relaciones metricas 2

1. 20
C P U . U N A S A M . E D U . P E
Geometría
Curso
de
cpuunasamoficial

2. CICLO REGULAR 2021-I
CURSO DE GEOMETRÍA
SEMANA 7
ÁREA DE CIENCIAS

3. 𝑥
SEMANA 7.
RELACIONES METRICAS EN
TRIANGULOS OBLICUANGULOS.
TEOREMA DE EUCLIDES
a2
= b2
+ c2
− 2bm
c2
= b2
+ a2
− 2bn
a2
= b2
+ c2
+ 2bm
TEOREMA DE HERÓN
p =
a + b + c
2
hb =
2
b
√p(p − a)(p − b)(p − c)
ha =
2
a
√p(p − a)(p − b)(p − c)
hc =
2
c
√p(p − a)(p − b)(p − c)
TEOREMA DE STEWART
𝑥2
b = a2
m + c2
n − mnb
TEOREMA DE LA MEDIANA
c2
+ a2
= 2𝑥2
+
b2
2
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE
LA MEDIANA
a2
− c2
= 2b𝑥
CÁLCULO DE LA BISECTRIZ
INTERIOR
c
m
=
a
n
; 𝑥2
= ac − mn
CÁLCULO LA BISECTRIZ EXTERIOR
A
B
C
a
b
c
n
m H
B
B
A
b
b
h
c
a
C
A
B
C
c
b
a
b
h
C
c a
A
B
b
B
A C
b
m
c
a
𝑥
C
c a
A
b
𝑥
A
B
C
D
c
b
a
m n
𝑥
D
x
c a
m n
A
B
C




A
B
D
n
C
m
a
c x

4. c
m
=
a
n
; 𝑥2
= mn − ac
BC2
= 𝑥2
+ AB2
− 2AB. AH
AB2
= 𝑥2
+ BC2
− 2BC. DC
0 = 2𝑥2
− 2AB. AH − 2BC. DC
2𝑥2
= 2AB. AH + 2BC. DC
𝑥2
= AB. AH + BC. DC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥. b = AB. BC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥2
= 𝑚. AB
𝑥2
= 𝑛. BC
𝑥4
= 𝑚. 𝑛. 𝑥. b
𝑥3
= 𝑚. 𝑛. b
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥2
= AH. HC
Aplicando Relaciones Métricas:
𝑥. b = AB. BC
Aplicando Relaciones Métricas:
AH2
= a. AB
HC2
= c. BC
𝑥4
= a. c. 𝑥. b
TEOREMA DE EULER
En todo cuadrilátero ABCD, con M y N
puntos medios de las diagonales, se cumple:
a2
+ b2
+ c2
+ d2
= 4MN2
+ AC2
+ BD2
a2
+ b2
+ c2
+ d2
= 4MN2
+ AC2
+ BD2
A
B
H
C
D
𝑥
M
N
A C
B
H
𝑥
b
𝑚
𝑛
M
N
A C
B
H
𝑥
b
a
c
A D
C
B
a
b
c
d
M N
a
b
A
B
C
D
N
M
d
c

5. PROBLEMAS
1- En un triángulo ABC ( AB AC
=
),la semicircunferencia de
diámetro AC interseca a la altura
BH en el punto P .Si 2 2
BC =
,entonces la longitud (en u) de PC
.
A)3 B)1 C)4
D) 2 E)5
2- En un triángulo ABC ( AB BC
= y
AB AC
 )se traza la bisectriz
exterior AD ,en el triángulo ADC
se traza la bisectriz interior DE tal
que 3( ) 3
CD CE u
= = ,entonces la
longitud (en u) de DE es.
A)
2
3
3
B)
5
4
3
C)
2
4
3
D)
2
3
E)
2
2
3
3- En un cuadrante AOB de centro O
se ubica el Punto S ,en AO se
ubica el punto M tal que MS BS
⊥
y  
MS AB Q
= .Si
2
( )( ) 14
MQ QS u
= y
2
( )( ) 78
BM BS u
= ,entonces la
longitud (en u) de BQ es.
A)4 B)5 C)6
D) 7 E)8
4- En un cuadrado ABCD la
circunferencia inscrita de centro
O y la semicircunferencia de
diámetro AD se intersecan en el
punto Q (Q OD
 ).Si 4
AB u
=
,entonces la distancia ( en u) de O
al punto medio de AQ es.
A) 4 3
− B) 4 3
+
C) 2 3
− D) 2 3
E) 8
5- En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O ,se traza
el radio ON y en ON se ubica el
punto medio M ,con centro en M
radio MA se traza el arco AC tal
que CM MB
⊥ .Si 2 10
BC u
=
,entonces la longitud (en u) de AO
es.
A)3 B)1 C)4
D) 2 E)5
6- Desde un punto exterior C a una
circunferencia se trazan las
secantes CPB y CAT ,tal que AB es
paralelo a la recta tangente a la
circunferencia trazada por T .Si
2
( )( ) 116
CT BT u
= y
2
( )( ) 52
CP AP u
= ,entonces la
longitud (en u) de TP es.
A) 7 B)8 C)9
D) 10 E)11
7- En una circunferencia se trazan
las cuerdas perpendiculares AB y
CD ,en la prolongación de DC se
ubica el punto P tal que PB
interseca a la circunferencia en el
punto Q .Si los ángulos ADC y
BAQ son complementarios ,
2
( )( ) 98
PB BD u
= y
2
( )( ) 62
PC CQ u
= ,entonces la
longitud (en u) de BC es.
A) 15 B)8 C)9
D) 6 E)12
8- En un triángulo ABC la
circunferencia inscrita es tangente
a los lados AB , BC y AC en los
puntos M , N y T respectivamente
,las cevianas BP ,CR y AS son
concurrentes en el punto

6. ( )
Z Z TN
 tal que ,
m BAS m BSA
= y
m PBA m APB
= .Si
3
CS NB u
= = y 4
AM u
= ,entonces
la longitud (en u)de CR es.
A) 7 B)8 C)9
D) 10 E)11
9- En un triángulo ABC ,en la
prolongación de CA se ubica el
punto D tal que AD es diámetro
de una semicircunferencia
,tangente a BC en el punto T .Si
7
AB u
= , 9
BC u
= y 4
AC u
=
,entonces la longitud (en u) del
radio de la semicircunferencia es.
A) 3 B) 3 5
+
C) ( )
5 3 5
+ D) ( )
3 5
+
E) ( )
5 5 3
−
10- En una circunferencia de centro
O y cuyo radio mide 20 cm ,se
traza el radio OA y se ubica el
punto medio M de OA ,entonces la
longitud (en u) del radio de la
circunferencia tangente a la
circunferencia y a las
semicircunferencias de diámetros
OM y MA es.
A) 7 B)6 C)9
D) 12 E)18
11- La circunferencia inscrita en un
triángulo ABC es tangente a los
lados AB , BC y AC en los puntos
N , E y F respectivamente ,las
prolongaciones de AB y FE se
intersecan en el punto D .Si
3
EC u
= , 2
BN u
= y 6
BD u
=
,entonces la longitud (en u) de EF
es.
A) 2.43 B)2.54 C)2.87
D) 3.24 E)3.56
12- En una semicircunferencia de
diámetro AB y centro O se ubica el
punto P, en el exterior se ubica el
punto C tal que AC interseca al
arco AP .Si 2 2 2
( ) ( ) 37
AC BC u
+ = y
3
PC u
= ,entonces la distancia (en
u)de centro O al punto medio de
CP es.
A) 7 B) 2 7 C) 3 7
D) 7 E) 4 7
13- En el exterior y relativo al lado
BC de un triángulo rectángulo
ABC ,recto en B se ubica el punto
D tal que
m DCB m DBC m DAB
= = .Si
2
AM MB
= = y 5
AC = ,calcule
DM (M punto en AB ).
A)
34
2
B)
66
2
C)
55
2
D)
7 6
2
E)
3 6
2
14- Las diagonales AC y BD de un
cuadrilátero ABCD se intersecan
en el punto E ,si AE=EC=2,
DE=1, EB=4 y 6 2
AB BC
+ =
,calcule la suma de las longitudes
de los dos lados del menor
longitud .
A)5 2 B) 3 2 C) 4 2
D) 3 E) 8
15- En el interior de un paralelogramo
ABCD se ubica el punto P tal que
2 2
( ) ( ) 38
PB PD
+ = y
2 2
( ) ( ) 56
PA PC
+ = .Si
90
m ABD = ,calcule AB .
A) 1 B)9 C)3
D) 5 E)6

7. COMPENDIO
SEMANA 7
C P U . U N A S A M . E D U . P E
cpuunasamoficial
EXCELENCIA EN PREPARACIÓN ACADÉMICA
Geometría