Este documento explica las funciones periódicas y la serie de Fourier. Define una función periódica como aquella que cumple f(t)=f(t+T) para algún periodo T. Explica que la suma de dos funciones periódicas no siempre es periódica. También describe cómo Fourier y otros matemáticos resolvieron la ecuación del calor mediante series trigonométricas, llegando a la conclusión de que cualquier función puede expresarse como una serie de este tipo.

1. FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el
periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Obser va que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
1

2. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )?
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t + T) = cos ( t +T
3 ) + cos ( t +T
4 ) = f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )
Como cos(t + 2k π ) = cos(t) para cualquier entero
k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se
requiere que:
T/3 = 2k 1 π y T/4 = 2k 2 π .
Es decir:
T = 6k 1 π = 8k 2 π
con k 1 y k 2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k 1 = 4, k 2 = 3, 2
es decir, T = 24 π .

3. Gráfica de la función f(t) = cos ( 3 ) + cos (
t t
4 )
3
T f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
1
f(t)
0
-1
-2
24π
-3
0 50 100 150 200
t
3

4. ¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos( ω 1 t) + cos( ω 2 t).
Para que sea periódica se requiere encontrar
dos enteros m, n tales que:
ω 1T = 2 π m y ω 2T =
2 π n.
Es decir, que cumplan:
ω1 m
T = m/ (2 π ω 1 ) = n/ (2 π ω 2 ) =
ω2 n 4

5. Ejemplo: para la función cos(3t) + cos(( π +3)t)
tenemos que ω 3 1
=
ω2 3+ π
¿Es periódica?
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
2
1
f(t)
0
-1
-2
0 5 10 15 20 25 30
t 5

6. Para que exista periodicidad ω 1 / ω 2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
• f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
• f(t) = sen 2 (2 π t)
• f(t) = sen(t) + sen(t + π/2 )
• f(t) = sen( ω 1 t) + cos( ω 2 t)
• f(t) = sen( √ 2 t)
6

7. Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
7

8. Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
 1  1
0≤t ≤
sen(2 Nπt ), 0 ≤ t ≤ N 0, N
f1 (t ) =  f 2 (t ) = 
1 1
 0, < t <1 sen(2 Nπt ), < t <1
 N  N
extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:
f1 (t ) = f1 (t + 1), − ∞ < t < +∞ f 2 (t ) = f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
 sen(2 Nπt ) , 0 ≤ t <1
f1 (t ) + f 2 (t ) = 
 f1 (t + 1) + f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞
2π 2π 1
T= = =
ω 2 Nπ N 8

9. ¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo
fundamental?
1 si t es un entero
f1 (t ) = 
0 si t no es un entero
1 si t y t + T son enteros
f1 (t ) = f1 (t + T ) = 
0 si t y t + T no son enteros
⇒ T =1
9

10. 1 si t es racional pero no un entero
f 2 (t ) = 
0 si t es irracional o es un entero
1 si t y t + T son racionales pero no enteros
f 2 (t ) = f 2 (t + T ) = 
0 si t y t + T son irracionales o enteros
⇒ T =1
 1 si t es racional
f1 (t ) + f 2 (t ) = 
 0 si t es irracional
T=? 10

11. Volvamos al resultado π − t = sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...
de Euler: 2 2 3
S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ...

¿Cómo lo alcanzó?  it
e S (t ) = e i 2t + e i 3t + ...

Utilizando la fórmula de e it 1 1 sen t
Euler para cada término: S (t ) = = − +i
1 − e it 2 2 1 − cos t
S (t ) = e + e + e + ... =
it i 2t i 3t
cos t + cos(2t ) + cos(3t ) + ... + i { sen t + sen(2t ) + sen(3t ) + ...}

1
−
Integrando 2 sen(2t ) sen(3t ) 1
término a término: sen t + + + ... = − t + C
2 3 2
Particularizamos t π 1 1 1 π π
para encontrar C: t = → 1 − + − + ... = − + C ; C =
2 5 
3  7  4 2
π 11
4

12. π −t sen(2t ) sen(3t )
= sen t + + + ...
2 2 3
π +t sen(−2t ) sen(−3t )
= sen(− t ) + + + ...
2 2 3
t π sen(2t ) sen(3t )
+ = − sen(t ) − − − ...
2 2 2 3
12

13. (1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de
periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.
Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...
Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o
sospechada ni por Euler, ni por Fourier... 13

14. Leonhard Euler
Jean 1707-1783
d'Alembert
1717-1783
Daniel
Lagrange
Bernouilli
1700-1782
14

15. Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.
Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible
tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una
15
función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.
Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

16. 16

17. En realidad la forma de solucionar el problema por parte
de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta.
Se basó en la superposición de ondas y tomó como
solución:
un(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos
o nodos.
∞
u( x ,t ) = ∑ an sen( nx ) cos( nt )
n =1
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
17

18. Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
∂ u( x ,t ) ∂ u( x ,t )
2 2
= ; c.i . y c.c.
∂t 2
∂x 2
X ' ' ( x ) + λX ( x ) = 0 , x ∈ ( 0 ,1 ), X ( 0 ) = X ( 1 ) = 0
T ' ' ( t ) + λT ( t ) = 0 , t > 0.
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
∞
f ( x ) = u( x ,0 ) = ∑ an sen( nx )
n =1
con una adecuada elección de los coeficientes an...
18

19. JOSEPH
FOURIER
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier
1768-1830
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
era uno de los muchos que opinaba que algo así
era simplemente imposible... 19

20. Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.
Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).
20

21. Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la
ecuación del calor o de difusión:
∂ u 1 ∂u
2
=
∂x 2
k ∂t
Describe cómo el calor o una gota de tinta se
difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables
trasatlánticos, edad de la Tierra,...
21

22. ∂ 2u( x ,t ) 1 ∂u( x ,t ) u( x ,t ) = X ( x )T ( t )
=
∂x 2
k ∂t X ( x )T ' ( t ) = X ' ' ( x )T ( t )
u( 0 , t ) = u( π , t ) = 0; t ≤ 0
con X ( 0 ) = X ( π ) = 0
u( x ,0 ) = f ( x ); 0 ≤ x ≤ π
Dividiendo entre X(x)T(t):
T' ( t ) X ' ' ( x )
= =A , A = cte.
T( t ) X( x )
T ' ( t ) = AT ( t ); T ( t ) = C0 e At
X ' ' ( x ) = AX ( x ); X ( x ) = C1 cos( − A x ) + C2 sen( − A x )
C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
− n 2t
u n ( x ,t ) = e sen(22 )
nx

23. − n 2t
La combinación lineal de soluciones u n ( x ,t ) = e sen( nx )
será también solución:
∞
u( x , t ) = ∑ a n u n ( x , t )
n =1
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los
coeficientes an.
23

24. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE
FOURIER
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la
siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier
Donde ω 0 = 2 π /T se denomina frecuencia fundamental.
f (t ) = 2 a0 + a1 cos(ω0t ) + a2 cos(2ω0t ) + a3 cos(3ω0t ) + ...
1
... + b1sen(ω0t ) + b2 sen(2ω0t ) + b3 sen(3ω0t ) + ...
∞
f (t ) = a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
1
2
n =1 24

25. π −t sen(2t ) sen(3t )
= sen t + + + ...
2 2 3
∞
f (t ) = 1 a0 + ∑ [an cos(nω0t ) + bn sen(nω0t )]
2
n =1
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
25