Este documento trata sobre los conceptos de polos y ceros de una función de transferencia y su relación con la estabilidad de sistemas de control. Explica cómo identificar polos y ceros a partir de la expresión de una función de transferencia y analiza la estabilidad según la ubicación de los polos en el plano complejo. También resume métodos como Routh-Hurwitz y Nyquist para determinar la estabilidad absoluta o relativa de un sistema.

1. Universidad Politécnica Territorial Del Estado Trujillo
“ Mario Briceño Iragorry “
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología.
Programa Nacional de Formación en Electricidad.
(PNF ELECTRICIDAD)
Valera Edo Trujillo.
Abril 2021.
Ing. Mayra Peña.
Unidad III:
Ceros y polos de una función de
transferencia.
Análisis en el dominio del tiempo.

2. La función de transferencia G(s) de un sistema lineal invariante
en el tiempo, puede expresarse como el cociente de dos polinomios
en “s”; es decir:
Polos y ceros de una función de transferencia.
G(s)
Q(s) P(s)
Otra forma de expresar la ecuación es la de descomponer los
polinomios Q(s) y P(s) en sus factores, o lo que es equivalente,
obtener las raíces de las ecuaciones Q(s) = 0 y P(s) = 0.
G(s) = Salida / Entrada = Q(S) / P(s) G(s) = Polinomio salida / Polinomio entrada

3. Cuando en la ecuación existen polos o ceros iguales se dice
que el sistema tiene polos o ceros múltiples y esa multiplicidad se
tomará en cuenta al considerar el grado del denominador o
numerador. En caso de que los polos o ceros no se repitan se dirá
que el sistema tiene solamente polos o ceros simples.
Polos y ceros de una función de transferencia.
Si ahora se expresa a G(s) como el producto de los factores
lineales que incluyen a esas raíces, la ecuación se convierte en:

4. Un error común es el pensar que la función:
Cancelación de polos y ceros
(s+3)(s-1)
(s-1)
Es la misma que (s + 3).
En teoría son equivalentes, ya que el polo y el cero que se
encuentra en s = 1 se cancelan mutuamente lo que es conocido
como la cancelación de polos y ceros. Sin embargo, piense lo que
pasaría si esto fuera una función de transferencia de un sistema
que fue creado físicamente con un circuito. En este caso, no es
común que el polo y el cero permanezca en un mismo lugar. Un
cambio de temperatura, podría causar que ellos se movieran. Si
esto pasara se crearía volatilidad en esa área, ya que ocurrió un
cambio de infinito en un polo a cero en el cero en una región de
señales.

5. Concepto de estabilidad
Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable
cuando:
• Todos los polos de su función de transferencia tiene parte
real negativa.
• Su respuesta impulsional tiende a cero.
• Ante una entrada acotada responde con salida acotada.

6. La localización de polos de un sistema en el plano s representa la respuesta
transitoria resultante.
La localización de polos de un sistema en el plano
Las zonas de estabilidad en el plano s.

7. Ejemplos:
Hallar los polos y ceros de las siguientes funciones de transferencias.
1) G(s) =
(s - 1)
(s² - 4s + 4)
Identificamos los polos y ceros en FT.
Ceros: s – 1 → s = 1
Polos: s² - 4s + 4
Para hallar los polos de la ecuación aplicamos:
Obteniendo las raíces: s = 2
s = 2.
Por lo que se dice que el sistema es inestable.
2) G(s) =
(s + 3) (s - 1)
s (s + 2) (s + 3) (s-4)
Identificamos los polos y ceros en FT.
Ceros: (s + 3) (s +1) → s = -3; s = -1
Polos: s (s + 2) (s + 3) (s-4) → s = 0;
s = - 2; s = - 3; s = 4.

8. Nuestro problema ahora es determinar la estabilidad de un
sistema de control, para ello existen varios métodos para deter-
minar la estabilidad de un sistema realimentado, estos involucran
las raíces de la ecuación característica. Los métodos más utilizados
para estudiar la estabilidad de sistemas de control son:
• Criterio de Routh–Hurwitz.
• Criterio de Nyquist.
• Método de Diagrama de Bode.
¿Cómo determinar la estabilidad de un sistema?

9. Criterio de Routh Hurtwitz.
En la década de 1890, A. Hurtwitz y E. J. Routh publicaron, en
forma separada, un procedimiento numérico para determinar la
estabilidad de un sistema a partir de su ecuación característica:
1 + G(s)*H(s) = 0.
Este método es un arreglo numérico que tiene como objetivo
determinar el número de raíces de un polinomio característico que
estén en el semiplano derecho del plano s.
Por eso, al procedimiento de Routh - Hurtwitz se le denomina
método de estabilidad absoluta, ya que el resultado no indica la
posición específica de los polos, como en el caso de los distintos
métodos de evaluación de raíces de polinomios; sin embargo, aún
en la actualidad es una herramienta de suma importancia, pues es
posible establecer el rango de valores de ganancia ajustable K
para los cuales los sistemas de lazo cerrado son estables.

10. El primer paso para determinar la estabilidad absoluta de un polinomio
característico 1 + G(s)H(s) = 0 es representarlo en su respectivo arreglo de
Routh-Hurwitz.
Sea el polinomio característico de grado n:
Para comenzar el arreglo, se procede a escribir una columna de términos en s,
iniciando con la potencia de mayor grado sn y de ahí en orden descendente
hasta llegar al término independiente s0; a continuación se distribuyen en el
arreglo los coeficientes an, an−1, … a1 y a0 en pares de dos en dos, según se
muestra en la figura.
Criterio de Routh Hurtwitz.

11. Después se procede a completar el arreglo, agregando los elementos b1, b2,
… c1, c2, …, que corresponden a las filas de los elementos bi , ci , etcétera y
se calculan de la siguiente manera:
La tabla continúa verticalmente hasta terminar el arreglo, pero una vez que
éste ha sido completado se aplica el criterio de Routh-Hurtwitz, el cual
establece que el número de cambios de signos en la columna principal
corresponde al número de raíces que se encuentren a la derecha del eje j
(semiplano derecho). Lo anterior se muestra en la figura.
Criterio de Routh Hurtwitz.

12. Casos especiales:
Criterio de Routh Hurtwitz.
• Cuando el primer elemento de una fila es cero.
Si un cero aparece en el primer elemento de la fila, la tabulación
de Routh no debe continuar, para remediar la situación, debemos
reemplazar el cero por un número positivo muy pequeño ε y se
continua con el proceso de la tabulación de Routh
• Cuando toda una fila es cero.
Cuando toda la fila son ceros, se debe usar una ecuación auxiliar
A(s) = 0, está formada por la fila justo arriba a la de ceros, luego
se deriva la ecuación auxiliar y los coeficientes resultantes de esa
operación se sustituyen en la fila de ceros, luego se continua con
el procedimiento de Routh.

13. Ejemplos:
Estudiar empleando el método de Routh, la estabilidad absoluta
de un sistema que representa el siguiente polinomio característico.

14. Criterio de Nyquist.
Determina la estabilidad de un sistema a lazo cerrado a partir de
la respuesta de frecuencia en lazo abierto y los polos a lazo abierto,
por esta razón podemos decir que es un método semi gráfico que
suministra información sobre la diferencia entre el número de polos
y ceros de la función de transferencia de lazo cerrado o
realimentado que se encuentran en el lado derecho del plano s.
Para aplicar el criterio de Nyquist, es necesario desarrollar los
diagramas polares que permiten graficar la respuesta de frecuencia
de un sistema realimentado, estos diagramas son útiles para
investigar la estabilidad del sistema y será de mucha ayuda en la
construcción de la gráfica de Nyquist.

15. El diagrama polar de una función transferencia Gt (jω) es una
gráfica de magnitud respecto a un ángulo de fase de Gt (jω),
cuando ω varía de cero a infinito, por tanto se define como el lugar
geométrico de los vectores Gt (jω) ∠ Gt (jω) cuando ω varía de
cero a infinito, los ángulos polares serán positivos si se miden en
sentido contrario a las agujas del reloj y negativos si van en el
mismo sentido de las agujas del reloj a partir del eje real positivo.
Diagramas polares.
Existen para el análisis de los diagramas polares, gráficas
polares de los tipos de control realimentado.

16. Diagramas de Bode.
Este diagrama es una gráfica de la magnitud de La función de
transferencia de lazo abierto G (jω)*H(jω). En decibeles y de la fase de
la función G (jω)*H(jω) en grados, en Función de la frecuencia w. La
estabilidad del sistema en lazo cerrado se puede determinar al observar
el comportamiento de esas graficas.

17. Análisis en el dominio del tiempo.
(respuesta transitoria)

18. Señales de prueba para el análisis de sistemas
dinámicos.
Amplitud
t
H
(t) =
0 t < 0
1 t > = 0
Escalón.
(s) = H / s
Amplitud
t
H
(t) =
0 t < 0
t t > = 0
Rampa.
(s) = 1/ s²
Amplitud
t
H
(t) =
0 t = < 0
1 t = 0
Impulso.
T1 (muy pequeño).
1
0 t > 0
(s) = 1
Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón,
rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. Con estas señales de prueba, es
posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de sistemas
de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples.

19. La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta
de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en
estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la
que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en
estado estable, nos referimos a la manera en la cual se
comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.
Respuesta transitoria y respuesta en estado
estable.

20. Sistemas de primer orden.
b
(s + a)
G(s) = =
k
(1 + ts)
Donde:
Ganancia estática: k.
Constante de tiempo: t
La función de transferencia se define como:
Fisicamente, este sistema
puede representar un circuito
RC, un sistema térmico o
algo similar.
Para el análisis de estos
sistemas usaremos entradas
tales como la función escalón
unitario, rampa unitaria e
impulso unitario. Estableciendo
que las condiciones iniciales
son cero.

21. Sistemas de segundo orden.
b
(s² + a1s + a2)
G(s) = =
kωn²
(s² + 2ξ ωn s + ωn²)
Donde:
Ganancia estática: k.
Frecuencia natural: ωn.
Amortiguamiento: ξ.
La función de transferencia se define como:
En el sistema de segundo orden se pueden obtener las
raíces del denominador, obteniéndose que: ξ puede ser mayor,
menor o igual a 1. Por consiguiente:
ξ < 1 Sistema sub amortiguado.
ξ > 1 Sistema sobre amortiguado.
ξ = 1 Sistema críticamente amortiguado.

22. Sistemas de segundo orden.
• Caso subamortiguado (0 < ξ < 1): en este caso, C(s)/R(s) se
escribe como:
En donde:
ωd, se denomina frecuencia natural amortiguada.
Los polos del sistema se encuentran en:
• Caso críticamente amortiguado (ξ = 1): si los dos polos de (s)/R(s)
son casi iguales, el sistema se aproxima mediante uno críticamente
amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:
• Caso sobreamortiguado (ξ > 1): en este caso, los dos polos de
C(s)/R(s) son reales negativos y diferentes.

23. Sistemas de segundo orden.
El comportamiento dinámico del sistema de segundo
orden se describe a continuación en términos de dos
parámetros ξ y wn.
El valor de ξ toma diferentes valores dependiendo de
su ubicación en el plano s.
El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un
amortiguamiento positivo (ξ>0), esto causa que la
respuesta escalón unitario establezca un valor final
constante en el estado estable debido al exponente
negativo (-ξwnt). Por lo tanto el sistema es estable.
El semiplano derecho del plano s corresponde a un
amortiguamiento negativo (ξ<0). El amortiguamiento
negativo da una respuesta que crece en magnitud sin
limite de tiempo, por lo tanto el sistema es inestable.
El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento
de cero (ξ=0). Este resulta en una amortiguación
sostenida, y el sistema es marginalmente estable o
marginalmente inestable

24. Respuestas Transitoria.
Las características de desempeño deseadas del sistema de control
se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Los
sistemas que pueden almacenar energía no responden
instantáneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que están
sujetos a entradas o perturbaciones.
Al especificar las características de la respuesta transitoria de un
sistema de control para una entrada escalón unitario, es común
especificar lo siguiente:
Tiempo de retardo, td.
Tiempo de levantamiento, tr.
Tiempo pico, tp.
Sobrepaso máximo, Mp.
Tiempo de asentamiento, ts.

25. Respuestas Transitoria.
• Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para
que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.
• Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo
requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al
100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden,
por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para
sistemas sobre amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de
10 a 90%.

26. • Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la
respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.
Respuestas Transitoria.
tp es proporcional a ξ e inversamente proporcional a ωn. Al incrementar la
frecuencia natural no amortiguada, se reduce tp
• Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp: el sobrepaso máximo es el valor
pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el
valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es
común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:

27. • Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el
tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un
rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el
porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y
permanezca dentro de el. El tiempo de asentamiento se relaciona
con la mayor constante de tiempo del sistema de control.
Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cual
criterio de error en porcentaje usar.
Respuestas Transitoria.
El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de
tolerancia del 2 o f 5 % se mide en términos de la constante de tiempo
T=1/ξωn si se usa el criterio del 2%, ts es aproximadamente cuatro
veces la constante de tiempo del sistema. Si se usa el criterio del 5%,
ts es aproximadamente tres veces la constante de tiempo.

28. Respuestas Transitoria.
El tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de ξ = 0.76
(para el criterio del 2%) o de ξ = 0.68 (para el criterio del 5%) y después
aumenta casi linealmente para valores grandes de ξ.
El tiempo de asentamiento es inversamente proporcional al producto del
factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada del
sistema. Dado que el valor de ξ se determina, por lo general, a partir de los
requerimientos del sobrepaso máximo permisible, el tiempo de asentamiento se
determina principalmente mediante la frecuencia natural no amortiguada wn.
Esto significa que la duración del transitorio puede variarse, sin modificar el
sobrepaso máximo, ajustando la frecuencia natural no amortiguada ωn.
Para ξ>0.69, el tiempo de asentamiento es inversamente proporcional a ξ y
ωn Una forma practica de reducirlo es el incremento de wn mientras ξ se
mantiene constante. Aun cuando la respuesta se mas oscilatoria el Mp puede
controlarse solo mediante ξ.
Para ξ>0.69 el tiempo de asentamiento es proporcional a ξ e inversamente
proporcional a ωn, nuevamente ts puede reducirse a través de ωn.