluación
docente
II. Analicen el procedimiento que utilizaron para resolver los problemas anteriores, en base a las
siguientes preguntas.
1. ¿Cuáles fueron las estrategias que utilizaron para resolver los problemas anteriores?
2. ¿Los resultados que obtuvieron son los óptimos?
a) Si es afirmativa la respuesta anterior, describan el procedimiento que seguieron.
b) Si es negativa la respuesta anterior, ¿qué requieren para lograr obtener el resultado exacto?
III. Conclusión grupal.

107BLOQUE 3
Reglas de derivación.
Inicio
Desarrolla lo que se te solicita.
I. Encuentra el límite de la función y grafícala:







0xsi1x2
0xsi1x
)x(f
2
.


)x(fLim
0x
x
f(x)
II. Encuentra el valor de los siguientes límites.
1. 1x2x3Lím 2
2x


2. 8x2Lím
4x


3.
3
4
Lím
5x
Actividad: 1

Evaluación
Actividad:1 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Identifica el límite de una
función.
Calcula el límite de una función.
errores.
Autoevaluación
docente
4.
2x
6x3
Lím
2x 


5.
5x
10x8x2
Lím
2
5x 


6.
4x
2x
Lím
22x 



109BLOQUE 3
Desarrollo
Derivada de una función.
En la secuencia anterior analizaste la necesidad de conocer de manera general la razón de cambio instantáneo para
poder resolver problemas prácticos, dicha razón se puede obtener mediante la pendiente de la recta tangente a la
curva, dicho en otras palabras, mediante la “inclinación” de la curva, a partir de la pendiente de la recta tangente. A
continuación se realizará el proceso mediante un ejemplo, para obtener dicha razón de cambio.
Ejemplo 1.
A Martín le recetaron un medicamento que requiere administrarse de forma intramuscular, debido a que tiene una
infección muy fuerte; al investigar dicho medicamento en internet, se asombró porque encontró que la concentración
(mililitros) está en función del tiempo transcurrido (horas) después de ser aplicado y se describe mediante la función:
3
t27
t3
)t(C


Martín se pregunta, ¿con qué rapidez se diluye el medicamento en la sangre?
Para resolver el problema se retomará la fórmula de razón de cambio instantáneo, es decir, la velocidad instantánea.
x
)x(f)xx(f
limm 0o
0x
tan




Esta fórmula proporciona la razón de cambio instantáneo en el valor xo y para obtenerla en un valor cualquiera de “x”,
se estaría considerando una nueva función, a la cual se le conoce como Derivada y se expresa de la siguiente forma:
x
)x(f)xx(f
lim)x(m
0x
tan




Por practicidad, se ha acordado expresar la función de la siguiente forma:
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h



ó
h
)x(f)hx(f
lim
dx
)x(df
0h



, con la condición de que el límite exista.
Así que se tomará la primera forma de la derivada para conocer la velocidad con que se diluye el medicamento y la
expresión, ajustada a las variables que proporciona el problema queda:
h
)t(C)ht(C
lim)t(C
0h



Primero, se requiere conocer  htC  .
3
t27
t3
)t(C


 
 
3223
3
hth3ht3t27
h3t3
ht27
ht3
)ht(C






Ahora se sustituye en la derivada de la función.
h
t27
t3
hth3ht3t27
h3t3
lim)t(C
33223
0h






Si se aplicara el límite en este momento, el cociente que se tiene en la función se indefiniría, debido a que la “h” se
convertiría en cero. Así que se empezarán a realizar las operaciones correspondientes, para buscar la forma de
eliminar la “h” del denominador, la cual es la que impide realizar el límite directo.

En el numerador de la derivada se tiene una diferencia de fracciones, por lo que para realizar la operación se requiere
obtener el mínimo común múltiplo, como se observa a continuación:
     
  
h
t27hth3ht3t27
hth3ht3t27t3t27h3t3
lim)t(C
33223
32233
0h




Se realiza la división mediante la conocida “ley de la tortilla”, la cual multiplica extremos por extremos y medios por
medios.
  33223
3223434
0h t27hth3ht3t27h
th3ht9ht9t3t81ht3h81t3t81
lim)t(C




Por conveniencia el denominador no se multiplica, ya lo observarás más adelante, por lo pronto, se reducirán términos
semejantes en el numerador.
  33223
3223
0h t27hth3ht3t27h
th3ht9ht6h81
lim)t(C




Como en el numerador todos los términos contienen a “h”, se puede factorizar por factor común y poder eliminar la
“h” que está en el denominador.
Ahora ya se puede aplicar el límite y debido a ello, todos los términos que contengan a “h” se convertirán en cero.
 
  
 
 23
3
33
3
t27
t681
tC
t27t27
t681
tC






La función que se acaba de encontrar es la derivada de la concentración del medicamento, es decir, es la rapidez con
que se diluye en la sangre.
Visualizando la gráfica de la función, se puede encausar la derivada
para resolver otros aspectos interesantes de los problemas, como
por ejemplo, el tiempo en el que la concentración en la sangre es
máxima.
En el próximo bloque se resolverán este tipo de cuestionamientos.
  33223
223
0h t27hth3ht3t27
th3ht9t681
lim)t(C




0 0 0
0 0 0
 
  33223
223
0h t27hth3ht3t27h
th3ht9t681h
lim)t(C




     
  
1
h
t27hth3ht3t27
hth3ht3t27t3t27h3t3
lim)t(C
33223
32233
0h





111BLOQUE 3
A continuación se mostrarán algunos ejemplos de cómo obtener la derivada de una función, dichos ejemplos están sin
contexto, es decir, sólo se te proporciona la función sin provenir de algún problema aplicado, esto con el propósito de que
se visualice el manejo algebraico que debe darse para su obtención.
Ejemplo 1.
Obtener la derivada de la función 1x5x3)x(f 2
 .
Primero se sustituye la función en la definición de la derivada.
   
h
1x5x31)hx(5)hx(3
lim)x(f
22
0h



Se desarrolla el binomio al cuadrado y después la multiplicación para eliminar paréntesis y corchetes.
   
h
1x5x31h5x5)hxh2x(3
lim)x(f
222
0h



   
h
1x5x31h5x5h3xh6x3
lim)x(f
222
0h



h
1x5x31h5x5h3xh6x3
lim)x(f
222
0h



Se reducen términos semejantes, obteniéndose:
h
h5h3xh6
lim)x(f
2
0h



Al tener el numerador sólo términos que poseen la variable “h”, se puede factorizar por el método de factor común.
h
)5h3x6(h
lím)x(f
0h



)5h3x6(lim)x(f
0h


Por último se resuelve el límite, sustituyendo 0 en h, quedando la derivada de la siguiente forma.
5x6)x(f 
Ejemplo 2.
Obtener la pendiente de la recta tangente en 2xo  a la función
1x
3x2
)x(f


 .
Sustituyendo en la fórmula se obtiene:
 
h
)x(f)hx(f
lim)x(fxm oo
0h
ootan



   
h
1x
3x2
1hx
3)hx(2
limxm o
o
o
o
0h
otan








   
 
 
h
12
322
1h2
3)h2(2
lím2m
0h
tan







Se realizan las multiplicaciones correspondientes, para eliminar los paréntesis, quedando:
 
h
3
1
h3
h21
lim
h
12
34
1h2
3h24
lim2m
0h
0h
tan












Se efectúa la resta de fracciones, como se muestra a continuación:
 
     
  
h
3h3
1h3h213
lim2m
0h
tan




Se realizan las multiplicaciones correspondientes, se reducen términos semejantes y se aplica la “ley de la tortilla”.
    
  
  3h3h
h5
lim
h
3h3
h5
lim
h
3h3
h3h63
lim2m
0h
0h
0h
tan










En este caso se puede eliminar la “h” directamente, ya que en el numerador hay un solo término, por lo tanto, queda
de la siguiente forma:
 
  3h3
5
lim2m
0h
tan



Resolviendo el límite se obtiene:
 
   9
5
33
5
2mtan 
Gráficamente, el hecho de que la pendiente de la recta tangente sea igual a
9
5
,
quiere decir que la curva, alrededor del punto que corresponde a 2x  , tiene
poca inclinación, esto se puede verificar en con su gráfica.
La bondad de conocer este proceso es que se puede conocer el ángulo de
inclinación de la recta tangente, aplicando una fórmula que conociste en
Matemáticas 3.
o11
05.29
9
5
tanmtan 





 
Con ello se pueden resolver otros tantos problemas aplicados que se te
presentarán posteriormente.

113BLOQUE 3
Ejemplo 3.
Para la función 5x)x(M  , obtener:
a) La derivada de M(x).
b) La pendiente de la recta tangente a M(x) en el valor x=9.
Se toma la fórmula y se sustituye la función, como se muestra a continuación:
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h



   
h
xMhxM
lim)x(M
0h



h
5x5hx
lim)x(M
0h



El problema para resolver el límite, sigue siendo la “h” en el denominador, para solventarlo, se “saca” la “h” del
radical, eso se puede hacer, multiplicando la función por el conjugado del binomio del numerador; para no alterar la
fracción se debe multiplicar tanto en el numerador como en el denominador, como sigue:
5x5hx
5x5hx
h
5x5hx
lim)x(M
0h 





Aplicando el producto de binomios conjugados, queda:
   
 
   
 
 5x5hxh
5x5hx
lim
5x5hxh
5x5hx
lim
5x5hxh
5x5hx
lim)x(M
0h
0h
22
0h












Reduciendo términos semejantes se tiene:
 5x5hxh
h
lim)x(M
0h 


Se puede eliminar directamente “h”, como se muestra a continuación:
 5x5hx
1
lim)x(M
0h 


Una vez eliminada la “h” del denominador se puede resolver el límite sustituyendo 0 en “h”, de tal manera que la
derivada de la función queda:
5x2
1
)x(M



Para encontrar la pendiente de la recta tangente en 9x  , sólo se sustituye éste en la derivada que se obtuvo en la
expresión anterior.
 
)2)(2(
1
42
1
592
1
9M)9(mtan 


4
1
)9(M 
Los ejercicios anteriores te sirvieron para que comprendieras de fondo el álgebra que está implícita en los siguientes
teoremas, los cuales proporcionan una ayuda para agilizar el proceso para obtener la derivada de una función.
Después de que revises y practiques cada uno de los teoremas, retomarás los ejemplos anteriores y verificarás con
los teoremas su resultado, con ello te darás cuenta que los procesos se pueden generalizar para facilitar los cálculos
algebraicos y así poder solucionar problemas con mayor rapidez, y al tener menos procedimiento, menor será la
probabilidad de cometer errores en el camino.
Ahora, te preguntarás por qué no se te proporciona esta información desde un inicio, y la respuesta a este
cuestionamiento, es precisamente porque si comprendes la base de cualquier fórmula o estructura, o bien, si
comprendes cómo se construyó, podrás aplicar estos procedimientos con mayor facilidad, porque se registra en la
memoria de largo plazo.
Teorema sobre derivadas.
Para obtener la derivada de una función, existen algunos teoremas que agilizan el proceso sin utilizar la derivar en su
definición de límite, como te habrás dado cuenta, es bastante laborioso hacerlo de esa manera. A continuación se
enumerarán los siguientes teoremas, de los cuales se omitirá su demostración; aclarando que ésta se puede realizar
mediante la definición de derivada antes vista.
Ejemplos:
 0)x(f3)x(f 
 0)x(g
5
3
)x(g 


 0)x(h23.0)x(h 
1. Derivada de una función constante.
Si c)x(f  , entonces 0)x(f 
2. Derivada de la función identidad.
Si x)x(f  , entonces 1)x(f 

115BLOQUE 3
Ejemplos:
 5
x)x(f 
4
x5)x(f 
 4
x)x(g 

5
5
x
4
x4)x(g

 
 5
2
x)x(h 
5 3
5
3
5
3
x5
2
x5
2
x
5
2)x(h 




2
3
x3
2
x7x2
x
3
)x(r
5 6
54
5
Primero se escriben los términos en forma de potencias:




2
3
xx7x2x3)x(r 5
6
3
22
5
45
Ahora se derivan y se reacomodan los términos sin exponentes negativos ni exponentes cero:
5
11
2
3
36
x
15
12x
2
35x8x15)x(r



5 11
33
6
x15
12
x
2
35x8
x
15
)x(r 


3. Derivada de una función potencia.
Si n
x)x(f  , entonces 1n
nx)x(f 

4. Derivada de una constante por una función.
Si )x(cg)x(f  , entonces )x(gc)x(f 

Ejemplos:
 x3)x(f 
3)1)(3()x(f 
 5
x4)x(g 
44
x20)x5)(4()x(g 
 6
x
3
2
)x(h 

  7
77
x
4
x4x6
3
2
)x(h 





 
Ejemplos:
 1x3)x(f 
303)x(f 
 2x5x3x)x(g 23

5x6x305)x2)(3(x3)x(g 22

 4
xx
5
1
)x(h 

5
5
x
4
5
1
x4
5
1
)x(h  
5. Derivada de una suma de funciones.
Si )x(h)x(g)x(f  , entonces )x(h)x(g)x(f 
6. Derivada de un producto de funciones.
Si )x(h)x(g)x(f  , entonces )x(h)x(g)x(h)x(g)x(f 

117BLOQUE 3
Ejemplos:
 )5x3)(1x2()x(f 
7x12
3x610x6
)3)(1x2()5x3)(2(
)5x3)(1x2()5x3()1x2()x(f




 )xx)(xx2()x(g 2323

345
34453445
223232
23232323
x4x5x12
x2x3x4x6x2x2x6x6
)x2x3)(xx2()xx)(x2x6()x(g
)xx)(xx2()xx()xx2()x(g




Ejemplos:

3x
1x5
)x(f



      
 2
3x
3x1x53x1x5
)x(f



222
)3x(
16
)3x(
1x515x5
)3x(
)1)(1x5()3x)(5(
)x(f









7x
x
)x(g 3
2


     
 23
3232
7x
7xx7xx
)x(g





     23
4
23
44
23
223
7x
x14x
7x
x3x14x2
7x
)x3)(x()7x)(x2(
)x(g









7. Derivada de un cociente de funciones.
Si
)x(h
)x(g
)x(f  , entonces
2
)]x(h[
)x(h)x(g)x(h)x(g
)x(f



En equipo, deriven las siguientes funciones mediante el uso de teoremas:
1. 5)x(f 
3. )x(h
5. 2
1)x(R 
7. x)x(g 
9. 8
x)x(M 
11. 5x6)x(f 
13. 2
12
xx4)x(F 
15.  x6x4xx)x(P 235
17.   2x1xx)x(L 32

2. x6)x(M 
4. 3
x)x(T 
6. 5
x)x(L 
8. 2
x4)x(M 
10.
2
x
1
)x(g 
12. 5
x
1
)x(L
5

14. 5.1
x
2
xx
x
1
)x(g
3
4 35
8

16.   1x5x3)x(f 42

18.   6x41x5)x(h 57

Actividad: 2

119BLOQUE 3
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Ejercicios Puntaje:
Saberes
Identifica la derivada de una
función.
Calcula la derivada de una función.
Es respetuoso con sus
compañeros.
Coevaluación
docente
19.
1x
2x
)x(g
2
3



20.
1x
5xx
)x(r
3
25



21.
3
2
x
1x5x2
)x(T


22.
2x
4x
)x(g
2



23.
5x
15x2x
)x(f
2




Regla de la cadena.
Es sencillo derivar una función como 3
x)x(f  , ésta es 2
x3)x(f  , pero, en el caso de tener una función como
ejemplo  32
1x3)x(Q  , ¿su derivada será  22
1x33)x(Q  ? Con el siguiente cuadro se comprobará que esta
forma de hacerlo es un error.
Procedimiento incorrecto Procedimiento correcto
Función
 32
1x3)x(Q   
          
1x9x27x27
11x331x33x3
1x3)x(Q
246
3222232
32



Derivada
 
 
3x18x27
1x6x93
1x33)x(Q
24
24
22


 x18x108x162)x(Q 35

Al comparar los resultados se confirma que es un error derivar una función polinomial elevada a una potencia de esa
forma.
Observa que para derivarla de forma correcta, primero se desarrollo el binomio al cubo y posteriormente, se derivó; el
problema surge cuando se tenga un polinomio de grado mayor elevado a un exponente más grande, como:
 6233
3x7x5x8x4)x(f  . Desarrollar esta función requiere un proceso largo, el cual no es necesario.
A continuación se muestra el método de la Regla de la Cadena, para derivar funciones compuestas como las
anteriores.
Para derivar una función compuesta es necesario conocer las funciones que las componen, se utilizarán algunos
ejemplos para describirla.
Función compuesta
     xuhxuh)x(f  
   32
1x3xf 
3
x)x(h  1x3)x(u 2

    2
7x5xf 
   2
x5xh 
   7xxu 
  x5x4xf 3
   xxh    x5x4xu 3

   2x6xsenxf 3
  xsen)x(h  2x6x)x(u 3

  2x5
exf 
 x
e)x(h  2x5)x(u 
 
4x
1x5
Lnxf 2



  xLnxh 
 
4x
1x5
xu 2



A continuación se mostrarán las fórmulas que se utilizan para derivar funciones compuestas, para ello se nombrará a
a )x(uu  y g=g(x), pero antes que nada, habrá que enunciar la regla de la cadena.

121BLOQUE 3
A continuación se proporcionarán otros teoremas sobre derivadas, que requieren la aplicación de la regla de la
cadena.
Ejemplos:

 72
1x5x3)x(m 
7
2
u)x(m
:entonces,1x5x3uSi


uu7)x(m 17  
Pero, la derivada de 1x5x3u 2
 es 5x6u  , sustituyendo se tiene:
      6262
1x5x335x425x61x5x37)x(m 
  5 73
3x5x7)x(t 
Primero se requiere expresar la función irracional, como una función elevada a una potencia, como se
muestra a continuación.
   5
7
35 73
3x5x73x5x7)x(t 
  5
7
3
uxt
:entonces,3x5x7uSi


Regla de la cadena.
Si “u” es derivable y “g” es derivable en “u”, entonces la función
compuesta ug)x(f  , definida por   xug)x(f  es derivable en
“x” y su derivada está dada por:
   
    xuxug)x(f
xug)x(f


o bien de forma reducida:
  
 uug)x(f
ug)x(f


8. Derivada de la función potencia con la regla de la
cadena.
Si n
u)x(f  , entonces 'uun)x(f 1n


   
   5 232
25
2
3
1
5
7
3x5x75x21
5
7
5x213x5x7
5
7
)x(t
uu
5
7
)x(t





 634
xx2x52
3
)x(r



Para este caso se sube al numerador el polinomio elevado a la sexta potencia, cambiando de signo debido a
las leyes de los exponentes, como se muestra a continuación:
 
  634
634
xx2x5
2
3
xx2x52
3
)x(r





 
     
   734
23
734
23
23734
7
6
34
xx2x5
9x54x180
xx2x5
1x6x209
1x6x20xx2x5
2
18
uu
2
18
)x(r
u
2
3
xr
:entonces,xx2x5uSi












   624
1x82xx)x(P 
Aplicando la regla de la multiplicación y la regla de la cadena para potencias de polinomios, se obtiene:
      




 


624624
1x82xx1x82xx)x(P
        


  x161x8)6(2xx1x81x4)x(P
524623
Multiplicando y reacomodando términos tenemos:
      524623
1x8x962xx1x81x4)x(P 
Este resultado se puede escribir de una forma más reducida, factorizando por factor común, como sigue:
        
   
   1x192x104x4x1281x8
x192x96x961x8x4x321x8
x962xx1x81x41x8)x(P
23552
2523552
42352




123BLOQUE 3
En equipo, deriven las siguientes funciones:
1. 2
)2x()x(f 
2. 65
)3x2x(2)x(M 
3. 9)5x(2)x(H 3

4.
3
1x2
1
)x(K


5. 1
2x
1
x)x(M 2



Actividad: 3

Evaluación
Saberes
Distingue las funciones
compuestas, para su derivación.
Aplica la regla de la cadena para
funciones compuestas.
Aporta ideas al equipo y es
respetuoso con sus compañeros.
Coevaluación
docente
6. 23
)5x()1x()x(M 
7. 52
)1x3()x(h 
8.
3x
1
)x(g


9. 9x)x(T 
10. 2
)7x3(
2
)x(g
6




125BLOQUE 3
Funciones trigonométricas.
Ejemplos:
  2x7x3sen)x(h 2

   2x7x3cos7x6)x(h
ucosu)x(h
:entonces,2x7x3uSi
2
2



  523
x3x5xsen)x(N 
  :entonces,x3x5xuSi
523

     5232423
x3x5xcos3x103xx3x5x5)x(N
ucosu)x(N




 

Se multiplican los términos que no tienen potencia, con ello se obtiene:
    5234232
x3x5xcosx3x5x15x50x15)x(N 
Ejemplos:
  2x3sco)x(T 
Si 2x3u  , entonces:
 
 2x3sen3)x(T
usenuxT


  1x2sco)x(L 54

Esta función también se puede expresar de la siguiente forma, con ello se podrá visualizar mejor la potencia.
  45
1x2sco)x(L 
9. Derivada de la función seno.
Si usen)x(f  , entonces ucosu)x(f 
10. Derivada de la función coseno.
Si usco)x(f  , entonces usenu)x(f 

Aun cuando se trata de una función trigonométrica, ésta se encuentra dentro de una potencia, esto lo hace
una función compuesta, por lo que primero se debe aplicar la regla de la potencia y posteriormente la de la
función coseno, es decir, se aplica la regla de la cadena.
Si  1x2scou 5
 , entonces:
4
u)x(L 
     
       1x2senx101x2sco)4()x('L
1x2cos1x2sco)4()x('L
uu4)x('L
5435
535
3




     1x2sen1x2scox40)x('L 5534

Ejemplos:
  1x3nta3)x(N 2

Si 1x3u 2
 , entonces:
   
 
 1x3csex18)x(N
1x3cse)x6(3)x(N
1x3sec1x33)x(N
usecu3)x(N
22
22
222
2






 








3x5
1x2
nta)x(P
Si
3x5
1x2
u


 , entonces:






























3x5
1x2
cse
)3x5(
)5)(1x2()3x5)(2(
)x(P
3x5
1x2
cse
3x5
1x2
)x(P
ucseu)x(P
2
2
2
2











3x5
1x2
cse
)3x5(
5x106x10
)x(P 2
2










3x5
1x2
cse
)3x5(
11
)x(P 2
2
11. Derivada de la función tangente.
Si unta)x(f  , entonces usecu)x(f 2

127BLOQUE 3
Ejemplos:
  2x7x5tco)x(g 3

Si 2x7x5u 3
 , entonces:
   2x7x5ccs7x15)x(g
uccsu)x(g
322
2


 






x
1
tco)x(H
Si 1
x
x
1
u 
 , entonces:
uccsu)x(H 2

   122
xccsx)x(H 








x
1
ccs
x
1
)x(H 2
2
Ejemplos:
  3x5xcse)x(h 3

Si 3x5xu 3
 , entonces:
     3x5xnta3x5xcse5x3)x('h
untaucseu)x('h
332


     44
3x2cse3x2cse)x(T 
Si  3x2secu  , entonces:
12. Derivada de la función cotangente.
Si utco)x(f  , entonces ucscu)x(f 
13. Derivada de la función secante.
Si ucse)x(f  , entonces untaucseu)x(f 

     )3x2(nta3x2cse)2(3x2cse)4()x(T
uu4)x(T
3
3


  )3x2(nta3x2cse8)x(T 4

Ejemplos:
  1xccs7)x(B 2

Si 1xu 2
 , entonces:
 
    
   1xtco1xccsx14)x(B
1xtco1xccsx27)x(B
ucotucscu7)x(B
22
22



    3
4
33 43
x7x2ccsx7x2ccs)x(R 
Si  3
4
3
x7x2u  , entonces:
     
       3
4
33
4
323
1
3
3
4
33
4
33
4
3
x7x2tcox7x2ccs7x6x7x2
3
4
)x(R
x7x2cotx7x2cscx7x2)x(R
ucotucscu)x(R






















     3 433 433 32
x7x2tcox7x2ccsx7x27x6
3
4
)x(R 
Funciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplos:
 1x7
e)x(f 

Si 1x7u  , entonces:
14. Derivada de la función cosecante.
Si uccs)x(f  , entonces utcouccsu)x(f 
15. Derivada de la función exponencial.
Si u
e)x(f  , entonces u
eu)x(f 

129BLOQUE 3
1x7
e7)x(f
eu)x(f u



x3sco
e)x(k 
Si x3scou  , entonces:
  x3sco
u
e)x(k
eu)x(k
x3sco


x3sco
ex3sen3)x(k 
Ejemplos:
  1x2x4xLn)x(G 35

Si 1x2x4xu 35
 , entonces:
1x2x4x
2x12x5
)x(G
u
u
)x(G
35
24





  1xsenLn4)x(M 3

Si 1xsenu 3
 , entonces:
 
 
1xsen
xscox12
)x(M
1xsen
xscox34
)x(M
1xsen
1xsen4
)x(M
u
u4
)x(M
3
32
3
32
3
3










16. Derivada de la función logaritmo natural.
Si uLn)x(f  , entonces
u
u
)x(f



Deriva las siguientes funciones utilizando los teoremas:
1. )1x3(sen)x(h 
2. )1x(nta)x(H 
3. 4
xcse)x(f 
4. )1x(sco)x(L 23

5.
3
xscoe)x(F 
6.
1x
1x
Ln)x(N



Actividad: 4

131BLOQUE 3
Evaluación
Saberes
Distingue las funciones
trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales, para su
derivación.
Calcula la derivada de funciones
trigonométricas, logarítmicas y
exponenciales
errores.
Autoevaluación
docente
7. 35
)7x4(sco)x(g 
8. )1x5x(tco)x(F 25

9. 1x5xey
2

10. 1x5xLn)x(H 2


Cierre
1
1
Cálculo Diferencial de una variable con aplicaciones.
Resuelve los siguientes problemas.
1. Durante el campeonato de Softball femenil de la liga de jóvenes en la Ciudad de Guaymas, una de las
jugadoras bateó un foul que sale disparado verticalmente hacia arriba. Un comentarista aficionado a la física
comentó que la posición de la pelota respecto al piso está dada por   2
t5t258.0ty  . Javier,
expectador del juego se asombró por el comentario y se preguntó:
a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota?
b) ¿Cuál es la velocidad a los 3 segundos?
c) ¿En qué tiempo la pelota empieza a bajar?
2. Se llevará a cabo un concurso de cartel de publicidad en la Escuela de Comunicación en la Universidad de
Sonora, el cartel debe contener 465 plg2
de imagen. Los márgenes superior e inferior tienen 3 plg. de ancho
y en los laterales 2 plg.
a) Expresa el área del cartel en función del ancho de la imagen.
b) ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo del área del cartel?
Actividad: 5

133BLOQUE 3
Evaluación
Saberes
Identifica la razón de cambio
instantáneo como la derivada de
una función, en problemas
aplicados.
Aplica la derivada de una función
en problemas cotidianos
Aprecia el Cálculo como una
herramienta para resolver
problemas.
Autoevaluación
docente
3. La función     10
10t
1
sen10ttf 2


 determina las variaciones que tiene una empresa
en la bolsa de valores al transcurrir los días. ¿Con qué velocidad cambian dichas
variaciones?
4. Otro tipo de razón de cambio que no se mide respecto al tiempo es el costo marginal, el cual representa
cuánto varía el costo de un producto si se produce una unidad más.
El costo total de producir “x” piezas de computadoras está dado por la función   2
x01.0x520xC  para
x<504. ¿Cuál es el costo marginal al producir 84 unidades?
5. Cuando el precio de cierto artículo es “p” pesos por unidad, el fabricante ofrece “x” cientos de unidades,
donde 12xp3 22
 ¿con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de 4 pesos por unidad y se
incrementa a la tasa de 87 centavos por mes?

Calcula e interpreta máximos y mínimos
aplicados a problemas de optimización.
• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos,
• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos
• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales,
mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
• Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su
comportamiento.
• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades
físicas de los objetos que lo rodean.
• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
• Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos sobre el comportamiento de un móvil, en un tiempo
determinado y calcula máximos y mínimos absolutos y relativos.
• Valora el uso de las TIC’s en el modelado y simulación de situaciones problemáticas de fenómenos físicos, químicos,
ecológicos y de varios sectores de producción.
• Calcula máximos y mínimos de funciones algebraicas e interpreta los máximos relativos y puntos de inflexión en
gráficas que modelan la resolución de problemas de su entorno.
5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye
al alcance de un objetivo.
5.4. Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez.
8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.

136 CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Aplicaciones de la derivada.
Inicio
EvaluaciónEvaluaciónEvaluaciónEvaluación
SaberesSaberesSaberesSaberes
ConceptualConceptualConceptualConceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal
Reconoce algunas características
de una función.
Argumenta las características de una
función.
Redacta de forma clara las
características de una función.
Autoevaluación
docente
Responde con tus propias palabras las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es y cómo se escribe un intervalo abierto?
2. ¿Qué es y cómo se escribe un intervalo cerrado?
3. ¿Cuándo se dice que una función tiene un máximo absoluto?
4. ¿Qué significa que una función tenga un mínimo relativo?
5. ¿Cómo describes el punto de inflexión de una función?
6. ¿Qué es una función creciente?
7. ¿Qué sucede cuando una función es decreciente en un intervalo?
8. ¿Qué se entiende por concavidad de una función?
Actividad: 1

137BLOQUE 4
Desarrollo
Responde los cuestionamientos, con base en el siguiente problema:
Don Jorge quiere sembrar árboles de manzana, y desea saber cuántos puede sembrar por hectárea.
Si sabe que sembrando 24 por hectárea, cada árbol adulto dará 600 manzanas por año y además
por cada tres más que se planten, se tendrán 12 manzanas menos por árbol al año ¿Cómo podrá
Don Jorge resolver su problema, si quiere obtener el mayor número de manzanas posible?
1. ¿Qué información conoce Don Jorge de inicio para sembrar los árboles en una hectárea?
2. De acuerdo a la información anterior, ¿cómo puede saber el número de manzanas que obtendrá de su siembra?
3. Si considera plantar 3 árboles más de los 24 iniciales, ¿cuántas manzanas menos da cada árbol? ¿Cuántas
manzanas obtiene de esta siembra?
4. Si ahora considera plantar 3 árboles más que los anteriores, ¿cuántas manzanas menos da cada árbol?
¿Cuántas manzanas más se obtienen de esta siembra?
5. Si le añadiera 3 árboles cada vez, ¿cómo podría calcular el número de manzanas por cada árbol plantado?
a) Para ayudarte a contestar esta pregunta, elabora una tabla donde vayas colocando la información obtenida
a partir de la primera pregunta.
b) ¿Qué variables considerarías en el diseño de la tabla?
c) Completa la tabla calculando hasta 15 árboles añadidos a la siembra original.
6. Si siembra “x” cantidad de árboles extras, ¿cuántas manzanas se obtendrán por cada árbol sembrado?
¿Cuántas manzanas se tendrán en total?
Actividad: 2

Relaciona las variables
involucradas en el problema, para
darle solución.
Deduce la solución óptima al
problema, utilizando el máximo de
una función.
Se interesa por contestar los
cuestionamientos de forma clara.
Autoevaluación
docente
7. Expresa el número de manzanas, como una función que depende del número de árboles
plantados.
8. ¿Qué tipo de función obtuviste?
9. ¿Cómo es la gráfica de ésta función?
10. ¿Qué describe el punto más alto de esta función?
11. ¿Cómo sería la pendiente de la recta tangente en ese punto?
12. ¿Cómo puedes calcular la pendiente de la recta tangente en ese punto?
13. ¿A qué valor de “x” pertenece el punto más alto de la función?
14. ¿Cómo verificas que este punto es el más alto de la función?
15. ¿Qué significa el resultado que obtuviste?

139BLOQUE 4
Puntos críticos de una función.
Por lo general, cuando se quiere resolver un problema siempre se busca que la solución sea la mejor, la óptima. Es por
eso que una de las principales aplicaciones del Cálculo Diferencial es la optimización. En la actualidad, esta rama de las
matemáticas es uno de los pilares más importantes de la industria.
A lo largo del módulo has visto algunos problemas en los que se requiere obtener la mejor solución y en algunos de ellos
no se ha obtenido, debido a que se requiere un proceso más específico. A continuación se presentará cómo obtener la
solución óptima a dichos problemas, primero se iniciará un análisis de comportamiento para posteriormente formalizar el
procedimiento, para ello, se retomará un problema clásico que has venido desarrollando desde Matemáticas 4 y que se
retomó en el bloque 1, hasta ahora darás solución a mismo.
Ejemplo 1.
Se desea construir una caja rectangular sin tapa, para ello se recorta un cuadrado en cada uno de los extremos de una
lámina de 60 cm de largo por 40 cm de ancho. ¿Cuál es la longitud del cuadrado que se debe recortar para que el
volumen de la caja sea máximo?
El volumen de la caja en función de la longitud de los cuadrados que se recortan de las esquinas es:
x2400x200x4)x(V 23
+−=
Al graficarla se obtiene la siguiente curva:
60 – 2x
40 – 2x
x
60
x
40
)x)(x240)(x260()x(V −−=
x2400x200x4)x(V 23
+−=

Se debe tener en cuenta que la longitud de los cuadrados que se pueden recortar es mayor que 0 y menor que 20 cm,
por lo que el dominio restringido de la función es de ( 0, 20 ), por lo tanto, la gráfica que corresponde al problema real es:
Al observar la gráfica se visualiza que existe un valor de “x” para el cual el volumen es máximo, y para analizar la forma de
obtener este valor, se tomará la función sin restricción de dominio.
Para apoyo del análisis, se trazarán segmentos de rectas tangentes en algunos puntos, en donde cambia el
comportamiento de la función, es decir, donde la función cambia de dirección.
Donde las coordenadas de los
puntos de manera general son:
P1=( x1, V(x1) )
P2=( x2, V(x2))
P3=( x3, V(x3) )
P4=( x4, V(x4))
P5=( x5, V(x5) )
P6=( x6, V(x6) )
P7=( x7, V(x7) )
Si se observa el comportamiento de la función hasta el punto P2, ésta es creciente, puesto que a medida que aumenta el
valor de “x”, aumenta el volumen V(x), en este caso la pendiente de las rectas tangentes son positivas porque su
inclinación es menor a 90º, es decir, tienen inclinación hacia la derecha.
A partir del punto P2 hasta P6 la función es decreciente, debido a que al aumentar el valor de “x” disminuye V(x), en esta
sección de la función, se visualiza que las pendientes de las rectas tangentes son negativas, esto es consecuencia del
ángulo de inclinación, el cual es mayor a 90º y menor a 180º, razón por la cual, las rectas se inclinan hacia la izquierda.
Después del punto P6, la función es de nuevo creciente, ahí también se observa que las pendientes de las rectas
tangentes son positivas.
P4
P3
P5
P2
P1
P6
P7

141BLOQUE 4
Otro detalle, y no menos importante que los anteriores, es la pendiente de la recta tangente en los puntos P2 y P6,
particularmente son rectas horizontales, por lo que el valor de las pendientes es cero; de hecho, son los puntos donde la
función cambia de comportamiento, de creciente a decreciente y de decreciente a creciente, respectivamente.
A los puntos P2 y P6 se les conoce como puntos críticos y a sus correspondientes coordenadas x2 y x6 se les denomina
números críticos. A los valores que toma la función en x2 y x6, es decir, a V(x2) y a V(x6) se les denominan valores críticos.
¿Notaste que las rectas tangentes antes de P4 están por encima de la función y después de éste se encuentran por
debajo de la misma?
Efectivamente, con ello se puede decir que la función antes de P4 es cóncava hacia abajo y después de éste es cóncava
hacia arriba, entonces, se puede decir que P4 es el punto donde cambia de concavidad la función y se denomina punto
de inflexión.
Retomando el problema de la caja, para responder esta interrogante: ¿cuál es la longitud del cuadrado que se debe
recortar para que el volumen de la caja sea máximo?, es necesario considerar que el volumen máximo es aquél cuya recta
tangente tiene pendiente cero, es por ello que el proceso para encontrar la longitud del cuadrado “x” es:
1. Se obtiene la derivada de la función con respecto
a “x”, debido a que ésta proporciona todas las
pendientes de las rectas tangentes de la función
volumen.
2400x400x12)x(V 2
+−=′
2. Se iguala a cero )x(V′ , puesto que es la condición
necesaria para que el volumen sea máximo.
0)x(V =′
02400x400x12 2
=+−
3. Resolver la ecuación anterior, en este caso, se
aplica la fórmula general, dado que es una ecuación
cuadrática.
A2
AC4BB
x
2
−±−
=
2400C
400B
12A
=
−=
=
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
24
76400400
x
24
44800400
x
122
2400124400400
x
2
±
=
±
=
−−±−−
=
8.7
3
71050
x ≈
−
= ó 5.25
3
71050
x ≈
+
=
Analizando estos resultados, se descarta el número crítico 25.5, debido a que se encuentra fuera del dominio restringido
de la función, en otras palabras, se encuentra fuera del contexto que marca el problema, no es posible recortar cuadrados
de 25.5 cm de longitud, puesto que no se formaría ninguna caja porque el ancho de la lámina es 40 cm, por lo tanto, la
longitud del cuadrado que se debe recortar para que el volumen de la caja sea el máximo es:
cm8.7
3
71050
x ≈
−
=
Ahora se considerará la siguiente función cúbica, para continuar analizando los puntos críticos de una función y
posteriormente, se formalizarán las definiciones.
X

Ejemplo 2.
Obtener los puntos críticos de la función 9x12x6x)x(f 23
+−+−= .
En otras palabras, solicita encontrar las coordenadas de los puntos máximos o mínimos que posea la función, para ello se
requiere obtener la derivada, e igualarla a cero, debido a que el máximo y el mínimo existe si la pendiente de la recta
tangente es cero, por lo tanto, se obtiene:
12x12x3)x(f 2
−+−=′
012x12x3 2
=−+−
De igual forma que el ejemplo anterior, se obtiene una ecuación cuadrática que se puede resolver mediante factorización
o por la fórmula general.
La ecuación cuadrática es sencilla y además se puede simplificar dividiendo ambos miembros de la ecuación entre −3. Si
se utiliza la factorización se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, el cual se puede expresar como un binomio al
cuadrado, como se muestra a continuación.
( ) 02x
04x4x
012x12x3
2
2
2
=−
=+−
=−+−
Aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación se obtiene:
( )
02x
02x 2
=−
=−
Al despejar “x” de la ecuación anterior, resulta el número crítico x = 2. Para conocer su correspondiente valor crítico y
formar el punto crítico, se sustituye el número crítico en la función, como se observa a continuación:
( ) ( ) ( )
1)2(f
924248)2(f
9212262)2(f
9x12x6x)x(f
23
23
=
+−+−=
+−+−=
+−+−=
Por lo tanto, el único punto crítico que tiene la función es (2, 1).
Sin la gráfica y con el proceso que se ha hecho hasta ahora, no se puede determinar qué tipo de punto crítico es, por lo
pronto, se analizará la gráfica para determinarlo y más adelante se establecerán los criterios para clasificar puntos críticos.
En la gráfica se visualiza el punto crítico y la recta tangente, con ella se reafirma
que su pendiente es cero, puesto que es horizontal. También se observa que en
el punto (2, 1) hay un cambio de concavidad en la función, antes de x=2 la
función es cóncava hacia arriba y después de él, es cóncava hacia abajo, por
tal motivo, el punto crítico (2, 1) es también un punto de inflexión.

143BLOQUE 4
Desarrolla lo que se solicita.
I. Realiza el procedimiento que corresponde para encontrar los puntos donde cambia de
comportamiento cada una de las siguientes funciones.
II. Grafica cada una de las funciones en algún software, imprime y pega cada una en la función
correspondiente.
2. 5)3x()x(f 2
++−=
3. 19x8x)x(g 2
+−=
Actividad: 3

3. 1x3x3x)x(T 23
−++=
4. 24
x8x)x(M −=
5. 2345
x3x
3
5
x
4
3
x
5
2
)x(N −−+=

145BLOQUE 4
Identifica los puntos donde
cambia de comportamiento una
función.
Establece los puntos donde cambia
de comportamiento una función.
Aprecia la utilidad de los software
de graficación, para verificar el
resultado algebraico.
Autoevaluación
docente
6. 3
2
2
)9x()x(L −=
7.
4
6
x
9x
)x(F
−
=

Criterio de la primera derivada, para la clasificación de los puntos críticos de una función.
En el tema anterior se manejaron los puntos críticos y se analizaron algunas de sus características, éstas se tomarán
como base para establecer el criterio de la primera derivada para clasificar puntos críticos de una función. Existe un
segundo criterio de clasificación el cual se abordará posteriormente.
Para determinar el criterio, se observa el comportamiento de las derivadas de las siguientes funciones alrededor o en un
intervalo que contenga al número crítico “a”.
En esta gráfica, se observa que en el número crítico “a” es donde la función
toma su valor máximo, también, las rectas tangentes se encuentran por
encima de la función, lo que muestra que es cóncava hacia abajo. Además, la
función cambia de creciente a decreciente, por lo que la pendiente de la recta
tangente antes del número crítico es positiva y después de él es negativa.
De forma similar, en esta gráfica se tiene que en el número crítico “a”, la función
toma su valor mínimo, y además, las rectas tangentes están debajo de la
función, por lo que es cóncava hacia arriba. Nótese que antes del número crítico
la pendiente es negativa y después de él es positiva, es decir, la función cambia
de decreciente a creciente.
En estas dos gráficas el número crítico “a” establece un punto de inflexión, debido a que en él cambia de concavidad,
además, antes y después de “a”, la pendiente de la recta tangente no cambia de signo, como se comenta en cada caso a
continuación:
a) Nótese que en la gráfica de la izquierda, antes del número crítico “a”, la pendiente de la recta tangente es
positiva, exactamente en “a”, su pendiente es cero, y después de éste, su pendiente sigue siendo positiva. Se
observa también que su comportamiento es creciente en todo el intervalo.
b) En la gráfica de la derecha, su comportamiento es decreciente en todo el intervalo, además, antes de “a”, la
pendiente de la recta tangente es negativa, en “a” es cero y después es negativa de nuevo.
Un valor máximo o mínimo proviene siempre de un número crítico, sin embargo, el punto de inflexión puede provenir, o no,
de un número crítico.
)( )(
)(
)(

147BLOQUE 4
Ejemplo 1.
Ahora, qué sucede cuando se presenta una función como la que se presenta en la siguiente gráfica.
Ésta tiene un valor mínimo en “a”, pero no es derivable en el mismo. Para demostrarlo, se recurrirá al método algebraico,
observando que sucede con la derivada.
Su función es ( ) ( ) 42xxf
3 2
+−=
( ) ( )
( ) ( ) 42xxf
42xxf
3
2
3 2
+−=
+−=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3
1
3
1
1
3
2
1
3
2
3
2
2x3
2
2x3
2
xf
12x
3
2
xf
42x2x
3
2
xf
42x2x
3
2
xf
42xxf
−
=
−
=′
−=′
′+′−−=′
′+′−−=′
′






+−=′
−
−
−
Lo que se acaba de obtener es la derivada de la función, la cual proporciona la pendiente de la recta tangente en
cualquier punto.
Al observarla resulta que la derivada no está definida para x=2, debido a que al sustituir este número en ella, el
denominador se convierte en cero, por lo tanto, no es derivable en x=2.
Si se deseara saber la existencia de algún punto de la función donde su derivada es cero, y establecer si se encuentra otro
punto máximo, mínimo o de inflexión, sólo se necesita resolver la siguiente ecuación.
( )
0
2x3
2
0xf
3
=
−
=′

Resulta que tampoco tiene solución esta ecuación, es decir, que no existe un número “x” que al sustituirlo en ella, ésta se
convierta en cero; para que el cociente sea cero el numerador debe ser cero, cosa que nunca sucede porque éste es 2.
Pero, analizando qué sucede antes de x=2, se puede establecer que éste determina un mínimo de la función, para ello se
mostrarán tanto el análisis gráfico, como el método algebraico.
En la gráfica se muestra cómo antes de x=2, la pendiente de la
recta tangente es negativa, por tener una inclinación mayor de 90º,
y después de x=2, la pendiente de la recta tangente es positiva,
como se observa, porque su inclinación es menor a 90º.
La pendiente de la tangente cambió de negativa a positiva, esto
establece que existe un valor mínimo donde la función cambia de
comportamiento, el cual es x=2.
Otro aspecto importante es que las rectas tangentes se encuentran
ubicadas por encima de la función, esto no se presenta en las
funciones normales en las que se posee un mínimo, donde las
rectas tangentes se encuentran por debajo de la función.
Esto indica que a medida que los puntos (en donde se obtienen las
rectas tangentes) se acercan a x=2, las rectas se van acercando a
una recta completamente vertical, cuya pendiente no existe por
definición.
Recuerda que la definición de la pendiente de la recta tangente es:
θ= tanm ó
12
12
xx
yy
m
−
−
=
Éstas las abordaste en Matemáticas 3, en cualquiera de los dos
casos, ya sea que la obtengas con el ángulo de inclinación, como es
el caso de la fórmula de la izquierda, o dados dos puntos de la recta,
como es el caso de la fórmula de la derecha, ambas se indefinen
para una recta vertical.
Esto indica que cuando una función tiene un “pico”, no es derivable
en ese punto, pero esto no significa que no pueda tener un máximo o
un mínimo en cualquier otro punto.
Con este ejemplo se complementa la definición de puntos críticos y se puede establecer el criterio de la primera derivada,
para determinar puntos críticos.
Del análisis anterior, se deduce el criterio para determinar cuando un número crítico establece un valor máximo, mínimo, o
bien, un punto de inflexión.

149BLOQUE 4
Definición de número crítico:
Si f es una función continua y ( ) 0af =′ ó ( )af′ no existe, entonces
se dice que “a” es un número crítico de f.
Criterio de la primera derivada:
Sea “a” un número crítico contenido en un intervalo abierto de una
función ( )xf continua y derivable, excepto tal vez en “a”.
1) Si ( )xf′ cambia de positiva a negativa en “a”, entonces, ( )( )af,a
es punto máximo de la función.
2) Si ( )xf′ cambia de negativa a positiva en “a”, entonces, ( )( )af,a
es un punto mínimo de la función.
3) Si ( )xf′ no cambia de signo en el intervalo, entonces ( )( )af,a es
un punto de inflexión de la función.
Actividad: 4 Producto: Gráfica. Puntaje:
Identifica los puntos críticos o de
inflexión de una función.
Diferencia los intervalos donde
existen máximos, mínimos o puntos
de inflexión.
Es reflexivo, expresa sus dudas y
corrige sus errores.
Autoevaluación
docente
Analiza las siguientes gráficas y realiza lo que se solicita.
a) Dibuja un punto de color rojo, donde consideres que
la función tiene un valor mínimo.
b) Dibuja un punto de color azul, donde consideres que la función
tiene un valor máximo.
c) Dibuja un punto de color verde, donde consideres que la función
tiene un punto de inflexión.
d) Escribe un intervalo, para el cual, en x=1 la función tiene un valor
máximo.
e) Escribe un intervalo, de tal manera que, en x=3 la función tiene un
valor mínimo.
Actividad: 4

A continuación se mostrarán varios ejemplos en donde se calculan los puntos críticos de una función.
Ejemplo 2.
Encontrar los números críticos de la función
1x
x
)x(f
2
+
= y determinar por medio del criterio de la primera derivada, si tiene
valor máximo, mínimo o punto de inflexión.
Primero se deriva la función:
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
2
2
2
22
2
2
2
22
2
)1x(
x2x
)x(f
1x
xx2x2
)x(f
1x
1x1xx2
)x(f
1x
1xx1xx
)x(f
1x
x
)x(f
+
+
=′
+
−+
=′
+
−+
=′
+
′+−+
′
=′
′








+
=′
Ahora, se iguala la derivada a cero:
0
)1x(
x2x
2
2
=
+
+
Al observar la ecuación anterior, resulta ser un cociente, además, el denominador es cero cuando 1x −= , por lo que se
indefine la función en este valor, por lo tanto, el cociente será cero, sólo cuando el numerador sea cero.
0x2x2
=+
Se factoriza la ecuación y se resuelve, como se muestra a continuación:
2x0x
02xó0x
0)2x(x
−==
=+=
=+
Por lo tanto, los números críticos de la función son x=0 y x=−2. Para determinar si éstos establecen valores máximos,
mínimos o puntos de inflexión, se toma un valor de prueba antes y después de cada número crítico, para conocer el signo
de la derivada, como se muestra en cada uno de los incisos siguientes.
a) Para 0x = , primero se debe definir el intervalo de donde se tomarán los valores de prueba, para este caso se
tomará el intervalo abierto (−1, 4); se debe tener cuidado en no elegir un intervalo que pueda contener a otro número
crítico.
Como número de prueba a la izquierda de 0x = , se puede evaluar
2
1
x −= y a la derecha se evaluará 3x = . Para
visualizar mejor el signo de la derivada antes y después del número crítico, se presentarán los cálculos en la siguiente
tabla:

151BLOQUE 4
2
1
x −= 0x = 3x =
( )
( ) ( )
( )
3
1
2
1
2
12
2
1
2
1f
2
2
−=
+−
−+−
=−′ ( ) ( ) ( )
( )
0
0
020
0f 2
2
=
+
=′
16
15
)13(
)3(23
)3(f 2
2
=
+
+
=′
( ) 0<xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0>xf′
Conforme a los resultados anteriores, se concluye que el número crítico 0x = , proporciona un valor mínimo de la
función, debido a que la derivada (pendiente de la recta tangente) va de negativa a positiva, y ese valor mínimo se
obtiene al sustituir el número crítico en la función, como se muestra continuación:
( )
( )
0)0(f
10
0
)0(f
1x
x
)x(f
2
2
=
+
=
+
=
Por lo tanto, el punto máximo se encuentra en (0, 0 ).
b) Para el número crítico 2x −= , se tomará el intervalo abierto (–4, –1), como números de prueba a evaluar antes y
después de 2x −= , se evaluará 3x −= y
2
3
x −= .
3x −= 2x −=
2
3
x −=
( )
4
3
)13(
)3(23
)3(f 2
2
=
+−
−+−
=−′ ( ) ( ) ( )
( )
0
2
222
2f 2
2
=
−
−+−
=−′ ( )
( ) ( )
( )
3
1
2
3
2
32
2
3
2
3f
2
2
−=
+−
−+−
=−′
( ) 0>xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0<xf′
De la tabla anterior, se concluye que el número crítico determina un valor máximo en la función y dicho valor es:
( )
( )
4)2(f
12
2
)2(f
1x
x
)x(f
2
2
−=−
+−
−
=−
+
=
Analizando los dos puntos críticos encontrados: ( )0,0 , el cual es mínimo, y ( )4,2 −− , siendo máximo, surge la duda de
cómo puede suceder si el primero está ubicado más arriba en un plano cartesiano que el segundo.
Para determinar lo que sucede con la función y los puntos críticos anteriores, se tendrá que graficar, pero antes de ello, se
puede analizar un poco la función para dilucidar cómo sería su comportamiento.
1x
x
)x(f
2
+
=
En primer lugar, el denominador se hace cero cuando x=−1, esto significa que tiene una asíntota vertical en el mismo. Por
otra parte, también se puede obtener una asíntota oblicua al realizar la división y hacer tender a “x” al infinito,

obteniéndose una asíntota en y=x−1 (esto se abordó en la asignatura de Matemáticas 4), la cual se observa
perfectamente al trazar la gráfica, como se muestra a continuación.
Al observar la gráfica, se nota cómo coincide todo lo que se ha visto en ésta y otras asignaturas. Pero sigue sin
responderse el cuestionamiento de cómo es posible la definición de máximo y mínimo para este ejemplo.
Es aquí donde surge la necesidad de diferenciar los máximos y mínimos de una función, porque el punto ( )0,0 es
mínimo de la función, pero solamente en el intervalo de ( )∞− ,1 , y a su vez, el punto ( )4,2 −− es máximo sólo en el
intervalo abierto de ( )1−∞ .
Por todo lo anterior, a ( )0,0 se le denomina mínimo relativo o local, y a ( )4,2 −− se le conoce como máximo relativo o
local.
A continuación se mostrará una clasificación de los valores máximos y mínimos de una función.
Clasificación de máximos y mínimos.
1. Un número ( )af es un máximo absoluto de una función “f”, si
)a(f)x(f ≤ para todo “x” en el dominio de “f”.
2. Un número ( )af es un mínimo absoluto de una función “f”, si
)a(f)x(f ≥ para todo “x” en el dominio de “f”.
3. Un número ( )af es un máximo relativo o local de una función
“f”, si )a(f)x(f ≤ para todo “x” en un intervalo abierto que
contenga a “a”.
4. Un número ( )af es un mínimo relativo o local de una función
“f”, si )a(f)x(f ≥ para todo “x” en un intervalo abierto que
contenga a “a”.

153BLOQUE 4
Con el siguiente ejemplo se abordará la clasificación anterior.
Ejemplo 3.
Clasificar los puntos críticos que resulten de la función 2x
3
x
4
x
)x(f 2
34
++−−= .
Recordando los pasos a seguir para encontrar puntos críticos, primero se debe derivar la función, posteriormente se
iguala a cero y se resuelve la ecuación, obteniéndose así los números críticos.
2x
3
x
4
x
)x(f 2
34
++−−=
x2xx)x(f 23
+−−=′
( )
( )( )
02xó01xó0x
02x1xx
02xxx
0x2xx
2
23
=+=−=−
=+−−
=−+−
=+−−
Los números críticos son:
0x = 1x = 2x −=
Ahora se requiere conocer qué tipo de puntos críticos establece cada uno de los números críticos anteriores, para ello, se
requiere evaluar números de prueba antes y después de cada número crítico, con el propósito de conocer el signo de la
derivada; para mayor claridad, el proceso se realizará con tablas. Siguiendo el orden de menor a mayor de los números
críticos encontrados, se tiene:
a) Para 2x −= , se eligen números de prueba antes y después de éste, recordando no abarcar el siguiente número
crítico.
3x −= 2x −= 1x −=
( ) ( ) ( ) ( ) 1232333f 23
=−+−−−−=−′ ( ) ( ) ( ) 02222)2(f 23
=−+−−−−=−′ ( ) ( ) ( ) ( ) 212111f 23
−=−+−−−−=−′
( ) 0>xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0<xf′
Ahora se sustituye 2x −= en la función, para determinar el punto crítico, el cual, por el resultado de la tabla es
máximo.
3
14
2)2(
3
)2(
4
)2(
)2(f 2
34
=+−+
−
−
−
−=−
Por lo tanto, la función tiene un máximo en 





−
3
14
,2 .
b) Ahora, para 0x = , se elegirán números entre −2 y 1, sin incluirlos, puesto que son los otros números críticos.
1x −= 0x = 2
1x =
( ) ( ) ( ) ( ) 212111f 23
−=−+−−−−=−′ ( ) ( ) ( ) 00200)0(f 23
=+−−=′ ( ) ( ) ( ) ( ) 8
5
2
12
2
1
2
1
2
1f
23
=+−−=′
( ) 0<xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0>xf′
Al sustituir 0x = en la función, se obtiene el punto crítico:
22)0(
3
)0(
4
)0(
)0(f 2
34
=++−−=
Por el resultado de la tabla, la función tiene un mínimo en ( )2,0 .

c) Por último, para 1x = , se eligen los siguientes números de prueba.
2
1x = 1x = 2x =
( ) ( ) ( ) ( ) 8
5
2
12
2
1
2
1
2
1f
23
=+−−=′ ( ) ( ) ( ) ( ) 012111f 23
=+−−=′ ( ) ( ) ( ) 82222)2(f 23
−=+−−=′
( ) 0>xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0<xf′
Ahora se sustituye 1x = en la función, y se tiene:
12
29
2)1(
3
)1(
4
)1(
)1(f 2
34
=++−−=
Por lo que, la función tiene un máximo en 





12
29
,1 .
En el proceso anterior se obtuvieron dos valores máximos y uno mínimo; para determinar cuál de los dos valores máximos
es el absoluto y cuál el relativo, se requiere analizar la función o graficar. A continuación, primero se llevará a cabo el
análisis y posteriormente, se comprobará con la gráfica de la función.
2x
3
x
4
x
)x(f 2
34
++−−=
Al observar la función, se tiene que es una polinomial de cuarto grado, por lo tanto, no posee ninguna discontinuidad en
todos los números reales, es decir, para cualquier número real que se elija, se obtendrá su correspondiente valor en la
función, además, el signo del coeficiente principal es negativo, lo cual indica que se extiende infinitamente hacia abajo,
cuando x tiende a −∞ ó ∞, debido a que es una función par, dado que su grado es cuatro, esto también indica que el
punto mínimo que se encontró es relativo. Así que al graficar sólo los puntos críticos, se puede inferir cuál es máximo
absoluto y cuál es máximo relativo.
Al graficar la función se comprueba el resultado emitido anteriormente, como se muestra a continuación:
Máximo relativo o local
Máximo absoluto
Mínimo relativo o local

155BLOQUE 4
En equipo desarrollen la actividad.
I. Dadas las funciones, realicen lo que se solicita:
a) Encuentren los puntos críticos de cada función, realicen los cálculos en las páginas posteriores.
b) Clasifiquen los puntos críticos, de acuerdo al criterio de la primera derivada.
c) Lleven a cabo el análisis de la función, para determinar si son máximos o mínimos absolutos o relativos.
d) Con la ayuda de un software, grafiquen cada una de las funciones para que comprueben los resultados
obtenidos, imprímanlas y péguenlas en el lugar correspondiente.
1. 4x3x)x(f 2
++−=
Actividad: 5

2. x12x)x(t 3
+−=
3. x4x)x(m 4
−=

157BLOQUE 4
4.
x
8
x)x(h 2
−=
5. 3
2
)3x()x(L +=

6.
3x
x
)x(f
2
2
+
=
7.
3 23
x15x)x(r −=

159BLOQUE 4
Ubica los puntos críticos de una
función.
Analiza los puntos críticos de una
función, para clasificarlos.
Aprecia la utilidad de los softwares
de graficación, para verificar el
resultado algebraico.
Coevaluación
docente
8. xcos4)x(g π=

Resolución de problemas de optimización.
Los problemas de optimización son aquellos en donde se solicita encontrar la mejor opción, por ejemplo: donde se
solicita encontrar el menor tiempo de producción de un artículo, la máxima altura que alcanza un proyectil, la ganancia
máxima o el costo mínimo de producción de un aparato eléctrico, el volumen máximo de un recipiente o el área
mínima, entre otros tantos problemas que se pueden mencionar.
A lo largo de tu caminar por esta asignatura y las que le precedieron, planteaste múltiples problemas que requirieron
dar una respuesta óptima y llegaste a una aproximación de ella. Ahora ya tienes el conocimiento necesario para dar
respuesta a ellos.
Ejemplo 1.
Se desea cercar un terreno rectangular de 1,800 m2
en dos porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de
los lados como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno de manera que el cerco utilizado tenga
longitud mínima?
Primero es necesario modelar el problema mediante una función y para ello, hay que tener claro qué es lo que se desea
obtener. En este caso, hay que obtener la longitud de cerco mínimo, por lo tanto, se debe expresar la longitud del cerco
en función de la longitud de uno de los lados del terreno, como se muestra a continuación.
La longitud del alambre se expresa mediante la fórmula:
y3x2L +=
Como se observa, la fórmula anterior depende de dos variables, y para resolver el problema se debe tener una función en
términos de una variable, para ello se utilizará la información dada en el problema, como es:
El área del terreno, la cual se expresa mediante la fórmula:
xyA =
Como el área del terreno es conocida, se obtiene:
xy1800 =
De esta última, se despeja una de las variables, en este caso, se despejará “y”.
x
1800
y =
En este momento, se sustituye el valor de “y” en la longitud del alambre, para obtener una función que depende de una
sola variable.
x
5400
x2L
x
1800
3x2L
y3x2L
+=






+=
+=
x
1800 m2
y

161BLOQUE 4
Formalmente se expresa como:
x
5400
x2)x(L +=
Para encontrar el valor de “x” para el cual la longitud del alambre sea mínima, se tiene que encontrar los números críticos
de la función, para ello, se deriva la función, se iguala a cero y se resuelve la ecuación obtenida del proceso, como se
muestra a continuación:
( )
( )
( )
0
x
5400
2
0xL
x
5400
2xL
x54002)x(L
x5400x2)x(L
x
5400
x2)x(L
2
2
2
1
=−
=′
−=′
−=′
′
+=′
′






+=′
−
−
Se multiplican los dos miembros de la ecuación por x2
, para eliminar el denominador, esto se puede hacer siempre y
cuando 0x ≠ , que es donde la derivada se indefine. Siempre hay que tener en cuenta este tipo de detalles, porque se
puede continuar con un proceso algebraico erróneo. Continuando con la resolución de la ecuación se tiene:
( )
( )( )
330x
3900x
2700x
2700x
2
5400
x
5400x2
05400x2
x0
x
5400
2x
2
2
2
2
2
2
2
±=
±=
±=
=
=
=
=−
=





−
330x −= ó 330x =
Analizando los resultados anteriores, se debe considerar únicamente a 330x = para realizar los cálculos, debido a que
representa uno de los lados del terreno y no puede ser negativo.
Ahora se obtiene el lado faltante, y para ello, se sustituye el valor de “x” en el despeje
x
1800
y = .
320
3
360
y
33
360
3
60
y
330
1800
y
==
==
=

La solución al problema es que los lados del terreno deben de medir 330 de largo por 320 de ancho.
Ahora, la cuestión es, ¿estas medidas proporcionan la longitud mínima de cerco?, y para contestarla, se debe comprobar
que la función tiene un valor mínimo en el número crítico obtenido, el cual es 330x = , para ello, se recurrirá a las tablas
en las que se toman números de prueba antes y después del número crítico encontrado.
Como 96.51330x ≈= , se toma 50x = y 60x = como números de prueba.
50x = 330x = 60x =
16.0
50
5400
2)50(L 2
−=−=′
( )
0
330
5400
2)330(L 2
=−=′ 5.0
60
5400
2)60(L 2
=−=′
( ) 0<xf′ ( ) 0xf =′ ( ) 0>xf′
Efectivamente, en 330x = se tiene un mínimo.
Verificando este resultado con la gráfica de la función, se tiene:
En la gráfica se observan los dos números críticos, 330x −= y 330x = , el primero máximo relativo y el segundo
mínimo local, el cual este último es el que corresponde al contexto del problema, por lo tanto la gráfica del problema sería
tomando en cuenta sólo la “rama” de la derecha de la función, como se muestra a continuación:
330
330−

163BLOQUE 4
Cierre
En equipo realiza lo que se solicita.
I. De los problemas enlistados a continuación, seleccionarán de forma aleatoria, 5 problemas, el
profesor mostrará el mecanismo para hacerlo.
II. Resolverán cada uno de ellos en hojas blancas, para entregárselas al profesor, engrapadas y con hoja de
presentación.
III. El profesor elegirá un problema de cada equipo, para que lo expongan, esta actividad se realizará en hojas de
rotafolio, si se tiene el equipo necesario, pueden elegir presentarlo en Power Point; el profesor indicará el rol de
exposiciones.
PROBLEMARIO.
1. Se desea construir una lata cilíndrica que tenga capacidad de 350 ml. ¿Cuáles serían las dimensiones
aproximadas para que la cantidad de material requerida en su construcción sea mínima?
2. Abel tiene 120 yardas de alambre y desea cercar a un costado de su casa, un terreno rectangular para la
siembra de hortalizas, uno de los lados no tiene que cercarse porque coincide con la pared de su casa.
¿Qué dimensiones aproximadas del terreno nos proporciona el área más grande?
x
Casa y
3. En un instante determinado, un automóvil A se encuentra a 50 millas al Este de otro automóvil B. El
automóvil A empieza a moverse hacia el Norte con una velocidad de 20 mi/h, mientras que el B lo hace
hacia el Este con una velocidad de 25 mi/h. Sabiendo que las carreteras son rectas, calcula el tiempo
aproximado que transcurrirá hasta que la distancia que los separe sea mínima.
4. La empresa “Jugos de temporada S.A.” desea exportar jugo en cajas rectangulares de base cuadrada con un
volumen de 12 litros. El costo del material de las caras laterales es de $ 5 por dm2
y el costo de la tapa y el fondo
es de $10 por dm2
. Calcula las dimensiones aproximadas de la caja para que el costo de su elaboración sea el
mínimo.
y
x
x
5. Un campesino dispone de un terreno rectangular de 3000 m2
de superficie y quiere cercarlo y dividirlo en 5 partes
iguales para el cultivo de 5 hortalizas. Calcula las dimensiones aproximadas del terreno para que el material
empleado en la cerca sea mínimo.
y
x
Actividad: 6

6. Se va a empastar el prado de un jardín de forma rectangular, cuya superficie es de 72 m2
. El
prado debe estar rodeado por un andador, de tal manera que en los lados mayores sea de 1 m
y en los lados cortos 2 m. Calcular las dimensiones del prado para que el área total del prado y
del paseo sea el mínimo.
7. La sección amarilla vende su espacio rectangular por cm2
, los anunciantes deben incluir en los anuncios un
margen de 1 cm por cada lado. Una tienda de autoservicio contrata regularmente un anuncio de 375 cm2
(impresión y márgenes). ¿Cuáles serían las dimensiones aproximadas que debe tener un anuncio, que le cueste
lo mismo, pero que tenga mayor área?
1
1
8. Un carpintero tiene que hacer una mesa en forma triángulo de isósceles y con perímetro de 65 cm. Encuentra las
dimensiones para que el área que contenga sea la más grande.
x
y
9. Un comerciante de papas fritas decide vender su producto en cajas de cartón de base cuadrada abierta por
arriba. Para su construcción el comerciante dispone de hojas cuadradas de cartón de 48 cm. de lado y las va a
construir recortando de cada hoja un cuadrado de lado x de cada esquina. Encontrar la longitud del cuadrado
que debe de recortar para que el volumen de la caja sea máximo.
10. Un alambre de 1m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un cuadro y
otro formando un círculo, halla la cantidad de alambre que debe ser cortada para que el área sea mínima.
1 m
11. Una ventana de forma rectangular coronada con un triángulo equilátero tiene un perímetro de 5 m. Expresa el
área en función de la altura del rectángulo.
x
y

165BLOQUE 4
EvaluacEvaluacEvaluacEvaluaciónióniónión
Actividad: 6 Producto: Presentación. Puntaje:
Representa cada uno de los
problemas mediante una función.
Reconoce el criterio de la primera
derivada para dar solución óptima
a los problemas.
Aplica el criterio de la primera
derivada para solucionar problemas
de optimización.
Aprecia el cálculo como una
herramienta que favorece la
solución óptima de problemas de
la vida cotidiana.
Coevaluación
docente
12. Se desea construir el marco de una de ventana de aluminio rectangular coronada con un
semicírculo, cuyo perímetro es de 6 m. Encontrar las dimensiones del marco, de tal forma que
tenga la mayor área.
y
x
13. A Sonia le dejaron de tarea construir un cono circular de papel, cuyo volumen sea de 1 dm3
. Encuentra las
dimensiones del cono de tal manera que el papel utilizado sea lo menos posible.
r
h
14. A Marco Antonio le dejaron de tarea obtener la altura máxima de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba; el
maestro le dijo que la altura está dada por la función 2
t16t96)t(h −= , donde la altura está medida en pies y el
tiempo en segundos. ¿Qué resultado presentó Marco en su tarea?
15. Karla es alumna del COBACH plantel Obregón 2, y desea realizar un viaje de estudio a Puerto Vallarta por cinco
días, para hacerlo, acudió a una agencia de viajes que ofrece un paquete para excursionistas con las siguientes
condiciones:
• El grupo no será menor de 30 personas.
• La tarifa es de $10,000 pesos por persona si asisten 30.
• La tarifa se reduce en 150.00 por persona si el número de excursionistas excede 30.
¿Qué número de alumnos tendrán que ir para que el pago sea mínimo y cuánto tendría que pagar cada uno?
16. El costo total de producir “x” piezas de computadoras está dado por la función ( ) 2
x01.0x520xC −+= para
x<504. ¿Cuál es el máximo costo marginal de producción?

Concavidad de una función.
Inicio
Actividad: 1 Producto: Gráficas. Puntaje:
Identifica el punto de inflexión de
una función.
Argumenta la existencia del punto de
Muestra interés al realizar la
actividad.
Autoevaluación
docente
Dibuja un punto de color rojo, en donde identifiques un punto de inflexión. Asimismo, dibuja
la recta tangente en dicho punto.
¿Todas las funciones tienen punto de inflexión? ¿Por qué?
Actividad: 1

167BLOQUE 4
Desarrollo
Criterio de la segunda derivada.
En la secuencia anterior obtuviste los puntos críticos de una función, los cuales podían ser máximos, mínimos y en
algunos casos, puntos de inflexión, Esto lo lograste siempre y cuando la pendiente de la recta tangente en ellos fue
horizontal, dicho en otras palabras, cuando la derivada se iguala a cero, pero no es la única forma de hacerlo.
A continuación se presentará el criterio de la segunda derivada, con él también se pueden clasificar los puntos críticos,
pero más aún, se puede obtener los puntos donde cambia de concavidad una función, es decir, los puntos de inflexión de
la misma.
Para deducir el criterio, se analizará el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.
Graficar la función 2x2x
2
1
x
3
1
)x(f 23
+−−= y su derivada, además, la derivada de la derivada, es decir, la segunda
derivada, para identificar los puntos donde cambia de comportamiento la función.
Primero se obtendrá la primera y segunda derivada de la función f(x), y posteriormente, se utilizará el graficador Geogebra
para trazar ambas gráficas y comparar los puntos de cambio de comportamiento de la función.
2x2x
2
1
x
3
1
)x(f 23
+−−= 2xx)x(f 2
−−=′ 1x2)x(f −=′′
En esta función, se observa un
máximo relativo en x=−1 y un mínimo
relativo en x=2.
También muestra un punto de inflexión
entre x=0 y x=1.
En el intervalo de ( )1,−∞− la función
es creciente.
En el intervalo de ( )2,1− la función es
decreciente.
En el intervalo de ( )∞,2 la función es
creciente.
La derivada corta al eje X en x=−1 y
en x=2.
También muestra un valor mínimo
entre x=0 y x=1.
En el intervalo de ( )1,−∞− la
derivada es positiva, está por encima
del eje X.
En el intervalo de ( )2,1− la derivada
es negativa, está por debajo del eje
X.
En el intervalo de ( )∞,2 la derivada
es positiva, está por encima del eje X.
La segunda derivada es negativa en
x=1 y positiva en x=2.
Corta al eje X en
2
1x = .

A continuación se graficarán la función, su primera y segunda derivada en el mismo plano, para ver la correspondencia de
los puntos críticos entre ella y establecer la forma en que se pueden encontrar los puntos de inflexión.
Como se puede observar en esta imagen y con el análisis por separado de las tres funciones, presentado con
anterioridad, se deduce que el punto de inflexión de la función se puede obtener cuando la segunda derivada de la
función se iguala a cero, pero además, también se puede deducir que la función tiene un máximo si su segunda derivada
evaluada en el número crítico, es negativa, y tiene un mínimo cuando la segunda derivada evaluada en el número crítico
es positiva.
A continuación se formalizará éste criterio.
Criterio de la segunda derivada:
1. Una función ( )xf es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la
segunda derivada, ( )xf ′′ existe y además ( ) 0<xf ′′ en todo el
intervalo.
2. Una función ( )xf es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la
segunda derivada, ( )xf ′′ existe y además ( ) 0>xf ′′ en todo el
intervalo.
3. Una función ( )xf tiene un punto de inflexión en x=a, si
( ) 0af =′′ y además, antes y después de éste, cambia de
concavidad la función.
Ejemplo 2.
Determina si la función ( ) 4x6xxf 24
+−= tiene valores máximos o mínimos y puntos de inflexión, utilizando el criterio
de la segunda derivada.
Primero, se obtendrá la primera derivada, para obtener los valores críticos.
f(x)
f’(x)
f’’(x)

169BLOQUE 4
( )
( ) x12x4xf
4x6xxf
3
24
−=′
+−=
Ahora se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación.
( )
( )
3xó3x
3x0x
3x
4
0
x
03xó0x4
03xx4
0x12x4
0x12x4xf
2
2
2
3
3
=−=
±==
==
=−=
=−
=−
=−=′
Se obtuvieron tres puntos críticos y se clasificarán utilizando el criterio de la segunda derivada, para ello, se obtiene la
segunda derivada de la función.
( )
( )
( ) 12x12xf
x12x4xf
4x6xxf
2
3
24
−=′′
−=′
+−=
Número crítico Punto crítico ( )xf ′′ Concavidad
3x −=
( )( )
( )5,3
3f,3
−−
−− ( ) ( ) 24123123f
2
=−−=−′′
( ) 0>3f −′′
Cóncava hacia
abajo
0x =
( )( )
( )4,0
0f,0 ( ) ( ) 12120120f 2
−=−=′′
( ) 0<0f ′′
Cóncava hacia
arriba
3x =
( )( )
( )5,3
3f,3
−
( ) ( ) 24123123f
2
=−=′′
( ) 0>3f ′′
Cóncava hacia
abajo
Ahora hay que obtener los puntos de inflexión, para ello, se debe resolver la ecuación ( ) 0af =′′ .
( )
1xó1x
1x
1x
12x12
012x12
012x12xf
2
2
2
2
=−=
±=
=
=
=−
=−=′′
Como antes y después de 1x −= la función sufrió un cambio de concavidad, así como antes y después de 1x = , debido
a la información que se proporcionó en la tabla, se puede decir que estos dos establecen puntos de inflexión. Para mayor
claridad, se mostrará la siguiente tabla:

3x −= 1x −= 0x = 1x = 3x =
( ) 0>3f ′′ ( ) 01f =−′′ ( ) 0<0f ′′ ( ) 01f =′′ ( ) 0>3f ′′
( )5,3 −− ( )1,1 −− ( )4,0 ( )1,1 − ( )5,3 −
Cóncava hacia arriba
(Mínimo)
Punto de inflexión
Cóncava hacia abajo
(Máximo)
Punto de inflexión
Cóncava hacia arriba
(Mínimo)
Al graficar la función, se comprueban los resultados anteriores.
El valor mínimo que toma la función es −5, y los puntos críticos que lo establecen son mínimos absolutos. No existe
un máximo absoluto debido a que la función crece infinitamente, pero en el punto ( 0, 4) se estableció un máximo
relativo, porque se debe definir el intervalo donde no exista ningún valor más alto que él, para que sea máximo
absoluto.
Ingresa a los siguientes sitios para que visualices las derivadas.
http://www.walter-fendt.de/m14s/deriv12_s.htm
http://www.geogebra.org/en/upload/files/SSBBNITRA/03_Graficas_derivada.ht
ml

171BLOQUE 4
En equipo, desarrollen lo que se solicita.
I. Bosquejen la gráfica de cada una de las siguientes funciones, que cumplen con los requisitos
descritos.
1.
Punto crítico o dePunto crítico o dePunto crítico o dePunto crítico o de
inflexióninflexióninflexióninflexión
( )xf′ ( )xf ′′ ClasificaciónClasificaciónClasificaciónClasificación
( )0,0 ( ) 00f =′ ( ) 00f =′′ Punto de inflexión
( )16,2 − ( ) 0<2f′ ( ) 02f =′′ Punto de inflexión
( )27,3 − ( ) 03f =′ ( ) 0>3f ′′ Mínimo absoluto
2.
Punto crítico o dePunto crítico o dePunto crítico o dePunto crítico o de
inflexióninflexióninflexióninflexión
( )xf′ ( )xf ′′ ClasificaciónClasificaciónClasificaciónClasificación
( )0,0 ( ) ∃=′ 0f ( ) ∃=′′ 0f Mínimo relativo
( )3
42,4 ( ) 04f =′ ( ) 04f =′′ Máximo relativo
Actividad: 2

Actividad: 2 Producto: Gráficas. Puntaje:
ConceptualConceptualConceptualConceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActituActituActituActitudinaldinaldinaldinal
Reconoce los puntos críticos o de
Elabora la gráfica de una función a
partir de la obtención de los puntos
críticos o de inflexión de una función.
Es respetuoso con las
aportaciones de sus compañeros y
se interesa por expresar su
opinión.
Coevaluación
docente
II. Dada la siguiente gráfica, complementen la tabla posterior, tomando en cuenta los siguientes
aspectos:
1. Determinen los puntos críticos e inflexión.
2. Clasifiquen en máximos o mínimos (absolutos o relativos).
3. Para cada punto crítico o de inflexión encontrado, determinen el valor de la primera y segunda derivada.
Punto crítico o de
inflexión
( )xf′ ( )xf ′′ Clasificación

173BLOQUE 4
Cierre
En equipo, realicen lo que se solicita.
I. Encuentren los puntos críticos de las siguientes funciones, clasifíquenlos utilizando la segunda
derivada de la función.
II. Auxíliense de la primera y segunda derivada de la función, para calcular los puntos de inflexión, si es que
existen.
1. 3x6x2)x(T 23
+−=
2. ( )
3 42
x4x)x(Q −=
3. ( ) 13x)x(P 4
−+−=
Actividad: 3

4. xxLn)x(g =
5.
1xx
1x
)x(U
2
++
+
=
6.
x
16
x)x(L 2
−=

175BLOQUE 4
8. 2x2x4x)x(W 34
+++=
9. ( )x4x)x(K
5 3
−=
10. 8x6x)x(f 2
++=

II. Escriban en la línea la función que corresponde a cada gráfica, auxiliate de los resultados que
obtuviste en la sección anterior.
___________________________ __________________________ ___________________________
___________________________ __________________________ ___________________________

177BLOQUE 4
Reconoce los criterios de la
primera y segunda derivada para
encontrar los puntos críticos o de
Aplica los criterios de la primera y
segunda derivada, para calcular los
puntos críticos o de inflexión de una
función.
Es respetuoso con las
aportaciones de sus compañeros y
se interesa por expresar su
opinión.
Autoevaluación
docente
Ingresa a los siguientes sitios para que visualices los puntos
críticos, entre otras cosas.
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-
elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html
http://www.mathresource.iitb.ac.in/applet/Derivative/index.html
http://webs.ono.com/vimanmon/mat/funciones.html

Bibliografía
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Bachillerato. México. 2010.
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