Este documento describe el método de integración mediante fracciones parciales con factores cuadráticos. Explica cómo descomponer la fracción en una suma de fracciones simples cuando el denominador es un producto de factores cuadráticos irreducibles, ya sea que se repitan o no. Proporciona ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar el método.

1. CÁLCULO INTEGRAL
Métodos de integración
• Integración mediante
fracciones parciales con
factores cuadráticos.

2. Propósito:
✓ Utiliza la descomposición de fracciones con Factores cuadráticos.

4. Caso 3
El denominador 𝑄 (𝑥), es un producto de factores cuadráticos
irreducibles, ninguno de los cuales se repite, es decir:
( )
( ) k
k
k
k
k
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
c
x
b
x
a
B
x
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1

( ) ( )( ) ( )
k
k
k c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
c
x
b
x
a
x
Q +
+


+
+
+
+
= 2
2
2
2
2
1
1
2
1 
La función se expresa como una suma de fracciones simples:
)
(
)
(
x
Q
x
P
donde A1, A2 , ... A k ; B1, B2 , ... B k son constantes a determinar.
( )
( )
P x
dx
Q x


5. Ejemplo 1
Solución
(i) Descomposición en fracciones parciales:
(ii) Calculando las constantes A, B y C:
( )( )dx
x
x
x
x
 +
−
−
+
4
3
2
10
2
2
( )( ) ( )
1
4
3
2
4
3
2
10
2
2
2

+
+
+
−
=
+
−
−
+
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
( ) ( )( ) ( )
2
3
2
4
10 2
2

−
+
+
+
=
−
+ x
C
Bx
x
A
x
x
Reemplazando ( ) ( )( )
( )
0
4
3
2 2
=
+
−
= x
x
x
Q 2
/
3
=
x en (2)
1
1
2
0
1
2
/
3
=

=
=

=
−
=

=
B
x
Si
C
x
Si
A
x
Si
verificar

6. Reemplazando en (1):
(iii) Integrando:
( )( ) 4
2
3
2
1
4
3
2
10
2
2
2
+
+
+
−
−
=
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
( )( )
2
2
2
2 2
2 2
var
10
2 3 4
1 2
2 3 4
1 2
2 3 4 4
1 2
2 3 4 4
cambio de iable fórmula
x x
dx
x x
x
dx
x x
x
dx
x x x
x
dx dx dx
x x x
+ −
− +
+
 
= − +
 
− +
 
 
= − + +
 
− + +
 
= − + +
− + +



  
C
x
du
u
x +








+

+
−
−
=  2
arctan
2
1
2
2
1
3
2
ln
2
1
( )( )
2
2
2
10
2 3 4
2 3 4
x x A B x C
x x
x x
+ − +
= +
− +
− +

7. C
x
du
u
x +








+

+
−
−
=  2
arctan
2
1
2
2
1
3
2
ln
2
1
C
x
du
u
x +






+

+
−
−
=  2
arctan
1
2
1
3
2
ln
2
1
C
x
u
x +







+
+
−
−
=
2
arctan
2
1
ln
2
1
3
2
ln
2
1
2
1 1 1
ln 2 3 ln 4 arctan
2 2 2 2
x
x x C
 
= − − + + +  +
 
 

8. Ejemplo 2
Solución
( )( )
 +
+
dx
x
x
x
4
1 2
2
(i) Descomposición en fracciones parciales:
( )( ) ( )
1
4
1
4
1 2
2
2
2

+
+
+
+
+
=
+
+ x
D
x
C
x
B
x
A
x
x
x
(ii) Calculando las constantes A, B y C:
( ) ( )
2
)
1
(
)
4
)(
( 2
2

+
+
+
+
+
= x
D
Cx
x
B
Ax
x
Reemplazando en (2)
3
/
1
2
0
1
3
/
1
0
0
1
−
=

=
=

=
=

=
=

−
=
D
x
Si
C
x
Si
B
x
Si
A
x
Si
COMPROBAR LOS VALORES DE A, B, C, D

9. Reemplazando en (1):
(iii) Integrando:
( )( ) 4
3
1
1
3
1
4
1 2
2
2
2
+
−
+
+
=
+
+ x
x
x
x
x
( )( )
C
x
x
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
+







−

=
+








−

=
+
−
+
=
+
−
+
+
=
+
+





2
arctan
6
1
arctan
3
1
2
arctan
2
1
3
1
arctan
3
1
4
1
3
1
1
1
3
1
4
3
1
1
3
1
4
1
2
2
2
2
2
2

10. Caso 4
El denominador Q (x), es un producto de factores cuadráticos
irreducibles, algunos de los cuales se repite.
Suponiendo que es el factor cuadrático irreducible que
se repite k veces, es decir:
( ) ( )k
c
bx
ax
x
Q +
+
= 2
c
bx
ax +
+
2
La función se expresa como una suma de fracciones simples:
)
(
)
(
x
Q
x
P
( )
( ) ( ) ( )
;
2
2
2
2
2
2
1
1
k
k
k
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
c
bx
ax
B
x
A
x
Q
x
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= 
donde A1, A2 , ... A k ; B1, B2 , ... B k son constantes a determinar.

11. Ejemplo 𝐼 = න
1 − 𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3
𝑥 𝑥2 + 1 2
𝑑𝑥

12.  +
−
dx
x
x
x
)
2
(
2
)
1 2
2
dx
x
x
 + 2
4
1
)
3
Ejercicios:
Calcular las siguientes integrales
( )( )dx
x
x
x
x
 +
+
−
+
1
2
1
9
4
)
2 2
2