Series Fourier

1. Series Exponencial de Fourier Series Exponencial de Fourier
La función elemental más simple que se repite a El conjunto de funciones exponenciales:
sí misma durante la diferenciación es la forma
exponencial compleja: φn(t)=e(jnωo)t; n=0, ±1, ±2, ±3 …
e±(σ+jω)t=e ±st forma un conjunto ortogonal en el intervalo
(t1, t2) si ω0=2π/(t2-t1)
σ y ω son parámetros independientes de t
Nos interesan señales de energía finita, y σ puede Se puede expresar f(t) en términos de un
causar problemas de convergencia por lo que conjunto de exponenciales complejos:
conviene hacer σ=0 N
e±(jω)t puede existir para todo valor de tiempo.
f (t ) = ∑F e ω
n=− N
n
j 0 nt
; t1 < t < t2
ω es la tasa de cambio de fase o frecuencia del Fn son coeficientes a determinar
exponencial complejo. ω=2πf
Series Exponencial de Fourier Ejercicio
El conjunto está completo si la energía del Escriba la representación en Serie de
error entre f(t) y su aproximación tiende a Fourier exponencial compleja en el intervalo
cero conforme n tiende a infinito (-4,4) para la función:
1 −2<t <2
Serie Exponencial de Fourier: f (t ) = 
∞
0 en caso contrario
f (t ) = ∑F e ω
n = −∞
n
j 0 nt
; t1 < t < t2
Cálculo de coeficientes
1 T2
Fn = ∫ f (t )e dt
− jnω t o
T −T 2
1

2. Serie Trigonométrica de Fourier Serie Trigonométrica de Fourier
Objetivo: Representar una f(t) de valor real Evaluación de coeficientes:
utilizando un conjunto de funciones T 2
ortogonales de valor real ∫ f (t ) cos(nω0t )dt 2 T2
= = ∫ f (t ) cos(nω0t )dt
−T 2
an T 2
∫ −T 2
cos (nω0t )dt
2
T −T 2
Serie trigonométrica de Fourier T 2
∫ f (t ) sin( nω0t )dt 2 T2
bn = = ∫ f (t ) sin(nω0t )dt
−T 2
1 ∞ ∞
f (t ) = a0 + ∑ an cos(nω0t ) + ∑ bn sin( nω0t )
T 2
∫ sin (nω0t )dt
2
T −T 2
2 n =1 n =1
−T 2
T 2
1 ∫ f (t )dt 1 T2
a0 = = ∫ f (t )dt
−T 2
T 2
2 ∫ dt T −T 2
−T 2
Relación entre forma exponencial
Serie Trigonométrica de Fourier compleja y forma trigonométrica
La serie trigonométrica de Fourier se
representa en forma compacta como: Cn = 2 | Fn |= 2 Fn Fn*
∞
f (t ) = ∑ Cn cos(nω0t + φn ) φn = tan −1 (Im{Fn } Re{Fn })
n =0
C0 = F0
Donde
Cn = an2 + bn2
φn = tan −1 (− bn a n )
2

3. Extensión por periocidad Extensión por periocidad
Fuera del intervalo (t1,t2), f(t) y su serie de Todo el análisis realizado para series de
Fourier correspondiente no son Fourier es válido si:
necesariamente iguales.
Podemos extender esta representación a Se considera el periodo T de f(t) como el
señales periódicas, las cuales tienen la intervalo para encontrar los coeficientes
forma:
f(t+T)=f(t) para todo t Se divide por T cualquier cálculo que implique
f(t) tiene energía finita en el intervalo energía para obtener un tasa promedio de
energía o potencia.
Tasa promedio de energía, o potencia media,
es constante
Convergencia de la Serie de Fourier Condiciones de Dirichlet
Si una función f(t) cumple con las llamadas La función f(t) tiene sólo un número finito
“Condiciones de Dirichlet” en el intervalo de máximos y mínimos en el intervalo T.
[0,T], entonces se puede escribir una
representación en Series de Fourier que La función f(t) tiene sólo un número finito
converja en f(t) en todos los puntos de de discontinuidades, es decir, es
continuidad. “continua por tramos” en el intervalo T.
La función f(t) satisface la desigualdad:
T
∫0
| f (t ) | dt < ∞
3

4. Análisis de Simetría Propiedades de funciones pares e impares
Nos permite Suma de 2 funciones pares es una función par
Determinar que términos están ausentes de la Suma de 2 funciones impares es una función impar
serie de Fourier Producto de 2 funciones pares es una función par
Simplificar las expresiones de los términos Producto de 2 funciones impares es una función par
restantes Producto de una función impar y una par es una
Propiedades de funciones Pares e Impares función impar
Función par: f(t)=f(− t) para todo t. Es simétrica La derivada de una función par es una función impar
con respecto al eje vertical La derivada de una función impar es una función par
Función impar: f(t)=− f(− t) para todo t. Es
simétrica respecto al origen
Coeficientes de la serie de Fourier de Coeficientes de la serie de Fourier de
funciones pares funciones impares
Serie trigonométrica Serie trigonométrica
4 T2 an = 0
an = ∫0 f (t ) cos(nω0t )dt
T 4 T2
bn = 0
bn = ∫ f (t ) sen(nω0t )dt
T 0
Serie exponencial Serie exponencial
2 T2 − j2 T 2
Fn = ∫0 f (t ) cos(nω0t )dt Fn = ∫ f (t ) sin(nω0t )dt
T T 0
La expansión en serie de Fourier de f(t) La expansión en serie de Fourier de f(t)
periódica par con periodo T, consiste en periódica impar con periodo T, consiste en
sólo términos de cosenos sólo términos de senos
4

5. Simetría Ejercicios
Toda función puede descomponerse en una Una función periódica f(t) con T=2π está
componente par fe(t) y en una componente impar definida dentro del intervalo [0,2π] por:
fo(t) de la forma:
f (t ) = f e (t ) + f o (t ) t 0 ≤ t ≤ (1 / 2)π

f (t ) + f (−t ) f (t ) = (1 2 )π (1 / 2)π ≤ t ≤ π
f e (t ) = π − (1 2)t
2  π ≤ t ≤ 2π
f (t ) − f (−t )
f o (t ) =
2
Obtener la expansión en series de Fourier
Se puede deducir que la componente real de los de f(t) periódica con T=2π, definida por:
coeficientes se debe a la componente par de la
función y el componente imaginario se debe a la f (t ) = t (0 < t < 2π ); f (t ) = f (t + 2π )
componente impar de la función
Propiedades de la Serie Continua de Propiedades de la Serie Continua de
Fourier (1) Fourier (2)
Linealidad Desplazamiento en el tiempo
Si x(t) y y(t) son periódicas con periodo T y: El periodo T se conserva y los coeficientes se
x(t) ↔ Ak expresan como:
y(t) ↔ Bk x(t) ↔ Ak
Entonces y(t)=x(t− t0) ↔ e− jnωotoAk
z(t)=a x(t)+b y(t) ↔ Ck= a Ak + b Bk
Consecuencia
Las magnitudes de los coeficientes de Fourier no se
Donde Ck son los coeficientes de la serie de
alteran
Fourier de la combinación lineal de x(t) y y(t)
5

6. Propiedades de la Serie Continua de Propiedades de la Serie Continua de
Fourier (3) Fourier (4)
Inversión en el tiempo Escalamiento de tiempo
El periodo T se conserva y los coeficientes se La ampliación o contracción del eje temporal se
expresan como: realiza multiplicando la variable t por una
x(t) ↔ Ak constante α:
∞ ∞
y(t)=x(− t) ↔ A− k
f (α t ) = ∑ Cn e jω n (α t ) = ∑ Cn e j (α ω ) n t
0 0
−∞ −∞
Consecuencia
Si x(t) = x(− t) (función par), entonces los coeficientes de Consecuencia
la serie también son par: A−k= Ak El escalamiento en tiempo de una función no alteram
Si x(t) = − x(− t) (función impar), entonces los coeficientes los coeficientes Cn, pero si la serie de Fourier puesto
de la serie también son impar: A−k= − Ak que ésta tiene una nueva frecuencia fundamental αω0
Propiedades de la Serie Continua de Propiedades de la Serie Continua de
Fourier (5) Fourier (6)
Multiplicación Conjugación y simetría conjugada
Si x(t) y y(t) son periódicas con periodo T y: Si f(t) es una función compleja:
x(t) ↔ An *
 ∞  ∞ ∞
y(t) ↔ Bn f * (t ) =  ∑ Fn e jnω t  = ∑ Fn*e − jnω t = ∑ F−*n e jnω t
0 0 0
Entonces  n=− ∞  n=− ∞ −n=−∞
 ∞  jω kt
∞
∞
x(t ) y (t ) = ∑  ∑ An Bk −n  e 0 f * (t ) = ∑F
n=− ∞
*
−n e jnω t
0
k =− ∞  n =4243
1−∞ 
Es decir, f *(t) tiene como coeficientes a F*-n
C k →coeficientes de x ( t ) y ( t )
Para funciones reales, f(t)= f *(t), y por tanto
Fn= F*-n
6

7. Teorema de Parseval para señales de
potencia Derivación de la Serie de Fourier
El teorema de Parseval para señales Si f(t) es continua, periódica, satisface las
periódicas establece que: condiciones de Dirichlet y si la derivada de f’(t) es
continua por tramos y diferenciable, entonces la
1 T2 ∞ serie de Fourier se puede diferenciar término por
∫−T 2 f (t ) dt = n∑ Fn
2 2
P= término para obtener:
T 4 244
1 4 3 =−∞ ∞
contenido de potencia f ' (t ) = ∑ ( jnω F )e
n = −∞
0 n
jnω0 t
Utilizando la expansión trigonométrica de ó
la serie de Fourier:
∞
1 T2 1 2 1 ∞ 2 f ' (t ) = ∑ nω0 (− an sin( nω0t ) + bn cos(nω0t ) )
∫−T 2 f (t ) dt = 4 a0 + 2 ∑ (an + bn )
2
P= 2
n =1
T n =1
Integración de la Serie de Fourier Funciones Singulares
Si f(t) es periódica y satisface las condiciones de Función impulso
Dirichlet, entonces se puede integrar término por δ(t) o Delta Dirac se define como:
término para obtener:
0 t ≠ 0
 Fn  jnω t
∞ ∞ 
F  δ (t ) = 
∑  jnω − ∑  n  e jnω t
t2
∫ f (t )dt = e
∞ t = 0
0 2 01
t1 
n = −∞ 
  jnω 
0  n = −∞  0 
tal que:
ó
∞
1 ∞ ε
[− bn (cos(nω0t2 ) − cos(nω0t1 ) ) + an (sin(nω0t2 ) − sin(nω0t1 ))]
∫ δ (t )dt = ∫ ε δ (t )dt = 1, ε > 0
f (t )dt = a0 (t2 − t1 ) + ∑
t2
∫
t1
n =1 nω0
−∞ −
7

8. Espectros de Frecuencia Compleja Funcion Sa(x)
Espectro de Amplitud de la función periódica f(t):
Es la gráfica de magnitud de los coeficientes complejos
Fn versus la frecuencia angular ω
Espectro de fase de f(t):
Es la gráfica de fase φn de Fn versus ω
Los espectros de amplitud y fase no son
continuos, sino que aparece la variable discreta
nω0. Por esta razón se les denomina Espectros de
frecuencia discreta o Espectros de línea
Fn vrs nω0 especifica la función periódica f(t) en el
dominio de la frecuencia
Ejemplo: Espectro de Fourier de una Ejemplo: Espectro de Fourier de una
función cuadrada periódica función cuadrada periódica
Ad  nπd  Ad  nπd 
Fn = Sa   Fn = Sa  
T  T  T  T 
Ad Ad
F0 = F0 =
T T
Espectro de Espectro de
amplitud para varios amplitud para varios
valores de d/T, valores de d/T,
considerando d fija considerando T fija
8