Este documento presenta dos problemas de sistemas de ecuaciones. El primer problema pregunta para qué valores de K el sistema no tendría solución. La resolución muestra que el sistema no tendría solución si K = -1 o K = 6. El segundo problema pide calcular el valor de (a + b) si una de las raíces es 1 + 2i. La resolución muestra que a = 19 y b = 15, por lo que a + b = 34.

1. A) 0
D) 2
SEMANA 9
SISTEMAS DE ECUACIONES
1.
B) 1
E) -2
C) -1
RESOLUCIÓN
¿Qué valores de “K” haría que el
sistema
Para infinitas soluciones:
g  0
K  3 x  2K  3 y  24
K  3 x  K  1 y  8
x  0
no acepte solución?
1 1 1
A) 2
D) 3
B) 1
E) 6
C) - 1
g 
1 -1 2
Como:
a2x  b2 y  c2
a1 b1
c

 1
a2 b2
c2
2 4 a
1 1 1
RESOLUCIÓN
a1x  b1 y  c1
1 -1 1  0  a  4  4   2  8  a  0
1 1 1
 solución
x 
K  3 2K  3

 K  3K  1  2K  3K  3

K 3 K 1
K2  2K  3  2K2  3K  9
=0
b 4 1
0 1 1
1 -1 2
K2  5K  6  0
K
K
1 -1 2
A + 4 + 2b – (- b + 1) = 0
3b = - 3
b=-1
-6
+1
K  6 K  1  0
a x b = -1
K = 6 K = -1
RPTA.: C
Además:
K  3 24

K 3
8
K3
3
K 3
K  3  3K  9
12  2K
6 K

3.
x3  4x2  6x  4  0
A) 1 + i
D) 3 - i
B) 1 - i
E) A y B
C) 3 + i
RESOLUCIÓN
K = -1
RPTA.: C
2.
Señale una raíz de la ecuación:
Divisores
posee infinitas soluciones, indique
a x b.
 1,2, 4
T.I.:
evaluando para x = 2
Examine para que valores de a y
b el sistema:
xyz0
x  y  2z  1
2 x  4 y  az  b
del
1
X=2
-4 +6 -4
2
1
-4 +4
-2 +2
0
Una raíz es x = 2
Las otras raíces se obtienen al
resolver.

2. x2  2x  2  0  x 
RESOLUCIÓN
2  4
2
x1  1  2i
x2  1  2i  S  2 y P  5
RPTA.: E
4.
El
conjunto
ecuación:
solución
K  4 x  K  3 x
es 1; ;  Calcule
3
2
de
 x2  2x  5  0
la
x1  1  2i
3  0
x2  1  2i  S  2 y P  3
el valor de
 x2  2x  3  0
  
Multiplicando:
x
2
A) 1
B) 3
D) 2 3
C) - 3
E) 4 3
 2x

2


 8 x2  2x  15  0
Ecuación resultante:
x2  4 x3  12 x2  16 x  15  0
RESOLUCIÓN
Como una raíz es x = 1
K–4+ K-3-3=0
K=5
La ecuación es: x3  2x2  3  0
Por Ruffini:
1
X=1
1
2
1
3
RPTA.: A
6.
una de sus raíces es

3  5i.
A) x4  4 x2  64  0
B) x4  8 x2  16  0
0 -3
3
3
3 0
C) x4  4 x2  16  0
D) x4  16 x2  64  0
E) x4  16 x2  16  0
3  3 i
3
3
x
 
i;   3
2
2
2
x
Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes racionales si
RESOLUCIÓN
x  3  5i
3  3 i
3
3
 
i;   3
2
2
2
  2 3
Elevando al cuadrado.
x2  3  5  2 15 i
x 2 2  2 5 i
RPTA.: B
5.
Elevando al cuadrado.
Formar la ecuación de cuarto
grado de coeficientes reales; si
dos de sus raíces son: 1  2i y
x4  4x2  4   60
x4  4x2  64  0
1  2 i.
A) x4  4x3  12x2  16x  15  0
B) x4  4x3  12x2  16x  15  0
C) x4  4x3  12x2  16x  15  0
D) x4  4x3  12x2  16x  15  0
E) x4  4x3  12x2  16x  15  0
RPTA.: C
7.
En el polinomio cúbico
P(x)  x3  x  1
Se observa que
P  a  P b  P  c   0
Calcule el valor numérico de

P a3  b3  c3  ab  ac  bc  abc


3. A) - 17
D) - 28
B) - 11
E) - 29
C) - 21
A) nn
D) n2
RESOLUCIÓN
B) n2
E)  n
C) n

2
RESOLUCIÓN
Se cumple que
Obsérvese que:
x3  x  1   x  a  x  b   x  c 
 x  i  x  i  x2  1
 x  2i  x  2i  x2  4
x3  x  1  x3   a  b  c  x2 
  ab  ac  bc  x  abc
.
.
.
a  b  c  0  a3  b3  c3  3abc
ab + ac + bc = + 1
abc = -1  3 abc = - 3
P  3  29

 x  ni  x  ni  x2  n2
T.I  1 2 ... n
P  3  1  1  P  3  27  3  1
T.I  1 4 ... n2
2
RPTA.: E
8.
Calcule el valor de (a + b) en la
ecuación:
2 x4  x3  3 x2  a x  b  0 ; {a;b} 
Si se sabe que una de sus raíces
es: 1 + 2 i
A) 31
D) 38
B) 34
E) 39
T.I 
10.
C) 35
2
2
9.
3
5
a = 19
;
a + b = 34
3
0
2
Señale el valor de “a” en la
ecuación:
si se sabe que la suma de sus
raíces excede al producto de las
mismas en una unidad.
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
Suma=
b
2
6a
; Producto=
2a  7
2a  7
Ecuación:
2
6a

 1 ; operando
2a  7 2a  7
a–4=2a–7
3=a
0
b = 15
RPTA.: B
Halle el término independiente de
una ecuación de grado mínimo de
coeficientes reales, si se sabe que
su conjunto solución es
i;  i; 2i;  2i;.......; ni;  ni
C) 3
RESOLUCIÒN
4 - 10
10 - 25
6 - 15
-5

1
a

2 a  7 x7  2 x6  5x2  a  6  0
x1 = 1 + 2i
x2 = 1 2i  x1.x2 = 2; x1.x1 = 5
 x²  2x + 5 = 0
Por Horner:
2
n
RPTA.: E
RESOLUCIÒN
1

RPTA.: C
11.
No es solución de la ecuación:
10
10



 x  x  1  x  x  1  48 ; es



A) -1
D) 4
B) 2
E) A ó D
C) -5

4. También:
RESOLUCIÓN
10
 z  z2  1  48
x
z  7
10
10
Si: x 
 x
7
 7
x
x
x2  7x  10  0 ; x2  7x  10  0
 1    2 
x
100 b2

 9b2  100 ac
9
ac
RPTA.: C
13.
Resolver: La ecuación
 x  5  x  7  x  4  x  6  504
(x  2) (x  5) = 0 ; (x+2)(x+5) = 0
y halle la suma de los cuadrados
de las raíces negativas.
x=5
ó
x=2
A) 53
D) 62
x=-2
ó
x=-5
Halle
la
relación
entre
coeficientes de la ecuación:
C) 61
RESOLUCIÒN
RPTA.: E
12.
B) 57
E) 64
Multiplicando convenientemente
 x  5 x  4  x  7 x  6   504



2
2
x  x  20 x  x  42  504
los

ax4  b x2  c  0


Haciendo x2  x  z
para que sus raíces reales estén
en progresión aritmética.
z  20 z  42  504
z2  62 z  336  0
z  56 z  6  0
A) 4b2  49 ac
B) 8b2  49 ac
Regresando a la variable original.
C) 9b2  100 ac
x
2
2
D) 16b  100 ac
 x
 x  56  0
ó
 x  56
x = -2
2

 x  8   x  7   x  3  x  2   0
E) 25b2  100 ac
x  7

RESOLUCIÓN
 7
2
  2  53
2
RPTA.: A
     
            3 

(x + 3) (x+)(x)(x3) = 0
x
2
 92
 x
2

 2  0
Equivalencia resultante
b
c
x  10  x  9   x  x2 
a
a
2
b
b
10 2    100  4  2 ...  1 
a
a
b
c
10 2    9  4  ...  2 
a
a
4
2
2
4
4
14.
Resolver:
x3  y3  35
xy 5
2;3
c.s  3;2
c.s  1;2 ; 2;3
c.s  2;3 ; 3;2
c.s  3;2 ; 1;2
A) c.s 
B)
C)
D)
E)

5. RESOLUCIÓN
x3  y3  35 ;
x  y x
2
2
x+ y = 5

 xy  y  35
2


2y
 2y 
Si x 
 5y2  7    17
3
 3 
y  3
x =5–y

5 x2  xy  y2  35
 4   3  0
16.
Resolver:
x2  xy  y2  7
5  y 
2
 y 5  y   y2  7
RPTA.: C
x2  y2  180
1 1 1
 
x y 4
3y2  15y  18  0
y2  5y  6  0
y  3 x  2
y  2 x 3
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores posibles de
“x”
c.s  2;33;2
RPTA.: D
15.
Resolver:
A) 7
D) 4
5y2  7x2  17
5xy  6x2  6
RESOLUCIÓN
C) 28
Haciendo x    v  y    v
  v
2
e indicar como respuesta la suma
de todos los valores de “y”
A) 7
D) -7
B) 8
E) -4
B) 14
E)  1
    v   180
2
2  v2  90
C) 0
xy 1

xy
4
4  v    v     v    v 


RESOLUCIÓN
5y2  7x2  17
5xy  6x2  6
30y2  42x2  102
85 xy  102x2  102
90  2  v2
30y  85xy  60x  0
0  2  4  45
  9  v  3
6y2  17xy  12x2  0
  5  v   65
2
3y
2y
8  2  v2
0  2 2  8  90
2
3y
4
2y
-3x x
3
-4x x
2
3y
 3y 
Si x 
 5 y2  7    17
4
 4 
y  4
9;3;9; 3  5; 65 5; 65 
C.S.  12;66;12 ;  5  65; 5  65 
C.S.;v 

 5 

65    5 
65;  5  65

x  12  6  5 
65

x 8
RPTA.: B

6. 17.
Resolver:
RESOLUCIÓN
x  3xy  2y  3
2
2
Haciendo x2  2x  a
x2  5xy  6y2  15
 a  1
2


Se obtuvo: C.S.=  a;b   c;d ,
x
2
B) 1
E) -2

2
a2  2a  1  4a  8
a2  6a  7  0
según esto halle (a + b + c + d).
A) 0
D) 3

 2 a2
C) 2
 2x

2

x4  4 x3  4x2  6 x2  12 x  7  0
x4  4x³  2x² + 12x  7 = 0
RESOLUCIÓN
x2  3xy  2y2  3 x (-5)

S
5x2  15xy  10y2  15
 a1
4

4
a0
1
RPTA.: E
x2  5 xy  6 y2  15
4x2  10xy  4y2  0
2
19.
2
2 x  5 xy  2y  0
2x
y
 y = - 2x
x
x
2y
 y= 
2
Si x  1  y  2  1; 2
3x  a
4x b
x
 x  x
 x2  5x     6     15
2
 2  2
2
RPTA.: A
Halle la suma de las raíces de la
ecuación:
x  2x  2 x  2x  2  1
2
B) 2
E) 4
C) 3
+
a3  b3
 ab
Luego: 2
a  b2
a3  b3  a3  ab2  a2b  b3
0  ab b  a
Luego a + b + c + d = 0
A) 1
D) -4
C) 5
7=a+b
2x  5x  3x  15(2)
0  30
C.S.  1; 2 ;  1;2 ;
2
B) 6
E) 3
Haciendo:
2
18.
7
RESOLUCIÓN
Si x  1  y  2   1;2

3
A) 7
D) 4
x 1
2
3  x   4  x 
2
2
3  x   4  x 
indicar
como
respuesta
la
diferencia de los cuadrados de sus
raíces.
2
2
Al resolver:
3
Si y = - 2x  x2  3x  2x   2  2x   3
Si y 

 6 x2  2 x  7  0

b  a  0  ab  0
70
3  x   4  x   0
x  3 x  4

C.S.  4;3
 4
2
  3  7
2
RPTA.: A

7. 20.
Halle el valor de “x” , sabiendo
que es un número entero positivo
de:
5x x  34 x3  296
A) 4
D) 16
B) 11
E) 17
C) 31
RESOLUCIÓN
5 x3  34 x3  296


x3  a
5a2  3a  296  0  a  8  a  7, 4
haciendo
4

x3  8
 
x3  23
4
4
4
x3  7, 8

x = 16
RPTA.: D