Este documento presenta una introducción a las funciones trigonométricas. Explica que las funciones trigonométricas se remontan a los matemáticos de Babilonia y Grecia antigua, y fueron desarrolladas por matemáticos indios y musulmanes. Luego define las funciones trigonométricas básicas como seno, coseno y tangente, y explica cómo calcular sus valores para ángulos agudos, cualesquiera y especiales como 30°, 45° y 60°. Finalmente, muestra ejemplos de cómo aplicar

2. Pensamiento…
“Los encantos de esta ciencia
sublime, las matemáticas, solo se
le revelan a aquellos que tienen el
valor de profundizar en ella”.
Dedicatoria
Carl friedrich Ganss

3. Dedicatoria…
Le dedicamos este trabajo a Dios, ya que
sin muchos de nuestros logros no
hubiesen sido posibles, a nuestros padres
por darnos la oportunidad de recibir una
educación de calidad, y especialmente a
nuestra querida profesora de matemáticas
Carolina Robles por todos los
conocimientos impartidos en este periodo
del año escolar.

4. Introducción
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época
de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría
fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de
la India y estudiosos musulmanes.
Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de
Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira,
Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara
II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y
Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de
éste, Valentin Otho.
La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum
(1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las
funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series
infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".
En el desarrollo de este trabajo presentaremos las clasificaciones
de estas ya mencionadas funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista de
aplicaciones, en este trabajo aprenderemos a encontrar los valores
más comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno;
coseno; tangente; cotangente; secante; cosecante. También
aprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos algunas de sus
propiedades más básicas.

5. Índice
Pensamiento
Dedicatoria
Introducción
Contenido
 La trigonometría
 Funciones trigonométricas
 Ángulos agudos
 Ángulos cualesquiera
 Ángulos especiales
Conclusiones

6. Bibliografía
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes,
han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no
resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía.
Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a
la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten
poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las
medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de
una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación
hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros,
pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el
ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un
punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como
puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de
medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la
trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las
medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un
triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera
que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

7. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son
relaciones angulares que se utilizan para relacionar los
ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del
mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en
física, astronomía, cartografía, náutica,
telecomunicaciones, la representación de fenómenos
periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Propiedades básicas de las funciones trigonométricas:
Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

9. La función seno Ejemplos
Definición geométrica Considere la siguiente gráfica,
El seno de un número real t es la coordenada y que muestra una curva de seno
(altura) del punto P en el siguiente diagrama, "general" (desplazada y
donde |t| es el largo del arco que se indica. escalada):
Pregunta ¿Que es la ecuación
sin t = coordenada y del punto P de la gráfica?
Contesta Consultando la
Definición "rueda bicicleta" función seno generalizado a la
Si una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a izquierda, vemos que la
una velocidad de 1 unidad por segundo, sin t el la ecuación de esta curva es:
altura de un marcador fijo en su neumático
después de t segundas, si se empieza a medio y = A sin[ω(x-α)] + C,
camino entre la parte superior y la parte inferior
de la rueda. donde
• La línea base (el punto medio de
oscilación) se ubica 2 unidades
abajo del eje x
• A = amplitud (la altura de cada
máximo arriba de la línea base) = 2
• C = desplazamiento vertical =
Gráfica de la función seno coordenada y de la línea base = -2
• P = periodo (el longitud de casa
ciclo, o distancia de un máximo al
siguiente) = 4
• ω = frecuencia angular = 2π/P =
2π/4 = π/2
• α = desplazamiento de faso = 1
Esta es la distancia horizontal del
y = sin x eje y al primero punto donde la
gráfica cruza la línea base.
Función seno general Entonces, la ecuación de la curva más
La función seno "generalizado" tiene la siguiente arriba es
forma: y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2
Para comprobar que sirve esta

10. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN ÁNGULOS
CUALESQUIERA
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera
utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen.
Los ángulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva del
eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido
aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que
mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al
dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa:
PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno:
llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de
abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello,
dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que
el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante
en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno
entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los
ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula

11. fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el
teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno,
coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
Funciones trigonométricas en ángulos especiales
Explicaremos este tema relacionándolo con experiencias vividas por los
mismos estudiantes, en el salón de matemáticas.
El calentador está apagado. La sala múltiple (salón de actos, comedor, sala de
electivo, explayación de artistas, etc.) está helada. En un intento de encontrar
calor, buscamos nuestra típica mesa redonda apretujándonos como unos pobres
pollos condenados a una nueva clase de electivo. Afuera la nieve caía
silenciosamente, mientras cada uno meditaba sobre cuál sería su reacción al
recibir su primera nota en trigonometría.
En medio de la "calidez" descrita apareció Danny señalando que trabajaríamos
con algunas de las funciones trigonométricas de mayor uso, siendo estas las de
30º, 45º y 60º(son los ángulos especiales ). De las pruebas no se pronunció, a
pesar de ser de los profes que aplica una prueba y las entrega siempre a la
clase siguiente, pero nadie comentó nada, total "ojos que no ven, corazón que
no siente"
Para iniciar nuestra labor, el profe nos pidió que determináramos las funciones
trigonométricas de 30º y 60º y que utilizáramos para ello un triángulo
equilátero de lado 2 unidades. (Después descubrimos de que con cualquier
medida da lo mismo).
Empecemos

12. Después de un breve análisis de 20 minutos, nos dimos cuenta de que debíamos
trazar una de las alturas del triángulo para formar así un ángulo de 30º y un
triángulo rectángulo necesario para nuestro trabajo.
La figura quedó así:
En el triángulo ADC, calculamos la altura CD por Pitágoras, obteniendose cm.
Luego
Sen 30º = = cos 60º; ya que sen  = cos(90 - )
Cos 30º = = sen 60º
Tg 30º = (al racionalizar) = cot 60º
Cot 30º = = tg 60º
Sec 30º = = cosec 60º
Cosec 30º = 2 = sec 60º
Y ahora, dijo el profe, ¿qué tipo de triángulo debemos utilizar para obtener las
funciones trigonométricas de 45º?
Nuevamente nuestros cerebros comenzaron a mover sus multiples engranajes y
parece que ya están bien engrasados porque pudimos dar rápido con la
respuesta.

13. Para determinar las funciones trigonométricas de 45º, el triángulo a utilizar
debe ser un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm (o cualquier otra
medida).
Obtengamos primero la hipotenusa, por Pitágoras, y luego calculemos las
funciones trigonométricas pedidas.
Sen 45º = = cos 45º
TG 45º = 1 = cot 45º
Sec 45º = = cosec 45º.

14. Ángulos de Elevación y de Depresión.
La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente para
encontrar la altura de un objeto alto de manera indirecta. Para resolver un
problema de este tipo, mide el ángulo desde la horizontal hasta tu recta de
visión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto.
Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación.
Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.
EJEMPLO A
El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un
ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del
mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos
del naufragio?
_ Solución Haz un dibujo para ilustrar la situación.
Observa que, como el fondo del mar es paralelo a la superficie del agua, el
ángulo de elevación desde los restos del naufragio hasta el barco es igual al

15. ángulo de depresión desde el barco hasta los restos del naufragio (según la
Conjetura AIA).
La distancia que el buzo es bajado (40 m) es la longitud del lado opuesto al
ángulo de 12°. La distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud del lado
adyacente al ángulo de 12°. Establece la razón tangente. Tan 12° _ _4 d
0_ d (tan 12°) _ 40 d __tan
40
12° _ d _ 188.19
El buzo necesita avanzar aproximadamente 188 metros para llegar a los
restos del naufragio.
Ejemplo 2
Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulo
de elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.
De esta figura podemos obtener dos ecuaciones:
;
o sea ;
Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y =
0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.
Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.
La altura del edificio es de 78 metros.

16. Ahora calcularemos las funciones trigonométricas en la
calculadora científica.
Para calcular las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,
etc. a través del uso de la calculadora, lo primero que se debe hacer
es seleccionar el sistema de medición del ángulo.
Cundo la pantalla de la calculadora aparee DEG significa que el
sistema de medición es e grados.
Si se trata del ángulo medido en radiantes, en la pantalla aparece,
entonces RAD.

17. Observa el siguiente ejemplo.
• Digita el nº 30
• Presiona la tecla sen
• Observa la pantalla de la calculadora, donde
aparece una cantidad.
• Allí está el resultado.

18. Conclusiones
En esta lección pudimos:
• Conocer la historia de las funciones trigonométricas y ciertas
curiosidades de las mismas.
• A que se deben algunos nombres de las funciones
trigonométricas.
• Diferenciar las funciones trigonométricas de seno, coseno y
Tangente.

19. • Conocer las funciones trigonométricas seno, coseno, y
tangente.
● Usar las funciones trigonométricas para encontrar las longitudes
laterales desconocidas en triángulos rectángulos.
● Usar las funciones trigonométricas inversas para encontrar las
medidas desconocidas de ángulos en triángulos rectángulos.
• Además de que nos dimos cuenta de la importancia de estas
funciones trigonométricas para el uso diario y la extraordinaria
función que estos desempeñan.
• Las funciones trigonométricas nos ayudan a resolver problemas
cotidianos como determinar la altura de un edificio con tan solo
tener como base una sombra del mismo.
Bibliografía
http://www.keymath.com/documents/dg3/CondensedLessonPlansSp
anish/DG_CLPS_12.pdf
http://www.ixl.com/?gclid=CM3unOvLuqoCFdMn2godICEP8A
http://es.answers.yahoo.com/question/index?
qid=20110209174206AAE5eZk
Libro:

20. Editorial susaeta, tema funciones trigonométricas, págs. 110-137
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www.monografias.com › Matemáticas
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