1. La teoría de ecuaciones trata sobre ecuaciones de primer y segundo grado. Se resuelven ejercicios para calcular valores desconocidos y encontrar raíces. 2. Se analizan ecuaciones paramétricas y se calculan valores para que se reduzcan a ecuaciones de primer grado. 3. Se usa el método de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas y calcular sumas y productos de raíces.

1. SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES
1.
3.
2 x
  2x  x ; x  C
x 2
Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.
A) 
2k  3 3kx  2

 2k  3
x 1
x 1
A) -2
D) 2
B) -3
E) 3
Halle x2 en :
4
3
B)
D) -3
3
4
C) x  C
E) -4
RESOLUCIÓN
C)1

4.
RESOLUCIÓN
x2  4  4x2  2x2  5x2  2x2  4
4
3x2  4  x2 
3
RPTA.: C
Resolver en “x”
2k  3x  1  3kx  2x  1  2k  3 x2  1
a  bx a  bx 
abx

  ab
ab 
 ab
a  b 

2kx2  2kx  3x  3kx2  3kx  2x  2
= 2kx2  2k  3x2  3
A) -2
D) 3
5kx2  kx  5x  1  2kx2  3x2  2k  3
3kx2  3x2  k  5 x  2k  2  0
3k  3 x
2
 k  5 x  2k  2  0
 3k  3  0  k  1
RPTA.: C
2.
xn x m

1
n
m
mn
m  n
n
E)
nm
C)
RESOLUCIÓN


ab x = 2 ab
x=2
Si x1;x2;x3 son las raíces de la
x3  n  1 x2  2nx  n  3  0
m
nn
xm  mn  nx  mn  mn
x(m  n)  mn
mn
mn
x

m  n m  n
RPTA.: C
RPTA.: C
ecuación
Calcule:  x1  1  x2  1  x3  1
A) 1
D) 4
RESOLUCIÓN

  a  bx  a  b    a  bx  a  b   abx


 ab
a  b a  b


a  b 
B) n
D)
C) 2
5.
Calcule el valor de x en:
A) m
B) 1
E) a + 2b
B) 2
E) -1
C) -3
RESOLUCIÓN
Por cardano:
*
x1  x2  x3   n  1
*
x1x2  x1x3  x2x3  2n
*

x1x2x3   n  3
lo pedido es : 1  x1  x2  x3  
x1x2  x1x3  x2x3  x1x2x3  3
RPTA.: C

2. 6.
Si la ecuación paramétrica en “x”
presenta
infinitas
soluciones
calcule el valor de a + b.
RESOLUCIÓN
x  0  x  0 (no)
ax  1  2x  b2
A) -2
D) -2
B) 2
E) -3
C) 3
RESOLUCIÓN
b2  1
 a  2 x  b  1  x 
a2
2
a = 2  b  1  b  1
a + b = 3  a +b = + 1
RPTA.: C

2


7.
9.
A) 2
D) 2 y 4
x2  2x  7  0
a2  5 b2  5

Calcule
a1
b 1
B) 2
E) 7


C) 4

8.
a2  2a  7  0  a2  5  2a  2
a2  5
 2  b2  2b  7  0
a1
b2  5
2
b 1
a²  5 b²  5

4
a1
b 1
10.

Si 3  2 2 es una raíz irracional
Si:
7
2
C) 1
x1  3  2 2  x2  3  2 2
de la ecuación x1  x2  x3 
11
2
6

A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones
B) 8
E) *
RESOLUCIÓN

C) la suma de las soluciones es
 4   0
2  2  8  0
   4    2  0    4
2
RPTA.: C
A) 4
D) 7
RPTA.: C
1

x  2  x  3  x  2    2   0
x

D) es incompatible
E) 3 soluciones
C) -4 y 2
de: 2x3  11x2  mx  n
m,n  , calcule el valor: nm
¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?
x
B) 4 y -2
E) 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN

Calcule el valor de  si la ecuación
de segundo grado
 4    x2  2   x  1  0; tiene
solución única.
Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática
A) 3
D) 5
x  2  0 (no)
x 3  0  x  3
1
1
2  0  x 
x
2
1 7
x1  x2  3  
2 2
RPTA.: C
x3 
1
2
n
n1
2
m
luego: x1x2  x1x3  x2x2 
2
además: x1x2x3  
2

3. 

11.
m = 4
RESOLUCIÓN
4
1 1

x2  1  x   1
RPTA.: C
Encontrar el conjunto de solución
de:
4x 

9x4  7x2
9x2
x2
9x2  2
1
1
2  x 
4
x 2
x 2
A) 2
B) 1;2
C) 
14.
x  2  4x-x=4+2
3x  6
x2
Pero x  2  x  
RPTA.: C
2
25
1
D)
25
B) -9
E)
C)
5x
2

4
9
2
3

ax  bx  c  0
están en P.A.  9b2  100 ac

9  k  4  100 1 4k  ; k  0



3k  20 k  12  0
4
k
 k  36
9

2

15.
RPTA.: C


5x  1
x3  
2
C)
29
50

 1 5x2  1  0
x1  
Si: las raíces de:
1
2
1
E)
4
B)
Factorizando:
RESOLUCIÓN
4

1  0
RESOLUCIÓN
progresión aritmética.
D) 36
2
Si: x1;x2;x3;x4 son raíces de la
A)
Calcule el menor valor de k, si las
raíces
de
la
ecuación
x4  k  4 x2  4k  0 ; están en
A) -4
 x
ecuación: 10x4  7x2  1  0
4
4
4
4
Calcule el valor de x1  x2  x3  x4
RESOLUCIÓN
12.
+2
-1
RPTA.: C
E) 4
D) 2

2  0

5x  1


2x  1
1
x2 
5
1
x4 
2
2x  1  0
1
5
1
2
1
1 1 1

 
25 25 4 4
2 1 29
4
4
4
4
x1  x2  x3  x4 
 
25 2 50
RPTA.: C
4
4
4
4
x1  x2  x3  x4 
Luego de resolver:
x2  x  1 
1
x2  x  1
2
3
13.
Indique una
ecuación.
solución
de
la
x
Señale el menor valor de  
2
9x4  7x2  2  0
A) – 9
D) 3
B) – 2
E) -3
C) – 1
1
4
B) 
D) 4
E) 2
A)
1
4
C) 
1
8

4. D) 2
RESOLUCIÓN
2
x  x 1  1  x  x  2  0
 x  2  x  1  0
x  2  x  1
RESOLUCIÓN
De:
x3  mx2  18  Cs  ; ; 
3

1
 1 
 2   8


x3  nx2  12  Cs  ; ; 
RPTA.: C
16.
Por cardano –
Resuelve la ecuación

2x  1  3 x  4  5 e indique el
valor de x2
A) 4
B) 3
D) 19
E)
Sea:

3
además:
1
4
    18
 3


    12

2
x  4  a  x  a3  4

2 a  4 1  a  5
2 a  7  5  a;  a  5

al cuadrado miembro a miembro

2a3  7  25  a2  10a
2a3  a2  10a  32  0

2

-32
4
2
10
6
32
3
16
0
Si: 3  25 es una raíz
ecuación:
A) 2
D) 4
a  2 a2  3a  16  0
B) 3
E) 7
RESOLUCIÓN
a=2

E) 5

x2 x3  bx2  cx  34  0
3

x4 2x48

x=4
nos piden : x2  16
RPTA.: C
17.
x2  0 ( raíz doble)
x3  bx2  cx  34  0
Si x1  3  5i  x2  3  5i
Por cardano:
Dadas las ecuaciones
x  mx  18  0; x  nx  12  0
x1x2x3  34
que tienen dos raíces comunes
señale el valor de m.
34 x3  34  x3  1
3
A) -3
2
3
B) 3
de la
x5  bx4  cx3  34x2  0 Calcule
el valor de “b” ; b y c R
aquí a R

18m3  18  m  1
RPTA.: C
18.
-1
   3m
27m3  9m3  18  0
3
2
  3k    2k
en (I): - k = m
En la ecuación:

3
=-m
      m ...(I)
=0

C) 16
RESOLUCIÓN

E) -2
2
C) 1
Además: x1  x2  x3  b

5. 6 + -1 =b  b = 5
RPTA.: C
19.
Resolver:
x2  4x  8  x2  4x  4  2x2  8x  12
A) x = 2
D) x = 3
B) x = 1
E) x = 0
C) x = -2
RESOLUCIÓN
2
x  4x  6  n  n  2  n  2  2n
al cuadrado m.a.m:
n  2  n  2  2 n2  4  2n

(I)
20.
2
2n  2 n2  4  2n
n2  4  n  2 n  0
 n=2
luego : x2  4x  6  2
x2  4x  4  0
2
 x  2  0  x  2
RPTA.: C
Halle “k” para que la diferencia de
raíces sea uno.
2x2  k  1 x  k  1  0
A) - 2
D) 1
B) -3
E) 2
C) 11
RESOLUCIÓN
x1  x2  x1  x2 
k  1
2

1
b2  4ac
a
 4 2  k  1
2
2


2  k  2k  1  8k  8
4  k2  10k  7
k2  10k  11  0
k  11 (k  1)  0
k = 11

k = -1
RPTA.: C