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1. 1División Polinómica

2. 2División Polinómica
División Polinómica
1. Si Q(x) es el cociente de dividir:
𝑥5+(𝑎+1)𝑥4+(𝑎+𝑏)𝑥3+(𝑏−1)𝑥2+𝑎𝑥+𝑏
𝑥2+𝑎𝑥+𝑏
Calcular Q(3)
A) 35 B) 36 C) 37 D)
38 E) 39
2. Calcular “n + k” si la división:
15𝑥4
+ 41𝑥3
+ 71𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 2𝑘
3𝑥2 + 4𝑥 + 5
es exacta.
A) 70 B) 72 C) 74 D)
76 E) 78
3. Calcular a – b si 𝑅(𝑥) = 6 − 3𝑥, es
el residuo de la división:
10𝑥4
+ 16𝑥3
− 17𝑥2
− 𝑎𝑥 − 𝑏
5𝑥2 − 2𝑥 + 3
A) 12 B) 14 C) -18 D) -
12 E) 15
4. Calcular “m+n+p” si la división:
8𝑥5
+ 4𝑥3
+ 𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝
2𝑥3 + 𝑥2 + 3
Deja como resto: 𝑅(𝑥) = (5𝑥 +
2)(2𝑥 + 3)
A) 55 B) 56 C) 54 D)
53 E) 50
5. Calcular “m” si la división:
21𝑥4
− 41𝑥3
− 23𝑥2
+ 𝑚𝑥 − 16
3𝑥 − 5
deja como resto 4.
A) 56 B) 44 C) 70 D)
67 E) 43
6. Determine el resto de dividir:
(𝑥2
− 𝑥 − 4)2008
+ 2𝑥2
− 2𝑥 + 1
𝑥2 − 𝑥 − 3
A) 4 B) 15 C) -3 D) 8
E) 14
7. Proporcionar el residuo de dividir:
𝑥7(𝑥 − 2)7
+ 2𝑥2
− 4𝑥 + 7
𝑥2 − 2𝑥 − 1
A) 12 B) 11 C) 10 D)
9 E) 8
8. Determine el residuo de dividir:
(𝑥 − 2)2005
+ (𝑥 − 3)2007
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
A) 2x B) 2x+1 C) x D)
12 E) 2x-5
NIVEL I

3. 3División Polinómica
9. A partir de la división
5𝑥401
− 2𝑥400
+ 𝑥399
+ 6𝑥2
+ 5𝑥 + 11
𝑥 − 1
Calcular la suma de coeficientes de
su cociente
A) 1621 B) 1200 C) 1134 D)
1243 E) 1567
10. Determine el residuo de dividir:
𝑥21
+ 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
11. ¿Qué relación debe existir entre “n”
y “k” de modo que la división:
𝑥5
− (𝑛2
+ 2𝑚)𝑥3
+ 𝑛3
𝑥 + (𝑘 − 2𝑚3)
𝑥2 + 𝑛𝑥 − 𝑚
es exacta?
A) 𝑘2
= 2𝑛9
B) 𝑛2
= 4𝑘9
C) 𝑛2
= 𝑘3
D) 𝑘2
= 4𝑛9
E) 𝑛𝑘2
= 9
12. Mostrar el residuo de dividir:
(𝑥 − 3)2004
+ (𝑥 − 4)2005
+ 6
(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)
A) 2x-1 B) 2x+1 C) 4x-1 D) 0
E) 2x+3
13. Si el residuo de la división:
(𝑥 + 1)9
+ 𝑎𝑥2
+ 𝑏
𝑥2 + 2𝑥 + 1
es 6x + 25. Calcular la suma de
coeficientes del cociente entero.
A) 250 B) 245 C) 242 D)
237 E) 235
14. Si la división:
𝑛3
𝑥5
+ 7𝑛𝑥3
+ (𝑛2
− 6)𝑥2
+ 𝑛(𝑛 − 1)
𝑛𝑥 + 2
es exacta, calcular la suma de los
coeficientes de su cociente.
A) 0 B) 9 C) 4 D) -4
E) -9
15. Si al dividir:
16𝑥2
+ 2𝑥 + 1
−2𝑥 − 1
se obtiene por cociente a:
(
𝑚
3
− 1) 𝑥3
+ (
𝑛
4
− 2) 𝑥2
+ (𝑝 − 3)𝑥
+ (
𝑞
6
− 4)
Calcular el valor de:
A) 58 B) 48 C) 28 D)
51 E) 56
16. Indicar el residuo de dividir:
2𝑥4
+ 3√2𝑥3
− 12𝑥2
+ 3√2𝑥 − 2
𝑥 − √2
A) √2 B) 2√2 C) 0 D) -
2 E) -√2

4. 4División Polinómica
17. Calcular el valor de “m” en el
polinomio:
𝑃(𝑥) ≡ 𝑥4
− 2𝑥3
+ 𝑚𝑥 − 3
Sabiendo que al dividir entre (x + 1)
el residuo que se obtiene es el triple
del residuo obtenido al dividirlo por
(x – 1).
A) 1 B) -1 C) 3 D) -
3 E) 6
18. Halle el resto de dividir:
𝑥23
− 3𝑥21
+ 2𝑥15
+ 𝑥3
+ 4
𝑥5 − 2
A) 2𝑥2
− 5𝑥 + 11 B) 𝑥3
−
17𝑥 − 20
C) 17𝑥3
− 48𝑥 + 20 D) 𝑥3
− 1
E) 2𝑥2
− 6𝑥 + 11
19. Proporcionar el residuo de dividir:
(𝑥 + 2)(𝑥 + 5)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) − 17
𝑥2 + 7𝑥 + 1
A) 78 B) 80 C) 82 D) x –
1 E) x + 1
20. Al dividir un polinomio P(x) entre el
producto:
[( 𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)]
el resto obtenido es: 𝑥2
− 5𝑥 + 1.
¿Cuáles son los restos que se
obtienen al dividir separadamente
P(x) por (x + 1); (x – 2) y (x + 3)
respectivamente?
A) 7; -3 y 12 B) 14; 13 y -5
C) 7; -13 y 15
D) 7; -5 y 15 E) 7; -5 y 25
21. Al dividir un polinomio P(x) entre los
binomios (x – 4) y (x – 2) se obtienen
como residuos 9 y 5
respectivamente. ¿Cuál es el
residuo de dividir:
𝑃(𝑥) ÷ [( 𝑥 − 4)(𝑥 − 2)]?
A) 2x – 1 B) 2x + 1 C)
x – 1
D) 3x + 1 E) x + 1
22. Al efectuar la división de dos
polinomios enteros en “x”, el
producto de los términos
independientes del divisor y el
cociente es 8, la diferencia de los
cuadrados de los términos
independientes del dividendo y
resto es 24, luego la suma de los
términos independientes del
dividendo y resto es:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
E) 16
23. Indicar el residuo de dividir:
𝑥25𝑛
+ 𝑥24𝑛
+ 𝑥23𝑛
+ 1
𝑥2 𝑛
+ 1
𝑛 ∈ ℕ/ 𝑛 ≥ 2008
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
E) 4
24. Al dividir 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥3
+ 𝑎3) se
obtiene por resto 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑎.
NIVEL II

5. 5División Polinómica
Calcule el resto de dividir P(x) entre
(x + a)
A) a + b B) 𝑎(𝑎2
− 𝑏 + 1)
C) a - b
D) 𝑎2
− 𝑏 E) b – a
25. Encuentre un polinomio de variable
x, de grado 3 y de coeficientes
enteros, tal que al dividirlos por
(x – 1)(x + 2) y por (x – 4), se obtenga
el mismo resto 10 y que se anule
para x=-1.
A) 𝑥3
+ 3𝑥2
− 6𝑥 + 2 B) −𝑥3
−
3𝑥2
− 6𝑥
C) 𝑥3
− 3𝑥2
− 6𝑥 − 2 D) −𝑥3
−
3𝑥2
− 6𝑥 + 2
E) 𝑥3
− 3𝑥2
+ 6𝑥 − 2
26. Halle m y n si la división:
(𝑥2−𝑥+2)5−𝑚(𝑥−2)4(𝑥+1)4+𝑛𝑥3(𝑥−1)3
𝑥3+1
es exacta, dé como respuesta 81m +
n
A) 1 B) -1 C) 12 D) -4
E) -10
27. Dada la división exacta
𝑥4
− 𝑎𝑥 + 𝑎
(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 𝑛)(𝑥 − 𝑝)(𝑥 − 𝑞)
¿Cuál es el residuo de
𝑥4−𝑎𝑥+𝑎
𝑥−
1
𝑚
−
1
𝑛
−
1
𝑝
−
1
𝑞
?
A) 2 B) -4 C) 13 D) 1
E) -1
28. Si se verifica la identidad
∑ 𝑎 𝑘(𝑥 − 1)25−𝑘
25
𝑘=0
= 4𝑥25
− 3𝑥 + 2
Halle el cociente de 𝑎24
A) 24 B) 23 C) -97 D) 1200
E) 96
29. Cuando se divide el polinomio P(x)
entre (𝑥 + 2)3
arroja un residuo
igual a 2𝑥2
+ 7𝑥 − 3. Si al dividirlo
por x + 2 el resto es R1(x) y (𝑥 + 2)2
es R2(x). calcule 𝑅1(𝑥) + 𝑅2(𝑥).
A) – x – 4 B) 0 C)
– x – 11 D) – x E) –
x – 20
30. Si la suma de coeficientes de la
división exacta es 3:
−𝑐𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑎𝑥2
− 6𝑥 + 9
−2𝑥2 + 𝑥 + 3
Calcule 𝑎2
− (𝑏 − 𝑐)2
A) -7 B) -3 C) 41 D) 49
E) -9
31. Halle el resto de dividir P(x) por (x –
2) si al dividir P(x) por (𝑥 − 2)12
el
resto es 4𝑥2
− 𝑥 − 1
A) 14 B) 15 C) 11 D) 12
E) 13

6. 6División Polinómica
32. El valor de c que verifica si el
polinomio
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛
+ 𝑏𝑥 𝑛−1
− 𝑐𝑥 + 1
es divisible por (𝑥 − 1)3
es:
A)
𝑛
2−𝑛
B)
𝑛−1
𝑛
C)
𝑛
𝑛−2
D) n
E)
𝑛
𝑛−1
33. Indique el residuo de la división:
(𝑥 − 1)(𝑥2
+ 1)(𝑥4
+ 1)(𝑥8
+ 1) … (𝑥64
+ 1)
𝑥2 − 𝑥 + 1
A) x + 1 B) 1 – x C)
x – 1
D) 0 E) – 1
34. Si el resto de la división:
(𝑥 − 3)11
+ (𝑥 − 4)3
(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)
tiene la forma 𝛼𝑥 + 𝛽, calcule 𝛼𝛽.
A) 7 B) 14 C) -20 D) -7
E) -14
35. Encuentre el residuo de la división
(𝑥 + 2)4(𝑥 + 6)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 2)3(𝑥 + 3)
A) −18(𝑥 + 2)3
B)
−27(𝑥 + 2)3
C) -18
D) 18(𝑥 + 2)3
E) 27
36. Al dividir P(x) entre 𝑥2
+ 𝑥 + 1 se
obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir
entre (𝑥2
− 𝑥 + 1) el resto es x – 1,
calcule el residuo de P(x) entre 𝑥4
+
𝑥2
+ 1.
A) −𝑥 + 1 B) 𝑥3
+ 𝑥
C) 𝑥3
− 𝑥
D) 𝑥3
E) x
37. Calcule
𝑎
𝑏
si luego de dividir
(𝑎−𝑏)𝑥 𝑛+(𝑎−𝑏)2 𝑥 𝑛−1+(𝑎−𝑏)3 𝑥 𝑛−2+⋯+(𝑎−𝑏) 𝑛+1
𝑥−𝑎+𝑏
el resto es (𝑛 + 1)(4𝑏) 𝑛+1
, 𝑛 ∈
ℤ+
, 𝑎 ≠ 𝑏
A) 7 B) 11 C) 1 D)
3 E) 5
38. Al dividir P(x) entre 𝑥2
− 3 el
cociente es q(x) y el resto (5x – 2),
cuando dividimos q(x) entre (x + 3)
el residuo es -2. Calcule el residuo de
dividir P(x) entre (𝑥2
− 3)(𝑥 + 3).
A) 0 B) 𝑥2
−
5𝑥 + 4
C) 𝑥2
− 5𝑥 − 4 D) −2𝑥2
−
5𝑥 − 4
E) −2𝑥2
+ 5𝑥 + 4
39. Cuando se divide (𝑃(𝑥) − 2𝑥 + 1)
entonces (𝑥2
− 10𝑥 + 25), el resto
es (3x – 15), y al dividir (𝑃(𝑥) + 𝑥 +
1) entre (𝑥2
+ 5𝑥 + 25), el residuo
es (x + 10). Calcule el resto de dividir
P(x) entre (𝑥3
− 125).
A) 7 B) 2 C) 16 D)
9 E) 4
40. Halle el residuo en la división:
(𝑥8
+ 16)4
+ 𝑥13
+ 4𝑥4
− 10242
𝑥2 − 2𝑥 + 2

7. 7División Polinómica
A) – 64x – 16 B) 0 C) - 2
D) – 64x – 64 E) 25
ESCUELA DE TALENTOS CALLAO
Mat. Aldo Huayanay Flores
Publicado en Mayo