En ese artículo se muestra las leyes físicas de la termodinámica, usando partes didácticas

1. Grupo de investigación GAMASCO
Universidad de Córdoba
Montería, marzo 2023
Docente: Dr. César Ortega López
Estado Sólido

2. Estado Sólido
PRIMER CORTE. Estructura cristalina. Red reciproca. Difracción de rayos X.
Clasificación de las Redes de Bravais y Estructuras cristalinas.
Redes de Bravais. Celda Primitiva. Celda Convencional. Celda de Wigner-Seitz,
Algunas estructuras cristalinas.
Red recíproca. Primera Zona de Brillouin. Índices de Miller.
Clasificación de las Redes de Bravais y Estructuras cristalinas: la clasificación de las
redes de Bravais. Los grupos puntuales y grupos espaciales cristalográficos. Tipos
de simetrías en los grupos puntuales. Nomenclatura en los grupos puntuales. Los
230 grupos espaciales

3. Estado Sólido
SEGUNDO CORTE. Enlaces químicos en Sólidos. Defectos e impurezas (puntuales)
en un cristal . Niveles electrónicos en un potencial periódico:
Enlaces químicos: enlace covalente. Enlace iónico. Enlace metálico. Enlace van der
Waals.
Defectos e impurezas puntuales: intrínsecos y extrínsecos. Defectos puntuales
Intrínsecos: Vacancias. Átomos auto intersticiales. Defectos Schootky. Defectos
Frenkel. Defectos anti sitios. Defectos Stone-Wales. Defectos Thrower-Stone-Wales.
Defectos Thrower-Stone-Wales inverso. Defectos puntuales extrínsecos:
Sustitución atómica, Átomos de impurezas intersticiales.
Niveles electrónicos en un potencial periódico: El potencial periódico. Teorema de
Bloch’s. Condición de frontera Born-Von Karman. Superficie de Fermi. Densidad
de niveles.

4. Estado Sólido
TERCER CORTE. Dinámica de átomos en cristales. Propiedades térmicas de
estructuras cristalinas. Gas de Fermi de electrones libres. Bandas de energía.
Magnetismo en Materiales
Dinámica de átomos en cristales: vibraciones en cristales monoatómicos y
poliatómicos. Cuantización de las vibraciones: fonones. Polaritones. Dispersión
inelástica de fonones.
Propiedades térmicas de estructuras cristalinas: densidad de estados. Energía
térmica de un oscilador armónico. Efectos debidos a la anarmonicidad. Expansión
térmica. Conducción del calor por fonones.
Bandas de energía
Magnetismo: Ferromagnetismo. Anti-ferromagnetismo. Ferri-magnetismo. Anti-
ferrimagnetismo.

5. Estado Sólido
Red de Bravais
Existen dos definiciones equivalentes de una red de Bravais.
a) Una red es un arreglo discretos, periódico e infinito de puntos en el espacio. Si
la disposición y orientación de los puntos parece exactamente la misma,
independientemente desde cualquiera de los puntos que se observe el arreglo,
se denomina red de Bravais.
b) Una red de Bravais (tridimensional) consiste de todos los puntos con vectores de
posición R de la forma:
𝑹 = 𝑛1𝒂𝟏 + 𝑛2𝒂𝟐 + 𝑛3𝒂𝟑 (1)
donde 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑 son tres vectores cualesquiera no coplanares y 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 son
enteros.
Los tres vectores 𝒂𝒊 que aparecen en la definición b) de una red de Bravais se
denominan vectores primitivos y se dice que generan o expanden la red.

6. Estado Sólido
Observaciones:
La red de Bravais, especifica el arreglo periódica en que se disponen las unidades
que se repiten del cristal.
Las unidades (o motivos) que se repiten del cristal, pueden ser átomos individuales,
grupos de átomos, moléculas, iones, etc.
La red de Bravais define solo la geometría de la estructura periódica,
independientemente de cuáles sean los motivos o las unidades reales.

7. Estado Sólido
Ejemplos:
La figura 4.1 muestra una porción bidimensional de una red de Bravais.
Claramente la definición a) se satisface y los vectores 𝒂𝟏 y 𝒂𝟐 requeridos por la
definición b) se indican en la figura:

8. Estado Sólido
La figura 4.2 muestra una red de Bravais tridimensional cúbica simple. Esta debe su
estructura espacial al hecho que se puede generar por tres vectores primitivos
mutuamente perpendiculares.

9. Estado Sólido
Otras ilustraciones y ejemplos importantes
De las dos definiciones de una red de Bravais, la definición b) es matemáticamente
la más precisa y es el punto de partida para cualquier trabajo analítico.
Para cualquier red de Bravais dada, el conjunto de vectores primitivos no es único
(ver figura 4.4).
La figura 4.4 muestra varias escogencias de para de vectores primitivos para una
red de Bravais bidimensional.

10. Estado Sólido
Red cubica simple
La red cúbica simple (sc) se genera mediante vectores primitivos
𝒂𝟏=a𝑥; 𝒂𝟐=a𝑦 ; 𝒂𝟑=a𝑧 (2)
donde 𝑥 ; 𝑦 y 𝑧 son tres vectores unitarios ortogonales

11. Estado Sólido
Red cúbica centrada en el cuerpo
La red cúbica centrada en el cuerpo (bcc), se forma al agregar a la red cúbica simple
un punto adicional en el centro del cubo

12. Estado Sólido
Un conjunto de vectores primitivos para red bcc podría ser:
𝒂𝟏=a𝑥; 𝒂𝟐=a𝑦 ; 𝒂𝟑=
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) (3)

13. Estado Sólido
Un conjunto de vectores primitivos más simétrico para la red bcc sería:
𝒂𝟏=
𝑎
2
(𝑦 + 𝑧 − 𝑥) ; 𝒂𝟐=
𝑎
2
(𝑥 + 𝑧 − 𝑦) y 𝒂𝟑=
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) (4)

14. Estado Sólido

15. Estado Sólido
Red cúbica centrada en las caras
La red cúbica centrada en las caras (fcc), se forma agregando a red sc un punto
adicional en el centro de cada cara del cubo.

16. Estado Sólido
• Un conjunto de vectores primitivos simétrico para la red fcc podría ser:
𝒂𝟏=
𝑎
2
(𝑦 + 𝑧) ; 𝒂𝟐=
𝑎
2
(𝑥 + 𝑧) y 𝒂𝟑=
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦) (5)

17. Estado Sólido

18. Estado Sólido
Número de coordinación
Los puntos en una red Bravais que están más cerca de un punto dado, se llaman sus
vecinos más cercanos o primeros vecinos.
Debido a la naturaleza periódica de la red Bravais, cada punto tiene el mismo
número de primeros vecinos.
Este número es, por lo tanto, una propiedad de la red, y se conoce como el número
de coordinación de la red.
Una red cúbica simple (sc) tiene número de coordinación 6; una red cúbica
centrada en el cuerpo (bcc) tiene número de coordinación 8; una red cúbica
centrada en las caras (fcc) tiene número de coordinación 12.

19. Estado Sólido
• La celda primitiva de la red es cierto volumen del espacio, que cuando se traslada
a través de todos los vectores de una red de Bravais , el espacio se llena
completamente sin solaparse o dejar huecos.
• No existe una única manera de escoger una celda primitiva para una red de
Bravais dada.
• En la figura 4.10, se ilustran varias posibles escogencias de la celda primitiva para
una red de Bravais bidimensional.
S

20. Estado Sólido

21. Estado Sólido
• Una celda primitiva debe contener precisamente un punto de la red.
• La celda primitiva obvia asociada a un conjunto particular de vectores primitivos
𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 y 𝒂𝟑 , es el conjunto de todos los puntos r de la forma:
𝒓 = 𝑥1𝒂𝟏 + 𝑥2𝒂𝟏 + 𝑥3𝒂𝟑 (5)
donde 0 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 1 𝑖 = 1,2,3 ; es decir, es el paralelepípedo extendido por los
vectores 𝒂𝟏 ; 𝒂𝟐 y 𝒂𝟑.
Esta escogencia tiene la desventaja de no mostrar la simetría completa de la red de
Bravais.

22. Estado Sólido
• Por ejemplo (en figura 4.12), la celda unitaria (4.6) para la escogencia de los
vectores (4.5) de la red de Bravais fcc es un paralelepípedo oblicuo, la cual no
tiene la simetría cúbica completa de la red en la que está incrustada.
S

23. Estado Sólido
• Es importante trabajar con celdas que tengan la simetría completa de la red de
Bravais.
Celda convencional
Es posible llenar todo el espacio con celdas unitarias no primitivas, llamadas celdas
unitarias convencionales o simplemente como celdas convencionales.
Una celda unitaria es una región que justo llena todo el espacio sin superponerse
cuando es traslada a través de algún subconjunto de vectores de la red de Bravais.
La celda convencional generalmente se escoge mas grande que la celda primitiva y
tiene la simetría completa de la red.

24. Estado Sólido
Frecuentemente se describe la red bcc en términos de una celda convencional
cúbica (figura 4.13) que es dos veces más grande que una celda primitiva bcc, y la
red fcc en términos de una celda convencional cúbica (figura 4.12) que tiene
cuatro veces el volumen de una celda primitiva fcc.
Los números que especifican el tamaño de una celda unitaria se llaman constantes
de red.

25. Estado Sólido
Celda de Wigner-Seitz
• Definición: la celda de Wigner-Seitz alrededor de un punto de la red es la región
del espacio que está más cerca a ese punto que cualquier otro punto de la red.
• La celda de Wigner-Seitz, cuenta con la simetría completa de la red de Bravais.
• La celda de Wigner-Seitz, cuando es trasladada a través de todos los vectores de
la red, simplemente llenará el espacio sin superponerse, esto es, la celda de
Wigner-Seitz es una celda primitiva.
• La celda de Wigner-Seitz será tan simétrica como la red de Bravais.
• La celda unitaria de Wigner-Seitz se ilustra para una red de Bravais bidimensional
(en la figura 4.14) y para la red de Bravais bcc y fcc (figuras 4.15 y figuras 4.16).

26. Estado Sólido
La celda unitaria de Wigner-Seitz se ilustra para una red de Bravais bidimensional
en la figura 4. 14 y para la red de Bravais tridimensional bcc y fcc (figuras 4.15 y
4.16).

27. Estado Sólido
La celda unitaria de Wigner-Seitz se ilustra para una red de Bravais tridimensional
bcc.

28. Estado Sólido
La celda unitaria de Wigner-Seitz se ilustra para una red de Bravais tridimensional
fcc.

29. Estado Sólido
Estructura cristalina=Red+Base
• Un cristal físico se puede describir por una red de Bravais dada, junto con una
descripción de la disposición de los átomos, moléculas, iones, etc., con una celda
primitiva particular.
• Al enfatizar la diferencia entre el patrón abstracto de puntos que componen la
red de Bravais y un cristal físico real que incorpora la red, se utiliza el término
técnico estructura cristalina.
• La estructura cristalina consiste de copias idénticas de la misma unidad física,
llamada la base, localizada en todos los puntos de la red.
• A veces se usa el término red con una base en vez del término estructura
cristalina.

30. Estado Sólido
• Sin embargo, red con una base, también se usa en un sentido más general para
referirse a los resultados incluso cuando la unidad básica no es un objeto u
objetos físicos, sino otro conjunto de puntos.
• Por ejemplo, los vértices de una red hexagonal bidimensional, aunque no es una
red de Bravais puede ser representado por una red de Bravais triangular
bidimensional con una base de dos puntos(ver figura 4.17).
S

31. Estado Sólido
• Una estructura cristalina con una base que consiste de un átomo o ion simple se
llama red de Bravais monoatómica.
• También se puede describir una red de Bravais como una red con una base
eligiendo una celda unitaria convencional no primitiva.
• Esto a menudo se hace para enfatizar la simetría cúbica de la red Bravais bcc y fcc,
que luego se describen respectivamente, como redes cúbicas simples expandidas
por
𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧
Con una base de dos puntos
0,
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) (bcc) (4.7)

32. Estado Sólido
o una base de cuatro puntos
0,
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦);
𝑎
2
(𝑦 + 𝑧 );
𝑎
2
(𝑧 + 𝑥) (fcc) (4.8)
Estructuras Cristalinas y Redes con Bases
• Estructura diamante
• Estructura hexagonal de empaquetamiento compacto
• Estructura cloruro de sodio
• Estructura cloruro de cesio
• Estructura zinc blenda

33. Estado Sólido
• Estructura diamante
La red diamante (formada por átomos de carbono en una estructura diamante)
consiste de dos redes de Bravais cúbicas centradas en las caras interpenetradas,
desplazadas a lo largo del cuerpo de la diagonal de la celda cúbica por un cuarto de
la longitud de la diagonal.
• Esta se puede considerar como una red cúbica centrada en las caras con una base
de dos puntos en
0;
𝑎
4
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)
• El número de coordinación es 4 (ver figura 4.18)

34. Estado Sólido

35. Estado Sólido
• La red diamante no es una red de Bravais; porque el entorno de cualquier punto
difiere en orientación del entorno de sus primeros vecinos.
• Los elementos que cristalizan en la estructura diamante se presentan en la tabla
4.3.
S

36. Estado Sólido
Estructura zinc-blenda (ZnS)
La zinc-blenda tiene igual número iones de zinc y azufre sobre una red diamante,
de manera que cada ion tiene 4 iones del tipo opuesto como primeros vecinos.

37. Estado Sólido

38. Estado Sólido
• Estructura hexagonal de empaquetamiento compacto (hcp)
Aunque no es una red de Bravais, la estructura hcp clasifica en importancia con la
red de Bravais bcc y la red de Bravais fcc
• Cerca de 30 elementos cristalizan en forma hcp (ver tabla 4.4).

39. Estado Sólido
La estructura hcp es una red de Bravais hexagonal simple, dada por un montón de
redes triangulares bidimensionales directamente una encima de otra (ver figura
4.19)

40. Estado Sólido
• La dirección del apilado (𝒂𝟑) se conoce como el eje 𝑧.
• Los tres vectores primitivos, son:
𝒂𝟏=a𝑥; 𝒂𝟐=
𝑎
2
𝑥 +
3𝑎
2
𝑦 ; 𝒂𝟑=c𝑧 (4.9)
Los dos primeros generan una red triangular en el plano 𝑥𝑦, y el tercero apila los
planos una distancia 𝑐 uno encima del otro.
La estructura hcp consiste de dos redes de Bravais hexagonales simples
interpenetradas, desplazadas una de la otra por
𝒂𝟏
3
+
𝒂𝟐
3
+
𝒂𝟑
2

41. Estado Sólido
En una estructura hcp el valor para la razón 𝑐
𝑎 =
8
3
= 1.6329…≈1.63

42. Estado Sólido
Estructura cloruro de sodio (NaCl)
El cloruro de sodio (figura 4.24) consiste de igual número iones de cloro y sodio
colocados en puntos alternantes de una red cúbica simple de tal manera que
cada ion tiene 6 primeros vecinos del otro tipo de iones.

43. Estado Sólido
El NaCl se puede describir como una red de Bravais cúbica centrada en las caras
con una base que consiste de un ion de sodio (Na) en 0 y un ion cloro (Cl) en el
centro de la celda cúbica convencional
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) .

44. Estado Sólido

45. Estado Sólido
Estructura cloruro de cesio (CeCl)
El cloruro de sodio (figura 4.25) consiste de igual número iones de cesio y cloro,
colocados en puntos de una red cúbica simple centrada en el cuerpo de manera
que tales iones tienen 8 iones del otro tipo como sus primeros vecinos.
La simetría traslacional de esta estructura es la de una red de Bravais cúbica
simple y se describe como una red cúbica simple con una base consistente de un
ion de cesio en 0 y un ion de cloro en el centro del cubo
𝑎
2
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

46. Estado Sólido
S

47. Estado Sólido
La red recíproca:
- Considere un conjunto de puntos R que constituyen una red de Bavais y una onda
plana, 𝑒𝑖𝑘.𝑟.
- Para todo k, una onda plana de este tipo, no tendrá la periodicidad de la red de
Bravais, pero para ciertos valores especiales del vector de onda sí lo tendrá.
• El conjunto de todos los vectores de onda K que producen ondas planas con la
periodicidad de una red de Bravais dada, se conoce como red recíproca.
• Analíticamente, K pertenece a la red recíproca de una red Bravais de puntos R,
siempre que la relación
𝑒𝑖𝐾.(𝑟+𝑅)
= 𝑒𝑖𝐾.𝑟
(5.1)
se satisface para cualquier r, y para todos los R en la red Bravais.

48. Estado Sólido
• Factorizando 𝑒𝑖𝐾.𝑅, podemos caracterizar la red reciproca como el conjunto de
vectores K que satisfacen
𝑒𝑖𝐾.𝑅 = 1 (5.2)
para cualquier R en la red de Bravais.
La red recíproca está definida con referencia a una red de Bravais particular.
La red de Bravais que determina una red recíproca dada, es a menudo referida
como la red directa cundo se ve en relación con su reciproca.
Aunque se podría definir un conjunto 𝐾 que satisfaga (5.2), para un conjunto
arbitrario de vectores R, dicho conjunto de 𝐾 se denomina red recíproca solo si el
conjunto de vectores R es una red Bravais.
La red recíproca es una red de Bravais.

49. Estado Sólido
• La red reciproca es una red de Bravais, se cumple, si se da la definición de la
ecuación (1), junto con el hecho de que si 𝐾𝑖satisfacen (5.2).
• Cómo obtener o construir una red recíproca?:
• Sean 𝒂𝟏, 𝒂𝟐 y 𝒂𝟑 un conjunto de vectores primitivos para la red directa.
• Entonces la red recíproca puede ser generada por los tres vectores primitivos:
𝒃𝟏 = 2𝜋
𝒂𝟐𝑥𝒂𝟑
𝒂𝟏. (𝒂𝟐𝑥𝒂𝟑)
𝒃𝟐 = 2𝜋
𝒂𝟑𝑥𝒂𝟏
𝒂𝟏.(𝒂𝟐𝑥𝒂𝟑)
(5.3)
𝒃𝟑 = 2𝜋
𝒂𝟏𝑥𝒂𝟐
𝒂𝟏. (𝒂𝟐𝑥𝒂𝟑)

50. Estado Sólido
• Para verificar que (5.3) da un conjunto de vectores primitivos para la red
recíproca, primero se observa que los 𝒃𝒊 satisfacen
𝒃𝒊.𝒂𝒋 = 2𝜋 δ𝑖𝑗 (5.4)
donde δ𝑖𝑗 es el símbolo de la delta de Kronecker:
δ𝑖𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗
(5.5)
δ𝑖𝑗 = 1 , 𝑖 = 𝑗
Ahora cualquier vector 𝒌 se puede escribir como una combinación lineal de los 𝒃𝒊:
𝒌 = 𝑘1𝒃𝟏 + 𝑘2𝒃𝟐 + 𝑘3𝒃𝟑 (5.6)

51. Estado Sólido
Si 𝑹 es cualquier vector de la red directa, entonces:
R= 𝑛1𝒂𝟏 + 𝑛2𝒂𝟐 + 𝑛3𝒂𝟑 (5.7)
donde los 𝑛𝑖 son enteros.
Se sigue de (5.4) que
𝒌. 𝑹 = 2𝜋(𝑘1𝑛1 + 𝑘2𝑛2 + 𝑘3𝑛3) (5.8)
Para que 𝑒𝑖𝐾.𝑅
= 1, para todo 𝑹 (ecuación 5.2), 𝒌. 𝑹 debe ser 2𝜋 veces un entero,
para cualquier escogencia de los enteros 𝑛𝑖.
Esto requiere que los coeficientes 𝑘𝑖 sea enteros.

52. Estado Sólido
Por lo tanto, la condición (5.2) de que 𝒌 sea un vector de la red recíproca se
cumple, solo con aquellos vectores que son combinaciones lineales de los 𝒃𝒊 con
coeficientes enteros (ecuación 5.6).
Así la red recíproca es una red de Bravais y los 𝒃𝒊 se pueden tomar como vectores
primitivos (compárese con la ecuación 1).
- La red reciproca de la red recíproca:
Como la red recíproca es en sí misma una red Bravais, se puede construir su red
recíproca. Esto resulta ser nada más que la red directa original.
La red recíproca de una red recíproca es nada menos que su red directa original.
Ejercicio: demostrar

53. La red recíproca
Ejemplos importantes
La red de Bravais cúbica simple, con celda con una celda primitiva de lado 𝑎, tiene
como su recíproca a una red cúbica simple con celda primitiva de lado2𝜋
𝑎.
Esto se puede ver, por ejemplo, de construcción (5.3), por sí
𝒂𝟏=a𝑥; 𝒂𝟐=a𝑦 ; 𝒂𝟑=a𝑧 (5.10)
entonces
𝒃𝟏=
2𝜋
𝒂
𝑥 ; 𝒃𝟐=
2𝜋
𝒂
𝑦 ; 𝒃𝟑=
2𝜋
𝒂
𝑧 (5.11)

54. Estado Sólido
La red de Bravais cúbica centrada en las caras, con celda convencional de lado 𝑎,
tiene como su recíproca a una red cúbica centrada en el cuerpo con celda
convencional de lado4𝜋
𝑎.
Esto se puede ver aplicando la construcción (5.3) a los vectores primitivos fcc (4.5).
El resultado es:
𝒃𝟏=
4𝜋
𝒂
1
2
(𝑦 + 𝑧 − 𝑥); 𝒃𝟐=
4𝜋
𝒂
1
2
(𝑥 + 𝑧 − 𝑦); 𝒃𝟑=
4𝜋
𝒂
1
2
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) (5.12)
Esto tiene precisamente la forma de los vectores primitivos bcc (4.4), siempre que
se considere que el lado de la celda cúbica es 𝟒𝝅
𝒂

55. Estado Sólido
La red de cúbica centrada en el cuerpo, con celda cúbica convencional de lado 𝑎,
tiene como su recíproca a una red cúbica centrada en las caras con celda
convencional de lado 𝟒𝝅
𝒂.
Esto se puede demostrar nuevamente a partir de la construcción (5.3), pero
también se deduce del resultado anterior para el recíproco de la red fcc, junto con
el teorema de que el recíproco del recíproco es la red original.
Se deja como un ejercicio para el lector verificar que la recíproca de una de una red
de Bravais hexagonal simple con constantes de red 𝑎 y 𝑐 es otra red hexagonal
simple con contantes de red 𝟐𝝅
𝒄 y
𝟒𝝅
𝟑𝒂
rotada 300 a través del eje 𝑐 con respecto a
la red directa.

56. Estado Sólido
Primera zona de Brillouin
La celda primitiva de Wigner-Seitz de la red recíproca se conoce como la primera
zona de Brillouin.
También se definen zonas de Brillouin más altas, segunda, tercera, etc., que son
celdas primitivas de un tipo diferente que surgen en teoría de niveles electrónicos
en un potencial periódico.
Aunque los términos celda de Wigner-Seitz y primer zona de Brillouin hacen
referencia a construcciones geométricas idénticas, en la práctica el último término
se aplica solo a la celda en el espacio k.
Cuando se hace referencia a la primera zona de Brillouin de un espacio r particular
(asociado con una estructura cristalina particular), lo que siempre se entiende es la
celda Wigner-Seitz de la red recíproca asociada.

57. Estado Sólido
Debido a que el recíproco de la red cúbica centrada en el cuerpo es la red cúbica
centrada en las caras, la primera zona de Brillouin de la red bcc (figura 52a) es solo
la celda fcc de Wigner-Seitz (figura 4.16).
Por el contrario, la primera zona de Brillouin de la red fcc (figura 5.2b) es solo la
celda bcc de Wigner-Seitz (figura 4.15).

58. Estado Sólido
Planos de la red
Introducción
Existe una relación íntima entre los vectores en la red recíproca y los planos de
puntos en la red directa.
Esta relación es importante para comprender el papel que desempeña la red
recíproca en la teoría de la difracción.
Definición: Dado una red de Bravais particular, un plano de la red se define como
cualquier plano que contiene al menos tres puntos no colineales de la red de
Bravais.
Debido a la simetría traslacional de la red de Bravais, cualquier plano de este tipo
contendrá en realidad infinitos puntos de red, que forman una red de Bravais
bidimensional.

59. Estado Sólido
En la figura 5.3, se ilustran algunos planos de red en una red de Bravais cúbica
simple.

60. Estado Sólido
Una familia de planos de red es un conjunto de planos de red paralelos,
igualmente espaciados, que juntos contienen todos los puntos de la red de
Bravais tridimensional.
Cualquier plano de la red es miembro de dicha familia.
La resolución de una red Bravais en una familia de planos de red no es única (ver
figura 5.3).
Teorema:
Para cualquier familia de planos de la red separados por una distancia 𝒅, existen
vectores de la red recíproca perpendiculares a los planos, el más corto de los cuales
tienen una longitud de
𝟐𝝅
𝒅
. A la inversa, para cualquier vector de red recíproca K,
existe una familia de planos de red normales a K y separados por una distancia,
donde
𝟐𝝅
𝒅
, es la longitud del vector, más corto de la red recíproca, paralelo a K.

61. Estado Sólido
El teorema es una consecuencia directa de:
a) la definición (5.2) de vectores de red recíproca como los vectores de onda de
ondas planas que son la unidad en todos los sitios de red de Bravais y
b) el hecho de que una onda plana tiene el mismo valor en todos los puntos que
yacen en una familia de planos que son perpendiculares a su vector de onda y
separados por un número entero de longitudes de onda.
Prueba: Se deja como ejercicio
Para probar la primera parte del teorema, dada una familia de planos reticulares
y 𝒏 un vector unitario normal a los planos. Que 𝑲 = 2𝜋
𝑑 𝒏 sea un vector de la
red recíproca, se deduce del hecho de que la onda plana 𝑒𝑖𝑲.𝒓 es
constante en los planos perpendiculares a K, y tiene el mismo valor en planos
separados por λ= 2𝜋
𝐾 = 𝑑

62. Estado Sólido
Dado que los planos contienen todos los puntos de la red Bravais 𝑒𝑖𝑲.𝑹 = 1, para
todo R, entonces K es de hecho un vector de la red recíproca.
Además, K es el vector de red recíproco más corto normal a los planos, para
cualquier vector de onda más corto que K dará una onda plana con una longitud de
onda mayor que λ = 2𝜋
𝐾 = 𝑑.
Tal onda plana no puede tener el mismo valor en todos los planos de la familia y,
por lo tanto, no puede dar una onda plana que sea la unidad en todos los puntos
de la red de Bravais.
Para demostrar el inverso del teorema, dado un vector de red recíproca, y dejemos
que K sea el vector de red recíproca paralelo al más corto. Considere el conjunto de
planos del espacio real en el que la onda plana satisface 𝑒𝑖𝑲.𝒓 = 1.

63. Estado Sólido
Estos planos (uno de los cuales contiene el punto 𝒓 = 0) son perpendiculares a 𝑲 y
están separados por una distancia 𝑑 = 2𝜋
𝐾.
Dado que los vectores de la red de Bravais 𝑹 satisfacen 𝑒𝑖𝑲.𝑹
= 1, para cualquier
vector de red recíproca K, todos deben estar dentro de estos planos, esto es, la
familia de planos debe contener dentro de ella una familia de planos de la red.
Además, el espacio entre los planos de la red también es 𝑑 (en lugar de algún
múltiplo entero de 𝑑), ya que si cada enésimo plano de la familia contiene puntos
de red de Bravais, entonces, según la primera parte del teorema, el vector normal a
los planos de longitud 2𝜋
𝑛𝑑, es decir, el vector 𝐾
𝑛, sería un vector de red
recíproca.

64. Estado Sólido
Esto contraería nuestra suposición original de que ningún vector de red recíproca
paralelo a 𝑲 es más corto que 𝑲.
Índices Miller de planos reticulares
Introducción
La correspondencia entre vectores de red recíprocos y familias de planos
reticulares proporciona una manera conveniente de especificar la orientación de un
plano de la red.
En general, se describe la orientación de un plano mediante un vector normal al
plano.
Como sabemos que existen vectores de red recíproca normales a cualquier familia
de planos de red, es natural elegir un vector de la red recíproca para representar la
normal.

65. Estado Sólido
Para hacer que la elección sea única, se usa el vector de red recíproca más corto.
De esta forma se llega a las índices de Miller del plano.
Definición:
Los índices de Miller de un plano de la red son las coordenadas del vector de la
red recíproca más corto normal a ese plano, con respecto a un conjunto
específico de vectores primitivos de la red recíproca.
Por lo tanto, un plano con índices de Miller ℎ, 𝑘, 𝑙, es normal al vector de red
recíproca ℎ𝒃𝟏 + 𝑘𝒃𝟐 + 𝑙𝒃𝟑.
Los índices de Miller son enteros, ya que cualquier vector de red recíproca es una
combinación lineal de tres vectores primitivos con coeficientes enteros.
Como la normal al plano está especificado por el vector de la red recíproca
perpendicular más corto, los enteros ℎ, 𝑘, 𝑙 no pueden tener un factor común.

66. Estado Sólido
Los índices de Miller dependen de la elección particular de los vectores primitivos.
En las redes de Bravais cúbicas, la red recíproca también es cúbica simple; y los
índices de Miller, son las coordenadas de un vector normal al plano en el sistema
de coordenadas cúbicas.
Como regla general, la red de Bravais cúbica centrada en las caras y centrada en el
cuerpo, se describen en términos de una celda cúbica convencional, es decir, como
redes cúbicas simples con bases.
Dado que cualquier plano de red en una red fcc y bcc, es también un plano de red
en la red cúbica simple subyacente, se puede usar la misma indexación cúbica
elemental para especificar planos de red.

67. Estado Sólido
En la práctica, es solo en la descripción de cristales no cúbicos que uno debe
recordar que los índices de Miller son las coordenadas de la normal en un sistema
dado por la red recíproca, en lugar de la red directa.
Los índices de Miller de un plano tienen una interpretación geométrica en la red
directa, que a veces se ofrece como una forma alternativa de definirlos.
Debido a que un plano reticular con índices Miller ℎ, 𝑘, 𝑙 es perpendicular al vector
de la red recíproca 𝑲 = ℎ𝒃𝟏 + 𝑘𝒃𝟐 + 𝑙𝒃𝟑, 𝑲 estará contenido en el plano continuo
𝑲. 𝒓 = 𝐴, para la elección adecuada de la constante A.
Este plano intersecta los ejes determinados por los vectores primitivos de la red
directa 𝒂𝒊 en los puntos 𝑥1𝒂𝟏, 𝑥2𝒂𝟐 y 𝑥3𝑎3 (figura 5.4), donde los 𝑥𝑖 están
determinados por la condición de que 𝑥𝑖𝒂𝒊 satisfaga la ecuación del plano:
𝑲. (𝑥𝑖𝒂𝒊) =A.

68. Estado Sólido
Ya que 𝑲. 𝒂𝟏 = 2𝜋h, 𝑲. 𝒂𝟐 = 2𝜋𝑘 y 𝑲. 𝒂𝟑 = 2𝜋l, se deduce que:
𝑥1 =
𝐴
2𝜋h
, 𝑥2 =
𝐴
2𝜋𝑘
, 𝑥3 =
𝐴
2𝜋l
(5.13)

69. Estado Sólido
Así, las intersecciones con los ejes de cristal de una red son inversamente
proporcionales a los índices de Miller del plano.
Los cristalografistas definen los índices de Miller como un conjunto de enteros sin
factores comunes, inversamente proporcionales a las intersecciones del plano de
cristal de cristal en los ejes de cristal:
ℎ: 𝑘: 𝑙 =
1
𝑥1
:
1
𝑥2
:
1
𝑥3
(5.14)

70. Niveles electrónicos un potencial periódico
Introducción:
Ya que los iones en un cristal perfecto están dispuestos en una matriz periódica
regular, consideramos el problema de un electrón en un potencial U(r) con la
periodicidad de la subyacente red de Bravais; esto es:
𝑈 𝑟 + 𝑅 = U(r) (8.1)
para todo vector de la red de Bravais 𝑅.
Dado que la escala de periodicidad del potencial 𝑈(~10−8𝑐𝑚) es el tamaño de una
longitud de onda típica de de Broglie de un electrón en el modelo de electrones
libres de Sommerfeld, la idea es utilizar la mecánica cuántica para tener en cuenta
el efecto de la periodicidad en el movimiento electrónico.
Desde el principio enfatizamos que la periodicidad perfecta es una idealización. Los
sólidos reales nunca son absolutamente puros, y en la vecindad de los átomos de
impurezas, el sólido no es el mismo que en las otras partes del cristal.

71. Niveles electrónicos un potencial periódico
Introducción:
Además, siempre existe una ligera probabilidad, dependiente de la temperatura, de
encontrar iones faltantes o fuera de lugar que destruyen la simetría traslacional
perfecta incluso de un cristal absolutamente puro.
Finalmente, los iones no son de hecho estacionarios, sino que experimentan
continuamente vibraciones térmicas sobre sus posiciones de equilibrio.
Estas imperfecciones son todas de gran importancia. Son, por ejemplo, en última
instancia responsables del hecho de que la conductividad eléctrica de los metales
no es infinita.
Un estudio más adecuado se logra dividiendo artificialmente el problema en dos
partes:
a) el cristal perfecto ficticio ideal, en el que el potencial es genuinamente periódico.
b) los efectos de todas las desviaciones de la periodicidad perfecta, sobre las
propiedades de un hipotético cristal perfecto, son tratadas como pequeñas
perturbaciones.

72. Niveles electrónicos un potencial periódico
El potencial periódico
El problema de los electrones en un sólido es un problema de muchos electrones, ya
que el hamiltoniano completo del sólido contiene los potenciales de un electrón que
describen las interacciones de los electrones con los núcleos atómicos masivos y los
potenciales de pares que describen las interacciones electrón-electrón.
En la aproximación electrón independiente, estas interacciones están representadas
por un potencial efectivo de un electrón 𝑈𝑒𝑓(𝑟).
El problema de elegir de la mejor manera este potencial efectivo es complicado.
Cualquiera que sea la forma detallada que pueda tener el potencial efectivo de un
electrón, si el cristal es perfectamente periódico, debe satisfacerse (8.1).

73. Niveles electrónicos un potencial periódico
El potencial periódico
Cualitativamente se podría esperar que un potencial cristalino típico tenga la forma
que se muestra en la figura 8.1, que se asemeja al potencial atómico individual a
medida que se acerca al ion y se aplana en la región entre iones.
Figura 8.1: Potencial periódico vs distancias atómicas r

74. Niveles electrónicos un potencial periódico
El potencial periódico
Por lo tanto, examinamos la propiedad general de la ecuación de Schrödinger para
un solo electrón
𝐻ψ = −
ℏ
2
2m
∇2
+ 𝑈 (𝑟) ψ = εψ (8.2)
que se desprenden del hecho de que el potencial 𝑈 tiene la periodicidad (8.1).
Los electrones independientes, cada uno de los cuales obedece a una ecuación de
Schrodinger de un electrón con un potencial periódico, se conocen como electrones
Bloch.
Los estados estacionarios de los electrones de Bloch, como consecuencia general de
la periodicidad del potencial U, tienen la siguiente propiedad (muy importante):

75. Niveles electrónicos un potencial periódico
Teorema de Bloch
Los estados propios ψ del hamiltoniano un electrón −
ℏ
2
2m
∇2
+ 𝑈 (𝑟), donde
𝑈 𝑟 + 𝑅 = 𝑈(𝑟) para todo 𝑅 en la red de Bravais, se pueden elegir que tenga la
forma de una onda plana multiplicada por una función con la periodicidad de la red
Bravais:
ψ𝑛𝑘 𝑟 = 𝑒𝑖𝑘.𝑟𝑢𝑛𝑘 𝑟 (8.3)
donde
𝑢𝑛𝑘 𝑟 + 𝑅 = 𝑢𝑛𝑘 𝑟 (8.4)
para todo 𝑅 en la red de Bravais.
Las ecuaciones (8.3) y (8.4) implican que
ψ𝑛𝑘 𝑟 + 𝑅 = 𝑒𝑖𝑘.𝑅ψ𝑛𝑘 𝑟 (8.5)

76. Niveles electrónicos un potencial periódico
Teorema de Bloch
El teorema de Bloch a veces se establece en esta forma alternativa: los estados
propios de H se pueden elegir de modo que asociado con cada ψ existe un vector de
onda k tal que:
ψ 𝑟 + 𝑅 = 𝑒𝑖𝑘.𝑅
ψ 𝑟 (8.6)
para cada R en la red Bravais
Band gap.
Superficie de Fermi.
DOS.

77. Niveles electrónicos un potencial periódico

78. ¡Muchas gracias por su atención!