EJERCICIOS DE ALGEBRA

1. SEMANA 1

2. TEORÍA DE EXPONENTES
ECUACIÓN DE 1º GRADO
1. Efectuar:
1 1
1
3 2 24
E 27 36 2
3
 

   
    
 
A) 3 B) 6 C) 2
D) 1 E) 0
RESOLUCIÓN
1
3 1
27
3
*



1
2 1
36
6
*



1
4 3
3 4
*

 
 
 
2 1
2
4
* 

1 1E  
RPTA.: D
2. Simplificar:
     
0,2
2 5
4
3 3E 27 27 2 3

   
     
 
A)
2
3
B)
3
2
C) 2
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
 
2
3
2
3
1 1
* 27
927

  

 
 
5
3
5
3
4
1 1
* 27
24327
1
* 3
81


  



0,2 0,2
1 1 2 27 1 6
E
9 243 81 243
 
    
      
   
2
0,2 0,2 5 10
32 243 3
E
243 32 2

      
        
       
3
2
E 
RPTA.: B
3. Calcule:
 
0 6
3 2
2
3
0 125
,
E ,

 
  
A) 8 B) 6 C) 4
D) 2 E) 5
RESOLUCIÓN
6 2
0 6
9 3
,  
 
1 2
3 32 2
3 1
E
8

 
   
 
1 2
3 33 32 2 2
E 8 8 4  
RPTA.: C
4. Efectuar:
0,5
12
1
1
4
16
0,51 1
0,25
625 9


 
  
     
    
   
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
RESOLUCIÓN
1 1
2
4 2
4
1 1 1
625 9 4
625 9 4²
  
     
      
     
 
5 + 3 + 16 = 24
RPTA.: D
5. Para 2n ; n 
el equivalente de la expresión
n
n 3n 5 2n 1n² n
a a² a³...a a a³ a ...a
 
 
 
será:
A) a B) a² C) 0
D) a E) n
a
RESOLUCIÓN

3.    2
2
n n
n 3 n 3n n 1 n n 1
nn² n n n2 2
n 3
2
a a a a
a
  

   
   
   
   

n
n
n 3 
 
 
 
1
2
a a 
RPTA.: D
6. Efectuar:
 
48 factores
33 3 3 3
1
44 factores
x x x... x x
A ; x 0
xx x x... x


  
A) x6
B) x9
C) x4
D) x7
E) x7
RESOLUCIÓN
48
3
344
16
2
11
18
11
7
x x
A
x
x
x
A x
x
x
A
x
A x
 


 
RPTA.: E
7. Efectuar:
x 1
x
x 2 2x 2
20
4 2

 

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
x x
x x
x 2 x 1 x
x x
20 20 20 20
4 4 4 4 4 20
5 5



RPTA.: D
8. Si:
1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
a b a b
P y Q
a b a b
 
   
   
    
    
   
Halle P . Q, siendo b > a > 0
A)
1
b a
B)
1
a b
C)
 
2
a b
a b


D)
 
2
a b
a b


E)
 
2
1
b a
RESOLUCIÓN
 
1ab
P y Q
b a ab b a
 
 
 
 
2
1
1
ab
PQ
b a ab b a
PQ
b a
 
 


RPTA.: E
9. Simplificar:
a b
b aa b
14 14
M
2 14 2 14



; si: a + b = ab
A) 14a+b
B) 14 C) 7
D)
14
2
a b
E) 7a+b
RESOLUCIÓN
   
a b a b
a 1 b 1 1 a b
14 14 14 14
M
2 14 14 2 14 14 14
1
M
1
7
M 7
  
 
 
 

 
RPTA.: C
10. Si: a+b = 2ab ; {a;b} -{0;1}

4. Reducir:
a b
1 1
aa b a1 12ab 2b b
x y
x y

 
A)
x
y
B)
y
x
C)
x
y
D)
y
x
E) 1
RESOLUCIÓN
1 1
1 1
1 1
a b
a b x y
x y

1
1 1 11 1 2 1
1 1
1
1
b b b
a b
b
x x
y
y
    
 

 
        
(*) a + b = 2ab
1 1
2
a b
  
1
2
1 1 2 1
2 2 1
a b b b
x x
y y
 
      
 
 
  
 
RPTA.: A
11. Resolver
1
1
x
5x
1
5
x


 e indicar
el valor de: x1
A)
1
5
B) 5 C)
1
5

D) 5 E)
1
5
RESOLUCIÓN
Cambio de variable:
1
y
x

y
5y
y
5y
1
y 5 5y
1
y 5
y 5
y 5 y 5
y 5
x 5
 
 
   
 

RPTA.: B
12. Si:
2
x
x 2



Calcule:
2 x 1
4x
E x


A)
1
2
B)
1
4
C) 2
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado el dato
m. a.m.
 
2
x
2 2 2
1
2
x 2 x 2
1
x 2 x
2

 

   
   
Luego:
2 x
4x x
E x
 
 
1
2
2 x 2
2
4x
4x
x x
1
44x
x 4x 2
E x x
E x x E x
 
 
 
 
    
 
    
 E = x²
2
1 1
22
E
 
   
 
RPTA.: A
13. Calcule “x” en:

5. 321 2 x3
x21 2 x
x3
21 2 x x


 
A) 27 B) 3
9 C) 9
3
D) 3
21 E) 3
20
RESOLUCIÓN
Trabajando con cada miembro.
x
x n n
x n x n x n.......( )    
Luego:
3
21 2 x
3
21 n 21
3
n
3
2 x n 21
2 x n 21
2 x n 21.............( )

 
 
  
   
() en ():
3
3
2 21
2 21
n
n
n n
n n
 
  
Solo se verifica para: n = 27
27 3
9
x 3
x 3
 

RPTA.: C
14. Reducir:
5
64
3
5 3 4 7
1
x
xx² x x
x²

A) x B)
3
4
x C)
5
4
x
D)
1
2
x E)
7
4
x
RESOLUCIÓN
30 6027 51
x x

60 60 6054 51 105
x x x
 
4 7
7
4
x
x


RPTA.: E
15. Si: 52x
= 2(10x
)  4x
Calcule:    1
42
2
xx
E x


 
A) 236 B) 256 C) 512
D) 128 E) 0
RESOLUCIÓN
     
 x x x x
2 2
x x x x
5 2 0 5 2
5 2 2 5 2 0
   
  
 x = 0
Reemplazando:
   1
42
E 2


 
21
2
1 1
16 16
E E

  
   
 
 E = 16² = 256
RPTA.: B
16. Resolver:
1 3 2 2 3 1
0
1 2 3 4 5x x x x x x
     
    
A)
3
2
B)
2
5
C)
2
3
D)
5
2
E) 4,5
RESOLUCIÓN

6.    
2 2 2
1 3 2 1 3 3
x x 1 x 3 x 5 x 1 x 4
2 2x 5 3 2x 52x 5
x 5x x 5x 6 x 5x 4
    
    
 
 
    
  2 2 2
1 2 3
2x 5 0
x 5x x 5x 6 x 5x 4
 
  
           
 
 0
2x 5 0
5
x
2
  

RPTA.: D
17. Halle el conjunto de solución de la
ecuación en “x”.
    0 0
a b
x a x b x ; a ; b
b a
      
A)  B) {a} C) {b}
D) {a + b} E) {a  b}
RESOLUCIÓN
Multiplicando por “ab”.
a² (x  a) + b² (x + b) = ab x
 a²x  a³ + b²x + b³ = ab x
 (a² + ab + b²)x = a³  b³
 (a²+ab+b²)x = (ab)(a²ab+b²)
 x = a  b
Cs = {a  b}
RPTA.: E
18. Resolver en “x”; {a; b; c; d}  R+
4
d ax d bx d cx d
x
b c a c a b a b c
   
   
    
A) 1 B) d
C)
d
a b c 
D)
2 3a b c
d
 
E) 
RESOLUCIÓN
0
d ax d bx d cx
x x x
b c a c a b
d
x
a b c
  
     
  
 
 
0
d ax bx cx d bx ax cx
b c a c
d cx ax bx d ax bx cx
a b a b c
     
 
 
     
 
  
 
1 1 1 1
0d a b c x
b c a c a b a b c
 
 
                
 
 0
 d = (a + b + c) x
d
x
a b c
 
 
RPTA.: C
19. Calcule a + b sabiendo que la
ecuación en “x”
1 2
2
4
ax x
x
b
 
   admite
infinitas soluciones.
A)
1
4
B)
3
2
C)
2
3
D) 3 E) 1
RESOLUCIÓN
Recordando que:
ax + b = 0 tiene infinitas
soluciones, si y solo si:
a = 0  b = 0

1 1
2 0
4 2
a x
x x
b b
     

1 1 1
1 2 0
4 2
a
x
b b
   
        
   

7. 
1 1 1
1 2
4 2
a
b b
    

5 1 3
4 2
a
b b
  

2 5
3 6
b a  
9 3
6 2
a b   
RPTA.: B
20. Resolver la ecuación
2 3 5
3
3 5 2 5 2 3
x x x  
  
  
luego indique el valor de:
   
 
2 4
6
3 2 5 2
3 5
x x
x
     
 
A) 22 B) 25 C) 3 2
D) 5 3 E) 7 5
RESOLUCIÓN
x 2 x 3
1 1
3 5 2 5
x 5
1 0
2 3
 
   
 

 

  1 1 1
x 2 3 5 0
3 5 2 5 2 3
 
      
   
 0
 2 3 5x   
Pero nos piden:
     
2 4 6
5 3 2
5 9 8 22
  
  
RPTA.: A
SEMANA 2
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
21. Sea el polinomio:
P(X) = (xn1
+ 2xn2
+ n)n
, si 2n
veces su término independiente es
igual a la suma de sus
coeficientes, entonces “n” es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
T.I. = P(o) = nn
coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
 2n
. nn
= (3 + n)n
 2n = 3 + n  n = 3
RPTA.: C
22. Calcule “m” si la expresión:
 
m mm m m
x
M x x² x³ x
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
 
m 1
mm
m 1 2 3 .... m 2
x
M x x
 
      
 
  
m 1
52
X
M x x

 
 m = 9
RPTA.: B

8. 23. Calcule “n” para que el monomio
sea de 2º grado.
 
  
  
23
n 2 2n 3 4
x 22
n 4
x x x
M
x x
 

A) 4 B) 5 C) 6
D) 8 E) 9
RESOLUCIÓN
 
 
 
2
3n 6 2n 3 4 10n 4
x 2 4n 8
2n 4
x x x
M
xx
   


 
 M(x) = x6n  22
= x2
 6n  22 = 2
 n = 4
RPTA.: A
24. Si:
a b c
a b b c a c
 
  
Halle el grado absoluto de:
   2 2 2a b c 9a 8ac 8bc
E x;y;z x y z
 

transformable a una E.A.R.E.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
El G.A. =
 
 
9a² 8ac 8bc
.....
a b ² c²
 

 
de la condición:
a b c
k
a b b c a c
  
  
Propiedad de proporciones:
 
a b c 1
2 a b c 2
 

 

a 1
a b c k
a b 2
    

Lo reemplazamos en “”
9a² 8a² 8a² 25a²
G.A. 5
4a² a² 5a²
 
  

RPTA.: C
25. Si: P(x+5) = x²  3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 7
RESOLUCIÓN
E = 3²  3(3) + 1 + 1  3 + 1
E = 0
RPTA.: A
26. Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3
yb2
z6a
+5xa+2
yb3
za+b
en donde:
G.Rx  G.Ry = 3  G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A) 6 B) 7 C) 8
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3 G.A(P) = a+b+1
G. Ry = b  2
 a + b = 12
RPTA.: E
27. Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
    x 6X
P P P 9x 21   
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17 B) 18 C) 19
D) 32 E) 33
RESOLUCIÓN
Sea P(x) = ax + b  P(6X) = 6ax + b
 P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
Luego:
a²x + ab + b  6ax  b = 9x+21
 (a²  6a)x + ab = 9x + 21
 a²  6a = 9  ab = 21
(a3)² = 0
 a = 3  3b = 21
b = 7
Entonces: P(x) = 3x + 7

9.  P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C
28. Calcule “n”, si el G.A. del
monomio es 6.
 
34 2n 4 2n 3
52n 165
x z
M x;y;z;w
y w
 

A) 12 B) 13 C) 14
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
G.A. =
2n 4 2n 3 2n 16
6
4 3 5 5
 
   
 30n  60 + 40n + 60  24n  192 = 360
46n = 360 + 192
46n = 552
 n = 12
RPTA.: A
29. Calcule “n” si el monomio es de
4to. grado  
2 3n
x
M x x x
A) 1 B) 3 C) 2
D)
1
2
E)
1
3
RESOLUCIÓN
 
 
6n2n
x
1 1 1
2 n 6n
x
M x x² x
M x
 



1 1 1
4
2 n 6n
  
3n + 6 + 1 = 24n
 7 = 21n
 n =
1
3
RPTA.: E
30. Si:  x
nx 1
P
x 8



Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
A) 1 B) 8 C)
1
8

D) 8 E) 5
RESOLUCIÓN
  
   
 
2
x
n 1 x n 8
P p
n 8 x 65
  

 
como es independiente de “x” se
cumple:
n² 1 n 8
n 8 65
 
 

65n² + 65 =
n²  16n + 64
64n² + 16n + 1 = 0
8n 1  n = 
1
8
8n 1
RPTA.: C
31. Si:    x
P P P 27x 52 
Calcule: P(1)
A) 1 B) 4 C) 4
D) 5 E) 1
RESOLUCIÓN
Como    x
P P P es lineal,
entonces: P(x) es lineal. Luego
P(x) = ax + b
 P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
 a = 3  b = 4
 P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: E

10. 32. Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
 
n
n 3 7 n3
x
1
P 2x 7 x x 6
3
 
    sea
racional entera.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 12 E) 13
RESOLUCIÓN
n  3  0 
n
7 n 0
3

   
n  3  n = 3  n  7
n = 6
 n = 3  n = 6
de "n" 9 
RPTA.: C
33. Sabiendo que:
   m 2 n² 5
n 5 m 4
P x;y 5x y Q x;y
2x y
 
 
  
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
A) 1 B) 3 C) 5
D) 8 E) 13
RESOLUCIÓN
Si: P(x; y)  Q(x; y)
 m  2 = n + 5  m  n = 7 ....()
 n² + 5 = m+4  n²m = 1 ...()
 + : n²  n  6= 0
 n = 3  n = 2
Luego:
n = 3  m = 10
n = 2  m = 5
 menos: m + n = 3
RPTA.: B
34. Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
A) 0 B) 3 C) 728
D) 729 E) 730
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³  P(1)=0  P(P(1)) = 1
P(1) = (2)³ =8 
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
RPTA.: E
35. Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa
+ 3xb
yc
+ 2xc
yb
+ ya
es homogéneo ordenado y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17 B) 13 C) 15
D) 16 E) 18
RESOLUCIÓN
Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
 2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
RPTA.: A
36. Calcule “m” si el polinomio
 
 n2n n 1n 8n 2n 2
x
n 1 m² m 3
P 7x 6x 5x
x ... x
 
  
   
 
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn
términos.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
Es ordenado en forma
ascendente:
 n2n
 8n = 0  n = 2
Luego:
 
0 m³ m 3
x
P 7x 6x 5x² x³ ...x  
    
El número de términos es:


11. m²  m + 3 + 1
 m²  m + 4 = 4nn
m²  m + 4 = 16
 m²  m  12 = 0
 m = 4
RPTA.: A
37. Halle a y b en la identidad:
4a 7 b 8 b 7 a 8
b x b y a x a y  
A) 1 y 3 B)
1 1
y
2 3
C)
1 1
y
2 4
D) 1 y
1
4
E) 0 y 1
RESOLUCIÓN
aa
= bb

a  
b
a
b ...   ab
= b4a
 b = 2a
 a =
1 1
b
4 2
 
RPTA.: C
38. Siendo: P(xn
+ 1) = x  1
Halle: “n”, si: P(3) =
7
8

A)
1
3
B)
1
2
 C)
1
2
D)
2
3
 E)
1
3

RESOLUCIÓN
xn
+ 1 = 3  xn
= 2  x = n
2
Luego:
P(3) = n 7
2 1
8
  

1
3n n
1
2 2 2
8
1
n
3

  
  
RPTA.: E
39. Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x  1)n
+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
Calcule el valor de: 10 n
A) 6 B) 5 C) 4
D) 12 E) 3
RESOLUCIÓN
  n
coef P 1 2 5 1 70    
 2n
= 64  n = 6
10 6 4  
RPTA.: C
40. Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4
 7ax5
+ (n2)x7
4x  1
Calcule el valor de: nn
A) 1 B) 4 C) 27
D) 25 E) 16
RESOLUCIÓN
Por ser mónico y de una variable
“x” (coeficiente principal = 1)
 (n  2) = 1  n = 3
Luego nos piden: nn
= 33
= 27
RPTA.: C
SEMANA 3
PRODUCTOS NOTABLES
41. Si  ,yx3
x
y
y
x 22
 halle
4
y
x
x
y
x
y
y
x
W 





 0y,0x 
A) 16 B)
3
2 C)
2
4
D)
4
2
 E)
2/1
16
RESOLUCIÓN
 yxxy3yx 33

     yxxy3yxxy3yx
3

  0yx
3


12. yx  16
x
x
x
x
W
4
x
x
x
x







RPTA.: A
42. Si 1aa 1
 
, halle
1212
aaW 

A)256 B)306 C) 343
D)322 E)196
RESOLUCIÓN
a²  2 + a2
= 1
a² + a2
= 3
a4
+ a4
= 7
a12
+ a12
+ 3(7) = 343
 a12
+ a12
= 322
RPTA.: D
43. Si 8 8 8
m n m p p m 0,     
Halle
4n 2p
4m 2n
m n 1
W
m p 1
 

 
m, np R
 
A) mnp B)1
C) mnp D) pnm 
E)
1
2
RESOLUCIÓN
nm0nm8

pm0pm8

mp0mp8

 w = 1
RPTA.: B
44. Si: ,0zyx 666
 halle
   0Rz,y,x,
yzxzxy
zyxxyz9
W
4
3












A)
1
16
B)32 C) 18
D)16 E)8
RESOLUCIÓN
     
3 3 3
6 66 6
x y z 3 xyz  
   3
6
3
66
zyx 
  zyzxy3x 66

   2
6
2
xyz3zyx 
  3
xyz9yzxyxy2zyx 
 
2
zyxxyz9
yzxzxy
3


 
 
162
2
zyxxyz9
zyxxyz9
W 4
4
3
3
















RPTA.: D
45. Si x b c a  
y c a b  
z a b c  
Halle:
    cbacbabacacb
xyzzxyyzx
W
222



A)
y
x
B) acb 
C)  zy2  D)
abc
1
E)1
RESOLUCIÓN
 
 
1
cbaxyz
zyxxyz
W 


 
x + y + z = a + b + c
RPTA.: E
46. Simplificar:
5
4
44
128
128128
W













A) 343 B) 24 C) 232

13. D) 28 E) 32
RESOLUCIÓN
128
128282
f
4
4
2



2
128
1282
f
4
4
2




2f2f2


5
2W 
24W 
RPTA.: B
47. Si ,yx3xy 11 
 halle
 







 
 22
224
yx4
yx3yx
W
A)11 B)7 C)-6
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
3
x
y
y
x

xy3yx 22

xy5yxy2x 22

  xy5yx
2

  224
yx25yx 

25x²y² 3x²y²
w
4x²y²


RPTA.:B
48. Simplificar:
     
    3n
2 842
32 128842
factn...121212121
12...12121231
W 



A) 0,5 B)2 C)4
D) 0,25 E)1
RESOLUCIÓN
   121212D 2

N 3 N 32 2 2 8
D 2 2 2

  
  
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1   
.
.   12121 22
N
.
12
2 

n
  1212 44

 128

1
2
2
D
N
8
8
 .
.
.
256
2 1
32 256 8
N 2 2 
RPTA.: E
49. Operar: 33
33
72
1
33
72
1W 
A)1 B)2 C)3
D) 72 E) 32
RESOLUCIÓN
 W
27
28
13
33
72
1
33
72
1W 33

W
27
1
32W 33

W2W3

1W2WW3

RPTA.: A
50. Si       1bcacab
111


,
Halle:
   
   1c1b1a
1c1b1a
W


 ,
0c,b,a 
A)1 B)-1 C)2

14. D)
abc
1
E) 1
2
RESOLUCIÓN
1
bc
1
ac
1
ab
1

abccba 
 0abccba 
abc ac bc c ab a b 1
W 1
abc ac bc c ab a b 1
      
  
      
W =
 
ab bc ac 1
1
ab bc ac 1
  
 
   
RPTA.:B
51. Si     zyxaza1yaxa1 11
 
,
Halle: 1 1 1
x y z , x,y,z 0  
   
A)a B)
1
a
C)
1
a

D)
2
a E)1
RESOLUCIÓN
 
x z
1 a y 1 a x y z
a a
   
         
   
     zyxaazayaxa 2

     xyzyzxzxyazyxaa 23
 zyxaa 23

  xyzyzxzxya 
a
1
xyz
yzxzxy


1
a
x
1
y
1
z
1 

1111
azyx 

RPTA.: C
52. Simplificar:
       ...1x1x1x1xW
242222

    2x11x
2204821024

A)1 B) 0 C) 11
2
D)-2 E) 4096
RESOLUCIÓN
W=        4
x 1 ² x 1 ² x² 1 ² x 1 ²...   
   1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2   
W =      4
x² 1 ² x² 1 ² x 1 ²...  
   1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2   
W =    4 4
x 1 ² x 1 ²... 
   1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2   
W =    8 8
x 1 ² x 1 ².... 
   1024 2048
x 1 ² 1 x ² 2   
W =    2048 2048
x 1 ² x 1 ²   2
W = 2
RPTA.: D
53. Si    acbcab4cban
4

 bcacabcba 222

y : 2 2 2
a b c 8  
Halle: cba,n 
A) 22 B)
2
2
C)2
D)4 E)8
RESOLUCIÓN
xcba 222

yacbcab 
   yxy4y2xn
2

222
y4xy4y4xy4xn 
n x²

15.  2222
cban 
  8cban
2222

RPTA.: E
54. Operar:
      2233
bcab6cbacbaW 
Si: b = 0,5
A)1 B)2 C)
4
1
D)
16
1
E) 4
3
16

RESOLUCIÓN
a+c=n
     2233
bnb6bnbnW 
 3 2 2 3 3 2 2 3
W n 3n b 3nb b n 3n b 3nb b       
32
b6bn6 
3
b8W 
1
2
1
8W
3







RPTA.: A
55. Si ,0cb,a;0cba 111
 
Halle:
 
 4
444
cba
cbaabc4cba
E



A) abc4 B)4abc C)1
D)2 E)abc
RESOLUCIÓN
0
c
1
b
1
a
1

   22
0abacbc 
0bca2cab2abc2bacacb 222222222

 ...abcabc2bacacb 222222
 ()
Además:
   2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b c 2 a b a c b c ...( )        
()   β
    abcabc22cbacba 4442222

   cbaabc4cbacba 4442222


 
 2222
2222
bc2ac2ab2cba
cba


 
  
1
bcacab2cba
cba
Ε 2222
2222




0
RPTA.: C
56. ¿Cuál es el intervalo de valores de
“”, de modo que la ecuación
2
x2 2(1)  8x 0, tenga
raíces de distinto signo?
A) ,
2
1
B)  ;2
C) 2; D) 2;6
E) ;8
RESOLUCIÓN
004
2
122





 
 xx
016
2
12
2





 
, como c<0, se
presentan 2 posibilidades:
i)
2
1
0120
2
12
0 

b
ii)
2
1
0120
2
12
0 

 ab
En este caso una respuesta seria
1 1
x ; ;
2 2
   
RPTA.:A
57. Los valores de “x” que satisfacen
la ecuación:

16. 63132  xxx
tiene la propiedad que su suma
es:
A)-14 B)-7 C)-9
D)-2 E)7
RESOLUCIÓN
   66323132  xxxxx
18924 2
 xx
1894 2
 xx
1490 2
 xx x= -7No cumple
  270  xx
x=-2 Si cumple
Únicamente (-2) satisface la
ecuación.
RPTA.: D
58. Sea A la suma de las raíces de
02
 cbxax y B la suma de las
raíces a     011
2
 cxbx ,
entonces B-A es:
A)-2 B)-1 C)0
D)1 E)2
RESOLUCIÓN
a
b
S
a
c
x
a
b
x  02
2
ax 2ax a bx b c 0     
    022
 cbaxbaax
0
22





 





 

a
cba
x
a
ba
x
a
ba
S


2
22 












a
b
a
b
AB
RPTA.: A
59. En la ecuación cuadrática:
02
 cbxax afirmamos:
I. Si la suma de sus raíces es igual
a su producto, entonces
b+c=0.
II. Si una raíz es la negativa de la
otra, entonces b=0.
III. Si una raíz es doble de la otra,
entonces acb 92 2

A) Las 3 afirmaciones son
verdaderas.
B) Solo I y II son verdaderas.
C) Solo I y III son verdaderas.
D) Solo II y III son verdaderas.
E) Solo II es verdadera.
RESOLUCIÓN
b c
S ; P
a a
 
I. 2121 x.xxx 
0 cb
a
c
a
b
(V)
II. ,xx 21  pero
a
b
xx  21
a
b
xx  22
a
b
0
b0 (V)
III.
a
b
xxxx  2121 2
a
b
xx  222
a
b
x 23
2
b
x
3a
 
 
2
2
2
3







a
b
x
2
2
2
2
9a
b
x 
...........................(1)

17. Luego:
a
c
x.x 21
2 2
c
2x x
a

a
c
x 2
22
a
c
x
2
2
2  ...........................(2)
De (1) y (2)
b² c
9a² 2a

2b² = 9ac
RPTA.: A
60. Si las ecuaciones cuadráticas:
  0312 2
 nxmx
  0233 2
 mxnx
Son equivalentes, para
,Rnm  calcule n.
A)
5
23
B)15 C)
7
15
D)
9
11
E) 9
RESOLUCIÓN
2
3
3
1
3
2





m
n
n
m
nm 3942   336  mn
2
313 n
m


13 3n
6n 3 3
2
 
  
 
3
2
939
6 


n
n
693912  nn
7
15
n
RPTA. C
SEMANA 4
DIVISIBILIDAD
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN I
61. ¿Cuál será aquel polinomio
cuadrático de coeficiente principal
4, capaz de ser divisible por
 12 x y que al ser evaluado en
(2) toma el valor de 5?
A) 2
4x 4x 3  B) 2
4x 4x 3 
C) 2
4x 4x 3  D) 2
4x 4x 2 
E) 2
4x 4x 2 
RESOLUCIÓN
Sea este Polinomio
 
2
x
P 4x ax b   :
Por condición:
   
2
x
4x ax b 2x 1 .q'    
2
1 1
4 a b 0
2 2
    
     
   
-a+2b=-2.............................(1)
Además:
 
2
x
4x ax b (x 2)q'' 5    
Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5
 2a+b =  11 .........................(2)
De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3
En (2):2a=-8a=-4
Conclusión:  
2
x
P 4x 4x 3  
RPTA.: C
62. ¿Para qué valor de “m” el
polinomio:
  2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z mx yz     
es divisible por (x+y+z)?
A) 4 B) 2 C) 1
D) -8 E) -4

18. RESOLUCIÓN
En la base a la identidad:
    yzmxzyxzyx 2222222
   z,y,x'qzyx 
Con: x=1 ; y=1; z=-2 evaluando:
(1-1+4)(1+1-4)+m….(-2)=0
-8=2mm=-4
RPTA.: E
63. Busque la relación que debe
existir entre “p” y“q” a fin de que
el polinomio:
 
3
x
P x 3px 2q  
Resulte ser divisible por  2
ax 
A) 23
qP  B) 32
qP  C) qP 
D) 1q.P E) 2
qP 
RESOLUCIÓN
Aplicando dos veces ruffini bajo el
principio de divisibilidad.
Si: 033 2
 Pa
Pa 2
  332
Pa 
Reemplazando en:  01R
3 3 3
3a 2q a 0 a q     
   223
qa 
Conclusión: .qP 23

RPTA.: A
64. Determine “abc” sabiendo que el
polinomio :
    432
26 xxxbax)cb(caxP 
es divisible por   13 2
 xx
A) -2 B) -34 C) 40
D) -1360 E) 2720
RESOLUCIÓN
Por Teorema de divisibilidad
      01 1  R'qxP xx
      01 2  R''qxP xx
      03 3  R'''qxP xx
Empleando Ruffini ( tres veces)
Si: a+b+c-4=0a+b+c=4
b+c-6=0 b+c=6
a+b-38=0a+b=38
en (1) c=-34
en (2) b=40
Luego: abc=2720.
RPTA.: E
65. Si el Polinomio:
  ;xxxPx 6116 23
 es
divisible por: (x-a), (x-b) y (x-c)
indistintamente.
¿Cuál será el residuo de:
 
111111 
 accbbax
P x
?
A) 0 B)1
C) ab + bc + ca D) 1
D) ab + cb + ca
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2
a
2q
apa 32

-a )pa( 32
 3
23 aqap 
-a 2
2a 01 R
Pa 33 2
-2a
01 R
-a
-a
1
1
1
0
-a
-3P
2
a
2q
apa 32

-a )pa( 32
 3
23 aqap 
-a 2
2a 01 R
Pa 33 2
-2a
01 R
1
-1
-2
-2
1
-6
-2
(b+c)
-8
+2
1R
-6
2R
(a+b-8)
(c+a)
-8 a+b-8 a+2b+c-8
(a+b)
(a+2b+c-81) 2(a+b+c-4)
6 -a-b+2
3
(a+b-2) b+c-6
-2
-6
-12
-36
a+b-38
3R

19. RESOLUCIÓN
Al ser divisible indistintamente lo
será también por el producto es
decir:
  )x(x q)cx)(bx)(ax(P 
6116 23
 xxx 3er grado Uno
(monico)
 6116 23
xxx
    abcxcabcabxcbax  23
De donde:
a + b + c = 6
ab +bc + cd= 11
abc= 6
Se pide:
     x x x
P P P
x 11 1 1 c a b
x x
ab bc ca abc
 
    
      
   
Evaluando en x=1:   01  PR
RPTA.: A
66. ¿Cuál será aquella división notable
que genere al cociente
 15253035
 a...aaa .
A)
1
136


a
a
B)
1
1
5
40


a
a
C)
1
1
5
40


a
a
RESOLUCIÓN
Por principio teórico de signo y
variación de exponente de 5 en 5,
es la B.
RPTA.: B
67. Encuentre el valor de:
   9
10 1 999 
A) 1000001 B) 1010101
C) 1001001 D) 0
E) 1
RESOLUCIÓN
Acondicionando el divisor:
      11010
110
110
110
110 1323
3
33
3
9






1001001
RPTA.: C
68. Sabiendo que el cociente de la
división 2
30
yx
yx
n
m


; consta de 10
términos.
Determine el valor de: n
m
A) 60 B) 8000 C)
20
3
D) 600 E) 8
RESOLUCIÓN
Por condición:
30 m
10
n 2
  n=3
m=20
Luego: 20³ = 8000
RPTA.: B
69. Se desea conocer de cuántos
términos está constituido el
cociente de :
1
1


x
x
sabiendo que
    236
1005010 xTTT 
A) 396 B) 133 C) 132
D) 236 E) 131
RESOLUCIÓN
1 2 3 kx 1
x x x ...x ... 1
x 1

   
     

2T 3T kT

20. 10
10T x
 10 50 100 236
x .x .x x  

50
50T x

100
100T x
 3 160 236
x x

De donde: 2361603 
3963 
132
Luego: # términos=132+1=133
RPTA.: B
70. Si la división indicada: P
P
yx
yx


3
432
genera un cociente notable.
Averigüe al término antepenúltimo
A) 92
yx B) 6 324
x y
C) 36 360
x y D) 0
E) x6
y314
RESOLUCIÓN
Si la división indicada es notable,
debe cumplir que:
P 432
3 P

2
P 3.432
2 3 4
P 3.3 .2  2 2
P 3 .2 36 
Luego:
   
   
12 12
3 3636 432
3 36 1 1
3 36
x yx y
x y x y

 
 
1 2 10 11 12T T ... T T T    
antepenúltimo
   
12 10 10 1
3 36 6 324
antep 10T T x y x y
 
  
RPTA.: B
71. Después de dividir el cociente de
1
116


x
x n
; Nn . Entre  ;x 1 se
obtiene un nuevo cociente que al
ser dividido por  12
 xx
obtendremos como residuo.
A) 0 B) -x C) x+1
D) x-1 E) 1
RESOLUCIÓN
Efectuando la división notable
6n
6n 1 6n 2 6n 3 2x 1
x x x x x 1
x 1
  
     

Luego en:
6n 1 6n 2 6n 3 2
x x x ... x x 1
x 1
  
     

Aplicando Ruffini
Existen “6n” términos
Existen “6n-1” términos
 
6n 2 6n 4 6n 6 4 2
x
q x x x ... x x 1  
      
Finalmente en:
   2
x
q x x 1  
Según el teorema del residuo
Si: 2
x x 1 x     
Que al evaluarlo en este valor
 
2
R q 1 0
      
Cero
RPTA.: A
72. Factor Primo de:
  b,aQ 1+b+c+a(1+b+c+bc)+bc
será:
A) 1+c B) 1+b C) 1+ab
D) 1+bc E) 1+abc
-1
1 1 1
-1 0
1 0 1
-1
... 1 1
...0 1
1
-1
00

21. RESOLUCIÓN
Asociando:
     bccbabccbQ b,a  11
Extrayendo factor común
    abccbQ b,a  11
       abcbQ b,a  111
      a,b
Q 1 c 1 b 1 a   
Constante
RPTA.: B
73. ¿Cuántos factores primos
binómicos admite el polinomio;
  .Nn;xxxxXP nn
x  
1232
A) 1 B) 2 C) 3
D) n E) ninguno
RESOLUCIÓN
Asociando de 2 en 2:
  1232
 xxxxx.xP nn
x
 
n 2 2 2
x
P x (x 1) x(x 1) (x 1)     
   112
 xx)x(P n
x
   n
x
P (x 1)(x 1) x x 1    
RPTA.: B
74. Uno de los divisores de:
 bcaddcba  22222
Será:
A) a-b+c-d B) a+b-c+d
C) a-b-c + d D) a+b+c-d
E) a-b-c-d
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
2 2 2 2
a b c d 2ad 2bc     a =
   2 2 2 2
a 2ad d b 2bc c     =
   
2 2
a d b c   
 a d b c a d b c       
RPTA.: A
75. ¿Cuál será el divisor trinomio del
polinomio en variables: m,n,p.
     3 3 3
m n P n P m P m n     ?
A) m-n-P B) m+n-P
C) m-n+P D) m+n+P
E) mn+nP+Pn
RESOLUCIÓN
Mediante la distribución en el
segundo y tercer término:
   nPmPmnPnPnm 33333
Asociando:
     )pn(mpnnPPnm 33223
  PnPn 
  22
PnpnPn 
(n-P) 3 2 2 2
m n P nP mn² mnP mP       
(n-P)        nmPnmnPnmm 222
(m+n)(m-n)
    22
PnPmnmnm)Pn(
      Pm(n)PmPmnm)Pn(
   PnmPmnm)Pn( 
RPTA.: D
76. El Polinomio:
      113
3
 yxxyyxy,xM
Será divisible por:
A) 122
 yxyxyx
B) 122
 yxyxyx
C) 122
 yxyxyx
RESOLUCIÓN
Asociando convenientemente
     131
3
 yxxyyxy,xM
Diferencia de cubos
       
2
M x, y x y 1 x y x y 1       
 
-3xy(x+y-1)
… …...... ….....
……
…......
…...... …......

22. Extrayendo el factor común
    2 2
M x,y x y 1 x xy y x y 1         
RPTA.: C
77. Un factor primo racional de:
  27933
 abbaR a ; será:
A) a+b+3
B) a-b+3
C) ab-3(a+b)
D)   9322
 baabba
E)   9322
 baabba
RESOLUCIÓN
     333
333
 abbaR a
Corresponde a la identidad
Gaussiana, que proviene de:
         baabbaba 3333
222

    baabbacba  3922
RPTA.: D
78. Cuántos divisores admitirá el
Polinomio:
    82423342
yabyxabbxaP y;x 
A) 8 B) 7 C) 15
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Empleando el aspa simple:
    82423342
yaby.xabbxaP y,x 
22
xa 42
yb
2
bx 4
ay
    424222
aybxybxaP y,x 
     4222
aybxbyaxbyaxP y,x 
Nº divisores: (1+1)(1+1)(1+1)
RPTA.: A
79. Halle la suma de los elementos de
aquellos Polinomios irreductibles
que se desprenden de:
     2222224
2 yxzyxzQ z,y,x 
A) 4x B) 4y C) 4z
D) 2(x-y) E) 2(x+y)
RESOLUCIÓN
Mediante un aspa simple
   2222224
2 yxzyxzQ 
2
z  2
yx 
2
z  2
yx 
     2222
yxzyxzQ 
      yxzyxzyxzyxzQ z,y,x 
Sumando estos elementos =4z
RPTA.: C
80. Un divisor del Polinomio:
   x,y
P 2x 2x 7y 3y(5y 12) 48x    
será:
A) 3x-4y B) 4x-3y C)2x-3y
D) 2x-3x E) 2x-5y+12

23. RESOLUCIÓN
Buscando la forma de un aspa
doble:
  0364815148 22
 yxyxyxP y,x
4x -3y 0
2x 5y 12
    125234  yxyxP y,x
RPTA.: B
SEMANA 5
COCIENTES NOTABLES
FACTORIZACIÓN
81. Hallar el menor término racional
del cociente notable.


3 7 3
3
4 2 2
4 2
A) 9 B) -1 C) 3
D) 5 E) 8
RESOLUCIÓN



7 7
3
3
4 2
4 2
Por el término
general
   
k k
kT
 

7 1
3
4 2
efectuando por exponentes
k
kT ....................( )

 
25
6
2
Por lo que piden:
k25
6
debe ser mínimo k ;  7
luego en   :
T T

   
25 7
36
7 72 2 8
RPTA.: E
82. En el cociente notable
   
 
x x
;
x
  

16 16
2
2 2
2 4
halle el valor
numérico del quinto término para
x=1
A) 729 B) 126 C) 81
D) 243 E) 729
RESOLUCIÓN
Dando la forma de un C.N:
   
   
x x
x x
     
   
  
8 8
2 2
2 2
2 2
2 2
    T x x (x ) (x )        
   
3 4
2 2 6 8
5 2 2 2 2
 x=1  T .( )  6 8
5 3 1 729
RPTA.: E
83. Halle el grado absoluto del primer
término central del C.N.
n n
n n
x y
x y
 
 


15 50 15 10
1 2
A) 11 B) 106 C) 63
D) 40 E) 72
RESOLUCIÓN
Por la condición necesaria y
suficiente se debe de cumplir:
n n
n
n n
 
  
 
15 50 15 10
6
1 2
luego:
   
   
x y
x y


20 20
7 4
7 4
Hallamos los términos centrales.
   T x y T x y  
10 9
7 4 70 36
10 10
   T x y T x y  
9 10
7 4 63 40
11 11
 G.A. 10T 106
RPTA.: B

24. 84. Si… x y x y ... 195 140 190 147
son términos consecutivos del
desarrollo de un C.N. Halle el
número de términos.
A) 61 B) 59 C) 58
D) 60 E) 65
RESOLUCIÓN
Formando un C.N. de:
       5
... x y x y
39 20 38 21
7 5 7
Número de términos = G.A +1
 TN   59 1 60
RPTA.: D
85. En el siguiente cociente notable
x y
x y


20 30
2 3
. Calcule el lugar que
ocupa el término que contiene a
x10
.
A) sexto B) quinto
C) octavo D) cuarto
E) décimo
RESOLUCIÓN
   
k k
?
kT x y x y
 
 
10 1
2 3 10

k
x x k
  20 2 10
5
 El lugar es quinto
RPTA.: B
86. Luego de factorizar:
P(x) x x ;  8 4
1 halle la suma
de los factores primos.
A) x x 4 2
3
B) x 2
3
C) x 2
3
D) x 4
2
E) x 4
1
RESOLUCIÓN
Aplicando la identidad de Argan a
   P(x) x x x x x x      2 2 4 2
1 1 1
Luego:
 fac. primos= x x 4 2
3
RPTA.: A
87. Luego de factorizar
P(x) x x x x x     8 7 5 4 3
1
en  x , indique el número de
factores primos.
A) 5 B) 3 C) 4
D) 6 E) 2
RESOLUCIÓN
   P(x) x x x x x     8 4 7 5 3
1
  P(x) x x x x    2 2
1 1
   4 2 3 4 2
x x 1 x x x 1    
  P(x) x x x x    2 2
1 1
 x x x  4 2 3
1
  P(x) x x x x    2 2
1 1
 x x x  4 2 3
1
  P(x) x x x x    2 2
1 1
     x x x x x    2 2 2
1 1 1
   P(x) x x x x x     2 2
1 1 1
 x x 3
1
 Hay 4 factores primos
RPTA.: C
88. Factorizar:
 P x x x x   6 4 2
2 1 indicar la
suma de coeficientes de un factor
primo.
A) 1 B) 0 C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN

25.    6 4 2
P x x x 2x 1   
   
2
6 2
P x x x 1   
  3 2 3 2
x x 1 x x 1   
 de coef = 1
RPTA.: C
89. Factorizar:
   2 2 2
F x abx a b x ab    , e
indicar la suma de los T.I. de los
factores primos.
A) a+b B) a-b C) a
D) b E) ab
RESOLUCIÓN
 F(x) abx a b x ab   2 2 2
ax b
bx a
   F(x) ax b bx a  
RPTA.: A
90. Al factorizar:
2 2
P(x) 10x 17xy 3y 5x y    
Indicar la suma de sus términos
de sus factores primos.
A) 7x-4y+1 B) 7x-1
C) 4x-7y-1 D) 4y-1
E) 5x+2y-1
RESOLUCIÓN
2 2
P(x) 10x 17xy 3y 5x y 0     
5x -y 0
2x -3y 1
   P(x) x y x y   5 2 3 1
RPTA.: A
91. Factorizar:
3 2
P(x) 12x 8x 3x 2    , e
indicar un factor primo lineal.
A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1
D) x+2 E) 4x+3
RESOLUCIÓN
Aplicando Ruffini
   P(x) x x x   2
2 1 6 7 2
3x 2
2x 1
    P(x) x x x   2 1 3 2 2 1
RPTA.: A
92. Factorice:
P(x) x x x x x     5 4 3 2
5 7 8 4
Indique el promedio aritmético de
los T.I. de los factores primos.
A)
4
3
B)
6
5
C)
1
4
D)
3
2
E)
2
3
RESOLUCIÓN
    2
P(x) x 1 x 1 x 2 x 3x 2     
12 8
6
-3 -2
7 2
12 14 4 0
1
2
6 7 2
1 5
1
7 -1
6 13
1 6 13
1 5 8
-8 -4
12 4
0412
-1
1
-1 -5 -8 -4
4 0
-2 -6 -4-2
1 3 2 0

26. x 2
x 1
     
2 2
P(x) x 1 x 1 x 2   
Luego:
1 1 2 2
M.A
3 3
 
 
RPTA.: E
93. Al factorizar:
P(x;y) x y 4 4
4
Calcule el número de factores
algebraicos.
A) 4 B) 3 C) 6
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
 
24 4 2 2
P(x;y) x 4y 4x y 2xy   
   
2 22 2
P(x;y) x 2y 2xy  
  2 2 2 2
P(x;y) x 2xy 2y x 2xy 2y    
  fN .A 2 2 1 4 1 3     
RPTA.: B
94. Factorice
4 2
P(x) x 2x 9   ,
e indicar el número de factores.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
4 2 2 2
P(x) x 2x 9 4x 4x    
4 2 2
P(x) x 6x 9 (2x)   
   
2 22
P(x) x 3 2x  
  2 2
P(x) x 2x 3 x 2x 3    
 fN 2 2 4  
RPTA.: C
95. Factorizar 3 2
P(x) x x x 1   
en (x), luego indique la cantidad
de factores algebraicos.
A) 2 B) 5 C) 3
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
   P(x) x x x   2
1 1
   2
P(x) x 1 x 1   
   P(x) x x x   1 1 1
 
2
P(x) x 1 (x 1)  
  f.AN 3 2 1 6 1 5    
RPTA.: B
96. Calcule la suma de coeficientes,
de un factor primo del polinomio
factorizado.
25 20
P(x) x x 1  
A) 7 B) 4 C) 3
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN
Cambio de variable: x y5
 P(x) y y  5 4
1
  P(x) y y y y    2 3
1 1
  P(x) x x x x    10 5 15 5
1 1
 coef  3 1
RPTA.: C
97. Factorice:
     
2 2
2 2 2
P(x) x x 1 x 1 x     
Indique el número de factores
cuadráticos.
A) 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
2 4 3 2 4 2
P(x) x x 2x 1 x 1 x 2x       
3 2 2
P(x) 2x 2x 2x (1 x)    

27. x x( x) 2
1
 Son 2 factores cuadráticos
RPTA.: A
98. Señale un factor primo de:
 
7
P(x) 2x 1 4x(x 1) 2    
A)
2
4x 6x 3  B)
2
4x 5x 1 
C) 2
4x 7 D) 2
4x 7x 1 
E) 2x² + 3x + 1
RESOLUCIÓN
 P(x) x x x     
7 2
2 1 4 4 1 1
   P(x) x x    
7 2
2 1 2 1 1
Cambio de variable: y=2x+1
   7 2 2 5 4
y y 1 y y 1 y y y² y 1        
 un factor es : 4x² + 6x + 3
RPTA.: A
99. Cuántos factores lineales
presenta:
 P(x;y) x y x y   
4 4 4
A) 1 B) 0 C) 2
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
 P(x;y) x y xy x y    
2
2 2 4 4
2
 P(x;y) x x y x y xy y    4 3 2 2 3 4
2 2 3 2
x² xy 2
y
x² xy 2
y
  P(x;y) x xy y  
2
2 2
2
 No tiene factores lineales.
RPTA.: B
100. Calcule el número de factores
algebraicos en (x), el polinomio.
2 5 2 3
P(X;Z) 3 x y z
A) 23 B) 8 C) 10
D) 72 E) 71
RESOLUCIÓN
F.AN 6 4 1 24 1 23     
Ojo: y2
no es variable, es
parámetro
RPTA.: A
SEMANA 6
MCD – MCM - FRACCIONES
101. Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
P(x)= x x x x x    5 4 3 2
12 8 45 45 8 12
Q(x)= x x x x   4 3 2
2 5 8 17 6
A) x+1 B) (x+1)(x-2)
C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2
E) (2x+3)(2x-1)
RESOLUCIÓN
Factorizando P(x)
Luego el cociente c(x)
4 3 2
c(x) 12x 4x 41x 4x 12    
2 2
2
1 1
c(x) x 12 x 4 x 41
xx
    
        
    
x p x p
x x
     2 2
2
1 1
2
2 2
c(x) x 12p 4p 65    
  c(x) 6p 13 2p 5  
  2 2
c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2    
      P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2     
Factorizando Q:
Q(x) x x x x    4 3 2
2 5 8 17 6
    Q(x) x x x x    1 2 3 2 1
12 8 -45 -45
4
12
-1 -12 4 41
8
-12
12 -4 -41 -4 12 0

28. Por tanto:
  MCD(P,Q) x 1 x 2  
RPTA.: B
102. Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
P(x) x x x x x x x       7 6 5 4 3 2
8 17 9 9 17 8 1
Q(x) x x x x x     5 4 3 2
5 5 1
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
RESOLUCIÓN
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
3 3 2
3 2
1 1 1
c (x) x x 7 x 10 x 1
xx x
      
            
      
Haciendo:
x m x m
x x
     2 2
2
1 1
2
x m m
x
  3 3
3
1
3
     2 2 2
P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1       
Factorizando Q(x) similarmente:
     Q x x x x x x     2 2
1 5 1 1
Por tanto:
    2 2 2
MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1       
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
103. Halle el M.C.D. de:
  4 3 2 2 3 4
A x 4x 4ax 36a x 44a x 16a    
  4 3 2 2 3 4
B x 6x 6ax 18a x 30a x 12a    
A)  x a
2
2 B) x-a
C) x a
2
D)  x a
3
2
E) x  a²
RESOLUCIÓN
Factorizando A por el aspa doble
especial:
   4 3 2 2 3 4
A x 4 x ax 9a x 11a x 4a    
x2
ax 3 a 2
4
x2
ax 2 a2
Por tanto:
  
3
A(x) 4 x 4a x a  
Similarmente
   4 3 3 2 3 4
B x 6 x ax 2a x 5a x 2a     
x2
ax a 2
2
x2
ax2 a2
    B x x a x a  
3
6 2
Por consiguiente el MCD=  x a
3
2
RPTA.: D
104. Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
 A x x x x m   3 2
2 3
 B x x x n  3 2
, es:
 x x 2
2 . Halle “m+n”
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 0
RESOLUCIÓN
Usando el método de Horner:
1 8 17 9
1
17
-1 -1 -7 -10
9
-10
1 7 10 -1 10 7
8 1
-7 -1
01

29. Conclusión: m+n=6
RPTA.: C
105. Halle el MCD de los polinomios:
m n m n
P(x) X x x
    1
  m n m m
Q(x) m n x mx nx   
   1 1 1
Sabiendo que m;n;
m
n


A) k
x  1 B) m
x  1 C) n
x  1
D)
k
x 
1
1 E)
k
x 
1
1
RESOLUCIÓN
Consideremos: m=nk
Entonces:
nk n nk n
P(x) x x x
    1
  n nk
P(x) x x  1 1
Similarmente:
  nk n nk nk
Q(x) nk n x nk x n x   
   1 1 1
   nk n
Q(x) nk n x x
  1
1
Por lo tanto:
M.C.D n
P(x),Q(x) x    1
RPTA.: C
106. Sean los polinomios:
 P(x) ax bx a c x bx c     4 3 2
   Q(x) ax b a x c b x c     3 2
4 4 5 4 5 5
Los cuales verifican:
 P(x) Q(x) MCD P Q    
2
Calcule: "a b c" 
A) 27 B) 16 C) 64
D) 125 E) 9
RESOLUCIÓN
Sumando  P(x) Q x se obtiene:
   
 
4 3 2
ax b 4a x 4b 4a c x
4c 4b x 4c.............................(1)
     
  
Por otro lado factorizando los
polinomios
 P(x) ax bx a c x bx c     4 3 2
ax2
bx c
x2
ox -1
  P(x) ax bx c x   2 2
1
Factorizando  Q x :
  Q(x) x ax bx c   2
4 5
Por lo tanto:
MCD=ax bx c 2
Desarrollamos
   MCD ax bx c  
22 2
   2 2 4 3 2 2
2
MCD a x 2abx 2ac b x
2bcx c ...............................(2)
    
 
Comparando coeficientes de
y +
a=1; b=4; c=4
 a + b + c = 9
RPTA.: E
107. Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
M(x).N(x)
A(x)
D(x)
 Halle el resto de
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
2
3
-2
-4
2 1 0
1 2 -1
1
1
m
-2
m-2=0 m  2
1
0
-2
-2
1 2 0
1 1 1
2
1
n
-4
n-4=0 n = 4
1 2

30. 4 3 2 2 3 4
M(x) x nx 7n x n x 6n    
3 2 2 3
N(x) x 4nx n x 6n   
A) 0 B) n2
6 C) n 2
6
D) n2
10 E) n2
12
RESOLUCIÓN
Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N).
Factorizando los polinomios
obtenemos.
    M(x) x n x n x n x n    3 2
   N(x) x n x n x n   2 3
Por lo tanto:
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
MCD (M,N)= x nx n 2 2
2
Se pide el resto de la división:
x nx n
R(x) n
x n
 
 

2 2
22
10
3
RPTA.: D
108. Si la fracción
x x
x x
 
 
2
2
4 2 3
2 1
se
transforma en otra equivalente
B C
A
x x
 
 1 2 1
donde A,B,C son
constantes reales. Calcule:
A
B C
 
  
 3
A) -1 B) 1 C) 3
D)
1
3
E)
5
3
RESOLUCIÓN
Dividendo:
2
2 2
4x 2x 3 5
2
2x x 1 2x x 1
 
 
   
  x x
 
 
5
2
2 1 1
Descomponiendo por fracciones
parciales
 
5 10
3 32
x 1 2x 1
  
 
Por tanto:
A= 2 ; B=
5
3
; c  
10
3

A
B C
 
       
 
2 5 10
1
3 3 3 3
RPTA.: A
109. Sabiendo que A,B,C y D son los
numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser
descompuesta la siguiente
fracción:
 
3 2
22
4x x 3x 2
x x 1
  

Halle: A+B+C+D
A) 2 B) -5 C) 1
D) -1 E) 0
RESOLUCIÓN
Descomponiendo en fracciones
parciales:
   
x x x A B C D
x x xx x x
  
   
 
3 2
2 2 22
4 3 2
11 1
 
x x x
x x
  

3 2
22
4 3 2
1
   
 
Ax x B(x ) Cx x Dx
x x
     


2 2 2 2
22
1 1 1
1
Desarrollando y luego
comparando coeficientes se
obtiene:
A=1; B= -2; C=3; D=-4
Por lo tanto:
A+B+C+D= -2
RPTA.: D

31. 110. Sabiendo que la fracción se
transforma en otra equivalente.
2
3 2 2
5x 9x 4 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
  
 
    
Halle: A + B + C
A) 1 B) 5 C) 6
D) 8 E) -5
RESOLUCIÓN
    2 2
5x 9x 4 A x x 1 Bx C x 2       
Comparando coeficientes se tiene
A B  5 A=2
A B C  2 9 B=3
A C 2 4 C=1
 A+B+C=6
RPTA.: C
111. Si la fracción se descompone en
fracciones parciales de la forma:
2
3 2 2
x 1 A Bx C
x 2x 3x 3x 2 x x 1
 
 
    
Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
3 2
P(x) x 5x 2x 8   
2
Q(x) 2x mx 4   ;
m (A B C)   9
A) 4 B) 2 C) 3
D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
   x A B x A B C x A C       2 2
1 2 2
A B  1, A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
A 
5
3
, B  
2
3
, C  
1
3
A + B + C = 
2
3
Por lo tanto: m= 6
 Factorizando P (x) y Q(x)
   P(x) x 1 x 2 x 4   
  Q(x) 2 x 1 x 2  
MCM =     2 x 1 x 4 x 2 x 2   
Grado =3
RPTA.: A
112. Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
2
3 2
x 5
x 8x 17x 10

  
Luego se dan los polinomios:
 P(x) x m x x    3 2
5 11 6
 Q(x) x m x x m     3 2
1 3
siendo : m= A + B + C
Halle el grado del MCM
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
RESOLUCIÓN
Descomponiendo fracciones
parciales se tiene:
   
x A B C
x x x x x x

  
     
2
5
1 2 5 1 2 5
       x A x x B(x ) x C x x         2
5 2 5 1 5 1 2
Si x= -2B=-3
Si x=-1A=
3
2
A+B+C=1=m
Si x=-5C=
5
2
Entonces:
3 2
P(x) x 6x 11x 6   
3 2
Q(x) x 2x x 2   

32. Factorizando se tiene
   P(x) x x x   3 1 2
   Q(x) x x x   1 2 1
 MCM P,Q =    x x x x   1 2 3 1
Grado =4
RPTA.: B
113. Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x) x x x
x d
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
    
     
Calcule:
a b c
p(a) p(b) p(c)
 
2 2 2
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
Desarrollando se tiene:
        P(x) x x a x b x b x c x a x c          
+ x - d
Evaluando:
p(a) a(a b)(a c)  
p(b) b(b a)(b c)  
p(c) c(c a)(c b)  
reemplazando en M:
     
a b c
M
a a b a c b b a b c c(c a)(c b)
  
     
2 2 2
M = 0
RPTA.: C
114. Indicar la respuesta correcta,
luego de simplificar:
1 x
1
1 3x1
1 x
1 3
1 3x
E
1 x
1
1 3x1 3
1 x
1 3
1 3x



 
   
 
 
 
  
     
A) 1 B) x C) 2x
D) 3x E) -1
RESOLUCIÓN
Desarrollando el numerador se
tiene:
x
x

 
8
2 6
y el denominador :
x

 
8
2 6
reemplazando y simplificando
x
x
E

 

8
2 6
x

 
8
2 6
x
RPTA.: B
115. Si:        ab bc ac abc  
2 2 2 2
Simplificar:
a b b c c a
c a b
     
 
  
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 2 1
A) 0 B) 1
C) a b c 2 2 2
D)
a b c 2 2 2
2
E) abc
RESOLUCIÓN
De la condición se tiene:
2
2 2 2
1 1 c 1
a b c

 
2
2 2 2
1 1 a 1
b c a

 

33. 2
2 2 2
1 1 b 1
c a b

 
Entonces reemplazando en la
expresión:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c 1 a 1 b 1
1 1 1
c a b
2c 1 2a 1 2b 1
  
  
 
  
 2 2 2
1 1 1
1
c a b
  
RPTA.: B
116. Si se verifica que:
     2 a b 2ab a b a 1 b 1     
Simplificar:
ab a 2 ba b 2
E
b 1 a 1
   
 
 
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
   a b b a
E
b a
   
 
 
1 2 1 2
1 1
E a b
b a
   
 
2 2
1 1
de la ecuación se tiene:
a b
a b
a b
  
 
2 2
1 1
Entonces reemplazando en E
a b
E
a b b a
   
   
2 2 2 2
1 1 1 1
E = 4
RPTA.: D
117. Simplificar la siguiente expresión
y halle:
a
c
 
 
a a c a c c c
. .
a ac c a b bc a c c
c c a
bc
     
             
 
3 3
2 2 2 2
1
1
2
1
A) 1 B) 2 C) -1
D) -2 E) 3
RESOLUCIÓN
 a a c
a ac c 2 2
   a c a ac c
.
    
 
 
 
2 2
   b a c a c 
.
 
 
  
 
1
c
a c c
  

1
1
c c a
bc
 
 
 

 2
2
 a a c
   
c a c
.
b a c a c c
 
 
2
c c a
bc

 2
2
abc  c a c 2
cb    a c c c a  2
 2
a
a c


2

a
c
 2
RPTA.: D
118. Al reducir la expresión:
2
2
x 1 x 1 2
1 1 1
x 1 x 1 x
1 1 x
x 1 x 1
x 1 x 1
 
 
 
   
 
     
    
   
Se obtiene:
A) 1 B) x x 2
1
C) x x 2
1 D)x x 4 2
1
E) x x 4 2
1
RESOLUCIÓN

34. Desarrollando:
   
2
4
2 2
x 1 x 1 2x
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x x
 
    
   
    
 
2 2 2
2 2 4
x x 2x
x 1 x 1 x 1
 
  
   
2 2
4 4
2x 2x
1
x 1 x 1
 
  
  
RPTA.: A
119. Sabiendo que la fracción:
 ax by
p x m xy m y

 
2
2 2 2 2 2
2
toma un valor constante k.
k  0, para todo valor de x,y; xy
 0 , Halle:
a b p m
a b p m
  
  
2 2 2 2
2 2 2 2
en términos de
k.
A)
k
k


1
1
B)
k
k


2
2
1
1
C) k+1
D) k-1 E) k 2
1
RESOLUCIÓN
   ax by k p x m xy m y   
2 2 2 2 2 2
2
 a x abxy b y k p x m xy m y    2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
Comparando coeficientes:
a kp ;2 2
b km ;2 2
ab km 2
Entonces reemplazando en:
a b p m kp km p m
a b p m kp km p m
     

     
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
  
  
m p ka b p m
a b p m m p k
   

    
2 22 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
1
a b p m k
a b p m k
   

   
2 2 2 2
2 2 2 2
1
1
RPTA.: A
120. Simplificar:
   
   
ax ax ax ax
ax ax ax a x
   
    4 4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
A)
ax
ax


1
2
B)
a x
a x

 2
C)
x a
x a

 2
D) 1 E)
a
x
RESOLUCIÓN
Haciendo: ax=m
   
   
m m m m
m m m m
   
    4
1 2 3 1
1 1 2 1 3
Agrupando:
  
  
m m m
m m m m
   
   
2 2
2 4
3 3 2 1
2 3 1 3 1
Factorizando:
 
 
m m
m m
 

 
2
2
2
2
3 1
1
3 1
RPTA.: D
SEMANA 7
NÚMEROS COMPLEJOS
121. Sea el complejo : 1 i  
Calcule
12

A) 32 B) -32 C) -64
D) 64 E) 128
RESOLUCIÓN
Si:  
22
Z 1 i Z 1 i 2i     
Si:  
22 4
Z 2i Z 2i 4    
 
312
4 64    

35. RPTA.: C
122. El equivalente de:
8
1 i 1 i
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
1 1
1 i 1 i
 
 
   
   
   
       
será:
A) 2i B) 0 C) -2i
D) 64 E) 256
RESOLUCIÓN
Sabemos:
1 i 1 i
i i
1 i 1 i
 
   
 
 Operando:
    
8 8
i i 2i 256   
RPTA.: E
123. Si, n 
 , calcule el valor de
4n 6
1 2
i
22

 
  
 
A) 4 B) i
C)  
n 1
1 i

 D)  
n 1
1 i


E) 1
RESOLUCIÓN
2n 3
4n 6 2 2n 3
2n 31 1 1 i 2i
i i
22 2 2

 

      
         
      
      
n n n 12 2
i i i 1 ( 1)i 1 i

    
RPTA.: D
124. Calcule el valor de :
 
 
n
n 2
1 i
1 i



; donde n 

A) -2 B)
n
2i C)
n 1
2i 

D) -2i E) n 1
2i 
RESOLUCIÓN
 
   
 
n n
2
n 2
1 i 1 i
1 i
1 i1 i 1 i

  
    
  n n 1
i 2i 2i 
  
RPTA.: C
125. El equivalente de:
   
17 51
11 2i 1 2i 1    ; es:
A) 1 B) -3 C) -2
D) -i E)
1 3
i
2 2

RESOLUCIÓN
     
17
3 17 17
1 2i 11 2i 11 2i       
 
Luego:
   
17 17
E 11 2i 11 2i 1 1     
RPTA.: A
126. Halle “m + n”; a partir de
2
1 1 i
1 i
m ni 1 1
 
     
A)
2
5
B)
1
5
 C)
1
5
D)
1
7
E)
2
7
RESOLUCIÓN
*
2
1 i 1 i
i 1
1 i 1 i
  
      

1
i 2
m ni
 


1 2 i
m ni
2 i 2 i
 
     
2
m
2 i 2 1 5
m ni i
5 5 5 1
n
5

 
    
  


1
m n
5
 

36. RPTA.: C
127. ¿Qué valor asume “k”, si
k 3i
2 5i


es
un complejo imaginario puro?
A) 2 B) -2 C) 15
D)
15
2
E) 1
RESOLUCIÓN
15
2k 15 k
2
  
RPTA.: D
128. Sabiendo que: a bi x yi   .
Calcule:
2
2 4
b
ay y
A) 4 B) -4 C)-2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
2 2
a bi x y 2xyi   
 2 2
a x y b 2xy   
2 2 2 2 2
x a y b 4x y   
  2 2 2
b 4 a y y 
 2 2 4
b 4 ay y 

2
2 4
b
4
ay y


RPTA.: A
129. Calcule:
 
 
39
40
1 3i
1 i


A) 2 B)
20
2 C)
19
2
D)
20
2 E)
19
2
RESOLUCIÓN
     
39 39 39
1 3i 2Cis60º 2 Cis 2340º  
    
10
40 4 20
1 i 1 i 2   
    Cis 2340º Cis 6 360º 180º 

 39
19
20
2 1
2
2

 
RPTA.: E
130. Si: Z C Z Z 7Im(z)  
Calcule: Z 3,5i
A) 3,5 B) 2,2 C) 2,1
D) 2,4 E) 1,2
RESOLUCIÓN
Sea: Z a bi 
   a bi a bi 7b  
2 2
a b 7b 
nos piden :
7
Z 3,5i a bi i
2
   
 2 27 49
a b i a b 7b
2 4
 
      
 

49 7
7b 7b 3,5
4 2
   
RPTA.: A
131. Calcule:
6
2 cos isen
12 12
   
  
  
A) 8i B) 8 C) -8i
D) -8 E) 32
RESOLUCIÓN
6
2 cos isen
2 2
  
 
 
  3
2 0 i 1 8i 
RPTA.: A
132. Sean los complejos
1 2Z 1 i Z 3 6i    
Halle el módulo de
2 3
1 2Z Z

37. A)
1
2
B)
7
2
C)
27
2
D)
13
2
E)
29
2
RESOLUCIÓN
   
2 12
1Z 1 i 2i
 
   
     
3 2
3
2Z 3 6i 3 6i 3 6i    
15 3 3 6i  
Piden:
3
2 3 2
1 2 2
1
Z 15 3 3 6I
Z Z
Z 2I
  
 

3 6 15
3i
2 2


2 2
3 6 15 3 3 6 15 3
i
2 2 2 2
   
           
 El módulo es:
27
2
RPTA.: C
133. Calcule:
2343 331 542 300
55 242 328
i i i i
i i i  
  
 
A) -3 B) -4 C) -5
D) -2 E) -1
RESOLUCIÓN
o o
2343 4 3 ;300 4  
o
331 4 3 ; 
o
542 4 32; 

3 3 2
2
i i i 1 2i
2
i i 1 i
   
  
 
RPTA.: D
134. Calcule:
555555 333
i i

A) i B) -i C) 2i
D) -2i E) 0
RESOLUCIÓN
o o
555555 4 3 333 4 1    
  
3333 1
i 1 i i i 21      
RPTA.: D
135. Halle un número complejo cuyo
cuadrado sea igual a su
conjugado.
A)
1
i
2
  B)
1
1 i
2
 
C)
1 3
i
2 2
  D)
1 3
i
2 2

E) 1
RESOLUCIÓN
Sea el complejo: Z a bi 
 Z a bi 
Luego:  
2
a bi a bi  
 2 2
a b 2abi a bi   

2 2
a b a
2ab b
  

 
Resolviendo:
1
a =-
2
Luego:
2
21 1
b
2 2
 
    
 
2 21 1 3
b b
4 2 4
   

3
b
2
 
Luego el complejo buscado será
1 3
Z i
2 2
  
RPTA.: C
136. Si:  
2
Z 3Re Z
Halle:
3
Z
2


38. A)
1
2
B)
3
2
C)
3
2
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
Sea: Z = a + bi
Por condición:
(a+bi)² = 3a
(a²b²) + 2abi = 3a + 0i
a² b² 3a;
2ab 0
 


Resolviendo el sistema:
1 2
1 2
a 0 a 3
ó
b 0 b 0
  
 
 
   

3 3
Z
2 2
 
RPTA.: B
137. Calcule : 5 12i
A)  3 2i  B)  2 3i 
C) 3i D) 2i
E) 1 + i
RESOLUCIÓN
Recordemos:
Z a Z a
a bi i
2 2
  
    
 
 
 5 12 i 25 144 169 13    
Luego:
13 5 13 5
5 12i i
2 2
  
     
 
  5 12i 3 2i   
RPTA.: A
138. Indicar uno de los complejos
resultantes de: 3 4i 3 4i  
A) 4 B) 4 C) + 2
D) 2  i E)  2i
RESOLUCIÓN
E 3 4i 3 4i   
 
2
4
E 3 4i 3 4i   
4
E 3 4i  3 4i  2 9 16 
4
E 6 2 25 
4 4
E 6 10 E 16   
 E = 2
RPTA.: C
139. Resolver la ecuación en C/ C 
2
Ln 3iLn 4 0    
A) 4i B) ei
C)
4i
e
D)  4i i
e ;e
E)  i 4i
e ; e
RESOLUCIÓN
(LnZ)²  3i LinZ  4i2
= 0
LnZ 4i
LnZ i
De donde:
LnZ = 4i ó LnZ =  i
Z1 = e4i
Z2 = ei
RPTA.: E

39. 140. Calcule:
4 12i 3 4i   
A) 13 B) 14 C) 16
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
* 3 4i 5  
* 12i 5 144 25 13   
 4 13 17 17  
RPTA.: D
SEMANA 8
TEORÍA DE ECUACIONES
141. Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.
2k 3 3kx 2
2k 3
x 1 x 1
 
  
 
A) -2 B) -3 C)1
D) 2 E) 3
RESOLUCIÓN
        2
2k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1       
2 2
2kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2     
=
2 2
2kx 2k 3x 3  
2 2 2
5kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3      
 2 2
3kx 3x k 5 x 2k 2 0     
   2
3k 3 x k 5 x 2k 2 0     
 3k 3 0 k 1   
RPTA.: C
142. Calcule el valor de x en:
x n x m
1
n m
 
 
A) m B) n
C)
mn
m n 
D)
m
n n
E)
n
n m
RESOLUCIÓN
xm mn nx mn   mn
x(m n) mn  

mn mn
x
m n m n

 
  
RPTA.: C
143. Halle
2
x en :
; x C
2 x
2x x
x 2
  
A)
4
3
 B)
3
4

C) x C
D) -3 E) -4
RESOLUCIÓN
2 2 2 2 2
x 4 4x 2x 5x 2x 4      
 2 2 4
3x 4 x
3

   
RPTA.: C
144. Resolver en “x”
 
a bx a bx abx
a b
a b a b a b
  
      
A) -2 B) 1 C) 2
D) 3 E) a + 2b
RESOLUCIÓN

40.  a b
     
 
a bx a b a bx a b
a b
    
  a b
abx
a b
 
  
 
 
 ab x = 2 ab
 x = 2
RPTA.: C
145. Si 1 2 3x ;x ;x son las raíces de la
ecuación
 3 2
x n 1 x 2nx n 3 0     
Calcule:    1 2 3x 1 x 1 x 1  
A) 1 B) 2 C) -3
D) 4 E) -1
RESOLUCIÓN
Por cardano:
*  1 2 3x x x n 1    
* 1 2 1 3 2 3x x x x x x 2n  
*  1 2 3x x x n 3  
 lo pedido es :  1 2 31 x x x   
1 2 1 3 2 3 1 2 3x x x x x x x x x 3    
RPTA.: C
146. Si la ecuación paramétrica en “x”
presenta infinitas soluciones
calcule el valor de a + b.
2
ax 1 2x b  
A) -2 B) 2 C) 3
D) -2 E) -3
RESOLUCIÓN
 
2
2 b 1
a 2 x b 1 x
a 2

    

 a = 2 2
b 1 b 1    
 a + b = 3  a +b = + 1
RPTA.: C
147. Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática
2
x 2x 7 0  
Calcule
2 2
a 5 b 5
a 1 b 1
 

 
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 7
RESOLUCIÓN
 2 2
a 2a 7 0 a 5 2a 2      

2
2a 5
2 b 2b 7 0
a 1

    

2
b 5
2
b 1



 a² 5 b² 5
4
a 1 b 1
 
 
 
RPTA.: C
148. ¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?
   
1
x x 2 x 3 x 2 2 0
x
 
     
 
A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones
C) la suma de las soluciones es
7
2
D) es incompatible
E) 3 soluciones
RESOLUCIÓN
x 0 x 0   (no)
x 2 0  (no)
x 3 0 x 3   
1 1
2 0 x
x 2
   
 1 2
1 7
x x 3
2 2
   
RPTA.: C
149. Calcule el valor de  si la ecuación
de segundo grado
   2
4 x 2 x 1 0;      tiene
solución única.
A) 2 B) 4 y -2 C) -4 y 2
D) 2 y 4 E) 2
RESOLUCIÓN
4  0  
 2
2 8 0    

41.   4 2 0 4        
2 
RPTA.: C
150. Si 3 2 2 es una raíz irracional
de: 3 2
2x 11x mx n  
m,n  , calcule el valor: m
n
A) 4 B) 8 C) 1
D) 7 E) *
RESOLUCIÓN
Si: 1 2x 3 2 2 x 3 2 2    
de la ecuación 1 2 3
11
x x x
2
  
6
 3
1
x
2


además: 1 2 3
n
x x x n 1
2
   
luego: 1 2 1 3 2 2
m
x x x x x x
2
  
2
 m = 4
 4
1 1
RPTA.: C
151. Encontrar el conjunto de solución
de:
1 1
4x 2 x 4
x 2 x 2
    
 
A)  2 B)  1;2 C) 
D) 2 E)  4
RESOLUCIÓN
x 2  4x-x=4+2
3x 6
x 2
Pero x 2  x  
RPTA.: C
152. Calcule el menor valor de k, si las
raíces de la ecuación
 4 2
x k 4 x 4k 0    ; están en
progresión aritmética.
A) -4 B) -9 C)
4
9
D) 36 E)
2
3
RESOLUCIÓN
Si: las raíces de:
4 2
ax bx c 0  
están en P.A. 2
9b 100ac 
     
2
9 k 4 100 1 4k ; k 0     
 3k 20 k 12 0  

4
k k 36
9
  
RPTA.: C
153. Indique una solución de la
ecuación.
4 2
9x 7x 2 0  
A) – 9 B) – 2 C) – 1
D) 3 E) -3
RESOLUCIÓN
4 2
9x 7x 2 0  
2
9x + 2
2
x - 1
   2 2
9x 2 x 1 0  
 2
x 1 x 1   
RPTA.: C
154. Si: 1 2 3 4x ;x ;x ;x son raíces de la
ecuación:
4 2
10x 7x 1 0  
Calcule el valor de 4 4 4 4
1 2 3 4x x x x  
A)
2
25
B)
1
2
C)
29
50
D)
1
25
E)
1
4
RESOLUCIÓN
Factorizando:
  2 2
5x 1 5x 1 0  

42.     5x 1 5x 1 2x 1 2x 1 0    
1
1
x
5
  2
1
x
5

3
1
x
2
  4
1
x
2

 4 4 4 4
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
25 25 4 4
      
 4 4 4 4
1 2 3 4
2 1 29
x x x x
25 2 50
     
RPTA.: C
155. Luego de resolver:
2
2
1
x x 1 2
x x 1
   
 
Señale el menor valor de
3
x
2
 
 
 
A)
1
4
B)
1
4
 C)
1
8

D) 4 E) 2
RESOLUCIÓN
2 2
x x 1 1 x x 2 0      
  x 2 x 1 0  
x 2 x 1   

3
1 1
2 8
 
  
 
RPTA.: C
156. Resuelve la ecuación
3
2x 1 x 4 5    e indique el
valor de
2
x
A) 4 B) 3 C) 16
D) 19 E)
1
4
RESOLUCIÓN
Sea:
33
x 4 a x a 4    
  3
2 a 4 1 a 5   
 3
2a 7 5 a; a 5   
 al cuadrado miembro a miembro
3 2 a
2a 7 25 a 10   
 3 2
2a a 10a 32 0   
   2
a 2 a 3a 16 0   
aquí a R
 a = 2
3
x 4 2 x 4 8    
 x = 4
nos piden :
2
x 16
RPTA.: C
157. Dadas las ecuaciones
3 2 3
x mx 18 0; x nx 12 0     
que tienen dos raíces comunes
señale el valor de m.
A) -3 B) 3 C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
De:
 3 2
sx mx 18 C ; ;      
 3 2
sx nx 12 C ; ;      
Por cardano –
...(I)
además:
 3k 2k    
en (I): - k = m 3m   
En la ecuación:
2 -1 10 -32
2 4 6 32
2 3 16 0
    
     m     
= - m
= 0
18
12
    
    
3
2
 
  


43. 3 3
27m 9m 18 0   
 3
18m 18 m 1    
RPTA.: C
158. Si: 3 25  es una raíz de la
ecuación:
5 4 3 2
x bx cx 34x 0    Calcule
el valor de “b” ; b y c R
A) 2 B) 3 E) 5
D) 4 E) 7
RESOLUCIÓN
 2 3 2
x x bx cx 34 0   
 2
x 0 ( raíz doble)
3 2
x bx cx 34 0   
Si 1 2x 3 5i x 3 5i    
Por cardano:
1 2 3x x x 34 
3 334 x 34 x 1    
Además: 1 2 3x x x b  
6 + -1 =b  b = 5
RPTA.: C
159. Resolver:
2 2 2
x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12       
A) x = 2 B) x = 1 C) x = -2
D) x = 3 E) x = 0
RESOLUCIÓN
2
x 4x 6 n n 2 n 2 2n       
al cuadrado m.a.m:
n 2 n 2 
2
2
2 n 4 2n  
2n 2
2 n 4 2n  
  2
n 4 n 2 n 0    
(I)  n = 2
luego :
2
x 4x 6 2  
2
x 4x 4 0  
 
2
x 2 0 x 2    
RPTA.: C
160. Halle “k” para que la diferencia de
raíces sea uno.
   2
2x k 1 x k 1 0    
A) - 2 B) -3 C) 11
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
2
1 2 1 2
b 4ac
x x x x
a

   

    
2
k 1 4 2 k 1
1
2
  

2
2 k 2k 1 8k 8    
2
4 k 10k 7  
 2
k 10k 11 0  
 k 11 (k 1) 0  
 k = 11  k = -1
RPTA.: C
SEMANA 9
SISTEMAS DE ECUACIONES
161. ¿Qué valores de “K” haría que el
sistema
   K 3 x 2K 3 y 24   
   K 3 x K 1 y 8   
no acepte solución?
A) 2 B) 1 C) - 1
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
Como:
1 1 1a x b y c 
2 2 2a x b y c 
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
   solución

44.       
K 3 2K 3
K 3 K 1 2K 3 K 3
K 3 K 1
 
      
 
2 2
K 2K 3 2K 3K 9    
2
K 5K 6 0  
K - 6
K + 1
  K 6 K 1 0  
K = 6 K = -1
Además:
K 3 24
K 3 8



K 3
3
K 3



K 3 3K 9  
12 2K
6 K
 K = -1
RPTA.: C
162. Examine para que valores de a y
b el sistema:
x y z 0  
x y 2z 1  
2x 4y az b  
posee infinitas soluciones, indique
a x b.
A) 0 B) 1 C) -1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
Para infinitas soluciones:
g 0 
x 0 
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0
3b = - 3
b = - 1
a x b = -1
RPTA.: C
163. Señale una raíz de la ecuación:
3 2
x 4x 6x 4 0   
A) 1 + i B) 1 - i C) 3 + i
D) 3 - i E) A y B
RESOLUCIÓN
Divisores del T.I.:  1,2,4
evaluando para x = 2
Una raíz es x = 2
Las otras raíces se obtienen al
resolver.
2 2 4
x 2x 2 0 x
2
 
    
RPTA.: E
164. El conjunto solución de la
ecuación:
   3 2
K 4 x K 3 x 3 0    
es  1; ;  Calcule el valor de
  
A) 1 B) 3 C) - 3
D) 2 3 E) 4 3
RESOLUCIÓN
Como una raíz es x = 1
K – 4 + K - 3 - 3 = 0
g 
1 1 1
1 -1 1
2 4 a
1 1 1
1 -1 2
 0 a 4 4 2 8 a 0         
x 
1 1 1
1 -1 2
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
= 0
X = 2
1 - 4 + 6 - 4
2 - 4 + 4
1 - 2 + 2 0

45. K = 5
La ecuación es:
3 2
x 2x 3 0  
Por Ruffini:
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
 
       
3 3 i 3 3
x i; 3
2 2 2
 
       
 2 3   
RPTA.: B
165. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes reales; si
dos de sus raíces son: 1 2i y
1 2i .
A)
4 3 2
x 4x 12x 16x 15 0    
B)
4 3 2
x 4x 12x 16x 15 0    
C)
4 3 2
x 4x 12x 16x 15 0    
D)
4 3 2
x 4x 12x 16x 15 0    
E)
4 3 2
x 4x 12x 16x 15 0    
RESOLUCIÓN
1x 1 2i 
2x 1 2i  S 2  y P 5
2
x 2x 5 0   
1x 1 2i 
2x 1 2i  S 2  y
P 3
2
x 2x 3 0   
Multiplicando:
   
2
2 2
x 2x 8 x 2x 15 0    
Ecuación resultante:
2 3 2
x 4 x 12 x 16 x 15 0    
RPTA.: A
166. Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes racionales si
una de sus raíces es 3 5i .
A) 4 2
x 4 x 64 0  
B) 4 2
x 8 x 16 0  
C) 4 2
x 4 x 16 0  
D) 4 2
x 16 x 64 0  
E) 4 2
x 16 x 16 0  
RESOLUCIÓN
x 3 5i 
Elevando al cuadrado.
2
x 3 5 2 15i  
2
x 2 2 5i 
Elevando al cuadrado.
4 2
x 4x 4 60   
4 2
x 4x 64 0  
RPTA.: C
167. En el polinomio cúbico
3
P(x) x x 1  
Se observa que
     P a P b P c 0  
Calcule el valor numérico de
 3 3 3
P a b c ab ac bc abc     
A) - 17 B) - 11 C) - 21
D) - 28 E) - 29
RESOLUCIÓN
Se cumple que
   3
x x 1 x a x b x c     
 3 3 2
x x 1 x a b c x      
 ab ac bc x abc   
3 3 3
a b c 0 a b c 3abc      
ab + ac + bc = + 1
abc = -1  3 abc = - 3
    P 3 1 1 P 3 27 3 1        
 P 3 29  
RPTA.: E
X=1
1 2 0 - 3
1 3 3
1 3 3 0

46. 168. Calcule el valor de (a + b) en la
ecuación:
4 3 2
2 x x 3x ax b 0     ; {a;b} 
Si se sabe que una de sus raíces
es: 1 + 2 i
A) 31 B) 34 C) 35
D) 38 E) 39
RESOLUCIÒN
x1 = 1 + 2i
x2 = 1 2i  x1.x2 = 2; x1.x1 = 5
 x²  2x + 5 = 0
Por Horner:
a = 19 ; b = 15
 a + b = 34
RPTA.: B
169. Halle el término independiente de
una ecuación de grado mínimo de
coeficientes reales, si se sabe que
su conjunto solución es
 i; i; 2i; 2i;.......; ni; ni  
A)
n
n B)
2
n C)
D) E)
RESOLUCIÓN
Obsérvese que:
   2
x i x i x 1   
   2
x 2i x 2i x 4   
.
.
.
   2 2
x ni x ni x n   
2
T.I 1 4 ... n
 
2
T.I 1 2 ... n
RPTA.: E
170. Señale el valor de “a” en la
ecuación:
  7 6 2
2a 7 x 2x 5x a 6 0     
si se sabe que la suma de sus
raíces excede al producto de las
mismas en una unidad.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÒN
Suma=
2
2a 7
; Producto=
6 a
2a 7


Ecuación:
2 6 a
1
2a 7 2a 7

 
 
; operando
a – 4 = 2 a – 7
3 = a
RPTA.: C
171. No es solución de la ecuación:
10 10
x 1 x 1 48
x x
  
      
  
; es
A) -1 B) 2 C) -5
D) 4 E) A ó D
RESOLUCIÓN
210
x z z 1 48
x
    
z 7 
Si:
10
x 7
x
  
10
x 7
x
  
2
x 7x 10 0   ;
2
x 7x 10 0  
(x  2) (x  5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0
x = 5 x = - 2
ó ó
x = 2 x = - 5
RPTA.: E
 
2
T.I n
n
2
n  
2
n
1
2
- 5
2 1 3
4 - 10
a b
6 - 15
2 5 3 0 0
10 - 25

47. 172. Halle la relación entre los
coeficientes de la ecuación:
4 2
ax b x c 0  
para que sus raíces reales estén
en progresión aritmética.
A) 2
4b 49ac
B) 2
8b 49ac
C) 2
9b 100ac
D) 2
16b 100ac
E) 2
25b 100ac
RESOLUCIÓN
  3          
(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
  2 2 2 2
x 9 x 0    
Equivalencia resultante
4 2 2 4 4 2b c
x 10 x 9 x x
a a
      
 
2
2 4
12
b b
10 100 ...
a a
      
 2 4
2
b c
10 9 ...
a a
      
También:
   
2
2
1 2
100 b
9b 100ac
9 ac
     
RPTA.: C
173. Resolver: La ecuación
    x 5 x 7 x 4 x 6 504    
y halle la suma de los cuadrados
de las raíces negativas.
A) 53 B) 57 C) 61
D) 62 E) 64
RESOLUCIÒN
Multiplicando convenientemente
     x 5 x 4 x 7 x 6 504          
  2 2
x x 20 x x 42 504    
Haciendo 2
x x z 
  z 20 z 42 504  
2
z 62z 336 0  
  z 56 z 6 0  
Regresando a la variable original.
  2 2
x x 56 x x 56 0    
     x 8 x 7 x 3 x 2 0    
x 7  ó x = -2
    
2 2
7 2 53   
RPTA.: A
174. Resolver:
x y 3 3
35
x y  5
A)   c.s ; 2 3
B)   c.s ; 3 2
C)     c.s ; ; ; 1 2 2 3
D)     c.s ; ; ; 2 3 3 2
E)     c.s ; ; ; 3 2 1 2
RESOLUCIÓN
x y 3 3
35; x+ y = 5
  x y x xy y   2 2
35 x = 5 – y
 x xy y  2 2
5 35
x xy y  2 2
7
   y y y y    
2 2
5 5 7
y y  2
3 15 18 0
y y  2
5 6 0
y x  3 2
y x  2 3    c.s ; ; 2 3 3 2
RPTA.: D
      

48. 175. Resolver:
y x 2 2
5 7 17
xy x 2
5 6 6
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores de “y”
A) 7 B) 14 C) 0
D) -7 E)  1
RESOLUCIÓN
y x 2 2
5 7 17
xy x 2
5 6 6
y x 2 2
30 42 102
xy x 2
85 102 102
y xy x  2 2
30 85 60 0
y xy x  2 2
6 17 12 0
3 y - 4 x 
y
x 
3
4
2y - 3 x 
y
x 
2
3
Si
y y
x y
 
    
 
2
23 3
5 7 17
4 4
y  4
Si
y y
x y
 
    
 
2
22 2
5 7 17
3 3
y  3
       4 3 0
RPTA.: C
176. Resolver:
x y 2 2
180
x y
 
1 1 1
4
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores posibles de
“x”
A) 7 B) 8 C) 28
D) 4 E) -4
RESOLUCIÓN
Haciendo x v y v      
   v v     
2 2
180
v  2 2
90
x y
xy


1
4
  v v v v           4
v   2 2
8
v  2 2
90
    2
0 2 8 90
    2
0 4 45
v    9 3
v     5 65
        ;v
C.S. ; ; ; ; ;
   9 3 9 3 5 65 5 65
     C.S. ; ; ; ;    12 6 6 12 5 65 5 65
 ;   5 65 5 65
   x        12 6 5 65 5 65
x  8
RPTA.: B
177. Resolver:
x xy y  2 2
3 2 3
x xy y  2 2
5 6 15
Se obtuvo:    C.S.= a;b c;d ,
según esto halle (a + b + c + d).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) -2
RESOLUCIÓN
x xy y  2 2
3 2 3 x (-5)
x xy y    2 2
5 15 10 15
x xy y  2 2
5 6 15
x xy y   2 2
4 10 4 0
2 2
2 x 5xy 2y 0  

49. x2 y  y = - 2x
x 2 y  y =
x

2
Si y = - 2x    x x x x    
22
3 2 2 2 3
x  1
Si  x y ;     1 2 1 2
Si  x y ;     1 2 1 2
Si
x
y

 
2
x x
x x
   
       
   
2
2
5 6 15
2 2
x x x ( )  2 2 2
2 5 3 15 2
0 30
     C.S. ; ; ; ;  1 2 1 2
Luego a + b + c + d = 0
RPTA.: A
178. Halle la suma de las raíces de la
ecuación:
x x x x    2 2
2 2 2 2 1
A) 1 B) 2 C) 3
D) -4 E) 4
RESOLUCIÓN
Haciendo x x a 2
2
   a a  
22
1 2 2
a a a   2
2 1 4 8
a a  2
6 7 0
   x x x x    
2
2 2
2 6 2 7 0
x x x x x     4 3 2 2
4 4 6 12 7 0
x4
 4x³  2x² + 12x  7 = 0
 1
0
a 4
S 4
a 1
 
   
RPTA.: E
179. Al resolver:
   
   
x x
x x
  

  
3 3
2 2
3 4
7
3 4
indicar como respuesta la
diferencia de los cuadrados de sus
raíces.
A) 7 B) 6 C) 5
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Haciendo:
3 x a  +
4 x b 
7 = a + b
Luego:
3 3
2 2
a b
a b
a b

 

3 3 3 2 2 3
a b a ab a b b    
 0 ab b a 
b a 0   ab 0
7 0   3 x 4 x 0  
 x 3 x 4   
  C.S. 4;3 
   
2 2
4 3 7  
RPTA.: A
180. Halle el valor de “x” , sabiendo
que es un número entero positivo
de:
x x x 4 3
5 3 296
A) 4 B) 11 C) 31
D) 16 E) 17
RESOLUCIÓN
x x 43 3
5 3 296
 haciendo x a4 3
a a a a ,       2
5 3 296 0 8 7 4
 x 4 3
8  x , 4 3
7 8
 x 
4
3 3
2 

50. x = 16
RPTA.: D
SEMANA 10
INECUACIONES
181. Resolver:
     x 1 x 2 x 2 x 3 0      , e
indicar el menor valor entero.
A) - 2 B) - 1 C) 0
D) 1 E) 2
RESOLUCIÓN
   2 2
x x 2 x x 6 0     
2 2
x x 2 x x 6 0     
2x 4 0 
x 2 
x 2;  
 El menor valor entero será: -1
RPTA.: B
182. Si: x  , ¿a que intervalo
pertenece la expresión algebraica:
2
5
x 4
A)
5
,
4

 

B) 




4
5
0,
C) 50, D) 0,4
E)
5
0,
4



RESOLUCIÓN
x 
2
x 0
2
1 1
0
4x 4
 

2
5 5
0
4x 4
 

RPTA.: E
183. Si a>0, b>0, 3a 5b hallar el
mayor numero M que cumpla lo
siguiente:
3a 5b
M
5b 3a
  .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
Como 3a 5b
  
2
3a 5b 0 
 2 2
9a 25b 30ab 

3a 5b
2
5b 3a
 
RPTA.: B
184. Si 1< x < 5
Simplificar:
2 2
E x 2x 1 x 10x 25     
A) 2 B) 4 C) 2 x-6
D) x-3 E) x + 3
RESOLUCIÓN
   
2 2
E x 1 x 5   
E x 1 x 5   
Como:
1 x 5
0 x 1 4

 
  
y:
1 x 5
4 x 5 0

 
   
E x 1 5 x 4    
RPTA.: B
185. Halle el menor numero impar que
se debe asignar a “K” en:
2
k x 8x 4 0   , con la condición
que sus raíces sean números
complejos:
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
RESOLUCIÓN
2
k x 8x 4 0  

51. 2
0 b 4 ac 0    
2
8 4k x 4 0 
64 16k 0 
4 k 0 k 4   
menor impar: k = 5
RPTA.: C
186. Halle el complemento del conjunto
solución de:
1
3
x

A) 



3
1
0, B)
1
0,
3



C)
1
0,
3
D)
1
0,
3



E)
1
,
3

 

RESOLUCIÓN
1
3
x

1
3 0
x
 
1 3x
0
x


1 3x
0
x


3x 1
0
x


Puntos críticos
Complemento:
1
0;
3
 
 
 
RPTA.: A
187. Si: 02  x , a que intervalo
pertenece la expresión: 23
4 x
2

A) 4,0   B) 0,2  
C) 0,3   D) 0,4  
E)
3
0,
2
 
 
 
RESOLUCIÓN
Si: 2 x 0  
2
0 4 x 4  
2
0 4 x 2  
 23
0 4 x 3
2
  
RPTA.: C
188. Resolver: 2
x 6x 16 0  
A)
7
, 2
4
 
B) x 
C) 8,4 4,   
D) , 8 4,     
E) x
RESOLUCIÓN
01662
 xx
07962
 xx
  073
2
x
RPTA.: E
189. Indicar el intervalo solución que
satisface la desigualdad:
2
4x 3x 7
0
x 2
 


A) x 1; 
B) x 7 / 4;1 2;     
C)
7
x ; 1;2
4
    
D) x 1;2 
E)
7
x ;
4
   
RESOLUCIÓN
2
4x 3x 7 
x 
+-+
0 1
3
0 1
3

52. 4x 7
x -1
  4 x 7 x 1
0;x 2
x 2
 
 

Puntos
críticos x 1 0 x 1   
x 2 0 x 2   

7
x ;1 2;
4
    
RPTA.: B
190. Halle la suma de todos los
números enteros que satisfacen la
siguiente inecuación:
2
4x 3x 2x 1  
A)
5
4
B) 0 C)1
D) 3 E) 
RESOLUCIÓN
2
4x 3x 2x 1 0   
2
4x 5x 1 0  
4x - 1
x - 1
  4x 1 x 1 0  
Puntos críticos:
1
x ;1
4
 
 
 
RPTA.: C
191. Resolver: 2
2x 3x 5 0  
A) x B) x 
C)
31
x
16
  D)
31 3
x ;
16 4
 
E)
3
x
4
 
RESOLUCIÓN
2
2x 3x 5 0   2
2 3 5
x x 0
2 2
  
2 2
2 3 3 3 5
x 0
2 4 4 2
   
       
   
la mitad
2
3 9 5
x 0
4 16 2
 
    
 
2
3 9 5
x
4 16 2
 
   
 
2
3 31
x
4 16
 
  
 
+ > -
x
RPTA.: A
192. El intervalo en el cual se satisface
la inecuación:
2
2
x x 6
0
x x 6
 

 
es: a;b c;d  ; Calcule:
2 2 2 2
a b c d  
A) 13 B) 18 C) 23
D) 26 E) 32
RESOLUCIÓN
Factorizando el númerador y
denominador; vemos que:
   
   
x 3 x 2
0
x 3 x 2
 

 
7
4x 7 0 x
4
    
- + - +
   7
4

1 2
1
4x 1 0 x
4
x 1 0 x 1
   
   
- - +
1
4
1
P.C
N
x = 3
x = - 2
x = - 3
x = 2
D

53. En la recta real:
x 3; 2 2;3     
a = - 3
b = - 2  2 2 2 2
a b c d 26   
c = 2
d = 3
RPTA.: D
193. Indique el conjunto solución de la
inecuación:
2
2
x x 6
1
x x 6
 

 
A) ; 2 0;3    
B) ; 1 1;    
C) ;0 3;   
D) ; 2 1;6   
E) ; 2 1;    
RESOLUCIÓN
Pasando todo al primer miembro
2
2
x x 6
1 0
x x 6
 
 
 
2 2
2
x x 6 x x 6
0
x x 6
    

 
  
2x
x 3 x 2

 
x ; 2 0,3     
RPTA.: A
194. Resolver:
x a x b
2 x 0
x a x b
 
   
 
Si: 0 < b < a
A)
2ab
b;
a b


B) a;0
C) a;b
D) b;0
E) a;b
RESOLUCIÓN
x a x b
2
x a x b
 
 
 

 
  
2 a b x 4ab
0
x a x b
 

 
Puntos referenciales:
2ab
x ;x a;x b
a b
   

Como x 0
 x a,0 
RPTA.: B
195. Calcule el conjunto solución de:
3 2
x 1 x x  
A) 4, 1  B) 1,1  
C) 1,  D) ,1 
E) 1,  
RESOLUCIÓN
3 2
x 1 x x  
3 2
x x x 1 0   
   2 2
x x 1 x 1 0   
   2 2
x x 1 x 1 0   
   2
x 1 x 1 0  
   x 1 x 1 x 1 0   
  
2
x 1 x 1 0  
-+ +-+
- 2 0 2 3-3  
P.C
N
x = 0
x = 3
x = -2
D
-+ +-
- 2 0 3  
- a b 2ab
a b

54. Puntos críticos:
x 1,   
RPTA.: E
196. Resolver:
2
x x 20 0   ………………………….(1)
2
x 6x 9 0   ………………….………(2)
2
x x 2 0   ………..……….………..(3)
A) x 4  B) x 5
C) x 4   D) solución
E) 4 x 5;x 3   
RESOLUCIÓN
De (1):
2
x x 20 0  
x - 5
x + 4
  x 5 x 4 0  
5 - 4
Por puntos críticos:
De (2):
2
x 6x 9 0  
 
2
x 3 0 
 x 3 
De (3):
2
x x 2 0  
2 1 7
x x 0
4 4
   
2
1 7
x 0
2 4
 
   
 
x
Al interceptar:
 x 4,5 3  
RPTA.: E
197. El conjunto solución de la
inecuación: 2
ax b x c 0  
Es: ;3 6;   Calcule a+b+c.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
RESOLUCIÓN
La solución se deduce de la
inecuación
  x 3 x 6 0  
2
x 9x 18 0  
Con lo cual
2 2
ax bx c x 9x 18     
 a + b + c = 10
RPTA.: C
198. Señale el valor máximo de k en la
inecuación: 2
2x k x 2 3x   de
modo que la desigualdad se
cumpla para todo valor de “x”.
A) 8 B) 7 C) 6
D) 5 E) 4
RESOLUCIÓN
Preparando la inecuación, se
tendría  2
2x k 3 x 2 0   
la condición es : 0  ; es decir
    
2
k 3 4 2 2 0  
 
2 2
k 3 4 0  
  k 3 4 k 3 4 0    
  k 1 k 7 0  
Los puntos críticos son k= -1; k=7
en la recta real
+ +-
-1 1 
 
- ++
- 4 5   
a = 1
b =-9
c =18
+
-1 7   
- +
0
- 4 5
   
3

55. k 1;7 
 maxk 6
RPTA.: C
199. Señale el valor entero que
satisface al sistema.
2
x 5x 24...(1) 
2
x 2x 24...(2) 
A) 3 B) 4 C) 5
D) 7 E) 8
RESOLUCIÓN
1.   2
x 5x 24 0 x 8 x 3 0      
2. 2
x 2x 24 0  
  x 6 x 4 0  
3. Interceptando
 x = 7
RPTA.: D
200. El mayor valor entero negativo
que satisface a la inecuación:
     
2 3
6 4
2
x 1 x 1 x 2
0
x 4x 3
  

 
es:
A) - 4 B) - 5 C) - 2
D) - 3 E) -1
RESOLUCIÓN
Factorizando, se tiene
       
  
2 2 3
3 3 4
x 1 x 1 x 1 x 2
0
x 1 x 3
   

 
 
3
4
x 1 ; se descarta ya que sus
raíces sus complejas.
Factorizando de nuevo.
         
  
2 22 22 2
x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 2
0
x 1 x 3
      

 
se descartan los factores:
2
x x 1  y 2
x x 1  con lo cual
Recta real:
 x 3, 1 1 2;     
RPTA.: C
201. Halle el intervalo solución al
resolver:    
22
x x 1 3x 1 4 2 1 4x      
A)
3
x ;0
5

 

B)
3
x ;0
5
  
C)
3
x ;
5
   D) x 0; 
E)
3
x ; 0;
5
     
RESOLUCIÓN
+
-3 8   
- +
0
+
- 4 6   
- +
0
8   6
     
  
2 2
x 1 x 1 x 2
0
x 1 x 3
  

 
P.C
D
N
x =1
x = - 1
x = 2
x = - 1
x = - 3
1   0
+-- +
2-1-3
-

56.  2 2
x x 2x 1 3x 1 3x 1 2 8x        
2 2
x x 2x 1 3x 1     5x 3 
2x 3x 5x 3 
0 x
3
x
5
 
 x 0;  
RPTA.: D
202. Indicar la suma de aquellos
números enteros que satisfacen la
inecuación:
     
2 1748 4 2
x 5 2x 32 3x x 2 0    
A) 1 B) 0 C) 4
D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
     
2 1748 4 2
x 5 2x 32 3x x 2 0    
X = 5 4
x 16 0  3x 2
“par”   2 2
x 4 x 4 0   x -1
x 2  x 
2
x
3
 
“par”
  
2
x ;1 2;5
3
 
    
 
1 + 2 -2 + 5 = 5
RPTA.: D
203. Halle la suma de los 
, al
resolver la inecuación:
3 2
4 2
16x 35x 51x
0
x x 1
 

 
A) 1 B) 2 C) 5
D) 6 E) 11
RESOLUCIÓN
  4 2 2 2
x x 1 x x 1 x x 1      
3   3  
x 
3 2
16 x 35x 51x 0  
 2
x 16x 35x 51 0  
16 x 51
x - 1
  x 16x 51 x 1 0  
Puntos críticos
x = 0  x = 0
16 x + 51 =0 x =
51
16

x – 1 = 0 x = 1
51
x ; 0;1
16

      

1
RPTA.: A
204. Si: x 5,10  , halle : 32 M-17 N
tal que:
2x 1
N M
3x 2

 

A) 18 B) 16 C) 14
D) 12 E) 10
03
5

+ + - + + +
- 2 2
3

1 2 5
- + - +
051
16

1

57. RESOLUCIÓN
 
2 x 1 2 7
3x 2 3 3 3x 2

 
 
Como: 5 x 10 
 
9 2 7 19
17 3 3 3x 2 32
  


19 9
M ; N
32 17
 
 32M 17N 10 
RPTA.: E
205. Encontrar el número mayor M con
la propiedad de que para todo
x se cumple:
2 1
5 5
M x x 2  
A)
2
3
B)
5
6
C)
9
4

D)
6
5
 E)
2
5
SOLUCIÓN
2 1
5 5
M x x 2  
Haciendo cambio de variable
1
5
y x
2
M y y 2  
 2
y y M 2 0   ; y 
0 
 1 4 M 2 0   
9
M
4
 
 El mayor valor
9
M
4
 
RPTA.: C
SEMANA 11
INECUACIONES, VALOR
ABSOLUTO, INECUACIONES
EXPONENCIALES
206. Halle el conjunto solución de:
4x 3 2 3x  
A)  B)  1 C)
5
7
 
 
 
D)
5
1;
7
 
 
 
E) 0
RESOLUCIÓN
4x 3 2 3x  
2
2 3x 0 3x 2 0 x
3
      

 4x 3 2 3x 4x 3 2 3x       
7x = 5 - 4x+3 = 2-3x
5
x
7
 1 =x
  C.S. 
RPTA.: B
207. Resolver:
4x 7
2x 3
3

 
A)
5
C.S. 1;
8
 
  
 
B)
8
C.S. 1;
5
 
  
 
C)
8
C.S.
5
 
  
 
D)  C.S. 1;3 
E)  C.S. 
RESOLUCIÓN
4x 7
2x 3
3

 
3
2x 3 0 x
2
   

5
7
12
3

58. 4x 7 4x 7
2x 3 2x 3
3 3
 
     
4x-7=6x-9 -4x+7=6x-9
2=2x 16 = 10x
1 = x 1,6= x
8
C.S.
5
 
  
 
RPTA.: C
208. Resolver: 4x 3 2x 1   , e
indicar como respuesta el mayor
de los números enteros que
pertenece a su conjunto solución.
A)
2
3
B)1 C) 2
D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN
4x 3 2x 1  
   4x 3 2x 1 4x 3 2x 1 0      
   6x 4 2x 2 0  
2
x
3
 x = 1
2
x ;1
3
 
 
 
=1
RPTA.: B
209. Al resolver, indicar el menor valor
entero que satisface la
desigualdad: 2 2
4x 3x 1 x 2x 1    
A) 0 B)   C) 1
D) 2 E) -2
RESOLUCIÓN
2 2
4x 3x 1 x 2x 1    
  2 2 2 2
4x 3x 1 x 2x 1 4x 3x 1 x 2x 1 0          
  2 2
5x x 3x 5x 2 0   
   x 5x 1 3x 2 x 1 0   
x = 0
1
x
5

2
x
3
 x = 1
1 2
x 0; ;1
5 3
 
 El menor número entero  
RPTA.: B
210. Halle la suma de los valores
enteros que pertenecen al
complemento del conjunto
solución de la inecuación:
x 2 1
x x 2



A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
x 2 1
x x 2



elevando al
cuadrado y por diferencia de
cuadrados:
x 2 1 x 2 1
0
x x 2 x x 2
    
         
   
2 2
x 4 x x 4 x
0
x x 2 x x 2
      
   
       
  
 
2 2
22
x x 4 x x 4
x x 2
   

C.S. 1 17 1 17 1 17 1 17
, , ,
2 2 2 2
       
      
      
1
6
2
3
1
-+ +
12
3
-+ -
12
3
+ +
1
5
0

59.  Entonces:
{2, 2}
RPTA.: B
211. Si el conjunto solución de la
inecuación 2
x 1 1
x 1x 4x 8


 
tiene
la forma:  
a
; c
b

 

Halle:
a + b + c
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
RESOLUCIÓN
Elevando al cuadrado
2 2
2
x 1 1
x 1x 4x 8
   
       
Luego:
2 2
x 1 1 x 1 1
0
x 1 x 1x 4x 8 x 4x 8
   
          
     
2 2 2 2
2 2
x 2x 1 x 4x 8 x 2x 1 x 4x 8
0
x 4x 8 x 1 x 4x 8 x 1
            
    
           
  
   
2
2 22
2x 7 2x 6x 9
0
x 4x 8 x 1
  

  
  
7
x ; 1
2

  

 a + b + c = 7 + 2+1 = 10
RPTA.: E
212. Si la expresión
4x 7 x 7
E
x
  

se resuelve a una constante, para
x 2,5 ; halle dicha constante.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
4x+7;
7
x
4
 
4x 7 
-4x-7;
7
x
4
 
x-7; x 7
x 7   
7-x; x<7
 para x 2;5
 4x 7 7 x
E 5
x
  
 
RPTA.: E
213. Halle la suma de los valores
enteros que verifican a la
inecuación x 6 x 12 0    
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
RESOLUCIÓN
x 6 0   x 12 0  
x 6  x 12
x= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
RPTA.: D
214. Resuelva la inecuación x 1 x 
A) 0;  B) 1; 
C) ;1  D) 1;1  
E) ;0 
RESOLUCIÓN
x 1 0 x 0   
x 1  x 0
Universo: x 1
Elevando al cuadrado
2
x 1 x 
2
x x 1 0   ; 3  
1 

60. x interceptando
x 1; 
RPTA.: B
215. Indicar el conjunto solución de
x 2 x 5 3   
A) 5;  B) 6;  C) 5;
D) 6; E)  2;5
RESOLUCIÓN
Universo
x 2 0 x 5 0 x 5      
x 5 3 x 2   
Elevando al cuadrado
x 5 9 6 x 2 x 2     
6 x 2 12 
x 2 2 
x 2 4 x 6   
RPTA.: B
216. Indique el conjunto solución de
3 23
x 3x 5x 2 x 1    
A) ;0 B) 0;
C)
1
;
2

 

D)
1
;
2



E)
1
0;
2
 
  
 
RESOLUCIÓN
Elevando al cubo.
3 2 3 2
x 3x 5x 2 x 3x 3x 1      
2x 1
1
x
2

1
x ;
2

  

RPTA.: C
217. Cuántos valores enteros
satisfacen a la inecuación
4 4
1 1
0
x 2 9 x
 
 
A) 31 B) 32 C) 33
D) 34 E) 35
RESOLUCIÓN
1. x – 2 > 0  x > 2
2. 9 – x > 0  x < 9
3. 3; 4; 5; 6; 7; 8.
4. 3 4 5 6 7 8     
RPTA.: C
218. Señale el intervalo en el cual le
satisface la inecuación
2
2x 5
x 5x 6

  
A)
5
2;
2
B) 3;0
C)
5
;4
2
D) 3;6
E)
5
7;
2


RESOLUCIÓN
1. 2
x 5x 6 0   
2
x 5x 6 0  
  x 3 x 2 0  
2. 2x – 5 < 0
5
x
2

3. De …(1) y …(2)
5
x 2;
2

RPTA.: A
219. Al resolver: x 4 3 x 1 4    ,
indicar como respuesta la suma
de sus raíces.
++
0 2 3 

61. A)
9
11
B)
7
8
C)
4
7
D)
2
7
E)
9
4
RESOLUCIÓN
x + 4 = 0  x -1 = 0
x = - 4 x = 1
Cálculo de  
- (x+4) + 3(x-1) = 4
- x – 4 + 3x -3 = 4
2x = 11
x =
11
2
; 4   
x 
Cálculo de  
(x+4) +3 (x-1) = 4
x + 4 + 3x – 3 = 4
4x = 3
3
x 4;1
4
   
3
x
4

Cálculo de ():
(x + 4)  3(x1) = 4
x =
3
2
1  
Luego:
3 3
,
4 2
    
 
 
 

3 3 9
4 2 4
 
RPTA.: E
220. Indicar el menor valor entero
positivo que satisface la
desigualdad:
x 2 x 3
x 1 3 x 2
0,008 0,04
 


A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
RESOLUCIÓN
x 2 x 3
3 2
x 1 x
1 1
25 25
 
 
x 2 x 3
x 1 x1 1
5 5
 
   
   
   
x 2 x 3
x 1 x
 


x 2 x 3
0; x 0;1
x 1 x
 
  

 
 
2 2
x 2x x 4x 3
0
x x 1
   


 
6x 3
0
x x 1



puntos críticos 
1
x ;0;1
2

1
x 0; 1;
2

  

 2
RPTA.: B
221. Al resolver: 2x 1 x 3 1    ,
se obtiene x a;b ;       
según esto, hallar (b+c).
A) 17 B) 16 C) 15
D) 14 E) 13
RESOLUCIÓN
2x 1 x 3 1   
1
2x 1 0 x
2
   
x 3 0 x 3    
 
x 4 3 x 1 4   
-4 1
x ; 4   
x 4;1  
x 1;  
-
+
+ +
-
- ….
….
….



-+-
   0
+
11
2
1
x ;
2

  

..Universo

62.   
22
2x 1 1 x 3   
2x 1 1 2 x 3 x 3     
   
22
x 5 2 x 3  
2
x 10x 25 4x 12   
2
x 14x 13 0  
  x 13 x 1 0  
x = 13 x = 1
1
x ;1 13;
2
 
    
 
b c
 b + c = 1 + 13 =14
RPTA.: D
222. Halle el valor de “x” que satisface
la desigualdad.
 2 4x 7 8 4 x 1
3 64
4 27
   
   
   
   
A) B) C)
9
;
10
 D)
9
;
10
 E)
5
;
2
 
RESOLUCIÓN
 4 x 1
2 4x 7 8 3
3 3
4 4

 
    
          
2 4x 7 8 12x 12
3 3
4 4
  
   
   
   
2 4x 7 8 12x 12   
2 4x 7 12x 4  
4x 7 6x 2  

1
6x 2 0 x
3
   

2 6x 4x 7 6x 2    
2 6x 4x 7 4x 7 6x 2      
9 < 10x -5 < 2x
9
x
10

5
x
2
 

9
C.S.x ;
10
 
RPTA.: B
223. Halle la suma de los valores
enteros positivos que pertenecen
al complemento del conjunto
solución de la inecuación
x 5 x 1x 4 2x
4 2 

A) 6 B) 12 C) 15
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
 2 x 4 2x
x 5 x 1
2 2

 

 2 x 4 2x
x 5 x 1


 
x 4 x
0
x 5 x 1

 
 

  
2 2
x 3x 4 x 5x
0
x 5 x 1
   

 
 
  
2 x 2
0
x 5 x 1


 
C.S. 1;2 5;   
  
C
C.S. 3 4 5 12   
RPTA.: B
5
2

1
3
9
10
13 11
2

+ +
-

-1
2 5