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Función
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f(x) = mx + n m :  pendiente n  :  coeficiente de posición  Ejemplo : En la función:   f(x) = 5x + 3 Pendiente (m)=  5  Coeficiente de posición (n)=  3  La línea recta :   La recta está representada por: Repaso de las Funciones Indica el punto donde la recta intersecta al eje   Y
Representación gráfica de:   f(x) = 5x + 3   Si x = 0,  f(0) = 3  Si x = 1,  f(1) = 8 Si x = -1,  f(-1) = -2...etc.    f(0) = 5 • (0) + 3 f(1) = 5 • (1) + 3  f(-1) = 5 • (-1) + 3  Gráfica de la función
Si m > 0, entonces la función es creciente. Función   Creciente x y f(x)
Ejemplo : 1) f(x) = 2x - 1 Pendiente: 2 > 0  La función es CRECIENTE. Coeficiente de posición: -1  La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-1)    f(x) - 1   1   2   3   3   1   2   4   y=f(x) x (0,-1)
Si m < 0, entonces la función es decreciente. f(x) Función Decreciente x y
Ejemplo : 1) f(x) = -5x + 4  Pendiente: -5 < 0  La función es DECRECIENTE. Coeficiente de posición: 4  La recta intersecta al eje Y en el punto (0,4)    Siempre el dominio y el recorrido de las funciones de la forma f(x) = mx + n,  es el conjunto IR. 1   2   3   3   1   2   4   - 1   x y= f(x) (0,4)
Función Constante Si m = 0, entonces la función es constante y es de la forma: f(x) La representación gráfica de una función constante es una  línea recta, paralela al eje x: f(x) = c Donde c número real x y
f(x) = 3  Pendiente: 0  La función es CONSTANTE. Ejemplo : Coeficiente de posición: 3  La recta intersecta al eje Y en el punto (0,3)    f(x) 1   2   3   3   1   2   4   - 1   y = f(x) x (0,3)
Función Potencia Ejemplo:   Expresar el área de la cara de un cubo y su volumen en términos de la arista; construir una tabla de valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que puede tomar la variable independiente. arista (a) Área = a 2 Volumen = a 3    A(a) = a 2    V(a) = a 3 Es de la forma: f(x) = ax n .
Grafico de A(a) = a 2 16 4 9 3 4 2 1 1 0 0 1 -1 4 -2 9 -3 Y 16 X -4
Grafico de V(a) = a 3 8 2 1 1 0 0 -1 -1 Y -8 X -2
Función Exponencial Es de la forma:  f(x) = a x con  a >0,  a ≠ 1  y  x  Є   IR Definición Ejemplo1: f(x) = 2 x f(0) = 2 0  = 1 f(1) = 2 1  = 2 f(2) = 2 2  = 4 f(3) = 2 3  = 8 f(-1) = 2 -1  = 0,5 f(-2) = 2 -2  = 0,25… La gráfica de f(x) = 2 x  es:
Ejemplo2 : f(x) = ( ½ ) x f(0) =  (½) 0   = 1 La gráfica de f(x) = (½) x  es: f(1) =  (½) 1   =  ½ f(2) =  (½) 2   =  ¼  f(-1) =  (½) -1   = 2 f(-2) =  (½) -2   = 4… Dom (f) =  IR Rec (f)  =  IR +  Al igual que en la función anterior se tiene que:
Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial a)  Si  a > 1 ,  f(x)= a x   es creciente en todo  IR 1
b)  Si  0 < a < 1 ,  f(x)= a x   es decreciente en  IR 1
Ejemplo : Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de  x  horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora. Solución: Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de  x  horas es:  . Cantidad inicial =  10.000 Después de:  1 hora = 10.000·3 =  10.000·3 1   =   30.000 2 horas = 10.000·3·3 =  10.000·3 2   =   90.000 3 horas = 10.000·3·3·3 =  10.000·3 3  =   270.000... Después de  x  horas =  10.000 · 3 x . f(x)= 10.000 · 3 x
Función Logarítmica Definición La inversa de una función exponencial de base  a , se llama función logarítmica de base  a  y se representa por:  . a)  Si  a > 1 ,  f(x)=  log a (x)   es creciente para x >0 x > 0 (Con a y x, distinto de cero, a    1). Rec (f)  =  IR Dom (f) =  IR +  y = log a (x)  a y  = x  x y
b)  Si  0 < a < 1 ,  f(x)=  log a (x)   es decreciente para x >0 x > 0 Dom (f) =  IR +  Rec (f)  =  IR x y

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  • 2.
  • 3.
  • 4. f(x) = mx + n m : pendiente n : coeficiente de posición Ejemplo : En la función: f(x) = 5x + 3 Pendiente (m)= 5 Coeficiente de posición (n)= 3 La línea recta : La recta está representada por: Repaso de las Funciones Indica el punto donde la recta intersecta al eje Y
  • 5. Representación gráfica de: f(x) = 5x + 3 Si x = 0, f(0) = 3 Si x = 1, f(1) = 8 Si x = -1, f(-1) = -2...etc.    f(0) = 5 • (0) + 3 f(1) = 5 • (1) + 3 f(-1) = 5 • (-1) + 3 Gráfica de la función
  • 6. Si m > 0, entonces la función es creciente. Función Creciente x y f(x)
  • 7. Ejemplo : 1) f(x) = 2x - 1 Pendiente: 2 > 0 La función es CRECIENTE. Coeficiente de posición: -1 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-1)   f(x) - 1 1 2 3 3 1 2 4 y=f(x) x (0,-1)
  • 8. Si m < 0, entonces la función es decreciente. f(x) Función Decreciente x y
  • 9. Ejemplo : 1) f(x) = -5x + 4 Pendiente: -5 < 0 La función es DECRECIENTE. Coeficiente de posición: 4 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,4)   Siempre el dominio y el recorrido de las funciones de la forma f(x) = mx + n, es el conjunto IR. 1 2 3 3 1 2 4 - 1 x y= f(x) (0,4)
  • 10. Función Constante Si m = 0, entonces la función es constante y es de la forma: f(x) La representación gráfica de una función constante es una línea recta, paralela al eje x: f(x) = c Donde c número real x y
  • 11. f(x) = 3 Pendiente: 0 La función es CONSTANTE. Ejemplo : Coeficiente de posición: 3 La recta intersecta al eje Y en el punto (0,3)   f(x) 1 2 3 3 1 2 4 - 1 y = f(x) x (0,3)
  • 12. Función Potencia Ejemplo: Expresar el área de la cara de un cubo y su volumen en términos de la arista; construir una tabla de valores, el gráfico de la función correspondiente y determinar los valores posibles que puede tomar la variable independiente. arista (a) Área = a 2 Volumen = a 3  A(a) = a 2  V(a) = a 3 Es de la forma: f(x) = ax n .
  • 13. Grafico de A(a) = a 2 16 4 9 3 4 2 1 1 0 0 1 -1 4 -2 9 -3 Y 16 X -4
  • 14. Grafico de V(a) = a 3 8 2 1 1 0 0 -1 -1 Y -8 X -2
  • 15. Función Exponencial Es de la forma: f(x) = a x con a >0, a ≠ 1 y x Є IR Definición Ejemplo1: f(x) = 2 x f(0) = 2 0 = 1 f(1) = 2 1 = 2 f(2) = 2 2 = 4 f(3) = 2 3 = 8 f(-1) = 2 -1 = 0,5 f(-2) = 2 -2 = 0,25… La gráfica de f(x) = 2 x es:
  • 16. Ejemplo2 : f(x) = ( ½ ) x f(0) = (½) 0 = 1 La gráfica de f(x) = (½) x es: f(1) = (½) 1 = ½ f(2) = (½) 2 = ¼ f(-1) = (½) -1 = 2 f(-2) = (½) -2 = 4… Dom (f) = IR Rec (f) = IR + Al igual que en la función anterior se tiene que:
  • 17. Ley de crecimiento y decrecimiento exponencial a) Si a > 1 , f(x)= a x es creciente en todo IR 1
  • 18. b) Si 0 < a < 1 , f(x)= a x es decreciente en IR 1
  • 19. Ejemplo : Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora. Solución: Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es: . Cantidad inicial = 10.000 Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·3 1 = 30.000 2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·3 2 = 90.000 3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·3 3 = 270.000... Después de x horas = 10.000 · 3 x . f(x)= 10.000 · 3 x
  • 20. Función Logarítmica Definición La inversa de una función exponencial de base a , se llama función logarítmica de base a y se representa por: . a) Si a > 1 , f(x)= log a (x) es creciente para x >0 x > 0 (Con a y x, distinto de cero, a  1). Rec (f) = IR Dom (f) = IR + y = log a (x) a y = x x y
  • 21. b) Si 0 < a < 1 , f(x)= log a (x) es decreciente para x >0 x > 0 Dom (f) = IR + Rec (f) = IR x y