ALGEBRA SUPERIOR MÓDULO I - Funciones y Limites

ALGEBRA SUPERIOR
MÓDULO I
Funciones y Limites
por
Don Danny
2 de febrero de 2016
don.danny@yahoo.com.ar

Índice general
Introducción i
Funciones y Limites 1
1 Las Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Denición 1
1.2 Formas de expresión de funciones 1
1.2.1 Forma tabular 1
1.2.2 Forma gráca 2
1.2.3 Forma analítica 2
1.3 Tipo de funciones 3
1.4 Ejemplos de ejercicios con las funciones 3
2 Los limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Limites de función 7
2.2 Función denida y indenida 8
2.3 Función continua 9
2.3.1 Ejemplos de funciones continuas 9
2.4 Función discontinua 10
2.4.1 Ejemplos de funciones discontinuas 11
2.5 Propiedades de los limites 14
2.6 Limites a memorizar 15
2.7 La función exponencial 15
2.8 Solucionar los siguientes limites 15
2.9 Hallar los puntos de discontinuidad de las funciones 22

Introducción
Este libro es el módulo I de la serie Álgebra Superior. El módulo es una introduc-
ción a las derivadas (módulo II) y al calculo integral (módulo III). En este módulo,
se trata de la diferentes clases de funciones y los limites.
Derecho de Autor
No se permite de copiar, paginas, ejercicios o ejemplos sin la permisión expresa
del autor. Copiar el trabajo de los demás que sea de un persona o de un autor de
libro como este es un delito. Además de ser un delito, daña la economía de un país.
i

ii INTRODUCCIÓN
Sobre el Autor
Daniel Vliegen es ingeniero canadiense formado
en Europa. Apasionado de matemática, de electrónica, de
informática, e inventor, el autor trabajo como consultor
en Canadá.
Durante su carrera en Europa y en Canadá, trabajo co-
mo diseñador, e investigador (Research Development)
en los campos de electrónica analógica, sistemas digitales,
micro-procesadores, programación (C, C++, Assembler,
PHP, Java etc...) y robótica, para empresas privadas y universidades.
Algunos de los proyectos...
* Sistemas de modulación espectral de frecuencia para transmisión de los datos
GPS a través del canal audio de radio trunking - invención hecha en los años 1993-
1998.
* Servo mecanismo de posicionamiento de un cañón láser a 2 ejes (azimut y eleva-
ción) por micro-procesador para el estudio de la dispersión de humos de las bombas
lacrimógena. Servo Mecanismo en posicionamiento y en velocidad. Programas de las
interfaces de control por computadora.
* Sistema de medida por péndulo para estudiar los micro-movimientos de las
estructuras grandes como puentes y plantas hidroeléctricas.
Trabajo como asistenta de investigación en la Universidad de Montreal en el
dominio de las micro-ondas.
Trabajo también en la Universidad de Brusela en el dominio de la Astronomía -
Desarrollo de sistemas de medidas sobre el sol, campo magnético solar. Camera CCD
Digital, tratamiento de los datos por micro-procesadores.

Funciones y Limites
1 Las Funciones
1.1 Denición
Las funciones son una herramienta de estudio cuando se desea examinar la varia-
ción de una variable que depende de la variación de una otra variable. Por ejemplo
si se desea medir la altura de un puente arriba de un rio.
El método es dejar caer una piedra y medir el tiempo t de la caída con un cronome-
tro.
La formula que se utiliza es Ah =
gt2
2
donde Ah es la altura, g = 9.81m/sec2
y t el
tiempo medido por el cronometro.
Se nota la dependencia entre la variable de entrada t y la variable de salida Ah.
Ordinariamente, por convención matemática, la variable de entrada se nota x y la
variable de salida se nota y.
El equivalente matemática de la caída de los cuerpos en función del tiempo es en-
tonces y =
gx2
2
, donde g es una constante.
A un valor de x, corresponde un valor de y, todas las funciones se notan y =
f(x), y = ϕ(x), y = g(x) etc... donde xxx es la variable de entrada o variable inde-
pendiente.
1.2 Formas de expresión de funciones
1.2.1. Forma tabular
La forma tabular se utiliza cuando se establece una formula empírica entre la variable
independiente x y la función y.
La variable independiente y la función corresponden respectivamente a los valores
impuestas y observadas de los parámetros de una propiedad física.
Álgebra Superior - Funciones y Limites por Don Danny 1

Por ejemplo el valor de la corriente I observada en función de un voltaje V a
través de una resistencia R:
V 1 2 3 4
I 1mA 2mA 3mA 4mA
En este caso, la variable independiente es el voltaje (V ) y la función es la corriente
(I).
1.2.2. Forma gráca
Los valores de las variables independientes y de la función dentro la forma tabular
pueden expresarse bajo la forma gráca. Se reporta sencillamente la variable inde-
pendiente en la abscisa y la función en la ordenada.
Figura 1. Forma graca entre variable Voltaje (V ) y función Co-
rriente (I)
1.2.3. Forma analítica
Los valores entre la variable independiente y la función son relacionados por una
expresión analítica como por ejemplo V (t) = V0(1 − e−t/RC
) donde la variable in-
dependiente es el tiempo t, y la función V (t) es el voltaje. Los valores V0, R, C son
constantes.
La función y la variable independiente son relacionadas por medio de una formu-
la. La forma analítica supone un dominio natural de la variable y de la función. Por
ejemplo, dentro la formula V (t) = V0(1 − e−t/RC
), la variable tiempo t ≥ 0.
Existe también funciones donde el dominio de variación es valido por una playa
de variación de la variable independiente.
2 Álgebra Superior - Funciones y Limites por Don Danny

Ejemplo 1.1. La función y =
√
x2 − 4 existe por x ≥ 2 y por x ≤ −2.
La función no existe por −2 x 2 porque seria el resulta de una raíz cuadrada de
un número negativo.
1.3 Tipo de funciones
Los tipos de funciones que son de forma analítica transcendental
Funciones potenciales : y = xa
donde a es número real
Funciones exponenciales : y = ax
donde a es positivo
Funciones logarítmicas : y = loga x donde a, x son positivos.
Funciones trigonométricas : y = sen x, y = cos x, y = tg x
Funciones trigonométricas inversas : y = arc sen x, y = arc cos x, y = arc tg x
Tipos de funciones de forma analítica algebraicas
Funciones de forma polinomio : y = Anxn
+An−1xn−1
+. . .+A1x+A0 donde
An, An−1, . . . son números reales.
Dentro las funciones algebraicas, hay las funciones racionales fraccio-
narias como p.e y =
Anxn
+ An−1xn−1
+ . . . + A1x + A0
Bnxn + Bn−1xn−1 + . . . + B1x + B0
, y las funciones
irracionales como p.e y =
√
ax2 + bx + c
1.4 Ejemplos de ejercicios con las funciones
Ordinariamente se reemplaza el valor de x dentro la función
Ejemplo 1.2. Sea la función f(x) = x2
+ 8, Calcular f(
√
2)
f(x) = x2
+ 8
f(
√
2) = (
√
2)2
+ 8
f(
√
2) = 2 + 8 = 10
f(
√
2) = 10

Ejemplo 1.3. Sea la función Φ(x) =
x + 2
2x2 − 5
, Escribir la función f
2
x
. Se
reemplaza x por
2
x
dentro la función:
Φ
2
x
=
2
x
+ 2
2
2
x
2
− 5
=
2 + 2x
x
2
4
x2
− 5
=
2 + 2x
x
8 − 5x2
x2
=
2 + 2x
x
·
x2
8 − 5x2
=
2x(1 + x)
8 − 5x2
Φ
2
x
=
2x(1 + x)
8 − 5x2

Ejemplo 1.4. φ(x) = log
1 − x
1 + x
, comprobar la igualdad φ(a)+φ(b) = φ
a + b
1 + ab
Al reemplazar x por a y b dentro la función φ(x) tenemos respectivamente
φ(a) = log
1 − a
1 + a
φ(b) = log
1 − b
1 + b
φ(a) + φ(b) = log
1 − a
1 + a
+ log
1 − b
1 + b
= log
(1 − a)(1 − b)
(1 + a)(1 + b)
φ
a + b
1 + ab
= log
1 −
a + b
1 + ab
1 +
a + b
1 + ab
= log
1 + ab − a − b
1 + ab
·
1 + ab
1 + ab + a + b
= log
1 + ab − a − b
1 + ab + a + b
= log
1 − a − b(1 − a)
1 + a + b(1 + a)
= log
(1 − a)(1 − b)
(1 + a)(1 + b)
→ φ(a) + φ(b) = φ
a + b
1 + ab

Ejemplo 1.5. Si f(x) = log x y ϕ(x) = x3
, escribir
1. f[ϕ(2)]
2. ϕ[f(a)]
El ejercicio es un caso de funciones compuestas
1.
f[ϕ(x)] = log [ϕ(x)] = log x3
f[ϕ(2)] = log [ϕ(2)], ϕ(2) = 23
= log 23
= 3 log 2
2.
f(a) = log a
ϕ[f(a)] = (log a)3
Ejemplo 1.6. Hallar los dominios naturales de la función f(x) =
√
x + 4 +
4
√
x − 9.√
x + 4 es denida por x ≥ −4
4
√
x − 9 es denida por x ≥ 9
Por lo tanto la función completa es denida por x ≥ 9
Ejemplo 1.7. Hallar los dominios naturales de f(x) = arc sen2
x
Sea y = arc sen2
x →
√
y = arc sen x y x = sen
√
y
El argumento −1 ≤ x ≤ 1
Por x = ±1,
√
y = ±
π
2
→ y =
π2
4
= 2.47
Ejemplo 1.8. Hallar los dominios naturales de la curva ρ = a
√
cos 2θ
cos 2θ ≥ 0 → −
π
4
≤ θ ≤
π
4

2 Los limites
El limite de una variable x tiende hacia un valor a de tal manera que la di-
ferencia |x − a| es innitamente pequeño sin nunca alcanzar el valor a. |x − a|
, con muy pequeño y, = 0.
Se escribe x → a o l´ım x = a
Ejemplo 2.1. Si los términos de una serie S(n) son a, a+
1
2
, a+
1
22
, a+
1
23
, . . . , a+
1
2n
.
Si n → ∞, el ultimo termino de la serie sera a + 2−n
.
Al suponer que n = 1000, el ultimo termino sera a+2−1000
donde 2−1000
= 9.33·10−302
.
Se escribe l´ım
n→∞
S(n) = a por l´ım 2−1000
= 0
2.1 Limites de función
Sea una función y = f(x). A un valor de la variable independiente x - abscisa del
punto P- corresponde un valor de f(x) de la función.
Figura 2. Valor de una función b = f(a)
Ejemplo 2.2. Así con la función y =
x2
4
, por x = 2, f(x) =
22
4
=
4
4
= 1
A cada valor de la variable independiente x corresponde un valor de la función
f(x). Al suponer que tenemos un valor de variable independiente x = a, el valor
correspondiente de la función sera b = f(a).

Consideremos un punto a la vecindad derecha del punto P[a, f(a)] tal que el valor
de la variable independiente sea a + ∆xa, el valor de la función sera
f(a + ∆xa) = b + ∆yb con ∆xa 0.
Los valores de ∆xa y ∆yb son innitamente pequeños.
Entonces xa → a y l´ım xa = a
La función f(x + ∆xa) → b y se escribe l´ım
x→a+
f(x + ∆xa) = b. Se escribe x → a+
porque la variación ∆xa se hace a la derecha de x = a
Un razonamiento semejante si se considera un punto a la izquierda de P.
Si el valor de la variable independiente es a − ∆xa, el valor de la función sera
f(a − ∆xa) = b − ∆yb con ∆xa 0.
Se escribirá l´ım
x→a−
f(x − ∆xa) = b.
Cuando el crecimiento ∆xa por la izquierda y por la derecha llega a el mismo valor
b, se trata de continuidad de función.
Vamos a ver que hay funciones donde el crecimiento ∆x por la izquierda y por
la derecha llegan a unos valores diferentes. Son unos casos de discontinuidad de
función.
2.2 Función denida y indenida
Una función y = f(x) es denida cuando y = f(a) por x = a.
Una función y = f(x) es indenida cuando l´ım
x→a
f(x) = ∞ por un valor de x.
Ejemplo 2.3. Función denida
y =
√
x2 + 4
l´ım
x→2
√
x2 + 4 =
√
22 + 4 = 2
√
2
Nota bien que por l´ım
x→∞
f(x) = ∞
Ejemplo 2.4. Función indenida
y =
1
x − 2
l´ım
x→2
1
x − 2
= ∞
La función es indenida por x = 2

2.3 Función continua
Una función es continua por un valor de x = a cuando l´ım
x→a+
f(x) = l´ım
x→a−
f(x) = b
Ejemplo 2.5. Sea la función f(x) = x2
−2x+3. Sea un punto de abscisa x = 2,
el valor de la función sera f(2) = 22
− 2 · 2 + 3 = 3
l´ım
x→2+
f(x) = 3 f(2 + ∆x) → 3 por ∆x → 0 por la derecha
l´ım
x→2−
f(x) = 3 f(2 − ∆x) → 3 por ∆x → 0 por la izquierda
Figura 3. Función f(x)continua en un punto x = 2
2.3.1. Ejemplos de funciones continuas
Ejemplo 2.6. f(x) = | sen x|
La función es cíclica por los valores de x = kπ con k entero pues sen kπ = 0.
La función es siempre positiva. l´ım
x→kπ
sen x = 0
Figura 4. f(x) = sen x

La función pueden ser denida por dominio de x:
Ejemplo 2.7.
f(x) = x por x 0
f(x) = −x por x 0
Figura 5. Función f(x) denida por dominio de la variable indepen-
diente x
La función es continua en x = 0 porque l´ım
x→0+
f(x) = l´ım
x→0−
f(x) = 0
2.4 Función discontinua
Una función es discontinua por un valor de x = a cuando l´ım
x→a+
f(x) = l´ım
x→a−
f(x) =
b
Ejemplo 2.8.
f(x) = 1 por x 0
f(x) = −1 por x 0
Por un valor de x = −∆x negativo y ∆x innitamente pequeño, el valor de f(x) = −1
Por un valor de x = ∆x positivo y ∆x innitamente pequeño, el valor de f(x) = 1
Se dice que hay discontinuidad por x = 0.

Figura 6. Función discontinua en x = 0
2.4.1. Ejemplos de funciones discontinuas
Existe también funciones que tienen asintotas como
Ejemplo 2.9. l´ım
x→0
f(x) =
1
x
.
Al tomar ∆x = 0.001, tendremos f(x) = 1000
y si ∆x = −0.001, tendremos f(x) = −1000
Esta función tiene entonces discontinuidad por x = 0:
l´ım
x→0+
1
x
= +∞
l´ım
x→0−
1
x
= −∞
Figura 7. f(x) =
1
x
, función discontinua en x = 0

Ejemplo 2.10. l´ım
x→∞
f(x) =
x − 1
x(x2 − 4)
La función puede escribirse bajo la forma de suma de funciones fraccionarias,
f(x) =
A
x
+
B
x − 2
+
C
x + 2
=
A(x2
− 4) + Bx(x + 2) + Cx(x − 2)
x(x2 − 4)
=
x2
(A + B + C) + x(2B − 2C) − 4A
x(x2 − 4)
Por identicación de los coecientes:
Coeciente de x2
: A + B + C = 0
Coeciente de x : 2B − 2C = 1
Término independiente : − 4A = −1 −→ A =
1
4
B + C = −
1
4
B − C =
1
2
B =
1
2
1
2
−
1
4
=
1
8
C =
1
2
−
1
2
−
1
4
= −
3
8
La función f(x) =
x − 1
x(x2 − 4)
es equivalente a
f(x) =
1
4x
+
1
8(x − 2)
−
3
8(x + 2)
l´ım
x→∞
x − 1
x(x2 − 4)
=
l´ım
x→∞
1
4x
+ l´ım
x→∞
1
8(x − 2)
− l´ım
x→∞
3
8(x + 2)
= 0

Se examina las vecindades al rededor de x = 0 y en x = ±2:
x = −2 ± ∆x, Punto A,
l´ım
∆x→0+
f(−2 + ∆x) = l´ım
∆x→0+
1
4(−2 + ∆x)
+
1
8(−2 + ∆x − 2)
−
3
8(−2 + ∆x + 2)
= −
1
8
−
1
32
− l´ım
∆x→0+
3
8∆x
= −∞
l´ım
∆x→0−
f(−2 − ∆x) = l´ım
∆x→0−
1
4(−2 − ∆x)
+
1
8(−2 − ∆x − 2)
−
3
8(−2 − ∆x + 2)
= −
1
8
−
1
32
− l´ım
∆x→0−
3
−8∆x
= +∞
x = 0 ± ∆x, Punto B,
l´ım
∆x→0+
f(∆x) = l´ım
∆x→0+
1
4∆x
+ l´ım
∆x→0+
1
8(∆x − 2)
− l´ım
∆x→0+
3
8(∆x + 2)
= l´ım
∆x→0+
1
4∆x
−
1
16
−
3
16
= +∞
l´ım
∆x→0−
f(−∆x) = l´ım
∆x→0−
1
−4∆x
+ l´ım
∆x→0−
1
8(−∆x − 2)
− l´ım
∆x→0−
3
8(−∆x + 2)
= l´ım
∆x→0−
1
−4∆x
−
1
16
−
3
16
= −∞
x = 2 ± ∆x, Punto C,
l´ım
∆x→0+
f(2 + ∆x) = l´ım
∆x→0+
1
4(2 + ∆x)
+
1
8(2 + ∆x − 2)
−
3
8(2 + ∆x + 2)
=
1
8
+ l´ım
∆x→0+
1
8∆x
−
3
32
= +∞
l´ım
∆x→0−
f(2 − ∆x) = l´ım
∆x→0−
1
4(2 − ∆x)
+
1
8(2 − ∆x − 2)
−
3
8(2 − ∆x + 2)
=
1
8
+ l´ım
∆x→0−
−
1
8∆x
−
3
32
= −∞

Figura 8. Discontinuidad en A(x = −2), B(x = 0) y C(x = 2)
2.5 Propiedades de los limites
Sean los limites l´ım
x→a
f(x) y l´ım
x→a
g(x)
1. l´ım
x→a
[kf(x)] = k l´ım
x→a
f(x)
2. l´ım
x→a
[f(x) ± g(x)] = l´ım
x→a
f(x) ± l´ım
x→a
g(x)
3. l´ım
x→a
[f(x) · g(x)] = l´ım
x→a
f(x) · l´ım
x→a
g(x)
4. l´ım
x→a
f(x)
g(x)
=
l´ım
x→a
f(x)
l´ım
x→a
g(x)
5. l´ım
x→a
[f(x)]n
= [l´ım
x→a
f(x)]n

2.6 Limites a memorizar
Los dos limites a memorizar son l´ım
x→0
sen x
x
= 1
l´ım
x→∞
1 +
1
x
x
= e donde e = 2.718 . . .
2.7 La función exponencial
La función exponencial es de tipo f(x) = ex
.
Bajo la forma de polinomio ex
=
∞
n=0
xn
n!
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ . . . .
2.8 Solucionar los siguientes limites
Ejemplo 2.11. Hallar el limite l´ım
x→∞
x2
+ x − 1
2x + 5
.
La función es equivalente a
1
2
·
x2
+ x − 1
x +
5
2
.
La potencia del numerador es superior a la potencia del denominador, el trinomio
x2
+ x − 1 debe ser igual a un producto de binomio C(x)(2x + 5) mas un resto R:
Donde C(x) es el cociente y 2x + 5 es el divisor.
x2
+ x − 1 = 2
C(x)
2
x +
5
2
+ R.
Por el método de Runi, tendremos
1 1 −1
−
5
2
−
5
2
15
4
1 −
3
2
11
4
Cuadro 1. Division de
x2
+ x − 1
2x + 5

El cociente es C(x) = x −
3
2
−→
C(x)
2
=
x
2
−
3
4
y el resto R =
11
4
.
La función x2
+ x − 1 = (2x + 5)
x
2
−
3
4
+
11
4
l´ım
x→∞
x2
+ x − 1
2x + 5
= l´ım
x→∞
x
2
−
3
4
+ l´ım
x→∞
11
4(2x + 5)
l´ım
x→∞
x
2
−
3
4
= ∞, l´ım
x→∞
11
4(2x + 5)
= 0
l´ım
x→∞
x2
+ x − 1
2x + 5
= ∞ + 0 = ∞
l´ım
x→∞
x2
+ x − 1
2x + 5
= ∞
x→2
x2
− 5x + 6
x2 − 12x + 20
Al reemplazar el valor de x por 2, la expresión fraccionaria vuelve a ser :
22
− 5 · 2 + 6
22 − 12 · 2 + 20
=
4 − 10 + 6
4 − 24 + 20
=
0
0
lo que nos lleva a una indeterminación.
La resolución del limite nos lleva a considerar unas simplicaciones del numera-
dor y del denominador:
x2
− 5x + 6
x2 − 12x + 20
=
(x − 2)(x − 3)
(x − 2)(x − 10)
=
x − 3
x − 10
l´ım
x→2
x2
− 5x + 6
x2 − 12x + 20
= l´ım
x→2
x − 3
x − 10
=
2 − 3
2 − 10
=
−1
−8
l´ım
x→2
x2
− 5x + 6
x2 − 12x + 20
=
1
8
x→0
tg x − sen x
x3
.
En esta clases de problema de limites, hay que usar
las propiedades trigonométricas :
tg x − sen x
x3
=
sen x
x3
1
cos x
− 1
sen x = 2 sen
x
2
cos
x
2
, cos x = 1 − 2 sen2 x
2

Al reemplazar los valores se sen x y de cos x dentro
sen x
x3
1
cos x
− 1 , se obtiene
tg x − sen x
x3
=
2 sen
x
2
cos
x
2
x3

 1
1 − 2 sen2
x
2
− 1


=
2 sen
x
2
cos
x
2
x3


1 − 1 + 2 sen2 x
2
1 − 2 sen2
x
2


=
4 sen3 x
2
cos
x
2
x3

 1
1 − 2 sen2
x
2


La expresión
4 sen3 x
2
cos
x
2
x3
puede escribirse bajo la forma
4 cos
x
2
8


sen
x
2
x
2


3
l´ım
x→0
tg x − sen x
x3
= l´ım
x→0
4 cos
x
2
8


sen
x
2
x
2


3
· l´ım
x→0

 1
1 − 2 sen2
x
2


l´ım
x→0
4 cos
x
2
8


sen
x
2
x
2


3
=
4 · 1
8
· 13
=
1
2
, se recuerda que l´ım
x→0
sen
x
2
x
2
= 1
l´ım
x→0

 1
1 − 2 sen2
x
2

 =
1
1 − 0
= 1
l´ım
x→0
4 cos
x
2
8


sen
x
2
x
2


3
· l´ım
x→0

 1
1 − 2 sen2
x
2

 =
1
2
· 1 =
1
2
l´ım
x→0
tg x − sen x
x3
=
1
2

x→0+
x
√
1 − cos x
Al reemplazar x por 0, tendremos una indeterminación :
l´ım
x→0+
x
√
1 − cos x
=
0
√
1 − 1
.
Utilizar la propiedad trigonométrica 1 − cos x = 2 sen2 x
2
:
l´ım
x→0+
x
√
1 − cos x
= l´ım
x→0+
x
2 sen2
x
2
= l´ım
x→0+
x
√
2 sen
x
2
= l´ım
x→0+
2 ·
x
2
√
2 sen
x
2
l´ım
x→0+
x
√
1 − cos x
=
2
√
2
l´ım
x→0+
x
2
sen
x
2
l´ım
x→0+
x
2
sen
x
2
= 1
l´ım
x→0+
x
√
1 − cos x
=
2
√
2
l´ım
x→0+
x
√
1 − cos x
=
2
√
2
=
√
2
x→0
2 arc sen x
3x
Sea arc sen x = y −→ x = sen y
l´ım
x→0
2 arc sen x
3x
= l´ım
y→0
2y
3 sen y
=
2
3
· l´ım
y→0
y
sen y
Por l´ım
y→0
y
sen y
= 1, l´ım
y→0
2y
3 sen y
=
2
3

l´ım
x→0
2 arc sen x
3x
=
2
3
Ejemplo 2.16. Hallar l´ım
x→∞
1 −
1
x
x
sabiendo que l´ım
x→∞
1 +
1
x
x
= e
Hacemos un cambio de variable tal que −
1
x
= y −→ x = −
1
y
, obtenemos la siguiente
expresión
l´ım
x→∞
1 −
1
x
x
= l´ım
y→0
(1 + y)−1/y
= l´ım
y→0
1
(1 + y)1/y
=
1
e
l´ım
x→∞
1 −
1
x
x
=
1
e
x→0
ln (1 + αx)
x
Se utiliza la propiedades de los logaritmos
ln (1 + αx)
x
= ln (1 + αx)1/x
Se observa el cambio de variable para obtener una expresión del tipo 1 +
1
x
x
.
La expresión (1 + αx)1/x
es equivalente a
(1 + αx)α/αx
= [(1 + αx)1/αx
]α
l´ım
x→0
ln (1 + αx)
x
= l´ım
x→0
ln [(1 + αx)1/αx
]α
= α l´ım
x→0
ln (1 + αx)1/αx
Por l´ım
x→0
(1 + αx)1/αx
= e −→ l´ım
x→0
ln (1 + αx)1/αx
= 1
Finalmente l´ım
x→0
ln (1 + αx)
x
= α

x→0
eαx
− eβx
x
El problema se soluciona por la formula en polinomio de la función exponencial
ex
= 1 + x +
x2
2
+
x3
6
+ . . .:
eαx
= 1 + αx +
α2
x2
2
+ . . .
eβx
= 1 + βx +
β2
x2
2
+ . . .
eαx
− eβx
= x(α − β) +
x2
(α2
− β2
)
2
+ . . .
l´ım
x→0
eαx
− eβx
x
= α − β
l´ım
x→0
eαx
− eβx
x
= α − β
x→0
eαx
− eβx
sen (αx) − sen (βx)
.
La expresión puede escribirse según una razón de los limites del numerador y del
denominador l´ım
x→0
eαx
− eβx
x
· l´ım
x→0
x
eαx
= 1 + αx +
α2
x2
2
+ . . .
eβx
= 1 + βx +
β2
x2
2
+ . . .
eαx
− eβx
= x(α − β) +
x2
(α2
− β2
)
2
+ . . .
l´ım
x→0
eαx
− eβx
x
= α − β
l´ım
x→0
[sen (αx) − sen (βx)] = 2 l´ım
x→0
sen
x(α − β)
2
cos
x(α + β)
2
La expresión completa se escribe
l´ım
x→0
eαx
− eβx
x
2 l´ım
x→0
sen
x(α − β)
2
cos
x(α + β)
2
x

x(α − β)
2 l´ım
x→0
sen
x(α − β)
2
cos
x(α + β)
2
=
x(α − β)
2
l´ım
x→0
sen
x(α − β)
2
· l´ım
x→0
cos
x(α + β)
2
l´ım
x→0
cos
x(α + β)
2
= 1, l´ım
x→0
x(α − β)
2
sen
x(α − β)
2
= 1
l´ım
x→0
eαx
− eβx
= 1
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
Por
√
1 − x, el valor de x 1
El ejemplo nos da una indeterminada cuando se reemplaza x por 1.
Se multiplica el denominador y el numerador por
√
1 + x +
√
1 − x:
l´ım
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
= l´ım
x→0
(
√
1 + x −
√
1 − x)(
√
1 + x + 1 − x)
x(
√
1 + x +
√
1 − x)
= l´ım
x→0
1 + x − 1 + x
x(
√
1 + x + 1 − x)
= l´ım
x→0
2x
x(
√
1 + x +
√
1 − x)
= l´ım
x→0
2
√
1 + x +
√
1 − x
=
2
2
= 1
l´ım
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
x
= 1

2.9 Hallar los puntos de discontinuidad de las funciones
Ejemplo 2.21. y = tg x.
La función presenta valores innitas por x0 = ±
π
2
.
La discontinuidad se muestra cuando l´ım
∆x→0+
f(
π
2
+ ∆x) = l´ım
∆x→0−
f(
π
2
− ∆x) con ∆x
innitamente pequeño.
Al desarrollar f(
π
2
± ∆x), tendremos
f(
π
2
+ ∆x) = tg (
π
2
+ ∆x)
=
tg
π
2
+ tg ∆x
1 − tg
π
2
tg ∆x
=
tg
π
2

1 +
tg ∆x
tg
π
2


tg
π
2

 1
tg
π
2
− tg ∆x


tg (
π
2
+ ∆x) =

1 +
tg ∆x
tg
π
2



 1
tg
π
2
− tg ∆x


= −
1
tg ∆x
por
1
tg
π
2
= 0
Finalmente l´ım
∆x→0+
−
1
tg ∆x
= −∞
Por un calculo semejante,
tg (
π
2
− ∆x) =
1
tg ∆x
l´ım
∆x→0−
1
tg ∆x
= ∞

La función f(x) = tg x presenta entonces unas discontinuidades en x = ±
π
2
y en
x = ±
3π
2
.
Ejemplo 2.22. y = tg
1
x
La función tg
1
x
presenta una discontinuidad en x = 0. En efecto por pequeño varia-
ción de x, grande son la variaciones de
1
x
, y entonces los valores de tg
1
x
saltan.
A parte de eso, la función presenta discontinuidades por los valores de x correspon-
diendo a
1
x
= ±
π
2
−→ x = ±
2
π
1
x
= ±
3π
2
−→ x = ±
2
3π
1
x
= ±
(2k + 1)π
2
−→ x = ±
2
(2k + 1)π
con k entero
La función f(x) = tg
1
x
presenta discontinuidades en x = 0, x = ±
2
(2k + 1)π

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