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Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
368
16
16.1 ANGULO
16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
16.3 FUNCIÓN TANGENTE
16.4 VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para
simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
369
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
 Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
 Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son
identidades o no.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
16.1 ÁNGULO.
ÁNGULO es la abertura que existe entre 2
semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:
16.1.1 PATRÓN DE MEDIDA
La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas
del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en
sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
 GRADOS (patrón referencial); y/o
 RADIANES (patrón de números reales)
Se lo puede denotar de
la siguiente manera
También se suele emplear
letras del alfabeto griego
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
370
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
π=
180 Radianes
A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia
tenemos:
GRADOS RADIANES

30
6
π

45
4
π

60
3
π

90
2
π

150
6
5π

180 π

210
6
7π

270
2
3π

300
3
5π

330
6
11π

360 π2

135

120

225

315
16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y
para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.
Completar
Note que aquí la variable
independiente “ x ” representa a un
ángulo
En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO y la ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿POR QUÉ?
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
371
Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos
(posición) estratégicos tenemos:
CONCLUSIONES:
 IRxDomxDom == )(cos)(sen
 Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.
 Sus gráficas presentan SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=−
El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =−
 Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T .
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =±
Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =±
 Son FUNCIONES ACOTADAS.
π
π
π
π
π
π
ππ
2sen0
2
3
sen1
sen0
2
2
3
2
sen1
0sen0
sen
2
0
=






=
=
−






=
=
xx
π
π
π
π
π
π
ππ
2cos1
2
3
cos0
cos1
2
2
3
2
cos0
0cos1
cos
2
0
=






=
=−






=
=
xx
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
372
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )(
Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir:
1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x
OPCIONAL
Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales
serían las características de las gráficas de:
 xy sen2= .
Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡
 )sen( 6
π
−= xy .
Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ
 )2sen( xy = .
Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω
Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden
ser generalizadas de la siguiente forma:
))(sen( Φ±= xAy ω donde
T
π
ω
2
= entonces
ω
π2
=T
))(cos( Φ±= xAy ω
Ejercicios Propuestos 16.1
GRAFIQUE:
1. 1)2sen(2
3
+−= πxy
2. )sen( xy −=
3. xy sen=
4. 12sen2
3
+−= πxy
5. 1cos
3
−−= πxy
16.3 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como x
x
x
y tg
cos
sen
==
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es decir
en ,...2,1,0;
2
)12( =−±= nnx
π
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
373
CONCLUSIONES:







=−±−= ,...2,1,0;
2
)12()(tg nnIRxDom
π
 IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada
 Es una función periódica, con período π=T . Entonces
T
π
ω =
 Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=−
 En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω
OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 16.2
GRAFICAR:
1. xy 2tg=
2. 2
tg xy =
3. )tg(
3
π+−= xy
4. )2tg(2
3
π−= xy
5. xy tg=
6. 2
tg xy =
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
374
16.4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA
ÁNGULOS CONOCIDOS.
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas
para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos
preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una
calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para
los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los
ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego.
x xsen xcos xtg
0 0 1 0

30
6
=
π
2
1
2
3
3
3

45
4
=
π
2
2
2
2 1

60
3
=
π
2
3
2
1 3

90
2
=
π 1 0 ∞

180=π 0 1− 0

270
2
3
=
π 1− 0 ∞

3602 =π 0 1 0
La trigonometría está íntimamente ligada a la geométrica. Para
obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°
empleamos un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras sería de mucha ayuda.
16.4.1 Teorema de Pitágoras
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
375
En todo triángulo rectángulo (triángulo que
tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la
longitud de su hipotenusa es igual a la suma del
cuadrado de las longitudes sus catetos.
Es decir: 222
bac +=
16.4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo
rectángulo
Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
sen
Hipotenusa
opuestoLado
x = 
c
a
x =sen
cos
Hipotenusa
adyacenteLado
x = 
c
b
x =cos
tg
adyacenteLado
opuestoLado
x = 
b
a
x =tg
También se definen las Cofunciones de la siguiente manera:
COSECANTE :
a
c
x
x ==
sen
1
csc
SECANTE:
b
c
x
x ==
cos
1
sec
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
376
COTANGENTE:
a
b
x
x ==
tg
1
cot
16.4.3 Funciones trigonométricas para los ángulos 
45 ,

30 y 
60 .
Para 
45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.
Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos
que 211 22
=+=c
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
377
Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual
medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l
Ejercicio resuelto
La operación ( )



45cos45sen30sen45tg4
60csc
30tg
260sen2
+−−+ da como
resultado:
a)
4
9 b)
4
9− c) 1 d) 0 e) -1
SOLUCIÓN:
Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:
4
9
4
123
3
4
3
4
6
3
2
4
3
4
2
2
1
14
2
3
3
3
2
4
3
2
2
2
2
2
1
14
3
2
3
3
2
2
3
1
2
1
1
2
12
−=
−
=−=−
























/
/
/+=
=










/
/
+−−








⋅+=
























+−−












+








/
RESPUESTA: Opción "b"
2
1
45sen =
ó
2
2
45sen =
2
1
45cos =
ó
2
2
45cos =
1
45cos
45sen
45tg =
°
°
=
⇒
2
1
30sen =
2
3
60sen =
2
3
30cos =
2
1
60cos =
3
3
3
1
30tg ==
360tg =
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
378
Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar
lo siguiente:
1. Regla del cuadrante:
Cuadrante x
I 2
0 π
<< x )()( xfxf =
II ππ
<< x2
)()( xfxf −±= π
III 23π
π << x )()( π−±= xfxf
IV ππ
23 2 << x )2()( xfxf −±= π
El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:
2. Regla de los signos
Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg
I 2
0 π
<< x + + +
II ππ
<< x2
+ - -
III 23π
π << x - - +
IV ππ
23 2 << x - + -
Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los
respectivos cuadrantes son:
Donde
tgsec,csc,
tgcos,sen,
c
f
=
=
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
379
Ejemplo 1
Para calcular 
135sen , debemos considerar que:
1.En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. 2
2
45sen)135180sen(135sen ==°−°= 
Ejemplo 2
Para calcular 
210cos , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2. 2
3
)30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−= 
Ejemplo 3
Para calcular °300tg , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.
2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−= 
Ejercicios Propuestos 16.3
Calcular:
1. °120cos
2. °150tg
3. °225sen
4. °240tg
5. °315cos
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
380
Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la
función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un número
natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y
luego aplicar las reglas anteriores.
Ejemplo 1
Para calcular °405sen , debemos considerar que:
( )
2
2
405sen
45sen405sen45sen360405sen405sen
=
=⇒=−=


Ejemplo 2
Para calcular °1125tg , debemos considerar que:
11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°= 
Ejemplo 3
Para calcular °480cos , debemos considerar que:
1. °=°−° 120cos)360480cos( .
2. 2
1
60cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=°
Ejercicios propuestos 16.4
Calcular:
1. °1080cos
2. °495tg
3. °1050sen
Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes
métodos:
1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− ,
xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=−
Ejemplo
Para calcular )30sen(− , podemos considerar que:
 2
1
30sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que,
 2
1
330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°−
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
381
16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier
valor de x .
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a
la función coseno, tenemos que:
1cossen 22
=+ xx ¿POR QUÉ?
De aquí, al despejar tenemos que:
xx 22
cos1sen −=
xx 22
sen1cos −=
Además se puede demostrar que:
De aquí se deriva que:
Si hacemos xy =
yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
yxyxyx sencoscossen)sen( −=−
yxyxyx sensencoscos)cos( −=+
yxyxyx sensencoscos)cos( +=−
yx
yx
yx
yx
yx
tgtg1
tgtg
)cos(
)sen(
)tg(
−
+
=
+
+
=+
yx
yx
yx
tgtg1
tgtg
)tg(
+
−
=−
xxx cossen22sen =





−
−
−
=
x
x
xx
x
2
2
22
sen21
1cos2
sencos
2cos
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
382
Si hacemos
2
x
x = en 1cos22cos 2
−= xx y en xx 2
sen212cos −= ; y luego
despejamos, entonces resulta que:
Ejercicio resuelto 1
Calcular )75sen( 
SOLUCIÓN:
Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
( )
4
132
2
1
2
2
2
3
2
2
30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen(
+
=
+=
+=+= 
Ejercicio resuelto 2
Al simplificar la expresión:
( )xx
xx
sen1cos
cossen1 2
+
−+
se obtiene:
a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0
SOLUCIÓN :
Reemplazando la identidad xx 22
cossen1 += en la expresión dada, tenemos:
x
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
xx
tg
cos
sen
)sen1(cos
)1(sensen
)sen1(cos
cossencossen
)sen1(cos
cossen1 2222
=
=
+
+
=
+
−++
=
+
−+
RESPUESTA: opción "c"
2
cos1
2
cos
xx +
±=
2
cos1
2
sen
xx −
±=
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
383
Ejercicio resuelto 3
¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que:
xA
A
A
A 2
sen1
cos
sen1
cos
=
−
+
+
se convierta en una identidad?
a) Acsc c) Asen e) Acos
b) AA cossen d) Atg
SOLUCIÓN:
Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos:
Ax
A
A
x
A
A
x
xAA
A
xAA
AAAAAA
xAA
AAAA
xA
A
A
A
cos
cos
cos
cos
sen1
2
)sen1)(sen1(
cos2
2
)sen1)(sen1(
cossencossencoscos
2
)sen1)(sen1(
)sen1(cos)sen1(cos
2
sen1
cos
sen1
cos
2
2
=
=
−
=
/
=
−+
/
=
−+
++−
=
−+
++−
=
−
+
+
RESPUESTA: Opción "e"
Ejercicios Propuestos 16.5
1. La expresión
xxc
xcx
tgtg
tgtg
−
+
, es idéntica a:
a) x2csc b) x2sec c) x2sen d) x2cos e) x2tg
2. Una expresión idéntica a
x
xxx
2
2
cos1
1cossen2sen
−
−+
es:
a) xx cossen + c) x2
cos1− e) xx cos2sen −
b) xsen2 d) 1cos2 −x
3. La expresión
x
x
x
x
sen
cos1
cos1
sen +
+
+
es equivalente a:
a) xsec
2
1
b) xtg3 c) xcsc2 d) xcos e) xctg4
4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 





+
4
cos8
π
x ?
a) ( )xx sencos2 − c) ( )xsen12 + e) ( )xcos12 −
b) ( )xx cossen2 − d) ( )xx cossen2 +
5. La expresión:
2
csc
tg1
sencos2 




 −
+
α
α
αα
c
es idéntica a:
a) αtg2 b) -1 c) αtg2 c
d) 1 e) αtg
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
384
6. Una expresión idéntica a
x
xxx
2
2
sen1
1sencos2sen
−
−+
es:
a) xx cossen + b) x2
sen1− c) xsen2
d) xx cos2sen − e) 1sen2 −x
7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
a) 





=−
2
cossencos 22 x
xx b) xx 22
sec1tg −=
c) 





=+
2
cos2cos1 2 x
x d) xxx cossen2sen2 =
e) 




 π
+=
2
cossen xx
Misceláneos
1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a)
2
1
3
5cos =π
b)
3
3
6
7tg =π
c) π= 8cos0cos
d)
63
cossen ππ =
e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀
2. La expresión
xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++
es IDÉNTICA a:
a) xsen b) xcos c) xsec d) xcot e) xtg
3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+
b)
2
2
SenxCosy
xSen =
c) xSenxCos 22
1+=
d)
x
xx
Sen
2
cos1
2
+
=
e) xSenxCosxCos 22
2 −=
4. El valor de ∆ para que la expresión x
x
x
cos
sen1
1
tg
=
−
+∆
sea una IDENTIDAD es:
a) xcos b) xsec c) xsen d) x2
cos e)1
5. La expresión
xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++
es idéntica a:
a) xsen b) xcos c) xtg d) gxcot e) xsec
6. El valor de la expresión:
1
2
3
cot1
4
cos
6
sen
4
cos
6
sen
−













 π
+





 π
+
π





 π
−
π
es:
Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas
385
a)
3
1
− b) 12− c) 3− d)
12
3
− e)
12
3
7. SIMPLIFICANDO
xx
xx
cos2sen
cos4cos3 3
−
−
, se obtiene:
a) xx cossen + b) xcos21− c) 1sen2 +x
d) xsen2 − e) xx sencos −
8. La expresión x
xx
x
cos
cossen
1tg








+
+
es idéntica a:
a) tg x b) tg x +1 c) ctgx d)ctgx - 1 e)1
9. La expresión
2
tg1
cscsec






+
+
x
xx
es IDÉNTICA a:
a) x2
cot b) x2
sec c) x2
csc d) x2
sen e) x2
cos
10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a:
a) xsen− b) xcsc c) xcsc− d) xsen e) xcos−
11. El VALOR de


60cot.45tg
30sec.60tg.45sen
, es:
a) 6 b)
3
32
c)
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3
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  • 1. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 368 16 16.1 ANGULO 16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO 16.3 FUNCIÓN TANGENTE 16.4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS 16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Existen expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus propiedades, identidades y valores conocidos.
  • 2. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 369 OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: • Defina ángulo.  Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.  Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones trigonométricas dadas son identidades o no.  Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas. 16.1 ÁNGULO. ÁNGULO es la abertura que existe entre 2 semirectas que tienen un punto común de intersección. Esquemáticamente tenemos: 16.1.1 PATRÓN DE MEDIDA La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad de rotación que tiene que realizar el lado inicial para coincidir con el lado terminal. Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO. La medida de un ángulo se la expresa en:  GRADOS (patrón referencial); y/o  RADIANES (patrón de números reales) Se lo puede denotar de la siguiente manera También se suele emplear letras del alfabeto griego
  • 3. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 370 Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica: π= 180 Radianes A manera de ejemplos, como derivación de esta equivalencia tenemos: GRADOS RADIANES  30 6 π  45 4 π  60 3 π  90 2 π  150 6 5π  180 π  210 6 7π  270 2 3π  300 3 5π  330 6 11π  360 π2  135  120  225  315 16.2 FUNCIÓN SENO Y FUNCIÓN COSENO La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)( = , y para la función coseno xxf cos)( = , donde x denota un ángulo. Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen. Completar Note que aquí la variable independiente “ x ” representa a un ángulo En cada posición de giro del radio vector (ángulo “ x ”) , la ABCISA del vértice indica el valor del COSENO y la ORDENADA indica el valor del SENO. ¿POR QUÉ?
  • 4. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 371 Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición) estratégicos tenemos: CONCLUSIONES:  IRxDomxDom == )(cos)(sen  Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.  Sus gráficas presentan SIMETRÍA. El seno es una función impar. Por tanto xx sen)sen( −=− El coseno es una función par. Por tanto xx cos)cos( =−  Son FUNCIONES PERIÓDICAS, con período π2=T . Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =± Por tanto )sen()sen( xTx =± y )cos()cos( xTx =±  Son FUNCIONES ACOTADAS. π π π π π π ππ 2sen0 2 3 sen1 sen0 2 2 3 2 sen1 0sen0 sen 2 0 =       = = −       = = xx π π π π π π ππ 2cos1 2 3 cos0 cos1 2 2 3 2 cos0 0cos1 cos 2 0 =       = =−       = = xx
  • 5. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 372 Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si [ ]mxfnx ≤≤∀ )( Note que [ ]1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir: 1sen1 ≤≤− x ∧ 1cos1 ≤≤− x OPCIONAL Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma elemental, pero piense cuales serían las características de las gráficas de:  xy sen2= . Generalice xAy sen= donde amplitudA ≡  )sen( 6 π −= xy . Generalice para )sen( Φ±= xy donde desfase≡Φ  )2sen( xy = . Generalice para xy ωsen= donde angularafrecuenci≡ω Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma: ))(sen( Φ±= xAy ω donde T π ω 2 = entonces ω π2 =T ))(cos( Φ±= xAy ω Ejercicios Propuestos 16.1 GRAFIQUE: 1. 1)2sen(2 3 +−= πxy 2. )sen( xy −= 3. xy sen= 4. 12sen2 3 +−= πxy 5. 1cos 3 −−= πxy 16.3 FUNCIÓN TANGENTE La función tangente se define como x x x y tg cos sen == Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales en 0cos =x . Es decir en ,...2,1,0; 2 )12( =−±= nnx π
  • 6. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 373 CONCLUSIONES:        =−±−= ,...2,1,0; 2 )12()(tg nnIRxDom π  IRxrg =)(tg . Por tanto, no es una función acotada  Es una función periódica, con período π=T . Entonces T π ω =  Es una función impar. Por tanto xx tg)tg( −=−  En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( Φ±= xAy ω OPCIONAL: Ejercicio Propuesto 16.2 GRAFICAR: 1. xy 2tg= 2. 2 tg xy = 3. )tg( 3 π+−= xy 4. )2tg(2 3 π−= xy 5. xy tg= 6. 2 tg xy =
  • 7. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 374 16.4 VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS. Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos preocuparemos mayormente, porque bastará sólo con emplear una calculadora. Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego. x xsen xcos xtg 0 0 1 0  30 6 = π 2 1 2 3 3 3  45 4 = π 2 2 2 2 1  60 3 = π 2 3 2 1 3  90 2 = π 1 0 ∞  180=π 0 1− 0  270 2 3 = π 1− 0 ∞  3602 =π 0 1 0 La trigonometría está íntimamente ligada a la geométrica. Para obtener los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° empleamos un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras sería de mucha ayuda. 16.4.1 Teorema de Pitágoras
  • 8. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 375 En todo triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto(90°)), el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de las longitudes sus catetos. Es decir: 222 bac += 16.4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo Para el triángulo rectángulo anterior tenemos: sen Hipotenusa opuestoLado x =  c a x =sen cos Hipotenusa adyacenteLado x =  c b x =cos tg adyacenteLado opuestoLado x =  b a x =tg También se definen las Cofunciones de la siguiente manera: COSECANTE : a c x x == sen 1 csc SECANTE: b c x x == cos 1 sec
  • 9. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 376 COTANGENTE: a b x x == tg 1 cot 16.4.3 Funciones trigonométricas para los ángulos  45 ,  30 y  60 . Para  45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales. Digamos 1== ba , entonces aplicando en Teorema de Pitágoras tenemos que 211 22 =+=c
  • 10. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 377 Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual medida y por ende, ángulos de igual medida (60°) ). Digamos 2=l Ejercicio resuelto La operación ( )    45cos45sen30sen45tg4 60csc 30tg 260sen2 +−−+ da como resultado: a) 4 9 b) 4 9− c) 1 d) 0 e) -1 SOLUCIÓN: Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos: 4 9 4 123 3 4 3 4 6 3 2 4 3 4 2 2 1 14 2 3 3 3 2 4 3 2 2 2 2 2 1 14 3 2 3 3 2 2 3 1 2 1 1 2 12 −= − =−=−                         / / /+= =           / / +−−         ⋅+=                         +−−             +         / RESPUESTA: Opción "b" 2 1 45sen = ó 2 2 45sen = 2 1 45cos = ó 2 2 45cos = 1 45cos 45sen 45tg = ° ° = ⇒ 2 1 30sen = 2 3 60sen = 2 3 30cos = 2 1 60cos = 3 3 3 1 30tg == 360tg =
  • 11. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 378 Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo siguiente: 1. Regla del cuadrante: Cuadrante x I 2 0 π << x )()( xfxf = II ππ << x2 )()( xfxf −±= π III 23π π << x )()( π−±= xfxf IV ππ 23 2 << x )2()( xfxf −±= π El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla: 2. Regla de los signos Cuadrante x xsen , xcsc xcos , xsec xtg , xc tg I 2 0 π << x + + + II ππ << x2 + - - III 23π π << x - - + IV ππ 23 2 << x - + - Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los respectivos cuadrantes son: Donde tgsec,csc, tgcos,sen, c f = =
  • 12. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 379 Ejemplo 1 Para calcular  135sen , debemos considerar que: 1.En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo. 2. 2 2 45sen)135180sen(135sen ==°−°=  Ejemplo 2 Para calcular  210cos , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo. 2. 2 3 )30cos()180210cos(210cos −=−=°−°−=  Ejemplo 3 Para calcular °300tg , debemos considerar que: 1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa. 2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=°−°−=  Ejercicios Propuestos 16.3 Calcular: 1. °120cos 2. °150tg 3. °225sen 4. °240tg 5. °315cos
  • 13. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 380 Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la función periódica, es decir: )2()( πnxfxf −= . Donde " n " es un número natural, lo suficiente para llevar a " x " a un ángulo entre 0° y 360°, y luego aplicar las reglas anteriores. Ejemplo 1 Para calcular °405sen , debemos considerar que: ( ) 2 2 405sen 45sen405sen45sen360405sen405sen = =⇒=−=   Ejemplo 2 Para calcular °1125tg , debemos considerar que: 11125tg45tg))360(31125tg(1125tg =⇒=°−°=  Ejemplo 3 Para calcular °480cos , debemos considerar que: 1. °=°−° 120cos)360480cos( . 2. 2 1 60cos)120180cos(120cos −=°−=°−°−=° Ejercicios propuestos 16.4 Calcular: 1. °1080cos 2. °495tg 3. °1050sen Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes métodos: 1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx −=− , xx cos)cos( =− y xx tg)tg( −=− . Y el resto de manera semejante a lo que ya se ha explicado. 2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( πnxfxf +−=− Ejemplo Para calcular )30sen(− , podemos considerar que:  2 1 30sen)30sen( −=°−=°− ; o considerar que,  2 1 330sen)36030sen()30sen( −=°=°+°−=°−
  • 14. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 381 16.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier valor de x . Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a la función coseno, tenemos que: 1cossen 22 =+ xx ¿POR QUÉ? De aquí, al despejar tenemos que: xx 22 cos1sen −= xx 22 sen1cos −= Además se puede demostrar que: De aquí se deriva que: Si hacemos xy = yxyxyx sencoscossen)sen( +=+ yxyxyx sencoscossen)sen( −=− yxyxyx sensencoscos)cos( −=+ yxyxyx sensencoscos)cos( +=− yx yx yx yx yx tgtg1 tgtg )cos( )sen( )tg( − + = + + =+ yx yx yx tgtg1 tgtg )tg( + − =− xxx cossen22sen =      − − − = x x xx x 2 2 22 sen21 1cos2 sencos 2cos
  • 15. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 382 Si hacemos 2 x x = en 1cos22cos 2 −= xx y en xx 2 sen212cos −= ; y luego despejamos, entonces resulta que: Ejercicio resuelto 1 Calcular )75sen(  SOLUCIÓN: Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+ ( ) 4 132 2 1 2 2 2 3 2 2 30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen( + = += +=+=  Ejercicio resuelto 2 Al simplificar la expresión: ( )xx xx sen1cos cossen1 2 + −+ se obtiene: a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0 SOLUCIÓN : Reemplazando la identidad xx 22 cossen1 += en la expresión dada, tenemos: x x x xx xx xx xxxx xx xx tg cos sen )sen1(cos )1(sensen )sen1(cos cossencossen )sen1(cos cossen1 2222 = = + + = + −++ = + −+ RESPUESTA: opción "c" 2 cos1 2 cos xx + ±= 2 cos1 2 sen xx − ±=
  • 16. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 383 Ejercicio resuelto 3 ¿Qué expresión se debe colocar en lugar de " x ", para que: xA A A A 2 sen1 cos sen1 cos = − + + se convierta en una identidad? a) Acsc c) Asen e) Acos b) AA cossen d) Atg SOLUCIÓN: Despejando " x " en la igualdad dada, tenemos: Ax A A x A A x xAA A xAA AAAAAA xAA AAAA xA A A A cos cos cos cos sen1 2 )sen1)(sen1( cos2 2 )sen1)(sen1( cossencossencoscos 2 )sen1)(sen1( )sen1(cos)sen1(cos 2 sen1 cos sen1 cos 2 2 = = − = / = −+ / = −+ ++− = −+ ++− = − + + RESPUESTA: Opción "e" Ejercicios Propuestos 16.5 1. La expresión xxc xcx tgtg tgtg − + , es idéntica a: a) x2csc b) x2sec c) x2sen d) x2cos e) x2tg 2. Una expresión idéntica a x xxx 2 2 cos1 1cossen2sen − −+ es: a) xx cossen + c) x2 cos1− e) xx cos2sen − b) xsen2 d) 1cos2 −x 3. La expresión x x x x sen cos1 cos1 sen + + + es equivalente a: a) xsec 2 1 b) xtg3 c) xcsc2 d) xcos e) xctg4 4. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a       + 4 cos8 π x ? a) ( )xx sencos2 − c) ( )xsen12 + e) ( )xcos12 − b) ( )xx cossen2 − d) ( )xx cossen2 + 5. La expresión: 2 csc tg1 sencos2       − + α α αα c es idéntica a: a) αtg2 b) -1 c) αtg2 c d) 1 e) αtg
  • 17. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 384 6. Una expresión idéntica a x xxx 2 2 sen1 1sencos2sen − −+ es: a) xx cossen + b) x2 sen1− c) xsen2 d) xx cos2sen − e) 1sen2 −x 7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad? a)       =− 2 cossencos 22 x xx b) xx 22 sec1tg −= c)       =+ 2 cos2cos1 2 x x d) xxx cossen2sen2 = e)       π += 2 cossen xx Misceláneos 1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela: a) 2 1 3 5cos =π b) 3 3 6 7tg =π c) π= 8cos0cos d) 63 cossen ππ = e) ( )[ ]xxgxxx coscottgcos =+∀ 2. La expresión xx xx 2cos2sen1 2cos2sen1 −+ ++ es IDÉNTICA a: a) xsen b) xcos c) xsec d) xcot e) xtg 3. Sean “ x ” y “ y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) ( ) CosySenxSenxCosyyxSen −=+ b) 2 2 SenxCosy xSen = c) xSenxCos 22 1+= d) x xx Sen 2 cos1 2 + = e) xSenxCosxCos 22 2 −= 4. El valor de ∆ para que la expresión x x x cos sen1 1 tg = − +∆ sea una IDENTIDAD es: a) xcos b) xsec c) xsen d) x2 cos e)1 5. La expresión xx xx 2cos2sen1 2cos2sen1 −+ ++ es idéntica a: a) xsen b) xcos c) xtg d) gxcot e) xsec 6. El valor de la expresión: 1 2 3 cot1 4 cos 6 sen 4 cos 6 sen −               π +       π + π       π − π es:
  • 18. Moisés Villena Muñoz Funciones Trigonométricas 385 a) 3 1 − b) 12− c) 3− d) 12 3 − e) 12 3 7. SIMPLIFICANDO xx xx cos2sen cos4cos3 3 − − , se obtiene: a) xx cossen + b) xcos21− c) 1sen2 +x d) xsen2 − e) xx sencos − 8. La expresión x xx x cos cossen 1tg         + + es idéntica a: a) tg x b) tg x +1 c) ctgx d)ctgx - 1 e)1 9. La expresión 2 tg1 cscsec       + + x xx es IDÉNTICA a: a) x2 cot b) x2 sec c) x2 csc d) x2 sen e) x2 cos 10. La expresión ( )( )[ ]xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a: a) xsen− b) xcsc c) xcsc− d) xsen e) xcos− 11. El VALOR de   60cot.45tg 30sec.60tg.45sen , es: a) 6 b) 3 32 c) 3 7 d) 32 e) 3 1