1) El documento describe las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y cómo se relacionan con los lados de un triángulo rectángulo. 2) Explica cómo graficar estas funciones tomando valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas. 3) Detalla el uso de cada función trigonométrica para resolver triángulos rectángulos en diferentes escenarios.
Las funciones trigonométricas son herramientas fundamentales en matemáticas que se utilizan para describir las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo. Estas funciones se derivan de las razones de las longitudes de los lados de un triángulo en relación con sus ángulos internos. En este ensayo, exploraremos las funciones trigonométricas más comunes, sus propiedades y aplicaciones en diferentes campos.
Las funciones trigonométricas básicas son el seno, el coseno y la tangente, que se definen en relación con un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es la razón entre el lado opuesto a ese ángulo y la hipotenusa del triángulo. El coseno es la razón entre el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa. La tangente es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente al ángulo.
La función seno (sin) y la función coseno (cos) son periódicas con un período de
2
�
2π, lo que significa que sus valores se repiten cada
2
�
2π radianes. La función tangente (tan) no es periódica y puede aumentar indefinidamente en magnitud a medida que el ángulo se acerca a ciertos valores. Otras funciones trigonométricas comunes incluyen la cotangente (cot), la secante (sec) y la cosecante (csc).
Estas funciones trigonométricas tienen varias propiedades importantes. Por ejemplo,
�
�
�
2
(
�
)
+
�
�
�
2
(
�
)
=
1
sin
2
(x)+cos
2
(x)=1, conocida como la identidad trigonométrica fundamental. También existen relaciones entre estas funciones, como
tan
(
�
)
=
�
�
�
(
�
)
�
�
�
(
�
)
tan(x)=
cos(x)
sin(x)
. Estas propiedades son esenciales para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar expresiones.
Las funciones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones en diferentes campos. En matemáticas, se utilizan para resolver problemas geométricos y trigonométricos, así como en cálculos de límites y derivadas en análisis matemático. Además, son fundamentales en física, especialmente en áreas como mecánica, acústica, óptica y electrónica, para describir fenómenos ondulatorios y oscilatorios.
En ingeniería, las funciones trigonométricas son esenciales en áreas como la ingeniería eléctrica, la ingeniería mecánica y la ingeniería de control, donde se utilizan para analizar señales, diseñar circuitos y controlar sistemas. También se aplican en campos como la arquitectura y la topografía para resolver problemas relacionados con estructuras y mediciones de terreno.
En conclusión, las funciones trigonométricas son herramientas matemáticas fundamentales que describen las relaciones entre ángulos y longitudes de lados en un triángulo. Son periódicas y tienen propiedades importantes que se utilizan en una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y otros campos. Su comprensión y aplicación son esenciales para abordar problemas complejos y avanzar en diversas áreas del conocimiento.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las
Las funciones trigonométricas son herramientas fundamentales en matemáticas que se utilizan para describir las relaciones entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo. Estas funciones se derivan de las razones de las longitudes de los lados de un triángulo en relación con sus ángulos internos. En este ensayo, exploraremos las funciones trigonométricas más comunes, sus propiedades y aplicaciones en diferentes campos.
Las funciones trigonométricas básicas son el seno, el coseno y la tangente, que se definen en relación con un triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo es la razón entre el lado opuesto a ese ángulo y la hipotenusa del triángulo. El coseno es la razón entre el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa. La tangente es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente al ángulo.
La función seno (sin) y la función coseno (cos) son periódicas con un período de
2
�
2π, lo que significa que sus valores se repiten cada
2
�
2π radianes. La función tangente (tan) no es periódica y puede aumentar indefinidamente en magnitud a medida que el ángulo se acerca a ciertos valores. Otras funciones trigonométricas comunes incluyen la cotangente (cot), la secante (sec) y la cosecante (csc).
Estas funciones trigonométricas tienen varias propiedades importantes. Por ejemplo,
�
�
�
2
(
�
)
+
�
�
�
2
(
�
)
=
1
sin
2
(x)+cos
2
(x)=1, conocida como la identidad trigonométrica fundamental. También existen relaciones entre estas funciones, como
tan
(
�
)
=
�
�
�
(
�
)
�
�
�
(
�
)
tan(x)=
cos(x)
sin(x)
. Estas propiedades son esenciales para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar expresiones.
Las funciones trigonométricas tienen numerosas aplicaciones en diferentes campos. En matemáticas, se utilizan para resolver problemas geométricos y trigonométricos, así como en cálculos de límites y derivadas en análisis matemático. Además, son fundamentales en física, especialmente en áreas como mecánica, acústica, óptica y electrónica, para describir fenómenos ondulatorios y oscilatorios.
En ingeniería, las funciones trigonométricas son esenciales en áreas como la ingeniería eléctrica, la ingeniería mecánica y la ingeniería de control, donde se utilizan para analizar señales, diseñar circuitos y controlar sistemas. También se aplican en campos como la arquitectura y la topografía para resolver problemas relacionados con estructuras y mediciones de terreno.
En conclusión, las funciones trigonométricas son herramientas matemáticas fundamentales que describen las relaciones entre ángulos y longitudes de lados en un triángulo. Son periódicas y tienen propiedades importantes que se utilizan en una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y otros campos. Su comprensión y aplicación son esenciales para abordar problemas complejos y avanzar en diversas áreas del conocimiento.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las
Convocatoria de becas de Caja Ingenieros 2024 para cursar el Máster oficial de Ingeniería de Telecomunicacion o el Máster oficial de Ingeniería Informática de la UOC
1. 1
3.3.-Variación y gráficas de las funciones
trigonométricas (seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante)
Las funciones trigonométricas de un triángulo
rectángulo son las razones o relaciones entre sus lados
NOMBRE DE LA FUNCIÓN Razón o relación
seno
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante CO
H
CA
H
CO
CA
CA
CO
H
CA
H
CO
2. 2
• Las funciones trigonométricas son
algunas aplicaciones que nos
ayudan en la resolución de
triángulos rectángulos
• Un triángulo tiene seis elementos :
tres lados y tres ángulos. Resolver
un triángulo consiste en calcular
tres de los elementos cuando se
conocen los otros tres , siempre
que uno de ellos sea un lado.
3. 3
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS :
Si queremos representar en forma
gráfica una función trigonométrica
tomamos los valores de la variable
independiente como abscisas y los
valores de la función como
ordenadas, obteniendo así una serie
de puntos, los que al unirlos nos
dará una línea que será la
representación gráfica de la función.
4. 4
USO DE LA FUNCION SENO: ésta se usa
cuando en un triángulo rectángulo se
conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto,
o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el
cateto opuesto al ángulo dado.
USO DE LA FUNCION COSENO: si en un
triángulo rectángulo conocemos un ángulo
agudo y el cateto adyacente, o un ángulo
agudo y la hipotenusa,
Podemos calcular el cateto adyacente al
ángulo dado y la hipotenusa usando esta
función.
5. 5
USO DE LA FUNCIÓN TANGENTE:
si en un triángulo rectángulo
conocemos un cateto y el ángulo
adyacente a él podemos calcular el
otro cateto.
USO DE LA FUNCIÓN
COTANGENTE: por lo tanto en todo
triángulo rectángulo si conocemos
un cateto y su ángulo opuesto
podemos calcular el valor del otro
mediante ésta.
6. 6
USO DE LA FUNCION SECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario que en la función coseno.
USO DE LA FUNCION COSECANTE:
ésta se usa cuando se tiene lo
contrario a la función seno.
13. 13
Variación en la gráfica de seno:
3Senx+2
3Sen 0º+2=2
3Sen 90º+2=5
3Sen 180º=2
3Sen 270º=-1
3Sen 360º=2
180 360
1
-1
0
-2
2
3
4
5
90 270
Sen x
Sen 0°=0
Sen 90°=1
Sen 180°=0
Sen 270°=-1
Sen 360°= 0
14. 14
Cosx
Cos 0° = 1
Cos 90° = 0
Cos 180° = -1
Cos 270° = 0
Cos 360° = 1
Cosx+2
Cos 0º+2=3
Cos 90º+2=2
Cos 180º+2=1
Cos 270º+2=2
Cos 360º+2=3
Variación de
la función
Coseno
16. 16
Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que
podemos extender las definiciones de las razones
trigonométricas para ángulos agudos en un
triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en
el círculo.
Recuerde:
17. 17
También hemos enfatizado el comportamiento de las razones
trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo
formando ángulos.
Recuerde
que aunque
aquí se
muestran
algunos
ángulos más
conocidos
podemos
hallar el seno
o el coseno a
ángulos con
cualquier
medida.
18. 18
Hallar la razón trigonométrica indicada.
(5)
sin
4.
)
tan(-240
3.
)
30
cos(
2.
)
sin(
.
1
o
8
15
3827
.
0
8
sin
1
0
cos
3
3
tan
3
4
tan
Nota que el 5 representa 5 radianes. Un
ángulo que mide 5 radianes está en 4to
cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
0.9589
-
19. 19
Funciones Trigonométricas
• Para definir las funciones trigonométricas se define
como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en
radianes.
• De esta forma el dominio de una función
trigonométrica es el conjunto de los números reales.
• El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ)
es [-1,1].
• Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes
funciones trigonométricas
f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).
20. 20
Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)
• Comenzaremos el estudio de las gráficas
de las funciones de seno y coseno
armando una tabla de valores.
28. 28
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
1. En las gráficas anteriores se puede observar el
gran parecido que existe entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos trasladar la
gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la
gráfica de f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido diciendo que
f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º
mide /2 (en números reales o radianes).
29. 29
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
4. En las gráficas anteriores también se
puede observar que los valores de ambas
funciones se repiten cíclicamente para
múltiplos de 2.
5. Este comportamiento se puede describir
f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n
pertenece a los enteros (n ).
6. También podemos decir que
g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n .
30. 30
Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 sin(x)
• F(x) = sin(2x)
• F(x) = 2 sin(x +1)
• F(x) = 2 sin(x) + 1
33. 33
Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
• F(x)=2 cos(x)
• F(x) = cos(2x)
• F(x) = 2 cos(x +1)
• F(x) = 2 cos(x) + 1
36. 36
Gráfica de h(x)=tan(x)
• Vamos a construir una tabla con algunos
valores de tangente para varios ángulos.
• Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está
definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
37. 37
Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es
posible definir la función tangente de un ángulo (x).
De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma
el valor de cero, la función tangente no está definida
(¿por qué?).
38. 38
Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).
-1.000
-0.800
-0.600
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
tan(x)
2 3
-
-2
-3