El documento presenta definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas sen(x), cos(x), tan(x), csc(x), sec(x) y cot(x). Explica cómo estas funciones se definen para ángulos medidos en radianes y grados, e incluye gráficas de las funciones principales y sus períodos y dominios. También introduce las funciones inversas arccos(x) y arctan(x) y sus identidades.

1. Universidad Autonoma Del Carmen Campus II Cinthia Junco García Trigonometría

2. Una propiedad de la función generadora Si x es un numero real y (a,b) son las coordenadas del punto circular W(x), Sen x = b cscx = 1 b ≠ 0 b Cos x = a tan x = b a Secx = 1 a ≠ 0 a Cotx = a b ≠ 0 DEFINICIÒN 1

3. TABLA 1 Propiedad del signo Senx = b Cscx = 1/ b Cosx = a Secx = 1/ a tanx = a/ b + + - - + + - - + + - - + + - - Función circular I II III IV Signo en el cuadrante a b (- , +) a b (+ , -) a b (+ , -) a b (- , -) III IV II I

4. (Sen x) ² ≠ Sen x ² (Sen x) ² ≠ Sen x ² PRECAUCIÒN

5. Identidades trigonometriítas básicas Para x cualquier numero real (en todos los casos se restringe a que ambos lados de una ecuación estén definidos): Identidades reciprocas (2) (3) csc x = 1 sec x= 1 cot x= 1 sen x cos x tan x Identidades del cociente (4) (5) tan x = sen x cot x = cos x cos x sen x Identidades para negativos (6) (7) (8) Sen(-x)=-senx cos(-x)=cosx tan(-x)=-tanx Identidad pitagórica (9) Sen ² x+cos ² x=1 Teorema 1

6. Estableciendo el modo de la calculadora: Antes de empezar con los Ejemplos y los ejercicios, lea el manual de instrucciones de su calculadora para determinar como ponerla en modo de radianes (rad). Es en este modo en el que se puede evaluar las funciones reales. (este proceso se justifica en la sección 5-4 en que se analizan funciones trigonometriítas con sus dominios de ángulos.)Una causa de error frecuente cuando se usa una calculadora es olvidar ponerla en el modo correcto antes de empezar a hacer cálculos que involucren funciones circulares o trigonométricas. Precaución

7. DEFINICIÒN 1 Medición en grados Se dice que un ángulo formado por una rotación completa tiene una medida de 360 grados (360º). Un Angulo formado por 1 de una rotación completa se dice que tiene una medida de 1grado (1º). El símbolo º denota grados. Cierto ángulos tienen nombres especiales. La figura 4 muestra un ángulo lleno, ángulo recto, ángulo agudo y ángulo obtuso. Angulo llano ( 1 rotacion) 2 (a) Angulo recto ( 1 rotación) 4 (b) Angulo agudo (0º<0<0 <90º (c) Angulo obtuso (90º< 0 < 180º) (d)

8. Precisión de la conversión Si un ángulo se mide al segundo mas cercano, la forma convertida a decimales no debe incluir mas de tres lugares decimales y viceversa. De la forma GMS a la forma GD y a la inversa (A) Convierta 21º47`12” a grados decimales. (B) Convierta 105.183º a la forma grado-minuto-segundo solución (A) 21º47`12”=(21+ 47 + 12) º = 21.787º 60 3600 (B) 105.183º = 105º(0.183.60)` = 105º10.98` =105º10`(0.98.60)” = 105º ala forma GMS.

9. Mediciones en radianes Si se coloca el vértice de un ángulo ө en el centro del circulo de radio r >0, y la longitud del arco opuesto a ө en la circunferencia es s, entonces ө medido en radianes esta dado por Así un radian es el tamaño del ángulo central de un circulo que interfecta un arco de la misma longitud que el radio del circulo. [Nota: s y r deben estar mediados en las mismas Unidades. Observe también ө se usa de dos maneras: como el nombre de un ángulo. El contexto determina la elección. Así cuando se escribe ө = s/r , significa que la medida del ángulo ө en radianes es s/r .] ө = s radianes r s = r ө ө = r = 1 radian r También, DEFINICIÒN 2

10. Formulas de conversión entre grados y radianes [ Nota : la proporción de la izquierda es generalmente mas fácil de recordar. Tan bien se omiten las unidades en los cálculos hasta las respuesta final. Si su calculadora no tiene una clave marcada con π , use π = 3.14159.] ө = 180º ө grad π rad rad Radianes a grados ө = ө grad rad 180º π rad o ө = π rad 180º ө grad Grados a radianes

11. Funciones trigonometricas con dominios de ángulos Si 0 es un agulo medido en grados, convierta la medida en radianes y proceda como antes se indico.[Nota: para reducir el numero de símbolos diferentes en ciertas figuras, se comenzara por etiquetar los ejes u y v como los ejes a y b, respectivamente. Una expresión tal como sen 30° también denota al seno de un ángulo que mide 30°] Si ө es un ángulo de x radianes , entonces el valor de cada función trigonométrica en өsta dado por su valor con el numero real x. Sen ө Cos ө Tan ө Csc ө Sec ө Cot ө Función trigonometrica Función circular = sen x = cos x = tan x =csc x =sec x =cot x

12. Identidades reciprocas Para cualquier numero real o ángulo medido en grados o radianes: csc x = sec x = cot x = 1 1 1 sen x cos x tan x sen x ≠ 0 cos x ≠ 0 tan x ≠ 0 TEOREMA 1

13. Funciones circulares y funciones trigonometricas Para x cualquier numero real: sen x = sen ( x radianes) sec x = sec ( x radianes) tan x = tan ( x radianes) cos x = cos (x radianes) csc x = csc (x radianes) cot x = cot (x radianes) (1)

14. Triangulo de referencia y ángulo de referencia Para formar un triangulo de diferencia para  , dibuje una perpendicular desde un punto P(a,b) en el lado terminal de  al eje horizontal. 2. El ángulo de referencia  es el ángulo agudo (siempre tomado positivo) entre el lado terminal de  y el eje horizontal. (a,b) ≠ (0,0)  es siempre positivo

15. Triángulos especiales de 30° -60° y 45°

16. c  a b (a,b) 0º <  = 90º Sen  = b c csc  = c b cos  = a c tan  = b a sec  = c a cot  = a b Relaciones trigonometricas

17. Funciones de un triangulo rectángulo 0º <  < 90º sen  = Op. Hip. cos  = Ady. Hip. tan  = Op. Ady. cos  = Hip. Op. sec  = Hip. Ady cot  = Ady. Op.

18. Grafica y = sen x Periodo: 2 π Dominio: Todos los números reales Rango: [-1,1] Simetrica con respecto al origen

19. Grafica y = cos x Periodo: 2π Dominio: Todos los números reales Rango: [-1,1] Simetica con respecto al eje y

20. Grafica de y = tan x Periodo: π Dominio: Todos los números reales excepto π/2 + kπ , k es un entero Rango: Todos los números reales simétrica Con respecto al origen. función creciente entre Las asíntotas Discontinua en x = π /2 + k π , k es un entero.

21. Grafica de y = csc x Periodo:2 π Dominio: todos los números reales excepto k π es un entero Rango: todos los números reales y tales que y ≤ - 1 y ≥ 1 Simetrica con respecto al origen Discontinua en x = kπ , k es un entero.

22. Grafica de y = sec x Periodo:2π Dominio: Todos los números reales excepto π / 2 + kπ , k es un entero Rango: todos los números reales y tales que y ≤ - 1 y ≥ 1 Simetrica con respecto al eje y Discontinua en x = π /2 + kπ , K es un entero

23. Para y = A sen Bx o para y = B x, B > 0: Amplitud = [A] Periodo = 2π B Si 0 < B < 1 , la curva básica del seno o del coseno se estira Si B > 1, la curva básica del seno o del coseno se comprime

24. Propiedades de y = A sen ( Bx + C ) y y = A cos ( Bx + C ) Para B > 0: Amplitud = [A] Periodo = 2π corrimiento de face = - C B B

25. Graficación de y = A sen ( Bx + C ) y y = A cos ( Bx + C ) Paso 1. Encuentre la amplitud [A]. Paso 2. Resuelva Bx + C = 0 y Bx + C = 2π Bx + C = 0 y Bx + C = 2π x = - C x = C + 2π B B B Periodo Corrimiento de face

26. Grafica de y = tan x Periodo : π denominación: todos los números Reales excepto π /2 + kπ , k es un Entero. Rango: todos los números reales Simétrica con respecto al origen Función creciente entré las Asintotas Discontinua en x= π/2 + kπ , k es Un entero.

27. Grafica de y = cot x Periodo: π Dominio : todos los números reales Simétrica con respecto al origen Función decreciente entre las asintotas Discontinua en x = k π , k es un entero

28. Función inversa al coseno La función inversa del coseno, denotada por cos o arcocoseno, se define como la inversa de la función restringida del coseno y = cos x , 0 < x por consiguiente. y = cos x y y = arccos x Son equivalentes a cos y = x donde 0 < π , -1 < x < 1 En tras palabras el inverso del coseno de x, o del arcocoseno de x, es el numero o el ángulo y, < y < π , cuyo coseno es x.

29. Identidades del coceno y del inverso del coceno cos (cos x) = x cos (cos x) = x -1 < x < 1 0 < x < 1 [f(x)] = x Identidades de la tangente y su inversa tan (tan x) = 1 tan (tan x) = 1

30. funciones inversas de la tangente de la secante y de la cosecante