Este documento describe las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Explica sus propiedades fundamentales y valores para ángulos comunes, y proporciona gráficas de cada función. También cubre las funciones inversas, identidades trigonométricas y aplicaciones de las funciones trigonométricas.
Este documento describe las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Explica cómo calcular los valores de estas funciones para ángulos comunes como 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos. También describe las gráficas y propiedades básicas de cada función trigonométrica.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Este documento presenta notas de clase sobre electrodinámica. Incluye secciones sobre campos eléctricos y magnéticos estáticos, leyes de Coulomb y Gauss, distribuciones de carga, potencial eléctrico, ecuación de Laplace, funciones de Green, y sistemas de conductores electrostáticos como capacitores. Aborda estos temas usando diferentes coordenadas como cartesianas, polares, esféricas y cilíndricas, y presenta ejemplos y métodos para calcular campos y potenciales electrostá
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.
Este documento describe las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Explica cómo calcular los valores de estas funciones para ángulos comunes como 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos. También describe las gráficas y propiedades básicas de cada función trigonométrica.
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Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Este documento presenta notas de clase sobre electrodinámica. Incluye secciones sobre campos eléctricos y magnéticos estáticos, leyes de Coulomb y Gauss, distribuciones de carga, potencial eléctrico, ecuación de Laplace, funciones de Green, y sistemas de conductores electrostáticos como capacitores. Aborda estos temas usando diferentes coordenadas como cartesianas, polares, esféricas y cilíndricas, y presenta ejemplos y métodos para calcular campos y potenciales electrostá
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.
Callen thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2 ed.Juan Aranda
Este documento es un apunte de un curso de Física Matemática que trata temas relacionados con series infinitas, números complejos, funciones complejas y derivabilidad. Incluye conceptos como series de potencias, funciones analíticas, derivadas complejas, integrales de curvas y ecuaciones de Laplace. El documento contiene 13 capítulos que abarcan estos temas fundamentales de la física matemática.
Este documento presenta un resumen de los principios básicos de la mecánica clásica. Incluye secciones sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange y Hamilton. El documento proporciona ecuaciones, definiciones y ejemplos resueltos de los principales conceptos y teoremas de la mecánica newtoniana y lagrangiana.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cálculo necesarios para la ingeniería.
Este documento presenta el lenguaje de programación R como una herramienta para el análisis estadístico. Introduce los tipos de datos básicos en R como vectores, matrices, factores y data frames. Explica cómo manipular y acceder a porciones de datos, y describe el uso de estructuras de control y funciones para clasificar, transformar y agregar datos. Finalmente, cubre temas como la escritura de funciones y la generación de gráficos.
Este documento presenta el lenguaje de programación R como una herramienta para el análisis estadístico. Introduce los tipos de datos básicos en R como vectores, matrices, factores y data frames. Explica cómo manipular y acceder a porciones de datos. También cubre la escritura de funciones, gráficas y modelos estadísticos en R.
Este documento presenta un resumen de la mecánica clásica. Incluye secciones sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, sistemas de referencia no inerciales, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange y Hamilton. El autor es Luis Rodríguez Valencia del Departamento de Física de la Universidad de Santiago de Chile.
Este documento presenta un manual de física I. Explica brevemente la historia y desarrollo del modelo heliocéntrico del universo desde Ptolomeo hasta Newton. Luego introduce conceptos fundamentales de física como unidades de medida, vectores, sistemas de coordenadas, gravedad y fuerzas. El documento contiene capítulos detallados sobre estos temas junto con ejercicios de aplicación al final de cada sección.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Documento completo _---matematica basica para agronomiaHaydee Melo Javier
Este documento presenta un libro de texto sobre matemática básica para ingeniería agronómica e ingeniería forestal. El libro contiene siete capítulos que cubren temas como ecuaciones, combinatoria, conjuntos en el plano, cónicas, vectores, matrices y determinantes, y sistemas de ecuaciones lineales. Fue escrito por Cecilia Zulema González y Horacio Agustín Caraballo y publicado por la Universidad Nacional de La Plata en 2013.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
Este documento describe las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Explica cómo calcular los valores de estas funciones para ángulos comunes como 30°, 45° y 60° usando triángulos rectángulos. También describe las gráficas y propiedades básicas de cada función trigonométrica.
Este documento presenta notas de clase sobre cálculo vectorial. Introduce conceptos como funciones vectoriales, espacio Rn, operaciones algebraicas en funciones vectoriales como suma y producto escalar. Explica conceptos geométricos como curvas, tangentes, longitud de arco y curvatura. Luego cubre temas sobre campos escalares como gráficas, límites, continuidad, derivadas parciales y diferenciabilidad. Finalmente presenta conceptos sobre integrales múltiples, integrales de línea, áreas de superficies e integrales
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta una introducción al método axiomático en matemáticas. Explica que los axiomas son afirmaciones que no se demuestran y sirven de base para deducir teoremas. Un teorema es una afirmación deducida de axiomas o de afirmaciones previamente demostradas. El documento también discute brevemente la historia del desarrollo del método axiomático y conceptos como corolarios y lemas.
Este documento presenta un índice de contenidos sobre funciones reales, límites, continuidad, derivadas, integrales indefinidas e integrales definidas. El índice incluye 10 capítulos y sus respectivas secciones, que abarcan conceptos matemáticos fundamentales del cálculo.
Este documento es un manual introductorio sobre matemáticas básicas que incluye temas como conjuntos numéricos, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. El manual presenta definiciones, propiedades y ejercicios para cada tema, con el objetivo de reforzar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Apuntes de clase Unidad 1_Apuntes MAT-024 - Alarcón 2017-Final.pdfjorgeandresVillagran2
Este documento presenta apuntes sobre cálculo integral en varias variables y cálculo vectorial. Contiene más de 100 ejemplos resueltos, más de 90 ilustraciones y más de 100 ejercicios propuestos con solución. Los temas cubiertos incluyen la integral de Riemann en Rn, cambio de variables, integración múltiple impropia, funciones definidas por una integral, curvas en R2 y R3, geometría de curvas, integral de línea de campos escalares y vectoriales, campos conservativos, superficies
Este documento presenta un proyecto de simulación de un péndulo invertido. El objetivo principal es diseñar un controlador óptimo para estabilizar el péndulo, incluso cuando está inicialmente en la posición vertical inestable. El proyecto incluye el modelado matemático del sistema, el diseño e implementación de controladores PID y LQR, y el desarrollo de una aplicación en Java para simular el péndulo invertido de forma interactiva.
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Callen thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2 ed.Juan Aranda
Este documento es un apunte de un curso de Física Matemática que trata temas relacionados con series infinitas, números complejos, funciones complejas y derivabilidad. Incluye conceptos como series de potencias, funciones analíticas, derivadas complejas, integrales de curvas y ecuaciones de Laplace. El documento contiene 13 capítulos que abarcan estos temas fundamentales de la física matemática.
Este documento presenta un resumen de los principios básicos de la mecánica clásica. Incluye secciones sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange y Hamilton. El documento proporciona ecuaciones, definiciones y ejemplos resueltos de los principales conceptos y teoremas de la mecánica newtoniana y lagrangiana.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cálculo necesarios para la ingeniería.
Este documento presenta el lenguaje de programación R como una herramienta para el análisis estadístico. Introduce los tipos de datos básicos en R como vectores, matrices, factores y data frames. Explica cómo manipular y acceder a porciones de datos, y describe el uso de estructuras de control y funciones para clasificar, transformar y agregar datos. Finalmente, cubre temas como la escritura de funciones y la generación de gráficos.
Este documento presenta el lenguaje de programación R como una herramienta para el análisis estadístico. Introduce los tipos de datos básicos en R como vectores, matrices, factores y data frames. Explica cómo manipular y acceder a porciones de datos. También cubre la escritura de funciones, gráficas y modelos estadísticos en R.
Este documento presenta un resumen de la mecánica clásica. Incluye secciones sobre sistemas de partículas, campos centrales de fuerza, sistemas de referencia no inerciales, rotaciones, sistemas rígidos de partículas, ecuaciones de Lagrange y Hamilton. El autor es Luis Rodríguez Valencia del Departamento de Física de la Universidad de Santiago de Chile.
Este documento presenta un manual de física I. Explica brevemente la historia y desarrollo del modelo heliocéntrico del universo desde Ptolomeo hasta Newton. Luego introduce conceptos fundamentales de física como unidades de medida, vectores, sistemas de coordenadas, gravedad y fuerzas. El documento contiene capítulos detallados sobre estos temas junto con ejercicios de aplicación al final de cada sección.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
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Este documento presenta un libro de texto sobre matemática básica para ingeniería agronómica e ingeniería forestal. El libro contiene siete capítulos que cubren temas como ecuaciones, combinatoria, conjuntos en el plano, cónicas, vectores, matrices y determinantes, y sistemas de ecuaciones lineales. Fue escrito por Cecilia Zulema González y Horacio Agustín Caraballo y publicado por la Universidad Nacional de La Plata en 2013.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
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Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta una introducción al método axiomático en matemáticas. Explica que los axiomas son afirmaciones que no se demuestran y sirven de base para deducir teoremas. Un teorema es una afirmación deducida de axiomas o de afirmaciones previamente demostradas. El documento también discute brevemente la historia del desarrollo del método axiomático y conceptos como corolarios y lemas.
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Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta un manual sobre cálculo multivariable. En la primera sección se introducen conceptos básicos de geometría y topología en Rq como el producto escalar, bases ortogonales, volúmenes de sistemas de vectores, clasificación de subconjuntos, curvas y superficies. La segunda sección trata sobre funciones escalares, incluyendo su representación gráfica, límites, continuidad y derivabilidad. La tercera sección aborda la diferenciabilidad de funciones escalares.
Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad...Alejandro Feliz
Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.
Este documento presenta apuntes sobre análisis vectorial. Incluye secciones sobre topología en Rn, límites y continuidad de funciones, cálculo diferencial, aplicaciones geométricas de la derivación, estudio local de funciones y integración de campos escalares en Rn. Explica conceptos como normas, distancias, bolas, sucesiones, conjuntos abiertos y cerrados, derivadas parciales y direccionales, diferencial, gradiente, curvas y superficies parametrizadas, y métodos para encontrar extremos locales de
Este documento presenta un manual sobre cálculo multivariable en español. El manual contiene secciones sobre geometría y topología en Rq, funciones reales escalares, diferenciabilidad de funciones escalares, y funciones vectoriales. El documento está dedicado a amigos y familia de los autores y está licenciado bajo Creative Commons para su uso no comercial y compartido.
El documento trata sobre conceptos básicos de matemáticas como la combinatoria, el binomio de Newton, números complejos y funciones. Explica los números naturales y racionales, el principio de inducción y el símbolo sumatorio. Luego introduce conceptos de combinatoria como variaciones, permutaciones y combinaciones, y expone fórmulas como el binomio de Newton. Finalmente, cubre otros temas como trigonometría, polinomios, funciones exponenciales y logarítmicas, límites y continuidad.
Para los interesados en el aprendizaje del Lenguaje R les recomiendo este libro, esta muy detallado y para variar esta en Español. R es un entorno y lenguaje de programación con un enfoque al análisis estadístico. Se trata de uno de los lenguajes más utilizados en investigación por la comunidad estadística, siendo además muy popular en el campo de la minería de datos, la investigación biomédica, la bioinformática y las matemáticas financieras. Además contribuye la posibilidad de cargar diferentes bibliotecas o paquetes con funcionalidades de cálculo y gráficas. La buena noticia es que es GRATUITO
Este documento trata sobre mecánica cuántica. Presenta una introducción al proceso de medida en mecánica cuántica y la interpretación estadística de la teoría. Luego, discute varias simetrías importantes como desplazamientos en el tiempo y espacio, rotaciones, paridad e inversión temporal. Finalmente, cubre temas de teoría de colisiones como métodos aproximados, desarrollo en ondas parciales y simetrías en amplitudes de colisión para partículas con y sin espín.
Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
La ingeniería electrónica es una carrera con futuro debido a los constantes avances tecnológicos requeridos por las industrias. Un programa de ingeniería electrónica formará profesionales capacitados para investigar, diseñar y aplicar nuevas tecnologías electrónicas para resolver problemas relevantes de la sociedad de manera científica y con compromiso humanístico. El ingeniero electrónico podrá desempeñarse en empresas de comunicaciones, industria e incluso crear su propia empresa, desarrollando productos y servicios que invol
Este documento resume las principales características que se deben considerar al elegir una tableta, como la capacidad de almacenamiento, velocidad del procesador, tamaño y resolución de la pantalla, conectividad inalámbrica y por USB, autonomía de la batería, sistema operativo e idioma disponible, y especificaciones del procesador y memoria RAM requeridas. Además, menciona usos comunes de las tabletas como agenda, navegador web, correo electrónico, videos, música, libros y videoconferencia
Este documento presenta un resumen de la visita exploratoria realizada por estudiantes de ingeniería al Parque Nacional de la Cultura Cafetera. Durante la visita, los estudiantes pudieron interactuar con diferentes atracciones tecnológicas del parque y conocer sobre su funcionamiento y mantenimiento. Además, se reunió información sobre la historia y objetivos del parque. La visita les permitió a los estudiantes reconocer aplicaciones de la ingeniería y desarrollar habilidades para futuros proyectos.
Este informe resume la visita de reconocimiento realizada por tres estudiantes al laboratorio de electrónica de la Universidad del Quindío. Describe los procedimientos para solicitar el uso del laboratorio y reconoce la importancia del trabajo en equipo y la seguridad en el laboratorio. Además, explica los procesos de control y normalización y la disposición de la red eléctrica para garantizar la seguridad.
Este documento presenta un resumen de las funciones trigonométricas. Explica las razones trigonométricas, los operadores trigonométricos y sus representaciones gráficas para las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Informe tecnico de una visita exploratoria al aeropuerto Internacional el EdenAndres Ramirez Carmona
El documento resume la visita de un grupo de estudiantes de ingeniería a las instalaciones del Aeropuerto Internacional el Edén en Armenia, Colombia. El grupo visitó tres áreas principales: la torre de control, la sala de equipos y la estación de bomberos. En cada área, el personal les explicó el funcionamiento de los equipos tecnológicos y herramientas utilizadas para garantizar la seguridad aérea y el control del tráfico aéreo. La visita permitió a los estudiantes conocer de primera mano las aplicaciones de la ingeniería en la
Este documento presenta información sobre diferentes temas de física como campos de fuerza, Nikola Tesla, la ley de Ohm, las leyes de Newton, el átomo y sus modelos atómicos. También incluye biografías de figuras históricas como Vincent van Gogh y descripciones de conceptos como el avión, la montaña rusa y el robot. Finalmente, ofrece citas bibliográficas sobre cómo citar artículos de revista y libros.
1) Los hindúes y árabes realizaron importantes avances en diversas áreas como las matemáticas, la astronomía, la navegación y la ingeniería civil.
2) La India actualmente es una potencia tecnológica en el sector electrónico e informático, mientras que los países árabes son líderes en energías renovables y construcción de grandes estructuras.
3) Ambas civilizaciones sentaron las bases para el desarrollo posterior de la ingeniería al introducir innovaciones en campos como la mecánica, la electric
1) Los hindúes y árabes realizaron importantes avances en diversas áreas como las matemáticas, la astronomía, la navegación y la ingeniería civil y mecánica.
2) La India actualmente es una potencia tecnológica en el sector electrónico y de telecomunicaciones, mientras que los países árabes son líderes en energías renovables y construcción sostenible.
3) Ambas civilizaciones sentaron las bases para el desarrollo de la ingeniería moderna.
El documento describe los avances en ingeniería en la India y Arabia. En la India, se han dado avances en ingeniería mecánica, civil, electrónica y en la industria petrolera. En Arabia, también se han producido avances generales en ingeniería eléctrica, civil, mecánica, electrónica e industria petrolera.
El documento presenta información sobre varios temas relacionados con la física, incluyendo campos de fuerza, Nikola Tesla, la ley de Ohm, las leyes de Newton, Vincent van Gogh y modelos atómicos. Explica conceptos clave como campos electromagnéticos, la corriente alterna, la resistencia eléctrica y las tres leyes del movimiento de Newton. También proporciona breves biografías de figuras históricas como Tesla y van Gogh.
Los romanos construyeron avanzadas redes de acueductos, alcantarillado, calzadas, puentes y puertos para abastecer sus ciudades y comunicar su extenso imperio de forma eficiente. También desarrollaron herramientas e instrumentos de ingeniería y construcción, como el Coliseo, y armas militares como escorpiones y onagros para defenderse y atacar a sus enemigos.
Metodos de aprendizaje y gestion del conocimiento taller detectives de bibl...Andres Ramirez Carmona
Este documento presenta información sobre diferentes temas relacionados con la física, como campos de fuerza, Nikola Tesla, la ley de Ohm, las leyes de Newton, el átomo y sus modelos atómicos. Explica brevemente cada uno de estos conceptos físicos fundamentales.
Metodos de aprendizaje y gestion del conocimiento taller detectives de bibl...Andres Ramirez Carmona
Este documento presenta información sobre varios temas científicos como campos de fuerza, Nikola Tesla, la ley de Ohm, las leyes de Newton, Vincent van Gogh, la Odisea y la Ilíada, aviones, electro-neumática, montañas rusas, robots y el átomo. Explica conceptos clave de cada tema en uno o dos párrafos con ejemplos e ilustraciones.
El documento resume la vida y el liderazgo de Muamar el Gadafi en Libia desde su ascenso al poder en 1969 tras un golpe de estado hasta el estallido de la guerra civil en 2011. Describe las políticas socialistas y nacionalistas de Gadafi, su apoyo al terrorismo en los años 80, y su eventual apertura diplomática con Occidente. También cubre la rebelión contra su régimen en 2011 inspirada en las Primaveras Árabes, y concluye sugiriendo que un escenario similar podría ocurrir en Venezuela.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. Funciones trigonométricas básicas
Propiedades básicas de las funciones trigonométricas:
Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c 2007-2008
2. Contenido
1. Introducción 3
1.1. Ángulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. La función sen(x) 4
2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. El valor del seno para 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. El valor del seno para 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4. El valor del seno para 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5. El valor del seno para 120◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6. El valor del seno para 135◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.7. El valor del seno para 150◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.8. El valor del seno para 210◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.9. El valor del seno para 225◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.10. El valor del seno para 240◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.11. El valor del seno para 300◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.12. El valor del seno para 315◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.13. El valor del seno para 330◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.14. Construcción de la gráfica del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.15. Propiedades básicas de la función sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. La función cos(x) 26
3.1. El valor del coseno para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Gráfica de la función coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3. Propiedades básicas de la función cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. La función tan(x) 32
4.1. El valor de la Tangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Gráfica de la función tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Propiedades básicas de la función tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. La función cot(x) 35
5.1. Gráfica de la función cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2. El valor de la cotangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3. Propiedades básicas de la función cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Introducción
1
Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en esta lección aprender-
emos a encontrar los valores más comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno, coseno,
tangente, cotangente, secante, cosecante. También aprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos
algunas de sus propiedades más básicas.
1.1. Ángulos en grados y radianes
Las dos maneras más comunes de denotar un ángulo es por grados y por radianes(números reales). La
relación que tienen los ángulos con los radianes se muestra en la siguiente tabla.
Valores entre grados y radianes más comunes
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 180◦ 270◦ 360◦
π π π π 2 3 3
0 π π π π 2π
6 4 3 2 3 4 2
5. La función sen(x)
2
La función seno puede ser definida de diferentes maneras, la forma más común de hacerlo es a partir
de un triángulo rectángulo.
La función seno de un ángulo α se define, como el cociente del cateto opuesto al ángulo α, sobre la
hipotenusa del triángulo.
a
Sen(α) =
c
c
a
Α
b
Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.
2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes
Para calcular el valor del seno en algunos ángulos comunes, hay que trasladar al triángulo en consid-
eración al círculo unitario, ya que de esta manera se podrán obtener algunos valores de la función seno
a
de forma explícita. Como sen(α) = donde a es el cateto opuesto y c la hipotenusa, por ser el círculo
c
unitario c = 1. Por lo tanto sen(α) es igual a la longitud del segmento rojo de la figura 2.
6. 2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes 5
Círculo Unitario
1.5
1
0.5
1
Sen Α
Α
1.5 1 0.5 0.5 1 1.5
Cos Α
0.5
1
1.5
Figura 2: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.
Los valores de ángulos más simples a obtener, son los valores siguientes: 0◦ , 90◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ .
Como se observa en la figura 3, el seno toma los valores de 0, 1, 0, −1, 0 respectivamente para estos
primeros ángulos.
7. 2.1. El valor del seno para algunos ángulos comunes 6
Sen 90° 1
1 1
0.5 Sen 0 0 0.5
Α 90°
Α 0
1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 1
0.5 0.5
1 1
1
Sen 180° 0
0.5
Α 180°
1 0.5 0.5 1
0.5
1
1 1
0.5 0.5
1 0.5 0.5 1 1 0.5 0.5 1
Α 270° Α 360°
0.5 0.5
Sen 360° 0
1 1
Sen 270° 1
Figura 3: El valor del seno para 0◦ , 90◦ , 180◦ , 270◦ , 360◦ .
En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explícito del seno para otros ángulos comunes.
Se trabajaran esencialmente dos triángulos, el triángulo rectángulo de 30◦ y 60◦ como ángulos internos,
y el triángulo rectángulo isosceles de 45◦ .
8. 2.2. El valor del seno para 30◦ 7
2.2. El valor del seno para 30◦
El valor del seno en α = 30◦ se calcula considerando los triángulos ACB, ABD en círculo
unitario como se muestra en la figura 4:
1. El ángulo ∠BAC es el ángulo de 30◦ .
2. El ángulo ∠ACB, es de 90◦ , porque el triángulo ACB es rectángulo.
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 60◦ .
4. También el ángulo ∠D, es de 60◦ , derivado del reflejo del triángulo ACB.
5. Así el triángulo ABD es equiangular, por lo tanto equilátero.
6. Entonces el lado DB tiene como longitud 1.
7. Como el ángulo es de 30◦ , entonces el segmento AC biseca al lado BD, entonces la longitud de
1
BC es .
2
1
8. Lo anterior muestra que el seno de 30◦ es .
2
Sen 30°
B
1
2
A 30° C
D
1
Figura 4: Sen(π/6) = sen(30◦ ) = .
2
2.3. El valor del seno para 45◦
El valor del seno en α = 45◦ , se calcula al considerar el triángulo ACB, en el círculo unitario como
se muestra en la figura 5:
1. El ángulo ∠A es el ángulo de 45◦ .
2. El ángulo ∠C, es de 90◦ , porque el triángulo ACB es rectángulo.
9. 2.4. El valor del seno para 60◦ 8
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 45◦ .
4. Por lo tanto el triángulo ABC es isosceles.
5. Entonces el lado AC tiene la misma longitud del lado BC.
6. Por el teorema de pitágoras, |AC|2 + |BC|2 = 1, pero |AC| = |BC|, es decir 2|BC|2 = 1,
1
entonces |BC| es √ .
2
√ √
2 2 1
7. Lo anterior quiere decir que el seno de 45◦ es , multiplicando por √ a √ .
2 2 2
Sen 45°
B
2
2
A 45° C
√
◦ 2
Figura 5: sen(π/4) = sen(45 ) = .
2
2.4. El valor del seno para 60◦
El valor del seno en α = 60◦ , se calcula al considerar el triángulo ACB en el círculo unitario como
se muestra en la figura 6:
1. El ángulo ∠A es el ángulo de 60◦ .
2. El ángulo ∠C, es de 90◦ , porque el triángulo ACB es rectángulo.
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 30◦ .
1
4. Entonces, del triángulo de la figura 4, del seno de 30◦ , tenemos que el lado |AC| = .
2
10. 2.5. El valor del seno para 120◦ 9
1 1
5. Por el teorema de pitágoras, |AC|2 + |CB|2 = 1, pero |AC| = , entonces |CB|2 = 1 − , lo
√ 2 4
3 3
que implica que |CB|2 = , o sea |CB| = .
4 2
√
3
6. Lo anterior quiere decir que el seno de 60◦ es .
2
Sen 60°
B
3
2
A 60° C
√
◦ 3
Figura 6: sen(π/3) = sen(60 ) = .
2
2.5. El valor del seno para 120◦
El valor del seno en α = 120◦ , se calcula considerando el triángulo ACB en el círculo unitario
como se muestra en la figura 7:
1. En seno del ángulo 120◦ , es la longitud del segmento |BC|.
2. El ángulo ∠A es de 60◦ .
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 30◦ .
4. El triángulo ACB es congruente al ACB del caso 60◦ .
√
3
5. Por lo tanto |BC| =
2
√
◦ 3
6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120 es .
2
11. 2.6. El valor del seno para 135◦ 10
Sen 120°
B
3
2
C A 120°
√
3
Figura 7: sen(2π/3) = sen(120◦ ) = .
2
2.6. El valor del seno para 135◦
El valor del seno en α = 135◦ , se calcula considerando el triángulo BCA en el círculo unitario
como se muestra en la figura 8:
1. En seno del ángulo 135◦ , es la longitud del segmento |BC|.
2. El ángulo ∠A es de 45◦ .
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 45◦ .
4. El triángulo BCA es congruente al BCA del caso 45◦ .
√
2
5. Por lo tanto |BC| =
2
√
2
6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120◦ es .
2
12. 2.7. El valor del seno para 150◦ 11
Sen 135°
B
2
135° 2
C A
√
2
Figura 8: sen(3π/4) = sen(135◦ ) = .
2
2.7. El valor del seno para 150◦
El valor del seno en α = 150◦ , se calcula considerando el triángulo BCA en el círculo unitario
como se muestra en la figura 9:
1. En seno del ángulo 135◦ , es la longitud del segmento |BC|.
2. El ángulo ∠A es de 45◦ .
3. Por lo tanto el ángulo ∠B, es de 45◦ .
4. El triángulo BCA es congruente al BCA del caso 45◦ .
√
2
5. Por lo tanto |BC| =
2
√
2
6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120◦ es .
2
13. 2.7. El valor del seno para 150◦ 12
Sen 150°
B
1
2
C A 150°
1
Figura 9: Sen(5π/6) = Sen(150◦ ) = .
2
14. 2.8. El valor del seno para 210◦ 13
2.8. El valor del seno para 210◦
El valor del seno en α = 210◦ , se calcula considerando el triángulo en el círculo unitario como se
muestra en la figura 10:
1. En seno del ángulo 210◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 30◦
1
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 210◦ es − .
2
Sen 210°
C A 210°
1
2
B
1
Figura 10: Sen(7π/6) = Sen(210◦ ) = − .
2
15. 2.9. El valor del seno para 225◦ 14
2.9. El valor del seno para 225◦
El valor del seno en α = 225◦ , se calcula considerando el triángulo en el círculo unitario como se
muestra en la figura 11:
1. En seno del ángulo 210◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 30◦
1
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 210◦ es − .
2
Sen 225°
225°
C A
2
2
B
√
◦ 2
Figura 11: Sen(5π/4) = Sen(210 ) = − .
2
16. 2.10. El valor del seno para 240◦ 15
2.10. El valor del seno para 240◦
El valor del seno en α = 240◦ , se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como
se muestra en la figura 12:
1. En seno del ángulo 240◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 30◦
√
◦ 3
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 240 es − .
2
Sen 240°
C A 240°
3
2
B
√
◦ 3
Figura 12: Sen(4π/3) = Sen(240 ) = − .
2
17. 2.11. El valor del seno para 300◦ 16
2.11. El valor del seno para 300◦
El valor del seno en α = 300◦ , se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como
se muestra en la figura 13:
1. En seno del ángulo 300◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 30◦
√
◦ 3
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 300 es − .
2
Sen 300°
A 300° C
3
2
B
√
◦ 3
Figura 13: Sen(4π/3) = Sen(240 ) = − .
2
18. 2.12. El valor del seno para 315◦ 17
2.12. El valor del seno para 315◦
El valor del seno en α = 315◦ , se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como
se muestra en la figura 14:
1. En seno del ángulo 315◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 45◦
√
◦ 2
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 300 es − .
2
Sen 315°
315°
A C
2
2
B
√
◦ 2
Figura 14: Sen(7π/4) = Sen(315 ) = − .
2
19. 2.13. El valor del seno para 330◦ 18
2.13. El valor del seno para 330◦
El valor del seno en α = 330◦ , se puede calcular considerando el triángulo en el círculo unitario como
se muestra en la figura 15:
1. En seno del ángulo 330◦ , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.
2. El triángulo a considerar es congruente al caso de 30◦
1
3. Lo anterior quiere decir que el seno de 315◦ es − .
2
Sen 330°
330°
A C
1
2
B
√
◦ 2
Figura 15: Sen(7π/4) = Sen(315 ) = − .
2
20. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 19
2.14. Construcción de la gráfica del seno
La construcción de la gráfica del seno se puede realizar de la manera como se muestra paso a paso
en las siguientes figuras. Se considera que la función es continua y derivable, es decir que no hay saltos
en la gráfica y la línea de la función es una curva. En esta construcción debe observarse que la línea
azul en el círculo se mueve girando varios ángulos que al trasladarlos a la línea del eje x estos ángulos
se convierten números reales. La gráfica que se forma (la línea roja) se dibuja de manera continua, cosa
que podemos suponer libremente aquí. Finalmente debemos observar que de esta manera dibujamos la
gráfica del seno en el intervalo de ángulos [0, 360◦ ] o equivalentemente [0, 2π], sin embargo esto mismo
lo podemos extender a todos los ángulos. El periodo de 2π del seno se sigue por la periodicidad del
círculo.
Sen 30°
1
1
2
Α 30°
0 Π Π Π 3Π 2Π
6 2 2
1
1
Figura 16: sen(30◦ ) = sen(π/6) = .
2
Sen 45°
1
2
2
Α 45°
0 Π Π Π 3Π 2Π
4 2 2
1
√
◦ 2
Figura 17: sen(45 ) = sen(π/4) = .
2
21. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 20
Sen 60°
1
3
2
Α 60°
0 Π Π Π 3Π 2Π
3 2 2
1
√
◦ 3
Figura 18: sen(60 ) = sen(π/3) = .
2
Sen 90°
1
1
Α 90°
0 Π Π 3Π 2Π
2 2
1
Figura 19: sen(90◦ ) = sen(π/2) = 1.
Sen 120°
1
3
2
Α 120°
0 Π 2Π Π 3Π 2Π
2 3 2
1
√
◦ 3
Figura 20: sen(120 ) = sen(2π/3) = .
2
22. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 21
Sen 135°
1
2
2
Α 135°
0 Π 3Π Π 3Π 2Π
2 4 2
1
√
◦ 2
Figura 21: sen(135 ) = sen(3π/4) = .
2
Sen 150°
1
1
2
Α 150°
0 Π 5Π Π 3Π 2Π
2 6 2
1
1
Figura 22: sen(150◦ ) = sen(5π/6) = .
2
Sen 180°
1
0 Α 180°
0 Π 3Π 2Π
Π
2 2
1
Figura 23: sen(180◦ ) = sen(π) = 0.
23. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 22
Sen 210°
1
7Π
Α 210° 6
0 Π Π 3Π 2Π
1
2 2 2
1
1
Figura 24: sen(210◦ ) = sen(7π/6) = − .
2
Sen 225°
1
5Π
Α 225° 4
0 Π Π 3Π 2Π
2 2 2
2
1
√
◦ 2
Figura 25: sen(225 ) = sen(5π/4) = − .
2
Sen 240°
1
4Π
Α 240° 3
0 Π Π 3Π 2Π
3 2 2
2
1
√
3
Figura 26: sen(240◦ ) = sen(4π/3) = − .
2
24. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 23
Sen 270°
1
3Π
Α 270° 2
0 Π Π 2Π
2
1
1
Figura 27: sen(270◦ ) = sen(3π/2) = −1.
Sen 300°
1
10 Π
Α 300° 6
0 Π Π 3Π 2Π
3 2 2
2
1
√
◦ 3
Figura 28: sen(300 ) = sen(5π/3) = − .
2
Sen 315°
1
7Π
Α 315° 4
0 Π Π 3Π 2Π
2 2 2
2
1
√
◦ 2
Figura 29: sen(315 ) = sen(7π/4) = − .
2
25. 2.14. Construcción de la gráfica del seno 24
Sen 330°
1
11 Π
Α 330° 6
0 Π Π 3Π 2Π
1
2 2 2
1
1
Figura 30: sen(330◦ ) = sen(11π/6) = − .
2
Sen 360°
1
2Π
Α 360°
0
0 Π Π 3Π
2 2
1
Figura 31: sen(360◦ ) = sen(2π) = 0.
Finalmente la gráfica del seno queda de la siguiente manera:
1 Amplitud
Π Π Π Π 3Π 2Π 5Π 3Π
2 2 2 2
1 Período
Figura 32: sen(x).
26. 2.15. Propiedades básicas de la función sen(x) 25
2.15. Propiedades básicas de la función sen(x)
De la gráfica de la función seno podemos inferir algunas de sus propiedades básicas, como las sigu-
ientes:
1. La función seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [−1, 1]
sen(x) : R → [−1, 1].
2. La función seno es impar, es decir sen(−x) = −sen(x).
3. La función seno tiene un periodo 2π, es decir sen(x) = sen(x + k2π).
4. La función seno esta acotada por 1, es decir |sen(x)| ≤ 1.
π
5. La función seno tiene máximos (el 1) en x = + 2πk, k ∈ Z.
2
3π
6. La función seno tiene mínimos (el −1) en x = + 2πk, k ∈ Z.
2
27. La función cos(x)
3
En esta sección haremos lo que corresponde para la función coseno.
Observación 1 Es muy importante observar que con el trabajo hecho para la función seno, es posible
calcular una gran cantidad de valores similares para otras funciones trigonométricas como cos, tan,
cot, sec, csc. Lo que hay que hacer es simplemente usar las relaciones de triángulos rectángulos.
De la definición del coseno y siguiendo la misma figura de como se calculó el seno para valores
comunes, obtenemos los siguientes valores.
1 Β
Sen Α Cos Β
Α
Cos Α
Sen Β
Figura 33: El valor del seno y coseno en el círculo unitario.
28. 3.1. El valor del coseno para valores comunes 27
Observación 2 De la figura 33 observamos lo siguiente: el “seno"de un ángulo es igual al “coseno"del
ángulo complementario (su suma es 90◦ ). Es decir
sen(α) = cos(90◦ − α)
cos(α) = sen(90◦ − α)
ya que sen(α) = cos(β) y cos(α) = sen(β) con α + β = 90◦ .
De hecho podemos usar esta relación y los valores obtenidos del seno para obtener los valores del
coseno, como se hace en la siguiente subsección.
3.1. El valor del coseno para valores comunes
Aunque de manera didáctica podemos deducir los valores del coseno de la misma manera que se
obtuvieron los del seno, a partir de las figuras. Aquí lo haremos usando las fórmulas de la observación 2,
por dos razones, la primera: evitar aumentar el número de figuras y la segunda: para mostrar una manera
diferente en la obtención de los valores del coseno.
Además podemos considerar ángulos negativos, por definición los ángulos negativos giran en sentido
contrario (en sentido a las manecillas de un reloj) a los ángulos positivos (en sentido contrario a las
manecillas de un reloj).
Círculo Unitario
1
Sen Α
Α
Α
Sen Α
Figura 34: El valor del seno y −seno.
29. 3.2. Gráfica de la función coseno 28
cos(α) = sen(90◦ − α)
cos(0◦ ) = sen(90◦ − 0◦ ) = sen(90◦ ) = 1
cos(90◦ ) = sen(90◦ − 90◦ ) = sen(0◦ ) = 0
cos(180◦ ) = sen(90◦ − 180◦ ) = sen(−90◦ ) = −1
cos(270◦ ) = sen(90◦ − 270◦ ) = sen(−180◦ ) = 0
cos(360◦ ) = sen(90◦ − 360◦ ) = sen(−270◦ ) = 1
√
3
cos(30◦ ) = sen(90◦ − 30◦ ) = sen(60◦ ) =
√2
2
cos(45◦ ) = sen(90◦ − 45◦ ) = sen(45◦ ) =
2
1
cos(60◦ ) = sen(90◦ − 60◦ ) = sen(30◦ ) =
2
1
cos(120◦ ) = sen(90◦ − 120◦ ) = sen(−30◦ ) = −
√2
2
cos(135◦ ) = sen(90◦ − 135◦ ) = sen(−45◦ ) = −
√2
3
cos(150◦ ) = sen(90◦ − 150◦ ) = sen(−60◦ ) = −
√2
3
cos(210◦ ) = sen(90◦ − 210◦ ) = sen(−120◦ ) = −
√2
2
cos(225◦ ) = sen(90◦ − 225◦ ) = sen(−135◦ ) = −
2
1
cos(240◦ ) = sen(90◦ − 225◦ ) = sen(−150◦ ) = −
2
1
cos(300◦ ) = sen(90◦ − 300◦ ) = sen(−210◦ ) =
√2
2
cos(315◦ ) = sen(90◦ − 315◦ ) = sen(−225◦ ) =
√2
3
cos(330◦ ) = sen(90◦ − 330◦ ) = sen(−240◦ ) =
2
3.2. Gráfica de la función coseno
De la teoría general de gráficas y con la fórmula cos(α) = sen(90◦ − α) podemos obtener la gráfica
de la función coseno. Es la misma gráfica que el seno pero recorrida sobre el eje x, 90◦ , es decir π/2 (ver
tutorial sobre gráficas).
Hay varias formas de constatar que la gráfica de la función coseno es la misma gráfica que la función
seno recorrida π/2. Lo que hay que mostrar es que cos(x) = sen(x − 90◦ ).
1. Sabemos que cos(x) = sen(90◦ − x), pero la función seno es impar, es decir sen(90◦ − x) =
− sen(x − 90◦ ). Por tanto para obtener la gráfica del coseno hay que tomar la gráfica del seno
recorrerla 90◦ y hacer una reflexión respecto del eje x.
30. 3.2. Gráfica de la función coseno 29
1
Π Π Π 3Π 2Π 5Π 3Π
2 2 2 2
1
sen(x)
1
Π Π Π 3Π 2Π 5Π 3Π
2 2 2 2
1
sen(x − 90◦ )
1
Π Π Π 3Π 2Π 5Π 3Π
2 2 2 2
1
−sen(x − 90◦ )
2. Otra forma de ver la relación del seno y el coseno se deriva del triángulo unitario donde se puede
observar la relación de triángulos semejantes que hay entre el que se forma con un ángulo α y con
el ángulo α + 90◦ . De hecho la gráfica la podemos también obtener recorriendo la gráfica del seno
90◦ a la izquierda.
31. 3.3. Propiedades básicas de la función cos(x) 30
Sen Α 90°
Α 90° Sen Α
Α
Cos Α
Figura 32: Cos(x).
Por todo lo anterior, la gráfica del coseno queda de la siguiente forma:
1 Amplitud
Π Π Π Π 3Π 2Π 5Π 3Π
2 2 2 2
1 Período
Figura 32: Cos(x).
3.3. Propiedades básicas de la función cos(x)
De la gráfica de la función coseno podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como las
siguientes:
1. La función coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [−1, 1]
cos(x) : R → [−1, 1].
2. La función coseno es par, es decir cos(−x) = cos(x).
32. 3.3. Propiedades básicas de la función cos(x) 31
3. La función coseno tiene un periodo 2π, es decir cos(x) = cos(x + k2π).
4. La función coseno esta acotada por 1, es decir |cos(x)| ≤ 1.
5. La función coseno tiene máximos (el 1) en x = 2πk, k ∈ Z.
6. La función coseno tiene mínimos (el −1) en x = πk, k ∈ Z.
33. La función tan(x)
4
las propiedades básicas de la función tangente se pueden derivar de su definición.
sen(x)
tan(x) =
cos(x)
De la siguiente figura se tiene que los triángulos OAB y OCD son semejantes, por lo tanto se
AB CD
cumple la relación = . Por otra parte la definición de la función tangente dice que tan(α) =
OA OC
sen(α) AB CD
= , por la anterior igualdad tan(α) = , pero OC = 1, entonces tan(α) = CD. De la
cos(α) OA OC
misma manera, si consideramos el triángulo OBE es semejante, de hecho igual al triángulo OCD,
esto quiere decir que la tangente es también la longitud del segmento BE.
D
B
Tan Α
Sen Α
Α
O A C E
Cos Α
El valor del seno y coseno del círculo unitario.
34. 4.1. El valor de la Tangente para valores comunes 33
4.1. El valor de la Tangente para valores comunes
Los valores comunes de la función tangente pueden ser derivados inmediatamente de la definición
y de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden
verse en la tabla del resumen de valores.
4.2. Gráfica de la función tan(x)
Π 0 Π
2 2
Obtención de la gráfica de la tangente.
35. 4.3. Propiedades básicas de la función tan(x) 34
3
2
1
Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2
1
Período
2
3
Gráfica de la función tangente.
4.3. Propiedades básicas de la función tan(x)
A partir de la gráfica de la función tangente podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como
las siguientes:
π
1. La función tangente no esta definida en los puntos x = + kπ con k ∈ Z.
2
π
2. La función tangente tiene dominio R−{x|x = +kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales
2
R
π
tan(x) : R − {x|x = + kπ} → R.
2
3. La función tangente es impar, es decir tan(−x) = − tan(x).
4. La función tangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ).
5. La función tangente no esta acotada.
6. La función tangente no tiene máximos.
7. La función tangente no tiene mínimos.
36. La función cot(x)
5
Las propiedades básicas de la función tangente se pueden derivar de su definición.
1 cos(x)
cot(x) = =
tan(x) sen(x)
5.1. Gráfica de la función cot(x)
3
2
1
Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2
1
Período
2
3
Gráfica de la función cotangente.
5.2. El valor de la cotangente para valores comunes
Los valores comunes de la función cotangente pueden ser derivados inmediatamente de la definición
y de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden
verse en la tabla del resumen de valores.
37. 5.3. Propiedades básicas de la función cot(x) 36
5.3. Propiedades básicas de la función cot(x)
A partir de la gráfica de la función cotangente podemos inferir algunas de las propiedades básicas,
como las siguientes:
1. La función cotangente no esta definida en los puntos x = kπ con k ∈ Z.
2. La función cotangente tiene dominio R − {x|x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales
R
tan(x) : R − {x|x = kπ} → R.
3. La función cotangente es impar, es decir cot(−x) = − cot(x).
4. La función cotangente tiene un periodo π, es decir tan(x) = tan(x + kπ).
5. La función cotangente no esta acotada.
6. La función cotangente no tiene máximos.
7. La función cotangente no tiene mínimos.
38. La función sec(x)
6
las propiedades básicas de la función secante se pueden derivar de su definición.
1
sec(x) =
cos(x)
6.1. Gráfica de la función sec(x)
3
2
1
Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2
1
Período
2
3
Gráfica de la función secante.
6.2. El valor de la secante para valores comunes
Los valores comunes de la función secante pueden ser derivados inmediatamente de la definición y
de los valores correspondientes del coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en la
tabla del resumen de valores.
39. 6.3. Propiedades básicas de la función sec(x) 38
6.3. Propiedades básicas de la función sec(x)
A partir de la gráfica de la función secante podemos inferir algunas de las propiedades básicas, como
las siguientes:
π
1. La función secante no esta definida en los puntos x = + πk con k ∈ Z.
2
π
2. La función secante tiene dominio R − {x|x = + πk} y rango (imagen del dominio) a los reales
2
R − (−1, 1)
π
tan(x) : R − {x|x = + πk} → R − (−1, 1).
2
3. La función secante es par, es decir sec(−x) = sec(x).
4. La función secante tiene un periodo 2π, es decir tan(x) = tan(x + 2kπ).
5. La función secante no esta acotada.
6. La función secante no tiene máximos globales, pero en los intervalos
π π
((2k + 1)π − , (2k + 1)π + )
2 2
se alcanza el máximo local −1 en (2k + 1)π.
7. La función secante no tiene mínimos globales, pero en los intervalos
π π
((2k)π − , (2k)π + )
2 2
se alcanza el mínimo local 1 en (2k)π.
40. La función csc(x)
7
las propiedades básicas de la función cosecante se pueden derivar de su definición.
1
sec(x) =
sen(x)
7.1. Gráfica de la función csc(x)
3
2
1
Π Π Π Π 3Π 2Π
2 2 2
1
Período
2
3
Gráfica de la función cosecante.
7.2. Propiedades básicas de la función csc(x)
A partir de la gráfica de la función cosecante podemos inferir algunas de las propiedades básicas,
como las siguientes:
1. La función cosecante no esta definida en los puntos x = kπ con k ∈ Z.
41. 7.2. Propiedades básicas de la función csc(x) 40
2. La función cosecante tiene dominio R − {x|x = kπ} y rango (imagen del dominio) a los reales
R − (−1, 1)
csc(x) : R − {x|x = kπ} → R − (−1, 1).
3. La función cosecante es impar, es decir csc(−x) = − csc(x).
4. La función cosecante tiene un periodo 2π, es decir csc(x) = csc(x + 2kπ).
5. La función cosecante no esta acotada.
π(3 + 4k)
6. La función cosecante no tiene máximo global, pero tiene máximos locales −1, en .
2
π(1 + 4k)
7. La función cosecante no tiene mínimo global, pero tiene mínimos locales 1, en .
2
44. Funciones trigonométricas inversas
10
Todas las funciones trigonométricas antes mencionadas tienen inversa en un intervalo donde la función sea biyec-
tiva.
10.1. La función arc sen
La función arc sen esta definida en el intervalo [−1, 1].
−π π
arc sen : [−1, 1] → [ , ].
2 2
10.2. Gráfica de la función arc sen
Π
2
1 1
Π
2
Gráfica de la función arcoseno.
45. 10.3. La función arc cos 44
10.3. La función arc cos
La función arc cos esta definida en el intervalo [−1, 1].
arc cos : [−1, 1] → [0, π].
10.4. Gráfica de la función arc cos
Π
2
1 1
Gráfica de la función arcoseno.
46. 10.5. La función arctan 45
10.5. La función arctan
La función arctan esta definida en R.
−π π
arctan : R → [ , ].
2 2
10.6. Gráfica de la función arctan
Π
2
1 1
Π
2
Gráfica de la función arcotangente.
10.7. La función arccot
La función arccot esta definida en R.
−π π
arccot : R → ( , 0) ∪ (0, ).
2 2
10.8. Gráfica de la función arccot
Π
2
1 1
Π
2
Gráfica de la función arcocotangente.
47. 10.9. La función arcsec 46
10.9. La función arcsec
La función arcsec esta definida en R.
−π π
arcsec : R → [0, ) ∪ ( , π].
2 2
10.10. Gráfica de la función arcsec
Π
2
1 1
Gráfica de la función arcosecante.
10.11. La función arccsc
La función arccsc esta definida en R.
−π π
arccsc : R → [ , 0) ∪ (0, ].
2 2
10.12. Gráfica de la función arccsc
Π
2
1 1
Π
2
Gráfica de la función arcoseno.