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Función Exponencial y
Logarítmica
Función Exponencial
“ Una población de bacterias está en un medio tal que se reproduce
duplicándose cada una hora. En el momento en que comenzamos su
observación existían 5.000 bacterias, al cabo de una hora 10.000
bacterias, a las dos horas 20.000 bacterias, a las 3 horas 40.000 y así
sucesivamente. Suponiendo la reproducción en forma continua ¿ podrá
predecirse la cantidad de bacterias en cada momento ? ¿habrá una ley
que la interprete?”
tiempo Cantidad de
bacterias
0 5000
1 10000
2 20000
3 40000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 1 3 4
2
Tiempo (hs)
Cantidad
de
bacterias
𝑦 = 5000. 2𝑥
Si ahora queremos saber ¿ cuántas bacterias había 1,2,3 horas antes?
tiempo Cantidad de
bacterias
-1 2500
-2 1250
-3 625
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
-
4
-
2
2 4
0
Tiempo
(hs)
Cantidad
de
bacterias
Esta una nueva función se denomina exponencial y su expresión
más general es de la forma: y = k.ax
 Definición :
A la función f, definida por
f (x) =k.ax
en dondea  0, a  1 y el exponente x es cualquier número real
( ), se le denomina función exponencial, con base a.
Cuando trabajamos con funciones exponenciales es necesario utilizar
las siguientes reglas:
 1. am. an = am + n
2. ( am)n = am.n
3. ( a/b )n = an/ bn
 4. a0= 1
5. am/an = am–n
 6. (a.b)n = an .bn
 7. a1 = a
 8. a-n = (1/ a)n
Donde m y n son números reales ( ) y a y b números positivos.
los parámetros k y a cómo influyen en la gráfica de la función?
 1. Variación dela
Si graficamos las siguientes funciones exponenciales:
 f(x) = 2x ; f(x) =3x ; f(x) = (1/2)x
Distintas funciones exponenciales.
30
25
20
15
10
5
0
-4 -2 2 4
0
x
y
f1(x)
f2(x)
f3(x)
x y= 2x
0 1
1 2
2 4
3 8
-1 0.5
-2 0.25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y= 2x
x y= 3x
0 1
1 3
2 9
3 27
-1 0.33333333
-2 0.11111111
x y= (1/2)x
0 1
1 0.5
2 0.25
3 0.125
-1 2
-2 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y= (1/2)x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3 -2 -1 0 1 2 3
y= 2*(2x) y=2x
Expon. (y= 2*(2x)) Expon. (y=2x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -2 0 2 4 6
y=3x
 Tenemos que:
a)El dominio de una función exponencial son todos los números reales ( ).
b)La imagen todos los números reales positivos.
c)Puesto que a0 = 1 para todas las bases, todas las gráficas tienen intersección
en el punto (0 ,1), no existe intersección con el eje de las x.
La función f(x)= ax , tiene dos formas básicas:
1)Si a  1, entonces la gráfica asciende de izquierda a derecha es decir al
aumentar x también aumenta y. Conforme mayor es el valor de a la gráfica
asciende con mayor rapidez. Son funciones crecientes.
2)Si 0  a  1, entonces la gráfica desciende de izquierda a derecha es decir al
aumentar x, y disminuye y la función toma valores cercanos a cero. Son
funciones decrecientes.
3) Si comparamos f(x)= (1/a)x con f(x)= ax , vemos que son funciones simétricas
respecto del eje y.
 2. Variación de K
Si representamos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes
funciones exponenciales:
 f(x) = 2x; f(x) = -2x ; f(x) = 2. 2x ; f(x) = ½. 2x ; f(x) =(-1/2).2x
-10
-5
0
10
15
20
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
f1(x) f2(x)
f3(x) f4(x)
f5(x)
5
x y= 2*2x
0 2
1 4
2 8
-1 1
-2 0.5
x y= 2x
0 1
1 2
2 4
-1 0.5
-2 0.25
x y= 2*(1/2)x
0 2
1 1
2 0.5
-1 4
-2 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y= 2*(2x) y=2x y=2*(1/2)x
Expon. (y= 2*(2x)) Expon. (y=2x) Expon. (y=2*(1/2)x)
Comparando las curvas a partir de su representación gráfica podemos llegar a:
1)La gráfica de las funciones exponenciales cortan al eje y en el valor k es decir pasan
por el punto ( 0 , k).
2)Para el mismo valor de abscisa a mayor valor de k le corresponde mayor ordenada.
Hasta aquí hemos analizado el comportamiento de la gráfica considerando la
definición es decir cuando a  0 y cuando a  1, excluyendo los valores negativos el
0 y el 1.
¿ qué ocurriría si a fuese alguno de ellos?
1) Si a = 0, no estaría definida con x  0.
2) Paraa  0, por ejemplo a = -2, no estaría definida para algunos
valores de x tales como x = 3/2, ya que:
 (-2 )x = (−2)3
3) Para a = 1 si bien está definido 1x ,  x   , cuando reemplazamos
obtenemos una recta y = 1.
Función Logarítmica
La función logarítmica está muy relacionada con la función exponencial. Por
ejemplo, si tenemos la función exponencial: f(x)= 2x, cuyo gráfico es
50000
40000
30000
20000
10000
0 0 1 3 4
2
Tiempo
(hs)
Cantidad
de
bacterias
podemos ver que si ahora consideramos a y como entrada y a x como salida, existe
una función denominada “ función inversa” que envía las y hacia las x
f – 1: y  x
A esta función inversa se le da el nombre de función logarítmica
 Ejemplo: trabajaran en una empresa de base biotecnológica que produce
biofertilizantes y ahora están interesados en saber ¿en qué tiempo se alcanzaría
una determinada producción de rizobios?
0.00
100000.00
200000.00
300000.00
400000.00
500000.00
600000.00
700000.00
800000.00
0 1 2 3 4 5 6
Axis
Title
t (hs)
Crecimiento microbiano
?
Función inversa
f – 1: y  x
𝑦 = log 𝑥
𝑙𝑜𝑔28 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8
Diagramas de
Ven
 Definición de funciónlogarítmica
 Trabaja con Dominio e Imagen de la función (asociada función exponencial)
log𝑥
 Base de los logaritmos (se trabajacon calculadora)
ln𝑥
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Logaritmos
decimales
Logaritmos
naturales
e =2,718281828459
Si y = 2x entonces x =log2 y
generalizando, si reemplazamos 2 por a se obtiene la siguiente definición:
La función logarítmica de base a, en donde a  0 y a  1, se
denota por log a y se define como:
x = log a y  ax = y
 El dominio de la función logarítmica son todos los número reales positivos y su
imagen todos los números reales.
 La función logarítmica invierte la acción de la función exponencial y viceversa. En
este sentido el logaritmo de un número es un exponente.
Log2 8 =3 porque 23= 8
La gráfica de la función logarítmica es simétrica a la gráfica de la
función exponencial respecto de la recta y=x
Función logarítmica
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4
x
y
A los logaritmos que tienen al 10 como base se les denomina logaritmos comunes
y se escribe:
Log y  log10 y
A los logaritmos de base e se les denomina logaritmos naturales y se escribe:
Ln y  loge y , ex= y
 Analiza la escala (ejemplo en Qca pH)
Ejemplo:en al ácido del estómago la 𝐻+
~1. 10−1
M, es 6 veces mayor que en el H2O pura!!!
𝐻+
𝑒𝑠𝑡ó𝑚𝑎𝑔𝑜 = 0,1 ⇒ 𝑝𝐻 = 1
𝐻+
𝐻2𝑂= 0,000001 ⇒ 𝑝𝐻 =7
𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔 𝐻+
𝐻+
= 10−𝑝𝐻
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑝𝐻 ó 𝑝𝑂𝐻 = 0 − 14
Solución acuosa:
pH + pOH=14
H2O pura:
𝑘𝑤 = 𝐻+
𝑂𝐻−
= 1. 10−14
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Función Logarítmica
𝐻+ = 1. 10−7
𝐻+
= 1. 10−1
Propiedades de los logaritmos
1) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
Loga (m .n) = loga m + loga n
2) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:
Loga m/n = loga m – loga n
3) El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente multiplicado al logaritmo
del número:
Loga mr = r . loga m
4) Dado que a0= 1 y a1= a
Loga 1 = 0, logaa = 1
5) Loga ar =r
6) Si loga m = loga n , entonces m =n
si am = an , entonces m =n
7) Fórmula de cambio de base
Cambio de Base- Demostración
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥
= 𝑏 ,tomandologaritmoaamboslados:
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑥𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑥 =
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

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Fun. exponencial y fun logaritmica. Veterinaria 2024.pptx

  • 2. Función Exponencial “ Una población de bacterias está en un medio tal que se reproduce duplicándose cada una hora. En el momento en que comenzamos su observación existían 5.000 bacterias, al cabo de una hora 10.000 bacterias, a las dos horas 20.000 bacterias, a las 3 horas 40.000 y así sucesivamente. Suponiendo la reproducción en forma continua ¿ podrá predecirse la cantidad de bacterias en cada momento ? ¿habrá una ley que la interprete?” tiempo Cantidad de bacterias 0 5000 1 10000 2 20000 3 40000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 1 3 4 2 Tiempo (hs) Cantidad de bacterias 𝑦 = 5000. 2𝑥
  • 3. Si ahora queremos saber ¿ cuántas bacterias había 1,2,3 horas antes? tiempo Cantidad de bacterias -1 2500 -2 1250 -3 625 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 - 4 - 2 2 4 0 Tiempo (hs) Cantidad de bacterias
  • 4. Esta una nueva función se denomina exponencial y su expresión más general es de la forma: y = k.ax  Definición : A la función f, definida por f (x) =k.ax en dondea  0, a  1 y el exponente x es cualquier número real ( ), se le denomina función exponencial, con base a.
  • 5. Cuando trabajamos con funciones exponenciales es necesario utilizar las siguientes reglas:  1. am. an = am + n 2. ( am)n = am.n 3. ( a/b )n = an/ bn  4. a0= 1 5. am/an = am–n  6. (a.b)n = an .bn  7. a1 = a  8. a-n = (1/ a)n Donde m y n son números reales ( ) y a y b números positivos.
  • 6. los parámetros k y a cómo influyen en la gráfica de la función?  1. Variación dela Si graficamos las siguientes funciones exponenciales:  f(x) = 2x ; f(x) =3x ; f(x) = (1/2)x Distintas funciones exponenciales. 30 25 20 15 10 5 0 -4 -2 2 4 0 x y f1(x) f2(x) f3(x)
  • 7. x y= 2x 0 1 1 2 2 4 3 8 -1 0.5 -2 0.25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y= 2x x y= 3x 0 1 1 3 2 9 3 27 -1 0.33333333 -2 0.11111111 x y= (1/2)x 0 1 1 0.5 2 0.25 3 0.125 -1 2 -2 4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y= (1/2)x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -3 -2 -1 0 1 2 3 y= 2*(2x) y=2x Expon. (y= 2*(2x)) Expon. (y=2x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -2 0 2 4 6 y=3x
  • 8.  Tenemos que: a)El dominio de una función exponencial son todos los números reales ( ). b)La imagen todos los números reales positivos. c)Puesto que a0 = 1 para todas las bases, todas las gráficas tienen intersección en el punto (0 ,1), no existe intersección con el eje de las x. La función f(x)= ax , tiene dos formas básicas: 1)Si a  1, entonces la gráfica asciende de izquierda a derecha es decir al aumentar x también aumenta y. Conforme mayor es el valor de a la gráfica asciende con mayor rapidez. Son funciones crecientes. 2)Si 0  a  1, entonces la gráfica desciende de izquierda a derecha es decir al aumentar x, y disminuye y la función toma valores cercanos a cero. Son funciones decrecientes. 3) Si comparamos f(x)= (1/a)x con f(x)= ax , vemos que son funciones simétricas respecto del eje y.
  • 9.  2. Variación de K Si representamos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones exponenciales:  f(x) = 2x; f(x) = -2x ; f(x) = 2. 2x ; f(x) = ½. 2x ; f(x) =(-1/2).2x -10 -5 0 10 15 20 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) f5(x) 5
  • 10. x y= 2*2x 0 2 1 4 2 8 -1 1 -2 0.5 x y= 2x 0 1 1 2 2 4 -1 0.5 -2 0.25 x y= 2*(1/2)x 0 2 1 1 2 0.5 -1 4 -2 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 y= 2*(2x) y=2x y=2*(1/2)x Expon. (y= 2*(2x)) Expon. (y=2x) Expon. (y=2*(1/2)x)
  • 11. Comparando las curvas a partir de su representación gráfica podemos llegar a: 1)La gráfica de las funciones exponenciales cortan al eje y en el valor k es decir pasan por el punto ( 0 , k). 2)Para el mismo valor de abscisa a mayor valor de k le corresponde mayor ordenada. Hasta aquí hemos analizado el comportamiento de la gráfica considerando la definición es decir cuando a  0 y cuando a  1, excluyendo los valores negativos el 0 y el 1. ¿ qué ocurriría si a fuese alguno de ellos?
  • 12. 1) Si a = 0, no estaría definida con x  0. 2) Paraa  0, por ejemplo a = -2, no estaría definida para algunos valores de x tales como x = 3/2, ya que:  (-2 )x = (−2)3 3) Para a = 1 si bien está definido 1x ,  x   , cuando reemplazamos obtenemos una recta y = 1.
  • 13. Función Logarítmica La función logarítmica está muy relacionada con la función exponencial. Por ejemplo, si tenemos la función exponencial: f(x)= 2x, cuyo gráfico es 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 1 3 4 2 Tiempo (hs) Cantidad de bacterias podemos ver que si ahora consideramos a y como entrada y a x como salida, existe una función denominada “ función inversa” que envía las y hacia las x f – 1: y  x A esta función inversa se le da el nombre de función logarítmica
  • 14.  Ejemplo: trabajaran en una empresa de base biotecnológica que produce biofertilizantes y ahora están interesados en saber ¿en qué tiempo se alcanzaría una determinada producción de rizobios? 0.00 100000.00 200000.00 300000.00 400000.00 500000.00 600000.00 700000.00 800000.00 0 1 2 3 4 5 6 Axis Title t (hs) Crecimiento microbiano ? Función inversa f – 1: y  x 𝑦 = log 𝑥 𝑙𝑜𝑔28 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 23 = 8 Diagramas de Ven
  • 15.  Definición de funciónlogarítmica  Trabaja con Dominio e Imagen de la función (asociada función exponencial) log𝑥  Base de los logaritmos (se trabajacon calculadora) ln𝑥 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Logaritmos decimales Logaritmos naturales e =2,718281828459
  • 16. Si y = 2x entonces x =log2 y generalizando, si reemplazamos 2 por a se obtiene la siguiente definición: La función logarítmica de base a, en donde a  0 y a  1, se denota por log a y se define como: x = log a y  ax = y  El dominio de la función logarítmica son todos los número reales positivos y su imagen todos los números reales.  La función logarítmica invierte la acción de la función exponencial y viceversa. En este sentido el logaritmo de un número es un exponente. Log2 8 =3 porque 23= 8
  • 17. La gráfica de la función logarítmica es simétrica a la gráfica de la función exponencial respecto de la recta y=x Función logarítmica -4 -2 0 2 4 6 8 10 -4 -2 0 2 4 x y A los logaritmos que tienen al 10 como base se les denomina logaritmos comunes y se escribe: Log y  log10 y A los logaritmos de base e se les denomina logaritmos naturales y se escribe: Ln y  loge y , ex= y
  • 18.  Analiza la escala (ejemplo en Qca pH) Ejemplo:en al ácido del estómago la 𝐻+ ~1. 10−1 M, es 6 veces mayor que en el H2O pura!!! 𝐻+ 𝑒𝑠𝑡ó𝑚𝑎𝑔𝑜 = 0,1 ⇒ 𝑝𝐻 = 1 𝐻+ 𝐻2𝑂= 0,000001 ⇒ 𝑝𝐻 =7 𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔 𝐻+ 𝐻+ = 10−𝑝𝐻 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑝𝐻 ó 𝑝𝑂𝐻 = 0 − 14 Solución acuosa: pH + pOH=14 H2O pura: 𝑘𝑤 = 𝐻+ 𝑂𝐻− = 1. 10−14 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Función Logarítmica 𝐻+ = 1. 10−7 𝐻+ = 1. 10−1
  • 19. Propiedades de los logaritmos 1) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: Loga (m .n) = loga m + loga n 2) El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos: Loga m/n = loga m – loga n 3) El logaritmo de la potencia de un número es igual al exponente multiplicado al logaritmo del número: Loga mr = r . loga m 4) Dado que a0= 1 y a1= a Loga 1 = 0, logaa = 1 5) Loga ar =r 6) Si loga m = loga n , entonces m =n si am = an , entonces m =n 7) Fórmula de cambio de base
  • 20. Cambio de Base- Demostración 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑥 → 𝑎𝑥 = 𝑏 ,tomandologaritmoaamboslados: 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏