Este documento presenta 42 problemas de matemáticas que incluyen temas como productos notables, división de polinomios, cocientes notables, factorización, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los problemas deben ser resueltos y calculan valores numéricos, sumas, diferencias y productos relacionados con las incógnitas de las ecuaciones dadas.

1. SEMANA 3
MATEM ´ATICA I
Cuadernillo de trabajo
Productos Notables
1 Si se sabe que
x + z = 3
√
5 ∧ y + z =
√
5,
calcule el valor de M.
M = x(x − 2y) − z(z + 2y) + 1
A)
√
5 B) 4
√
5 C) 8
D) 12 E) 16
2 Calcule el valor de
S = (1 +
√
2 +
√
3 +
√
6)(1 −
√
2 −
√
3 +
√
6)
A) 2
√
2 B) 2 C) 4
D) 4
√
2 E) 6
3 Si
1
a
+
1
b
+
1
c
= 3, donde a = b = c,
calcule el valor de
1−a
a
3
+ 1−b
b
3
+ 1−c
c
3
1
a
− 1 1
b
− 1 1
c
− 1
A) 4 B) 3 C) 1/3
D) −1 E) 2
4 Si 2a
+
1
2a
= 3; calcule 8a
+ 8−a
.
A) 14 B) 16 C) 18
D) 20 E) 27
5 Si se cumple que x2
+ 6x = 11, determine el valor de
J.
J =
3
(x + 1)(x + 5) − 8
5
(x + 4)(x + 2) + 13
A) 1 B)
3
√
2 C)
5
√
2
−1
D)
3
√
2
5
√
3
E)
3
√
5
5
√
2
6 Sea x =
√
2 + 1. Determine el valor de N.
N =
8
√
2(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) + 1 − 1
A) 2 B)
16
√
2 C) 3
D) 1 E)
√
2
7 Si a = 1 −
√
2, b = 2 +
4
√
4 y c = −3
determine el valor de
a2
bc
+
c2
ab
+
b2
ac
A) 1 B) 0 C) 7
D) 3 E) 6
8 Si (2x−y −z)2
−(2x−y +z)2
= 2 (y − 2x)2
+ z2
halle el valor de E.
E =
2x − z
2z − y
2
+
2x − y
2z
A) 3/2 B) 1 C) −3/2
D) 1/2 E) −1/2
9 Si a + b = 1; ab = 1
halle el valor reducido de E.
E = a2048
+ b2048
+
1
a2048
+
1
b2048
A) −2 B) −1 C) 0
D) 1 E) 2
10 Considere la expresi´on
S(x) = x2
+ 2x + 1.
Calcule el valor de M.
M =
S(26) + S(63) − S(124)
S(2)S(3)S(4)
A) −3 B) 2/3 C) 3/2
D) 3 E) 6
11 Sean a y b n´umeros reales tales que
a2
− ab + b2
=
√
2(a + b −
√
2); ab = 0.
Calcule el valor de E.
E =
a3
+ b3
+ 2
√
2
2ab2
A) 1 B) 3/2 C)
√
2/2
D) 2 E) 4
1

2. Cuadernillo de trabajo–Semana 3
Divisi´on de Polinomios
12 Respecto a la siguiente divisi´on
x5
− 3x4
− x + m
x2 + ax + b
indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad
(F).
I. El cociente es un polinomio c´ubico.
II. El residuo es de grado 2.
III. El grado del residuo puede ser cero.
IV. El grado del cociente puede ser 2.
A) VVFV B) VFVF C) VVVF
D) VFVV E) FVVF
13 Luego de efectuar la siguiente divisi´on se obtuvo co-
mo residuo R(x) = 7x + c.
5x4
+ ax2
− bx + c
3x2 + 4x + 1
Halle a + b.
A) 1 B) 11 C) −12
D) 16 E) −8
14 El resto de la siguiente divisi´on es R(x) = x + 9
x4
+ 2x3
+ 3x2
+ mx + n
x2 + 2x − 1
Halle m + n.
A) 6 B) 10 C) 12
D) 14 E) 15
15 En la divisi´on algebraica
nx4
+ x3
+ x2
+ x + n
x − 1
,
la suma de coeficientes del cociente es 18. Halle el
residuo.
A) 9 B) 6 C) 3
D) −2 E) 0
16 Si R(x) es el resto de dividir
8(x − 3)12
− (x2
+ 7)3
+ x + 1 por x − 5;
halle el valor de R(2).
A) 3 B) 5 C) 6
D) 2 E) 9
17 Dado el polinomio
P(x) =
√
2x5
+ (1 −
√
10)x4
+ 2
√
5x3
− 3
√
5x+
+3
√
10,
eval´ue P(
√
5 −
√
2)
A) 2
√
10 B) −6 C) −2
√
10
D) 6 E) 0
Cocientes Notables
18 Indique cu´antos t´erminos tiene el CN generado por
la divisi´on
xn
− 1
x − 1
si se sabe que el producto de los
t´erminos de lugares 10 y 50 es x400
.
A) 220 B) 230 C) 240
D) 250 E) 260
19 La divisi´on algebraica
x7n+2
+ y15
xn+2 + y3
genera un cocien-
te notable. Calcule el valor de n2
+ n + 1.
A) 16 B) 21 C) 4
D) 20 E) 32
20 Al simplificar la siguiente divisi´on
x18
+ x16
+ x14
+ · · · + 1
x8 + x6 + x4 + · · · + 1
,
se obtiene:
A) x10
+ x8
+ x6
+ x4
+ x2
+ 1
B) x10
− x8
+ x6
− x4
+ x2
− 1
C) x10
− x5
+ 1
D) x10
+ x5
+ 1
E) x10
+ 1
21 Calcule el valor num´erico del t´ermino central del co-
ciente de
1
8
(x + a)308
− (x − a)308
xa (x2 + a2)
para x = a2 +
76
√
3.
A) 9 B) 8 C) 5
D) 2 E) 1
2

3. Cuadernillo de trabajo–Semana 3
Factorizaci´on
22 Si f(x) = ax + b es un factor primo del polinomio
P(x) = 2x3
− 3x2
+ 1 sobre Q, eval´ue f(3).
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 0
23 Si f(x) es un factor primo del polinomio
P(x) = (a + 1)x2
+ (3a + 1)x + 2a − 2
tal que f(1) = 4, calcule el valor de a.
A) 0 B) 2 C) −1
D) 3 E) −4
24 Factorice
P(x) = x4
+ 4ax2
− (a2
− 1)2
e indique un factor primo.
A) x + 1 B) x + a C) x + a + 1
D) x − a − 1 E) x − a + 1
25 Luego de factorizar el polinomio
Q(x; y) = 15x2
+ 11xy + 2y2
+ 16x + my + 4
se obtiene un factor de la forma f(x; y) = ax+by +c.
Calcule el valor de f(1 : −2).
A) 0 B) 2 C) 3
D) 5 E) 8
26 Si f(x) es la suma de los factores primos lineales del
polinomio P(x) = 6x4
− 5x3
− 7x2
+ 5x + 1, calcule
f(2)
A) 6 B) 17 C) 8
D) 9 E) 10
27 Si f(x) es un factor primo de mayor grado del polino-
mio sobre Q, P(x) = x5
− 2x4
− 2x3
+ 7x2
− 8x + 4,
eval´ue f(3).
A) 7 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
Ecuaciones
28 La ecuaci´on en x
mx + x + 7 = 3x + n + 2
es compatible indeterminado. Halle el valor de m+n.
A) 4 B) 5 C) 7
D) 9 E) 10
29 Si la ecuaci´on
n2
(x − 1) + 3n = nx + 2
de inc´ognita x es incompatible, determine el valor de
n.
A) −1 B) 0 C) 2
D) −2 E) 1
30 Resuelva la siguiente ecuaci´on lineal.
x − 2
111109
+
x + 3
111114
= 2
Luego determine la suma de cifras de la soluci´on
A) 3 B) 5 C) 4
D) 6 E) 1
31 Resuelva la ecuaci´on
22x+2
− 5 (6x
) = 32x+2
luego calcule 5x
A) 1/25 B) 1/5 C) 1/125
D) 25 E) 125
32 San α y
1
α
las ra´ıces de la ecuaci´on
x2
+ βx + 2α − 1 = 0
Calcule α2
+ β2
.
A) 2 B) 5 C) 8
D) 13 E) 17
33 Sea la ecuaci´on 3x2
−5x−7 = 0, donde CS= {α; β}
Determine el valor de
α
β
+
β
α
.
A) −4/21 B) −3/7 C) 1/7
D) −12/21 E) −67/21
3

4. Cuadernillo de trabajo–Semana 3
34 Si a y b son las ra´ıces de la ecuaci´on:
x2
− 100x + 1 = 0.
Halle T =
√
a −
√
b; a > b
A)
√
97 B)
√
98 C)
√
99
D)
√
100 E)
√
101
35 Calcule el valor que toma la suma de ra´ıces de
una ecuaci´on cuadr´atica de conjunto solucion CS=
{∆ + 3; ∆ − 3}, si ∆ es discriminante
A) 30 B) 32 C) 72
D) 36 E) 38
36 se elaboran x productos, de modo que al venderlos a
un precio por unidad S/.(2x−3) se obtiene una ganacia
de S/.36. Halle x si el costo por unidad es S/.(x + 6).
A) 10 B) 12 C) 16
D) 3 E) 8
37 La ecuaci´on cuadr´atica x2
+ mx + m = 0 tiene por
conjunto soluci´on al conjunto A, y la ecuaci´on 2x2
+
3x − 5 = 0 tiene como conjunto soluci´on al conjunto
B. Si A ∪ B posee 3 elementos, ¿cu´al ser´a el mayor
valor de m?
A) 0 B) 2 C) 4
D) 5/2 E) 25/6
38 La secuencia de n´umeros enteros positivos a1; a2; a3
est´an en progresi´on aritm´etica con raz´on positiva. Cal-
cule el menor valor de a1+a2+a3 para que la ecuaci´on
a1x2
+ a2x + a3 = 0 tenga dos ra´ıces reales distintas.
A) 30 B) 27 C) 24
D) 21 E) 18
39 En la ecuaci´on
x2
− 2(n + 1)x + 5n = 0
con n ∈ R, determine la suma de valores de n, los
cuales verifican que la ecuaci´on presenta ra´ıces reales
e iguales.
A) 2 B) −1 C) −2
D) 1 E) 3
40 Sea la gr´afica del polinomio cuadr´atico m´onico P(x).
Determine la suma de ra´ıces reales de la siguiente
ecuaci´on.
x4
− 1 [P(x) − 10] = 0
A) 4 B) 5 C) 3
D) 2 E) 6
41 Para la ecuaci´on
x3
− 5x2
+ 5x + a + b = 0,
donde {a; b} ⊂ Z se tiene que una ra´ız es 2 −
√
3.
Seg´un ello, determinar el valor de (a + b)2016
A) 1 B) 0 C) −1
D) 4 E) 2
42 Sea P(x) = −2x3
+ ax2
+ bx + c, donde el producto
de las ra´ıces de P(x) = 0 es igual a la suma de ellas.
Determine E = a + b + c.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
4