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3.3.-Variación y gráficas de las funciones
trigonométricas (seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante)
Las funciones trigonométricas de un triángulo
rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados
NOMBRE DE LA FUNCIÓN Razón o relación
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante CO
H
CA
H
CO
CA
CA
CO
H
CA
H
CO
2
• Las funciones trigonométricas son
algunas aplicaciones que nos
ayudan en la resolución de
triángulos rectángulos
• Un triángulo tiene seis elementos :
tres lados y tres ángulos. Resolver
un triángulo consiste en calcular
tres de los elementos cuando se
conocen los otros tres , siempre
que uno de ellos sea un lado.
3
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS :
Si queremos representar en forma
gráfica una función trigonométrica
tomamos los valores de la variable
independiente como abscisas y los
valores de la función como
ordenadas, obteniendo así una serie
de puntos, los que al unirlos nos
dará una línea que será la
representación gráfica de la función.
4
USO DE LA FUNCION SENO: ésta se usa
cuando en un triángulo rectángulo se
conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto,
o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el
cateto opuesto al ángulo dado.
USO DE LA FUNCION COSENO: si en un
triángulo rectángulo conocemos un ángulo
agudo y el cateto adyacente, o un ángulo
agudo y la hipotenusa,
Podemos calcular el cateto adyacente al
ángulo dado y la hipotenusa usando esta
función.
5
USO DE LA FUNCIÓN TANGENTE:
si en un triángulo rectángulo
conocemos un cateto y el ángulo
adyacente a él podemos calcular el
otro cateto.
USO DE LA FUNCIÓN
COTANGENTE: por lo tanto en todo
triángulo rectángulo si conocemos
un cateto y su ángulo opuesto
podemos calcular el valor del otro
mediante ésta.
6
USO DE LA FUNCION SECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario que en la función coseno.
USO DE LA FUNCION COSECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario a la función seno.
7
• Función seno (de -360 a
360)
8
Función coseno (de –360 a 360)
9
Función tangente (de –360 a 360)
300
-
6
0
-120
-180
-240
-300
-360 360
60 120 180 240
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
300
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-
6
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-180
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Función cotangente (de –360 a 3
11
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-180
-240
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-360 360
60 120 180 240
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Función secante (de –360 a 360)
12
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-180
-240
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-360 360
60 120 180 240
0
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4
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-2
-3
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-5
300
Función cosecante (de –360 a 360)
13
Variación en la gráfica de seno:
3Senx+2
3Sen 0º+2=2
3Sen 90º+2=5
3Sen 180º=2
3Sen 270º=-1
3Sen 360º=2
180 360
1
-1
0
-2
2
3
4
5
90 270
Sen x
Sen 0°=0
Sen 90°=1
Sen 180°=0
Sen 270°=-1
Sen 360°= 0
14
Cosx
Cos 0° = 1
Cos 90° = 0
Cos 180° = -1
Cos 270° = 0
Cos 360° = 1
Cosx+2
Cos 0º+2=3
Cos 90º+2=2
Cos 180º+2=1
Cos 270º+2=2
Cos 360º+2=3
Variación de
la función
Coseno
15
Sobre las Funciones Trigonométricas
16
Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que
podemos extender las definiciones de las razones
trigonométricas para ángulos agudos en un
triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en
el círculo.
Recuerde:
17
También hemos enfatizado el comportamiento de las razones
trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo
formando ángulos.
Recuerde
que aunque
aquí se
muestran
algunos
ángulos más
conocidos
podemos
hallar el seno
o el coseno a
ángulos con
cualquier
medida.
18
Hallar la razón trigonométrica indicada.
(5)
sin
4.
)
tan(-240
3.
)
30
cos(
2.
)
sin(
.
1
o
8
15


3827
.
0
8
sin 










  1
0
cos 

3
3
tan
3
4
tan 



















Nota que el 5 representa 5 radianes. Un
ángulo que mide 5 radianes está en 4to
cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
0.9589
-

19
Funciones Trigonométricas
• Para definir las funciones trigonométricas se define
como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en
radianes.
• De esta forma el dominio de una función
trigonométrica es el conjunto de los números reales.
• El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ)
es [-1,1].
• Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes
funciones trigonométricas
f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).
20
Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)
• Comenzaremos el estudio de las gráficas
de las funciones de seno y coseno
armando una tabla de valores.
21
Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
22
Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
23
Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
24
Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
25
Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.
26
Gráficas de f(x)=sin(x)
27
Gráficas de f(x)=cos(x)
28
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
1. En las gráficas anteriores se puede observar el
gran parecido que existe entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos trasladar la
gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la
gráfica de f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido diciendo que
f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º
mide /2 (en números reales o radianes).
29
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
4. En las gráficas anteriores también se
puede observar que los valores de ambas
funciones se repiten cíclicamente para
múltiplos de 2.
5. Este comportamiento se puede describir
f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n
pertenece a los enteros (n  ).
6. También podemos decir que
g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n  .
30
Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 sin(x)
• F(x) = sin(2x)
• F(x) = 2 sin(x +1)
• F(x) = 2 sin(x) + 1
31
Gráfica de f(x) = 2sin(x)
32
Gráfica de f(x) = sin(2x)
33
Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 cos(x)
• F(x) = cos(2x)
• F(x) = 2 cos(x +1)
• F(x) = 2 cos(x) + 1
34
Gráfica de f(x)=2cos(x)
35
Gráfica de f(x)=cos(2x)
36
Gráfica de h(x)=tan(x)
• Vamos a construir una tabla con algunos
valores de tangente para varios ángulos.
• Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está
definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
37
Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es
posible definir la función tangente de un ángulo (x).
De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma
el valor de cero, la función tangente no está definida
(¿por qué?).
38
Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).
-1.000
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
tan(x)
 2 3
-
-2
-3

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Presentación semana 11.pptx

  • 1. 1 3.3.-Variación y gráficas de las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados NOMBRE DE LA FUNCIÓN Razón o relación seno coseno tangente cotangente secante cosecante CO H CA H CO CA CA CO H CA H CO
  • 2. 2 • Las funciones trigonométricas son algunas aplicaciones que nos ayudan en la resolución de triángulos rectángulos • Un triángulo tiene seis elementos : tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos cuando se conocen los otros tres , siempre que uno de ellos sea un lado.
  • 3. 3 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS : Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.
  • 4. 4 USO DE LA FUNCION SENO: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto opuesto al ángulo dado. USO DE LA FUNCION COSENO: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa, Podemos calcular el cateto adyacente al ángulo dado y la hipotenusa usando esta función.
  • 5. 5 USO DE LA FUNCIÓN TANGENTE: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto. USO DE LA FUNCIÓN COTANGENTE: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.
  • 6. 6 USO DE LA FUNCION SECANTE: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno. USO DE LA FUNCION COSECANTE: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.
  • 7. 7 • Función seno (de -360 a 360)
  • 8. 8 Función coseno (de –360 a 360)
  • 9. 9 Función tangente (de –360 a 360) 300 - 6 0 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300
  • 10. 10 - 6 0 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función cotangente (de –360 a 3
  • 11. 11 - 6 0 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función secante (de –360 a 360)
  • 12. 12 - 6 0 -120 -180 -240 -300 -360 360 60 120 180 240 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 300 Función cosecante (de –360 a 360)
  • 13. 13 Variación en la gráfica de seno: 3Senx+2 3Sen 0º+2=2 3Sen 90º+2=5 3Sen 180º=2 3Sen 270º=-1 3Sen 360º=2 180 360 1 -1 0 -2 2 3 4 5 90 270 Sen x Sen 0°=0 Sen 90°=1 Sen 180°=0 Sen 270°=-1 Sen 360°= 0
  • 14. 14 Cosx Cos 0° = 1 Cos 90° = 0 Cos 180° = -1 Cos 270° = 0 Cos 360° = 1 Cosx+2 Cos 0º+2=3 Cos 90º+2=2 Cos 180º+2=1 Cos 270º+2=2 Cos 360º+2=3 Variación de la función Coseno
  • 15. 15 Sobre las Funciones Trigonométricas
  • 16. 16 Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo. Recuerde:
  • 17. 17 También hemos enfatizado el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos. Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.
  • 18. 18 Hallar la razón trigonométrica indicada. (5) sin 4. ) tan(-240 3. ) 30 cos( 2. ) sin( . 1 o 8 15   3827 . 0 8 sin              1 0 cos   3 3 tan 3 4 tan                     Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué? 0.9589 - 
  • 19. 19 Funciones Trigonométricas • Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes. • De esta forma el dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los números reales. • El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1]. • Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).
  • 20. 20 Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x) • Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores.
  • 21. 21 Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.
  • 22. 22 Gráfica de f(x)=sin(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.
  • 23. 23 Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.
  • 24. 24 Gráfica de g(x)=cos(x) Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico. Unamos los puntos con una curva suave y continua.
  • 25. 25 Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.
  • 28. 28 Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) 1. En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas. 2. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x). 3. Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]). Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide /2 (en números reales o radianes).
  • 29. 29 Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x) 4. En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2. 5. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los enteros (n  ). 6. También podemos decir que g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n  .
  • 30. 30 Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones • Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. • F(x)=2 sin(x) • F(x) = sin(2x) • F(x) = 2 sin(x +1) • F(x) = 2 sin(x) + 1
  • 31. 31 Gráfica de f(x) = 2sin(x)
  • 32. 32 Gráfica de f(x) = sin(2x)
  • 33. 33 Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones • Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones. • F(x)=2 cos(x) • F(x) = cos(2x) • F(x) = 2 cos(x +1) • F(x) = 2 cos(x) + 1
  • 36. 36 Gráfica de h(x)=tan(x) • Vamos a construir una tabla con algunos valores de tangente para varios ángulos. • Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
  • 37. 37 Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).
  • 38. 38 Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes). -1.000 -0.800 -0.600 -0.400 -0.200 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 tan(x)  2 3 - -2 -3